（固体力学专业论文）粘结材料平面V形切口应力奇性指数的分析.pdf

粘结材料平面v 形切口应力奇性指数的分析 摘要 粘结材料v 形切口在工程应用中经常遇到。根据线弹性理论，v 形切口尖 端附近应力场存在多种不同的应力奇性指数，该奇异性是v 形切口附近强应力 集中的反映。为求解v 形切口问题，本文提出了一种计算应力奇性指数的新方 法。首先，将v 形切口尖端附近位移场在极坐标系下进行渐近级数展开。由线 弹性理论中的应变一位移关系，得到应变分量。然后由平面问题的h o o k e 定律， 可将应力分量用渐近场的位移变量表示。因此，弹性理论控制偏微分方程组可 转换成v 形切口尖端附近关于周向变量0 的非线性特征分析的常微分方程组 ( o d e s ) 。引入新变量，利用替换法将非线性特征常微分方程组变成线性特征值 问题。结合v 形切口尖端附近的边界条件，可得到与常微分特征值方程组相对 应的边值条件。由此，平面v 形切口尖端附近的应力奇性指数的计算变成解常 微分方程组特征值问题。 本文将用来求解常微分方程组两点边值问题的插值矩阵法进一步发展为数 值求解v 形切口导出的常微分方程组特征值问题。因此，平面v 形切口的应力 奇性指数可通过插值矩阵法获得。同时，相应的切口附近位移场和应力场特征 向量也可求出。这些特征向量对分析v 形切口结构的位移场、应力场和广义应 力强度因子是非常有用的。本文方法适合分析多个正交各向异性材料构成的v 形切口问题。计算结果表明，本文提出的数值方法具有简单、通用性强和精确 度高的特点。 关键词：应力奇性指数；o d e s ；插值矩阵法；v 形切口；弹性 a n a l y s i so ft h es t r e s ss i n g u l a r i t yo fp l a n ev - n o t c h e si n b o n d e dd i s s i m i l a rm a t e r i a l s a b s t r a c t t h ec a s e so fv - n o t c h e so fb o n d e dd i s s i m i l a rm a t e r i a l sa r e f r e q u e n t l y e n c o u n t e r e di ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s a c c o r d i n gt ot h el i n e a rt h e o r yo fe l a s t i c i t y t h e r ea r es e v e r a ld i f f e r e n ts t r e s s s i n g u l a r i t i e sa tav - n o t c ht i p t h es i n g u l a r i t y r e f l e c t sas t r e s sc o n c e n t r a t i o nn e a rt h es h a r pv n o t c h e s i nt h i sp a p e r an e ww a yi s p r o p o s e dt od e t e r m i n et h es t r e s ss i n g u l a r i t i e sf o rp l a n ev n o t c hp r o b l e m s f i r s t l y ， t h ea s y m p t o t i cd i s p l a c e m e n tf i e l di nt h ev - n o t c ht i pr e g i o ni se x p r e s s e da sas e r i e s e x p a n s i o nw i t hr e s p e c tt ot h er a d i a lc o o r d i n a t ef r o mt h et i p o nt h eb a s i so ft h e s t r a i n d i s p l a c e m e n tr e l a t i o n so f1 i n e a re l a s t i ct h e o r y w ec a no b t a i nt h es t r a i n c o m p o n e n t s t h e n ，f r o mh o o k e sl a wo fp l a n ep r o b l e m s ，t h ep l a n es t r e s s e sa r e e x p r e s s e db y t h e a s y m p t o t i cd i s p l a c e m e n tf u n c t i o n s ，h e n c e ，t h eg o v e r n i n g e q u a t i o n so ft h ee l a s t i ct h e o r ya r et r a n s f o r m e di n t on o n l i n e a re i g e n a n a l y s i so f o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o d e s ) w i t hr e s p e c tt ot h ec i r c u m f e r e n t i a l c o o r d i n a t e0 a r o u n dt h ev - n o t c ht i p a na l t e r n a t i v ea p p r o a c hi s a d o p t e dt o t r a n s f o r mt h ea b o v ee q u a t i o n si n t oal i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e mo f0 d e sb v i n t r o d u c i n gt w on e wf i e l dv a r i a b l e s c o n s i d e r i n gt h ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n sa n d s t r e s s s t a t u so nt h ee d g e sa n di n t e r f a c e sn e a rt h ev - n o t c ht i p ，w ec a ng a i nt h e b o u n d a r yc o n d i t i o n sc o r r e s p o n d i n gt o t h eo d e sf r o mt h ep l a n ev - n o t c h e si n b o n d e dd i s s i m i l a rm a t e r i a l s a t1 a s t ，t h ee v a l u a t i o no fs t r e s ss i n g u l a r i t i e sn e a ra v - n o t c ht i pi st r a n s f o r m e dt os o l v i n gal i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e mo ft h eo d e s i nt h i sp a p e r ，t h ei n t e r p o l a t i n gm a t r i xm e t h o d ，w h i c hi san u m e r i c a lm e t h o d t h a th a de a r l yb e e np r o p o s e dt os o l v et w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p s ) o f o d e s ，i sf u r t h e rd e v e l o p e dt ot r e a tt h ed e r i v e de i g e n v a l u ep r o b l e mo fo d e sf r o m t h ev n o t c hp r o b l e m s h e n c e ，t h es i n g u l a r i t yo r d e r so ft h ev n o t c hp r o b l e ma r e d e t e r m i n e dt h r o u g hs o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n go d e sb ym e a n so ft h ei n t e r p o l a t i n g m a t r i xm e t h o d m e a n w h i l e ，t h ea s s o c i a t e de i g e n v e e t o r so ft h e d i s p l a c e m e n ta n d s t r e s sf i e l d sn e a rt h ev - n o t c h e sa r ea l s oo b t a i n e d t h e s ef u n c t i o n sa r ee s s e n t i a li n c a l c u l a t i n gt h ed i s p l a c e m e n tf i e i d ，s t r e s sf i e l da n dt h eg e n e r a l i z e ds t r e s si n t e n s i t y f a c t o r so fv - n o t c h e s t h e p r e s e n tm e t h o di s u s e dt os o l v et h ep l a n ev - n o t c h p r o b l e m si nb o n d e do r t h o t r o p i cm u l t i - m a t e r i a l s t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t t h en e wm e t h o di sa ne f f e c t i v ea n da c c u r a t et o o lf o rd e a l i n gw i t hs i n g u l a r i t yo r d e r s o fp l a n ev - n o t c h e s k e yw o r d s ：s t r e s ss i n g u l a r i t y ；o d e s ；t h ei n t e r p o l a t i n gm a t r i xm e t h o d ； v - n o t c h ；e l a s t i c i t y 插图清单 图2 1简支梁模型1 3 图2 2简支梁第一阶振型相对误差1 4 图2 3简支梁第二阶振型相对误差1 4 图2 - 4简支梁第三阶振型相对误差一1 5 图2 5简支梁第四阶振型相对误差1 5 图3 1张角为口的v 形切口1 7 图3 2 各向同性材料v 形切口1 7 图3 3正交各向异性材料v 行切口1 9 图3 4 av 形切口角为3 0 0 0 时归一化位移角函数分布陷线( i 型) 2 7 图3 4 bv 形切口角为3 0 0 0 时归一化位移角函数分布曲线( i i 型) 2 7 图3 5 av 形切口角为3 0 0 0 时归一化应力角函数分布曲线( i 型) 2 7 图3 5 bv 形切口角为3 0 0 0 时归一化应力角函数分布曲线( 型) 2 8 图3 6 av 形切口角为3 6 0 0 时归一化位移角函数分布曲线( 1 型) 2 8 图3 6 bv 形切口角为3 6 0 0 时归一化位移角函数分布曲线( i i 型) 2 8 图3 7 av 形切口角为3 6 0 0 时归一化应力角函数分布曲线( i 型) 2 9 图3 7 bv 形切口角为3 6 0 0 时归一化应力角函数分布曲线( i i 型) 2 9 图3 8 极坐标正交各向异性材料v 切口2 9 图3 - 9 切口角为1 8 0 0 时归一化位移角函数分布3 0 图3 1 0 切口角为1 8 0 0 时归一化应力角函数分布3 i 图3 1 l a 切口角为3 6 0 0 时归一化位移角函数分布( 五= - - 0 8 5 5 6 0 8 2 ) 3 1 图3 1 1 b 切口角为3 6 0 0 时归一化位移角函数分布( 如= - - 0 8 3 5 0 0 3 4 ) 3 1 图3 1 l c 切口角为3 6 0 0 时归一化位移角函数分布( 厶= - - 0 6 6 5 5 6 6 7 ) 3 2 图3 “d 切口角为3 6 0 0 时归一化位移角函数分布( 丑= - - - 0 4 5 8 1 6 1 0 ) 3 2 图3 1 1 e 切口角为3 6 0 0 时归一化位移角函数分布( 如= - - 0 2 2 5 9 1 5 5 ) 3 2 图3 - 1 2 a 切口角为3 6 0 0 时归一化应力角函数分布( = - 0 8 5 5 6 0 8 2 ) 一3 3 图3 - 1 2 b 切口角为3 6 0 0 时归一化应力角函数分布( 厶= - - 0 8 3 5 0 0 3 4 ) 3 3 图3 - 1 2 c 切口角为3 6 0 0 时归一化应力角函数分布( 厶= - - 0 。6 6 5 5 6 6 7 ) 一3 3 图3 - 1 2 d 切口角为3 6 0 0 时归一化应力角函数分布( 2 4 = - 0 4 5 8 1 6 1 0 ) 3 4 图3 - 1 2 e 切口角为3 6 0 0 时归一化应力角函数分布( 五= - 0 2 2 5 9 1 5 5 ) 3 4 图4 1界面模型3 5 图4 2理想粘结模型3 7 图4 3两相各向同性材料v 形切口3 7 图4 4几何坐标和材料主轴3 s 图4 5重力坝模型4 0 图4 6两相材料尖劈4 1 图4 - 7 a互岛= 3 时粘结材料v 形切口归一化位移角函数分布 ( = - 0 4 3 4 6 0 0 ) 4 2 图4 7 b z , z 2 = 3 时粘结材料v 形切口归一化位移角函数分布 ( j h = - 4 ) 1 2 7 8 0 0 ) 4 2 图4 - 8 a 置最= 3 时粘结材料v 形切口归一化应力角函数分布 ( = - 0 4 3 4 6 0 0 ) 4 2 图4 8 b e 】压：= 3 时粘结材料v 形切1 3 归一化应力角函数分布 ( = - 0 1 2 7 8 0 0 ) 4 3 图4 9 a e l e 2 = 1 0 时粘结材料v 形切口归一化位移角t 函数分布 ( a = - o 3 8 0 3 2 0 ) 4 3 图4 - 9 b 巨易= 1 0 时粘结材料v 形切口归一化位移角函数分布 似= _ 0 2 0 7 3 4 5 ) 4 3 图4 - 1 0 a e e 2 = 1 0 时粘结材料v 形切口归一化应力角函数分布 似= - o 3 8 0 3 2 0 ) 4 4 图4 - 1 0 b 局丘= 1 0 时粘结材料v 形切口归一化应力角函数分布 “= - 0 2 0 7 3 4 5 ) 4 4 图4 - 1 l 搭接粘结材料4 4 图4 1 2 振荡( 复数) 奇异性实例4 5 图4 1 3 垂直于粘结材料界面的裂纹的分析模型4 6 图4 1 4 应力奇性指数随裂纹角的变化4 6 图4 1 5 两相半平面粘结材料含线裂纹问题4 7 图4 1 6 两相半平面粘结材料含线裂纹问题的应力奇性指数4 7 图4 - 1 7 4 e 面e p l = o o o l 时粘结材料v 形切口归一化位移角函数分布 ( 矗= - 0 8 3 7 6 7 9 ) 4 7 图4 - 1 7 b e p 2 肛一= o 0 0 1 时粘结材料v 形切i ：1 归一化位移危函数分布 ( 乃= - 0 7 7 2 1 3 2 ) 4 8 图4 - 1 7 c e 2 e p 。= o 0 0 l 时粘结材料v 形切口归一化位移角函数分布 ( j i 3 = - 0 6 8 9 6 3 7 ) 4 8 图4 - 1 7 d 易2 易。= o 0 0 1 时粘结材料v 形切口归一化位移角函数分布 ( 以= - 0 4 0 8 6 3 8 ) 4 8 图4 - 1 7 e 髟2 易。= o 0 0 1 时粘结材料v 形切口归一化位移角函数分布 ( 无= _ o 2 8 4 7 6 2 ) ：4 9 图4 - l g a 包2 z 1 = 0 0 0 1 时粘结材料v 形切1 ：3 归一化应力角函数分布 ( = o 8 3 7 6 7 9 ) 4 9 图4 - l g b e p 2 e p l = o 0 0 1 时粘结材料v 形切口归一化应力角函数分布 ( j k = 一0 7 7 2 1 3 2 ) 4 9 图4 - 1 8 c 髟：髟i = o 0 0 1 时粘结材料v 形切口归一化应力角函数分布 ( 五= - - 0 6 8 9 6 3 7 ) 5 0 图4 - 1 8 d e p 2 e m = l 时粘绪材科v 形切口归一化应力角函数分布 ( j k = - 4 ) 4 0 8 6 3 8 ) 5 0 图4 - 1 b e 易：露。= o 0 0 1 时粘结材料v 形切口归一化应力角函数分布 ( = - 0 ，2 8 4 7 6 2 ) 5 0 图4 1 9 正交各向异性粘结材料含线裂纹问题5 l 图4 - 2 0 正交各向异性粘结材料含线裂纹问题的应力奇性指数5 2 图4 - 2 1 a e ：= o 0 0 1 时粘结材料v 形切口归一化位移角函数分布 5 时，d 的最后一行的最后三列元素顺次取 去【2 3 2 8 9 1 ，其余元素由左上角自上而下地取用。 2 3 数值算例 本文用插值矩阵法求解简支梁的频率和振型，以显示本文方法的有效性和 准确性。 图2 1 简支梁模型 例2 1 图2 l 所示的简支梁的自由振动 自由振动控制方程是： 挚y ( 力- 0 ，肛鲁，x e 【呲】 ( 2 3 9 ) 其中r ( x ) 是位移的固有模态，国是固有频率；三是梁的长度，日表示弯曲刚度、 m 是单位长度质量。这里髓和删是常量。在两端各自的边界条件是： 联o ) = 0 ，r ( o ) = o ， y ( 工) = 0 ，r ( 三) = o ( 2 4 0 ) w 并j 和m 由可求解( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) 式的特征值问题算出，且可以精确求解： 厂罚 q 。( f 力2 1 意，j = l 川2 。 ( 2 4 1 ) r ( 力= 4s i n 半 ( 2 4 2 ) 其中4 是自由振动的振幅。 为评估插值矩阵法( i m m e i ) 的精确度，采用线性插值和分段抛物线插值函 数计算特征对。将区间 0 ，q 等分为三种段数，各自的子区间数为0 = ) 2 0 ，4 0 和 8 0 。为表现插值矩阵法的收敛速度随区分段数成倍增加的变化，提出了三种分 段数的i m m e i 法求解。表2 - 1 反映出用i m m e i 计算特征值以与精确解比较的 相对误差。用n = 8 0 抛物线插值的i m m e i 法，图2 - 2 至图2 - 5 依次求解出前四 阶振型的e ( z ) ，r t 功和j = 协) 的相对误差。表2 1 和图2 - 2 至图2 - 5 中，e r r 表示 如下定义的相对误差： 胛：型紫x 1 0 0 ( 2 4 3 ) 精确解 。 表2 - i i m m e i 解的固有频率c o , ( 、e i m l ) 和相对误差( ) 精确解线性d 矩阵i m m e i 解p h 抛物线d 矩阵m m e i 解e r r 。 振型 卿 = 2 0n = 4 0疗= 8 0玎= 2 0疗= 4 0以= 8 0 i s t ，r 20 4 1 2 7 0 1 0 2 90 0 2 5 7 l0 0 0 1 3 5 60 0 0 0 1 0 0 40 0 0 0 0 0 6 8 2 n d4 刀21 6 6 8 20 4 1 2 7o 1 0 2 90 0 2 1 8 30 0 0 1 6 0 70 0 0 0 1 0 8 3 r d9 万23 8 2 1 0 0 9 3 2 6 o 2 3 1 80 1 1 1 60 0 0 8 1 3 9 0 0 0 0 5 4 8 4 t h1 6 石26 9 6 7 61 6 6 8 20 4 1 2 70 3 5 7 50 0 2 5 7 40 0 0 1 7 3 3 5 t h 2 5 石21 1 2 5 7 2 6 2 7 50 6 4 6 10 8 8 7 30 0 6 2 8 80 0 0 4 2 2 9 6 t h3 6 万23 8 2 l o0 9 3 2 6i 8 7 7 3o 1 3 0 5 00 0 0 8 7 6 7 7 t h 4 9 万2 5 2 6 2 l1 2 7 3 03 ，5 6 4 80 2 4 2 0 5o 0 1 6 2 4 o o 0 0 3 0 0 o 0 0 2 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 3 0 o 0 0 0 2 5 0 0 0 0 2 0 o 0 0 0 1 5 o 0 0 0 1 0 o 0 0 0 0 5 0 o 0 0 0 0 o oo 20 40 ，60 8 1 0 图2 - 2 简支梁第一阶振型相对误差 0 00 20 40 60 8 i 图2 - 3 简支梁第二阶振型相对误差 1 4 x | l o x | l o 0 0 1 4 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 o 0 0 0 8 o 0 0 0 6 o o 0 0 4 0 0 0 0 2 o o 0 0 0 - o o 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 o o o l 0 0 0 0 图2 - 4 简支梁第三阶振型相对误差 图2 - 5 简支梁第四阶振型相对误差 2 4 结论 通过大量数值实验表明插值矩阵法抛物线插值和线性插值的收敛速度分别 为o ( h 4 ) 和o ( h 2 ) ，其中h 是子区间长度，插值矩阵法具有如下特点； 1 本方法可同时求出所有的特征值和各阶导数k ，v ，碰- n ，其第一阶特 征解集的计算精确度最高，如表2 1 和图2 2 所示，当选用厅= 8 0 抛物线插值， 其相对误差大约1 0 5 。而且特征值和各阶导数具有同等精确度，而有限元法和 差分法在计算导数值时，误差很大。 2 本文方法计算稳定，收敛快，增大系统划分区间的数量可以提高精确度。 抛物线插值比线性精确度更高。离散模型中高阶振型解的精确度逐渐损失。 3 本文方法仅仅是d 矩阵的选择不同，基本公式不变，可以编制通用程序， 这对工程应用是极为方便的。 4 由于放弃了d 矩阵的具体特征，对于任何插值矩阵d ，本文的计算量均 相同，最后的代数方程组是满秩且非对称的。所以在同样的分段数下，计算量 与配点法一样，比差分法大，这一缺点可采用高精度的插值矩阵d 得到一定的 补偿。 1 6 第三章 同种材料的平面v 形切口应力奇异性 为了确定平面v 形切口尖端、裂纹尖端奇异点的应力强度因子，笨章基于 近似位移场、根据线弹性原理，从平面问题的基本方程出发，将弹性理论控制 方程组转换成切口尖端附近关于周向变量口的常微分方程组( o d e s ) 特征值问 题，提出了一种计算v 形切口应力奇性指数的新方法。v 形切口的应力奇性指 数问题可用插值矩阵法解决相对应的常微分方程计算求得，相应的切口附近位 移场和应力场特征向量均可同时求得。 3 1 各向同性材料平面v 形切口应力奇异性 图3 - 1 张角为a 的v 形切口 如图3 - 1 所示，工程中常常遇到v 形切口的结构，根据线弹性理论，在切 口尖端o 点处，应力值是奇异的。以o 为圆心，为半径从结构中取出一个微 小的扇形，如图3 2 所示。 图3 - 2 各向同性材料v 形切口 首先考虑一个各向同性均质弹性体的v 形切口，其张角为口= 2 z t 一岛一岛， 内角= 2 ，r - a ，定义一个极坐标系矽，以切口尖端0 作为极点。在线弹性分 析过程中，将切口尖端区域渐近位移场表达成极坐标p 的一系列级数展开f 3 0 1 ， 展开式的典型项如下： 1 7 u p ( p ，印= p 舢1 巧( ( 3 1 a ) - 4 e ( 岛$ = p “( $ ( 3 1 b ) 其中丑为应力奇异阶，指数，( d 和( 研是特征向量角函数，玩( d 和瓦( 回分 别是p 和口方向的位移值。将等式( 3 1 ) 引入到线弹性理论中的几何方程，应变 为 知= ( 1 + 句户4 吒( d 知= p 2 既( 回+ p 。弼( 刃 ( 3 2 a ) ( 3 2 b ) ，印= p 2 杉( 日) + 五p 2 ( 力( 3 2 c ) 其中，( ) = d ( ) 棚。再代入平面应力情况下h o o k e 定律，应力分量可表达 成 = ( 1 + 五) + y + y 弼】 = i 告【( 1 + 五弘+ + 弼】 = 丽e 丽尸4 ( 弛+ 髟) 其中e 是杨氏弹性模量，y 是泊松比。忽略体积力，弹性力学平衡方程为 孥+ 三孥+ ! 盎：o a ppa 9p ! 孥+ 擘+ 堕：o p8 8a pp j 等式( 3 3 ) 代入( 3 4 ) 式得到下式 衫+ 号五一2 ) 菇+ 击五( 五+ 2 ) 乃= 。， 口鸱，岛) 彰+ 【2 + 三( 1 + y ) 棚衫+ 圭( 1 一d 五( 五+ 2 ) 瓦= o ， 口 ，岛) 假设两个边界f 和上的面力在切口尖端附近等于0 ，也就是 仨l = 胤吗= 衙 因此，将( 3 3 ) 代入( 3 6 ) 形成边界条件 弼+ ( 1 + y + 以) 玩= 0 ，口= b f 3 3 a ) ( 3 3 b ) ( 3 3 c ) ( 3 4 a ) ( 3 4 b ) ( 3 。5 a ) ( 3 5 b ) ( 3 6 ) ( 3 7 a ) 咒+ 五= o ，o = g( 3 7 b ) 弼+ ( 1 + i t + 以) 无= o ，口= 岛( 3 7 c ) 彰+ a 葡- - 0 ，秒= 岛( 3 7 d ) 考虑到( 3 5 ) 式中有牙项，使得在计算( 3 5 ) 式时形成非线性特征分析。本文采 用一种替换法将等式( 3 5 ) 变成线性特征值问题，引入如下两个变量 岛( 印= 五砟( 目) ， 口 ，b )( 3 8 a ) 岛( 力= a ( d ，0 ( b ，岛)( 3 8 b ) 所以，等式( 3 5 ) 可重写成 衫+ ( 苦a 一碱+ 击( a + 2 ) g ，= 0 ， 口( q ，巴) ( 3 9 a ) 霹十【2 + 去( 1 + ，) 五】杉+ 寺( 1 一v ) ( g + 2 ) g o = o ， 口( q ，岛) ( 3 9 b ) 至此v 形切口( 图3 2 ) 的应力奇性指数z 和特征向量以 ) 、( 回归结为 常微分方程特征值问题( 3 - 8 ) 、( 3 - 9 ) 和相应边值条件( 3 7 ) 。解之可得丑、兄( 口) 和 玩( 力，切口尖端的附近的应力兑由式( 3 3 ) 得到。 3 。2 正交各向异性材料平面v 形切口应力奇异性 如图3 - 3 所示正交各向异性材料v 形切口问题，材料主轴标识为轴1 和2 。 岛为正交各向异性材料主轴系( 1 ，2 ) 与整体坐标系( x , y ) 的夹角，口为极坐标系 ( p ，口) 与整体坐标系( 毛y ) 的夹角，e l 、e 2 为弹性模量，q ：为泊松比，g 1 ，为剪 切模量。 其中 极坐标系( p ，疗) 情况下正交各向异性材料的弹性矩阵【d 】， d i ，d l ：d 1 6 1 【d 】= id i ：如d 2 。l 【d 1 6d kd 矗j 1 9 可导出如下： ( 3 1 0 ) d l , ：p tc o s 4 ( ) + p 2 s i n 4 ( 歹) + 2 c o s 2 ( e ) s i n 2 ( 0 ) ( 2 g r i p 3 + p 4 ) p 3 df，：p4(cos4(e)+sin4(e)+cos2(0)sin2(o)(pl+p2-4grip3) 一 见 d 】。：。o s ( 易。i n 痧) 旦! 壁堑蔓兰型堡生垡垫：堕2 二竺! ：叟丛三g z 墨丝! 见 d ，：旦竺苎= 堡! 鱼墅：堕2 ! ! ! 堕2 1 垫：堕2 1 三9 2 丝丛2 p 3 d 2 ；：。( 乃。i i l ( 乃鱼皇堡竺趔! 二f 墅i 至2 二竺鱼丛! 9 2 旦丝2 见 jk：gnp3(1-4cos2(o)sin2(b-)+sin2(0-)cos2(0)(pt+p2-2p4) 易 其中 歹= 岛一口 对于平面应力问题： p t = 一研，热= 一墨最，死= 壤是- e , ，p 4 = q ：互乏 对于正交各向异性材料，几何方程如( 3 2 ) 式所示。代入平面应力问题的物理方 程，有： 旷奠黑：2 掣黧“d i l 岫：纵力( 3 1 1 a ) + 五( d 1 ( 力+ d i 。弦( 印) 】 = p a 玩 ( 力+ 虬+ ( d l ：+ ) ( 缈 + 五( d l z ( 力+ k ( 印) 】 6 _ = p 2 i d a ；p ( 护) + d 2 6 打口( d + ( d 1 6 + 马6 ) z 。( + 五( d 1 6 瓦够) + z k ( 口) ) 】 将( 3 1 1 ) 式代入( 3 4 ) 式整理得常微分方程组： ( 3 1 l b ) ( 3 1 l c ) 玩筇”，+ 上k t 0 + 2 d 1 6 p + ( d 1 2 一d 2 2 ) 万口+ ( d l l 一) + 五【2d 1 6 万- + ( d 1 2 + 玩) 万口+ 2d l l + ( d 1 6 一d 2 。) 】 ( 3 1 2 a ) 十岔【d l l u 。p + d 1 6 玩】= 0 ，0 e 0 , ，0 2 玩n + 玑+ ( d 1 2 + + 2 玩) + 2 d 2 6 k 口+ 2 ( d 1 6 + 巩) + 五【( d 1 2 + 玩) 历，+ 2 d 2 6 i 口+ ( 3d 1 6 + j k ) + 2 d 弘 a( 3 1 2 b ) + d l 。+ d 6 6 】= 0 ，0 吼，岛】 2 0 如( 3 8 ) 式所示，；j l k 新变量岛和踟，消去式( 3 1 2 ) q ba 2 项，组成新的方程组如 下： g p = a ，0 ( 目，岛)( 3 1 3 a ) g o = l 蕲， 口( 岛，岛)( 3 1 3 b ) 茚 p + d 2 6 h a + 2d 1 6 茚，+ ( d 1 2 一d 2 2 ) 万0 + ( d 1 i 一d 2 2 ) + 饥2 d 6 矿p + ( d 1 2 + d g ) 万口+ 2 d l l 砖+ ( d 1 6 一d 2 6 ) 西1 ( 3 1 3 c ) + 五 d l l g ，+ d 1 6 9 0 】= 0 ，0 ( b ，0 2 ) 玩矿0 + 矿一d l ：+ + 2 玩) 以+ 2 巩钆+ 2 ( d 1 6 + 比) 乃 + 五【( d 1 2 + p 晰) 茚p + 2 d 2 6 疗口+ ( 3d 1 6 + d 2 6 ) + 2 3 6 , 】 ( 3 1 3 d ) + d 1 6 9 p + p “g a 】= 0 ，曰( b ，岛) 图3 3 中v 形切口边界条件为r l 和r 2 上面力在切口尖端附近等于0 ，如( 3 6 ) 式所示，有 k p + 如虬+ ( d 1 2 + d 2 2 ) 砧+ 名【d i ：+ 口k 瓦】= 0 ，0 = b ( 3 1 4 a ) 玩茚，+ 比石d + ( d 1 6 + 巩) 乃+ d 1 6 + 见6 】- 0 ，p = 岛 ( 3 1 4 b ) d 2 6 矿p + d 2 2 玩+ ( d 1 2 + d 2 2 ) + d 1 2 露+ 玩】= 0 ，0 = 岛 ( 3 1 4 c ) d k 茸p + d 2 6 玎口+ ( d 1 6 + ) + 五【d 1 6 + 口* u 0 】= 0 ，0 = 0 2 ( 3 1 4 d ) 因此，正交各向异性材料v 形切口( 图3 3 ) 的应力奇性指数z 和特征向量 瓦( 印、玩( d 归结为求解常微分方程特征值问题( 3 - 1 3 ) 和相应边值条件( 3 1 4 ) 。 切口尖端的附近的应力每，由式( 3 1 1 ) 得到。 下面，应用插值矩阵法求解上面推导出的常微分方程组特征值问题。 3 3 数值算例 对图3 2 和图3 - 3 的v 形切口，对每个给定内角p ，区间【b ，岛】被不同等分， 其中区闯表示在v 形切口尖端半径为p 从o i 到岛的弧。插值矩阵法的计算结果 在表3 1 、表3 2 、表3 - 3 和表3 4 给出，其中疗是区间旧，吃】的划分段数且都采用 抛物线插值。特征值五通常是复数，且可表达成五= 彘+ f 仇，共中f = 一l 。显 然，如果仇等于零，五是实数。 例3 。l 各向同性材料平面v 形切口 如图3 2 所示的v 形切口，用分区加速m t i _ l l e r 法，傅向荣和龙驭球【l3 】计算了 许多v 形切口应力奇性指数的特征值。式( 3 9 ) 中l ，= 0 3 ，角夕从1 9 0 0 到3 6 0 0 变化。 事实上也正如w i l l i a m s 6 , a l l 指出的，在切口尖端处奇异性的强弱与切口张开角有 关，计算均质各向同性材料v 形切口特征值与泊松比无关。表3 1 列出对称位移( i 型) 特征函数玩( 目) 所对应特征值，表3 - 2 列出反对称位移( i i 型) 特征函数瓦( 国所 2 l 对应特征值。 在表3 - l 和表3 - 2 中，1 9 0 0 s3 6 0 0 的各向同性单相材料v 形切口，取甩= 4 0 时 在1 五0 范围内的两个特征值有四位有效数字收敛。1 9 0 。s 3 6 0 。的各向同性材 料v 形切口存在一个或两个实部在1 到0 之间的特征值，r e ( a ) ( - 1 ，o ) 的特征值是 直接影响v 形切口应力场奇异指数的重要参数。 表3 1i 型对称问题特征值 方法 卣 矾 彘仍f3 ，73 孝，7 文献 1 3 】 一0 0 9 9 9 5 6o 1 0 0 1 7 9 5 o 1 6 9 5 2 3 2o3 0 2 2 6 8 0o 2 0 段插值- 0 0 9 9 7 6 7o1 0 0 0 6 2 9o1 7 0 6 3 5 9o 2 9 7 2 9 8 6o 1 9 0 0 4 0 段插值- 0 0 9 9 9 4 9o1 舯1 7 3 3o1 6 9 5 6 9 3o3 0 2 0 5 6 2o 8 0 段插值 o 0 9 9 9 5 5o 1 0 0 1 7 8 9 0 1 6 9 5 2 8 603 0 2 2 3 9 0o 文献 1 3 】 - o j 引3 0 4o 1 0 1 8 2 6 4o1 4 2 0 5 8 703 0 2 5 0 0 2 0 2 4 3 0 1 5 2 0 段插值- 0 1 8 1 1 3 5o1 0 1 5 8 6 001 4 3 1 1 8 7o3 0 6 1 6 8 9o 2 0 0 0 4 0 段插值 o 1 8 1 2 9 2o 1 0 1 8 0 8 6 0 1 4 2 1 3 5 3o3 0 2 7 4 5 6o 2 3 9 0 4 4 8 0 段插值 0 1 8 1 3 0 30 1 0 1 8 2 5 2 o 1 4 2 0 6 3 9o3 0 2 5 1 6 70 2 4 2 7 5 1 文献d 3 】 - 0 2 4 8 0 2 5o1 1 0 6 2 8 60 0 9 6 1 0 02 8 2 8 2 9 40 3 4 7 1 7 74 5 4 7 2 8 80 4 5 9 2 矾 2 0 段插值 o 2 4 7 8 7 101 1 0 9 7 7 60 0 8 7 3 0 72 8 5 9 2 0 60 3 2 1 4 0 04 7 0 5 9 2 80 3 0 8 3 2 0 2 1 0 0 4 0 段插值 _ o 2 4 8 0 1 9o1 1 0 6 5 3 10 0 9 5 5 8 82 8 3 0 4 4 90 3 4 5 5 9 0 4 5 5 6 6 3 90 4 5 2 8 7 9 8 0 段插值- o 2 4 8 0 2 5 0 1 1 0 6 3 0 3o 0 9 6 0 5 92 8 2 8 4 3 4o 3 4 7 0 7 04 5 4 7 9 0 40 4 5 8 8 9 3 文献 1 3 】 - 0 3 0 2 8 3 501 0 0 5 “9o 1 9 8 3 8 02 6 5 11 0 20 ，3 9 1 9 8 14 2 9 2 7 9 80 4 9 4 8 7 8 2 0 段插值o 3 0 2 6 9 1o1 0 0 8 7 2 60 1 9 6 0 3 82 6 7 8 0 3 20 3 8 0 0 4 44 4 2 8 3 6 40 4 2 5 0 6 5 2 2 0 0 4 0 段插值 - o 3 0 2 8 2 4o1 0 0 5 8 7 00 1 9 8 2 1 32 6 5 2 9 3 90 3 9 1 2 4 l4 3 0 1 0 0 70 4 9 2 1 6 9 段插值 m 3 0 2 8 3 40 1 0 0 5 6 6 40 1 9 8 3 6 92 6 5 1 2 2 5o 3 9 1 9 3 24 2 9 3 3 4 50 4 9 4 7 0 3 文献 1 3 】 - 0 3 4 7 7 3 100 9 1 5 2 7 3 0 2 3 6 9 5 22 4 9 0 3 4 80 4 1 0 5 9 94 0 6 1 2 1 l0 5 0 7 3 7 0 2 0 段插值o 3 4 7 5 9 4 0 0 9 1 8 0 2 lo 2 3 6 0 4 82 5 1 4 3 1 0 0 4