（电磁场与微波技术专业论文）小波分析在计算电磁学中的应用研究.pdf

冈i 疗利学技术人了i , j f 宄，上1 玩宁位论文 小波分析在计算电磁学中的应用研究 摘要 小波分析是一种新的数学i _ 具。本文从i 个，ji i 表达了小波分析技术在电 ，- 一 磁场数值计算巾的应用。小波展_ = 、小波变换知阶j l i 缩技术利寸域多尺度分析 ( m r l 、i ) ) 。提出了基于小波展丌的多分辩的数值积分算法矛r l d , 波基的构造方法。 论述了矩阵压缩技术运用和小波域1 t “义j r 【抗j c t , ；1 1 4c 的物理含义。刚蝈了f d i 、【) 是 m 1 t i ) 的一种最简单n j n 式，列j 二具有棚同精度的i ：d q l f ) ，m rr d 最大i l ；j l x ；势在于 窄问离散的点数几乎达到采样定理的极限，似带来的洪差却可以忽略。彤f 究表 明，小波展刀：、小波变换和m r t d 相刘r 经典的方法，可以更有效的解决计算电 磁学中计算量与计算机资源之间的矛盾。而本文所提出的多分辩的数值积分算 法l i l t , 波基的构造方法其列于他学科也有应用价值。 、， 一 关键词：多分辩采样、小波展：j 1 ：、小波变换、；c l 1 1 4 c j l z 缩：m r t 【) 。 第1 i 贝 周防利学技术人+ 7 - 州究! l i 院。他沦文 s l u d y a n d a p p l i c a t i o n 0 1 1w a v e l e t a n a l y s i s i l l e l e c t r o n l a g n e t i cc o m p u t a t i o n a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si san e wm a t h e m a t i c a lt 0 0 1 l h i s w o r k i n gd e m o n s t r a t e st h r e e a s p e c t so f w a v e l e ta p p l i e di ne l e c t r o m a g n e t i cc o m p u t a t i o n ：w a v e l e t e x p a n s i o n ，m a t r i x c o m p r e s s b a s e do nw a v e l e tt r a n s f o l i na n dm u l t i t e s o l o t i o n a n a l y s i s i nt i m e d o m a i n ( m r t d ) m u l t i r e s o l u t i o nn u m e r i c a l i n t e g r a la l g o r i t h ma n d a l l e a s y a n d n o v e lm e t h o do f c o n s t r u c t i n gw a v e l e t sa r ep u tf o r w a r dt o a tt h es a m et i m e ，p h y s i c a l n a t u r eo fi m p e d a n c ei l lw a v e l e td o m a i ni s e x p r e s s e d f d 7 idi sas p e c i a lc a s eo f m r t d c o m p a r i n gw i t hf d t d ，t h ed i s p e r s i o n o fm r7 f 1 ) s h o w sa ne x c e l l e n t c a p a b i l i t y t o a p p r o x i m a t e t h ee x a c ts o l u t i o nw i t h n y q n i s tl i m i t b yr e s e a r c h i n g ， w a v e l e te x p a n s i o n ，w a v e l e tt r a n s f o r ma n dm r i dp r o v i d ea n o t h e re f f e c t i v es o l u t i o nt o t i l ec o n t r a d i c t i o nb e t w e e n c o m p u t a t i o nq u a l i t y a n d c o m p u t e r r e s o u r c e si n e l e c t r o m a g n e t i cc o m p u t a t i o n b y i h e w a v e ，m u l t i r e s o l u t i o nn u m e r i c a li n t e g r a l a l g o r i t h ma n d t h em e t h o d o f c o n s t r u c t i n gw a v e l e t si sv a l u a b l ei no t h e rf i e l d s k e y w o r d s ：m u t i r e s o l u t i o ns a m p l i n g ，w a v e l e te x p a n s i o n ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，m a t r i x c o m p r e s s ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i si nt i m ed o m a i n 里! 堕! ：! ：! ：! ! 尘叁竺型 ! i ! ! ：竖：! = 垡堕苎 日i j旨 电磁场问题可以川川应| 0 钾了力f , l , f l i 边界祭什米描述。r | n n ，矩罱法( m o m ) 、 柏限元法( m ，、边界g 洲；( m ) 、i i , j 域订丝分力法( 阳7 m ) 及孔m 力法已被 广泛的用n u 磁场问题的数似汁辨”化删决虻际的i 【l 磁场州题时，我们希骐 刚小的计算量和存能_ m j 以求甜坐拔近扎“【| ，i 诣 m 斛。解决计算量与粕度之i n j 的矛盾始终是解算子方程关i i ：f 1 9 问题。小波j ：j e 有的特性( i f 交特性、h “j 频 局部化、多尺度分析、消失矩) 而被作为脯竹r 力f i ! i i 9 i f 交j g ，有相应的快速 算法与以上传统方法十f l 配合，化进 j ：数值汁s z 过程l ，有很优秀的表现，为解决 计算量与计算精度之州的矛“抛供j j j i | j ，j 。的途径。 国内外应用小波分析神； u 磁场数他汁孵。i nj f | 0 研究方兴未艾。1 9 9 3 年 b z s t e i n b e r g 1 提出小波一) l i 照浊( w | i v o l e lm o m ) 解4 i 分方程，墩得了很好的效 果。1 9 9 5 年，g f w a n g ，g w p a n 将小波肥 1 j 边界元算法相结合求解散别【5 】 与多导体传输线 6 】问题。同 i i 麒1 ：多j t 度小波分解求解微分方程算法被提出【8 j 。 1 9 9 6 年，m k r u m p h o l z 和l i n d ap b k a t e h i ，挺堆于多分辨分析求解麦克斯 韦方程的m r t d 【1 3 1 ( m u l t i r e s o l u t i o ua n a l y s i si nt i m e 一d o m a i n ) 算法，与传统 y e e f d t d 相比较，在对窄川进行网 杆划分以后俅个波长采2 个点h j 。达到f d t d 每个波长采】0 个点朐精度f 斗个波k 采2 个 ! i 恐采样定删一奈奎斯特定删的极 限，与f d r d 相比。其刘汁算机资源的竹竹f i 。m 州，z b a h a r a v 和y i e v i a t e n 【1 4 】 借鉴图象压缩算法，剥直接进行小波变换历n 勺抗矩阼进行压缩，结果表明这 是一次很成功的尝试。在1 9 9 7 年，w l g o 川( 【2 3 】将小波包用于解电磁场积分方 程。同时，m r t d 的算法得以完善和发展1 2 7 1 1 2 8 1 2 9j 。国内相应的研究工作处于 萌芽状态1 3 6 】一【4 2 】。丽以f 社者的所有1 i 作州沦成础皆为一小波群j l , i l 有特性。 我从事小波分析在电磁场数值计钟i i 的研究i 作只有- - q - ：c l ；jn , 1 。问，我的主要 研究方向在小波与矩量法的幺i 合一l ：。小波通过f ；l j i 种力式与矩量法褶结合孙波展 ，l ：和小波变换：在小波展丌中如果将友兜斯。i ；，j 程f t 的场罱? l i n q n l j 一! - - ，也，| ： | 应的 用小波展j r ，w 以得到递推州域算法m r t i ) 。i ( i i 小波分析最突i n 的优势在于， 可以根掘特定的问题构造干j 衄的j - k i - l l 数，j i u - i ：自毅选l 蚁的灵活一眺带来了钾：法的灵活 第1 驰 i 圻利1 j ! ：j2 术人+ j 川冗”i 臃0 0 能沦义 性。在m r t d 算法t h 蛐i 粜选i | 艾i l a lr 小波的t 艘喃数，会得到f d q d 算法。而 小波展开与m r l d 算法破后那州结j ii i 阑秋提出n 0 多尺度采样1 4 0 】 ( m u l t i r e s o l u t i o ns a m p l i n g ) 这删沦：l j 鲫i i 。除丁领会与掌握国内外学者的方法 与思想，我在以下p u 个力f f i f j , 1 l n 勺作了壮i i 作，”劳有所获。 1 提山基于多分辨采样| 0 数值私1 分贸j i 。 2 从m a l l a t 算法出发， l l 卜种筋n 易i j 小波变换矩阵构造方法，并得 d 5 _ 一些很有意义的结果。 3 将超小波变换 4 7 】这新概念。| 入线r f ：，j 秤的求解，提出了收敛的超小波 条件。 4 从多尺度采十i i 发， f i 导f d t i ) 钾。j j i ，论证了m r i d 与f d - j d 之间的 关系，从r l j 绀到。+ 些| ”；发忱i i j 结沦，丌做一些假设。 我在写硕：l = 论文i ，将秉承这一原! j ! i j ：从j 程技术的角度d 发，化繁就简。如 果某位从事实际：l f l ；的1 ：秘披术人必行了我1 0 沦义蜕本文浅盟易懂，并且可以 用来帮助他解决一些问题，返将足哉浊人的，巴- 愿。 在作课题的过程h 原巩剥拽人学系统- ! j 数学系剐教授，现任叶1 国宽 带电视网络通信公司经理：卧l 秋先生给了我以典人n 0 帮助和支持是，而在与 爿豫7 口p ，l a bm r w i ms w e l d c n s 讨沦i i ，更谴我受菔m 浅。了11 写作木文过程巾， 我将加倍细心努力，避免脱钳以。如粜以j l j 史拓发现我沦义巾o , j i t 误，清 e - m a i l 而：g “n f 口h 埘 2 6 3 。口“。j 我暇泵找1 分妖迎改名的批评指旷或进行棚 关问题的讨论。 郫汉伟 2 0 0 0 年1 月61 筇2 贝 里堕盟堂丝坐竺型【塑：! ：堕：羔丝堕苎 第一章电磁场数值计算中的基本小波理论 小波分析是当l j i f 应用数学界中一个迅速发j 陡的新领域。小波变换( w a v e l e t t r m _ i s f o r m ) 是由法国从邬石汕佑弓处州i ：程! j i i jj m o l e t 首先捉束的。l9 8 6 年， 数学家y m e y e r 偶然地构造出个真l i ：的小波坫，外js m a l l a t 合作建琦：了构造 小波基统一的方法一多尺度分析，导致实现快速算法，小波分析蓬勃的发展 起来。从此发现了y l ：多小波j i 例如b a t t l e 1 e l l l a l r i e 小波，d a u b e e h i e sn 紧 支撑正交与双证交小波。 1 1多分辩分析、小波与小波变换的概念 在小波分析中，m e y e r 和m a l a t 捉 l 的多尺度分 ! ) i ( m u l t i s c a l ea n a l y s i s ) ，又 称多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 。多分辨分析足在2 ( 月) 函数空i i ；j 内，将 函数描述为一系列近似函数的极限，何个近似函数f f | j 足函数，的s 刚j 版本， 而且具有越来越精细的近似函数。这u j 近似揶址礼不同分辨水一p ( 尺度) j ：得 到的，多分辨( 尺度) 分析山此得名。它不仪描示了函数结构的自相似他，同 时也提供了寻求小波滤波器的j 走本思跚：为了；7 求l 2 ( r ) 的一个基底，先从其 某个子空间出发，构造它的基底，然后通过简l 丫l 变换将之扩充至r ( 只) 中。我 们首先给出多分辨分析的基本概念。 2 ( r ) 一系列嵌套予空问函数矿。，z ， c 如c 心c c k c k c ，具有 逼近性：u _ 的闭包为l 2 ( 月) ，n i ，= 【o ) ； ，：，e ： 仲缩性：厂( z ) ev i ，( 2 工) v ； 平移性：，( x ) _ 厂( x + 百1 ) _ ； 筇3 页 鬯堕兰! = ! 三丝尘叁：| ：坐塑生些二i ：丝笙塞 因此t v ，依次是卜_ 缎r 。跚f l 。的近似r i j f j n 妒( x ) v 。列tj ，i 柏f m z ，妒h ( ) j ：勾成f 0 f | 勺无条中l ：占，h i j 妒h j 线e k j “ 张的闭包为，其l 一： 妒h ( x ) ：2 彳妒( 2 t x - - ) ( 1 - - - j ) 存在0 = c 。j 钆。= 厂足指对原来的函数谯水i i n 7f 进行采样，l ! l j u 知： 厂( 多) = o i 土l i - _ 矗( 专) 一厂( 专) 2 莩幻叫) - 2 由双尺度方程 l ( x ) = p 。妒( 2 x - k ) ，p o 0 对上式进行傅立叶变换得到： 衲叫e ，2 ) ；( 詈) 反复应用r 1 次得到： 乒= ln p ( e - s 2 l) j l 乒( 争 - l 二 令疗_ 。o ， ；( o ) ：1 ，则乒o ) ：f 1 ，g ) 丸( x ) = n ( 2 x k ) ，1 - l ，2 它的f o u r i e r 变换形式为： 五心) = f i p ( e - j 1 1 p ( e l k) k 争= l 五( 工) = ) 胁罟) j ( 2 7 ) ( 2 - - - 8 ) ( 2 - 一一9 ) ( 2 1 0 ) 2 - - 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 - 一1 3 ) ( 2 一一1 4 ) ( 2 1 5 ) 选丸的傅立叶变换在m = 0 连续j 1 满足荔，= 1 则刈任一m l r 五( 神收敛l ；t l i m , j 。( 吐，) = ；( ) 如爿妒。( x ) 连续，弛j i i m , 。( x ) = 妒( x ) 一 假定s 唧芗= 【o ，】，芗( o ) = 芗( l ) = 0 笫1 5 页 里堕塑三| = 些查尘：| 三塑堑竺堕：! 兰笪堕苎 钆产2 2 。八争芗( ) _ 2 ”肌参) 歹i 而出 ：2 - ， 2 z ( 嘉) 芗( 女二，2 ) ：2 一，( - 了+ 1 j 歹( 习 2 - - 1 6 ) 玎鼽等，莉 这时c t 是九笋“l ! 笋卜， ! ! 笋j | j + 种加收、i 均。在币交小波时，芗( ，) 用庐( _ ，) 来代替。由双尺度关系取x = 1 , 2 ，l 一1 ，锕 庐( 1 ) = p 妒( 2 - j ) = p o o ( 2 ) + p ( 2 = 乃( 2 一- ，) = p o e ( 4 ) + n ( 3 ) + p z 庐( 2 ) + p ，矿( n 由此得到线性方程： ( 1 ) = p j ( 2 - j ) = p 川妒( l 1 ) + n ( 一2 ) m = m m ( 2 1 7 ) 其r i i ，掰= ( 状1 ) ，吠2 ) ，矿( 工一1 ) ) 7m 足( l i ) x ( k i ) l j i l l 。l z 。 定义3 ： 双尺度矩阵? 存在多分辩分析眈 其尺度函数“) 满足如i j 烈j t 度方程： 妒 ) = p 。# ( 2 x - k ) ，其m i b ( 2 x 一 ) ，则形如i ：列形式的矩阵m ： m = 珊) e ，矧，= j 见 p o oo 岛只舟，o o o o p fp | 1 ( 2 18 ) 称为双尺厦矩阵。 而求所的问题，即求双尺度矩阼m 的特祉值五= ln 刊_ ：! i ：征向量。从文献【3 3 】我证 o i 明了，妒( ，) = l 。 j t l 支撑区域宽度为2 - ，n 勺d a u b e e h i e s 的尺度函数足n 阶收敛的用a m 厂( x ) 近 第1 6 “ 里堕盟竺丝查叁：! ：! ! ! ! ：! ：坚：! ：生垒苎； 似，( x ) 的截断误差百j 以表乐为炒( x ) a m 。( x ) l i ( 2 ”这取c 是一个由所选 多j t 度分析和尺度函数共川决定的i i i j “，数。 2 3 3任意函数的基于多尺度采样的数值积分算法 积分最基本的数值讨鲐：问题。通常i 我们采嫩l j 、j 捅求积公式( 柯特斯公式) 和i 留斯型求积公式【5 1 】来计算。我们从多尺嫂采 i 的概念出发，利用l 2 ( 月) 的 函数f ( x ) 利用标准f 交攮尺度函数胜 ，推岢 利新的数值积分算法。尺度 函数选取的灵活性带水了私 分算法的必沂陀，我们川以根据厂( x ) 函数的形态来 选择作为采样函数的尺度甬数。通过f k 最扩张的办法很容易将其扩展到多重积 分算法。结果表l j 它的计算有很好的 | l f 度。 是一个多分辩分析。刈二一个函数，( x ) e 上2 ( r ) ，厂g ) 在多分辩分析e 下可以近似的表示为： 八功兰4 m ) = 0 仍。 ( 2 1 9 ) - 一” 而：i 妒g = 1 ， j 妒卅( x ) a x = 2 彳妒( 2 i x - - ) 扛= z - , , |l l 为积分区间。那么， m 触以1 ”娶坩 ( 2 2 0 ) ( 2 - - - 2 1 ) 即，g ) 的积分可以表示为维多尺_ 叟：采样系数1 0 迭加。对于二维的情况。张量 积窄问v 2 ，k z ) 构成r ( 凡2 ) | j 个：维多分埘分析。而v 2 ，= _ 。一。这州 二维多分辩分析的尺度函数为：庐( x ，j ，) = 妒( z ) 妒( 1 ) 与尺度函数相对应的小波函数为： 构成空间孵的规范j f 交基。町是口在l j ，o i j 交补，即孵。哆= 吆。 对予一个二维函数f ( x ，y ) ( r2 ) ，| j ! l j f 第1 7 贝 国防科。7 ：披术人0 i o i ，中院位沧文 f ( x ，力= y ) ，则 一l e z m ，y ) d x d y = 2 1 芝o k 女， ( 2 2 2 ) 即，g ，y ) 的积分可以表示吲以表示为绯多j t 艘聚样系数的迭_ i j 。 利用张鞋扩张的办法将蚝扩展为 ，维干j ! 分钾j j ：。 剥于积分f ，似) d x ，如果闻数，“) 拒j e 边界，r ? ，h 处不为零，那么，用， 有紧支 撑的正交与双正交小波剥，( 一) 进行抽样后雨恢复允边界点处将出现不收敛于真 值的现象，这类似于利用似：i lj 级数腱”仃：| 1 i j n 0 函数在边界点处的莱不尼 兹现象。为了消除边界点刁：为零埘彰! 分梢麈f l j 拗j 忆我们采凡1 加强迫函数f ( x ) ( f o r c i n gf u n c t i o n ) 的方法，列厂( x ) 进 j ：边界较i i ：，使较f 后的函数，1 ( x ) 在边 界点a , b 处的值为零。 厂( x ) = - ，( x ) + f ( x ) 厂( ( ，) = f ( 6 ) = 0 f 2 - 2 3 ) f o ) d x = 抄( 础氏 l f ( a ) = 一厂( n ) h | j f ( b ) = 一，厂( ) 【f m 胁= o 如果设f ( x ) = c x 2 + 出+ p 带入( 2 2 4 ) ， 我们可以得到： ，：= ! ：堕塑丛盟 ( 口一6 ) 。 d ：兰：l ! ：! ：竺2 塑! ：! ! ：! 1 2 ! ： ! ! ! ! 1 2 ( f ，一们。 ，：二丘塑：! ! 三： 塑：! ：! 兰：丛! 坐：! 丛蚴：! ：】 ( 2 2 4 ) ( 2 - - 2 5 ) 关r f ( x ) 的彤，我根荆绛骑址议m n ，小世川；，i2 呐纯i i h 崎址川为分段的“线n ：分段问的端点处 是小i i j 微的 第1 8 贝 鬯! 丝盟：j 三些尘尘：! ：! ! ! 【；2 ：| ；：! ：堕竺垡丝塞 ，一i 而( ，) = 1 ，那么，m 采十r 系数稳加的过程h j 以作相应的简化。 ，- i = z 茎，新下s + k 丽 订( 善7 t 争谆雨+ 篙九争荨。莉- 兰门y 善。丽 ：z f 芝2 九嘉遵i t ，i + 羔九喜h “兰九嘉i ”艺i c 五1 、- w - i ，i_ i ，i j - - z ，i 胁m = 胁州睁+ t 糖知h 跏跏多落雨3 ( 2 一- 2 6 ) ( 2 - - - 2 7 ) 下面给出基于尺度函数计卯数值积分的般步骤： 根掘精度选择采样空n l j 和采样函数(舣选d a u b e e h i e s 的尺度函数) ， 按照构造强迫函数f ( x ) ，得到函数厂( x ) 的校i i i 鬲数，( x ) 。 在水i l 。上划i ，( x ) 采样。 按照( 2 2 7 ) 得到秋分值。 为了便于算法的计算机。典现附求f a 州l j 娅的给嬉于多分辩分析的自适应 积分算法。它可以根掘十刘洪差和绝对跌筹n 动控制采样次数计算量。 如果采样函数为h a a r 小波尺度甬数，我们川以推导出梯形积分公式。而采 样函数的灵活选择带来积分算法的灵活性。在i - + 1 7 我们将举例说明本积分算 法的应用。从在 5 4 i f 的例予可以看f | 木文所捉j 的算法对于高速震荡积分可 以得到满意精度的结果这可以解决i 越震荡积分的计算问题。 算法的复杂性分析： 设所选的采样函数具有民变为的划学区川，mn 分辨水平上剥函数进行 多分辨采样，要做次乘法2 + ( l 2 ) ( 一“) + 2 ”次加法。 尺度函数选取的灵活性带来算法的灵活性，如粜我们选择h m r 小波的尺度函数 作为采样函数，那么，我们可以得到梯形公式。采样函数与被积函数本身相关 性较强，则我们的积分算法收敛得很快。 2 4应用小波展开解电场积分方程算例 第1 9i | j j ： i 同防利0 0 披术人i o i 究乍院学协沦文 对于小波展j i ：求解电磁场，j 剃 i 雨数的选取是十分重要的，如何选取基 函数要视具体问题而定， 2 4 1小波展开求解波克林顿方程( 1 o c l d i t o ne q u a t i o n ) 肛蚓所水，个f l i ；：流环激励的的剥称线天线， kj 叟为f ，、卜住为( f ， 作波长a 。通常 “ “ ，天线表i i i f i l l 流只有轴向分量，h 只与坐 标z 订关，川，( z ) 表1 。采用磁流环馈电模型。磁流 王1 ：外卜径为 仍以，vf 山i j 激励，磁流环在天线轴向 影( z ) = 赤 箐一百e - ；k i t 2 ( 2 - - - 2 8 ) 式中r 。= 而，r ：厮。 天线由洲棚槲驴志, 1 2 i 掣州g 亿z p 膨来滁其 中，g ( 础卜等一= 扩石可罐删肝列： 刚，= 一上j 4 n c o s r ”z i ( z ) g i ( z , z 彬 ( 2 圳 g i ( 钟) = 丁e - # r 【( 1 + ， ，x 2 r 2 - 3 a2 + k2 c , 2 r 2 由于本问题的对称性质，所以选择的恭函数应该具有对称的形式，且有较 好的j f j ：则性。丽d a u b e c h i e sn ：文献 4 4 j 1 i 已经h l i l l ) j i f 交f r , j 4 , 波尺度与小波函数 不具有对称性，而正交小波支拌区域较短寸又4 f i t - l a l 时兼顾j f i 贝u 性。在此我们 选抒双j f 交小波的重f , , j j tj g l ：函数作为j , l i 晌数2 ，i f i i i ：义隔数i j 有两种选择它水身 2 汁心双i f 交小波八艘雨数矿( x ) j tj , & 97 ， 申f i i 一f l l f p , i i ) ：j l $ a 4 ：1 1 , ( f l ：交r i ： 第2 f i 贞 国防利学披术人+ 学究7 l - 院+ 学位论文 或者它的剥偶重构尺度函数1 。我f fj f l ；筇利，选抒选用根掘第三章的方法构造 的双正交6 - 6 小波重构尺度函数1 4 7 1 f i j 为艰雨数刷权两数。g a l e r k i n 方法将算子 用如下小波r i j j p 度函数展) 1 ：。甜到如m l i 乃剃i ： e z 。，。，= e ：i ， ( 2 3 0 ) 制2 - ( 2 ) ( 8 ) 线天线i c jj t 膻函数肥j i ：q 也f l ，) f 1 ：山j # 函数的j t ，堑函数波膨 根折；2 2 节的思路，选川1 2 个坫函数，我仃j 社 列入线友而电流分稚如下图所示： 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 母0 0 0 0 1 求 煺0 0 0 0 0 廿0 0 0 0 1 - 0 0 0 0 2 - 0 0 0 0 3 0 80 ，6- 04020002040 60 8 图2 ( 3 ) 刘称阶r 人线 u 流分讥i 这与文献f 5 5 】所给h j 的结果是致的。l n i i i ij ：所给例子矩阼阵元个数很少 那么，我们也就没有必要进行川蜂的抓缭。“天) ：i ! 阵l 硅缩的问题我们将在下一 章中讨论。 2 4 2 脉冲基一点匹配，基于多分辩分析数值积分算法求解波克林顿方程 对于上：宵中所描述的问题我们也i j 以j ij 脉7 i | l 堆点匹配的方法来求解。这 种方法实现简单。但要计算如i ：积分式： 乙户一j 4 删l 1 1 f 篇，。g 胁矽( 2 - - 3 1 ) 对1 ：上式，采用捧予多分魁分 j i - f i j 数f f 【彤 分竹“圳竹。t ，j _ 以得到1 0 0 1 0 0 矩阵， 广义阻抗矩阵z 是t o e p l i z e1 4 i 阵，【! ! ：川以采j lj i5 6 川t 方法直接求解也f 叮以山 下一章小波变换n 0 方泱来求解。l = f lj 给振r i 乏线表面电流分们图。 第2 i 顷 一萄一一剖一一 一一 一 父一一琴；一 溪一一 ；：，；1十；f11 v，：t i：，i j；、f；“：，誉 国防 ： + 技术人。扎盯究小院学位沦文 0 8- 0 6- 0 4- 0 20 0020 40 60 8 ：? _ ： 一一r e a l ( l = 14 7 1 ； i ， 、； 一+ 一i m a g ( l = l4 7 1 1 - z 爿、! l ； i 一 i 鬻鬻i 箔h 游i 灞i , 拳j 篱ij 髯 - 0 80 60 4020 0020 40 6 0 8 图2 一( 4 ) 列称振j ，人 旦棚f 电流分布 从图中可以看出，基于多分辩分干j m 0 闩适心数值积分算法求得结果与经典 的s i m p s o n 算法有很盘了的一致r i ：。 瞄 誉 鲫 瞄 咖 窖| 瞄瞄 窑| 洲 瞄 洲 啦 瞄 n n n a a n n n n n n n n n 怡求鼹删 国防科学披术人0 t _ 【 j f 究：i i 院。学位论文 第三章小波变换在计算电磁学中的应用 在第二章中我们介皇f 丁多八j 叟采样的概念及多尺度采样系数的计算。 而小波展，1 ：方法在求解积分力枞过榭l i ，h 义m 抗知! 阵阵元的计算，与积分方 程核的多尺度采样系数汁豹订扦l i h 川，i ：之处，小质都是积分算予在 空问中 用一组具有尺度扩展关系f 1 0 r 纰r i e s z 雉来表达。刘于脉冲基一点匹配这利- 经 典的电磁场数值计算方法，它实际。卜就是多尺度采样巾最简单的一利一，我们现 在信息科学的基础一香农采样。无论是通过小波展丌或者脉冲基一点匹配的方 法得到矩阵方程，我们接下去的：作将足j i j f 究如”陕速高效求解矩阵方程。本 章将致力于应用小波变换求解人 ；l ! 阶力年i f l q 快速钾法研究。 1 9 9 5 年r l w a g n e nw ，c h ，c h e w 九文j 从1 7 运用j f 交小波( d a u b e n c h i e s o r t h o g o n a lw a v e l e t ，d o w ) 变换求解i u 场移 分力称，获得了稀疏矩阵方程，节 省了计算机资源。但怎样商效的运门j 小波变换，什么样f l o d , 波变换效率更高呢? 1 9 9 7 年，z g x i a n g 和y l 【1 9 l i t 做了细致的研究，用 n o n s i m i l a r i t yc a r d i n a ls p l i n ew a v e l e t ( n c s w ) 变换。jd o w 变换作比较，取得了更 好的效果。1 9 9 8 年，w l g o i i k 【2 3 】应川小波包变换的思想给 i _ j 了一个更好的答 案，通过对空间的更细致的分解，求褂最优瓜缩树形结构。而国内外的其他学 者也进行了相应的探讨 2 4 1 1 3 8 1 。以l ：学辑讨沦所，的小波基函数大都来自于其 他文献，小波基的选抒是一个最根本、最关键的0 u 题。我立足于自己构造小波 基，利用双正交小波变换，努力寻求解i i ! 磁场 ： 分方程的最优变换矩i ；! f 3 9 1 。 无论是有 t i j 2 、边界元或肖矩鞋法，剑最后i i i i ；0i 结r 求解形如： z 1 = v ( 3 一1 ) 的矩阵方程。通过迭代( 如共轭梯度法) 解( 3 1 ) 而通过方程( 3 - - - 1 ) ，每次 稠密矩阵与向量相乘霈o ( n2 ) 洲起，膨元个麴 i 钾：最。而对( 3 一1 ) 进行小波 变换， z = w z h f = ( w 9 。| i y t i ，v 【3 - - - 2 ) ， 对：正交小波，w 7 = w 。t 表示个矩阼n 勺j ：6 ：1 ! 。按照给定的闽值进行矩阵 压缩，变成稀疏矩阵力+ 程。 第2 3 页 婴堕壁：兰! ! 查叁：| 三型塑竺堕：i 兰垡笙三堇 z1 = v( 3 - - - 3 ) 而求解稀疏矩阶只需要n ( i o g ，) 汁鲋f 砖。这十r 绐过小波变换方程从内存和时 间两个方面节省了计钟：j j j l 资湖! 、j 1ni 艮人时，返尤疑足一种很好的快速算法。通 过迭代( 如共轭梯度法) 解( 3 - - - 3 ) 秋得1 ，i j i i j j = w i 。矩阵截断技术获得稀 疏矩阵方程，节约了求解力程的时1 7 j j 干1 1 计篼机内行，在通过逆变换来得到原基 函数的展丌系数。 小波展丌与矩量法过私- i - ，当计算克多j t 度采样系数后，其后的i ：作与本 章所做的工作相同变换、瓜缩、求解。就足为能得到高稀疏性的矩阵方程， 实际方程的计算量山o ( 彬) 降为o ( 川僻肋。小波1 1 - 1 丁：其同有的特性( i f 交特 性、时频局部化、多j t 度分析、消火) 被 1 ：山解算予方程的j i i 交展) l ：基，通 常情况下，只有为数4 ：多的小波有显- ，他汁算j 、邴郴乍元过程中大照的数值积 分占用了许多时问，即使在进步分解过程- 1 l l j 以应用快速算法。小波变换方 法采用一般的基函数( 如脉冲綦) ，利川点选眦的方法，在小波变换的过程中， 我们希望所使用的小波具有- 铺阶的消失矩，逆变换的过程t f j t i我们又希望在 逆变换的过程中所使川的小波j 有较女r 的i l l i t ! i j 性。紧史撑的征交小波研：能同时 具有较高的消失矩与良好的小则性，并儿紧支j 掌的m 交小波波形足不别称的。 现在已经发表的文章火多利川d a u b e c h i e si l ! 交及双矿交小波变换解矩阼方程。 在木章中，我们从矩阵分析发 3 8 1 3 9 1 1 4 7 j 构造了一组很有意义的戏i f 交小 波基，它的滤波器组很有特色，因为0 分解j tj 迎嘲数与小波函数不收敛，超出 了一般小波的定义，我们将其定义为超小波，；l l ：超小波的超小波变换的引入， 提高解方程的效率。 本章第l 部分将介绍小波和小波他变换矩阶的构造，定义超小波的概念并 给出一组很有意思的超小波丛和它的伙速算法。筇二部分应j n 小波变换解导体 的散射问题，从多分辩分析的角度，分析小波j 成广义阻抗矩阵的物理含义，对 矩阵的稀疏性加以讨论结果i j l 明，小波基本身特性决定了变换后的矩阵稀疏 性，而计算效率与矩阼的稀疏性和问题人小所选小波滤波器长度相关。在第二 部分的后半部分，简晰的介 “利用超小波变换水汁算一个分空问为两个相同半 空问平面导体双缝耦介问题1 3 9 】，从数j ! 【结果的讨沦巾，展示超小波变换基的 优越性，最后得出一些结论) 1 ：引仲 j i 训题科待以后讨论。 第2 4 j j ： 里! 堕型三兰些查尘堂业壅生堕鲎生笙苎 3 1小波及小波包变换矩阵的