（基础数学专业论文）秩为1的无限维pointed+hopf代数.pdf

尤兰秩为i 的无限维p o i n t e dh o p f 代数 秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数 中文摘要 设h 是域七上一个h o p f 代数，h 0 q 4 2 是日的余根滤链，h 0 是日的h o p f 子代数当日作为代数可以由b 生成时，k r o p 和r a d f o r d 在文 1 3 】中定义了日的秩，用来 度量日的复杂度，并对特征为0 的代数闭域上的秩为1 的有限维p o i n t e dh o p f 代数进行了 分类本论文主要研究了两类无限维p o i n t e dh o p f 代数，说明了它们的关系我们首先讨 论了群代数上的h o p f o r e 扩张的秩，其次又对秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数进行了分 类 第一节，我们介绍了本文需要的关于h o p f 代数、h o p f 代数的秩和h o p f o r e 扩张的一 些基本概念和结论 第二节，取k g ( x ，a ，艿) 为群代数舱上的h o p fo r e 扩张，通过分析蜀的结构，我们研 究了h 的秩证明了当z ( a ) 是n ( n 2 ) 次本原单位根时，h 1 = 1 4 0 + h o x + h o x ”，即日的 秩为2 ；否则，h 。砜oh o x ，即日的秩为1 第三节，设日是秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数，g = g ( h ) 为日的群样元集我们 证明了一定存在a g ，x h v - i o ，使得a ( x ) = x a + l x ，从而有h l = h o o h o x 另外 也证明了日恰好是余根硒上的h o p f o r e 扩张 根据参数的不同，在第三节中将h 分为三种类型在第四节，我们选择第三种类型研 究了日的表示当g 是交换群时，我们证明了：当fzl 一时，任何有限维单的h 模是权 模且是1 维的；当lzi = n 尤兰秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数 c 圆c _ c o c 圆c c 后。衫l i s f 八 c 圆 圆k g 7 一 即满足余结合律和余单位性 设( c ，a ，占) 是余代数向量空间m 称为右c 一余模，如果存在映射砌：mj m 圆c 满 足如下交换图： 1 删dr 其中砌称为m 的右c 一余模结构映射 p 憾 m _ m c mok 我们用m c 表示由右c 余模和右c 余模同态组成的范畴，同理，我们可以定义左c 余模与左c 余模范畴c m 设( c ，a ，f ) 是余代数，( m ，砌) 是右c - 余模，( ，肌) 是左c 一余模，我们将采用s w e e d l e r 符号，即( c ) = c i c 2 ，耽( 协) = m 。o 朋l ，肌( ，2 ) = e nlo n o ，c ec ，m m ，刀n 设d 是c 的子空间，若a d d od ，则称d 是c 的子余代数若c 非零且没有非平凡 的子余代数，则称c 是单的c 的全体单子余代数的和称为c 的余根，记为c 0 若c 的每 个单子余代数都是一维的，则称c 是p o i n t e d 余代数 由c o 开始，我们可以归纳定义c 的子空间e = ，1 ( c 固g 一。+ c oo c ) ，z 1 定理1 2 【1 6 ，定理5 2 2 】每个g ，n 0 ，均是c 的子余代数且满足 ( 1 ) g 冬e + l ，c = u 脚q ， ( 2 ) ( e ) e 一，圆q p 讼 r 忪上 一 扬州大学硕士学位论文 8 一 设 圪。) l ，z o ) 是c 的任一簇子空间，若其满足定理1 2 中的条件( 1 ) 和( 2 ) ，则称 k 帕jn o ，为c 的余代数滤链 定义1 3 设( b ，m ，) 是个代数，( b ，a ，s ) 是个余代数，若下面的两个等价条件之一 成立： ( 1 ) 和s 是代数同态， ( 2 ) m 和是余代数同态 则称( b ，m ，a ，a ，f ) 为双代数 设c 是余代数，若g ec 满足( g ) = g o g ，则称g 为群样元，c 中全体群样元的集合 记为g ( o 设g ，heg ( c ) ，若c c 满足( c ) = c 圆g + h 固c ，则称c 为( g ，办) 斜本原元c 中全体( g ，厅) - 斜本原元的集合记为足，。( c ) 特别地，当c 是双代数且g = h = l 时，称c 为 本原元，足。( c ) 简记为p ( c ) 定义1 4 设( h ，m ，a ，s ) 是双代数，如果存在一个映射s h o m 。( h ，日) ，使得 ( 趴) 吃= 占( 办) 1 日= 啊( s 绝) ，v h h ，则称日是h o p f 代数，s 称为h 的反极元 定义1 5 设是一个h o p f 代数，m 是一个向量空间，若m 满足 ( 1 ) m 是左日一模， ( 2 ) m 是左日- 余模，其余模结构映射为p ：m 专h0m ， ( 3 ) p 是左日- 模同态，其中h m 的左h 模作用由下式给出 g ( 忍圆聊) = 9 1 h 9 2 - m ，v m m ，h ，g 日， 则称m 是个左日一h o p f ；t 莫记全体左日- h 叩f 模及h o p f 模同态构成的范畴为。n m 定理1 6 ( h o p f 模基本定理) 1 6 ，定理1 9 4 】设m h hm ，则有左h 模同构 m 兰h m 。o u ，其中m 础= 聊mp 沏) = l 圆历) ，日 m 础是平凡的h o p f ：模，即余模 作用为p = 圆耐，模作用为g ( 办圆聊) = g h 圆m ，v m e m c 。h ，h ，ge 日特别地，m 是自由的左日一模，秩为d i m 。m 蒯 令日是域七上的双代数，假定) k ，) k ：) 是日的子空间的一个升链，且满足 尤兰秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数 9 一 ( k 。) ) 盖k ，) 圆k ，) ，刀o ，则k 。) 是的子余代数，因此矿= 旦圪。) 是日的子余代数， 即这个升链是y 的余代数滤链 将日看作是余乘法下的正则左日余模，则h 的所有子余代数是h 的左子余模取 k - 1 ) = 0 ，令q 。) = k 。) v , 川) 因为( k 。) ) k 。) ok 。) + k 帕 k 肛，) ，所以每个q ( 。) 均是k 0 ) 上 的左余模 假设k 。) 还是日的子代数，则k = k o ) 是的子双代数，通过左乘，h 可以看作是一个 左k - 模，假设k 。) ，力0 ，均为h 的k 一子模，则q ( 。) 同时有一个左k - 模结构和一个左k - 余模结构，从而成为一个左k - h o p f 模，现在假定k 有一个反极元，即k 是一个h o p f 代 数，则根据h o p f 模基本定理可知q ( 。) = 0 或q ( 。) 是一个自由的左k - 模，且向量空间 媒) = 扛q ( 。) i 段。) ( z ) = 1 p z 中任一组霓一基都可作为q ( 。) 的一组k 一基，因此k 帕是自由的左 k 模，从而y 是自由的左k 模 设m 是一个自由左k 模，k 作为平凡的右k 模，则m 中任一k 基底所含元素的个 数均为d i m ( 七p 胃m ) ，这也说明了如下结论 命题1 7 每个h o p f 代数都是一个基数不变环，即为i b n 环 特别地，设h 是一个h o p f 代数，h o h 。互皿是h 的余根滤链，并设h 0 是h 的 子h o p f 代数，则每个q 均是自由的h 0 一模从而有如下定义 定义1 8 1 3 设日是一个h o p f 代数，h o h 1 h 2 是日的余根滤链，并设风 是h 的子h o p f 代数如果h 作为代数由h l 生成，且d i m ( ko h i ) = n + l ，则称h 是秩 为n 的h o p f 代数 下面我们给出分次代数和分次h o p f 代数的定义，本文讨论的分次均为n - 分次 设彳是一个代数，如果彳= 虽4 f ) 是向量空间的直和分解，使得1 4 0 ) 且4 d 4 d 4 州) ， v i ，j 0 ，则称a 是一个( n - ) 分次代数 设c 是一个余代数，如果c = 辩。) 是向量空间的直和分解，使得s ( c ( 。) ) = o ，v 门 o ， 且( c ( 。) ) 砉c ( 州) 。q ，) ，v 刀o ，则称c 是一个( n _ ) 分次余代数显然，g ( c ) c ( o ) 设h 是一个双代数，如果h = 舀q 。) 既是一个分次代数又是分次余代数，则称是一 扬州大学硕士学位论文 1 0 个分次双代数 设日是一个h o p f 代数，若h = 西q 。) 是一个分次双代数，且反极元s 保持分次，即 一= u s ( 且。) ) q 矿，z o ，则称日= 垒q 。) 是一个分次h 。p f 代数 1 2 h o p f o r e 扩张 设彳是k 代数令f 是a 的代数自同态若线性映射万：a 专a 满足 6 ( a b ) = 万( 口) 6 + f ( 口) 万( 6 ) ， v a ，b a ， 则称万为f 导子 设4 y 】是a 上的一元多项式构成的线性空间，规定 y a = f ( 口) y + 8 0 ) ，v a a ， 其中f 是代数a 的自同态，万是彳的f 一导子，则a y 】成为一个k 一代数，称为彳的o r e 扩张， 记为a y ；r ，万】，设彳有k - a tf ，) ，则彳的o r e 扩张的七一基为 a y 7i ，j n 1 5 】 定义1 9 设a 和a y ；r ，万】是h o p f 代数如果a ( y ) = y o r + l 圆y 且彳是a y ；r ，6 】的 h o p f 子代数，其中，是彳中的某个群样元，称a y ；r ，艿】是a 的h o p f o r e 扩张 注：这里h o p fo r e 扩张的定义与文 1 8 1 中的定义不一致，在文 1 8 定义1 0 中要求 a ( y ) = y l + r q y ，因此本节后面结论也与文【1 8 】中相关结论不完全一致 显然，如果r = a y ；r ，万】是a 的h o p f o r e 扩张，则e ( y ) = ogs ( y ) = 一y r ，其中s 是尺 的反极元 在文【1 8 中，p a n o v 给出了a y ；r ，艿】构成h o p f o r e 扩张的充分必要条件 定理1 1 0 1 8 ，定理1 3 h o p f 代数r = a y ；r ，万】是h o p fo r e 扩张当且仅当以下条件 成立： ( 1 ) 存在a 上的特征z ：a 专k 使得f ( 口) = z a l z ( a 2 ) ，v a a ， ( 2 ) 对任意aea ，e a 。z ( a 2 ) = z ( q ) 口4 ( 呸) ，其中口4 ( 口) = r a t ， ( 3 ) 丁一导子万满足以下关系式： 尤兰秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数 a 8 ( a ) = 万( 口1 ) ，吒+ q 万( 呸) 如果映射万满 a s ( a ) = 万( q ) o ，吃+ q0 8 ( a z ) ，则称万是，- 余导子如果艿是f 导子也是，- 余导子，则万称为 - 导子，其中z 满足定理1 1 0 中的条件( 1 ) 注：我们用r = a ( z ，万) 表示r = a y ；r ，万】，其中z ：a 专k 是一个特征标，是彳的群 样元，万是 - 导子 设a 是余交换的h o p f 代数，z 是彳的一个特征标，是a 的中心群样元，再设线性映 射a ：a 专后满足口( 洲) = 口 弦( y ) + z ( 1 ，) ，u ，v a ，则有下述结论 命题1 1 1 【1 8 ，命题2 1 】定义线性映射万：a 专k ，aha 1 ( 1 一，) 口( 口2 ) ，则映射艿是 - 导子 由命题1 i i 我们可以构造一个h o p f o r e 扩张的例子 设彳= 施是域k 上的群代数，z 是施上的特征标，称线性映射口：k gj 尼是相对于z 的一个1 - 余循环，如果满足口( 力) = 口( g ) + z ( g ) 口( j f z ) ，魄，h cg 记z ：( g ) = 口i 口是相对于z 的一个1 一余循环) 命题1 1 2 1 8 ，命题2 2 】a = k g 的每个h o p f o r e 扩张有形式a ( z ，万) ，其中z 是群 特征标，是群g 的中心元，6 ( 口) ：= q ( 1 一广) 口( 呸) ，口z ：( g ) 扬州大学硕士学位论文 2 群代数上h o p fo r e 扩张的分类 1 2 本节我们恒设日为群代数舱的h o p fo r e 扩张，即h = k g x ；r ，万】是h o p f 代数由命 题1 1 2 知，日一定形如k g ( z ，q 艿) ，其中z e ，口z ( g ) ，万( g ) = g ( 1 一力口( g ) ，对某个 口z ：( g ) ，v g g 由口z ：( g ) 知o t ( g h ) = 口( g ) + z ( g 皿( 办) ，特别地，我们有 a ( 9 7 ) = 口( g ) ( 1 十形( g ) + + z ( g ) 卜1 ) ，( 1 ) 从而口( 1 ) = 0 ，o t ( g - 1 ) = 一z ( g - 1 ) c r ( g ) ，其中g ，h g 对整数聆 o ，g 舻，令( 刀) 。：l + g + + g 州：望三! ，定义，2 的g 阶乘为 口一1 ( 。) ! 。= 1 和( 刀) ! 。= ( 1 ) 。( 2 ) g ( ，z ) g = 蔓鱼二! 丛气毫笋，n 。 n 的g - 阶乘是q 的整系数多项式且当q = l 时，其值等于通常的，21 我们还可定义g 一二项式 系数为( 三 口= 靠，。历刀，众所周知，( 三) g 也是g 的整系数多项式且当9 2 ， 时，其值等于通常的二项式系数( 三) ( 见 1 4 】) 引理2 设g ，珂 ，则( 二) 口= 。，z ，则h t o 】q 1 】h t 2 】冬是h 的一个余代数滤链 引理2 2 设c 2 藓。是一个分次余代数，y c 是一个( g ，乃) - 本原元，若y = 薹 ， 其中y j c ( 矿则每个乃都是( g ，办) 一本原元 证明既然c = 弘。是一个分次余代数，余乘法保持分次，即 a y , 旦( c ( d 圆q 叫) ) = ( c c ) ( f ) ，v o f 万 ，= 0 、7 另一方面， 一n ea y , = a y2 y 圆g + h 圆y 2 ( y iog + 而o ”) ， i = oi = o 所以( 咒) = y iog + 厅 咒，v o f 刀 口 引理2 3 【2 3 设c 是一个p o i n t e d 余代数，g = g ( c ) ，c o = k gcc lcc 2c 是c 的 余根滤链，则 ( 1 ) c = 硒o ( 一e g h ( c ) ) ，其中e g , h ( c ) 满足名， ( c ) = 七( g 一向) op g ， ( c ) ， 2 疗u ( 2 ) 对任意刀1 ，c c 。，有c = ；一。 ，使得咚， = c g ， g + h c g ， + w ，w c c 俨1 2 。一e u 扬州大学硕士学位论文 下面我们讨论h o p f o r e 扩张h 的余根滤链中的第二项q ，从而判断的阶 设y h ，我们有如下事实：对任意g ，h g ， a ( y ) = y o g + h y 当且仅当a ( h 一) = h - 1 y 圆h 一量+ l 圆h 一 由引理2 2 ，2 3 知，若要求出且，仅需对任意一对群样元( g ，办) 给出全体( g ，矗) - 齐次本原 元即可又由前面的事实，我们仅需对任意群样元g 求出全体( g ，1 ) - 齐次本原元即可 设o h h 且( 向) = h 固g + l h ，g g ，不妨假设办且，) = h o x 7 ，f 0 若乃1 4 0 ， 则有h = f l ( 1 - g ) ，k 若h h o x ，则有h = 尾b x ，尾k 通过比较等式 6 g 屁( b x 0 6 口+ 6 q b x ) 5 ( 石6 如) q g + 1 0 ( p 6 b x ) b e g6 gb e g 的两边知，当6 1 时，尾= 0 ，且可推出g = a ，从而有 h = 屈x ，( 乃) = 办 口+ 1q h 若h h o x ”，n 2 ，则可设h = 孱缸，屁k ，于是有 b e g 孱( 妻b x ”7 b a ”7 x 7 ) = ( 孱如”) o g + l 圆( 孱缸”) ， b e g 1 = 0 u j q b e g b e g 所以当6 1 时，孱= o 因此办= 屈，从而有( 刁g = o ，1 ，刀一1 由引理2 1 ，g 是刀次 本原单位根，这样得如下命题 命题2 4 若g 是n ( n 2 ) 次本原单位根，则日的秩为2 ，否则日的秩为1 即若g 是 n ( n 2 ) 次本原单位根，则q = + 风x + - o z ”，否则，皿= 4 0o o x 推论2 5 设g g ，z h t - o ，使得a ( z ) = z p g + l 圆z ( a ) 若q 是n ( n 2 ) 次本原单位根，则或者g = a ，z = y x + 1 3 ( 1 一a ) ，或者g = a ”， z = y x ”+ p 0 - a ”) ，7 ，k ，且y 0 ( b ) 否贝u ，g = a ，z = r x + p ( 1 一a ) ，7 ，k ，且厂0 尤兰秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数 3 秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数的分类 本节我们讨论秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数我们将证明这类h o p f 代数是其余 根上的一个h o p f o r e 扩张 命题3 1 设日是一个秩为l 的无限维p o i n t e dh o p f 代数，g = g ( h ) ，则一定存在 ae g ，x h 慨，使得a ( x ) = x q a + l o x ，从而有q 叫d o h o x 万上 p 上7d。万 这里7 1 ：h ijq 风为自然满射因为是秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数， 线) = z q ( 。) ip ( z ) = 1oz ) 是1 维的k 一向量空间由h o p f 模基本定理知，蝶) 中任一非零 元都是日。凰作为左凰一模的一组基任取0 z 蝶) ，则由引理2 3 ( 1 ) 知，存在 y 互之，一( h ) 使得z = 万( y ) 设y = 互c g ，。，c g ，。乓，。( 日) ，则 a ( y ) = 乏( c g ， og + h oc g ， ) ， 所以l 圆万( y ) = ( 耐 万) ( y ) = 互h 圆7 r ( c g ，。) = 莓( 向 万( 咚， ) ) 这样，当h 1 时， x ( e ，c g ，一) = o ；当办= 1 时，万( y ) = 万( 咯，。) ，由于万在差， ( 日) 上的限制为单射，) ，= c g ，1 ， g2譬。疗j2 于是z = 万( y ) = 万( c g ，) 0 ，从而存在口g 使得万( 巳，1 ) 0 ，显然万( c 口，1 ) 蝶) 令x = c a l ，则x h i 凰且a ( x ) = x 圆a + l x ，进一步地，万( x ) 是h l 风的凰一基， 扬州大学硕士学位论文 从而日l 砜oh o x 1 6 口 下面我们恒设日是一个秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数，设g = g ( h ) ，则h o = k g 由命题3 1 可知，作为代数，h 由x ，g 生成，q 巩0 h o x 是一个分次余代数，从而 g x lg g ，0 f 1 ) 是的一组七一基另外，日还满足下列性质 命题3 2 a ) 若g g ，z 日h o ，使得a ( z ) = z g + l z ，则g = a ， z = y o x + p o ( 1 一口) ，其中，反k ，且0 ； b ) a z ( g ) ； c ) 若a 1 ，则存在一个特征标z g ，一个1 - 余循环口z ：( g ) 使得 g x g = z ( g ) x + o r ( g ) ( 1 一a ) ，v g g ； d ) 若a = 1 ，则存在一个特征标z g ，使得g x g = z ( g ) x ，魄g 证明a ) 若存在g g ，z h h o ，使得( z ) = z g + l z ，则有z q ，既然 e 钮。o 。z 是一个分次余代数，不妨假设z h o x ，即z = 如通过比较等式 口e u y b ( b x b a + b o b x ) 2 ( 儿k ) 圆g + l 圆( r 6 b x ) ， de“deti d e u 有g = a ，且当b 1 时，有= 0 ，从而z = 乃z ，乃k ，这就证明了a ) b ) ，c ) ，d ) 对任意g g ，有 a ( g 。1 x g ) = g x g g a g + lqg - i x g ， 由a ) 知g a g = a ，且g x g = z ( g ) x + a ( g ) ( 1 - a ) ，其中z ( g ) ，a ( g ) krz ( g ) 0 ， - f 证iz g 且口z a o ) 设g ，h g ，一方面，( 动) q z ( g h ) = z ( g h ) x + c r ( g h ) ( 1 一口) 另一方面， 办- 1 ( g x g ) h = h - 1 ( z ( g ) x + 口( g ) ( 1 一口) ) 办 = z ( g ) ( z ( 办) z + o r ( h ) ( 1 一口) ) + o r ( g ) ( 1 一口) = z ( g ) z ( h ) x + ( z ( g ) t z ( h ) + 口( g ) ) ( 1 一a ) 从而有z ( g h ) = z ( 办) z ( g ) 尤兰秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数 1 7 当a 1 时有 口( 幽) = z ( g ) 口( 办) + 口( g ) ，vg ，h g 口 既然凰= k g 是日的子代数，则日可作为h o - 模若日是风上一个秩为无限的自由 模，命题3 2 的c ) ，d ) 知：h 是余根h o = k g 上一个h o p f o r e 扩张，且h = j | g ( z ，a ，万) ， 其中z 6 ，a e z ( g ) ，导子万由1 余循环口z ：( g ) 给出特别地，有关系式 a - l x a = z ( a ) x + 口( 口) ( 1 一口) 成立，下面分三种情况讨论 如果z ( 口) = l ，a ( a ) 0 ，贝0 有 a - l x a = x + 口( 口) ( 1 一口) 如果z ( 口) = l ，a ( a ) = o ，则有 a x a = x 如果z ( 口) 1 ，取7 = 高，将x 换为x + 7 ( 1 _ 口) ，则有 a - l x a = z ( a ) x 命题3 3 在前面的情况中，即z ( a ) 1 ，a ( a ) = 0 时，有g x g = z ( g ) x ，vg g 证明有命题3 2 知，g - l x g = z ( g 弦+ 口( g ) ( 1 一口) _ ra z ；( g ) ，从而有 a ( g a ) = 口( g ) + a c ( a ) z ( g ) = 口( g ) ， a ( a g ) = 口( 口) + 口( g ) z ( 口) 2z ( 口) 口( g ) 既然z ( 口) 1 ，所以口( g ) = 0 ，vg g 口 扬州大学硕士学位论文 4 秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数的表示 本节我们讨论秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数h = k g ( 2 - l , a ，万) 的表示理论，特别 地，我们恒假设：z - 1 ( 口) 1 且口( 口) = 0 下面给出h o p f 代数日的结构如下作为代数日由g ，x 生成的，生成关系为： x g = z ( g ) g x ，v g g ，其中z ：g 专k “是一个特征标日的余代数结构为： ( x ) = x 圆口+ l q x ，s ( z ) = - x a 一1 ，占( x ) = 0 ， ( g ) = g g ，s ( g ) = g ，s ( g ) = 1 ， 其中g g ，口为g 的某个固定的中心元，则日有一组基为 黟”ln o ，g g ) 令 皿d 2 s p a n g x ii _ 0 ，g g ) ，则日2 兽q d 是一个分次h o p f 4 弋数 4 1 单模 设矿是一个h - 模，则自然地y 有一个1 - i o = k g 模结构；反之，对任一个k g 一模形， 令x w = 0 ，v w 形，则成为一个日一模，且是一个分次日- 模，具有平凡分次，即磁o ) = 矿 令h m 表示( 左) h 一模范畴，简记为m ，m 。表示m 中全体被x 零化的h 一模构成的全 子范畴，m g ，表示由全体分次模和分次同态构成的子范畴，令船m 表示( 左) k g - 模范畴， 则有m o m 且有范畴同构m o 兰施m 设矿= 垒k 。是一个分次日- 模，则有g ，k 。= k d ，z k 。k 川) ，v g g ，f o 令 k 。】= k 。) ok 州) ok m ) o = 多k 矿则矿= k o 】k l 】k 2 】2 是y 的一个分次日一子模链 若v 是一个单模且是分次的，则存在行0 ，使得v = k 。】= k 。1 = k ：】= = k 。】= k 。) ，而 k 州】= 0 ，从而有x v = 0 ，v v v 这样有如下命题 命题4 1 设矿是一个分次h - 模，则矿是单的当且仅当v 作为风一模也是单的 尤兰秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数 1 9 证明仅证必要性若v 是单的，由前面分析知x v = 0 ，v v 矿，所以v 的每个风一 子模也是日一子模从而y 作为凰- 模也是单的 口 命题4 2 设a 是分次代数，m 是分次模，则m 是分次单的当且仅当m 是单的 证明充分性显然下证必要性若m = o m 。是分次单的，则存在n o ，使得 m 竹) o 而其它m 。= o ，所以m = m 。) ，从而作为非分次模也是单的 口 注：分次单模是指一个非零分次模，且没有非平凡的分次子模，而单的分次模仅作为 模是单的 令m 是日一模，对任意兄g ，定义心= v mg v = 2 ( g ) v ，g g ，则吆中的非 零元1 ，称为权为兄的权向量设0 v m 是权为兄的权向量，则对任意g g 有 g ( x v ) = ( ) 1 ，2 ( z ( g ) x ) ( g 1 ，) 2 z ( g ) z ( 旯( g ) v ) 2 ( 嬲) ( g ) ( x 1 ，) ， 所以x m ( 五) 冬m ( 私) 又因为 g 吆五) 2 ( g 嵋五) ) 五e g工e g = 坂矿 a e g 故m 五) 是m 的子模，其中和蛭是向量空间的直和 丑e g丑g 取i i ( m ) = 研gm 0 ) ，则称兀( m ) 是m 的权空间，如果m = om 五) ，则称m 、。 ：l e h ( m ) 、 为权模，用w 表示由所有权模构成的全子范畴 对任意的五g ，令圪为1 维的日- 模，使得 g v = ， x v = 0 x ( g ) v ， v 圪， 一。v2 ， x v2 ， v 五 显然圪是单的h - 模对任意的盯，兄g ，易证匕兰名当且仅当仃= 允下述引理4 3 是 众所周知的 引理4 3 设尼是特征为零的代数闭域，彳是尼上有限维交换代数，则彳上的每个单模 一定是一维的 扬州大学硕士学位论文 2 0 。f 设g 是一个交换群 令m 是有限维的日模，因为k 是特征为零的代数闭域，所以由引理4 3 知，一定存在 兄g 使得m 矿。，毗矿艇乳是m 的非零子模进一步，如果m 还是单 模，则m = om 即m 是权模 艇兀( m ) 。 设m 是有限维单的h - 模，则n ( m ) = 兄gm 舢o ) 是非空的有限集，如果lz = o o ， 则一定存在名兀( 肘) ，使得彩萑兀( m ) ，因此有z 丝= o ，从而m = 帜五) 兰巧如果 zi _ n x m 是一个双射， 取定力兀( m ) 使得m 0 ，则有 z 坛z ) 互坂肜) ，一，x 肛1 坂五) 吆础) ，z ”坂五) 吆) 2m 矿 其中n 是z 的阶从而 坛o 丝船) o o 心z 心) 是m 的子模， 由m 是单的知 m 2 吆五) om 舭) o o 以z 心) 令x = 尼【x ”】为h 的子代数，则每个坂办) ，o 中的 某个固定代表元 综上所述，我们有定理： 定理4 4 当izl _ o o 时，任何有限维单的日- 模是权模且是1 维的，记为；当 尤兰秩为1 的无限维p o i n t e dh o p f 代数 2 1 x l = n 0 当lzl - 时，歹( 允) 是m ( a ) 唯一的极大子模；当 z j = 刀 o o 时，对每个o k ，令厶( 五) = h ”一) 屹，则，( 旯) ，厶( 兄) ， k 。是m ( 兄) 的全部极大子模且互不相同 3 ) 当fz = o o 时，( 兄) ：= m ( 力) ，( 兄) 是一维单模且三( 兄) 兰匕；当lxl = 胛 o o 时， ( 见) ：= m ( 旯) ，( 旯) 是一维单模且( 力) 兰屹，三( 五，f 1 ) ：= m ( a ) j