（基础数学专业论文）模糊关系方程解的扰动性分析与模糊推理系统的鲁棒性研究.pdf

模糊关系方程解的扰动性分析与模糊推理系统的鲁棒性研究 金检华 摘要扰动性理论一直是工程控制上研究的热点问题随着社会的发展， 模糊数学的应用领域日趋广泛。涉及自动控制、图象和文字识别、人工智能、地 质地震、故障诊断、气象分析，航天航空、火车汽车驾驶、交通管理、决策评价、 企业管理和社会经济等等很多方面同样，模糊推理系统的扰动理论研究势在必 行它将为基于模糊数学的模糊系统建模与控制提供可靠的理论基石如今不同 的模糊推理方法被提出，如果我们清楚了模糊系统中的不同模糊推理方法的最大 扰动范围，那么我们就可以根据实际需要选择恰当的模糊推理方法在过去的几 年中，关于模糊系统的扰动性研究已取得一定的成绩 应明生【3 4 】提出了模糊集最大扰动和平均扰动的定义，讨论了若干模糊推理 方法的扰动结果；蔡开元【2 】利用集合的矗灵敏度，基于连接词、蕴涵算子讨论 了模糊推理的扰动性考虑到模糊推理系统与模糊连接词的紧密联系，李永明等 人【1 6 ，1 7 】提出连接词的灵敏度概念，并进而给出了模糊推理的扰动的最佳估计 但是，以上讨论都是基于【0 ，1 】上通常度量引入模糊集闻的距离来研究模糊集 间的偏差的，而基于逻辑等价的概念来研究模糊推理系统的鲁棒性具有更好的逻 辑意义和现实意义而且，基于【0 ，1 1 通常度量的模糊扰动是基于逻辑等价的模糊 扰动的一种特殊情况因此，本文研究基于逻辑等价度量来定义模糊集的扰动意 义下的模糊推理系统的鲁棒性讨论模糊集扰动与模糊连接词及蕴涵算子扰动之 间的关系，针对若干常用的模糊连接词及蕴涵算子的扰动情形，给出模糊推理系 统的扰动的最佳结果同时解决了文【2 ，1 7 1 中提出的一些公开问题 另一方面，大部分模糊推理系统都可以用模糊关系方程实现不同类型的模 糊关系方程对应不同的模糊关系合成算法关于f u z z y 关系方程的扰动性分析是 理论研究和工程应用都很关心的焦点问题，许多学者在这方面取得了许多研究成 果但是这些研究均没有从f u z z y 矩阵的整体上去讨论f u z z y 关系方程的扰动 性质于是本文在定义f u z z y 矩阵扰动的基础上讨论f u z z y 关系方程解的扰动 性，并且得到了一些有益的结果首先给出模糊关系方程扰动的定义，基于此， 讨论了模糊关系方程解的存在性变化情况，并且就模糊关系方程解的扰动性进行 了研究，最后给出了它们的最大解、极小解及其数目变化的结论同时解决了文 【2 7 】中提出的一些公开问题 考虑到逻辑等价度量的适广性。针对特殊的蕴涵算子及三角模，基于逻辑等 价度量的模糊集扰动的定义，讨论模糊关系方程及其扰动方程解的存在性的变化 情况，最后给出了最大解、极小解扰动的最佳估计 关键词：模糊集；模糊m p 规则；模糊m t 规则；模糊关系方程；解；扰 动；模糊推理系统的鲁棒性 i i t h er o b u s t n e s so ff u z z yr ，e a s o n i n ga n d s o l u t i o n so ff u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n s j i a n h u aj i n a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，t h er o b u s ta n a l y s i so ff u z z yr e a s o n i n ga n ds o l u - t i o n so ff u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n si sd i s c u s s e d a si sw e l lk n o w n ，r o b u s t n e s st h e o r y i sa l w a y s 眦i m p o r t a n ti s s u ei nt h ef i e l do fc o n t r o lt h e o r y w i t ht h ed e v e l o p m e n t o fs o c i e t y , t h e 印p l i c a t i o ao ff u z z ym a t h e m a t i c sh a sb e e nb e c o m i n gb r o a dd a yb y d a y , w h i c ht e l a t e st om a n ya s p e c t sa sf o l l o w s ：a u t o m a t i cc o n t r 0 1 t h ei m a g ea n d c h a r a c t e r si d e n t i f i c a t i o n ，a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，g e o l o g ye a r t h q u a k e ，t h em a l f u n c t i o n d i a g n o s e ，t h ea n a l y s i so fm e t e o r o l o g i c a lp h e n o m e n a ，a e r o s p a c ea v i a t i o n ，t r a i na l l - t o m o b i l ed r i v i n g ，t r a f f i cc o n t r o l ，d e c i s i o n - m a k i n ga p p r a i s e ，b u s i n e s sa d m i n i s t r a t i o n a n de c o n o m y , a n ds oo n b yt h es a m et o k e n ，t h er e a s e a r c ho fp e r t u r b a t i o nt h e o r y o ff u z z yr e a s o n i n gi si m p e r a t i v e t h a ti s ，w i l las m a l lv a x l a n c eo fi n p u tc 2 , 1 1 s eab i g v a l i a n c eo f o u t p u to f f u r yr e a s o n i n g ? n o wt h ed i f f e r e n tf u z z yr e a s o n i n gm e t h o dh a s b e e np r o p o s e d i fp e r t u r b a t i o np a r a m e t e r so fv a r i o u sm e t h o d so ff u z z yr e a s o n i n g a r ee s t i m a t e d ，t h e nt h e s ep e r t u r b a t i o np a r a m e t e r sm i g h t n r e 够ac e r t a i nc r i t e r i a ， f o rc h o i c e so fm e t h o d so ff u z z yr e a s o n i n gi np r a c t i c a lp r o c e s s e s i nr e c e n ty e a r s ， t h e r eh a v ean u m b e ro fp r o g r e s si nd o i n gr e s e a r c hi np e r t u r b a t i o np a r a m e t e r so f f u z z ys y s t e m m i n g s h e n gy i n g1 3 4 1p r o p o s e dt h ec o n c e p t so fi n a x i i n u l na n da v e r a g ep e r t u - r a t i o n so ff u z z ys e t s s u b s e q u e n t l yp e r t u r b a t i o np a r a m e t e r so fv a r i o u sm e t h o d s o ff u z z yr e a s o n i n gc o u l db ee s t i m a t e d c a i 2 u s e dt h en o t i o no f6 - - e q u a l i t i e so f f u r ys e t s ( b e i n gd u a lt ot h em a x i m u mp e r t u r b a t i o no ff u z z ys e t so fy i n g s ) t os t u d y r o b u s t n e s so ff u z z yr e a s o n i n gt h a ti e dt os o m eg e n e r a r e s u i t si nc a s eo ff u z z y0 0 1 1 - n e c t i v e s ，f u z z y i m p l i c a t i o n o p e r a t o r s , n n d g e n e 似m o d u s p o n e n s a n d g e n e r a l i z e d m o d u st o l l e u s s o m eo t h e r sa p p r o a c h e dt h i sc o n c e p tf r o mad i f f e r e n tp e r s p e c t i v e a sp r e s e n t e di nr e f e r e n c c s 2 6 ，2 9 1 ；r e f e r e n c ea l s ot os o m ec o m m e n t sm a d ei nr e f e r - e n c e 1 1 c o n s i d e r i n gt h a tt h er e s u l t so ff u z z yr e a s o n i n ga r eh e a v i l yd e p e n d e n to n t h ec h o i c eo ff u z z ys e t so ff u z z ya n t e c e d e n ta n df u z z yc o n s e q u e n c e sa sw e l la sf u z z y c o n n e c t i v e sa n df u z z yi m p l i c a t i o no p e r a t o r st h a tl i n kf u z z ya n t e c e d e n t sa n df t t 雹z y c o n s e q u e n c e s ，y o n 掣n i n gl i ，e t c 【1 6 ，1 7 1i n v e s t i g a t e dt h ei s s u e so ft h er o b u s t n e s so f f u z z yl o g i cc o n n e c t i v e sa n di m p l i c a t i o no p e r a t o r sa n dd e v e l o pr o m ee s t i m a t e so f r o b u s t n e s so ft h em a i ns c h e m e so ff u z z yr e a s o n i n g ( a sw i l lb es h o w n ，t h o s ea r el e s s c o n s e r v a t i v et h a nt h o s ep r o p o s e db yy i n ga n dc a i ) i i i i nt h ep r e v i o u sw o r k ，t h ep e r t u r b a t i o no ff u z z ys e t sw a se x p r e s s e db a s e do nt h e n o t i o no ft h em a x i m 啪p e r t u r b a t i o no r6e q u a l i t i e so ff u z z ys e t sv i at h ed i s t a n c e m e a s u r eo nt h eu n i ti n t e r v a l 【o 1 】h o w e v e r ，t h eb e h a v i o ro faf u z z yl o g i cs y s t e mi s m a i n l yd e t e r m i n e db yi t si n t e r n a ll o g i cs t r u c t u r e - - t h ef u z z yc o n n e c t i v e sa n df u z z y i m p l i c a t i o no p e r a t o r s t h a td o i n gr e s e a r c hi nt h er o b u s t n e s so ff u z z yr e a s o n i n g b a s e do nl o g i c a l l ye q u i v a l e n tm e o n d l n g 占一e q u a l i t y h o l d si sd e r i v e d i no t h e ra s p e c t ，t h em a j 删移o f 矗1 z 巧i n f e r e n c es y s t e m sc a nb ei m p l e m e n t e d 谚 u s i n gf u r yr e l a t i o ne q u a t i o n s a n dt h e r ea r em a n yd i f f e r e n tt y p e so ff u z z yr e l a t i o n e q u a t i o n sc o r r e s p o n d i n gt od i f f e r e n tm e t h o d so ff u z z yi n f e r e n c e n o wt h ep r o j e c t t h a t t h e a n a l y s i s o f t h e p e r t u r b a t i o n o f f u z z yr e l a t i o n e q u a t i o n s i s t h e h o t t o p i cc a r e d b yr e s e a r c ho ft h e o r ya n da p p l i c a t i o no fp r o j e c t ，a n dt h e r eh a v em a n yp r o g r e s si n t h e s ef i e l d ss t u d i e db ym a n ya u t h o r s h o w e v e r ，t h e s ec o n c l u s i o n sa n dp r o p e r t i e sa r e n o td e r i v e df r o mt h ea s p e c to fh o wt h es o l u t i o n so ff u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o na r e i m p a c t e db y a l lp e r t u r b a b l ee l e m e n t so ff u z z ym a t r i x c o n s e q u e n t l y , i nt h i sp a p e r ， t h ep e r t u r b a t i o np a r a m e t e r so fs o l u t i o n so ff u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n sa r ep r e s e n t e d b a s e do nt h ed e f i n i t i o no fa l lp e r t u r b a b l ee l e m e n t so ff u z z ym a t r i = x ，s o m eu s e f u l r e s u l t sa r eo b t a i n e da n dt h ep r o b l e mp o s e di n 2 v i ss o l v e d a tf i r s t ，t h ed e f i n i t i o n o ft h ep e r t u r b a t i o no ff u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o nb a s e do nm a x - c o m p o s i t i o nb yt h e u s eo ft h ei n d e xo fm e a s u r ea r ee s t a b l i s h e d s e c o n d l yt h ec h a n g i n gc o n d i t i o no ft h e s o l u t i o n so ff u z z yr e l a t i o n a le q u a t i o na n di t sp e r t u r b a b l ee q u a t i o na r ed i s c u s s e d - i h el a s taf o r m u l at oe s t i m a t et h ep e r t u r b a t i o no ff u z z yr e , l a t i o n a le q u a t i o n t h e c h a n g eo ft h en u m b e ro fi t sm a x i m a ls o l u t i o na n dm i n i m a ls o l u t i o n sa r ed e r i v e d n o t i n gt h a tt h ee x p r e n s i v ea p p l i c a t i o no fl o g i c a l l ye q u i v a l e n c em e a s u r e b a s e d o ns o m es p e c i a li m p l i a t i o no p e r a t o ra n dt r i a n g l e rn o r l n ，a n dt h ed e f i n i t i o no fm a x i - m u m p e r t u r b a t i o no ff u z z ys e t sb a s e do nl o g i c a n ye q u i v a l e n tm e a s u r e ，t h ec h a n g i n g o ft h e 野i s t e n c eo fs o l u t i o n so fh l z 虿r e l a t i o ne q u a t i o na n di t sp e r t u r b a b l ee q u a t i o n a r ed i s c u s s e d t h el a s tb u tn o tt h el e a s t t h ep e r t u r b a t i o np a r a m e t e r so ft h e b i g g e s t a n dt h em i n i m a ls o l u t i o n sa r ee s t i m a t e d k e yw o r d s ：f u z z ys e t ：f u z z ym pr u l e ；f u z z ym tr u l e ；f u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n ； s o l u t i o n ；r o b u s t n e s s ；r o b u s t n e s so ff u z z yr e a s o n i n g v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：衅日期：型g 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者张鳢 前言 模糊数学是诞生于2 0 世纪6 0 年代的一门新型数学分支1 9 6 5 年美国加州 大学的工a z a d e h 教授在其发表的著名论文f u z z ys e t s 中，首次提出用 。隶属函数”的概念来定量描述事物模糊性的模糊集合理论，从此奠定了模糊数 学的基础 模糊数学不是将数学变得模模糊糊，而是用数学的方法去定量地描述客观世 界中的模糊现象，揭示其本质和规律模糊数学在经典数学和充满模糊性的现实 世界之间架起一座桥梁在短短四十年里模糊数学得到长足的发展，在理论和应 用方面都取得了令人刮目的成果模糊数学的应用领域涉及自动控制，图象和文 字识别，人工智能，地质地震、故障诊断，气象分析，航天航空，火车汽车驾驶， 交通管理。决策评价，企业管理和社会经济等等很多方面 其中，模糊数学为模糊系统与控制提供了起始点和语言模糊系统是知识库 或规则库系统它常用的有以下三种类型， + ( i ) 含有模糊化和解模糊化的模糊系统；( i i ) t a k a g i s u g e n o k a n g ( t s k ) 模糊系统；( i i i ) 纯粹模糊系统 含有模糊化和解模糊化的模糊系统通常由模糊规则库、模糊推理机，模糊化 和解模糊化这四部分组成模糊系统基本结构框图如下图所示； r 。一 i 模糊规则库i l _ _ _ _ - - - - - - _ j 工 u 上的z i 模糊化i i 模糊推理机i i 解模糊化 y 上的y t s k 模糊系统的输入与输出都是实值变量，且输出变量是关于输入变量的 线性函数它的结构框图如下图所示。 匝圜 土 扩上的霉， 亘垂圃，y 上的掣 纯粹模糊系统即输入与输出都是模糊集的模糊系统，它由模糊规则库和模糊 推理机组成它的基本结构框图如下图所示。 匝圈 l c 厂上的模糊集一匪塑虱圃一v 上的模糊集 1 模糊系统的核心是模糊规则库，它对系统进行描述，其他部分都是在它的基础 上展开的模糊系统研究的一个重要问题就是已知模糊规则库，已知模糊输入 求模糊输出而求模糊输出的问题由模糊推理机来完成 模糊推理已经成为一个新兴的研究领域，并且广泛地应用于智能系统例如模 糊控制、模糊分类。专家诊断系统等于是，各种各样的模糊推理方法放提出， 例如模糊推理的合成规则、概率方法等【1 5 1 对于每一种方法，蕴涵算子与模糊连 接词被用来连接模糊前提和模糊结论考虑到模糊推理的结果取决于模糊连接词 及模糊蕴涵算子的选择，而各个模糊集对应的隶属函数的选取是主观的，因雨与 实际情况存在一定的偏差，这时对应的推理结果必然也有偏差如果推理对于隶 属函数的选取敏感。即小的偏差导致推理结果有大的偏差，则这样的推理系统对 某些不确定性系统就是不适甩的，那么它的应用将大大受限因此不确定推理系 统应该具有鲁棒性，即模糊推理系统对隶属函数的微小偏差不敏感进一步地。 如果我们清楚了模糊系统中的不同模糊推理方法的最大可达扰动范围，那么我们 就可以根据实际需要选择恰当的模糊推理方法 直观上地，如果两个模糊集的偏差较小，那么就称其中的一个模糊集是另个 模糊集冉扰动在过去的几年中，关于模期系统的扰动性研究已取得一定的成绩 应明生【3 4 】提出了模糊集最大扰动和平均扰动的定义，讨论了若干模糊推理方法 的扰动结果其中，模糊集之间的偏差是基于【0 ，1 】上通常度量提出的即。给定两 个模糊集a 和e a ，b ：u f 。 l ，若对于任意o 弘都有l a 扛) 一b 纠j s ， 则称b 为a 的最大扰动 蔡开元【2 ，3 1 利用集合的正灵敏度，基于连接词、蕴涵算子讨论了模糊推理 的扰动性考虑到模糊推理系统与模糊连接诃的紧密联系，李永明等人【1 6 ，1 7 j 提 出连接词的灵敏度概念，并进而给出了模糊推理的扰动的最佳估计 但是，以上讨论郡是基于p ，l j 上通常度量引入模糊集阅的距离来研究模糊集 问的偏差的，而基于逻辑等价度量的概念来研究模糊推理系统的鲁棒性具有更好 的逻辑意义和现实意义其中，基于逻辑等价度量定义模糊集之间的扰动为。 设a ，8 是非空集x 上的模糊集。0 石sl ，一为某种逻辑连接词若 阻兰司= a ( z ) 一b 扛) ) a ( z ) 一a ( z ) ) 6 ，则称b 为a 的乒扰动，记 z 作a 兰( d 且 通过计算可以发现，当一为i m k a a i e u r i c z 蕴涵时。基于【o ，1 1 上通常度量引 入模糊集问的距离是基于逻辑等价度量的模糊扰动的一种特殊情况于是，本文 研究基子逻辑等价度量来定义模糊集的扰动意义下的模糊推理系统的鲁棒性同 时解决了文【2 ，1 7 】中提出的未解决问题 2 另一方面，多数模糊推理系统都是用模糊关系方程来实现的不同类型的模 糊关系方程对应不同的模糊关系合成算法每一个模糊规则都可以表示为u v 上的模糊关系，用关系q = ( ) 。k 表示设a = ( ) 。表示模糊输入，则模 糊输出b = ( ) 。k 由如下公式给出： b = a o q 这里。合成算子取为s u p t 合成或i n y 一0 合成，其合成形式如下； a 与q 的s u p t 合成为，b = s u p l ( 知6 ) ，v 眠，帆；a 与q 的i n y p 合成为；= 讯，f n 。( a i t o q t j ) ， r n ，n k m 。= 1 ，n ) 模糊关系方程求解问题有以下两个方面需要考虑： ( 1 ) 已知b ，q ，求a ? 这个问题称为求输入问题； ( 2 ) 已知a ，b ，求q2 这个问题称为模糊辨识问题 在工程控制上，对于有模糊输入和模糊输出的问题，模糊关系方程的解就是 模糊推理系统中的系统模型那么，就会存在如下的问题， ( i ) 当模糊输入、模糊输出给定时，着模糊输入，模糊输出与实际存在一定的 偏差，则模糊关系方程解的偏差大不大。有多大呢? 如果解的偏差小，就说明这 样的系统模型是较适用的 ( 砷当系统模型已知、模糊输出给定时，模糊输入是未知的，那么通过模糊关 系方程可以求得模糊输入数值若系统模型与模糊输出在一个小范围内扰动，则 模糊输入会不会造成大的扰动? 若模糊输入扰动大，则说明这样的模糊系统是不 可靠的 由于f u z z y 关系方程的扰动理论在f u z z y 控制f u z z y 推理和f u z z y 逻辑 等理论领域有着广泛的应用，f u z z y 关系方程的扰动性分析成为了理论和工程两 个方面都关心的焦点问题许多学者在这方面取得了许多研究成果，t a n g f c 2 7 给出了扰动元概念，并在此基础上讨论了扰动元对m a x m i n 型f u z z y 关系方 程的扰动问题，但他们却没有讨论f u z z y 矩阵的所有扰动元的扰动性质，张诚一 等在【4 1 1 解决了【2 7 】中提出的未解决问题，然而这些讨论均没有从f u z z y 矩阵 的整体上去讨论f u z z y 关系方程的扰动性质于是本文在定义f u z z y 矩阵扰动 的基础上讨论了f u z z y 关系方程解的扰动性，得到了一些有益的结果，并且解决 了文【2 7 】中提出的未解决问题 ， 本文分为四章 第一章是预备知识，介绍了三角模、常见的几种蕴涵算子，即冗一i m p l i a t i o n ， s i m p l i a t i o n 与q l i m p l i a t i o n 等概念，进一步介绍了模糊逻辑，z a d e h 的 3 模糊推理合成规则及模糊推理机、常用的模糊关系方程的解集及解存在的充要条 件这对本文第二、三，四章解决基于布尔型蕴涵的模糊关系方程与模糊推理系 统的鲁棒性研究很有帮助 第二章，从模糊矩阵的整体上去讨论模糊关系方程的扰动性质首先给出模 糊关系方程扰动的定义，基于此，讨论了模糊关系方程解的存在性变化情况，并 且就模糊关系方程解的扰动性进行了研究，最后给出了最大解、极小解及其数目 变化的结论 第三章，首先给出基于逻辑等价度量的模颧集扰动的定义，基于此，针对特 殊的蕴涵算子及三角模讨论模糊关系方程及其扰动方程解的存在性的变化情况， 最后给出了最大勰极小解扰动的最佳估计 j 第四章，主要讨论模糊推理系统的鲁棒性考虑到模糊逻辑系统的行为主要 取决于它的内部结构模糊连接词和模糊蕴涵算子因此，对于灵敏度可取 到的模糊连接词及蕴涵算子。例如取小算子，乘积算子及l u k a s i e w i c zt - 模运 算等，l u k a s i e w i c z ，m a m d a n i 。k l e e n e d i e n e s 或g o e u e n 蕴涵算子等模 糊推理系统的鲁棒性研究转化为通过对应模糊算子的鲁棒性进行计算基于逻辑 等价度量的模糊集合扰动的定义，讨论模糊集扰动与模糊连接词及蕴涵算子扰动 之间的关系，针对若干常用的模糊连接词及蕴涵算子的扰动情形，给出模糊推理 系统的扰动的最佳结果 4 第一章预备知识 1 1 模糊逻辑及其推理 1 1 1 模糊命题 定义1 1 1 映射t ：【o ，1 1 2 一【0 ，1 1 称为三角模，如果t 满足如下条件t v a ，b ，c ，d 【0 ，1 】， ( 1 ) t ( 0 ，0 ) = 0 ，r ( k 1 ) = 1 ；- ( 2 ) a c ，b d 号t ( a ，b ) t ( c ，d ) ； ( 3 ) t ( a ，b ) = t ( b ，) ； ( 4 ) t 口( o ，6 ) ，c ) = t ( a ，t ( b ，c ) ) 若三角模满足t ( a ，1 ) = a ( w f 0 ，1 j ) ，则称r 为t 一模0 一似”m ) ；若三角 模t 满足t ( a ，0 ) = 口( v 口【o l l ，则称t 为k 余模或。一模( s 一m ) 例1 1 1 下面的模是t 一模t m i n i m u m ：t ma ，6 ) = m i n ( a ，6 ) 一8 a 6 ； a l g e b r a i cp r o d u c t ：t aa ，6 ) = a 缸 l u k a s i e w i c zp r o d u c t ：死a ，6 ) = m a z a + b 一1 ，o ) ； f d ，6 = 1 d r a s t i cp r o d u c t ：殇a ，妨= 6 口= l 【0 ，其他 仞1 1 2 下面的模是s 一模。 5 k ( o ，6 ) = f n b z ( o ，； 昂a ，6 ) = 扭+ b 一曲； s 工a ，6 ) = m i n a + b ，1 ) ； 岛。，： 毒：三： 【1 ，其他 命题1 1 1 映射s ：【o ，1 t 2 一【0 ，1 j 是5 一模当且仅当存在t 一模r 使得对所有 的( g ，b ) 【o ，1 1 2 有 s ( a ，6 ) = 1 一t ( 1 一a ，1 6 ) 5 定义1 1 2 设映射h ：l o ，1 】一【o ，1 】满足 ( i ) h 0 ) = 1 ，h 0 ) = o ； ( i i ) v a ，b 1 0 ，1 】，若o b ，则h ( a ) ( 6 ) ， 则称h 为伪补若伪补h 还满足 ( f i i ) ，l ( ( n ) ) = d ，v a 【0 ，l 】， 则称h 为补 定义1 1 ，3 设 是补运算，如果t 一模r 和8 一模了满足如下条件tv a ，b 【o 。t l ， t ( o ，b ) = h t s t h ( o ) ，m b ) ) ) ， 则称t 和s 关于h 是对偶的若h 为线性补，即 ( 霉) = l 霉。则t 和s 称为 是对偶的 、i” 命题1 1 。2 拖扣，王j 则有 一 ( i ) 对任意的t 一模t ，t o ts 死f ( 赶) 对任意的童一模蜀s b s s s k ( i i i ) t ( $ ，z ) = 茹当且仅当t = t m ( 1 ) 模糊命题 一 用来表达一个完整概念的语言或文字符号称为句子个有意义的句子，能 够判断它的含义是真或假就称为命题模糊命题即含有模糊成分的命题，判断结 果鬻常是非真非假，处于真假之同的楱援蜀可状态，例如t 他是个胖子； 她长得漂亮 我们很难判断这样的命题取真或假，而说他是胖子的程度是多少更为贴切， 其取值范围从 o ，1 ) 扩大到f o ，1 1 。对命题的描述更为贴切合理，因而也更为深 刻模糨命题表示为p ，p 的真值甩廿锄表示。列移( 妨( o ，i j 最基本的模糊命题称为原子模糊命题原子模糊命题通过命题连接词，即 v ，a ，一，一等可连接成复合模糊命题。连接词可多次使用 对应于经典逻辑，我们有以下模糊逻辑连接词- ( 2 ) 模糊连接词 v 称为析取，是。或( d r ) - 的意恩。p v q 表示p 或q p v q 的真值由下式计 算。”( p v q ) = 5 扣( 力，u ( q ) ) ，其中s 为某一s - 模 6 a 称为合取，是。与( d 删”。并且”的意思，p a 口表示p 且g p a g 的真 值由下式计算。 幻 g ) = t ( v 加) ， ( 口) ) ，其中t 为某一t 一模 一表示否定，它的含义是命题的否定，命题的非，- 7 p 表示非p _ 7 p 的真 值为 ( 一p ) = h ( v ) ，其中h 为补算子 一表示蕴涵，是。如果( f ) 那么( t h e n ) ”、。若则” 的意思，p 日表示如果p ，则q p q 的真值为 0 一q ) = ( 力一 ( q ) ，其中 一为【0 ，1 1 上的蕴涵算子包含冗一蕴涵，s 一蕴涵，q l 一蕴涵及m a m d a n i 蕴 涵，前三者统称为布尔型蕴涵，一般取前三者之一 。 、 ， ” 定义1 1 4 算子一：【0 ，1 】2 一【0 ，1 】称为由t 一模诱导的r 一蕴涵，其中对任 意a ，b ( 0 ，1 t ，a ，b = v c f 0 ，l l l t ( a ，c ) 舛 ， 例1 1 3 常用的r 一蕴涵包括：g 6 d e l 蕴涵为n 。gb ： j n s b ，对应 l 6 ，o b 的t 一模为t ( a ，6 ) = m i n ( a ，6 ) ；l u k a s i e w i c z 蕴涵为n - 工b = r a i n 1 ，1 一口+ 6 ) ，对 应的t 一模为t ( o ，6 ) = m a x ( 0 ，口- 4 - b 一1 ) ；g u o g u e n 蕴涵为口一gb = m 协( 詈，1 ) ，对 应的t 一模为t ( a ，的= 曲 定义1 1 5 算子一：【o ，1 1 2 一【0 ，1 l 称为s 一蕴涵，其中对任意口，b 【o ，1 】，口一 b = s ( ( o ) ，6 ) ，h 为补算子，s 为s 一模 例1 1 4 常用的s 一蕴涵包括tk l e e n e d i e n e s 蕴涵为a 。xb = m 凹( 1 一 口，6 ) ；r e i c h e n b a c h 蕴涵为n 一rb = 1 一0 4 - a b 定义1 1 6 算子一：f 0 ，1 j 2 一f o ，1 】称为q 己一蕴涵，其中对任意8 ，b f o 1 1 ，口一 6 = s ( ( n ) ，t ( a ，6 ) ) ，h 为补算子，s 为s 一模，t 为t 一模 例1 1 5 常用的q 己一蕴涵包括；z a d e h 蕴涵为a _ z6 = m o 珏( 1 一a ，m i n ( a ， ) ； 蕴涵口。口lb = 1 一口+ a 2 b 定义1 1 6 算子一：【o ，1 1 2 一【o ，1 ) 称为m a m d a n i 蕴涵，其中对任意口，b f o ，1 】，8 - ，b ；t ( a ，砷，为t 一模 1 1 2 模糊逻辑推理的基本形式 作为传统的假言推理的发展和扩充，模糊逻辑推理的基本形式有广义的肯定前 件式g m p ( g e n e r a l i z e dm o d u sp o n e n s ) ，广义的否定后件式g m t ( g e n e r a l i z e dm - o d u st o l l e n s ) 及广义的三段论规则g h s ( g e n e r a l i z e dh y p o t h e t i c a ls y l l o g i s m ) ， 其形式如下， g m p ： 大前提a b 7 小前提 ： 结论 b ， g m t ：大前提a _ b 小前提星： 结论 g h s ：大前提a b 小前提基兰q 结论a 一 其中a ，为论域x 上的模糊集，b ，f 为论域y 上的模糊集，a 为论域z 上的模糊集 1 2 。3 模糊推理约合成规则 如何由前提得到模糊推理的结果，下面我们介绍z a d e h 的模糊推理合成规则 ( c r i ) 推理合成规则是众所周知的函数过程的一般化若设u 是输入论域，v 是 输出论域，则c r i 称为8 t t p 一* 合成，记为f a o r 其中a 是v 上的模糊集， r 是u 到y 上的模糊关系于是我们可计算为国) 一u u ( a 扛) 兄( 毛秒) ) 。其中为t 一模更详尽的论述见文【1 7 ，3 9 。 基于s u p 一合成，我们可以给出g m p , g m t 及g h s 的推理计算方法如 下； g m p ：f ；o ( a 一功。即拶( 彩= 乜x 0 ) ( a b p ，彩j ，y g m t ：= b o ( a b ) 一即扛) ；v l ，v b ( 暑，) ( a b ( ，可) 】，v 量x g h s ：a 一= 一b ) o ( f 一回即一眇) ( 8 力= u e y 【一 露) 缸，防( 矽一q ( 骗纠 1 2 模糊系统的基本结构 模糊数学为模糊系统与控制提供了起始点和语言什么是模糊系统呢? 模糊 系统是知识库或规则库系统它常用的有以下三种类型t ( i ) 含有模糊化和解模糊化的模糊系统；( i i ) t a k a g i - s u g e n o - k a n g ( t s k ) 模糊系统；( i i i ) 纯粹模糊系统 本文主要研究纯粹模糊系统，它由模糊输入、模粳输出以及系统模型组成， 8 而系统的模型由模糊规则库与模糊推理机构成它的基本结构框图如下图所示。 i 模糊规则库i 上 一匦圃一匝塑回一匦圃一 模糊系统的核心是模糊规则库，它对系统进行描述，其他部分都是在它的基础上 展开的因为多输出系统可以分解为单输出系统的和，详细的论文见文【1 8 ，1 9 】因 此本章主要考虑多输入单输出系统，对应规则库由有限条规则构成，形式如下。 膏：i fz 1i s q ，诂 ：，t h e nyi s b ( f = 1 ，2 ，m ) 其中a 和b 分别是论域x r 和y r 上的模糊集，$ = ( z 。，z 2 ，z 。) t x = x a 咒x 。，y y 分别是输入、输出( 语言) 变量，m 为规则数 目该形式是n 输入单输出模糊规则的标准形式，其他形式的规则都可划为这样 的形式模糊规则库具有以下性质：完备性，互作用性、相容性及连续性等，详 细的讨论见文【2 8 】 每个