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数学学习笔记 数学专业 刘素芳高等代数研究01 本将主要内容包括：一、集合的概念，二、集合的运算，三、映射，四、置换一、 集合的概念 “集合”没有严格的定义 具有某种性质元素的全体称之为集合。 A、 B、 C表示集合 a 、 b 、 c表示元素 aA aB 则称A集合包含于B集合集合的相等属于等价集合，即自反性A包含于B，B包含于A，即A=A 对称性：若B=A、则传递性：若、 则A=C集合例子：（1）所有自然数集合一般地用N表示， （2） （3） （4）由有限个元素 所构成的集合，一般用 A= 表示 （5）所有偶数集合表示为B=2n| nz （6） 如果一个集合的元素也是个集合，则称此集合为集族（7）、由一个集合A的所有子集所构成的集合，称为该集合的幂集，用P（A）表示例：若A=（a、b、c）则p（）空集、 a、b、c、a、b、a、b、a、c、b、c、a、b、c V称为万有几何、集合的运算性质：1、AB=BA AB=BA， 2、（AB）C=A（BC）3、 A（BC）=（ AB）（AC） 4、A（BC）=（AB）（AC）5、A=V ， A=空集 6、若A B 则（AB）=B AB=A 证明：A（BC）=（ AB）C 证明：A（BC）=（ AB）（AC） 若a=（ AB）（AC） 则a（ AB）且aAC 若aA，则aA（BC） aA（BC） 无论怎样均有（ AB）（AC） A（BC）另一方面 若aA（BC）或者若aA，则a=（ AB）（AC）。3、映射，4、置换。二，集合的运算 并交差V成为万有集合 称为A的补集，集合运算性质高等代数研究02，一， 有限集合与无限集合定义1.10 如果两个集合A与B之间存在一个一一映射，则称这两个集合是等价的，并称它们具有相同的“势”。自然数集合N的一个部分集合1，2,.,n称之为自然数的一个片段，用|1，n|表示。定义1,1,11 与自然数片段|1，n|等价的集合A成为有限集合。自然数集合N是一个无限集合。事实上，f（n）=n+1是N到其真子集合的双映射，即N与真子集等价，所以，N不是有限集合，N的“势”用 表示。事实上，f（n）=n+1是N到其真子集合的双映射，即N与真子集等价，所以，N不是有限集合，N的“势”用 表示。事实上，有理数b= 证明：若0,1所有是属于N 定义1。12定义1.13 具有两个代数运算的代数系统。定义1.14 结合律、结合运算，交换律交换运算4个元素的5种结合方法:（a。b）。c）。d (a。b）。（c。b） （a。（b。c）。d a。（b。c）。b a。（b。（c。d）证明：无论怎么加括号所得结果都等于正常运算结果。即归纳证明，命题正确。即归纳证明，命题正确。定义1.14 设A， 是两个运算的代数系统。（3）若a，b，cA，有 定义1.15两个代数系统同构例R是实数集合是正实数集合。 。，R，+是两个代数系统，求证。与R，+同构高等代数研究03 本讲主要内容：一、自然数的概念、二、自然数的运算 A，存在一个数“1”，它不在任何数的后面，即对任何数 B。对任意数a，存在且仅存在一个它后面的数，即若a=b，则C若则a=b。D。（归纳公理）具有下面性质的自然数的任何集合M若满足（1）1M（2）如果aM，那么，它后面的数也属于M，则M=N，M含有一切自然数。定义1.17 若数b在a的后面，则称a是b的前元，b是a的后继元。定义1.18 自然数加法： 加法的结合律，(a+b)+c=a+(b+c),加法交换侓。高等代数研究04本章主要讲： 归纳原理与反归纳法 一、各种归纳原理，二、反归纳法及其应证明。 1，归纳法及其证明例1求证：证明：当k=n+1时正确。 命题1、求证：若ab，则a+cb+c 证明：ab a=（b+c）+k a+c=（b+c）+k 命题2、1是自然数中最小的。命题3、若ba，则ba+1 证明：若ba，则b=a+k k1 a+ka+1ba+1定理1.20 例4求证用面值3分和5分的邮票可支付任何n（n大于或等于8）分邮资。证明： 显然当n=8、9、10时，可用3分与5分邮票构成上面邮资。例5二 反归纳法 若一个与自然数有关的命题T，如果（1）命题T对无穷多个自然数成立；（2）假设命题T对n=k+1正确，就能推出命题对n=k正确，即命题对一切自然数成立。例6 求证n个正实数的算术平均值大于或等于这n个实数的几何平均值。高等代数研究05不等式 五种不等式例1 ，例2例3 （算术平均值几何平均值）二 几个著名的不等式 1、柯西不等式2、赫勒德尔不等式 8个数列的8次方 2n 无穷多个成立另证（反归纳法）不等式对无穷多个自然数K= 成立 设不等式对n =k成立。高等代数研究06 第六讲 凸函数及其相应不等式本将主要内容：一, 凸函数的定义与性质二,分析常用不等式 定义2.1如果函数f（x)满足以下条件,对任意的与有f（+x）f（）+（）其中0，0，+=1,则称f（x)为下凸函数。如果函数f（x)满足以下条件对任意的与有f（+x）f（）+（）其中0，0，+=1，则称f（x)为上凸函数。若f（x）为下凸函数f（x）所以所以 为增函数，所以高等代数研究07 不等式的应用 本章主要内容：一 算术平均值大于几何平均值 二 柯西不等式的应用 三 凸函数的应用，先学习第一个问题 例1 求函数f（x）= (1-3x)在区间的极大值 解 f(x)= (1-3x)= f（x）的极大值为也可以用分析法 令，的驻点经验证，当 时，取极大值例2 若 x0，y0，z0且满足求函数的极大值。解算术平均值大于几何平均值即只有等号成立时，取极大值。 当时，取极大值。二, 柯西不等式的应用例4已知x+y+z=1，求的极小值解 例5 已知求的极大值.解 令 =所以的极大值为sin三 凸函数的应用例6,求sinA+sinB+sinC的极大值 ，其中A，B,C为ABC的三个角。解: （x）=sinx是上凸函数，高等代数研究 08 多项式与环主要内容 一 环的定义与分类 定义3.1 如果一个代数 系统R，+， 满足一下条件: （1） ab R。a+b=b+a （2）R中存在零元素， aR，+a=a+=a（3）对R中任何元素a，存在一个负元素（-a），使得a+（-a）=（4）R中运算+，满足结合律（5）对R中任意a，b，c存在（a+b）c=ac+bcA c（a+b）=ac+bc则称R是一个环环的分类 ： 有限环与无限环； 也可称有“1”的环或无“1”的环。交换环 a+b=b+a 非交换环 abba 整环 s是R的子环 举例 定义3。2如果R是整环，NR。若（1）N是R的子环，（2）rR，aNr，aN则N是R的环。 二 素元素与不可约元素 定义 3.2 设R是整环，则有(1)P是中的素元素的（）是R的素理想；（2）R中的每一个素元素均为不可约元素；（3）若R是主理想环则R中不可约元素也是素元素。高等代数研究09因式分解唯一环1，因式分解唯一环的定义 、性质 满足两个条件：（1）、 每个元素都能分解；（2）、分解唯一环R满足链条件2，公因式与最大公因式 用（a，b）=d表示。注意 最大公因式的定义并不保证任意两个元素都有公因式定理3.3并证明 三个性质 定理3.4 若R是整环，如果R中对任意两个元素存在最大公因式，则R中不可约元素一定是素元素。推论 本节主要讲了两个问题 定义、 定理 、多项式环这中学里的最大公式有区别的。高等代数研究10整系数多项的式分解本节主要有两个内容： 一 、整系数多项式因式分解性质二 、整系数多项式因式分解例如 2 +4x+5是本原多项式，因为（2，4，5）=1 2 +4x+6就不是本原多项式，因为（2,4,6）=2爱因斯坦判定例如这时，若有一次因式只能是或，经验证，都不是一个因子。 比较两边的系数上述虽然很复杂，但因为都是整数解，很容易解出。首先c和e只能是。令 ， ，作业：1、 求证在整系数多项式中是不可约多项式，提示 2、求整系数多项式的有理根。高等代数研究11多项式的定义与分析定义 代数元 超越元例如是有理数上的环（域）上的代数元，因为是的根，而是有理数环上的超越元，因为不是任何整系数多项式的根。定义3.12 称为多项式 环既包含R也包含X定理3.9性质环x 】每一个表达式是唯一的。定理3. ，。， ，：1,从分析的观点出发相等，2、从代数的观点出发相等。高等代数研究12 比三次的复杂 高等代数研究14 多项式的零点估计与重因式判断在哪个区域定义3.14数域F上的不可约多项式p(x)称多项式为f（x）的K重因式（K1），若但单因式 导式 判断是不是重因式 ，只要证明 高等代数研究15 排列与组合 一 初等排列组 二 可重复组合 完成一件事1，加法原理2 、 乘法原理 1，2,3公差为1 1,3,5公差为2 例分配4个学生到3各车间两个样本相等 所以n个元素取r个元素（允许重复）的方法数为例3 n=5，r=3，即从5个元素中取3个元素（允许重复），这时 n+r=5+3=8 8个圈共有8-1=7个空，这里表示例4 有4套相同的课本，每套有6本不同的书籍，从没套中去1本，共有多少套取法？解 实际是从6本里取4，切允许重复取，故有。例5 投两个骰子，一共有多少种不同的情况？解 每个骰子有6个面 ，每个面有16个点，实际是从6个元素中取2个，（允许重复取）共有种方法。全排列高等代数研究16 排列与组合的模型公式主要内容：一 组合模型 二 排列组合常用公式先学习组合模型 r个球投入n个盒内，球分两种情况：（1）小球可区别，彼此不同（可编号）（2）小球不可区别，即都是一样颜色。N个盒是有区别的，可按序编号。（1）每一个盒盛一个球，（2）每一个盒盛球数不限。 证明扰乱排列例1 四个人收四封信，谁也不收自己的信，有多少种方法？例2 n对夫妻跳交际舞，刚好有K对夫妻为舞伴，有多少方法？解有对夫妻为舞伴的有种方法。高等代数研究17 筛法公式的初等证明及应用主要内容：一证明；二应用例有人，爱好篮球的有人，爱好足球的有人,爱好排球的有人，爱好篮球又爱好足球的有人，爱好篮球有爱好排球的有人，爱好足球又爱好排球人，同时爱好篮球又爱好足球又爱好排球的有人，没有任何爱好的有多少人？所以没有任何爱好为:高等代数研究18 递推公式与主要内容：一 递推公式 讲的是排列、组合一些公式的递推证明 所求的方法数(2)取得字码有1，（这时能取2）所求的方法数为f(n-2,k-1).证法2 令1,2,3，n个字码排成一排，若取字码i，则在字码下点一个豆点，取k个字码点k个豆点，设第一个逗点前有x个字码，二 拉姆斯原理 假如平面上有n个点，（任意3点不在同一条直线上），每两个点都用红色或蓝色连接，现在我们来证明，存在3点，由这3个点所构成的三角形的三条边用同一颜色的线构成。 、 、三条线段，若有一条与颜色相同，则有一个三角形由同一颜构成，若这三条线段均与不同颜色，则同一颜色。定理4.9 拉姆斯定理 设S是含有N个元素的集合，T是S中所有由r个元素构成的子集合所组成的集合，(T中有个元素),现在把T分成两部分；，凸多边形 凸包 。高等代数或者叫微积分第一章 绪论 每个人从小到大都离不开数学，数学与实践的关系较大，与自然科学并列，天王星；万有引力，例如：海王星的发现；德国密码破译；是英国破的，使十二次大战提前结束。美国总统竞选，利用概率推选，相当成功。世界名著悬案；静静的屯河是小洛科夫所著；航空航天，天文地理，核磁共振， 1、数的扩展 自然数零负整数统称为整数。整数与分数有理数与无理数2，数的几何意义 数轴 实数与点一一对应，3，区间 数轴的某个部分， 闭区间 开区间 。4，绝对值性质: (5)例1、 例2 、 解：或者例3，区间点称为的领域。 第二节 函数1、常量与变量圆 半径 r 周长L=2r 面积A= 自由落体运动L= 定义 例1 单值性 三元函数 三 函数的表示法1，解析法（公式法）2，图形法 第三讲 函数的有界性 第五讲第二章极限第一节数列 极限的运算法则 加、减 ，乘，除例1:第六讲函数的极限定义2.2 定义2.3 存在二， 当时的极限三， ，例3 =1例4 。第七讲第三节两个极限存在定力及应用推出一些定理单调有界数列一定存在极限。例如 圆的内接正三边形， 六 十二 证明 第四节 第八讲 无穷小量与无穷大量 。二，性质1、有限个无穷小量相加仍是无穷小量，2，有限个无穷小量之积仍是无穷小量，3，常量与无穷小量之积仍是无穷小量，4，有界量与无穷小量之积仍是无穷小量，四， 无穷小量的比较是无穷小量且也是无穷小量，则称是的高阶，无穷小。五， 无穷大量无穷小量（不为零）是无穷大量的倒数。第九讲 函数的连续性一， 函数在一点的连续与间断，出示四个图形讲解的，例如正弦函数是连续的。 三 ，间断点的分类，初等函数的连续性，六类，基本初等函数在定义域内连续，连续性用于求极限，例3 求 解小结：第十讲函数连续性2.5闭区间上连续函数的性质定理2.3 设在上连续，则它必可在该区间上达到最大值和最小值。即使，定理2.4 零点定理例4 研究方程取 误差二分法求根二 定理与公式3.闭区间上连续函数的性质最大值最小值存在的定理，零点定理和介值定理。4.两个极限存在定理 夹逼定理 单调有界数列必有极限5.初等函数的连续性，6.一些常用极限公式。第十讲 导数与微分 3 .1导数概念 变化量1. 两个例子 例1 变速直线运动的瞬时速度 匀速 3小时 150公里 非匀速 练习第十一讲 导数的概念例5 求在任一点处的导数。解： 例6、证明公式 例如例7 求例8 求的导函数。解:第十二讲根据导数的概念求导数例5 求在任一点在处的导数。解： 还可以求出： 例6 , 证明其中n是自然数。函数与导函数的区别例7求的导函数。解：例8 求的导数。 、 例9 求导函数。解： 例10、求的导函数。解：例11求y=c的导函数。解：第十三讲三：导数的几何意义,。例12 求例13 线y=lgx在那一点上的切线平行于直线y-2x-2=0。四 ：可导与连续的关系 小结： 第十四讲 求导数 第二节 微分法基本公式：乘法的求导法则推论 例如 除法的求导法则 推论 例6 类似地 小结：第十五讲复合函数微分法 复合求导法则 证明: 例9 令 例10 任意实数 例11 指数函数 可推导例12 解：例13 例14 第十六讲 五、隐函数求导法 微分的概念1、先复习复合函数求导 2、隐函数求导法例16 显函数解一 解二 求切线方程是：例19 证明： =例20 、 小结:第十七讲（重点）继续学习微分法先复习 六、对数微分法例21 例22 七 、初等函数求导 基本公式 求导法则 +、-、 复合例： 微分 微分的几何意义 第十八讲 微分一、 微分的概念二、 可微概念 线性主部 证明 反之亦然 可微可导三、 可微用于近似计算 例如2 解 设例4 四微分公式与运算法则第十九讲 微分六，参数方程表示函数的倒数 例如 例7求曲线在是的切线方程。切线方程为。（关键求导数 ）小结： 微分求法 近似计算第四节、高阶导数 类似地 三阶导数例如 四阶导数 物理意义 例1 设物体运动的规律为求其在是的加速度，例2 求 例3 第二十讲 微分导数例5 设解： 隐函数二阶导数的求法例8先求一阶导数 再求一阶 再求一阶 第三章 导数与微分小结 一，概念1、 导数（变化率）定义：几何意义：可导存在不垂直于x轴的切线； 可数切线斜率。物理意义 瞬时速度， 线密度， 2、 微分二 微分法基本导数公式 ： （记熟）本章重点：导数概念 求导数（复合求导）第二十一讲 第四章 导数的应用第一节。推论1： 小结： 第二十二讲 第二节 洛必达法则 未定型 未定型定理4.4 （洛必达法则） 证明：例1，例2 ，例3 注：1、连续使用 ，2、是否为型 ，3，4，第二十三讲 函数的单调性与极值一，利用导数的符号判断单调性例 ： 1 2 + 0 -0 + 单调上升极大值单调下降极小值单调上升高等代数24 4.3 函数的单调性与极值 ， 二、函数的极值 （x）=0，充分条件，例3、求f（x）= 解：（x）= -2+x=x,驻点：0、1 X（-，0）0（0,!）1(1，+) -0+0 + f极小答：f(x)在x=0外达到极小值f（0）=2.定理：定理4.7设f（x)在的领域内可导，在处不可导但连续，如果在两侧f（x)符号相同，则不是极值点，如果符号相反，则是极值点，进而，如果“左负又正”，则是极小点，如果“左正右负”，则是极大点。例4、求函数y=（x-1）的单调区间和极值，解：y= - = - = 驻点： 不可导点 ：0 X（-，0） 0（0, ）(,+) +不存在 -0 +Y极大极小极大值=0极小值y=小结：求单调区间和极值的步骤：1、求，2、求驻点、不可导点（按从小到大的次序排列，分割、定义域）3列表。三、最大值最小值的求法，例5、求f(x)= （x-1）在【-1，】上的最大值最小值。高高等代数24 4.3 函数的单调性与极值 ， 二、函数的极值 （x）=0，充分条件，例3、求f（x）= 解：（x）= -2+x=x,驻点：0、1 X（-，0）0（0,!）1(1，+) -0+0 + f极小答：f(x)在x=0外达到极小值f（0）=2.定理：定理4.7设f（x)在的领域内可导，在处不可导但连续，如果在两侧f（x)符号相同，则不是极值点，如果符号相反，则是极值点，进而，如果“左负又正”，则是极小点，如果“左正右负”，则是极大点。例4、求函数y=（x-1）的单调区间和极值，解：y= - = - = 驻点： 不可导点 ：0 X（-，0） 0（0, ）(,+) +不存在 -0 +Y极大极小极大值极小值小结：求单调区间和极值的步骤：1、求，2、求驻点、不可导点（按从小到大的次序排列，分割、定义域）3列表。三、最大值最小值的求法，例5、求f(x)= （x-1）在【-1，】上的最大值最小值。第二十九讲 函数作图 4.6 函数作图 y=f（x）逐点描述初等，步骤：1、初步研究：定义域、奇偶性、周期性等，2、渐进性：x=a：就是垂直渐近线，y=b：水平渐近线，3、求、单调区间，极值，凹凸区间，拐点列表，4、描图，这些是求解步骤。例1解：1、定义域：（-，