（基础数学专业论文）无限维模李超代数srqlm的导子超代数.pdf

iiii ir lrl jrl 川 18 0 5 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 kj、 学位论文作者签名： 拦刍型 日期：竺么! ：鼻岁 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：叠丝趁指导教师签名： 啦盘垒 日 期： 地z 竺：兰：兰1 日 期：2 生f ! ：生。 f 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 湿竺l 通讯地址： 电话： 邮编： 争，i i jn，t 羞誊盈曩 1 一 导子 而确 a b s t r a c t l e tfb et h eu n d e r l y i n gb a s ef i e l do fc h a r a c t e r i s t i cp 2 i nt h i sp a p e r , w ec o n s t r u c tac l a s so fi n f i n i t e d i m e n s i o n a lm o d u l a rl i es u p e r a l g e b r as ( r , q ，j ，毋) ，a n dw eg i v eo u ti t sd e r i v a t i o ns u p e r a l g e b r ad e r ( s ( r , q ，朋) ) w es t u d ys ( r , q ，j ，m ) ，a n dt h ez g r a d e do f i t sd e r i v a t i o ns u p e r a g c b r ad e r ( s ( r , q ， ，珂) ) t h e nt h es t r u c t u r ea n d p r o p e r t i e so f i t sd e r i v a t i o ns u p e r a g e b r ad e r ( s ( r , q ，m ) ) a r ed e t e r m i n e d k e yw o r d s ：m o d u l a rl i es u p e r a l g e b m ；z g r a d e ds u p e r a l g e r b m ；d e r i v a t i o ns u p e m l g e b r a 目录 中文摘要i 英文摘要 目录i i i 1 引言1 2 预备知识3 3 模李超代数s q ，m ) 5 4 s ( ， q ，朋) 导子超代数的z - 阶化8 5 s ( 厂q ，所) 的导子超代数1 1 参考文献2 0 致谢2 1 i i i 东北师范大学硕士学位论文 l 引言 本文将研究无限维模李超代数s 以q ， 棚) 的导子超代数 我们知道，在物理学中，为了建立相对论的费米子与波色子的统一理论，1 9 7 4 年w e s s 和z u m i n o 提出了超对称性，将普通时空满足的p o i n c a r 毒李代数扩充为超p o i n c a r b 代数于 是将有限个具有不同内部量子数的波色子与费米子放在李超代数的一个不可约表示中，从 此关于李超代数的研究有了迅速的发展从数学的角度来看，在非模的李超代数( 即特征零 的域上的李超代数) 的研究中，具有里程碑意义的结果，当属v g k a c 于1 9 7 7 年完成的特征 零代数闭域上有限维单李超代数的分类现在非模李超代数得研究已经有了相当系统的结 果，于是自然考虑到模李超代数的情况，即素特征域上的李超代数 由于李超代数在物理学中的重要作用，并且李超代数紧密的依赖于李代数，所以关于 李超代数的研究最近十分活跃我们知道自从7 0 年代末a i k o s t r i k i n 的文章发表以后，模李 代数( 即素特征域上的李代数) 的研究有了长足的发展，经过多为数学家几十年的努力，特征 数大于7 的代数闭域上单的有限维李代数的分类已经完成迄今为止，模李代数已经有了相 当丰富的理论，尽管模李代数与模李超代数情况不尽相同，但是模李代数的理论，为模李 超代数的研究提供了丰富的考虑问题的方法和途径非模李超代数与李超代数的区别在于 c a f t a n 型代数 1 9 9 7 年张永正教授在文献【1 中构造了四类有限维c a f t a n 型模李超代数w , s ，h ，和k ，并 且证明了它们的单性从此之后，展开了对于c a f t a n 型模李超代数进一步的研究工作例如 对于导子超代数的研究，对于四类有限维c a r t a n 型模李超代数的z 一阶化与z 2 一阶化是不是 相容的研究，对于四类有限维c a f t a n 型模李超代数的滤过不变性的研究，对于有限维李超代 数结合型的研究，对于深度为1 的z 阶化李超代数的嵌入定理的研究，关于彤s ，h 和k 的 阶化模的构造等等我们知道，在李超代数的研究中，c a r t a n 型模李超代数的研究是非常重 要的而无论是对李代数还是李超代数，( 超) 导子的刻画都是一个重要的课题张永正教授 构造了四类有限维c a r t a n 型模李超代数，并研究了他们的导子超代数 本文在此基础之上做进一步的工作，研究无限维的情形借助文献 1 0 】与【1 l 】的思想，在 w , s ，h 和k 的基础上，张量了两个截头多项式代数，构造出无限维的模李超代数s 以q ， 所) ， 并讨论它的z 一阶化性质，给出导子超代数，并确定了s q ，研) 的导子超代数的结构和性 质 本文共分为五个小节第一小节引言第- - j , 节预备知识介绍了本文所需要的基本的 概念，记号和公式，通过对除幂代数，外代数，截头多项式做张量积，得到它们的张量代数 r ， f = 叭，固人( g ) 固q ( ，) o g ( 研) 东北师范大学硕士学位论文 第三小节刻画了r 的特殊导子，并讨论它的与z 2 一阶化与z 阶化性质在此基础之上，第四小 节我们构造了一类新型无限维单模李超代数w ( r , q ，聊) ，s ( q ，m ) ，讨论了r e ( r , q ，朋) ，s ( ，q ，m ) 的导子超代数的z 2 一阶化与z 一阶化及相关性质第五小节我们确定了s 以q 。，m ) 的导子超代 数 2 东北师范大学硕士学位论文 2 预备知识 我们首先介绍本文中涉及的一些主要概念设f 是特征数p 2 的域，在本文中我们将 介绍一些新的符号，然后构造一类新的无限维模李超代数，并着重研究它的导子超代数 为了定义新的模李超代数，我们首先需要以下概念： 1 、设是正整数集，0 是非负整数集，对任意y r n ，设口= ( 口l ，a 2 。f i r ) 弼，我们定 义i 口l = 名l 郎 设u ( r ) 是具有生成元集f 一口h 弼 的f 上的除幂代数，则矾力中有以下运算公式 工( “) ) = | 。堋v 口，p 弼 设研= ( 6 f l ，如，) ，其中妨为k r o n e c k e r 符号简记扣) 为x i 这里1 i ， 2 、设对任意的q n ，记，= n + q 我们用人( g ) 表示域f 上具有n 个不定元x n + l x n + 2 一，x n 叼 的外代数记 b ( q ) = ( i l ，i 2 ，i k ) l n + 1 i l i 2 反，v l k q lu 0 若”= ( i l ，f 2 ，反) b k ，b ( g ) = u q o 风则令i 甜j - k , i u = i l ，如，i k r = x i 。，约定 10 | = o , x o = 1 ，则f ，i “b ( g ) j 构成了a ( q ) 的一个f 基底 3 、设n 是f 上的素域，则n = i o ，l ，2 ，3 ，p 一1j 兰z p 设_ ，n ，则五? = 1 设h = 7 ，l = ( a 肿l a n + 2 ，) hy a i n 其中i = 刀+ 1 ，s o ，其中s o = 刀+ 1 我们定义 公式 少= 几z f = 玎+ l 设f 队+ 1 ，雎，y s + 1 ，】是，上的多项式代数，记f 帆+ 1 ，y s ，y s + 1 ，】= q ( 1 ) 显然 q ( o = 删，i l 明= i 砌，j _ 日 易见如下的运算公式成立： 矿= 矿枷y a n h f y = 少0 引，y a k ，a e l ，巧= ，w y l ，五h 4 、设m = h m ，0 = ( 氏+ 1 ，o s o + 2 ，m v 研，i = s d + 1 s ，其中s = + m 记 ，o + l ，z s o + l ，z 卅l ，z s o + l 】= g ( 所) 我们定义公式 少= 丌矽 3 东北师范大学硕士学位论文 显然 g ( 研) = s p a n f i ：1 0 m 设f = 矾，) o 人( g ) oq ( j ) g 沏) 则u ( ，) 平凡的z 2 一阶化与 ( g ) 的自然的z 2 一阶化，与q ( ，) ，g 沏) 平凡的z 2 一阶化诱导了r 的一个z 2 一阶化：f = r or - r 石= 叭r ) o 人( g ) 石o q ( ，) 圆g ( 研) ， r i - = 矾r ) o 人( g ) i - o q ( ，) p g ( 小) 设f 矾，) ，g 人( g ) ，h q ( j ) ，k g 沏) 我们简记厂p g 固ho 七= f g h k 为了方便，我们给出如下 的记号： y o = 1 ，2 ，ly l = ，+ l ，+ 1 ，l ，y 2 = 力+ 1 ，以+ 2 ，s o ，y 3 = s o + 1 ，s o + 2 ，s 矿= y ouy t ，y = y r 0uy iuy 2uy 3 ，其中刀= ，+ q ，s o = n + ， s = s o + ，1 贝0 口) 少妞k ，“b ( g ) ， h 0 m 构成了r 的一个f 基底 在本篇论文中，我们设疗 l ，且q 1 定义x 的z 2 一次数如下：v f 若i y o1 2y z ，贝4 记丁( 力= 石z 2 ； 若i y iuy 3 ，贝0 记1 ( o = 丁z 2 若x 出现在某表达式中，则约定x 是z 2 一齐次元素并且x 的次数是m 4 东北师范大学硕士学位论文 3 模李超代数s ( r , q ，脚) 设0 f 是r 的导子，v f e 对v 弘) x “y a z o f ，我们规定如下运算： 当i y o 时，a f ( 0 口) 拶z o ) = a f ( 0 。b , s y 。z o = 0 口呻j ) 工吵少 当i y i 时，a f ( | a ) j 少) = 0 。) a ，( 少= 0 。) x u o y a z o 当i y 2 时，a ，( 0 a ) x 少) = 0 0 办a f 沙= , t i o a ) 少 当i y 3 时，a ，( 0 口) z z o ) = 0 0 ) x 吵a f p ) = 0 口) x 少 设d 咖( d 是r 的所有次数为0 的齐次导子的集合，0 z 2 定义d e r ( f ) ：= d e r 6 ( f ) od e 尔r ) 可 以证明d e r ( f ) 是p ，( r ) 的子代数，( 其中p l ( r ) 是r 的一般线性李超代数) 文献6 】，称d e r ( f ) 是 r 的导子超代数 设d f d e r o ( r ) ，v f y 则满足： 以一叫嚣娶 设 s w ( r , q ，所) = 石d 石r ，f = l ，2 一，s 1 f - l 由于d e r ( f ) 是r 一模，因此职r g ，m ) d e r ( f ) 可以证明： 特别地 f d ，g e l = f d ( g ) e 一( 一1 ) 删蜩班d v f , g f ，d ，e d e r ( f ) ( 3 1 ) f d i ，g d j = f d i 园) d j 一( 一1 ) i f o i i t g o j i g d j ( f ) d i v f , g r ， v i ，_ z( 3 2 ) 由( 3 2 ) 式可得，职厂 q ，小) 是d e r ( f ) 的子代数，我们简记职9 ，m ) 为w 我们用坛表示超代数r 的所有z 2 一齐次元素的集合任取i , j r , f 矗反r ) ，定义线性映 射： d i j ：r 一形 使得 d i j ( f ) = ( 一1 ) 7 ( d f q 一( 一1 ) ( 一o + 彻m d j ( f ) d i ( 3 3 ) 5 设 s ( 一g ，m ) = s p a n f d u ( f ) ii , j z 囊d r ) j 因为厂h g ( r ) ，d u f f ) 是z 2 一齐次元素，所以s ( r , q ， 所) 是w ( r , q ，厶所) 的z 2 一阶化子空间设 其中p ，z 2 ，则 2 【d d r l ，2 - ( 一1 ) m x t t ；l m 。轨。魄鼽) ( 3 4 ) i j = 、 ( 【1 1 】，l e m m a 2 5 ) 由( 3 4 ) 式可知，s ( r , q ， m ) 是w ( r , q ，m ) 的子代数，我们简记s ( r , q ，聊) = s 下 面我们定义i 的z 一阶化，继而得到w 的z 一阶化与s 的z 一阶化 苗乏r f = s p a n f l x t o ) ：y a z oi 口i + l u l = i ，a 冠0 仉 易见f = t 9 i = l r i 是一个z 一阶化结合超代数，其中f = 墨l 口，+ g 设_ ，z 定义 6 u y 2 ) = 似, w v 嘶y 2 彤= s p a n f l x ( x ，少d ii 口k ，“b ( g ) ，l - o m j zi , r l + i 圳+ 6 0 jy 2 ) 一1 = f s k = s p a n f l d q ( x ( 。) x u y a z o ) | l 口i + i “i + 6 ( f ，y 2 ) + 6 uy j ) 一2 = k ，v f ， 直接验证可知 s i = ns ， s = 唣一l s i 是z 一阶化的李超代数显然有s l = 肛1 引理3 1u g f 。下列公式成立： ( i ) d i i ( f ) = o y i i ：ou 场 ( i i ) d i i ( f ) = 一2 d i ( f ) d i v f ，j y luy 3 o i o o j 丸o = - ( - 1 ) m ( “o + t 0 3 ) + r ( o r 0 3 d i j ( f ) , v i , j z ( i v ) d k ，d u 】= ( 一1 ) 7 ( 的“o d 玎( 仇) 】，v 七，f ，j z 俐旧盯，现】_ ( 一1 ) r ( 州砂r t d ( r ( o + t l q ) + ( “o + t ( ) ) m d i k ( d d f ) d ( g ) ) 一( 一1 ) “州”+ 彻l 门+ ( h o + 7 ( 毋) 嘲d 庸( d j d ，( 曲) 一( 一1 ) 吖弧，) + 似t ( o 切州o ) r ( t ) d i ( d j d * ) + ( 一1 ) h 州o + 彻+ 一咖( ，) d f i ( d i 仇 ) y k ，i ，z 6 d ，“ ：州 i i d 巧 r d 鼽 ： l i c i r d 证明 证明不失一般性，可设f = 硝。) 奶，尹，其中0 k f 则对于任意i r o ， d = d f ( 七l 。妁，少) = k x ( 。”- ) x “y a z o = 0 故口= 0 ，因此有f = 肼少 对于任意i y l ，有 d i u 、= d i 矿z e 、= k x 一嫡矿= 0 。 故p = 0 ，因此有f = 少f o 对于任意i i 2 ，有d f ( 少) = 0 ，则七a 少= o , a 严0 ，v f y 2 命题得证 7 东北师范大学硕士学位论文 4s ( r , q ， 聊) 导子超代数的压阶化 在上- j , 节我们构造了一类新的模李超代数s 以q ，所) ，现在我们来构造s ( ，q ，研) 的导 子超代数由d q 的定义，我们有i d u l = r ( o + 丁，v f ，_ ，y 于是s 的z 2 一阶化为： s 口= s p a n f l d q ( x ( ，少) i | ，l + 1 ( f ) + 1 - = 0 ，v f ，】，1 s = o s 日由上一小节，我们得到了s = 唣一l s ，是z 一阶化的李超代数，令 t = 一i ，0 ，i ，f l ，s ( l = s in s o 于是s = 。( f 胙弧z 2 s ( i , r ) 是t z 2 阶化的若l = o i e z l i 是z 一阶化的李超代数，对y x 厶x 称 为z 一齐次元素，若i z 使得x 工f ，则i 称为x 的z 一次数，通常记作z a ( x ) = i 设p l ( s ) 为s 的一般线性李超代数，则p l ( s ) = p l y ( s ) op l u s ) 设妒p l o ( s ) ，0 z 2 ，若 “五纠= 妒( z ) 。纠+ ( 一1 ) 制【石，妒 ，y x h g ( s ) ，y s ，则妒是s 的为z 2 一次数为0 的导子令d e r o ( s ) 为s 的所有次数为0 的齐次导子的集合，则称d e r ( s ) ：= d 已积s ) o d 已尔s ) 是s 的导子超代数 对任意f z ，设d e ，( s ) ：= 妒d e “s ) i 妒 ，) s t + i ，v f z 于是 d e r ( s ) = o t e z d e r t ( s ) 因此为确定s 的导子超代数d e r ( s ) ，对任意的f z ，我们只需确定d e r t ( s ) 即可 我们知道，对任意的口嵋，存在丌弼使得口丌( 文献【1 0 】，命题2 1 ) 我们约定 口丌铮o t i l r i ，其中1 i m ，o l = ( a l ，a 2 ，a t ) 弼，7 r = ( 丌1 ，丌2 ，丌，) 弼由此我们就可以定义 x j 一截头的元素，可以定义线性映射，) f 如下： 定义4 1 设r ，若v f 场，研= o ? 若v f h ，d i ( f ) = o j 若v f y 2 ，硝- 1 = o j 若 v f y 3 ，d i = 则称厂是x i 一截头的 定义4 2 设线性映射p ，：f _ r ，v f 使得 p j ( 妒力，少) = | 。托i ) z e ，i y o 舯x p 。i y l ，1 7 1 0 口) 以一夕，i y 2 0 口) z o ，i y 3 引理4 1 以下结论成立： 设厂r ，v f y 2 ，则是x i 一截头的铮, t p ，= 1 例设厂r j 则d ，是x i 一截头的v f y 8 = ( 删， ，颤州 田砰0 口妁，少 = ( 刚，_ ，口) 投口“ 田0 ( r ) 妁一少 = d i 0 当i i 3 时，显然有j d f ( d f ) = d ，因此f f ，则d f 是x i - - 截头的，v f f 引理4 2 以下结论成立： ( d 设是x i 一截头的，v ，f , i y ，则d i p i ( f ) = ， ( i i ) d i p j = ( 一1 ) 一i ) r f j g p j d iv f ，j s ，i ， 证明( i ) d i p j = ，显然对v f r ou 巧ui 3 成立v f 圪，不妨设 厂= 圳a 拶，r ( 口甜 毋 由于f 是x i 一截头的由引理4 1 ( 1 ) 知 f o ，v l 则 ( 田直接计算即得 d i p i ( f ) = d i ( z ( 。_ p ) 颤玑。，_ ，a 7 1 一x 少) = ( 口础a 田龟删，a ，田少哟一少 = 定理4 1 设h r l , k ，h 心f ，其中r l ，r 2 ，r k y 若h r ，h r 2 ，h r k 是柳一截头的，而且 d i ( h j ) = ( 一1 ) “ 3 r 0 3 d y ( h i ) , v i , j r l ，r 2 一，r k ，则存在h f 使得d i ( h ) = h i ，其中i = r l ，r 2 ，r k 9 证明我们对尼用归纳法证明命题成立 当七= 1 时，设h = p r l ( 厅，。) 由引理4 2 ( 1 ) 知d n ( 而) = d r ，肌( ，) = h ，1 假设存在f f 使得d ，= h i , i = ，1 ，r 2 ，* 卜设h = f + p r 。( h n d “) 对任意i = ，i ，1 r 2 。r k - 1 由引理4 2 ( 2 ) 和归纳假设我们有 d i ( h ) =h i + d i p “( n d “) h i + ( 一1 ) “n ) h 憎( d i ( h n ) 一d i d n 0 9 ) = h ，+ ( 一1 ) k r k ) “o p “( ( 一1 ) r ( r k ) r ( 0 d “( 矗，) 一( 一1 ) f ( r t m ，) d n d j ( d = h i 由引理4 1 ( 2 ) 知d 憎o r ) 是坼一截头的于是h n d “0 3 也是坼一截头的由引理4 2 ( 1 ) 有 归纳法完成 d “( 向) = d ，+ d n p h ( j i l n d “) = d k 0 9 + ( h n d n i f ) ) = h h 东北师范大学硕士学位论文 s ( r , q ，m ) 的导子超代数 定义5 1 设 = q ( 0 7 = q ( oxq ( ，) x xq ( j ) = 010 = ( 川，厅柑( y ) ，h s o ) ) l ，v 居，) q ( o ，f y 2 定义 蚕：h - q ( ，) 使得 = , b h j o , ) j = n + l 设 ，7 1 - 1 , 贝1 j 祆l + ，7 ) = 羔斛1 似+ 叩b 乃( 力 = 篙+ l ( 乃+ , t a h j o , ) = ；! 肿i , s h y ) + 羔肿1w 乃 = 吼1 ) + 祆，7 ) 对0 e 我们定义线性映射d e ：shs 满足d o ( d u ( 0 。妁一少) ) = o ( a ) d f ，( 8 妁，夕) v l _ ，z 引理5 1 设是单李超代数，若即d e r ( l ) ，x 珠j ，l ，若存在，1 ，使得( a d x ) 7 = 叻 则妒( 力= ( a d x ) 1 ( 妒( 力) 证明此引理的证明类似于文献【6 ，引理2 2 , p 3 1 定理5 1 设妒d e r t ( s ) , t z 且t 0 则存在a 彬，使得妒( d f ) = a d a ( d f ) ，v f y 证明相仿于文献 6 ，引理2 6 , p 3 3 定理5 2d o d e 积s ) ，v 臼 证明即对任意的a ，b s ，我们往证 d o ( ，b ) = 【d o 似) ，例+ 口，d p ( b ) 首先，对于任意的f ，工七，y , f , g h 9 1 ( r ) ，应用引理2 2 ( 吐 我们有 【d f ，( 少) 妁一少) ，现( 妒) 工y ) 】 = 6 1 d i k ( d j ( ( x ( 8 - p 矿、d l d m p 矿m + 6 2 d j k ( d i ( ( x ( 曲妁，少) d ，( ) j y 一) ) + 5 3 d i l ( d j ( ( x ( 口如一少) 研( 工y ) ) + 6 4 d ，( d j ( ( 0 拶z 。) d t ( ) x y ) ) 东北师范大学硕士学位论文 我们分以下五种情况来讨论： 1 ) 若i ，工k ，y o 时， d 日 d q ( 一口乃，少) ，d k t ( x t a ) x ”y z ) = 6 l 砌+ q ) d a ( d j ( ( x | ( 妁一少) d 肛x y ) ) + 如如+ r 1 ) d ) k ( d ，( 。妁，z 口) d t ( x x y ) ) + 6 3 否( 五+ r 1 ) d i l ( d j ( ( x c 口) j f l 夕z 。) d 女( j 妒) z 0 刀) ) + 6 4 祆l + , 1 ) d j ，( d ，( ( 0 口) x u y a z 。) d k ( j ( 妒) j ，少) ) = 祆l + r 1 ) d u ( 0 。) 桫少) ，d k l ( x ( s ) x ”y z ) = ( 舀( ) + 蚕( 刁) ) 【d i ，( 0 。以，夕) ，d k t ( 妒) 工y ) = o ( 1 ) d q ( x ( 口妁，少) ，d k t ( x ( a 工y 少) + d i j ( x ( 妁，少) ，祆叩) d 切( ) 工y 少) 】 = d o ( d i j ( x ( 。) j 尸少夕) ，d k t ( x z 0 刀) ) + d 玎( 0 口) j 少) ，d o ( d k t ( x ( e ) x 0 少) ) 因此d o d e r 6 ( s ) 2 ) 若f ，工毛，y l 时，证明类似于1 ) 的情形，因此d o d e 积s ) 3 ) 若f ，工屯，y 2 时， 岛【d u ( 工( 口幽，少) ，d k l ( x q 8 ) x v y q ：) = d o ( 6 1 d a ( d j ( ( x x u y 。z 9 ) d l ( x ( 8 工y ) ) + 6 2 d k ( d f ( ( 0 们妁，少) d ，( ) 工y ) ) + 6 3 d i l ( d j ( ( x ( 。乃一少) 仇( ) 工y ) ) + f 5 4 d j l ( d i ( ( x ( 。) 妁，少) d t ( ) j y ) ) ) = 6 l 祆a + r 1 ) 3 j a t d a ( ( x ( j r 勺，少) ( j 妒) 工y ) ) + 6 2 祆五+ ，7 ) ，l ，d 弦( ( 。) j 少少) ( 工够) 工y ) ) + 6 3 舀( a + r 1 ) , 1 j a k d i t ( ( x ( 以。呶) 工y 柳+ 6 4 0 ( a + 椭 女如( ( z y z 。) ( 圳7 柳 = 舀+ q ) d i j ( 妁，少) 。d k l ( x q 3 ) x v y q z u ) = ( 祆， ) + o ( r 1 ) ) d i j ( x ( 口) j 尸，少) ，d 盯( ) j 0 刀z 一) 】 = 舀( ) 巩( 妁，少) ，砒( 妒x y ) 】+ d i j ( x ( ”弗，夕) ，祆，7 ) d 盯( ) z y ) 】 = d o ( d “( z ( 。妁， 少) ，d 切( x 够) z y 少) ) 】+ d q ( 妁，少) ，d 口( d k t ( x t a ) x v y o z a 铆】 因此d o d e 积s ) 4 ) 若f ，工k ，y 3 时，证明类似于1 ) 的情形，因此d o d e 丽( s ) 5 ) 综上所述，对于任意的f ，工k ，y 时，我们不妨设i r o ，hk y 2 ，y 3 于是有 d 日 d f ，( x _ ) x y a z o ) ，d k ，( ) 工y 少) 】 = d o ( 6 1d a ( d j ( ( x ( 口妁，夕) d ，( 妒) 工y ) ) + 6 2 d j k ( d i ( ( x ( 口) 工吵夕) d ，( ) 工y ) ) + 6 3 d i i ( d j ( ( x ( 。) x u z 8 ) d k ( x ( 口) x 0 一z 一) ) + 6 4 d y t ( d f ( ( 0 口) j c 誓，少) d 七( 0 卢) j v j ) ) ) = 6 1 反 + 叩) 五，d i k ( ( x ( ) x u y a z 8 d t ( x a z 0 ，7 ) ) + 6 2 舀( a + 玎) d 肚( d f ( ( 0 。) x _ ，z o ) d ，( 0 芦) j f ，7 一) ) 1 2 东北师范大学硕士学位论文 + 巧3 否( 五+ ，7 ) _ ，d j ，( ( 。z 。d k ( x 够) x v y q z u ) ) + 6 4 祆，l + ，7 ) d j l ( d f ( ( 一。) 工夕) d 女( 工垆少) ) = 砸+ f i x 6 1d i k ( d j ( ( x ( j y 少) d ，( ) z y ) ) + 6 2 d j k ( d f ( ( x ( 口) p 少少归舡够) z y ) ) + d i 3 d i l ( d j ( ( x ( 口妁，少) 仇( 妒) x y ) ) + 以如( d f ( ( 妁，少归女( ) 工y ) ) ) = 吼五+ q ) d i j ( x ( 口) x ”y z o ) ，d k t ( x 0 8 ) x y ，) = ( 祆_ ) + 民叩) ) p u ( z 吵少) ，d k l ( x ( a ) x v y t z u ) = o ( a ) d i j ( x ( z 吵少) ，d k t ( x q 3 ) x v y 目：) + 【d 玎( 工( 。幽，1 夕) ，o ( q ) d k t ( x ( a ) x v y q z n ) = d o ( d i j ( x ( a ) x u y 。z 。) ，d k t ( x 伊) x v y q z n ) ) + 【d 玎( 弘妁，少) ，岛( 三切( ) 石y 纱) ) 】 因此d o d e 积s ) ，命题得证 定理5 3 设v 驴d e r ( s ) ，若妒( d ，) = o y ，则存在0 0 使得妒少d f ) = d 口0 一z 。d a v a hv f y 证明此证明相仿于文献【4 ，l e m m a 2 7 】略 引理5 2 设彳d e r ( s ) ，若【d ，彳】= 叻d f ，彳】= o ，v f zt y l ，j y z ，则a s _ 1 证明应用引理3 2 ，我们知道s i = i v _ l ，即得证 引理5 3 设a s ，妒d e r ( s ) ，若【d f ，彳 = a i ；叻d r ，彳 = 如且妒( d f ) = 妒似，) = 妒o j d ，) = 妒( b j ) = 0 设v f y f 】，l ，e 圪，贝1 i 妒“) s 1 证明应用引理5 2 即可，证明略 引理5 4 设妒d e r ( s ) ，其中t z 设k 一i 且妒 ) = o 其中= 一l 0 ，t 若k + f 一1 ， 则妒= 0 证明相仿于文献【6 ，引理2 8 ，略 定理5 4 设妒d e r ( s ) , t o ，因此存在a n o r w ( s ) 和0 0 ，使得妒= a d a + 岛 证明相仿于文献 1 0 】，略 定义5 2 我们定义线性映射：d v ：形一r 使得 d z v ( f d f ) = = ( 一1 ) r ( o d i f v f 蜮r ) ，v fez 引理5 5 设d ，h 其中只，z 2 ，则州 d ，h i ) = d ( d i v ( 1 - d ) 一( 一i 户觑州d ) ) 1 3 东北师范大学硕士学位论文 证明相仿与文献 6 ，引理3 8 】 定义5 3 设s = d wi ( d i v ( d ) = o ，由引理5 5 知，s 是矽的子代数 引理5 6 以下结论成立： ( 筘是李超代数s 的理想 ( 豇) 歹= s ( r , q ， 肌) 。f e y 0f 矿一”而x z o d i 。挺y 2f x , r 6 f x 勺一一m - z k z o d i 证明相仿于文献 1 3 ，引理3 1 0 弓i 理5 7 设圾= x k d k ，k y ，贝1 jh k n o r w ( s ) 证明在s ( r , q ，肌) 中我们有如下的运算公式：d q ( f ) = ( - 1 ) r r j d i ( f ) d j 一( 一1 ) ( 计o ：d j o o d ， 其中厂f ，v f ，y o 我们知道歹= y o uy l ，且下面的等式成立：对任意的f ，j y = y o u y lu y 2 u y 3 ， h i ，d i j ( x ( 。) 圳少) 】= 6 h k ，q ，( ) 少) 】，其中6 = i 或者一1 1 ) 若足y o 我们按f 来分类讨论 当f ，y o 时，则 h k ，d q ( x 。) 力一夕) 】 x k d k 水“t 妁一少q 卜 x k d k ”e ：) x u y 。z 。d i 心k 一6 k j 一6 k a 扣一d ) 一矿d j 一心k 一6 k j 一6 k i ) x ( 。一r q ) x u y 。：d i q k 一6 k j 一6 k d | j o p 矿、) s 当f y l 时，则 h k ，d q ( x ( 。哟，少) 】- c r k d q ( x ( 口妁，少) s 当f ，y 2 时，则 鲰，d 玎( 。) z 吵少) 】= a k d q ( x _ ( 矿，少) s 当f y 3 时，贝0 h k ，d 玎( 。) z 吵少) = 口t d 玎( 0 口) 夕) s 当i y o ，_ ，y 1 时，则 h k ，d j ( x 。妁一少) 】 当i y o ，y 2 时，贝0 x k d k d i ( x ( y 、d j 一( - 1 ) t i d j ( x ( 呐x u y a z 9 ) d i x k d k ，| 。一岛) 】0 一少q 】一 x k d k ，0 “一q ) r 少少d ，】 心k 一6 k 0 d u 沙妒p 、) s h k ，d q ( x ( 。奶一少) 】= k 仇，砟，夕研卜k 仇，少- ：) x u z o d i = ( 口一6 七f ) d ，( 。) j 少，) 功一口i 功( 0 订) x u z 口) d i = ( a t 一6 i i ) d i j ( x ( 。) 少) s 当i y o ，i 3 时，贝0 圾，d 玎( 一。) 工吵少) 】= ( 口i 一6 1 a ) d i j ( x ( “) 工吵少) s 当i y l ，y 2 时，贝4 鲰，d 玎( 0 口) 工少) 】= 口t d 玎( 0 口) 工吵少) s 当i y 1 ，- ，y 3 时，则 h i ，d i j ( 0 。) 少) - c h d u ( x ( 桫少) s 当i y 2 ，y 3 时，则【，d i j ( x _ ( r 吵夕) 】= o q 。d i j ( x ( 曲x 吵少) s 东北师范大学硕士学位论文 2 ) 若七y l ，且k i ，k j ，我们按k l ， ，七譬 ” 来分类讨论 当七g “ 时， h k ，d 玎( 0 。拶少) 】= 0 s 当k 时， h k ，d i j c x ( 。) 拶少) 】 = ( - 1 ) v ( 刚 ) x k d k ( d i ( x o ) 妁一夕) ) 研一( 一1 ) ( “o + 呦) 酽i 柳仇( 研( 扣妁，少) ) d ， 我们断言：x k d k ( d j ( x ( 口) 拶少) ) = 研( 水) 少) ，w y ouy 1uy 2uy 3 若_ ，y o 时， x 女d k ( d j ( x ( 。) 功，少) ) = x k d k | 。叫。) y l z 。x k d k ( x u ) = 扣吒 、矿害皆 = d ，( ) 妁，z 1 9 ) 若y 1 时， x k d k ( d j ( 0 乃一少) ) = x k d k “乃( ，少 = o ) y l z 4 x k d t o j ( x u ) = 0 。y 少：j f ( ) = 研( 一奶，少) 若_ ，y 2 时， x k d k ( d j ( x ( 彤一少) ) = x k d 女( a a x ( 。) 彤，夕) ) = b 如1 x k d d 铲 = ( 乃( o 奶，夕) ) = d j ( 妒) 妁一少) 若_ y 3 时， x k d k ( v j ( 2 妁，少) ) =靓d 女( ( 0 。) 拶少) ) = ( 0 口钕上) 七( ，) = d j ( 。) 乃一夕) 于是由( 丰) 式 h i ，d i j ( x ( 。) 妁一少) ( 牛) ( 一1 ) 一加u 妇d 女( d ，( 0 。j c 勺，少) ) q 一( 一1 ) ( r ( d + 7 u ) ) i ，i x 女d k ( d j ( x t a ) j f 勺一少) ) 功 ( 一1 ) r ( 3 r 0 3 d i ( x ( 。一少) q 一( 一1 ) ( 7 ( d + 彻) 酽i 研( 哪乃一少) d f d i j ( x ( 口1 p 矿s 3 ) 若七y 1 ，且k = t k j 我们按k k 譬来分类讨论 当k 甓 “ 时