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基于自适麻滤波的胎儿心电信引足取 摘要 胎儿心电信号是各种生理信号中常见的一种，在临床诊断胎儿宫内缺氧、 胎儿心脏病等有着非常重要的意义。但从母体体表提取到的胎儿心电信号往往受 到各种噪声的严重干扰，其中最主要的几种干扰为母体心电信号( m e c g ) 、5 0 h z 工频干扰、基线漂移。本文以胎儿心电信号( f e c g ) 为研究对象，采用自适应滤 波算法将胎儿心电信号从复杂的噪声中提取。 文章首先说明了选题的背景及意义，并介绍了基于自适应滤波的胎儿心电 信号提取的国内外研究现状，然后对胎儿心电信号特点及其所含主要噪声( 5 0 h z 工频干扰、母体心电信号、基线漂移、强噪声) 产生的原因及时域频域特性作了 分析研究。 在分析了信号和所含噪声的特点后，针对信号和噪声的特点对信号进行相 应的滤波处理。本文采用应用广泛的自适应滤波算法，本文研究了最小均方( l m s ) 算法，其有计算简单、容易实现等优点，但是其收敛速度慢。本文又研究了最小 二乘( r l s ) 算法，虽然r l s 算法具有收敛速率快滤波效果好等优点，但其计算量 却大大地增加( r l s 计算量为m 2 ，l m s 算法计算量为2 m ，m 为滤波器的阶次) 。 因此本文采用最小二乘快速横向滤波( f t f ) 。经过理论研究和计算机仿真得出： f t f 算法的收敛速率与r l s 算法相当，但其计算量却大大降低( f t f 算法计算量 为8 m ，m 为滤波器的阶次) ，且滤波性能较r l s 算法好。 用计算机及m a t l a b 软件作了心电信号滤波和胎儿心电信号提取的仿真研 究，对仿真效果作了分析讨论。最后对实测数据进行f t f 自适应滤波，从滤波结 果中可以看到胎儿信号中的母体心电信号得到了很大的抑制，得到了令人满意的 结果。 文章最后进行了本文工作的总结并对以后的工作做了展望。 关键词：胎儿心电信号( f e c g ) 、母体心电信号( m e c g ) 、最小均方( l m s ) 、 最小二乘( r l s ) 、最小二乘快速横向滤波( f t f ) 、5 0 h z 工频干扰、基线漂移。 郑州大学t 学硕l + 论文 a b s t r a c t f e t a le l e c t r o c a r d i o g r a m ( f e c g ) i st h ec o m m o no n eo fp h y s i o l o g i c a ls i g n a l i th a s m u c hc l i n i c a l s i g n i f i c a n c ei nd i a g n o s i so ff e t a lo x y g e nd e f i c i ti nw o m b ，f e t a l c a r d i o p a t h ya n ds oo n b u tt h ef e c ga c q u i r e df r o mt h es u r f a c eo f m o t h e rb o d yo f t e n c o n t a i n s m a n y n o i s e ss u c ha sm o t h e re l e c t r o c a r d i o g r a m ( m e c g ) ，p o w e rl i n e i n t e r f e r e n c e ( 5 0 h z ) a n db a s e l i n ew a n d e r t h i sa r t i c l et a k e sf e t a le l e c t r o c a r d i o g r a m s i m a la sr e s e a r c ho b j e aa n da s e st h ea d a p t i v ef i l t e r i n ga l g o r i t h mt oe x t r a c tf e c g f r o mt h ec o m p l e xn o i s e t h ea r t i c l ef i r s ti n t r o d u c e sr e s e a r c h b a c k g r o u n da n di t ss e n s e a sw e l la s i n t e r n a t i o n a lr e s e a r c hc o n d i t i o no fe x t r a c t i n gf e c eb a s e da d a p t i v e f i l t e r i n g t h e p a p e ra l s or e s e a r c h e st h ee h a r a e t e r i s t i eo f f e c gs i g n a la n dt h en o i s e s a f t e ra n a l y z i n gt h ec h a r a c t e r i s t i co ff e c gs i g n a la n dt h en o i s e s ，t h en o i s e si s f i l t e r e di nv i e wo ft h ec h a r a c t e r i s t i c t h ea r t i c l ef i r s td i s c u s s e st h ew i d e l yu s e dl e a s t m e a ns q u a r e ( l m s ) a d a p t i v ef i l t e r i n ga l g o r i t h m , a n dd i s c u s s e st h er e c u r s i v el e a s t s q u a r e ( r l s ) a d a p t i v ef i l t e r i n ga l g o r i t h mb e c a u s eo fs l o wc o n v e r g e n c er a t eo fl m s a l g o r i t h m a l t h o u g ht h er l sa l g o r i t h mh a sg o o dq u a l i t i e so fc o n v e r g e n c er a t ea n d f i l t e re f f e c t ，t h er l s a l g o r i t h mi sv e r yc o m p l e x i t y ( r l s ：m2 ，l m s ：2 m ，mi st h es t e p o ff i l t 哪s ot h i st h e s i su s e st h ef a s tt r a n s v e r s a lf i l t e r ( 兀下) a d a p t i v ea l g o r i t h m i t h a sg o o dq u a l i t i e so fc o n v e r g e n c er a t ea n ds m a l lc o m p u t a t i o nq u a n t i t yf f t f ：8 m , r l s ：m2 ，mi st h es t e po ff i l t e r ) f u r t h e rm o r et h ef i l t e re f f e c to ff t fa d a p t i v e a l g o r i t h mi sb e t t e rt h a nr l sa l g o r i t h m h a v i n gd o n et h es i m u l a t i o nr e s e a r c ho nf i l t e r i n ga n de x t r a c t i n gf e c gs i g n a l u s i n gt h ec o m p u t e ra n dm a t l a bs o f t w a r e ，a n dd i s c u s s e dt h es i m u l a t i o nr e s u l t f i n a l l y c a r r i e so nt h ef t f a l g o r i t h mt ot h em e a s u r e dd a t a i tc a nb es e e r lt h a tt h em e c gi s w e l lr e s t r a i n e df r o mt h er e s u l t t h es a t i s f y i n gr e s u l ti so b t a i n e d a tl a s t ，r e s e a r c hr e s u l t sa r es u m m a r i z e da n d e x p e c t a t i o ni sp r o v i d e d k e yw o r d s ：f e t a le l e c t r o c a r d i o g r a m ( f e c g ) ，m o t h e re l e c t r o c a r d i o g r a m ( m e c g ) ， l e a s tm e a ns q u a r e ( l m s ) ，r e c u r s i v el e a s ts q u a r e ( r l s ) ，f a s tt r a n s v e r s a lf i l t e r t f ) ，p o w e rl i n ei n t e r f e r e n c e ( 5 0 h z ) ，b a s e l i n ew a n d e r 1 1 摹干自适戍滤波的胎儿心电信号提取 1 绪论 1 1 本课题的研究背景及意义 回顾作为心电f 虱( e c g ) 的一个分支胎儿心电图( f e c g ) ，可以看到由于 f e c g 测量的复杂和困难，其发展不如e c g 那样成熟，且只有5 0 多年的历史。 在很长一段时间，人们就想通过一些方法来了解胎儿在母体内的状况，例如 多普勒超声波法在孕期l o 1 2 周能检测出胎儿心跳，但是没有一种超声波法能提 供有价值的胎儿心电记录l i 儿“。然而，在很多情况下可靠易读的f e c g 能帮助医 生很好的诊断胎儿状况。在围产期中，特别在临产和分娩过程中，胎儿由于脐带 挤压或其它原因造成暂时性缺血、缺氧是引起胎儿窒息、智力迟钝、呆傻甚至死 亡的主要原因。这种分娩综合征的临床表现必定直接反映在胎儿心电图、心率的 异常中，通过围产期f e c g 监护可以及时发现胎儿异常，以便采取措施。因此， 尽管f e c g 的测量十分困难，科学工作者始终峰持不懈地进行研究，到目前为止， 胎儿心电图围产期监护已取得较大进展。 胎儿心电图的临床意义主要有： 1 、诊断双胎f e c g 描记单上出现两套胎儿心电图，各有其特征。 2 、诊断胎位根据q r s 综合波群的主波方向可以判断胎儿是头位或臀位。 3 、诊断胎儿心动过速或心动过缓根据q r s 主波问期的时限，判断胎儿心 动过速或心动过缓。 4 、估计胎儿大小根据q r s 的时限长短和振幅高低，初步估计胎儿大小， 如正常范围或巨大儿或胎儿宫内发育迟缓。对溶血性贫血的胎儿，可通过多次复 查胎儿心电图，分析q r s 波群的时限变化和振幅改变，判断贫血的严重程度和 预后。 5 、诊断胎儿窘迫早期缺氧，胎儿可通过加快胎心率代偿，心电图表现为 r - r 自j 期缩短；晚期缺氧，表现为r - r 间期延长，胎心过缓；当出现代谢性酸中 毒时，s t 段明显压或抬高。 6 、初选胎j l , l , 脏病如p r 问期延长、胎心率减慢，q r s 波增宽持续存在， 考虑严重的先天性心脏病或心脏传导阻滞，心脏扩大，心肌肥厚增生等，应该进 一步做超声心动图检查胎儿心脏结构是否异常。 7 、诊断胎儿心律失常当临床发现心脏停搏、心律不规则等情况，应立即 做胎儿心电图，可发现r - r 间期不等，如胎心率变化范围超过2 5 - - 3 0 b p m ，还可 郑州大学t 学顾上论文 发现早搏，二联律或三联律，当出现早搏多于6 m i n 时则为频发性早搏。f e c g 表现为q r s 综合波提前出现，波后有较长时间的代偿间隙。 总之，胎儿心电图检查是对胎儿宫内安危状况监测的有效手段，是胎儿健康 状况的直接反映，有较高的诊断应用价值，对胎儿异常的检测成功率达9 0 以上。 由于其检测方法简便、无创伤、可重复，为临床医师所认可，结合其他手段如超 声波检查等能更好地为临床服务。 1 2 本课题的国内外研究现状 第一次关于记录到f e c g 的报道见于1 9 5 3 年，许多国外学者作了大量工作。 妊娠妇女的腹部心电信号包含母体心电信号( m e c g ) 、胎儿心电信号( f e c g ) 、呼 吸信号、宫缩信号和胎动产生的基线漂移。经过多层组织的传导衰减，从腹部测 量到的信号幅度只有l o 5 0 左右。由于发育过程中心脏增大和胎脂等的生长， 记录腹部胎儿心电幅值将随着妊娠周数的增加而变化。通常心率是一个随机变 量，胎儿心电波形也是随机变化的。 在众多噪声中母体心电信号对胎儿心电信号的干扰最为严重，因为胎儿与母 亲的一1 5 电频谱在相当范围内重合，在时域中有3 0 的f e c g 的o r s 波与m e c g 的q r s 波重合。如果想滤除母体心电信号，常常把胎儿心电信号的有用成分也 附带滤除，常常表现为胎儿心电信号r 波削峰或s t 段信息丢失等，这是胎儿心 电信号提取的最主要的困难。 因此如何在不损伤胎儿心电信号有效成分下很好的滤除母体心电信号成为 国内外研究的热点。其中最主要有两个大类方法：一、把母体信号看作噪声采取 一些滤波方法( 匹配滤、波【引、自适应滤波i 4 1 和修正自适应滤波m 6 j 等) 将其滤除； 二、把母体信号和胎儿信号看作两个独立信号采取一定方法( 盲源分离( b s s ) - v 、 独立分量分析( i c a ) 【1 0 】【l l 】和奇异值分解( s v d ) 1 1 2 】【1 3 】等) 将其分离。 第一大类主要就是采用匹配滤波和自适应滤波技术。匹配滤波法的基本方法 是，从腹部信号中用阈值检测法检测出母体心电q r s 波群，然后将检测到的母 体心电波，制作成一个模板( t e m p l a t e ) ，由腹部信号减去这个模板以消去母体心电。 难点是这个减法要求有很高的精确度，因为母体心电幅值比胎儿心电大得多，是 两个大数相减，余下的是小数。对于母体心电中不存在胎儿心电者，减去后的剩 余值不能出现胎儿心电的伪迹，若该母体心电q r s 波中融合有胎儿心电者，则 减去后应剩下胎儿心电。自适应滤波技术，可以在没有( 或很少) 信号先验统计知 识的情况下，逐步递归计算而逼近最佳滤波效果。胎儿心电( f e c g ) 信号的自适 应处理法的原理是：把母体心电信号作为参考输人进行自适应滤波运算，最后将 基于自适应滤波的胎儿心电信号提取 母体心电抵消。其优点之一在于：若用宫底电极输人作为参考信号，它基本上没 有胎儿心电，而却包含母体心电和腹部肌电噪声，这样可以在消除母体心电的同 时又能尽可能地抵消现电噪声。 第二大类主要应用独立分量分析和奇异值分解等技术。盲源分离技术是信号 处理领域的一个活跃分支。它是指在既不知道源信号的分布，又不知道源信号的 混合模型的情况下，仅利用一组已知的源信号的混合信号，来恢复或提取独立的 源信号。这里的胎儿心电信号和母体心电信号为独立的源信号，因此可以应用这 种方法作为提取胎儿心电信号的方法。 国内外最先研究的是匹配滤波【l4 j ，由于匹配滤波要求很高的精度其后出现 了自适应滤波法，后又对自适应滤波法作了一些改进，现又把盲源分离、独立分 量分析、奇异值分解等方法引入其中。自适应滤波其有计算量小、收敛速度快等 特点，但是提取到的胎儿心电信号往往混有未滤除完全的母体信号，且不能有效 地提取胎儿心电信号的s t 段信息。只用在一些对结果信号没有太高要求，但对 实时处理要求很严格的地方应用比如远程诊断设备或便携式诊断仪器l i 刈中应 用。b s s 、i c a 和s v d 方法虽然能取得较好的效果但是由于其计算量巨大，很 难进行实时处理，因此这些方法只是停留在理论的研究或应用在一些对实时处理 无要求的地方。 1 3 本文的主要工作 作者在硕士论文研究期间，对自适应滤波在胎儿心电信号提取中的应用作了 一些探索，研究内容主要包括胎儿心电信号特征及噪声分析、自适应滤波的理论、 算法，并通过计算机仿真得出了有意义的结论。所完成的主要工作分下面几个部 分 1 通过对实际胎儿心电数据分析及大量文献检索，分析胎儿心电信号的特征 及所含噪声的特点。 2 通过对干扰信号的分析，设计了抑制m e c g 等干扰信号的自适应滤波方案， 即采用计算量较小、收敛速度快的自适应滤波算法( f t f 自适应改进算法) 进行 m e c g 等干扰信号的滤波。 3 对衡量自适应滤波算法优劣的三个重要的技术指标初始收敛速度、时 变系统跟踪能力及稳态误差进行了分析和研究。用f t f 自适应滤波算法与r l s 算 法和l m s 算法进行比较和研究。 4 用仿真数据和实测数据进行胎儿心电信号滤波及提取研究。 郑州大学丁学硕十论文 2 胎j l , l , 电信号及所含噪声特征分析 2 1 胎儿心电信号分析 图2 1 是胎儿心电波形的一个周期，下面给出一些j 下常胎j i a ) 电图和异常胎 j l 6 电图的特点。 t 苔一 图2 1 正常胎儿心电图 f i g2 1f e t a le c g q r s 1 、正常胎儿心电图 胎儿心率为1 2 0 - 1 6 0 b p m ，一分钟的差异为5 - 3 0 b p m ，因此r r 间距有微小的 差异。q r s 波时限为0 0 2 0 0 6 s 。 2 、异常胎儿心电图 ( 1 ) 、胎儿心动过速：即胎儿心率大于1 6 0 b p m ( 持续3 0 分钟以上) ； ( 2 ) 、胎儿心动过缓：即胎儿心率小于1 2 0 b p m ； ( 3 ) 、胎儿心率不齐：胎儿心率变化范围超过2 5 3 0 b p m ； ( 4 ) 、q r s 时限赠宽：即q r s 时限大于o 0 5 0 6 s l ( 5 ) 、s t 段改变：即s t 段上移或下移5 v 以上； ( 6 ) 、r 波振幅增高：r 波振幅平均值大于3 0 v ； ( 7 ) 、胎儿心脏早搏：3 0 s 内出现三次以上； ( 8 ) 、早搏：q r s 波提前出现。 4 基于自适戍滤波的胎j l , 6 , 电信号提取 2 2 心电信号中的噪声分析 从体表采集到的心电信号中往往混杂有多种噪声。在很多情况下心电信号已 经完全淹没在噪声中，这给我们的分析处理带来了很大的不便。所以我们应该首 先认识所含的噪声，从而采取相应的方法尽可能的把这些噪声滤除掉。在对病人 进行监护的环境中，可能对e c g 信号造成干扰的噪声有以下几种： 2 2 1 母体心电信号 人体上有种种电现象混杂在一起，某一生理量有时是信号，而在另一场合则 可能是噪声。例如在测量e c g 信号时，肌肉紧张收缩所引起的肌电信号就构成 了对e c g 信号的干扰。国外学者研究指出，在人体表皮层的内、外存在着典型 值为3 0 m v 的皮肤电势。当皮肤伸张时，皮肤电势降低到大约2 5 m v ，这5 m v 的皮肤电势变化反映到e c g 中，即为人们观察到的由于肌肉收缩舒张所产生的 噪声。由于肌肉收缩所产生的电势仅为毫伏级水平，所引起的基线漂移通常在微 伏水平上，因此对于e c g 监视而苦其意义并不是十分明显。另外，这种干扰的 频率比较高，其范围可从d c 1 0 0 0 h z ，例如人体在提取重物的时候，就会产生 此类高频肌电噪声。 母体腹部信号 01 0 0 02 0 0 03 0 0 0 l 一 4 0 0 05 0 0 06 0 0 07 0 0 08 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 点数( r 1 ) 图2 2 在母体腹部测得的心电信号 f i g2 2f e t a le c gw i m m o t h e re c g 5 一 ，蚍引ii ，iiid ，。旷 5 1 5 0 5 1 5 ， 0 一 郑州大学工学硕士论文 另外一种生理噪声就是在测量胎儿心电信号时的母体心电信号的影响。通常 对孕妇进行产前检查的时候，需要探测胎儿的心电并记录心电图，判断是否有异 常情况。胎儿的心电通常是通过置于母亲腹部的电极得到的，由于母亲自身的心 电信号比胎儿的强约2 至1 0 倍，对胎儿心电来说是很大的干扰源，如图2 2 所 示。目前也有很多方法来消除这种干扰，最典型的就是自适应滤波【2 2 1 。 2 2 2 工频干扰 工频干扰主要由室内的照明及动力设备影响到人体的分布电容所引起。如图 2 3 所示，其中的毛刺就是受到5 0 h z 交流的干扰。 5 0 h z 工频干扰 06 0 0 - 0 4 0 0 2 0 0 0 l j j j ji i ，i i io i i j 矧i i i i l l i 。i i v ! ii 。i 。 l l i t l u i q 04 02 0 3 04 05 06 07 08 09 0 频率( h z ) 图2 3 工频干扰的心电图 f i g2 3e c g w i t hp o w e r - l i n ei n t e r f e r e n c e 对于一个给定的测试环境而言，我们可以将这种干扰区分为频率和幅度两大 部分【1 6 j ：其频率成分包括5 0 h z 基波( 某些国家为6 0 h z ) 及其各次谐波成分；其幅 值成分在e c g 峰幅值的0 5 0 范围内变化，因其频率也处于绝大多数生理变量 的频带范围内，所以提高抗工频干扰能力也是从事生物医学工程人员所要追求的 目标。目前抗工频干扰的方法很多，如频域叠加平均【l “、5 0 6 0 h z 陷波、小波变 换【m j 、自适应滤波l 1 ”1 1 等。 0一沁。 基于自适应滤波的胎儿心电信号提取 2 2 3 基线漂移 基线漂移是e c g 信号测量中所存在的最主要的干扰之一。无论是人体的移 动、呼吸还是电极接触不良等情况都会造成e c g 信号偏离原来的基线水平而发 生漂移的现象。尤其是在运动心电的测量中，如何去除基线漂移是个非常关键 的问题。这种干扰的频率往往在0 5h z 以下“，通常低频干扰可以用高通滤波 器来进行滤波，但是由于心电信号的频率范围是0 0 5 h z 到1 0 0 h z 之间，高通滤 波器在消除基线漂移的同时也会滤除掉有用的心电信息，对诊断造成影响m “。 ，二 o 存在基线漂移的心电信号 5 0 01 0 0 01 5 0 02 0 0 02 5 0 03 0 0 03 5 0 0 4 0 0 04 5 0 0 点数( n ) 图2 4 基线漂移的心电图 f i g2 4e c g 、i t l lb a s e l i n ew a n d e r 常规的心电图机采用r c 滤波的方法来消除基线漂移，即让病人保持不动， 等基线稳定以后再进行描述，显然这种方法用于计算机对病人进行长期监护是不 适宜的。用数字滤波的方法可以补偿基线漂移，但如截止频率太低，则无法很好 地消除基线漂移，而截止频率选的太高，会使s - t 段定义波形发生畸变删。此 外文献记录的基线漂移抑制方法还有白适应滤波【2 4 】、小波变拱2 5 】【2 6 1 、基线拟合 【2 7 】等方法。 7 0 11“驯剥引hj j ； liiio0iii肌iiji； 0 。i fj川w0，f v i iii驴邢f v l，0；0i肾i；， 一铲 ：l，：if 、i n 0琳i ii黻护。 ，i i瓢r0i ；， r j 1iojj_=q， 、二h； ；0；0iiii镕hii；l， il虬f 郑州大学工学硕士论文 2 2 4 其它噪声 人体大体上可作为导体来考虑接上电极导线就会起到收信天线的作用，它 接收无线电波以及高频设备来的电磁波。由于放大器特性的非线性，它可以把高 频信号检波从而构成对心电信号的干扰。在使用高频手术电刀时，身体界面相当 于一个整流器，它检出高频载波中的低频包络成分，该成分进入心电监护仪，形 成干扰，使监护仪丧失心电监护的功能副 2 9 o 另外，在使用除颤器的时候，电 极输入端会出现幅度为数千伏、持续时间为数毫秒的高压脉冲p ，如果不采取 适当的措施，不仅仅会影响到病人的监护，甚至会损坏输入端的器件。携带h o l t c r 的患者，如果遇到周围有大型电器的开关等电磁场干扰，也会出现心电信号被噪 声完全淹没的情况。 存在强噪声的心电信号 图2 5 被强噪声淹没的心电图 f i g2 5e c gw i ms t r o n gn o i s e 图2 5 是一段被强噪声淹没的心电信号，可以看到，心电信号几乎完全被淹 没，不能够检测出q r s 波，影响心率的计算。的计算复杂度高，在实用中用得 最多的仍然是线性自适应滤波器。 基于自适应滤波的胎儿心电信号提取 3 自适应滤波算法 对自适应滤波算法的研究是当今自适应信号处理中最为活跃的研究课题之 一。自适应滤波算法广泛应用于系统辨识、回波消除、自适应谱线增强、自适应 信道均衡、语音线性预测、自适应天线阵等诸多领域中。寻求收敛速度快，计算 复杂性低，数值稳定性好的自适应滤波算法是研究人员不断努力追求的目标。其 中较典型的几种算法包括：最小均方( l m s ) 自适应滤波算法、最小二乘( r l s ) 自适应滤波算法、变换域自适应滤波算法【3 1 】【3 2 1 、仿射投影算法【3 3 。3 6 1 、共扼梯度 算法【j “、基于子带分解的自适应滤波算法p 5 j 、基于q r 分解的自适应滤波算 法【4 2 】脚】和其它一些自适应算法【4 5 。5 0 1 。 3 1 最小均方自适应滤波算法 3 1 1 算法原理 在自适应滤波器的诸多实现形式中，受到最广泛应用的就是由w i d r o w 和 h o f f 提出的随机梯度算法。这种算法就称为最小均方( l m s ) 算法。如图3 1 为自 适应滤波模型。 圈3 1 自适应滤波模型 f i g3 1m o d e lo f a d a p t i v ef i l t e r i n g d 玎) 其中d ( n ) 为滤波器的主输入通道的输入，其是原信号s ( n ) 与噪声r ( ，1 ) 的混合 信号；x ( n ) 为滤波器的参考通道的输入，n ：( ”) 是。( n ) 的强相关信号；c ( n ) 是滤波器 的输出y ( n ) 相对于d ( n ) 的误差。其表达式为： 一i y ( ，1 ) = 嵋( h ) 工( n f ) i = 0 9 ( 3 1 1 ) 郑州大学t 学硕士论文 e ( n ) = d ( 厅) 一y ( n ) ( 3 1 2 ) 由此可得瞬时均方误差可表示为： 善= 目e 2 ( n ) 】 其有效估计值为 善= 矿( ”) 这样我们可以得到 旷( 露+ 1 ) = 矿( h ) 一p v e 2 ( h ) ( 3 1 3 ) 这罩妒( n ) = 【w 0 ( n )w l ( ) w n 一。( n ) 】r 为权向量，声为一常数( 0 p 一， k 是x ( n ) 相关矩阵的最大特征值) 。耻【杀毒嘉】7 是均方误差 善= e e 2 ( n ) 】相对于权矢量w ( n ) 的梯度。 这里第i 个元素的梯度向量乳2 ( 行) 为 尝掣：2 p ( n ) 是盟：_ 2 p ( 玎) 是熊：- 2 e ( n ) x ( n o ( 3 1 4 ) l t w i 口哗。哗 这样v e 2 ( n ) = 一2 p ( ) i ( 玎) 这里i ( ，1 ) = 【x ( n ) x ( n 1 ) x ( n n 1 ) 】1 最终可以获得i 矿伽+ i ) = 矿( h ) + 2 e ( ，1 ) i ( ，1 )( 3 1 5 ) 其作为l m s 算法的权值递推公式。 l m s 算法可概括为：