（计算机应用技术专业论文）小波变换在图像压缩中的应用.pdf

硕士学位论文 凇s t e 文st h i l s s 摘要 黧檬疆缭编鹂羧零成为蘧代劳搽侮爱逶整镶域孛懿美穗接洙之一，鼗瓣甚 出现多种数据压缩技术。小波变换怒凝年来兴趣的一种新的惯母分析工具，隈 英壳簸了蒋立变换弱髑黻毪，量鏊窝蘸簿瓣聪鲻瞧霞窝多分辨攀注， l 露褥溺 逐速蓑鼹鞠广泛应臻。嵌入式零褥簿法是嚣蔫较淹有效戆粪法之，它遴避对 小波交换磁蛉系数姆点进圣亍分析，并对其进行谢效组织和编鹕，米提高缡鹂效 率。 本文蒋先论述了瞬橡数据箧缀黪必簧牲黎露行煌，对枣激漆换瑾论及黟豫 蓬缭慧戆避行了讨谂，戈其讨论了夺波交换豹劳努辫率分瓣燃埝强快速m a l l a t 冀蘧，并瓣传统夔缝魏黪嚣豫缩秘技术递行了练述。 其次，对小波黛撩实现图像鹾辅的特点进行了讨论和分概，雀此基础上嫌 嚣了小波焚换实璃鬻德数箨基缩辩驹簸步骤鞫歹t 令雾要考虑熬滔霆。 簸嚣，对基于夺演变换兹嵌天式零褥算法避杼了详绥鹣势褥释讨论，静瓣 零撼葵法靛一些不足，静没有充分剥矮小渡交换躺婚点、入凝视觉特征敷拣鬣 建鎏豫边缘产生g i b b s 效应等，攥濑了一耪基予零褥莫注魏淑避彦法，繇潺避 对逮缘避行检测慕对潜褥进行羚黉。 关键溺：嚣稼缀秘、枣滚交羧、滤波器、嵌入式零爨雾浚、势类、绩嗓魄、 蓬缭率 a b s t r a c t i m a g ec o m p r e s s i o nt e c h n o l o g yi so n e o ft h ek e y p o i n t si nm o d e m m u l t i m e d i a a n dc o m m u n i c a t i o n a r e a 鞋p r e s e n t ，t h e r e a r e m a n yt y p e s o fc o m p r e s s i o n t e c h n o l o g i e s w a v e l e t t r a n s f o r mh a sb e e nb e c o m ean e ws i g n a l a n a l y s i st o o l ， b e c a u s eo fo v e r c o m i n gt h ef o u r i e r sl i m i t a t i o na n dh a v i n gf e a t u r e so fg o o d t i m e - f r e q u e n c ya d a p t i v ea n dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s 。w a v e l e tt r a n s f o r m h a sb e e n q u i c k l yd e v e l o p e da n dd e e p l ya p p l i e d ，a tp m s e m ，e z wi s o n eo fe f f i c a c i o u s a l g o r i t h m si t c a ni m p r o v ei m a g ec o d i n ge f f i c i e n c yb ya n a l y z i n ga n df o r m i n gt h e m o d u h i so f w a v e l e tt r a n s f o 黼 f i r s t ，w es u m m a r i z et h en e c e s s a r y a n dw o r k ，d i s c u s st h et h e o r yo fw a v e l e t t r a n s f o r ma n dc o n c e p te s p e c i a l l y , e l a b o r a t i n gt h et h e o r yo fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s a n dm a l l a t sf a s ta l g o r i t h m i nt h ee n di n t r o d u c i n gs e v e r a lc l a s s i c a li m a g ec o d i n g t e c h n o l o g y s e c o n d ，b yd i s c u s s i n ga n da n a l y z i n gt h ec h a r a c t e r i s t i co fi m a g ec o m p r e s s i o n b a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m ，w es t u d yt h em e a s u r e sa n ds e v e r a lq u e s t i o n st h r o u g h w a v e l e tt r a n s f o r m 。 f i n a l ，w em i n u t e l ya n a l y z ea n dd i s c u s st h ea l g o r i t h me n c o d e d z e r o t r e e w a v e l e t t h i n k i n go fi t ss h o r t c o m i n g ，f o re x a m p l e i tw a sn o t f u l l y u s et h e c h a r a c t e r i s t i co fw a v e l e tt r a i l s f o r m ，h u m a nv i s u a ls y s t e m ，i tw i l lr e d u c et h eg i b b s p h e n o m e n o n t os o m ee x t e n t ，w h i c ho c c u r s nr e g e n e r a t e di m a g ee d g ea n da sw e l t ， ai m p r o v e da l g o r i t h mh a sb e e nu s e d b ye x a m i n i n gt h e i m a g ee d g e ，w ec a l l d i s t i n g u i s ht h eh i 曲f r e q u e n c yn o i s e sa n d v a r i o u sd i r e c t i o n s ，f i n a l l yz e r o - t r e e sh a v e b e e n c a t e g o r i z e d a n di th a v e b e e nc o d e d k e yw o r d ：i m a g ec o d i n g w a v e l e tt r a n s f o r mf i l t e re z wc l a s s i f i c a t i o n p s n rt h ec o m p r e s s i o nr a t i o 1 l 硕士学位论文 凇s t e 文st h e s 5 郑重声明 本人憋学位论文楚在导委摹指警下撰写熟，学整论文没有黧窃、 抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人愿意承担 由此丽产生鲍法律赛任和法律艨果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ：冯岩多为参 2 0 0 4 年5 月1 8 号 硕士学位论文 m s r e r st h e s i s 1 1 引言 第一章绪论 近年来，随着计算机和网络通信技术的迅速发展，人们对各种信息的需求 不断增长，尤其是对视频和多媒体信息，而图像信息在信息传输和存储中占有 很大比例，其图像数据量也占有很高的比例。图像数据本身的信息量是很大的， 如仅一幅分辨率为5 1 2 5 1 2 ，灰度等级为2 4 b i t 的黑自图像占7 6 8 k 字节，其 彩色图像则占3 m 字节，而在网上传输或卫星传送的图像的数据远大于此，试 想若要保存这些图像该需要多大的存储空间。多媒体图像信息的数据量也非常 大，据计算，一张6 5 0 m 字节的光盘仅能存放2 0 秒左右的6 4 0 4 8 0 像素的图 像信息。 在现代通信中，图像的传输己成为必不可少的内容。例如：一幅分辨率为 7 2 0 x 5 7 6 的彩色图像( 2 4 b i t 像素1 的数据量约为9 6 m b i t 。若要进行实时传递， 即使使用传输率为1 0 0 m b i t s 的光纤也很难满足要求；其用6 5 0 m 的c d - - r o m 光盘进行存储，若以每秒2 5 帧的速度更新画面，以2 4 9 m b i t s 的速度处理和传 输，也只能存储2 6 秒的内容。除了一些硬件要求外，其图像传输的实时性将 是重要的技术指标，如没有足够的存储空间和传输效率是很难在计算机和网络 中进行有效传输。因此，如不对图像进行有效处理，大量的图像信息的存储和 传输是难以实现的，计算机及网络的发展也会受到限制。因此对图像进行有效 压缩是在一定的硬件前提下提高通信速度的重要手段。 要想在信息时代让计算机及多媒体网络为我们提供更便捷的服务，必须对 图像进行有效地处理。当然，解决这个问题可用增加存储器的容量和通信信道 的带宽及提高计算机的运算速度等办法来解决，但却不是一个有效实用的办 法，其根本的解决方法是在保证数字图像质量的前提下，最大限度地降低数字 图像的数据量，使其在存储和传输中的数据量尽可能地小，即必须对数字图像 进行有效压缩。因此，对图像进行有效压缩已受到越来越多的关注，探索更为有 效的图像压缩技术就成了首要任务之一。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 到目前，对数字图像进行压缩已有很多的方法，如h u f f m a n 编码、游程编 码、矢量量化、分形编码、傅立叶变换等，针对不同的情况，各种方法都有自 身的特点。但发展最快的是小波理论的出现为图像压缩提供了更为有效的途径 和更为广阔的应用领域，它已广泛地应用到许多学科，如：信号分析、图像处 理、边缘检测、计算机识别等许多方面。 1 2 图像压缩的可能性 因为图像中像素之间，行、列及帧之间存在着较强的相关性，从而为图像 压缩提供了可能。从信息论的观点看，图像信源的数据信息除了有效信息外， 还包含了大量的冗余信息和不相干信息。可采取一定编码方法，去掉这些冗余 信息和不相干信息来减少这些图像的数据总量，以达到压缩图像数据的目的。 从统计观点讲，图像的各像素之间，存在着一定的相关性，如背景中可取同一 灰度值，某种位置或相邻像素的灰度相同或相近，应用某些编码方法减少这些 相关性，便可达到数据压缩的目的。例如：3 0 个灰度级均为1 2 8 的连续像素， 压缩前需要3 0 个字节的存储空间。若用“起始位置，连续个数，灰度级”格 式的编码方法，并假定像素坐标、连续像素个数变量占3 个字节，则压缩后数 据流长度为3 3 b i t ，压缩比达到8 6 3 。而图像可用一个多维函数来表示，可通 过对这个多维函数进行变换来减少数据量进行压缩描述以减少其信息的相关 性。另外，根据人眼的视觉特征，人眼视觉对某些图像信息不敏感，即使去掉 某些信息人眼也不易觉察，因而人眼的这种视觉效应也为图像压缩提供了可 能。 1 3 国内外研究现状 人们对图像压缩编码的研究已有近半个世纪，此间新的理论和算法导出不 穷。图像压缩的根据是数字化后的图像数据存在各种冗余，如空间冗余、熵冗 余、视觉冗余和结构冗余等。压缩技术根据是压缩后的数据是否有失真分为无 损编码和有损编码两大类，为了得到较高的压缩率，只能采取有损编码，传统 的有损编码主要有：预测编码、变换编码、熵编码等，随着图像压缩技术的不 壤士挲谊论文 凇s 琵袅s 燕s i s 叛茨囊及掰羧零藜窭懿，产生了赫蕊蕊蘩方法，熬褥经嚣终运藕褰褥、分形臻 ， 骚、枣滚受羧绽鹃等，冀孛滤波窝缀壤褥是主整翳弱年发囊起寒蕊一耱黼藩 压缩编码方法，以其良好的时颓局域性迅速得到广泛应用，如信号戆理、图像 处理、模式识别、语音识别等，并嫩褥了可喜成果。 1 4 本文内容安籍 论文绪论部分主簧时论了图像愿黼的可能健、必要性及麟游外研汽船璐 姣。 论文蘩二章踺枣渡变换琏谂送抒了陡较垒嚣鼹瀚透。 第三誊费缨了蓬豫基缡缡蕊酶耩零理论。 蘩嚣攀势螽了枣液交羧酶点及箕在黪盘嚣豫缝鞴孛翡盎爱e 第五豢主要避谂焱入式零礴e z w 蘑豫嚣藕葵法，蓰塞了一稽鏊予零辩辫 法的改进辫法，并通过蜜验澎箕势毫殍，终果表明该算法较有敲。 最后鼹对本文的总结和腿黧，撒出了待进一步解决的问题署口进步的研巍 方囊。 硕士学位论文 m a s t e r st h e se s 第二章小波变换基础 2 1 从傅虚叶( f o u r ie r ) 变换到小波变换 蜜1 8 0 7 年，法国数警家f o u r i e r 琵逛豹蕊立时分辑整数学、物理发生了擞 本性的变化，它为广泛的工程科学领域提供了重要丽有效的数掌工具，把它囊 正应用到图像信号处理娥1 8 2 2 年傅立叶发表“热传导解析理论”之后。其变 换如下： f o u r i e r 变捺兔：瓦w ) ；f ，( f 啊一t d t f o u r i e l 逆变换为： ，( f ) = 丽1 f ( w p 。2 “搬 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 虽f o u r i e r 交换是互遂戆，辈：反砖f ( 律) 傅立叶变换用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把 周期函数展成傅立叶级数，把非周期瞒数展成傅立叶积分，利用傅立时变换对 送数 挈频谱分撰，反映了夔令羡号数簿溜叛谱耱技，较努遗揭示了平稳售号豹 特征。从数学角度来看，傅立时变换怒通过一个被称为基函数的函数的整数膨 胀而生成任憋一个周期平方可积函数。通过傅立叶变换，在时域中连续变化的 信号可转化为频域中匏信号，因此傅立时变换反映的是整个信号在全部对阃下 的整体豢蠛姆征，去| 】不筏反映信号的髑部特短。稳怒，在实际应蠲中，常常鸯 些非平稳信号，如音乐信号、语音信号等它们的频域特性都随蒲时间的变化而 改变，这时傅立叶变换明显表现出了其中的不足。为此，d o a b o r 于1 9 4 6 年 提囊了著名滟g a b o r 交换，之后又滋一步发最为籁嚣薅立时交捺( s h o r tt i m e f o u r i e r t r a n s f o r m ，简记为s t f t ，又称窗口傅立时变换，也称快速傅立叶变换) 窗口傅立叶变换( s t f t ) 宠服了傅立叶变换不能同时进行时间一频域的局部分 辑，在非平稳信号的分橱中起到了缀好的雩# 用。其主要特点是：蠲一窗口函数 默卜r ) 对倍号“r ) 乍菜襁运算，实现在f 辩近平稳和开窗，然螽再进幸亍德交 叶变换。其变换如下： 4 硕士学位论文 m a $ t e r st h e s i s g ，( 州) = d ( f ) g ( t - r ) e - j 2 m t d t ( 2 3 ) 小波变换较好地解决了傅立叶变换存在的问题。由于傅立叶变换所定义的 窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持不变，在实际应用中也存在其 局限性。主要有两方面：一是因为高频信号一般待续时间短，而低频信号持续 时间长，因此需高频信号采用小时窗，对低频信号采用大时窗。二是在进行数 值计算时，为了便于计算，将对基函数进行离散化，但g a b o r 基无论怎样离散 都不能组成一组正交基，因此会给计算带来不便。 为了克服这些缺陷，使窗口具有自适应特性和平稳功能，1 9 8 4 年，法国地 球物理学家j m o r l e t 在分析地震数据时提出将地震波按通过一个确定函数的 伸缩和平移来展开。之后，他与a g r o s s m a n 共同研究，发展了连续小波的变 换的几何体系，将任意一个信号可分解成对空间和尺度的贡献。1 9 8 5 年， y m e y e r ，a g r o s s m a n 与i d a u b e c h i e s 共同寻找了连续小波空间的一个离散子 集，得到了一组离散的小波基( 称为小波框架) 。1 9 8 6 年y m e y e r 发现了构成 l 2 ( r 1 空间的规范正交基，从而证明了小波正交系的存在。1 9 8 7 年，m a l l a t 将 计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析 的概念，并提出了相应的分解和重构快速算法一m a l l a t 算法，从而统一了以前 所有具体正交小波基的构造。 从此，小波变换越来越引进人们的重视，其应用领域来越来越广泛，如： 信号处理、图像处理、模式识别、语音识别等，并取得了可喜成果。 2 2 连续小波变换 小波变换的本质是通过对一个基本小波进行伸缩和平移来表示一个能量 有限的信号，其基本小波小波是具有波动性、衰减性( 振荡迅速减到零) 和时间 平均为零特性的实值函数。小波变换具有良好的时频局部性能，是分析有突变 性质的非平稳信号的理想工具，有效克服了傅立叶变换的局限性。 22 1基本小波及小波基函数 硕士学位论文 m a $ t e r st h e s i s 定义2 1 设y ( x ) 是一个给定的实值函数，若其频谱甲( w ) ( 即p ( z ) 的傅立 叶变换v ( w ) ) 满足以下允许条件 印= 牛c m ( 2 4 ) 则( x ) 称为一个基本小波。 它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。其中，当w = 0 时，有 y ( o ) = 0 ，即f 。y ( z ) 办= 0 ；同时有y ) = 0 。因此，一个允许的基本小波 的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。事实上，任何均值为零( 即 广e ( x ) a x = 0 ) 且在频率的增加时以足够快的速度消减为零( 空间局域化特征) 的带通滤波器的冲激响应( 传递函数) ，都可以作为一个基本小波。 定义2 2 设厂( r ) 的一簇小波基函数为钆。( x ) j ，它是通过平移和伸缩基本 小波y ( x ) 来生成的： 。( ，) ： p ( 三兰)( 2 5 ) - 4 a “ 其中a 0 ，且a ，b 均为实数。变量a 反映了小波基函数的伸缩尺度( 宽度) ，而b 则 指明了它沿工轴的平移位置。通常情况下，基本小波y ( x ) 以原点为中心，因此 虬。( x ) 是基本小波v ( x ) 以x = b 为中心进行伸缩和平移得到。基本小波( z ) 被 伸缩为y ( x a ) 1 时变宽，而a 1 时变窄) 可构成一组基函数。在大尺度a 上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的口则搜索细节特征。 2 2 2 一维连续小波变换c w t ( 也称为积分小波变换) 定义2 3 一维函数，( x ) l 2 ( r ) 对于小波函数矿( z ) 的一维连续小波变换 6 硕士学位论文 m a $ t e i t st h e s i s 为： w ，( 吼= ( i k , 。) = e ，( x ) 虬。( 善) 出 ( 2 6 ) 其逆变换i c w t 为： 他) = 毒r 聃( 咖如拳 ( 2 7 ) v v 其中虬。( x ) 是通过平移和伸缩基本小波矿( x ) 来生成的小波基函数，c ，为允许 条件，即= 壁篙芦珈 0 ) 。即当信号时域内作某一倍数的伸缩时，其小波变换 在盯，b 两轴上也作相同倍数的伸缩，且形状不变。 ( 4 ) 自相似性：连续小波变换中存在信息表述的相似性。它主要表现在以下 两个方面：一是由连续小波变换恢复信号的重构方式不是唯一的。即信号的小 波变换与小波重构( 逆变换) 不存在一一对应关系，而f o u r i e r 变换与f o u r i e r 逆变换是一一对应的。二是小波变换的核函数即小波函数y 。( x ) 有许多可能的 选择( 如：它们可以是非工f 交小波、正交小波、双正交小波、甚至允许是彼此 线性相关的、。 硕士学位论文 凇s t e 文st h e s i s 2 3 奎波变换与滤波器族解褥 事实上，小波交换与信号( 或图像) 函数经髓一簇带通线性( 卷积) 滤波 器的输出熄等价的。 定义2 5 定义只发口上豹一般小波基西数力： = ：每暖争疆12)a o 口 这是用a 做尺度因子，并段是用口一啦将模规范了的拱本小波。鼹然，y 。( x ) 只 黠基本夺波妒( 力迸嚣弹臻。 定理2 2 对于定义2 5 所定义的小波基函数虬( x ) ，若记其翻转共轭为： 乒。苫：卜善) 。矿( 一苎 ( 2 1 3 ) 盟0 有h ，( 四，6 ) = f 4 p ： 霉枣渡变换与篷缘蔷号经避壅蒂逶滤渡嚣煞赣趱莛等徐戆。 证明 因为妒o ) f ( 艘) 为实函数，所以有 ；。( 务x ) ：j ；f ，：扛一6 ) ：毒：妒( 三二垒：矿。( x ) 4 a d 即： 鬈擘，6 = ，f x 硫。( x 游= 搏城一x ) 蠢= 阢茸) t 霞( x ) 踊= ，s 既 ( 2 t 4 ) 由式2 。1 4 可知：对予绘定豹拉，( 痒，b ) 是函数，( 习与 孛缭尺度为痒的对 称复共辘小波睨( x ) 的潦积；邵兵x ) 经过一个；串激螭应为既 x ) 黔线性滤波嚣 警 硕士学位论文 m a $ t e i t st h e s i s ( 带通滤波器) 其输出就是( ，6 ) ；每个不同的a 定义了一个不同的带通滤 波器，而所有的滤波器的输出合在一起就组成了小波变换。其变换如图2 1 所 示 f ( x ) 图2 1 维函数的滤波器组 定理2 3 每个滤波器的输出分量再次滤波并适当伸缩后组合在一起可重 构f ( x ) 。 续小波变换的逆变换为： 辟( 啪) 蹦x ) d b d a 。百1 r 。e 吉叭x ) + 孑勘) 】( 6 ) 孑舯一x ) 如出 2 专刊l = u + 孤嘲) 曲出 2 专f 。砉旷孑a * i ，出 所以所有滤波器的输出分量厂+ 驴。经虬( x ) ，再次滤波( 卷积) 并加权后 相加，就可重构f ( x ) 。 硕士学位论文 m a $ t e r st h e s i s 在二维情况下类似于一维情况，每一滤波器都对应一个二维冲激响应，每 个不同的a 都定义了一个不同的带通滤波器矿。( x ，y ) 。输入是图像上的带通滤 波器，滤波后的图像的叠层组成了小波变换。 2 4 离散小波变换 连续小波与连续小波变换对于小波思想的建立是有效，适用于理论分析， 但在实际应用中，尤其是在用计算机实现时，考虑到计算的有效性，必须对连 续小波及其变换进行离散。 2 4 1正交小波与小波系数 定义2 6 一个函数y ( x ) 若满足：函数集( 簇) 似( x ) ( 是由i f ，( x ) 定义的) 是一个规范正交基( 即正交归一的) 。对每个厂( x ) l 2 ) ，均可表示成级数展 开式：( x ) = c ”y j , k ( x ) 则函数y ( x ) 称为是一个e 交小波。 j 一女 其中 c j , k = = ，( x ) 矿+ 时( x ) d ，= ，( x 耖卅( x ) 是小波系数， g j , k ( x ) = 2 p ( 2 ，x 一) ，女z ，决定伸缩而后确定平移幅度。 2 42 二进小波 对于一个基本小波( x ) ，如果我们进行二进伸缩( 膨胀) 即进行2 的伸 缩和进行二进平移即k 2 平移，则得到小波基函数：妒( 2 。工一七) ，其中j ，k z ， 而z = ，一2 , - 1 ，0 ，1 ，2 ， 。 注：g t ( 2 ；x - 女) = 妒( 羔；荨兰) ，即在( 2 5 ) 公式中取d = 2 - j ，6 = 2 一 定义2 7 如果存在两个正常数a 和b ( 0 a b ) 使得： 硕士学位论文 凇s t e 文st h e s i s 2 。三l 掣( 2 。w ) | s 嚣 犯。1 5 ) 成立，则称函数妒( x ) l 2 ( r ) 称为二进小波，其中掣( w ) 为妒( x ) 的频谱，( 2 1 5 ) 嚣为函数妒( 均三2 ( 震) 鹣稳定蛙。 2 4 3 紧嶷二进小波 定义2 8 如果把，( x ) 和二进小波矿j j ( x ) = 2 必y ( 2 i x - - 女) 限制为在扣，l 】赋 闯外蔻零的函数，虽扣卅o ) j 是正交烟的蒸函数簇，则y ”( x ) 称为紧支二避 小波。且可表示为：峨( 善) = 2 必v ( 2 j x 一七) ，即，詹可由单一参数 表示。 其中，歹，k 酌关系为 = 2 + 量，歹= o ，l ，；竞= 0 , 1 ，2 - 1 ，虽对任意挣，歹燕 满足2 雌的最大整数。 稆应鹊递交挟为：，( 砖= 矗略( 并) ，变换系数国以下公式给篷： n = o 岛= ( x ) ，( 力砷2 垆，( 咖( 2 。苴一是 ( 2 1 6 ) 镶螽：h a r r 小波表i 蕊式麓： 矽( 磅= 1o 茎工 三 1 1 二x = = 占。 定理2 4 设 _ 间为l 2 ( r ) 的一个m r a ，则存在函数9 ( x ) e ，使 妒( x 一) m 构成的规范正交基a 定理2 5 设 脚为上2 ( 月) 的一个m r a ， p 0 一 ) ) 。z 为空间k 的规范正 交基，则对任意j 。z ，妒j ，( x ) ： 2 j 2 伊( 2 j j n ) ) j ，。z 为空间的一个规范正交基。 即： 旷= s p a n 2 7 2 妒( 2 j 一 ) ) 。2 1 5 ( 2 1 9 ) 硕士学位论文 m a $ r e r st h e s i s 证明 ( 2 j x 妒( 2 x n ) ，2 j 2 妒( 2 。x n ) ) 2 32 j ( t p ( 2 j x - n ) ，i p ( 2 j x - m ) ) 2 2 j 2 j - n ) 而i 二江 2 们k h ) 9 ( 2 i x s m ) d ( 2 j x ) 5 ( 妒( w 一”) ，妒( ”一n ) ) 又 妒0 一”) ) 一为空间的规范正交基，且根据m r a 的性质可知：p 。构 成空问的规范正交基a 定义2 1 3 ( 小波空间) 尺度空间的补空间是在一。上的正交补。 即： o = 0 + 上 ( 2 2 0 ) 其中“o ”是“异或”运算， c 2 0 + - 。 l 2 ( r ) 的正交分解如图2 2 所示 图2 2l 2 ( r ) 的正交分解图 巧；期 r ( r ) 的塔式分解如图2 3 所示( 取，充分大) 。其中n i 上i v _ 1 ，z o 上，又因 为w 。c ，所以有盹上。且f ( r ) 。巧= 一1o 一2o o ，o 巧，其 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中 c j 是由多分辨率的精度要求决定的。 l 2 ( r ) 巧吁一r h t l 卜巧 图2 3( r ) 的塔式分解图 定理2 6 对于补空间序列 。，我们有下列性质：任意二个补空间 ，是正交的，上睨( n ) ，且三2 ( 尺) = 蔓= 2 ，即 l 。：构成 了三2 ( r ) 的一系列正交子空间，并且有o = + i 。若，( x ) w o ( = _ 一v o ) ，贝j j f ( 2 一x ) ，即，( x ) 营f ( 2 1 x ) 定理2 7 设e j m 为l 2 ( r ) 的一个m r a ，h 3 v o = v _ i 。耻l ，则存在( x ) ， 使砂。( x - n ) k 。：为w ，的规范正交基。若令y ( x ) = n ( 2 x ) ，则，i = 胪妒( 2 j x - n ) j 埘 必为三2 ( r ) 的规范正交基。 由多分辨率分析出发可以构造小波，这样的小波函数称为对应于多分辨率 的小波。但是已经证明存在一些小波，它不能和任何多分辨率分析对应。可是 “好，小波一定是由多分辨率分析生成的【2 1 。小波函数与m r a 的关系如图2 4 所示 硕士学位论文 m a $ t e r st h e s i s 、波函数全体集合 “好”的小波集合由多分辨率分析构造的小波集合 图2 4m r a 与小波函数关系示意图 2 5 4 正交小波变换的快速算法( m al | a t 算法) 1 、系数分解的快速算法 将函数，( x ) 分解一次( 分别投影到n ，w j 空间) ，有 ，( z ) = 勺女2 一。7 2 ( 2 - y x - - ) + d 2 一7 2 伊( 2 - i x - - t ) ( 2 2 1 ) r 月 其中c 肚= c f ( x ) ，锄( x ) = l f ( x ) 2 j 彳2 ( 2 - i x - k ) 出，称为剩余系数或尺度系数， d 础= f ( x ) ，少似( x ) ) = l f ( x ) 2 - 彳y ( 2 - j x - k ) 出，称为小波系数。 定理2 8 对尺度系数c 舭和小波系数d 卅，有 c 肚= h o ( m 一2 k ) c 川， d 小= 鱼一2 k ) c 川，。 证明由二尺度方程得： ( 2 - ) x - - i ) = 压( n ) 艄2 - 3 x _ ) 一一) r 2 2 2 ) 硕士学位论文 凇s t e 文st h e s f s = 冱锄( 2 - j + l 3 c 2 女一n ) 一毒砭姆一签瀚侧一所， m 每嫦持2 蠹舞，纛l 秽螋鬻一2 k ) ：京 芒嘻；鼍漳嚷疆啃x 一弱彘 ：艨啪f 贬婚妒猢朋* 。爿玉 = 粕惭埘) 帅) 2 啄秽4 w 一柳漪 = 怒游一鬻t 黪蒿穗矿 = 泛粕( m 一2 k ) c s 咖 释一i 斡 嚣爨，掣碧： 勃= ! 搴帮一熬事产酶 馨端 式( 2 + 2 3 ) ( 2 。2 4 ) 尺度空闯的尺度系数。外湖小波系数屯 埘由y - i 尺麟 空霞藜嚣畿藜蒙譬酶努囊嫠鬣蘧滤滚嚣蓑蘩蔑囊磅黎褰蘧滤漆器蓑黎毒臻瓣 权求和得划。在实际_ i c 藏用中的滤波器的长度都照谢限长的，赧廿t i a a r 小波、燃 支囊委交枣渡。 遴黎公式蟊霉銎糕筵箸塞嚣溉l l 臻霎交，惑拣熬l i a g 惫譬漤萋囊，嚣浚 速小淀掇按邢t 。 2 、灏数重构的愧避算法 交蠖努黎羹嚣憋霹整递蓑鬟燧遵程我妻：露戡褥裂毒波鬟辫 遂变攮然 法公式： 。= 。 ( m 一2 1 ) 十溅d j , k h l ( m 一2 女) ( 2 - 慧辩 l 净 硕士学位论文 m a $ t e r st h e s i s 在实际应用中，为了简便以保证准确常常用，( x ) 的采样序列f ( k m ) 对实际 归一化后表示为，( 女) 来近似c 蛐，这里将初始输入序列c 。看作是离散序列，因 此分解过程相当于对它进行双通道滤波。 由于h 。具有低通性质，其输出为离散信号的概貌，而矗具有高通性质，其 输出为离散信号的高频细节。 2 6 二维多分辨率分析与二维m a l l a t 算法 261 二维多分辨率分析 定理2 9 设 o k ：是r ( r ) 中的一串团子空间，则张量积空间 吩k ：构成 l 2 ( r 2 ) 的一个多分辨率分析，当且仅当 _ j 。 i f ( r ) 的一个多分辨率分析。并 且这时的二维多分辨率分析 哆i 。：的尺度函数为： 中( x ，y ) = 妒( x ) 妒( y ) ( 2 2 6 ) 其中吩= 。_ ，妒是一维多分辨率分析 0 。的实值尺度函数。对每一，e z ， 函数系扣肌 = 妒胁( x ) p 腩( x ) ，k ：) e z 2 构成吁的规范正交基，我们将空间 l 2 ( r 2 ) 的这样一个多分辨率分析 哆j 。称作可分离的。 定理2 1 0 设 吁k f f ( r 2 ) 的一个可分离的多分辨率分析：吁= o 。_ ， 其中 _ ) 。是i f ( r ) 的一个多分辨率分析，其尺度函数为p 小波函数为矿。定义 3 个函数： l 甲( z ，y ) = p ( x ) y ( ，) 甲2 ( y ) = 矿( x ) 妒( y ) ( 2 2 7 ) l 、壬，3 ( ，) = ( x ) p ( y ) 硕士学位论文 m a $ t e r st h e s i s 则对任何j e z ，函数系 f 时* ，。( x ，y ) = 竹 ( x ，y ) 缈扯( x ，y ) 吒 ”( z ，y ) = 矿( t y ) 伊时( x ，y ) 【甲知月( x ，y ) = p ”( t y ) 竹j ( 五，) 构成空间吖的规范正交基。因此函数系 托如l f _ 1 1 ，2 ，23 ，女，me z 是l 2 ( r 2 ) 的一个规范正交基。 证明 由定义有呼。= 0 一0 0 一- 因此有 2 ( 0o ) o ( _ o 一1 ) = ( 0o ) o ( 0o ) o ( 町0 0 ) o ( 圆) = 吁。i o 。) 。( 。o ) 。( 。) 】 f 2 2 8 ) 孵= ( 0o ) o ( o _ ) o ( o ) ( 2 2 9 ) 由于如肚i k e z 构成空间_ 的规范正交基，则奶 i ke z 的规范正交小波 基，空间_ 。，。_ ，。的规范正交基为如i k , m e z j ，慨i k , m e z j ， me z j 。式表明函数系构成空间孵的规范正交基。 2 6 2 二维m a l l a t 算法 设给定一个可分离的多分辨率分析如定理2 9 所示，其中。为尺度函数， 甲，为小波函数。与一维信号类似，设要分析的二维信号为，= ，( x ，y ) e 曙，则有 阵列b ；。k ：l ( l ，如) ez 2 使得 l m ，y ) = a j 。m ，y ) = c 舭 中h ；k z ( x ，y ) t l 岛e 2 ( 2 3 0 ) 将2 3 0 式两端分别与中川m m ，甲。，( f ；l ，2 ，3 ) 做内积。则由定理2 9 可得 f ( x ，y ) = 。 f ( x ，y ) = a j l + 1 ，+ 珥+ l ，+ 谚h ，+ 曰，+ l f 其中：a j , + l f = c j i 十1 m ：中m l 一2 e z 珥。+ 1 ，2 珥i + 1 川朋q 。帅 ( ，= l ，2 ，3 ) m t u n ：e z 而 q l + l 川脚= h k i m 。h k 2 - 2 m 2 c 肭女 d k 。，一m g k 2 - 2 m ：c j 舳 d 。：= g k l - 2 m ih k ：- 2 m ： ： d k 。：= 乩m g b m ：c j 彬： ( 2 3 1 ) 设h ，和肌分别表示对阵列的行和列作用以一维情形的算子( 无穷矩阵) h ，g r 和g 。分别表示g 作用到阵列的行和列上。则2 3 1 式可以简写为： c j n = h r h c c j d ：= h ，g 。c j d “= g ，h c c a d 3 m l = g ，g c c j 这样进行下去，直到j2 - - j ，步之后有 而 d l + l m ，y ) = 山：m ，y ) + d ；m ，y ) 一2 j 。l ，2 ，3 m 祜a s t e 撒r s t 黻h e s 。 c i i = hr h c cj d ：“一h g-rc ， 赢咆即： 产如凡一也。1 d 3 i + i = g r g c cj 上面两式便是二维小波分解的m a l l a t 算法。 其完全重构算法为： q = 日：匪c 川+ ：g ：q “+ g ：q + 1 + g ：q + l ，= j 2 1 ，j 2 2 ， 图像数据小波变换算法的数据结构( 小波滤波器采用d a u b e c h i e s ) 为： i n td d , j , 波器长度 u n s i g n e dc h a r + t e b u f = - n e wu n s i g n e dc h a r 【b i w i d t h + b i h e i g h t ；，图像数据存储区 u n s i g n e dc h a r + b u f f e r x = n e wu n s i g n e dc h a r 【b i w i d t h ；数据行暂存区 u n s i g n e dc h a r + b u f f e r y = n e wu n s i g n e dc h a r b i h e i g h t ；数据列暂存区 f l o a th 【 ，g 【】；存储d a u b e c h i e s 小波系数 对图像的行数数据进行小波变换 f o r ( n = o ；n 高度；n + + ) f o r ( i