（基础数学专业论文）不对称跳跃—扩散过程的期权定价方法及应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 期权定价问题一直都是金融数学研究的核心问题之一。1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 假定股价服从几何b r o w n 运动，用无套利复制的方法证明了著名的b l a c k - - s c b o l e s 公 式。由于几何b r o w n 运动是连续随机过程，故假定股票的价格遵循几何b r o w n 运动， 这意味着股价是时间的连续函数，但实际发现这与现实中的股票价格变化不是很相符， 因为股票市场上即时出现的各种重大信息会导致股票价格发生跳跃式的变化。已有的期 权定价模型一般都是假定在重大信息到达时，股票价格的相对跳跃幅度是独立同分布的 随机变量或是时间的函数。这个假设与实际有较大偏差，一般来说股票价格的相对跳跃 幅度应与引起跳跃的信息的重要程度有关。本文着力于这些方面做了一些创造性的工 作。 全文共分四部分：第一部分简单介绍了期权的基本概念和相关性质，并对影响期权 价格的六种主要因素作了简要分析；第二部分全面、完整的给出了b s 定价模型，并 得出了欧式期权的定价公式及其性质，最后对b s 定价模型的假设条件作了一定的延 伸，并给出一些推广模型；第三部分则首先简要介绍了近十几年来影响较大的几种期权 定价方法，然后对各种定价方法和模型作出了较全面的分析和比较，并创造性的提出了 一种新的期权定价模型：股票价格服从不对称跳跃扩散模型的期权定价模型。首 先，将市场上出现的即时的重大信息分为k 类，分别按信息的相对重要程度对应不同 的概率。第二，通过对期权市场出现的“隐含波动率微笑”现象进行模拟和实证研究， 发现引起股票价格上升和下跌的跳跃式变化往往是不对称的，因而提出了将一般的跳跃 过程分成两部分，即上跳和下跳。由于股票价格变化的相对跳跃幅度的取值范围是( 一 l ，+ 0 0 ) ，又因为正态分布函数不能凸显尖峰肥尾的特征，所以考虑将这两种过程的 跳跃幅度分别满足不同的分布函数，即p a r e t o 分布和b e t a 分布。实证表明通过这两种 不同分布所建立的不对称跳跃扩散模型比原来只考虑对数f 态分布函数的跳扩模型 能更精确的定出欧式期权的价格，也能更好的解释“隐含波动率微笑”现象：第四部分 简单、集中介绍了该期权定价理论在实物期权领域投资决策和金融分析方面的应 用。 关键词：b s 定价模型；隐含波动率；不对称跳跃扩散模型；随机微分方程；期 权定价 不剥称跳跃一扩散过程的期权定价方法及应州 o p t i o np r i c i n gm e t h o d & a p p l i c a t i o n d r i v e n b ya s y m m e t r i cj u m p d i 伽s i o np r o c e s s a b s t r a c t o p t i o np r i c i n gi sa l w a y s o n eo fc o r e so ff i n a n c i a lm a t h e m a t i c s a s s u m e dt h a ts t o c kf r u s t r a t e s i nt h eg b m ，b l a c ka n ds c h o l e st e s t i f i e dt h ef a m o u sb l a c k - - s c h o l e sf o r m u l at h r o u g hn o n a r b i t r a g em e t h o d a c c o r d i n gt ot h ea s s u m p t i o n ，t h ep r i c eo fs t o c ki sac o n t i n u o u sf i m c t i o no f t i m ef o rt h eg b mi sac o n t i n u o u sr a n d o m p r o c e s s h o w e v e r ，v a r i o u se v e n t se m e r g i n gi nt h e s t o c km a r k e tw i l ll e a dt h ep r i c eo fs t o c kt oj u m p u pa n dd o w n b u tt h eo p t i o np r i c i n gm o d e l s e s t a b l i s h e db e f o r es u p p o s et h a tt h er e l a t i v ej u m p i n gh e i g h to ft h es t o c k 砸c ei s p d 工1 h e h y p o t h e s i si sn o tc o n s i s t e n tw i t ht h er e a l i t y , b e c a u s et h er e l a t i v ej u m p i n gh e i 曲to ft h es t o c k p r i c ei sr e l a t e dw i t h t h ei m p o r t a n c eo f i n f o r m a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nd o e ss o m en e w r e s e a r c hi n t h i sf i e l d ，a n di tf a l l si n t of o u r c h a p t e r s ： c h a p t e ro n eb r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a s i cc o n c e p t so fo p t i o na n do t h e rr e l a t i v en o t i o n s t h i s p a r ta l s os i m p l ya n a l y z e st h ep o s i t i v ee f f e c t s t h a tt h es i xf a c t o r sw i l li m p o s eo nt h eo p t i o np r i c e c h a p t e rt w oc o m p l e t e l yd e d u c e sf o r m u l ao fe u r o p e a no p t i o np r i c i n gf r o mt h eb so p t i o n p r i c i n g m o d e l s o m em o d e l sa r ea l s om a d ei nt h i sp a r to nt h eb a s i so f f i n t h e r a s s u m p t i o n s ， c h a p t e r t h r e e p r o p o s e s an e w e u r o p e a no p t i o np r i c i n gm o d e lw h i c hi sd r i v e nb ya s y m m e t r i c j u m p d i f f u s i o n p r o c e s s f i r s t l y ，i tf o c u s e so nd e m o n s t r a t i o na n dc o m p a r i s o no f s e v e r a lc o m m o n m e t h o d sf o rp r i c i n gt h e o p t i o n t os h o wt h e a d v a n t a g e sr e s p e c t i v e l y s e c o n d l y , i tp r e s e n t sam o r e a c c u r a t em o d e l d e s c r i b i n ga s y m m e t r i cj u m p d i f f u s i o no p t i o np r i c i n g i nt h i ss e c t i o n ，f i r s t ，t h e e v e n t si nt h em a r k e ta r ed i v i d e di n t okk i n d si nt e r m so f p r o b a b i l i t i e sw h i c ha t t a c ht ot h e d i f f e r e n td e g r e e so f i m p o r t a n c e s e c o n d ，t h ew a y i nw h i c hs t o c k p r i c ej u m p s i sc a t e g o r i z e di n t o u pa n dd o w n , b e c a u s e t h ee x t e n s i o n so ff l u c t u a t i o na r eu s u a l l ya s y m m e t r i c b ys t i m u l a t i n ga n d e m p i r i c a l l ya n a l y z i n gt h e v o l a t i l i t ys m i l e ”p h e n o m e n o ni nt h eo p t i o nm a r k e t t h e n ，i to b t a i n s t h ea c c u r a t ep r i c i n gf o r m u l ao fe u r o p e a nc a l lo p t i o nt h r o u g hd i s t r i b u t i o no fp a r e t oa n db e t a u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h er e l a t i v eh e i g h to f j u m ph a sa r e l a t i o n s h i pw i t ht h ei m p o r t a n c eo f i n f o r m a t i o n c h a p t e rf o u rf o c u s e so n t h er e a lo p t i o n s i t b r i e f l yi n t r o d u c e sa p p l i c a t i o n so fo p t i o ni nb o t h i n v e s t m e n td e c i s i o na n df i n a n c i a la n a l y s i s o f c o m p a n y k e yw o r d s ：b - sp r i c i n gm o d e l ；i m p u e dv o l a t i l i t y ；a s y m m e t r i cj u m p d i f f u s i o nm o d e l ； s t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；o p t i o np r i c i n g - i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特另t l d n 以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，电不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：查生监日期：丝：! 大连理工大学硕士学位论文 引言 金融衍生产品( f i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ) 是从货币、债券、股票、外汇等基础性金融产品 ( u n d e r l y i n gi n s t n m a e n t s ) 中衍生而来的新型金融产品，是基础金融产品的发展和重新组 合，根据巴塞尔银行监管委员会的定义，金融衍生产品“是一种合约，其价值取决于资 产、利率、货币或各种指数等背景资产中的一项或多项的价值。”金融衍生产品的雏形 出现于人类早期的商业活动中，在1 7 世纪阿姆斯特丹郁金香球茎交易中，类似今天金融 期货合约性质的交易方式已得到频繁使用。1 9 世纪在英国，人们将柜台式债券期权与贷 款和远期合约相结合，创造出复杂的结构性产品，满足借贷双方不同的利率偏好。2 0 世 纪2 0 年代，美国芝加哥商品期货交易盛行，为日后金融期货的发展奠定了基础。现代意 义上的金融衍生产品产生于2 0 世纪7 0 年代。世界首张场内交易的金融期货( 外汇期货) 合 约由美国芝加哥商品交易所( c m e ) 于1 9 7 2 年5 月推出，交易币种包括英镑、加元、西德 马克、法国法郎、瑞士法郎和日元，标志着金融衍生产品应用的开端随后，更多种类 的期货合约开始被投放市场。进入8 0 年代，以柜台交易( o t c ) 形式为主的期权和互换交 易由于众多大型金融机构的介入而开始得到广泛应用。至9 0 年代，金融衍生产品已逐渐 趋向成熟，新的金融衍生产品的使用规模迅速扩展在金融市场上发挥着越来越重要的 作用。金融衍生产品具有以下几方面的特点： 1 衍生性“衍生”是相对于“原生”而言的，即所有的衍生产品都是在一定的原 生产品( 基础产品) 的基础上产生的。在金融市场中，货币、外汇、股票、债券等金融产 品是原生的，因为它们都直接是对某种实物资产的要求权，投资于这些金融产品所得的 收益来自于相应的实物资产的增值。 2 杠杆性杠杆性源于物理学，金融理论中的杠杆性是指能以较少的资金投入控制 较多的投资，俗称“以小博大”。金融衍生产品交易是一种保证金买卖，一般在达成交 易时只需缴存或支付相当于合约金额极小比例的保证金，便可控制全部的合约资产，具 有较强的杠杆作用，杠杆性是衍生产品交易的重要特征，杠杆比率设置的高低直接影响 到衍生产品市场的稳健程度。 3 风险性金融衍生产品以合约为基础，在合约签订后，双方权利和义务便可确 定，而交易却要在将来某一时刻才能履行和完成。再加上金融衍生产品的出现是以电子 技术的广泛应用为基础的，从而对价格变动更为敏感，波动幅度加大，因而风险加大。 金融衍生产品的风险大的另外一个原因是来自于衍生产品的表外交易性质。由于不在资 不对称跳跃一扩散过程的期权定价方法及应用 产负债表上体现潜在交易盈亏，意味着正式交易记录不能确认交易行为本身，故风险不 易被发现。 4 虚拟性虚拟性是指证券所具有的独立于现实资本运动之外，却能给证券持有者 带来一定收入的特性。具有虚拟性的有价证券，本身并没有什么价值，只是代表获得收 入的权利，是一种所有权证书。金融衍生产品交易获利的过程象有价证券一样，通过简 单或复杂的持有和适时的抛出即可获利，其价值增值过程脱离了实物运动。同时衍生产 品交易又导致相当一部分货币资本也脱离了实物运动过程，形成虚拟资本。当原生产品 是股票、债券等虚拟资本时，相应的衍生产品具有双重虚拟性。金融衍生产品的虚拟 性，使其能够脱离金融基础产品市场丽独立存在，而这进一步给投资基金提供了巨大的 活动空间。在投机者的推动下，金融衍生产品市场的风险进一步扩大。 靛权是一种重要的金融衍生产品。在市场经济发达的国家，期权市场已是构成其证 券市场的一个重要组成部分。自b l a c k 年l s c h o l c s l 9 7 3 年提出期权的定价公式以来 1 】，期权 定价就一直是金融数学和计量经济学研究的一个重要内容。近2 0 多年来，国际金融界对 期权理论的研究和应用投入了巨大的关注。特别是在西方发达国家，期权理论的发展日 新月异，期权应用研究也紧随其后。从金融期权研究得出的原理、方法和结论不仅仅应 用于期权投资领域，还可以广泛应用于宏观、微观经济和管理问题的分析与决策。瑞典 皇家科学院将1 9 9 7 年度的诺贝尔经济学奖授予两位对现代期权理论研究有突出性贡献的 经济学家：美国斯坦福大学教授梅隆斯科尔斯( m y r o n s c h o l e s ) 和哈佛大学教授罗伯特 莫顿( r o b e r t c m e r t o n ) 。这表明全世界对期权理论研究和实际应用重要性的认可。 由于历史、体制、学科建设等方面因素的影响制约，期权理论在我国的研究才刚刚 开始，其应用几乎呈空白状态。期权市场目前在中国仍然是一个理论的概念。但我国政 府、金融学术界和实务界已经越来越熏视这一理论的研究和应用。国务院曾多次指示要 加快金融科学的设立，国家自然科学基金会对金融数学、金融工程的研究项目支持力度 也较大。现在已有相当一部分学者正活跃在这一领域，许多大学相继成立了金融数学系 和金融工程中心，并开始了相应的学术研究和人才培养工作，这将对中国的金融改革， 特别是金融数学、金融工程的发展做出有益的尝试和贡献。期权理论作为金融数学的一 个重要研究内容也将得到迅速的发展。随着中国经济市场化进程的发展和各方面条件的 成熟，期权市场在中国的发育和发展是中国市场体系、特别是金融市场发展与完善过程 中的一项重要内容，是大势所趋。 实际上，期权的理论与实践并非始于1 9 7 3 年b l a c k 和s c h o l e s 关于期权定价理论论 文的发表早在公元前1 2 0 0 年的古希腊和古腓尼基国的贸易中就已经出现了期权交易 一2 大连理工大学硕士学位论文 的雏形，只不过当时条件下不可能对其有深刻认识期权的思想萌芽也可以追溯到公元 前1 8 0 0 年的汉穆拉比法典。公认的期权定价理论的始祖是法国数学家巴舍利耶 f l o u i s b a c h e l i e r ，1 9 0 0 年) ，令人难以理解的是，长达半个世纪之久巴舍利耶的工作并没有 引起金融界的重视，直到1 9 5 6 年被克鲁辛格( k r u i z e n g a ) 再次发现。1 9 7 3 年芝加哥委员 会期权交易所创建了第一个用上市股票进行看涨期权交易的集中市场，首次在有组织的 交易所内进行股票期权交易，在短短的几年时间里，期权市场发展十分迅猛，美国股票交 易所、太平洋股票交易所以及费城股票交易所纷纷模仿，1 9 7 7 年看跌期权的交易也开始 出现在这些交易所内有趣的是，布来克和舒尔斯( b l a c ka n ds c h o l e s ) 发表的一篇关于期 权定价的开创性论文也是在1 9 7 3 年，同年，莫顿教授又对其加以推广和完善【2 ，不久 b l a c k 和s c h o l e s 期权定价方程很快被编成了计算机程序，交易者只需键入包括标的资产 价格、标的资产价格的波动率、货币利率和期权到期日等几个变量就很容易解出该方程， 后来有人用这个方程对历史期权价格进行了验证，发现实际价格与理论价格基本接近， 这一理论研究成果直接被应用到金融市场交易的实践中，推动了各类期权交易的迅猛发 展。关于期权定价的理论研究和实际应用已相当丰富，本文首先介绍了几 中理论较成 熟、应用较广泛的期权定价方法和模型，并对他们作了很深入的分析和比较。在此基础 上，本文在这方面做了一些创新工作，提出了一种新的期权定价模型和理论，以及他们 在实物期权方面的应用，这些成果主要集中在第三章和第四章。在第三章里，首先按信 息的相对重要性将市场上出现的即时的重大信息分为k = k ，+ ，类，分别按信息的相 对重要程度对应不同的概率。其中，k ，表示引起股票价格上涨的信息种类数，毛表示 引起股票价格下跌的信息种类数。第二，通过对期权市场出现的“隐含波动率微笑”现 象进行模拟和实证研究，发现引起股票价格上升或者下跌的跳跃式变化往往是不对称 的，因而提出了将一般的跳跃过程分成两部分，即上跳和下跳，由于股票价格变化的相 对跳跃幅度的取值范围是( 一1 ，+ ( 3 0 ) ，另外考虑到正态分布函数不能凸显尖峰肥尾 的特征，本文考虑这两种过程的跳跃幅度分别满足不同的分布函数，即p a r e t o 分布和 b e t a 分布，而且通过这两种不同分布所建立的不对称跳跃扩散模型比原来只考虑对 数正态分布函数的跳跃模型能更精确的定出欧式期权的价格，也能更好的解释“隐含波 动率微笑”现象，同时这种方法能够更精确的描述实际中的各式期权定价问题。最后， 对实物期权作了简单的应用介绍。 3 不对称跳跃一扩散过程的期权定价方法及应用 1 预备知识 1 1 期权的基本概念 股票期权于1 9 7 3 年首次在有组织的交易所内进行交易从此，期权市场发展十分迅 猛，现在世界各地的许多交易所部有期权交易。期权的标的资产包括股票、外汇、股票 指数和许多不同的期货合约。 t ) 期权的定义及分类 期权是指未来的选择权，它赋予期权的持有者( 多头) 一种权利而不必承担义务， 可以按预先敲定的价格购买或者出售一定数量和一定品质的资产。期权交易实质上是一 种权利的买卖，它赋予合约持有者在某一时间内，以事先确定的价格买进或卖出的权 利。期权是为持有者提供的一项在到期日或之前以一个固定的价格购买或出售一定数量 标的资产的权利期权合约中的价格被称为执行价格或敲定价格( e x e r c i s ep r i c eo r s t r i k ep r i c e ) ；合约中的日期为到期日、执行日或期满日( e x p i r a t i o nd a t e ) 。按期 权行使的时间不同，通常把期权分为两种基本类型：欧式期权和美式期权。美式期权可 在期权有效期内任何时候执行，欧式期权只能在到期日执行。视基础资产是被购买还是 被出售，期权分为看涨期权( c a l lo p t i o n ) ( 也叫买进期权) 和看跌期权( p u to p t i o n ) ( 也叫卖出期权) 。 2 ) 期权的头寸 每一期权合约都有两方一方购买期权，称为持有期权多头：另一方出售期权，称为 持有期权空头从证券买卖头寸角度看，看涨期权和看跌期权各自都可以买进和卖出， 因此就有了4 种基本的期权头寸： 看涨期权的多头( 1 0 n gc a l l ) 一持有( h o l d ) 或买进( s u b s c r i b e ) 看涨期权： 看跌期权的多头( 1 0 n gp u t ) 一一持有( h o l d ) 或买进( s u b s c r i b e ) 看跌期权： 看涨期权的空头( s h o r tc a l l ) 一一卖出( s e l lo rw r i t e ) 看涨期权： 看跌期权的空头( s h o r tp u t ) 一一卖出( s e l lo rw r i r e ) 看跌期权。 3 ) 期权的内在价值 期权的内在价值是指其自身具备的市场价值，它随着基础资产市场价格的升降而变 动。对于买权( 看涨期权) 来说，如果现在标的物股票的价格高于执行价( 预定价) ， 则此时买权处于实值状态( i n t h e m o n e y ) ；如果现在标的物股票的价格低于执行价 ( 预定价) ，则此时买权处于虚值状态( o u t - o f t h e - m o n e y ) 。对于卖权( 看跌期权) 4 大连理工大学硕士学位论文 来说，情况正好反过来。期权的执行价( 预定价) 正好等于标的物股票的价格时，称为 处于两平状态( a t t h e m o n e y ) 。假想朗权现在马上要失效，此时期权的价值称为期权 的内在价值( i n t r i n s i cv a l u e ) 。处于虚值状态的期权的内在价值总为零。在处于实 值状态的期权未到期时，卖权的内在价值是预定价减去当时的标的物市价的差，买权的 内在价值则是标的物的市价减去预定价的差。也就是说对于看涨期权来说，如果到期相 应物品的市场价格低于或等于期权的执行价格，则持有人按市场价格购买更为有利，说 明看涨期权的多头实际上并没有起作用，因而，此时看涨期权的多头内在价值为零，因 此看涨期权的空头内在价值也为零：如果市场情况相反，则持有人按执行价格购买更为 有利，说明利用看涨期权的多头可以节省价款，节省的价款正好等于市场价格与执行价 格之差，从而看涨期权的空头内在价值为看涨期权的多头节省价款的负值。 对于看跌期权来说，如果到期相应物品的市场价格高于或等于期权的执行价格，则 持有人按市场价格出售更为有利，说明看跌期权的多头实际上并没有起作用，因而，此 时看跌期权的多头内在价值为零，因此看跌期权的空头内在价值也为零：如果市场情况 相反则持有人按执行价格出售更为有利，说明利用看跌期权的多头可以增加销售收 入，增加的销售收入正好等于执行价格与市场价格之差，从而看跌期权的空头内在价值 为看跌期权的多头增加收入的负值。 、 4 ) 期权的价格 为了持有合约而拥有买卖资产的权利，期权持有者应该支付一定的费用。与此相对 应，合约的出售方由于承担了潜在的义务，则应以收取定的费用作补偿这笔费用就 是合约的双方确定的关于合约的价格，即是期权的价格。它也是期权多头持有者在期权 交易中最大可能的损失。 期权价格与其内在价值有关，但又不同于其内在价值。通常期权价格除了包括多头 的内在价值，还包括时间价值( t i m ev a l u e ) ，这一时间价值不同于传统投资决策方法 中所讲的资金的时间价值。通常，距到期日越远，时间价值越大期权的全部价值为其 多头内在价值与时间价值之和，所以期权价格一般高于其多头的内在价值。 1 2 期权的基本j 性质 我们通常把开始时刻定为0 时刻，当前时刻记为，；s 表示时刻f 标的资产的市场价 格：表示期权的执行价格：t 为到期日；，表示在丁时刻到期的投资的无风险利率； 5 不对称跳跃一扩散过程的期权定价方法及应用 c ( s ，x ，f ) 和尸( s ，x ，f ) 分别代表欧式看涨期权和看跌期权在r 时刻的价值；c ( s ，x ，f ) ， p ( s ，x ，f ) 分别代表美式看涨期权和看跌期权在t 时刻的价值。 性质1 任何情况下期权的价值都是非负的： c 0 ，c 0 ，p 0 ，p 0 性质2 在到期日t ，美式期权与欧式期权的价值相同，并且有： c ( s ，x ，r ) = c ( 马，x ，t ) = m a x s r x ，0 ) p ( s ，x ，t ) = p ( s ，x ，r ) = m a x x 一母，0 ) 性质3 对于美式期权，有： c ( s ，x ，r ) s x ，p ( s ，x ，t ) x s 性质4 其他条件不变的情况下，后延到期日将提高美式期权的价值，即是说，如果 巧五，则： c ( s ，x ，e ) f ( 置，x ，正) ，p ( 墨，x ，正) p ( s ，x ，五) 性质5 美式期权的价值高于具有同一标的资产和到期日的欧式期权价值，亦即： c ( s ，x ，t ) c ( s ，x ，t ) ，p ( s ，鼻，t ) p ( 置，x ，t ) 性质6 其他条件相同时，执行价越高，买权价值越低，卖权价值越高，换句话说，如果 x l 五，则： c ( 墨，五，r ) c ( 置，五，t ) ，c ( s ，置，t ) c ，五，t ) p ( 只，x j ，t ) 尸( s ，x 2 ，t ) ，p ( s ，x ，t ) p ( s ，x 2 ，t ) 性质7 任何一份买权的价值都不可能高于标的资产的当前价格： c ( s ，x ，? ) s ，c ( s ，x ，r ) s s 性质8 c ( s ，0 ，o 。) = s 性质9 标的资产的价格为零时，期权的价值也为零： c ( o ，x ，t ) = c ( o ，x ，r ) = 0 性质l o 若在到期日之前的资产不发放g - n ，欧式买权的价格不会低于股价减去执行价 的现值。在连续计算利率的情况下，记无风险利率为r ，这就是： c ( s ，x ，丁) s x e ( 。1 性质1 1 如果x 1 0 其中c ( x ，) 表示t 时刻标的资产价格为z 时看涨期权的价值，表示期权的有效期 限，即期权的到期日，表示无风险利率，盯2 表示标的资产收益率变化速度的方差( 即 波动率) ，描述的是标的资产价格的易变性，七表示期权的执行价格。该方程的一个重要 特性就是消去了预期收益率k t ，从而不包含任何反映投资者风险偏好的变量。由于风险 偏好对期权定价不产生影响，因此，所有投资者都是风险中性的假定是没有必要的通 过求解该偏微分方程可得欧式看涨期权的定价公式： c ( x ，r ) = x ( d i ) 一七e x p 一r ( r f ) 】( d 2 )( 2 4 ) 其中庐( ) 是标准累积正态分布函数。 ! 巫型1 2 业! ：丛! 二尘 口压j d ：l n ( x k ) + ( r ，- ：o ：- ：2 2 ) ( t - t ) 。 a 4 t f 同理，可以得到欧式看跌期权的定价公式为： p ( x ，) = 一x ( 一d 1 ) + k , e x p 一r ( t f ) 】庐( 一d 2 )( 2 5 ) 由以上公式可得出布莱克一斯科尔斯期权定价模型的一些性质： 不对称跳跃一扩散过程的期权定价方法及应j j ( 1 ) 期权价格独立于风险偏好：在布莱克一斯科尔斯的模型中，期权的价格由标 的资产( 股票) 的价格x 、执行价格女、期权距到期日的时间差f ( f = t f ) 、无风 险利率r 和股票价格方差d r 2 决定。期权价格不依赖于股票的预期收益率和投资者的风险 偏好。 ( 2 ) 股票价格对期权价格的影响假定其他条件不变，股票价格变化对期权价格 的影响由参数给出 。：皇；墨盟：( d ) 0 ，a ，：o p 。( x , t ) ：一庐( 一d 1 ) 0 所以，股票价格增高，欧式买权上升，丽欧式卖权下降。 ( 3 ) 期权距到期月时间对期权价格的影响。在其他条件不变时，距到期日时间对 期权价格的影响由参数0 给出： 眈= 掣= 一警一r k e l ( 如 咋= 掣一警+ r k e ( 一d 2 ) 其中矽( d 。) = 去p 一血，对于单个期权，其目几乎总为负，因为当期权越来越临 近到期日时，期权的时间价值较小，因而期权价值随到期日的临近而减少。 ( 4 ) 无风险利率对期权价值的影响由p 刻划 n ：i o c ：k r e - 庐( d 2 ) ，砟：警= - k 仃一矽( 一d 2 ) 因而r 越大，买权价值越大，卖权价值越低。 ( 5 ) 方差对期权价格的影响由 描绘： 疋：以：篓一痂。( 吐) 它蜕明当盯增大，即股票的风险增大时，买权和卖权的价格均上于 。 ( 6 ) 当股票的价格x 趋向无穷大时，由于x 斗，故d l 斗o o ，d ，j o o ，因而 妒( d 、) j l ，( d ：) o l 妒( - d 、) 寸o ，( 一d ：) 辛0 ， 所以买权的价格为 c ( x ，f ) = x 一拓。7 ，卖权的价格为p ( x ，) = 0 ，因此买权肯定被执行，卖权肯定被放弃。 1 2 大连理工大学硕士学位论文 ( 7 ) 当股票价格的方差趋近于0 时，买权的价格为m f l x ( x 一妇- - r t0 ) ，卖权的价格为 m a x ( k e 一x ，o ) 。因为盯呻0 时，标的资产成了无风险资产，其价格应以无风险利率r 增加，到7 时刻为z 8 ”，于是买权的价格为：m a x ( x e 一t ，o ) ，用r 贴现为 e 一”m a x ( x e ”一女，0 ) = m a x ( x k e 一”，0 ) 同理可证明卖权的价格。 上述期权定价方程可以用来制定各种金融衍生产品的价格，是各种金融衍生产品估 价的有效工具期权定价方程为西方国家金融创新提供了有力的指导b l a c k 和s c h o l e s 期权定价方法是现代期权定价理论的又一创举以b s 模型为代表的期权定价理论，是 伴随着期权交易。特别是场内期权交易的扩大与发展而逐濒丰富与成熟起来的。这些理 论基本上是以期权交易的实践为背景，并直接服务于这种实践，具有一定的科学价值与 借鉴意义。 首先，模型将影响期权价格的因素归纳为基础商品价格、执行价格、期权有效 期、基础商品价格波动率以及无风险利率和股息等，并认为期权价格是这些因素的函 数，即： c = p = f ( s ，x ，t ，盯，r ，d ) 在此基础上得到了计算期权价格的公式，具有较高的可操作性，比如在b s 模型 中，s 、x 、t 及d 都可以直接得到。r 亦可以通过相同期限的国库券收益率而求出，因而 运用该模型进行估价，只需求出相应的盯值即基础商品的价格波动率即可。实践中，盯 值既可通过历史价格的分析得到，亦可假定未来行使的期权的市场价格即为均衡价格， 将相应变量代入求得( 此时称为隐含的波动率“i m p l i c i tv o l a t i l i t y ”) ，因而操作起 来比较方便。同时，这种概括是基于期权的内在特点，把它放在统一的资本市场考虑的 结果。其分析触及到了期权价格的实质，力图揭示期权价格“应当是”多少，而不是 “可能是”多少的问题，因而比早期的计量定价模型向前迈了一大步。 其次，模型具有较强的实践性，对期权交易有一定的指导作用，b s 模型都被编制 成了计算机软件，称为投资者分析期权市场的一种有效工具。金融界也根据模型编制现 成的期权价格计算表，使用方便，一目了然，方便了投资者。正如罗伯特- 海尔等所编 著的债券期权交易与投资一书所言：b s 模型已被证明在基本假设满足的前提下是 十分准确的，已成为期权交易中的一种标准工具。具体来讲，这些模型在实践中的运用 主要体现在两方面：1 、指导交易投资者可以借助模型发现市场定价过高或过低的期 权，买进定价过低期权。卖出定价过高期权，从中获利。同时，还可依据其评估，制定 一1 3 不对称跳跃一扩散过程的期权定价方法及应用 相应的期权交易策略。此外，从模型中还可以得到一些有益的参数，比如a 值、y 值等 等。这些参数对于资产组合的管理与期权策略的调整，具有重要参考价值。2 、研究市 场行为可以利用定价模型对市场效率的高低进行考察，这对于深化期权市场的研究也 具有一定意义。 最后，期权定价理论对于其他金融创新工具，特别是认股权或可转换公司债券的定 价分析具有一定的借鉴意义。b l a c k 与s c h o l e s 的一大贡献就是把期权与相应的基础商品 市场结合起来进行分析。在一定程度上借鉴了资本市场的定价理论来构建期权定价的模 型。这种思路对于从事金融工具定价研究的学者来说，应当是富有启发意义的。 对b s 模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的 一些研究则从理论分析入手，提出了b s 模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前 提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表 现在以下几方面： 首先，对股价的假设。b s 模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何布朗运 动，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。莫顿( m e r t o n ) 、 c o x 、r o b i n s t e i n 以及r o s s 等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包 括由于重大事件而引起的跳动情形，忽略了一种情况是不全面的，他们用二项分布取代 对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。 其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续的调整期权与股票间的 头寸状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约： 1 、投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金：2 、股票的可分性受具体情况 制约；3 、频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况， 此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而b s 模型并没有考虑到这一点。 再次，假定股票价格的波动率不变也与实际情况不符。b 1 a c k 本人后来的研究表 明，随着股票价格的上升，其方差( 即波动率) 一般会下降，而并非独立于股价水平。 此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。而假设期权的基础股票 不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期 权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。他们中有的人对模型进行调整，使之能反 映股息的影响。具体来说，如果是欧式买权，调整的办法是将股票价格减去股息( 以d 表示) 的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入b s 模型即可。若是美式买 权，情况稍微复杂一些。第一步先按上面的办法调整后得到不提前执行情况下的价格。 第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股票 1 4 大连理丁大学硕士学位论文 距除息日的时间替代有效期限、股息调整后的执行价格( x d ) 替代实际执行价格，连 同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。第二步选取上述两种情况下期权的较 大值作为期权的均衡价格，需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度 很大。 2 3b l a c k - s c h o l e s 模型( b s 模型) 的几种扩展 布莱克一斯科尔斯模型给出了证券市场上无套利机会时的期权的均衡价格的决定 这一模型的提出无疑是期权定价理论乃至整个衍生证券定价理论的一项重大突破，现在 _ _ j i 莱克一斯科尔斯期权定价公式，已经成为实业界评估期权价格最广泛使用的基准公式 此后的研究基本上是在两个方向展开的一个是对布莱克一斯科尔斯模型的修正、扩 展，另一个是对模型的实证检验和应用研究，对布莱克一斯科尔斯模型的修正、扩展是 从放松假定开始的例如斯科尔斯( 1 9 7 6 ) 本人考虑了税的影响，利兰( l e l a n d ，1 9 8 5 ) 把 交易成本引入模型、索普( t h o r p e ，1 9 7 3 ) 检验了卖空限制条件等等。这里重点考虑有红 利支付、无风险利率为随机变量时以及标的资产不同的欧式期权和美式期权在布菜克一 斯科尔斯模型( b s 模型) 里的扩展 1 ) 支付红利的b s 模型 在期权有效期内股票支付的红利可被解释为在除权日由红利引起的股票价格的减少 量。这样如果用股票的当前价格减去期权有效期中所有红利按无风险利率从除权曰开始 贴现的现值，布莱克一斯科尔斯公式仍有效设在期权有效期内支付的红利为d ，除权 臼距现在的时间为0 ，则红利的现值为d e _ 。，这样，布莱克一斯科尔斯公式可修正 为： k = ( s d e “) n ( d 1 ) 一x e 一”( d 2 ) 圪= x e ”( 一d 2 ) 一心一d e “1 ) ( 一凼) ( 2 6 ) 如果在期权有效期内支付红利不止一次，例如月次，第1 次支付的红利为d ，第1 次除权日距现在的时间为t ，则红利的贴现为： n d l p “1 + d 2 e - 心+ = d i e 叫 i = t 更一般的，考虑一种以每年恒定比率q 支付连续红利率的股票，基于这种股票的期 权的定价的基本思想同上，莫顿( 1 9 7 3 ) 推导出的公式是： 圪= s e l 7 n ( d 。) 一拖”( d 2 ) 1 5 不对称跳跃一扩散过程的期权定价方法及应用 圪= x e 一”( 一d 2 ) 一s e 一9 7 ( 一d 1 ) ( 2 7 ) 其中，d 和d ：分别为： d ：f 。一，：产，一l l n ( s x ) + ( r - q + o - 2 2 ) r d 2 l n ( s x ) + ( r - q - o - 2 2 ) r o - q to q z - 2 ) 默顿( m e r t o n ) 随机利率模型 默顿除了把红利支付引入布莱克一斯科尔斯模型， 期权定价模型外，还放松了无风险利率是常数的假定， 权定价模型 8 他的模型中欧式期权的定价公式是： t = s n ( d 1 ) 一删( d 2 ) = b x n ( 一d z ) 一s n ( 一d 1 ) d 1 ；i n ( s x ) - l n 丁b + ( o 一- 2 2 ) 2 ，d 2 ：d i - ( 9 再 建立起可推广到基于其他资产的 提出了一个利率是随机变量的期 ( 2 8 ) b ( t ) 是与期权同时到期且到期时支付给持有人1 单位货币的贴现债券的价值 b ( f ) = e ” 其中f 为t 时刻到期的无风险债券的利率。 3 1 美式期权的近似定价模型 布莱克一斯科尔斯模型讨论的是欧式期权的定价至于美式期权，由于它赋予持有 人在期权到期日之前任一时刻选择执行的权利，因而对它的定价，复杂程度更大布莱 克曾提出了一种近似处理方法，就是用他们的公式分别计算在到期 3 t 时刻和到期日之前 t 时刻的欧式期权的价格，取值大的为美式期权的价格更精确的美式期权定价公式是 由罗尔( 1 9 7 7 ) 提出的，后来格斯克( r g e s k e ，1 9 7 9 ) 和沃利( w h a l e l y ，1 9 8 1 ) 进行了 简化和修正对于在到期前支付任一已知红利的股票的荚式买权，他们给出的定价公式 是： k2 ( s d i p “。) ( 6 1 ) + ( s - d 1 。1 “) m ( q ，一b l ；一如7 ) 一x e ”7 彳( d 2 ，一b 2 ；一r l f ) 一( x d 1 ) p 一1