（电子科学与技术专业论文）负载变化对设计二端口网络传输特性的影响.pdf

a b s t r a c t t h ee f f e c to fv a r i a b l el o a dt ot r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r so ft h e t w o - p o r t sn e t w o r k a b s t r a c t w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n ti ne l e c t r o n i ci n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ，t h em a t c h i n gl o a d ， w h i c hi st h ep r o b l e mo fc i r c u i ta n a l y s i s ，s t i l lh a sr e m a r k a b l es i g n i f i c a n c e f o re x a m p l e ， t h et w o - p o r tf i l t e rn e t w o r kw i l lr e f l e c tag o o dc h a r a c t e rt e s t e db yn e t w o r kr e f l e c t o s c o p e r e f l e c t o r b u tw h e nf i x e dt oas y s t e m ，d u et ot r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r s ，i tn e e d st ob et u n e t oab e t t e rs i t u a t i o n i t sc h a r a c t e rh a sc h a n g e dw h e ni ti sp u tb a c kt ot h en e t w o r k r e f l e c t o s c o p er e f l e c t o r t h a ti sw h y i t si m p o r t a n tt oc o n s i d e rt h el o a de f f e c tt ot h ef i l t e r n e t w o r k w h e nd e s i g nat w o - p o r tf i l t e ro rm a t c h i n gn e t w o r k ，t h ef i r s tt ob ec o n s i d e r e di st h e t r a n s m i s s i o nc h a r a c t e rs e n s i t i v i t ya b o u tt h el o a d w er e f e ran e t w o r k ，w h i c hi sn o t s e n s i t i v i t yt ot h el o a d a sm i n i m u mm i s m a t c hn e t w o r k t h ea r t i c l ef i r s t l yc o n s i d e r s 5 - o r d e rl o w p a s sb u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e la n d e l l i p t i cf i l t e r ，a n dp r e s e n t sa m i n i m u mm i s m a t c hf i l t e rn e t w o r ku s i n gt h em e t h o do fm o n t ec a r l oa n a l y s i s t h em e t h o dc a l lp r e s e n tar e s o l u t i o nt ot h ep r o b l e mo fm i s m a t c ht os o m ed e g r e e s a n da l s oi tc a nm a k et h ef i l t e rt oh a v en ot i p p l eo rt oh a v ee q u i - t i p p l e si nt h ep a s s b a n d b u tt h i sm e t h o dh a sab o t t l e n e c k i no r d e rt ob r e a kt h r o u g ht h eb o t t l e n e c k ，p i - t y p e a t t e n u a t o rc o m e su p i th a st h em i n i m u me n e g e rl o s sa n dt h em a x i m u mr a n g eo ft h e l o a dr e s i s t a n c ef l o p t i o n t 1 1 i sa r t i c l ed i s c u s s e st h ef e a s i b i l i t yo ft h ep i t y p en e t w o r ka n d h o wt od e s i g nam i n i m u mm i s m a t c hp i t y p en e t w o r k i ta l s og i v e ss o m ei l l u s t r a t i o n so f t h ep i t y p ef i l e rn e t w o r ku s i n gt h e5 - o r d e rb u t t e r w o r t hf i l t e r k e yw o r d s ： m i n i m u mm i s m a t c hn e t w o r k ；f i l t e r ；m o n t ec a r l oa n a l y s i s ；p i t y p e n e t w o r k 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博硕士学位论文 = = 负惑变丝盟遨盐三强旦圈终佳箍挂性的毖堕：。除论 文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经 公开发表或未公开发表的成果。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：聋必 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学 位论文的规定，即：大连海事大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士 学位论文全文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全 文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发 行和提供信息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于：保密口在年解密后适用本授权书。 不保密西( 请在以上方框内打“， ) 论文作者签名： 导师签名：善赳 嗍：2 。少年占日 负载变化对设计二端口网络传输特性的影响 第1 章绪论 1 1 “最小失配网络 研究的意义 人类进入2 1 世纪，电子信息技术日新月异，渗透到各个领域；推动社会、科 技发展和人类的进步。其中电工学，电路理论已有1 8 0 年的发展历史，但它仍然 充满活力。目前人类使用的信号频率高达3 0 0g h z ( 毫米波) ，互联网上传输信号 的速率可以达到t b i t s s ( 太比特每秒) ，电路尺寸小至6 0 4 0 纳米。从经典电路 理论开始，到电网络滤波器理论，数字信号处理，现代控制论，微波理论与技术， 应用图论，有源开关网络，计算机辅助电路设计，超大规模集成电路( v s l a ) ， 宽带匹配理论，多维系统和信号处理，人工神经网络，多速率系统和滤波器组， 片上系统( s y s t e m so nc h i p s ) ，非线性电路与混沌，等等；新器件，新方法，新 技术，新理论层出不穷。然而，对于传统的电路分析而言，负载匹配问题仍然具 有很大的意义。 例如：渔业船用无线通信设备工作频段是2 7 5 3 9 5 兆赫兹，天线阻抗5 0 欧 姆，发射机功率2 5 瓦。在通信过程中，人们会发现通信质量时常发生变化，其中 一个主要原因是发射机匹配电路不理想，渔船天线随天气海况变化，( 如大风，海 水附着，结冰等) ；天线的特性阻抗是时变的，发射机有时处于匹配状态，有时 失配，输出功率时大时小。 解决诸如此类问题的最简单的方法是使用自适应网络n 3 1 。自适应网络可以实 现时变系统的匹配，例如自适应滤波器【4 ，5 】。它依靠递归算法进行运算，这样使得 它有可能在不能得到有关信号特征完整知识的环境下，完满的完成运算：平稳环 境下可以经过迭代使其收敛于某一统计意义上的最优解；非平稳环境下则提供了 一种跟踪能力【6 1 。但它的结构较为复杂，成本也较高，对于经常处在复杂海况下的 中小渔船来说并不经济。最近，a l l e n 利用有耗匹配网络技术，实现渔业天线的宽 带匹配m 】。本文从该问题出发，研究结构简单，网络传输特性对负载变化不灵敏 的网络，我们称之为最小失配网络。 宽带匹配问题的负载是频变的( f r e q u e n c yd e p e n d e n t ) ，本文研究的负载是时 第1 章绪论 变的。在此意义上最小失配网络是宽带匹配理论的延伸和发展。设计最小失配网 络，有理论研究的可能；其成果也有广泛的应用价值。 1 2 本文研究的主要内容 本文首先要弄清什么是“最小失配网络”；如何定义，怎样判断一个二端口 网络是最小失配网络；其次，以b u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e l ，e l l i p t i c 四种5 阶低通原型滤波器为例睁1 4 3 ，研究它们传输特性随负载改变的变化情况，并以此为 基础设计5 阶低通“最小失配 的滤波器网络。最小失配网络的设计用到数字优 化技术，被优化的目标函数是输入端口反射系数的模，优化对象是5 阶滤波器的 元器件值。在优化的同时，也要考虑到网络对功率的损耗。j e f f e r ya l l e n 在文酬7 ， 列中提到了一种针对宽带匹配的7 c 型有耗电阻网络。这种兀型网络不但可以实现负 载的匹配i 而且损耗也足以满足信号传输的要求。该网络是针对某一固定阻值负 载的匹配问题而设计的，在这篇文章中，讨论了这种网络应用于时变负载的可行 性以及这种网络在“最小失配网络”中的应用问题。并以此为基础采用两种方法 设计了随负载变化不灵敏的低通滤波网络。为了简化计算，本文研究的时变负载 只在实数域内取值。关于网络随复数负载变化情况的研究，将在今后进行。 负载变化对设计二端口网络传输特性的影响 第2 章最小失配网络 2 1 最小失配网络的定义及其优化目标 在双端接载滤波器或匹配网络的设计中，我们称对终端阻抗变化不灵敏的匹 配网络为“最小失配网络 。顾名思义， “最小失配网络”就是要求时变负载在 尽可能大的动态范围内满足网络的滤波或匹配需要。最小失配网络设计用到数字 优化技术，该问题可以处理二维空间的优化问题。以二端口低通滤波器网络为例， 假定电路拓扑结构给定，( 以后的研究可开拓到不同的网络拓扑结构) ，被优化 参数是实归一化网络元件值g = g l ，9 2 ，晶】；优化的是实频率区间是 q ，= 国l q 。 c o nq ： 和q 。= l - c o 缎n c onc o 2 ，实数负载的变化范围是 玩= l 。r e r i m 。恐l ，被优化的目标函数是输入端口反射系数的范数。 研究如图2 1 所示二端口网络，设其z 参数 r - k ( s ) ：z - ( s )z ：( s ) - ( s ) ( 2 1 ) 2 ll 么1 ， 1 ( s ) jl z z ，( s ) z 2 2 ( s ) j l z ( s ) j 无源无耗二端口网络输出端接时变电阻r ；。时，输入端驱动点阻抗为 拍，民m e ) 2 毛- 一瓦z 1 2 2 2 1 k 、 洱l 二端口网络 墨j n 辛亏 图2 1 二端口网络 f i g 2 1t w o - p o r tn e t w o r k ( 2 2 ) 第2 章最小失配网络 输入端反射系数的模 i = ( 2 3 ) 其中而是信号源阻抗，毛- - z l ( 一s ) ；在s = j 国时，z l 。= 乏【1 5 1 。 定义1 ：在负载民腿琬变化的情况下，在给定的频率缈q 。范围内，输入端 口反射系数上确界 l l s 。k = s u p s ，。( 缈，足曲。) l ：缈q ，尺岫。琬 - - - ( 2 4 ) 其中吒是小的正数。 定义2 ：在负载玩变化的情况下，在给定的频率缈q 。范围内，输入端 口反射系数的下确界 0 s ，l l 。= i t l f 旧，( 缈，g a i m 。) i ：缈q 。，氏。琬 q ( 2 5 ) 其中瓯是小于1 的正数。 设计最小失配网络就是同时实现最小化l l s , ，k 和最大化怜。l ，其中 ( 1 ) 吒是小的正数的定义 如果给定的功率传输特性在通带最大波纹是d b ，那么 = v l - 1 0 。0 1 ( 2 6 ) 例如：c h e b y s h e v 滤波器通带容许最大波纹是0 5d b 。= 0 5d b ，在频率 【o 0 ，1 o 】， c r p = o 3 2 9 8 。越小，问题越难解，甚至无解；反之，c r p 变大，可能 存在多解，从中找出最优解： 但吒再大，问题就变得没有意义了。如果要求功率 传输特性在阻带最小衰减是d b ，那么 一4 负载变化对设计二端口网络传输特性的影响 叮s ：瓦而 ( 2 7 ) ( 2 ) 为研究方便，我们对时变负载k 琬按线性增加取不同的值，以后的研 究可以扩展到复数域。但此类问题变得很复杂。 ( 3 ) 在研究低通滤波器，通带归一化频率【0 ，1 o 】，越宽的匹配频带将带来越 大的困难。 本文首先研究5 阶低通b u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e l ，e l l i p t i c 滤波器接负 载电阻变化的情况。并以此为基础设计滤波器。设计滤波器通带随负载变化时 i i s 。，k 要小于小的正常数c r p 。而为了保证滤波器的“滤波的特性，还需要保证 l i s 。0 。在q 。内较大。 2 2 二端口网络反射系数s 1 及其模在时变负载方向上的梯度 2 2 1 二端口网络反射系数s 1 在微波电路分析中，由于存在分布式参数，传统的基于电阻的分析方法已不 能适用，而场分析法又过于复杂，所以经常采用s 参数来描述网络的特性。s 参数 就是建立在入射波、反射波关系基础上的网络参数，反映端口入射电压波和反射 电压波之间的关系，二端口网络有四个s 参数，代表的意思是能量从端口n 注 入，在端口m 测得的能量。所以墨，定义为从1 口反射的能量与输入能量比值的平 方根【16 1 。对于所研究的5 阶低通b u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e l ，e l l i p t i c 滤波器 来说，它们的元器件都是无耗的电容和电感。由于不存在消耗功率的电阻，墨，就 正好反映了这些滤波器的滤波特性：通带时，网络几乎不消耗能量，电源产生的 能量全部作用于负载端，i s 。l 接近于“0 ；阻带时，电源产生的能量几乎全被网 络反射，i s 。l 接近于“1 。所以取输入端口反射系数的范数作为被优化的目标函 数。 研究如图2 1 的二端口网络，假设负载电阻民雠为实数。由于5 阶低通 b u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e l 滤波器网络具有相似的拓扑结构( 如图2 2 ) ，而 第2 章最小失配网络 5 阶e l l i p t i c 滤波器只是在电感厶厶处分别并联电容，遂以图2 2 的归一化5 阶低 通滤波器为例。其散射矩阵 6 1 ( 国) l ：l s ( ) s z ( ，缈l l 口( ，缈l ( 2 8 ) 【- 4 ( j c o ) jl 。( j c a ) 是z ( 彩) _ j 【- 龟( 国) - j 图2 2 归一化5 阶低通b u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e l 滤波器网络 f i g 2 25 - o r d e rb u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e va n db e s s e ll o w - p a s sf i l t e rn e t w o r k 反射系数为 s 1 ( j c o ) = 刍! 丝2 二圣l ：血! 型二! 气( j c o ) + z lz i 。( ) + 1 ( 2 9 ) 其中，z = ( j c o ) 是公式2 2 中的输入端等效阻抗，归一化情况下毛= 1q ；对于 如图2 2 的归一化低通滤波网络，s 。同时也是时变电阻g t i 眦的函数。对于如图2 2 的5 阶低通滤波器来说 乙( j c o ) = 1 一+ 彩c 2 告+弘厶吖“11+ j c 3 k 。 + j k + ，国c l ( 2 1 0 ) 联合公式2 3 ，2 4 ，2 9 就可以对5 阶低通b u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e l 滤波器进行优化。 负载变化对设计二端口网络传输特性的影响 2 2 2 二端口网络反射系数旧。l 的梯度 二端口低通滤波器网络通带反射系数的范数l i s 。忆较小意味着通带反射系数 i s ，i 在彩q ，的频带范围内随负载电阻变化的最大值最小，即反射系数随电阻变 化平缓。这一点，可以通过反射系数i s ，i 在电阻方向上的梯度来证明。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通 过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到。梯度的数值有时也被称为梯度。在 向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量 场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间r ” 到r 的函数的梯度是在r ”某一点最佳的线性近似【1 7 】。 设f ( x ，y ，z ) 是关于x ，y ，z 的函数，公式2 11 称为f ( x ，y ，z ) 的梯度。 夥c a c ，y ，：；，= = ( ：差，：爹， 誓五：) c 2 ，t ， 其中，f ，j ，k 分别是x 轴，y 轴，z 轴上的单位向量。 梯度可以告诉我们一个数量在不是最快变化方向的其它方向的变化速度。在 单变量实值函数的情况下，梯度只是导数。对于一个线性函数来说，梯度也就是 线的斜率邮1 。虽然s 。( 缈，民m 。) 是随时变负载变化的虚数，但优化目标慨。k ， 慨，l 中的s 。( 缈，。) 取模后为实数。所以当图2 2 中其它被优化参数 厶厶，c l ，c 2 ，c 3 视为常数时，求足；腓对旧。( j c o ，民。) l 的偏导就是旧，( j c o ，r u 。) i 的梯 度。 邪卸哦e ) l = 掣 ( 2 1 2 ) 把公式2 9 和公式2 1 0 带入公式2 1 2 可得v s 的值。它所反映是滤波网络反射 系数s ，的模随时变负载变化的速度。当耶o 时，l s 。( 歹国，民。) i 与负载足。眦有相 第2 章最小失配网络 同的变化趋势：负载增大，l s 。( 缈，民。) i 也增大；负载减小，i s l 。( 国，民。) i 也减小。 当v s 0 时，l s 。( 国，r 疏) l 与负载r i 瞻有相反的变化趋势：负载增大， i s ，( 弘，r 。m ) l 减小；负载减小，i s i , ( j c o ，民。) i 增大。淞的绝对值反映了 l s 。( 彩，民。) i 随负载变化的程度：负载变化相同，绝对值越大，l s 。( 缈，足i 。) l 会有 较大的增长或减小；绝对值越小，| s 。( 缈，民m 。) i 的增长或减小的范围也相对较小。 同时，在过渡带中，如果耶的绝对值越大反而说明反射系数的模随负载变化较大， 而对于过渡带单调递增的切比雪夫滤波器来说，这就意味着过渡带较陡。其它滤 波器过渡带中都有类似的特性。所以，对于具有“最小失配网络 特性的低通滤 波器来说，最理想的情况是通带时v s = 0 ，但这是不可能做到的。所以就要求网 络在通带时的邪无论正负与否都要有较小的绝对值，并以此来衡量原型、设计滤 波器随负载变化的灵敏度。 2 1 3 传输系数墨， 对于一个如图2 1 二端口网络，左端作为信号的输入端，右端作为信号的目的 端，那么s ，表示的就是电路的回波损耗，即有多少能量被反射回源端，而墨。表示 的是插入损耗，也就是有多少能量被传输到目的端【1 5 】。对于5 阶低通滤波器网络， 由于网络不存在大量消耗功率的电阻，能量可以近似看成不是传输到目的端就是 反射回源端，所以这两个参数反映的是同一个事情。优化的目标选取的是推导较 为简单的s 。而有耗网络中存在电阻的能量损耗，只有部分能量反射回输入端， 所以s ，与墨，差别很大。如果要考虑兀型有耗电阻网络对时变负载匹配电路的影 响，就必须分别讨论：首先，通带反射系数s ，的模应该较低；同时系统的电阻损 耗要小到不能影响滤波的程度，以最。为例，它的模值要大于o 7 才能满足要求。 由公式2 8 的散射矩阵可得 洳，2 耥f 0 2 ( j m ) - - o = 2 压鬻观压粉 负载变化对设计二端口网络传输特性的影响 k ( 歹缈) 是电源电压，v 2 ( j m ) 是负载时变电阻两端电压。 如图2 2 ，各节点电压为k ，巧，各支路电流为l l ( j m ) ，1 2 ( j c o ) ，1 3 ( j o ) ) ，1 4 ( j 6 0 ) ， i s ( j c o ) ，1 6 ( j o ) ) ，i 7 ( j c o ) ，设 = j r o 厶；1 2 = j c o l 2 ；c l = j a ) c , ；c 2 = j o 贮2 ；c 3 = j a 】c 3 ； 彳= c 3 + 砭1 ；b = 彳+ 乞牟么乞乞；c 2 c l + 彳乞q + b q 则 v 2 ( j o ) ) ：厶( 国) 民。= 丛型 c 3 4 ( j 咖恻+ 1 2 ( j 咖掣+ 巳v 2 ( j 咖( 巳+ 忐胤俐利v 2 ( j i m e 缈) 1 、。岫e v 3 ( j c o ) = 砭( r i o ) + 1 3 ( j c - d ) 1 2 = ( 1 + a 1 2 ) v z ( j o ) ) l ( j c o ) = v 3 ( j 国) c 2 = ( c 2 + a c ：1 2 ) v 2 ( j c 0 1 i s ( j 缈) = 4 ( j a o + l ( j m ) = a v 2 ( j 彩) + ( c 2 + a c 2 1 2 ) ( j c o ) = ( a + c 2 + a c 2 ，2 ) ( j m ) = b k ( j a o v 4 ( j a ) ) = 圪( ，缈) + ，5 ( j a o l l = ( 1 + a 1 2 ) 圪( 歹缈) + b k ( j m ) = ( 1 + a 1 2 + b i , ) v 2 ( j c o ) 厶( 功) = 9 4 ( j o ) c l = ( q + 么乞q + b l i c , ) v 2 ( j o ) ) = c ( 缈) 厶( 缈) = 4 ( j a o + 1 6 ( j m ) = b v 2 ( j c o ) + c 9 2 ( j c o ) = ( b + c ) 砭( 功) 圪( 国) = 厶( 歹缈) z 1 + k ( _ ，缈) = 7 ( j c o ) + v 4 ( j m ) = ( 1 + b + c + 么乞+ b 1 1 ) v 2 ( j ( o ) 趴俐观( r i _ v 2 ( j c o ) 一2 亡百而 q j 4 ， 由上式即可求出5 阶二端口网络的l 。( 彩) i 。 第3 章最小失配网络设计方法 第3 章最小失配网络设计方法 3 1 最小失配网络的一般设计方法 我们已经知道了最小失配网络是传输特性随负载变化不灵敏的网络，设计无 电阻损耗的最小失配低通滤波网络实际上就是对其反射系数的范数i 慨，k 和峪。k 进行优化。 5 阶低通b u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e l 滤波器具有相同的拓扑结构。归一 化电源内阻毛= 1 ，输出端接时变电阻民醒时输入端驱动点阻抗可化简为： 乙= 案案乞2 + 抽。 ( 3 1 ) 其中z l l , z 2 2 和= 毛。锄一毛：z 2 。分别是由g 确定的，并且和频率有关的实有理式。由 公式2 4 和公式2 5 化简可得： c r p q p ( 3 2 a ) 蓑撩b 国g 2 b ， 要想实现负载的近匹配，即构成最小失配网络，就是求当时变电阻变化时都 满足式3 2 的归一化网络元器件g = 蜀，9 2 ，岛) 值。 根据z 参数的定义，如图2 2 的5 阶二端口网络中 称例= 粉l 咖。= 广上一+ 缈c 2 去巾厶吖“。2 4 - 国厶 七1 捉l ( 3 3 ) 塔俐= 矧玳删2 二；二磊。4 ) 一二一+ ，缈厶 ! + ，倒巴 。一t ，w 、_ ， 去+ j e ) 1 1 。 两+ 其中，巧u 国) ，v 2 ( j ) 分别是输入端端口，输出端端口的电压；j ，( r i o ) ，t ( 歹缈) 分 别是流经输入端端口，输出端端口的电流。1 , ( j c o ) = o 即输入端开路；1 2 ( j ) = o 即 输出端开路。z ，：( 歹彩) ，z ：。( 歹国) 的推导较为复杂， z 1 2 ( j 缈) 为例 叛荆= 端l 咖。 ( 3 5 ) i , ( j c o ) = o 时输入端开路的电路图见图3 1 图3 15 阶网络( _ ，纠= 0 时电路图 f i g 3 15 - o r d e rn e t w 。r k c i r e u i td i a g r a mw h e nt ( 歹功= o 所以 弓：面蕊历再磊再磊b 丽再而两碌丽。石) 同理 州叻：鬲丽面荪丽再而b 碌霸砾蕊碌丽。- 第3 章最小失配网络设计方法 由公式3 3 ，公式3 4 ，公式3 6 ，公式3 7 ，可知毛l ( j c o ) ，z 2 2 ( j c o ) 和都是含有 g = c 1 ，c 2 ，厶，c 3 】的高阶多项式，最高阶数为“5 ”。如果要直接带入公式3 2 求 解5 阶不等式组，将非常困难。所以就采用蒙特卡罗方法。 3 2 蒙特卡罗方法 3 2 1 蒙特卡罗方法的基本思想 蒙特卡罗方法( m o n t ec a r l om e t h o d ) ，也称统计模拟方法。它是2 0 世纪 4 0 年代中期随着电子计算机的发明，诞生出的一种以概率统计理论为基础的数值 计算方法。它使用随机数来解决很多计算问题。蒙特卡罗方法在金融工程学， 宏观经济学，计算物理学( 如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算) 等领域都具有广泛的应用【1 8 】。 通常蒙特卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问 题【1 9 - 2 2 。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问 题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法【2 3 ，2 4 1 。它的基本思想是采用 一种类似实验的方法，用某一事件出现的频率来估计该随机事件的概率。它也可 以用来求随机变量的期望【1 8 1 。 3 2 2 采用蒙特卡罗方法设计最小失配网络的优化方案 最小失配网络的设计需要使反射系数的模随负载的变化不灵敏；而对于最小 失配低通无耗滤波器网络的设计，就具体到：在通带，反射系数的模随负载变化 既要不灵敏，同时，为了保证信号最大程度的无损通过，又不能过高；在阻带， 网络必须存在尽可能大的损耗。优化时：为了保证反射系数i s ，l 在通带中较小且有 较小的动态范围，一个比较极端的做法就是采用式2 4 ，使其上确界最小为c r n 。这 不仅限制了i s 。i 随负载变化的范围，同时也满足滤波的要求；阻带时则要求满足式 2 5 ，即阻带的l s ，l 的下确界较大。 上述优化方案的优势是可以把时变负载电阻对滤波网络的影响减d , n 最小，例 负载变化对设计二端口网络传输特性的影响 如，5 阶滤波网络通带中，当归一化元器件取9 1 = g 。，g ：，岛) 时，l s i i i 的平均值 为c r p ，假设存在9 2 = 9 69 7 ，g l o ) 时峰值也为q ，显然电路器件取9 2 时的均值 要小于取9 1 的均值。即可以更好地、更加严格地满足最小失配网络的要求。但是 也正是由于这种方案的条件较严，优化将更为复杂，程序运行的时间也较长，所 以可以用于5 阶无耗滤波器网络的优化中。当讨论有耗兀型网络对原型滤波器的 影响时，还需要考虑兀型网络的功率消耗问题：希望7 r 型网络在通带消耗的功率 越少越好。可以以l 足。l 作为网络消耗功率的标志。从数值上看，i s 。l 和l 是，l 变化趋 势相反，通带搔。l 较低，越接近“0 ”越好；l & 。l 较高，越接近“1 ”越好，阻带正 好相反。如果两者都采用限制峰值的方案，就有可能漏掉可行的元器件g 的解。同 时由于两者之间的联系，可以只对l 是。i “严要求”，采用“限界”的方法，慨。l 采 用“与理想特性偏差【6 】，这种可“严 可“松的算法。 以公式2 1 4 的模值作为功率传输特性的实可微测度【6 】，分别测量在通过阻带、 过渡带和通带与理想传输特性曲线的偏差。图3 2 为理想的功率传输特性曲线，目 标函数的各个分量在每一区域内与理想曲线的偏差有最小平方意义的关系。对于 通带、阻带分别为q ，= 彩l o 国 和q 。= 彩i 皱国叫的滤波器而言，有 吼= ，只( 国) ( 1 s 。i - 1 ) 2d c a ( 3 8 ) q = 弘一嚣卜 9 ， ( 3 1 0 ) 其中( 彩) ，e ( 国) ，只( ) 是可积的加权函数6 1 ，取“1 ”。这些积分量表示与图3 2 所示各区域的理想功率传输特性曲线在最小平方意义上的偏差关系。对于接兀型 网络的5 阶滤波器分析，可以根据实际情况从上述公式中适当选取。 缈j v js ，ji ， 缈 ，l 咋，o = 咯 第3 章最小失配网络设计方法 l s i i l o c o p 魄 图3 2 理想i 一。i f i g 3 2i d e a lr e f l e c t i o nc o e f f i c i e n t 3 2 3 采用蒙特卡罗方法设计最小失配网络的原理 ( 1 ) 蒙特卡罗方法计算的步骤【1 8 , 1 9 蒙特卡罗方法的用途广泛，可以用于解那些复杂而难以得到解析解或者根 本没有解析解的问题。虽然用途广泛，但它的一般计算步骤却很简单：首先产生 一组随机数( 可以是伪随机序列) ，采用一定的算法计算出目标函数的值，作为 基准，重新在基准随机数组附近产生随机数进行迭代算出足够多的目标函数的值， 按照一定的算法( 有时是满足“与理想情况下差异最小的条件) 直至选出最优 的解。 ( 2 ) 设计5 阶最小适配滤波网络的流程图及说明 5 阶b u t t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e l ，e l l i p t i c 原型滤波器和对应的设计滤波 器反射系数i s ，l 的波形图、元器件值、说明将在下一章详细介绍。首先，介绍基于 原型设计滤波器的流程图，见图3 3 。 设计的被优化参数是5 阶网络的元器件值。为了保证滤波，基准分别取 b u r t e r w o r t h ，c h e b y s h e v ，b e s s e l ，e l l i p t i c 的元器件参数，a , b 分别是通带、阻带慨l i 上限和下限。每一次生成的随机数就是5 阶网络的归一化元件值，只有当设计滤 波器的通带反射系数小于“a ”，阻带反射系数大于“b ”时，才保存5 阶参数。经 过多次迭代，可以得到反射系数随负载变化最小的网络参数和l s 。i 通带最小值、阻 负载变化对设计二端口网络传输特性的影响 带最大值。 ，、 ( 开始 ) ， l 输入低通原型滤波器各个元件值： n u m b p ，= 1 一r l 生成随机数，并与原型元件值联合生 i 成新元件值g g ；计算通带反射系数最大 值口、阻带反射系数最小值6 ； r1l 是 而赢矗紊静建 迢迥! 竺兰竺全二旦竖一 否上 生成随机数，并与原型元件值联合生 成新元件值h h ；通带反射系数最大值 c 、阻带反射系数最小值 d ：n h m b e 产n m m b e r + j 素否 ： 是工 口= c ；芒= d ；罟：g = 办办 - 一 是 蒌 否乒 根据a ，b 作图 ， 厂结束、 图3 3 设计滤波器流程图 f i g 3 3t h ef l o wc h a r tt od e s i g naf i l t e r - 1 5 - 第4 章5 阶低通无耗滤波器设计 第4 章5 阶低通无耗滤波器设计 滤波器是通信系统中基础且重要的组成部分。所以，研究“最小失配网络” 可以首先研究“最小失配滤波网络 ，即随负载电阻变化不灵敏的滤波器网络。 本章中，对四种基本的滤波器b 傩e 刑o r n l ，c h e b y s h e v ，b e s s e l ，e l l i p t i c 滤波 器进行了介绍；对其5 阶低通系统的反射系数模随负载的变化情况、灵敏度进行 了分析和比较；并以此为基础设计了“5 阶最小失配滤波器网络”。本章的分析、 设计针对的元器件值都是归一化后的。 4 1 低通b u t t e r w o r t h 滤波器与时变负载 4 1 1 低通b u t t e r w o r t h 滤波器【1 5 】 低通b u t t e r w o r t h 滤波器结构简单、相位特性优秀。其传递函数为： i h c 酬2 需导 。 船是b u t t e r w o r t h 滤波器的阶数，0 h o 1 是系统的直流分量，c o o 是归一化频 率。当国时，公式4 1 可按级数展开为： l c 一，酬2 = 鼠一风c o 2 n + 风( 昙厂- c 4 可以看到当频率在“0 ”附近时，b u t t e r w o r t h 波器传递函数最大平坦：当彩= 时，i h ( j o ) ) 1 2 恒等于“0 5 ”，即可以认为当归一化频率在“1 ”附近时，低通b u t t e r w o r t h 滤波器处于过渡带；当国( 9 0 时，式4 1 可化为 i h ( 纠风( 甜 3 ， 以d b 的形式表示为 口( 国) = 1 0 l o gh ( j c o ) 2 ( 4 4 ) 负载变化对设计二端口网络传输特性的影响 综上，可以看到，网络采用归一化参数以后，b u t t e r w o r t h 低通滤波器过渡带 在频率为“l ”附近，而滤波器的滤波特性随玎的增大而变得更好：通带平坦且近 于“1 ；阻带平坦且近于“0 ”。同时系统的过渡带也变得更为陡峭。 b u t t c r w o r t h 低通滤波器的设计主要思路是把通带、阻带频率魄，败，通带最大 衰减口。，阻带最小衰减。，带入式4 4 中求解出刀和归一化频率的值。 对于所研究的归一化5 阶低通系统的元件参数g = g ，g ：，9 3 ，9 4 ，g ，】，岛= 1 ； ，g ，可由式4 5 求出，其中聊是不大于胛的自然数。 g ( 脚) ：2 s i n ( 2 m z l ) a ：1 ( 4 5 ) ， 4 1 。25 阶低通b u t t e r w o r t h 滤波器负载变化对反射系数的影响 如果不考虑负载的变化情况，只讨论b u t t e r w o r t h 低通滤波器的传递函数，该 滤波器的通带最为平缓。然而，如果负载随时间改变，系统还能有“通带最大平 缓”的特性吗? 带着这个问题我们以5 阶b u t t e r w o r t h 低通滤波器做了如下的研究： ( 1 ) 研究的对象是5 阶b u t t e r w o r t h 低通滤波器的反射系数的模b ，i 采用随。l 作为研究对象，首先是由于它对于网络分析具有很大的实际意义，可 以反映出网络的特性；其次，通带时它受负载变化的影响程度很大；最后，对于 无耗低通滤波网络，i s 。i 可以反映系统的滤波特性。 ( 2 ) 归一化负载的变化范围从o 5 至2 0 归一化负载的变化范围最低至自身的二分之一，最高至自身的二倍，基本可 以满足滤波网络对负载匹配的要求。 图4 1 是5 阶b u t t e r w o r t h 低通滤波器的反射系数的模l s ，l 随归一化负载、频率 变化图：图4 1 ( a ) 的纵坐标z 轴是反射系数的模i s 。l ，范围从0 至1 ；x 轴是归一 化电阻民。，从0 5 至2 o ；y 轴是归一化频率，从0 至2 。图4 1 ( b ) 是视线与左图 中面x o z ( 即负载轴与反射系数轴所在平面) 垂直时的图，图4 1 ( b ) 是视线与左图 中面y o z ( 即频率轴与反射系数轴所在平面) 垂直时的图。 第4 章5 阶低通无耗滤波嚣设计 删4 m ) 可崤到，跗卜3 - l 亡j 舯1 0 r 缸2 阿断 似认为图象关于足。= 1 0 对称t 而且只有当负载电阻为“0 9 、i ”时，通带反射 系数的模才有零值出现。其它情况下，归一化负载与1 的“距离”和s ，i 成币 比例关系，即“同增同减”。而胃当置，眦= 2 0 时，慨i * o4 ，滤波特性受到时变 负载一定程度的影响。 g 鼍n e 嚣。 善“ 口 爹” g o h 蚺，o n h e # s ，t * ( a ) 1 h e e - d i m e n s i o n a l 州d忙) l e f tv i e w 图41 5 阶b u t t e r * v o r t h 低通滤波器的反射系数的模k | f i g 41t h er e f l e c t i o nc o e f f i c i e n to f t h e5 - o r d e rb u t t e r w o r t hl o w - p a s sf i l t e r 如果说图41 ( b ) 反映的是时变电阻和反射系数模之间的关系的话，那么圈 4 1 ( c ) 反应的是归化频率和反射系数模之间的关系。可以看到，当且。与1 距离渐远时，通带出现波纹。同时，5 阶滤波器的过渡带相较其它滤波器平缓。 b u t t e r w o r t h 低通滤波器具有结构简单、相位特性好的特点，并且其对时变负 载的匹配性在一定范围内可以接受，但是随着负载的改变，竟然出现了通带波纹。 所以就需要对其进行改进。 负载变化对设计二端n 网络传输特性的影响 413 基于5 阶低通b u t t e r w o r t h 设计滤波器 设计滤波器采用蒙特卡罗方法，按照图3 2 中的步骤进行设训。设计的5 阶 网络的电路结构如图2 2 。设计低通滤波器的反射系数的模慨，i 随归一化负载、频 率变化情况见图42 ：图42 ( a ) 的纵坐标z 轴是反射系数的模；x 轴是归一化电阻 r ，。：y 轴是归一化频率。图4 2 ( b ) 是视线与丘图中面x o z ( 即负载轴与反射系数 轴所在平面) 垂直时的图，图4 2 ( c ) 是视线与左图中面y o z ( 即频率轴与反射系数 轴所在平面) 垂直时的图。 ( 种t h r e e - d i m e n s i o n a lp l o t( c ) l e f t v i e w 幽4 2 基于b u t t e r w o r t h 设计低通滤波器的反射系数模l s 】_ f i g4 2 t h er e f l e c t i n nc o e f f i c i e n t o f t h e d e s i g n f i l t e rb a s e d i n b u t t e r w o r t h f i l t e r 町以看到，设计滤波器的通带反射系数上确界为o3 3 9 8 。该优化出的滤波器 以阻带后移为代价获得了更为平缓的通带，虽然通带反射系数模的上确界只比原 型缩d , t1 7 左右，但是一旦负载值在 o