（控制理论与控制工程专业论文）混沌系统动力学模型重构研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 对于一个实际的混沌系统，如果能够找到反映该系统吸引子特性的初始动力学模 型，就可以直接将系统方程离散化，而后采用相应迭代算法进行自适应预测。但是通常 情况下，构成系统方程的参数是未知的或局部未知的，而且由于混沌系统的初值敏感性， 所以系统初始方程的参数选取一直是混沌自适应预测需解决的难点之一。在分析大连市 气温与降雨时间序列混沌特性的时候，发现其吸引子轨迹与r o s s l e r 方程y ( 0 、z ( 0 序列 的吸引子轨迹相似，于是本文首先利用扩维技术扩展状态变量，将系统的未知参数也纳 入到辨识过程，从而建立起一个非线性系统一般框架作为系统的初始方程，然后基于 r o s s l e r 方程确定系统初始方程的参数，最后利用扩展卡尔曼滤波( e k f ) 跟踪辨识的特性， 对模型的未知参数和状态变量同时进行递推辨识，实现了混沌序列的自适应实时预测。 尽管扩展卡尔曼滤波的使用较为广泛，但它仍存在一些不足，如：当非线性函数t a y l o r 展开式的高阶项无法忽略时，线性化会使系统产生较大的误差；有时很难得到非线性函 数的雅克比矩阵求导等。无味卡尔曼滤波算法( u k f ) 是另外一大类用采样策略逼近非线 性分布的方法。本文应用性能更优越的无味卡尔曼滤波算法基于同样的初始模型实现了 对大连市气温与降雨时间序列的精确预测。目前基于t a k e n s 嵌入定理和相空间重构思 想提出的局域预测方法应用较为广泛，于是本文将应用局域预测方法得到的大连市气温 与降雨时间序列的预测结果与应用本文方法所得到的预测结果进行了全面的比较分析， 证明本文的方法对混沌序列预测具有很好的实际意义。 关键词：动力学模型；局域预测；扩展卡尔曼滤波；无昧卡尔曼滤波 大连理工大学硕士学位论文 m o d e lr e c o n s t r u c t i o nr e s e a r c hf o rc h a o ss y s t e m sd y n a m i c s a b s t r a c t f o rap r a c t i c a lc h a o t i cs y s t e m ，t h ea d a p t i v ei t e r a t i v ep r e d i c t i o nc a l lb ep e r f o r m e di fa l l i n i t i a ld y n a m i c a lm o d e li so b t a i n e d b e c a u s et h ep a r a m e t e r si nt h ei n i t i a lm o d e la r eu s u a l l y t l n k d l o w l lo rp a r t i a l l yk n o w n ，t o g e t h e rw i t ht h ei n i t i a ls t a t es e n s i t i v i t yo ft h ec h a o t i cs y s t e m ， t h es e l e c t i o no ft h ei n i t i a lp a r a m e t e re q u a t i o ni sa l li m p o r t a n tp r o b l e mt od e a lw i t h t h e a t t r a c t o rt r a j e c t o r i e so f t h ed a l i a nt e m p e r a t u r ea n dr a i n f a l lt i m es e r i e sa r es i m i l a rt ot h a to f t h e ya n dzc o m p o n e n t si nr o s s l e re q u a t i o na f t e rac a r e f u lc h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c sa n a l y s i s t h e p a p e rt h e na p p l i e dat e c h n i q u eo fd i m e n s i o ne x p a n s i o ns ot h a ta ni n i t i a ln o n l i n e a rs y s t e m e q u a t i o ni sc r e a t e db yi n c l u d i n gt h es y s t e mb n k n o w np a r a m e t e r si nt h ei d e n t i f i c a t i o np r o c e s s t h ei n i t i a lp a r a m e t e r si nt h ee q u a t i o na r ed e t e r m i n e db yr e f e r r i n gt ot h er o s s l e re q u a t i o n s a n dt h e nt h ek f ( k a l m a nf i l t e r ) a l g o r i t h mi su s e dt oi d e m i 句t h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s b o t h t h eu n k n o w np a r a m e t e r sa n dt h es t a t ev a r i a b l eo ft h es y s t e me q u a t i o na r ei d e n t i f i e d ，a n dt h e a d a p t i v ep r e d i c t i o ni sp e r f o r m e di nr e a lt i m e t h e r ea r es o m ed i s a d v a n t a g e si nt h ea p p l i c a t i o n o f t h ek a l m a nf i l t e r i n g ，f o re x a m p l e ，t h ei n a p p r o p r i a t el i n e a r i z a t i o nr e s u l t si nl a r g ee r r o rw h e n t l l eh i g ho r d e rt e r mc a n n o tb ei g n o r e d f o rt h e s ep o i n t s ，u k f o a n s c e n t e dk a l m a nf i l t e r li s a l s oi n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e rf o rp r e d i c t i o no f t h ed a l i a nt e m p e r a t u r ea n dr a i n f a l lt i m es e r i e s ， s i n c ei ta p p l i e dd e t e r m i n i s t i cs a m p l i n ga p p r o a c hf o rn o n l i n e a re s t i m a t i o n t h es i m u l a t i o n r e s u l t si n d i c a t et h a tt h eu k fm e t h o dc a nm a k eam o r ea c c u r a t ep r e d i c t i o n a n o t h e re f f o r ti n m o d e lr e c o n s t r u c t i o no fc h a o t i cs y s t e mi s e m p h a s i z e do nt h el o c a la p p r o x i m a t i o nm e t h o d 1 1 l cl o c a ll i n e a rp r e d i c t i o nm o d e li sa p p l i e dt ot h ed a l i a nt e m p e r a t u r ea n dr a i n f a l lt i m es e r i e s t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o di sv a l u 曲l ei nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n k e yw o r d s ：d y n a m i c sm o d e l ；l o c a lp r e d i c t i o n ；e x p a n d e dk a l m a nf i l t e r ；u n s c e n t e d k a l m a nf i l t e r 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：量4 乙8 立日期：三! ! 垒! 兰融7 。 大连理：f 大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：立! i z 2 娅 导师签名叠丝 丝上年监月q 日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 混沌信号的特点和研究历史 混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍应用 的基础上发展起来的新兴交叉学科。混沌现象是非线性动态系统所特有的一种运动形 式，它是既普遍存在又极其复杂的现象。它的“定常状念”不是通常概念下的确定性运 动的三种定常状态，即：静止( 平衡) 、周期运动和准周期运动，而是一种始终限于有限 区域且轨道永不重复、性态复杂的运动，具有三个明显的特型h j ：初始条件敏感依赖 性；非周期；存在奇异吸引子。第一个特征意味着即使初始状态极为靠近的两点，随着 时间也会呈指数函数扩大，因而预测长期的未来状态十分困难。混沌的非周期性则表明 它的非线性和无序性，传统预测方法对其具有局限性。吸引子是指相空间中的一个点集 或一个子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡之后所有轨迹线都趋向于它。对确定性系 统来说，吸引子维数为整数，但混沌吸引子的维数却是分数维，称为奇异吸引子。混沌 系统存在奇异吸引子，使得其轨迹表现出一定的规律性，保证了一定时期内预测的可能 性。四对相反相成的性质辩证存在于混沌系统内部 4 1 ，混沌研究正是围绕着这四对性质 展丌。 ( 1 ) 确定和随机 混沌理论的最大成就之一就是打破了传统的确定性分析和随机性分析，建立将两者 统一起来的混沌分析方法，这是对辩证法中对立的双方互相包含着对方自身而统一的绝 好证明。1 9 6 3 年，美国科学家l o r e n z 将气象变化的数据绘制到相空间图上，无规则变 化的数据点形成一个不完全自我重复、轨迹永不相交但却是永不停止转动的蝴蝶形象的 双螺旋线，即l o r e n z “吸引子”。他称为“决定性的非周期流”，打破了拉普拉斯决定 论的经典理论。法国天文学家h e n o n 在l o r e n z “吸引子”启发下，提出h e n o n 映射方 程。在一定参数范围内，该方程运动轨迹在相空间中的分布由确定演化成随机状态。 h e n o n 得到了一个最简单的吸引子，并用它建立的“热引力崩塌”理论解释了几个世纪 以来一直遗留的太阳系稳定性问题。在预测领域，混沌是确定与随机的统一表明随机的 存在可能并不是外部干扰因素造成的，而是来自确定性的系统内部，从而将以往的不可 预测性转变成一种预测能力的局限性，将不可预测问题转化为一定预测期内的可预测问 题，极大地促进了预测学的发展。随着计算机技术的发展，在混沌理论中可以把牛顿力 学方程和统计力学方法、线性随机性方程和非线性确定性方程以及周期解和混沌解有机 地结合，从而突破传统方法的局限性，达到确定性与随机性的内在统一。 混沌系统动力学模型重构研究 ( 2 ) 有序和无序 有序与无序也是混沌系统中两种可以共存的对立结构现象。有序与确定性相对应， 无序与随机性相对应。1 9 7 5 年美籍华人学者李天岩和美国数学家y o r k e 在( a m e r i c a m a t h e m a t i c sm o n t h l y 杂志上发表文章( p e r i o d t h r e ei m p l i e sc h a o s ，首次提出混沌( c h a o s ) 概念，深刻揭示了系统运动从有序到无序混沌的演变过程，这就是著名的l i y o r k e 定理。 1 9 7 8 年，f d g e n b a u m 对l o g i s t i c 方程倍周期分岔过程的研究发现前后分岔间距的比值趋 向于一个常数占= 4 6 6 9 2 0 1 ，即f e i g e n b a u m 常数，从而建立了一维映射混沌现象的普适 理论。f e i g e n b a u m 给出了通过作尺度变换走向混沌，即有序走向无序的具体道路，混沌 学研究也从定性分析推进到了定量计算阶段。因此，2 0 世纪八十年代以来，系统如何从 有序进入新的混沌以及混沌的性质和特点成为研究热点。1 9 8 0 年，美籍法国数学家 m a n d e l b r o t 用计算机绘出了第一张五彩缤纷的混沌图像，m a n d e l h r o t 集已被公认为是混 沌的一种标志。g t a s s b e r g e r 等人提出重构动力系统的理论方法，通过从时间序列中提取 分数维、l y a p u n o v 指数、k o l m o g o r o v 熵等混沌特征量，使混沌理论进入到实际应用阶 段。所以混沌是有序与无序的混合体，有序和无序两种对立的结构形象可以在混沌中得 到统一，而且在一定条件下可以相互转化。 ( 3 ) 简单和复杂 混沌科学的主要目的之一就是能够将从简单的决策论时间发展规则出发所得出的 结论，用于未来运动内含非确定性的复杂动力学，也就是利用简单规则来解决复杂动力 学。简单系统可以产生复杂行为，复杂系统也可以产生简单行为。例如：m a y 在对简单 l o 西s f i c 方程a x ) = 肛( 卜力的研究中发现，施过3 时，x 就出现倍周期分岔混沌，经过 n 次分支，周期长度成为? 。因此经过大量分支后，周期变得无限长，即不再存在周期 性，表现为混沌。而另一方面，不同的复杂系统也可能产生相同的简单行为。如上面提 到的f e i g e n b a u m 常数，只要a x ) 是光滑的单峰函数，且具有连续一阶导数，在极值处二 阶导数不为零，则甜q 值与函数触) 的形式无关，具有普适性。这些研究说明简单与复杂 辩证地统一在混沌系统或行为中。简单的决定论系统可以滋生复杂性。对传统数学来说， 复杂的系统仍然可能遵从简单的规律。 ( 4 ) 线性和非线性 一般而言，线性系统是简单的，但简单系统不一定是线性的；非线性系统是复杂的， 但复杂系统不一定是非线性的。线性关系在作用时表现为一条直线，具有一种重要的叠 加特性，可以分解和合并而不影响解的一致性。非线性关系作用时则表现为各种形状的 曲线，比如二次函数、三角函数等都是非线性的。复杂的非线性方程不一定有解，不能 迭加。在混沌系统中，线性与非线性是共存的，而且更多地表现为非线性。混沌学对非 大连理工大学硕士学位论文 线性问题处理的重大成就是，提出了解决问题的数学方法，通过重整化群、尺度变换、 分维、分形等方法的正确计算和绘图，能很好地处理无穷密集的非线性问题【5 】。对于混 沌系统，一个小的随机力并不仅仅对原有的确定性方程结果产生微小的改变，在一定非 线性条件下，它能对系统演化起决定性的作用。这种作用既可能是积极的，又可能是消 极的。所以，解释非线性条件下随机力所产生的各种重要效应，进而研究这类效应产生 的条件、机制及其应用便成为非线性科学和统计物理发展的一个重要任务。例如，在控 制领域，1 9 9 0 年，o t t 、g r e b e i g i 和y o r k e 等人提出的o g y 参数微扰方法，实现了混沌 运动的控制；同年，d i d o 等人就把o g y 方法用于控制重力场混沌运动的试验，效果良 好。在医学领域，新发展起来的脑电生理学可从脑电图上观察到人的心理状态，甚至可 以在脑电波形上翻译出所想的是什么。神经病人的脑电波相空间图和气象变化的l o r e n z “吸引子”非常相像，通过脑、电转换，大脑的非线性就可以变成可理解的线性观察。 事实上，目前非线性科学最重要的成就之一就在于对混沌现象的认识。 这些混沌研究表明，现实世界是一个有序与无序相伴、确定性和随机性统一、简单 与复杂一致的世界。混沌理论及其应用研究打破了确定论和随机论这两套描述体系之间 的鸿沟，给传统科学以很大冲击，在某种意义上改造了传统科学，同时促进了其他学科 的进一步发展。混沌科学的倡导者之一，美国海军部s h l e s i n g c r 认为，“2 0 世纪科学将 永远铭记的只有三件事，那就是相对论，量子力学与混沌”。总的来说，混沌发展可以 分为以下几个阶段： 2 0 世纪五、六十年代为发展初期。法国科学家p o i n c a r e 在研究能不能从数学上 证明太阳系的稳定性问题时，发现即使只有三个星体的模型，仍能产生明显的随机结果， 提出混沌存在的可能性，即庞加莱猜想，从此拉开了混沌研究的序幕： 2 0 世纪七十年代为快速发展期。混沌、奇异吸引子等混沌概念被提出，倍周期 分岔等混沌现象被发现。1 9 7 7 年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学 的正式诞生； 2 0 世纪八十年代为定量分析发展阶段。相空间重构思想被提出并成为混沌预测 的基础理论。在此基础上，混沌特性指标如最大l y a p u n o v 指数、k o l m o g o r o v 熵等的计 算方法研究广泛开展。我国的混沌研究起步并迅速发展，在1 9 8 6 年，中国第一届混沌 会议在桂林召开，推进了我国混沌理论和应用研究的发展； 2 0 世纪九十年代至今，混沌研究的特点表现为和其他科学的相互渗透。无论是 在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学，还是天文学、 气象学、经济学，甚至在音乐，艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。 混沌系统动力学模型重构研究 1 2 混沌预测的研究现状 时间序列是指存在于自然科学或社会科学中的某一变量或指标的数值或观测值，按 照其出现时间的先后次序，以相同的间隔时间排列的一组数值。分析观测时间序列的演 变规律是掌握系统动力学特性的重要手段。自从2 0 世纪6 0 年代以来，来自天文、水文、 气象等领域如太阳黑子、径流量、降雨量等时间序列都被发现含有混沌特性。这些时间 序列除了表现出混沌信号的典型特征外，通常还具有以下特尉】： ( 1 ) 序列动态特性可能会在一个较长时期范围内才能全面反映出来，所以需要研究 长系列的数据资料。因为数据可能跨越几年、几十年甚或上百年的时间，采样点数较多， 所以需要采取措施减少计算量，缩短计算时间。常用途径有：简化计算过程；变串行计 算为并行计算等等； ( 2 ) 多为实际观测序列，动力学特性通常未知。所测时间序列在测量、传输等过程 中，还会受到各种噪声和干扰的影响，所以需要找到或建立未知动力学特性前提下的序 列去噪、序列建模、序列预测算法； ( 3 ) 观测系统通常为某个自然复杂系统的组成子系统之一，探讨子系统之间的内在 关系，进行多元变量时间序列的模型重构和预测研究，将有助于准确刻画复杂自然系统 的运动规律。 事实上，自然界中开放的、远离平衡的系统，非线性相互作用的系统都可能出现混 沌现象。混沌时间序列的普遍存在性决定了对其研究的必要，而混沌时间序列的自身特 点又限制了传统方法的应用，需要研究新的方法。 为了研究和处理混沌时间序列，混沌理论提出了如相空间重构、动力学建模的非线 性分析方法。混沌时间序列预测方法就是这些非线性分析方法的具体应用，它优于简单 地认为系统是随机系统的统计预测方法和线性递归预测方法。结合混沌序列的特点，混 沌预测领域的主要研究内容包括1 9 ：混沌信号噪音滤除；混沌特性识别；混沌序列预测 技术及其应用。 1 3 混沌序列预测方法及其分类 时间序列预测是用被预测事物过去和现在的观测数据，构造依时间变化的序列模 型，并借助一定的规则推测未来，是预测领域的重要组成部分。混沌应用于时间序列预 测认为，无论是气象还是天文、水文、医学等系统，每个微观质点的运动在宏观上是随 机的，但在长时间序列观察中则表现出一定的确定性。许多以前被看作随机信号的现象， 现在都可以用混沌的确定性去解释它，从而为时间序列预测开辟了新的思路。1 9 8 1 年， t a k e n s 等人提出重构动力学轨迹相空间的延迟坐标法，为混沌预测奠定了理论基础。混 一4 一 大连理工大学硕士学位论文 沌预测方法就是在相空间中找到一个非线性模型去逼近系统动态特性，实现一定时期内 的预测，同时该模型也可用来识别系统是否包含混沌特性。 按建模数据情况，混沌预测方法可分为全局预测【1 0 1 1 1 、局部预测和自适应预测【1 2 ”j 。全局预测在整个吸引域上选择适当的数学模型对相点进行逼近，这种方法概念清楚， 但是当映射关系复杂，或噪声干扰较大时，这种方法困难较大。局部预测方法则认为相 空间中某一点的演化行为可由其邻近点的演化行为反映出来，即在相空间中寻找预测点 的最邻近点，并将此最邻近点在轨道上的下一点作为预测值输出，有时为了达到更好的 预测精度，邻近点可以选择多个。这种方法虽然只反应了吸引子的局部特性，一旦超出 相应的区域范围，局部模型的精度便会下降，甚至完全失效。但是该方法计算简单可行， 而且只要能够实时地拟合局部模型的系数，就能够较精确的反映整个吸引子的演化特 性。自适应预测是指在预测过程中，始终根据当前的预测误差来调整预测模型中的有关 参数使之在下一次预测的误差为最小，这种方法对算法的跟踪辨识和实时递推能力要求 较高。 按选择的数学模型划分，混沌预测方法有：相似点法，即在历史记录中寻找与当前 时刻相点最邻近或最相似的相点，以相似点的运动来代替当前时刻相点运动，从而对当 前时刻相点的未来演化规律进行预测，这种方法简单易行，但过于粗糙，精度不高；回 归法，按照传统的线性回归或非线性回归模式，在相点间建立回归方程对动力系统进行 预测。这种方法能很好的保持吸引子的统计特性，预测效果较好。但其线性化过程极易 消除掉系统的混沌特性和非线性特性，从而掩盖系统的本质；灰色模式；神经网络法； 径向基函数法；模糊数学模式；l y a p u n o v 指数预测法等。 此外，按照选择的预测量形式划分，有向量预测模式和模预测模式；按照预测因子 的多少划分，可分为单变量预测模式和多变量预测模式；按照预测步数的多少，可分为 单步预测和多步预测等等。自从二十世纪六十年代以来，混沌时间序列的预测方法和预 测理论已经取得了初步的理论和应用研究成果，对这些结果的继承、综合和发展是预测 领域的主要研究内容。 ( 1 ) 基于非线性数学模型的动力学方法 自适应预测方法通常属于此类方法。它建立在人们已熟知的物理规律上，需要预先 建立一个与观测系统混沌特性相近的数学模型，能够表现出与观测系统相近的吸引子轨 迹 2 - i 4 】。自从1 9 6 3 年l o r e n z 给出三个变量的自治方程，即著名的l o r e n z 方程以来，大 量的混沌方程或模型被发现。连续混沌方程有r o s s l e r 方程、c h u a 电路系统、w i e m - t y p e 方程等；离散混沌方程有h e n o n 映射、l o g i s t i c 映射、l o z i 映射等。这些混沌方程都可 作为动力学预测方法的非线性预测模型，对其进行简化，数值求解，以达到预测的目的。 混沌系统动力学模型重构研究 这类方法优点是计算简单迅速，而且最终可以建立一个系统模型方程，方便进一步的研 究；缺点是由于实际系统的复杂性，往往很难( 或不可能) 从基本的物理定律出发而直接 推导出系统的数学模型，现有的混沌方程也不足以反映复杂多变的自然现象，从而限制 了此类方法的应用。 ( 2 ) 基于实际观测数据的相空间重构方法 神经网络全局、局部预测方法，径向基函数全局、局部预测方法，多项式全局、局 部预测方法等基本都是基于相空间重构思想而建立的，其最大特点是由观测值重构相空 间，然后在相空间中做吸引子上的映射来得到预测值。此类方法的优点是在学习输入输 出样本的基础上获得观测系统的模型，不需预知系统的动力学特性，灵活性高，尤其适 合于多输入多输出系统的研究；缺点是存在大量的理论问题尚待说明。这些方法中，神 经网络是借鉴生物神经网络而发展起来的新型智能信息处理系统，高度并行结构，分布 式存储信息及强大的自学习、自组织与自适应能力，使其在非线性系统尤其是不确定性 系统的辨识领域得到了广泛的应用。 ( 3 ) 神经网络方法在混沌时间序列预测中的应用 混沌理论与神经网络相结合，是由标量观测数据构造延时坐标，得到以相空间点映 射表达的系统动态行为，据此可推测系统下一状态点位置，取出合适的延时坐标分量， 得到下一时刻观测数据的预测位置。1 9 8 7 年，l a p d e s 和f a r b e r 首先提出了混沌时间序 列的神经网络预测技术，开始了混沌时间序列的神经网络建模和预测的研究热潮【l 孓1 7 】。 近年来，前向( f e e d f o r w a r d ) 神经网络、径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，r b f ) 神经网络、 c h e b y s h e v 神经网络、递归型( r e c u r r e n t ) 槲络等都被应用于一维混沌序列的预测与 建模研究，代表性成果有： 多层前馈、r b f 、c h e b y s h e v 三种网络为静态神经网络，由于其网络节点连接形式 固定，对动态系统的辨识具有一定局限性。网络性能受隐层节点的影响很大，而在确定 隐层节点即节点个数和节点参数的过程中，往往需要进行正交分解，奇异值分解，子空 间分解等运算，计算复杂。尤其针对有大量学习样本的情况，计算复杂程度更为突出。 j o r d a n 网络、局部递归网络属于动态神经网络，具有灵活的网络结构，节点之间可 以正向连接，反向连接或者自连接，能较好地反映动态系统特性。甚至通过学习调整网 络参数，网络本身就能表现出混沌的特性。所以递归神经网络和混沌理论的结合是近年 来预测研究的热点之一。主要包括两个方面：分析混沌，利用递归神经网络分析混沌信 号并寻找隐藏的确定性规则。综合混沌，通过分析混沌特性或者人工产生混沌信号，从 混沌动力学系统中获得所需的混沌指标以改善神经网络模型性能。 大连理工大学硕士学位论文 1 4 本文内容概括 本文的主要思想是基于观测序列的奇异吸引子结构，较合理地选择观测序列的初始 数学模型，然后，递推辨识数学模型的参数，估计系统主方程式的结构，实现对混沌序 列的精确预测。其内容安排如下： 第1 章为混沌理论介绍，阐述进行混沌预测的意义和重要性，系统和全面地对近几 十年来国内外在混沌预测理论和方法上的应用进行较为详细的归纳、分析和总结。 第2 章详细介绍了一种重构系统方程混沌时间序列自适应预测方法，该方法的主要 内容是先建立起系统的初始数学模型，再利用扩展卡尔曼滤波算法和无味卡尔曼滤波算 法跟踪辨识混沌系统的主动态方程式，实现自适应实时预测。 第3 章详细介绍了目前应用较为广泛的局域预测方法，并应用局域预测方法实现具 体混沌序列的预测。 第4 章将应用局域预测方法得到的预测结果与本文的重构系统方程自适应预测方法 所得到的预测结果行了全面的比较分析，证明重构系统方程自适应预测方法对实际混沌 序列预测具有很好的实际意义。 第5 章为全文的工作总结和展望。 混沌系统动力学模型重构研究 2 重构系统方程自适应预测法 动力学方法是常用的一种预测方法，建立在人们己熟知的物理规律上，如运动的连 续方程、各种守恒方程等【埔一9 1 。通过对这些物理模型进行简化和数值求解，以达到预测 的目的。本章介绍一种重构系统方程混沌时间序列自适应预测方法，在建立系统初始数 学模型的基础上，利用e k f 和u k f 跟踪辨识混沌系统的主动态方程式，实现自适应预 测。 2 1 基于时间序列混沌特性参数的初始状态选择方法 混沌系统对初始条件十分敏感，不同初始条件的结果大相径庭，甚至会影响到混沌 现象的产生与否，所以是否合理选择预测初始条件直接影响预测结果的好坏。目前这方 面的研究还较为缺乏。一般n 维非线性连续时间系统微分方程的表达式为： 警= f l ( 删，x 2 ( t ) ，舶) ) 呐 鱼笋_ ，2 ( 椭删，坞) 鱼吒( 删觥) 舶) ) + 国。 其中，x l ，x 2 ，为描述该系统状态的r 1 个变量，欣) ，i = 1 ，2 ，月，为某种函 数关系。简化上式有： x = ，( z ) + w( 2 2 ) 系统输出量测方程为： y = 矗+ v ( 2 3 ) 式中 z = x l ( f ) ，x 2 ，( 明2( 2 4 ) 阡，、v 分别代表动态白噪声和观测白噪声。利用式( 2 2 ) 进行预测时，需要确定系统 初始条件，即t = 0 时，x 1 ( o ) ，x 2 ( o ) ，翰( o ) 的值。 2 1 1 选择初始模型的基本原理和步骤 本质上，混沌时间序列预测就是非线性系统时间序列预测，建立在混沌前提下的模 型应不包括任何明显的随机成分，这些模型是纯决定论又非线性的方程式。如果能够 找到反映系统吸引子特性的动态方程，就能精确的表现系统的演化行为。式( 2 3 ) 为非线 性系统的通用方程，不具实用性。设疋为邻近z 的点，利用泰勒级数展开，有 大连理工大学硕士学位论文 z = ，( 以) + 别，吡( x 一以) + g ( + 矿 ( 2 5 ) 其中，g ( 的为泰勒级数展开式中二阶及其以上高阶各项之和。设挺五) 表示向量函数的 j a e o b i a n 矩阵 j ( x 。) =( 2 6 ) 令 b ( x 。) = y ( x 。) 一j ( x 。) x 。 ( 2 7 ) 通常情况下，可以忽略g ( 鼢。结合式( 2 6 ) 和( 2 7 ) ，( 2 5 ) 式可线性化为： x = 以x e ) z + b ( x e ) + 矿 ( 2 8 ) 式( 2 8 ) 就是具有一般意义的系统初始模型【2 1 - 2 2 1 。在系统相应参数已知的前提下，可 以直接将该方程离散化，而后采用相应迭代算法进行自适应预测。但是通常情况下，系 统的参数是未知或局部未知的，此时就需应用扩维技术，将系统参数纳入到迭代过程， 参与到自适应调整过程中。所以初始模型参数的确定包括两方面的内容：状态变量初始 值确定和系统参数初始值确定 2 3 1 。 ( 1 ) 广义状态向量 以一维映射l o g i s t i c 方程为例， 氕x ) 2 甄1 - x )( 2 9 ) 图2 1 ( a ) c o ) 分别画出= 2 8 ，= 4 时的l o g i s t i c 序列二维相空间图。氕x ) 曲线和直线 x ( f ) = x ( f + 1 ) 的交点为方程的两个不动点，即”= 0 ，一2 ) = 1 - 1 亿。以除不动点外的其他 点作为初值，任选两个十分靠近的初始值顶0 1 ) 、x ( 0 2 ) ，作平行子纵轴的直线与a x ) 曲线 相交，得到“11 ) = 氕x ( 0 1 ) ) ，“1 2 ) = a x ( o g ) ，在交点处再分别作一平行于横轴的直线又与 宣线雄) = 件1 ) 相交，两交点的坐标分别对应1i ) 和1 2 ) ，多次重复上述步骤，迭代 过程就会沿着图2 1 ( a ) ( b ) 箭头所示途径行进。 分析图2 1 ( a ) 的迭代轨迹，可以看出= 2 , 8 时，不动点一2 ) 为稳定点，由初值x ( 0 1 ) 、 x ( o g 出发的迭代过程终将趋近于) 点，系统不表现混沌特性。图2 1 ( b ) 中，t = 4 ，系统 由初值x ( oj ) 、x ( 0 2 ) 出发的迭代过程不趋近于某个不动点，也不发敝，而是象分布在区间 锐一鲵一；毵一 阢一阮识一：巩一 新一钆既一：识一瓴 混沌系统动力学模型重构研究 0 ，1 】上的随机数，表现出混沌特性。对l o g i s t i c 映射的分析表明只有参数z 3 5 7 时， 系统才会出现混沌。因此，在对混沌信号建立初始模型时，参数的选择直接影响系统的 内在特性，如果选择不当，将会直接导致预测的失败。另一方面，图2 1 ( b ) 中，由x ( 0 1 ) 、 x ( 0 2 ) 出发的两点之间的距离以指数速率分离，这也是混沌特性的一种表现。只有两点初 始值足够靠近时，在一定的迭代次数内，其中一点的轨迹才可以作为另一点的近似值， 所以状态变量初始值的选择也会对预测精度产生影响。综上所述，引入一个广义状态向 量新概念，在确定系统初始模型时，综合考虑系统原有状态向量和系统未知参数的取值。 ( a ) j z = 2 8 时的l o g i s t i c 映射相空间 ( b ) = 4 时的l o g i s t i c 映射相空间 图2 1l o g i s t i c 映射相空间 f i g 2 1p h a s es p a c ep l o t sf o rl o g i s t i cd a t a 系统原有状态向量蜀和系统未知参数向量弼共同组成的一个扩维向量，称为广义 状态向量。 o o 0 o o o 0 0 o l 土胃 1 9 8 7 6 5 4 3 2 l o 大连理工大学硕士学位论文 x = 瞄1 ，局t( 2 1 0 ) 因此，初始模型参数确定需要考虑蜀，局的共同选取，主要遵循以下两个原则： 初始模型演化行为能够表现出与观测序列相似的吸引子结构，如定常吸引子、 周期吸引子、奇异吸引子等； 初始模型演化行为能够表现出与观测序列相近的时频参数，包括序列振幅、平 均周期等。 原则一使得初始模型与观测序列在相空间中的演化规律相似，具有相同的内在特 性，即稳定性、周期性、混沌性等，只有二者的内在特性相同，才有可能进行逼近建模； 原则二则使二者在时域和频域中的行为相似，运动范围相近。 ( 2 ) 初始模型参数的确定步骤 满足上述两个原则的初始模型在相空间中将具有和观测序列相似的吸引子轨迹，为 精确预测打下良好的基础。初始数学模型选择的步骤如下【2 3 】： 计算所观测序列的混沌特征值，例如奇异吸引子维数、序列振幅、平均周期等； 选择典型的混沌方程，如r o s s l e r ，l o r e n z 方程，其某一状态分量的时间序列能 够表现出与所观测时间序列相似的混沌吸引子结构； 通过线性转化，使得典型混沌方程的状态变量时间序列在平均周期和振幅上与 观测时间序列近似。例如，令 r ：孕 ( 2 1 1 ) 乙 、 t o ，分别对应观测序列和混沌方程变量序列的平均周期。用 f = r t ( 2 1 2 ) 作为新的时间变量带入典型混沌方程，使得转化后的方程变量序列在f 时间轴上能 够与所观测的时间序列保持同步。同理，混沌方程变量序列的振幅也可作相应线性转化， 从而可以和所观测时间序列的振幅保持一致： 比较转化后的混沌方程和式( 2 8 ) ，设置相应参系数的初值； 根据所测的实际数据样本确定状态变量的初值，从而得到整个系统的初始状态。 通过以上步骤确定的系统初始方程，考虑了观测序列的动力学特性，在初始时刻就 令所建模型在相空间中的演化行为逼近原系统的实际模型，尽可能多的包含系统信息， 以改善预测性能。 混沌系统动力学模型重构研究 2 1 2 常用混沌系统 自从1 9 6 3 年l o r e n z 方程建立以来，大量的混沌方程或模型被提出，它们在相空间 中随着参数或初值的不同而表现出异彩纷呈的奇异吸引子结构，为动力学预测方法在混 沌序列中的应用提供了条件。下面列出常用的混沌方程，按连续混沌系统和离散混沌系 统两种情况分别进行介绍，所写参数只是系统表现混沌特性的一种特殊情况。 ( 1 ) 连续混沌系统 d u f f i n g 方程 豢扣d 毋x + x 3 = b c o s 删丑b = 3 4 0 l o r e n z 方程： 譬= 仃( y x ) 石5 仃抄一x ) 警= ( ，叫j j ， 丝；聊一6 z d t 。 r o s s l e r 方程 _ d x ：一( y + z ) a t 塑= 一x + 口v 西 。 粤：b + ：( x - - c ) d t 四维超混沌r o s s l e r 方程 瓦一y - 2 生：z + 0 2 5 j ，+ w d t 。 堕：3 + 船 d w ：一0 5 z + 0 0 5 w ( 2 ) 离散混沌系统 o - = 1 0 ，b = 8 3 ，r 2 4 0 6 口= b = 0 2 ，c 4 2 大连理工大学硕士学位论文 l o g i s t i c 映射 x ( k + 1 ) = z ( k ) ( 1 一助) k e n t 映射 x ( k + 1 ) = 一1 i x ( 国i h e n o n 映射 i x ( k + 1 ) = l + b y ( k ) 一a x ( k ) 2 i y ( k + 1 ) = x ( 后) u s h i k i 映射 i x ( k + 1 ) = ( 口一x ( 后) 一6 l y ( 七) ) x ( 七) l y ( k + 1 ) = ( a - b 2 x ( k ) 一y ( 七) ) y ( k ) 此外，还有c h u a 电路系统、t e n t 映射等， 得了广泛应用。 a 3 5 7 口= 1 9 口= 1 4 ，b = 0 3 a = 3 7 ，b a ；0 1 ，b 2 = o 1 5 这些混沌方程在各种理论研究分析中获 2 2 扩展卡尔曼滤波( e k f ) 混沌时间序列预测 扩展卡尔曼滤波 2 4 1 2 5 堤一种可用于非线性系统的滤波算法，具有最优估计性能，其 递推计算形式又能够适应实时处理的需要，所以经常用于基于非线性观察时间序列的离 散系统参数辨识。对于含有混沌特性的时间序列，卡尔曼滤波也能进行有效的辨识 2 6 1 1 2 7 1 。 本章利用扩维技术扩展系统状态变量，将系统的未知参数也纳入到辨识过程，从而 建立起一个非线性系统一般框架作为系统的初始模型，然后基于扩展卡尔曼滤波跟踪辨 识的特性，对模型的未知参数和状态变量同时进行递推辨识，实现了对混沌序列的短期 精确预测。对含噪声的r o s s l e r 方程删、z ( f ) 序列的仿真结果说明利用本文方法可以建 立一个与所测多变量混沌序列等价的系统主动态方程式，从而可以精确的预测出所研究 混沌系统的演化过程。 2 2 1 算法介绍 一般珂维非线性连续时间系统微分方程的表达式为式( 2 1 ) 。在系统相应参数或系数 已知的前提下，可以直接将该方程离散化，而后采用迭代算法进行迭代预测。但是通常 情况下，系统参、系数是未知或局部未知的，此时就需应用扩维技术，将系统未知参、 系数作为系统未知状态纳入迭代过程，详细步骤如下： 令z = x l t , 弼r 】7 ，x l 为系统状态变量，局为系统未知参数或系数向量。则式( 2 2 ) 转化为： 混沌系统动力学模型重构研究 誓2 皇2 + 鼍， ( 2 1 ，) = 五( x ) + 、7 凡( 的为系统原动态方程，尼( 勋根据实际情况选取，可直接取零。则扩展后的系统 动态和量测方程可简写为： 贾= f ( x ) + 矽 ( 2 1 4 ) y = 日( x ) + v ( 2 1 5 ) 输出l ，为多维变量，阢v 分别代表动态白噪声和观测白噪声。设五为邻近石的 点，式( 2 1 4 ) 可展开成泰勒级数： 小，( 置) + 等l ( n 五) + 烈埘 ( 2 1 6 ) 式中：g ( 的为级数展开式中二阶及其以上各项之和。令聪) 为向量函数的j a e o b i a n 矩阵 j ( 托) = 研研 o x , 鸽 锐锐 o x , o x 2 o f a f 毛 研 o x 欲 a 矗 锐 瓯 ( 2 1 7 ) b ( 鼍) = ，( 五) 一- ，( 五) 五 ( 2 1 8 ) 忽略g e 的，则式( 2 1 4 ) 线性化为： 岩= ，( 咒) x + 召( 置) + 形 ( 2 1 9 ) 将上式离散化，转化为离散系统为： x ( 后4 - 1 ) = ( z ) z ( 后) + r ( 五) b ( 五) + 形( 后)( 2 2 0 ) l y 【后) = 。阿( 后) z ( 后) + 矿( | j ) 、 r ( 置) = f f e a x , , d r ( 2 2 1 ) = a t 1 + j ( x , ) a t 21 + 十 ，( 置) f