（电工理论与新技术专业论文）用于电磁散射的矩量法择基问题的群方法.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第| i 页 把群论用于电磁应用领域，属于全新的开创性事业，本文在这方面进 行了初步而有价值的探索。为完善矩量法的核心环节和矩量法的进一步广 泛应用，提供峰实的理论依据，具有非常重要的理论意义和应用价值。 关键词群论：矩量法；对称性：摹函数 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 ii 页 a b s t r a c t t h et r a d i t i o n a lw a yt of i n db a s i sf u n c t i o n so fe m p r o b l e m si s t os o l v e w a v ee q u a t i o n sb y s e p a r a t i n gv a r i a b l e s ，w h i c hi sh e l p l e s sf o rt h ep r o b l e m sw i t h l e s ss y m m e t r i c a lo rc o m p l i c a t e ds y m m e t r i c a lb o u n d 撕e s t h e r e f o r ei ne m e n g i n e e r i n gf i e l d ，p e o p l ea l w a y sc o m m i tt or e s e a r c hn u m e r i c a lm e t h o d sa l o n g w i t ht h ed e v e l o p m e n t o f c o m p u t e r s c i e n c e t h em e t h o do fm o m e n t s ( m o m ) i so n eo ft h e p o w e r f u l n u m e r i c a l t e c h n i q u e s ，w h o s eb a s i cp r i n c i p l ei s t oc o n v e r tt h ei n t e g r a le q u a t i o nw i t ha g i v e nb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mi n t oam a t r i xe q u a t i o nb yu s i n gb a s i sf u n c t i o n s a n dt e s t i n go n e s t h em a t r i xe q u a t i o nc a nb es o l v e db yd i g i t a lc o m p u t e r i ti s o b v i o u st h a th o wt oc h o o s eb a s i sa n dt e s t i n gf u n c t i o n si sak e y p o i n ti nm o m ， e s p e c i a l l yt h ec h o i c eo f b a s i sf u n c t i o n s t h e r ea r em a n ys e t so fb a s i sf u n c t i o n s i nt h e o r y b u tf e wa r es u i t a b l e a n du n s u i t a b l eb a s i sf u n c t i o n sc a i ln o t1 c a dt o c o n v e r g e n c eo ft h em a t r i xe q u a t i o n t h ep r o p e rb a s i sf u n c t i o n sc a nn o tb e o b t a i n e db yr u l e sa n ds o m e t i m e sw en e e dal o to f e x p e r i e n c e h o w e v e r ，a sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，g r o u pt h e o r yi sa p p l i e d b r o a d l yi nm a n yf i e l d si n c l u d i n gp h y s i c sa n dc h e m i s t r y i ti sn o t e db ys i m p l e d e s c r i p t i o n so nc o m p l i c a t e ds y m m e t r i c a lb o u n d a r i e sa n di t c a nf i n dc l a s s i f i e d b a s i sf u n c t i o n sb ys y m m e t r i c a lt r a n s f o r m a t i o n s t h e r e f o r e ，i nt h i st h e s i sh o wt ou s et h eg r o u pm e t h o dt oo b t a i nt h e s u i t a b l eb a s i sf u n c t i o n so f m o mi ne m s c a t t e r i n gp r o b l e m si so u rm a i ni o b f o r e x a m p l e ，w ec a ng e tt h es a n l er e s u l to fs p h e r i c a lh a r m o n i cb a s i sf u n c t i o n sb o t h b ys e p a r a t i n gv a r i a b l e sa n dg r o u pt h e o r yg i y e n i nt h i sp a p e r b e s i d e s ，a c c o r d i n g t ot h es y m m e t r i c a ls t r u c t u r eo f2 ds c a t t e r i n gb o u n d a r y ，f i r s tw ec a nh a v ea g r o u pi n c l u d i n ga l l t h es y m m e t r i ct r a n s f o r m a t i o n s ，a n dd i v i d et h eg r o u pi n t o d i r e c ts u mo f r e p r e s e n t a t i o n sb yo r t h o g o n a ld e c o m p o s i t i o no fc h a r a c t e r s a n d t h e n ，w i t ht h ec u r v ec h a n g e so f p o i n tf u n c t i o n ，t h eo r t h o n o r m a lb a s i sf u n c t i o n s a t i s f i e dw i t ht h es y m m e t r i c b o u n d a r yc a nb ea t t a i n e d f i n a l l yw ep u ti ti n t ou s e i nm o m t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h eh a r m o n i cb a s i sf u n c t i o n s 丘o mg r o u p t h e o r yc a n1 c a dt of a s ts o l u t i o n i nc o n c l u s i o n w eg i v es o m ee x p e c t a t i o n so f g r o u pt h e o r yc o n n e c t e d w i t he m s c a t t e r i n gp r o b l e m s t h i sp a p e rh a sm a d eab e g i n n i n ga n dv a l u a b l ep r o b ef o ra p p l y i n gt h e g r o u pt h e o r yt oe l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gf i e l df o rg e t t i n gt h eb a s i sf u n c t i o n s ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第lv 页 w h i c hr e i n f o r c e st h ek e r n e lp a r to fm o m ，a n d p r o v i d e sat h e o r e t i cs u p p o r tt o t h ea p p l i a n c e so f m o m s oi th a st h em o s t s i g n i f i c a n c e k e yw o r d s g r o u pt h e o r y ；m o m ；s y m m e t r i c a ls t r u c t u r e ；b a s i sf u n c t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 自1 8 7 3 年麦克斯韦的旷世巨著电磁通论发表以来，宏观电 磁理论及其应用研究都得到了迅速发展，特别是j a s t r a t t o n 于1 9 4 1 年发 表的电磁理论【1 1 以后，工程电磁理论的应用与发展更是逐步形成了一 个以电磁散射，电磁辐射和电磁传播为主体的三大格局。 当电磁波作用于物体上，或电磁波入射到目标上时，根据麦克斯韦方 程组和相应的电磁场边界条件，在该物体或目标上便有电流或等效磁流产 生，这些感应电流和等效磁流又产生它们自己的电磁场，称为物体或目标 的散射场。电磁散射研究的问题就是分析计算或测量己知物体在给定外激 励场的作用下，产生的散射场。 早期电磁散射理论的研究主要致力于一些规则物体散射问题的解析 解。其解析解是通过如下的步骤 2 】来实现的：首先对规则散射体进行波动 方程的分离变量，用来产生具有对应于特定本征值的本征函数( 波函数) ； 然后通过对给定入射场以及散射场的波函数展丌，利用电磁场所满足的边 界条件，从而求出散射场所对应的展开函数，进而求出散射场。解析解的 最大优点在于它不仅是严格解，而且是全域解，但很少量的问题能够得出 解析解。例如，对于标量h e l m h o l t z 方程只有在十一种坐标系下才能分离 变量，对于矢量h e l m h o l t z 方程仅在六种坐标系下可以分离变量【3 】。因此， 对于具有复杂或不规则形状的物体散射特性，人们一般只能通过近似方法 或与规则物体的类比作定性的分析和近似的了解。 1 2 计算方法概述 由于实际电磁场问题的复杂性，相当长时期以来，从解析方法着手进 行的分析进展不大，难以获得满意的分析结果。经典的解析方法仅能用于 球和柱等少数自然边界和坐标系相耦合的情形，对于实际应用上出现的大 量的非规则边界则无能为力，所以人们常致力于数值方法的研究。伴随计 算机技术的飞速发展，各类电磁散射问题的数值方法的研究得到了突飞猛 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 进的发展，归纳起来，主要有如下几类 l 有限差分法( f d m ) 有限差分法简称差分法l ”，这种方法早在1 9 世纪术已经提出，但把筹 分法和近似数值分析联系起来，则是2 0 世纪5 0 年代中期以后。它以简单 直观的特点而到广泛的应用，无论是常微分方程，偏微分方程，二阶线性 方程，以至高阶或非线性方程，均可利用差分法转化为代数方程，而后用 计算机求其数值解。 有限差分法以差分原理为基础，通过把波动方程连同边界条件同时离 散化，将原方程化为有限的差分方程组，进而选取适当的方法( 如直接法 和迭代法) 来求解该有限差分方程组。这样就使电磁场连续域内的问题变 为离散系统的问题，即用各离散点上的数值解来逼近连续场域内的真实解， 因而它是一种近似的计算方法，具有简单，易学和便于编程的特点，根据 目前计算机的容量和速度，对许多问题可以得到足够高的计算精度。电磁 场的有限差分法，一般是在频域进行的。1 9 6 6 年，y e e 提出了时域有限差 分法( f d t d ) 的基本原理。随着吸收边界条件的不断改善，尤其是完全匹 配层的提出与应用，以及对各种非标准网格划分技术，计算量压缩技术， 抗误差积累技术的深入研究，该方法的应用趋于全方位。该方法直接从概 括电磁场普遍规律的麦克斯维旋度方程出发，将其转化为差分方程组，在 一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据取样。因此，它是对电磁场 问题的最原始，最本质的数值模拟。时域有限差分法使电磁场的理论与计 算从处理稳态问题发展到瞬态问题，从处理标量场问题发展到直接处理矢 量场问题，这与现代高速大容量计算机，矢量计算机，并行计算机以及并 行算法的发展密不可分。 2 几何绕射方法( g t d ) 该方法论始于2 0 世纪5 0 年代术，由j b k e l l e r 教授等人提出 5 1 。其 基本思路是：因几何光学无法用于求解具有棱边或尖顶等小曲率半径表面 的散射体产生的散射场，故引入绕射线的方式来弥补，即电磁波投射到这 些弯曲或破折的表面时，不仅有几何光学原有的直劓线，反射线和折射线， 还有绕射线。引入这种绕射线，一方面具有物理概念清楚，解的精确度高 的优点，另一方面对于过去很难或无法求解的复杂形状电磁散射问题提供 了一种简便的近似求解途径。目前该方法已广泛应用于微波段各种目标雷 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 达散射截面的计算。 该方法存在的困难主要体现在：目前能够利用的解析解非常有限( 只 有理想导电劈和导电圆柱) ，且不能用于焦散区的场的计算。由于该方法 基于电磁波的准光学性质，一般要求散射体具有( 或大于1 0 倍) 波长的尺 i 于，因此它又被称作高频方法。 3 有限元法( f e m ) 有限元法是求解数理边值问题的一种数值技术【6 。在力学领域，有限 元的思想在2 0 世纪4 0 年代已经提出，6 0 年代末起，有限元法被移植到 电磁场工程领域。 有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的一种数值计算方法。在早 期，应用瑞利里兹方法的有限元法以变分原理为基础，后又应用加权余量 法中的迦略金法或最小二乘法。因此，有限元法可用于任何微分方程描述 的物理场。其基本思路是：将所考察的连续场剖分为有限个单元进行场域 离散化；然后适当选取插值函数去逼近单位元内未知的真实场分布；接着 将离散化了的方程代入泛函表达式，对泛函求极值，得到一组泛函方程组； 进而将强制边界条件代入，即可进行方程组的求解。由于该方法基础牢靠 以及所依据的理论具有普透性，目前应用非常广泛。其突出优点表现在： 无需特别考虑边界，只需在边界处令其满足即可，因此能够适用于复杂边 界形状问题的求解，且结果收敛性能好，精度较高。 有限元法在具有上述优点的同时，也不可避免地存在着一些局限性： 由于该方法对任何问题均在各方向离教，并一律采用分片低阶多项式插值 来逼近各类问题的解函数，初始数据繁多，虽然通用性强，但又带来自由 度多，计算时间长，成本高，工作量大的不足，造成理论上有限元法能解 决，而实际上由于各种条件所限，工程上又难以实现的状念。 4 边界兀法( b e m ) 该方法是2 0 世纪7 0 年代中期发展起来，8 0 年代用于电磁领域的一种 新的计算方法口】。它是把边界积分方程法与有限元法的离散方式组合起来 的产物，其基本原理是：首先将描述场的微分方程通过加权余量法归结为 边界上的积分方程；然后把区域的边界分割成许多单元，把边界积分方程 离散化，得到只含有边界上的节点朱知数的方程组，从而求出近似解。在 各单元上所考虑的插值函数可具有各种形式。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 由于边界元法是在经典边界积分方程法和有限元法的基础上产生的， 因而它兼有这两种方法的优点，集中表现为：应用边界积分方程式，使得 求解问题的维数降低一维，这样代数方程组的元数大为减少，输入数据变 得简单，降低了计算成本和计算机存储容量；又由于用了复杂的边界元素， 可较好地体现区域的边界，对于无限区域中的问题和场源集中的问题同样 有效。但边界元法不如有限元对问题的适应能力强，对于体源和非线性问 题通常还要对全域进行剖分，对非匀质问题适应性较差，其关键在于难以 求取相应的基本解。此外，边界元法的离散化方程组的系数矩阵为满秩， 且不对称，因而矩阵所有的元素都要用数值积分计算，计算时间增长。 5 扩展边界条件法( e b c m ) 该方法首先由p c w a t e r m a n 教授于2 0 世纪6 0 年代中期提出，用于 求解导体的散射场【研。其基本思想是：以波函数理论为基础，首先将格林 函数展开成内域和外域的波函数级数形式，这种内域和外域的波函数恰好 分别对应入射波和外行波；当把未知的散射场和已知的入射场根据其物理 意义分别展开成外行波和内行波的级数形式时，利用波函数的正交性和导 体内总场为零这一基本物理事实，求得表面电流的展开系数，再利用已求 得的表面电流进而求出散射场。在具体实施e b c m 的过程中，是先通过一 矩阵联接入射场展开系数和表面电流展开系数，又通过一矩阵联接散射场 展开系数和表面电流展开系数，最终消去表面电流的方式求得散射场系数。 由于散射场展开系数是通过一个过渡矩阵( 简称t 矩阵f 9 】) 的形式与入射 场展开系数相连而获得的，故此方法又被称为t 矩阵方法。该方法是由求 解导体散射问题而产生，而后推广应用到介质散射问题中，目前已形成了 较为系统的理论。 6 矩量法( m o m ) 该方法是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法，对于求解微分 方程和积分方程均适用 1 “】。h f h a r r i n g t o n 于1 9 6 8 年出版的专著o o ，对 用此法求解电磁场问题作了全面而深入的分析。其基本思想是：首先将需 要求解的微分方程或积分方程写成带有微分或积分算符的算子方程；再将 待求函数表示为某一组选用的基函数的线性组合并代入算子方程；最后用 一组选定的权函数对所得的方程取矩量，就得到一个矩阵方程或代数方程 组。剩下来的问题就是利用计算机进行大量的数值计算，包括矩阵求逆和 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 数值积分等。从实质上讲，m o m 是内域加权余量法。用此法可以达到所需 的精确度。矩量法能解决严格解析法和近似解析法所不能解决的边界比较 复杂的一些问题，因而得到了广泛的应用。 虽然矩量法的解析部分较简单，但其计算工作量太大。用矩量法求解 时，对于以微分方程为基础的离散方程，其系数矩阵多为大型病态稀疏矩 阵；对于以积分方程为基础的离散方程，其系数矩阵通常为满矩阵，所有 元素通常需大量的数值计算，对电大尺寸物体更是如此；此外，在某些谐 振频率上，齐次方程存在非零解，故而导致所得的矩阵方程呈现出严重的 病态【1 ”，集中体现在矩阵元素分布上，对角元素数值较小，而非对角元素 数值相对较大，因此所得的解极不稳定。正是基于矩量法的上述不足，我 们考虑引入群论方法寻求具有一定对称性散射体的基函数，因为这种基函 数是整域基，若能使其尽量接近真解，并满足边界条件，则其计算过程收 敛较快，且能使离散后的矩阵方程成为良态矩阵 1 3 】，从而有效避免其不足 之处。 1 3 群方法的特点 群论作为近代数学的一个重要分支，在物理、化学等许多领域得到了 越来越广泛的应用。群论的一个特点就是对于具有复杂对称结构的物体给 予描述上的简捷；群论的另外一个特点就是能够根据对称性，寻找出适定 基函数。例如，对于球对称物体的求解问题，根据波动方程通过分离变量 法所找出的基函数为球谐函数，这一球谐函数完全可以通过群论的方法得 到。对于许多具有一定对称特征的物理边界，分离变量是无能为力的，然 而群方法是完全可行的。通过群论方法，首先找出散射体的对称特征，以 群的特征标分解方法，利用类特征标的正交关系，把复合对称群分解成基 群的直和，对应于此，根据所选取的对称位置的点函数，在对称变换过程 中，利用置换叠加，找出点函数的变化曲线，根据变化曲线找出对应解析 函数，再进行约化、归一，从而最终形成满足对称特征的基函数和权函数。 把群论用于电磁应用领域，属于开创性事业。本文在这方面进行了初 步而有价值的探索。通过群论方法进行有规律地寻找最适合给定边界情况 的基函数，就完善了矩量法的核心环节，为矩量法的进一步广泛应用，促 进电磁场计算领域的数值方法的发展，提供坚实的理论依据，具有非常重 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 要的理论意义和应用价值。 1 4 内容安排 本文分为四大部分，第一部分即绪论，简要介绍了电磁散射问题的产 生发展以及主要的几种数值方法的特点。 论文的第二部分为第2 章，介绍用于求解电磁散射问题的矩量法的基 本理论及其择基问题，简要阐述其原理，步骤和数学公式。 论文的第三部分即第3 章，介绍了群的基本概念，有限群和连续群的 定义以及与求解不可约基函数相关的重要定理。 论文的第四部分即第4 章和第5 章，给出了连续群理论实现球对称物 体的基函数，即球谐函数的具体推导过程以及用群方法寻找二维轴对称散 射体( 以四方柱为例) 的基函数的详细论述。在这一部分中，我们还给出 了两个计算实例，并与其它方法的结果进行了对比，说明群方法寻基的可 行性和其中存在的一些问题。 1 5 本论文的主要工作 1 通过将近代数学中的连续群理论应用于电磁散射问题，对具有球 对称特征的散射体的基函数问题开展系统研究，找出了正交归一的球谐基 函数。 2 以四方柱为例，将有限群理论应用于二维多轴对称散射体中，给 出了寻基的一般方法：通过散射体的对称特征，以群的特征标分解方法和 点函数的对称变换，找出点函数的变化曲线，根据变化曲线找出对应解析 函数，从而最终形成满足对称特征的基函数。 3 针对导体四方柱的散射问题，将群论所寻基函数用于矩量法，并 给出了计算结果。 本论文首次将近代数学中的群论用于电磁场数值计算领域，这是一种 积极的科学尝试。其主要的创新之处在于：利用散射体的对称特征，寻求 获得较快收敛的矩量法基函数。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 第2 章用于电磁散射的矩量法基本原理 2 1 引言 在本章中，我们首先介绍矩量法的基本原理和求解步骤【1 4 - 1 5 ，然后介 绍了自由空f m i 中三维和二维的基本积分方程，由此方程结合边界条件可导 出散射场积分方程。最后介绍了矩量法的择基问题以及常用的基函数和权 函数。 2 2 矩量法的基本原理 根据线性空间的理论，多个线性方程的联立方程组、微分方程、差分 方程和积分方程都属于希尔伯特空间中的算子方程，这类算子可以化为矩 阵方程求解，由于在求解过程中，需要计算广义矩量，故称之为矩量法 ( m o m ) 。 矩量法是一种将连续方程离散化成代数方程的方法，它既适用于微分 方程又适用于积分方程，但由于已有有效的数值计算方法求解微分方程， 所以目前该方法主要用于求解积分方程。 考虑如下非齐次方程： l 妒。f f 2 - 此处l 是一线性算子，函表示未知待求函数，厂表示已知源，定义域 为q 。为求解上述方程，首先在x 2 内选择一组完备的基函数v1 ，v2 ，v 3 将未知函数尹展开为： g 是未知的展开系数。 = g ( 2 - 2 ) 3 到得 入代和之项 厂 前 一一 的 饥 ” g 沼。 式暇 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 为求系数g 我们选取一组权函数l ，珊2 ，c o3 ，与( 2 3 ) 做内积，得 到： n c o ， ， r r l ， ， ， ? 甜 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 ( 2 9 ) 用希尔伯特空间矢量r ( 三v n ) 表示由三v 。张成的空间，r ( 庐) 表 示值域l 毋，r ( 。) 表示由权函数。张成的空问，如图2 - 1 。 r ( 西) 投影 图2 1 矩量法在函数空间的图形表示 现将式( 2 9 ) 的两端与权函数做内积，即两端的矢量在r ( m 。) 空 间上的投影可表示为： n = g 一 ( 2 1 0 ) n = l 若令误差矢量。对权函数空间r ( u 。) 的投影为零，即 = 0 ( 2 1 1 ) 则u 。与f 交，或r ( 毋) 的精确值在空间r ( 。) 上的投影等于其近 似值在空间r ( u 。) 上的投影。当近似值随着的增加而趋于精确值， 随之e 也趋于最小。由于误差正交于投影，所以是二阶无穷小。这样，通 过获得投影的方法使误差化为最小。 显然，矩量法求解电磁散射问题包含以下四个步骤： 1用积分方程来描述该问题； 2用一组基函数来表出积分方程中的未知函数： 3选择一组权函数与该方程做内积，从而将积分方程转化为矩阵方 程； 4解出矩阵方程并汁算所需的物理量。 厂 一 己 g = 占 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 2 3 积分方程 对于任意形状物体散射问题的有效解法是，建立相应的积分方程，然 后利用有效的数值解法，例如矩量法等，求出数值解。建立相应的积分方 程通常有两种方法：一种是基于格林定理【1 6 - 1 7 ，另一种是基于等效原理， 它们生成同样的积分方程。本节我们用格林定理的方法给出自由空间中用 于导出散射场积分方程的基本的三维和二维公式。 2 - 3 1 三维公式 考虑自由空间中一个三维散射体，如图2 1 所示，其边界面为s 。在s 和s 。所包围的空间v ，电场雷和磁场厅与源1 7 和7 ”之间的关系满 足下列矢量波动方程： v x v 酾一2 翮= 一，了( 尹) 一v 3 “( ，) f v 1 色一1 2 ) v v x 。h ( 尹) 一k o z 以芦) = - j c o , o o j ”( 尹) + v ，( 尹) 尹vj 图2 - 2 自由空间中的三维散射体 a 为边界s + s o 的外法线单位矢量。 v 2 g j ( f ，f ) + k 0 2 g o ( f ，产) = 一占( f f )1 师卜嵩 j 。3 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 肌阱v v 卢) 一芦v v 砷v = 钉s + s o ( 声x v 亘一亘v 芦) h d s ( 2 1 4 ) 此处，卢和亘是在v 内对f 具有二阶连续导数，在边界上对尹具有一阶连 续导数的矢量函数。 令豆= g 0 ，是任意常矢量，卢= 豆。考虑到g 0 在f = ，点的奇异性， 为保证g n 在区域v 内具有二阶连续导数，取以i 为球心，半径为s 的小 球面，将f 吲 除在格林定理考虑的体积之外。于是式( 2 - 1 4 ) 可写为 肌陋( v v 西- g vx v x ( g o 咿 ( 2 _ 1 5 ) = 弱s + s o + s ( e v ( g o ) 一g 0 6 v e ) 奔嘏 由于自由空间格林函数g 0 满足标量h e l m h o l t z 方程，利用式( 2 1 2 ) 和矢 量恒等式 v v j ：v v j v 2 j 式( 2 - 1 5 ) 左侧的被积函数为 g 0 v 。v x e d v 。v 。( g o ) (2-16) = 5 ( 一j o - o j g o g o v j ”) 一e v ( 6 v g o ) 应用矢量恒等式 v x ( 叫) = f o r a + v r p a v ( 掣) = 印- a + v 妒- a 式( 2 - 5 ) 右端第二项和第三项分别为 g o v 3 ”= v ( g 0 3 ”) + 7 “v g 0 ( 2 1 7 ) e v ( v t o ) = v 【e ( v g o ) 卜( a v g o ) v e ( 2 1 8 ) 将式( 2 1 6 ) 、( 2 ，1 7 ) 和( 2 1 8 ) 代入( 2 1 5 ) ，得到 一- f f f ， j , o u 。砜+ 了v g o 一( v - g ) v g o d v 一f ，v ( g 0 3 ”) d 矿 一p v - 雪( v g o ) d v = 钉s 喁+ 丑( 童vx ( g o ) 一g 0 v 丘) ，h d s ( 2 一1 9 ) 应用矢量恒等式 v ( j 雪) = 雪v j j - v 雪 式( 2 - 1 9 ) 左侧第二项可化为 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 ；f r v ( g 3 ”) d y = f f f r v ( g 0 3 “；) d 矿 = g “品+ s ( g 0 3 “) h d s = g s + 岛+ s g 0 t 7 “h d s 式( 2 1 9 ) 左侧第三项可由高斯公式化为 j j r v _ 【豆( v g o ) d v = 舒岫+ 墨i 雪( v g o ) d s = 甜蛳+ s ( 蠢雷) v g o d s 式( 2 7 ) 右侧被积函数的第一项和第二项可分别写为 雷v ( g 0 ) m = 【( a 豆) v g o - 6 0 ( v 啻) h = _ ，( 疗j 幻g o + 6 0 a ( # 了“) 由于是任意常矢量，所以根据式( 2 2 0 ) 、( 2 2 1 ) 和式( 2 2 2 ) 、 式( 2 1 9 ) 可写成如下形式 f f f r j c o 掣o g o 了+ 了“v g o 一( v 豆) v g o 】d 矿 ( 2 - 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 3 ) ， = 钉啉蝎，e ) v g o 一( h x 啻) v g o + j w p 。( d t b g 。p ( 2 2 4 ) 当小球面s l 的半径趋于零时，可以证明，式( 2 8 ) 右侧在球面上的积 分趋于一云( 尹) 【1 5 】。考虑到格林函数的对称性2 ”，交换f 和f ，式( 2 1 1 ) 写为 e ( i ) = e 1 ( 尹) + g 蹶 一( 瓶( 一) ) v g o 一( 触云( 尹) ) v g o + j c o a 。( 肌疗( i ) ) g o a s ( 2 2 5 ) 考虑到v 豆：旦，此处入射电场定义为 s 0 云够) = ， _ j c o p 。7 ( p ) g 。一3 m ( 尹) v f g o + ( 导) v g o ) i v 。0 ( 2 2 6 ) 同理，令( 2 1 9 ) 中声= 厅，同理可得 日( i ) = ( i ) + 钉帆陋豆( p ) ) v g o + ( 触疗( 一) ) v i g 。+ j c o e o ( i 豆( i ) ) g o d s ( 2 2 7 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 考虑到v j 于= 生，此处入射磁场定义为 - t o n h ( i ) = i i i 以- j c o s o j ( y ) g o + ，( i ) xv g 0 + ( l ) v g o p 矿 ( 2 - 2 8 ) 。 t o 以上公式表明，观察点的电磁场由两部分积分贡献组成，一部分为观察点 所在区域中源( 包括电流密度、电荷和假想的磁流密度、磁荷) 的贡献； 另一部分为观察点所在区域外的源的贡献，这部分贡献取决于边界上电磁 场的切向分量和法向分量。 当s 为包围无限大空间的封闭面，由于这时封闭面外无源，因此，此 封闭面上的积分对观察点的贡献为零。此时，无限远处的电磁场满足有限 性条件和辐射条件。有限性条件要求在离场源甚远处，场量的幅值至少要 按r 。1 减少；辐射条件保证电磁场为向外传播的辐射波。 对于源分布在无限大均匀空间区域中的情况，电磁场仅由源确定。若 观察点所在的区域无源，而源分布在封闭面岛包围的观察点所在区域以外 时，电磁场仅由封闭面上的等效面源确定。 在散射问题中，可以取散射体的表面或包围散射体的适当的闭合面作 为s 面，而将岛面扩展到足够远处，并使场源位于岛面之外。在岛面上， 电磁场可表示为入射场和散射场之和，即 e = e l + e 2 叠= 叠+ 叠s 因为散射场对岛面上的积分没有贡献，对岛面上的积分有贡献的只是入射 场，于是，由( 2 - 2 5 ) 和( 2 - 2 7 ) 得到 e 5 ( i ) = 射s l ( 讲e ( 7 ) ) v g o + ( i 。e ( 硼v g o 一，掣o ( 二x h ( y ) ) g o l 船 ( 2 2 9 ) 曰5 ( i ) = 一g s f ( 甜膏( 芦) ) v 6 0 + ( a 疗( 一) ) v g o + y o ) 8 0 ( h x 云( i 。) ) g o i r i s ( 2 3 0 ) 此处闭合面的法向单位矢量 的j 下方向指向体积矿内( 见图2 2 ) 。可以看 出，要求出散射场，必须求出s 面上的电磁场分布。 为了建立s 面上的电磁场分布，需将式( 2 - 2 5 ) 和( 2 - 2 7 ) 中的场点i 移到s 面上，但此时s 面上的面积分会发生奇异性，因此需要用小球面s ， 包围f 点，并将它一起移到s 面上，如图2 2 所示。计算s 面上的积分时 需将其分为两部分：与s - 相邻的部分和其余部分岛。对小球面积分 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 有 熙钶s ( 蹰尹) ) v g o + ( 抛( i ) ) v g o 一，掣。( 五船) ) c o l a s = 一聃 在f 一f 的极限下，面可视为以f 点为中心的小平面，但由于s l 与岛面 的法向相反，所以有 恕钉是睁即) w o o + ( 触妒) ) v o o 一，毗( 融阳) ) g o i r i s = 聃2 将无穷小面积的奇异性分离出去后，s 面的其余部分为主值积分，式 ( 2 - 2 5 ) 写为 量( 尹) = 2 雷2 ( 尹) + 川。陋妒) ) v - g o + ( 以盼) ) v g o - j c o p o ( 】；i x 雷( 户) ) o o a s ( 2 3 1 ) 相应的磁场积分式( 2 1 4 ) 写为 曰( f ) = 2 t ( i ) + 川。睁觚。) ) v g o + ( 触船) ) v g o + j c o e o ( 五 x 即) ) g o d s l ( 2 3 2 ) 图2 - 2 边界上的场点 式( 2 3 1 ) 即为电场积分方程( e f i e ) ，( 2 3 2 ) 即为磁场积分方程 ( m f i e ) 【2 2 】。根据不同的散射体媒质特性及边界条件，由( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 即可得到不同形式的三维散射场积分方程【2 ”j 。 例如散射体为理想导体的情况，以a 叉乘积分方程( 2 3 1 ) 和( 2 - 3 2 ) 并考虑到在理想导体面s 上电磁场满足边界条件 i 面：0i 厅：0 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 可分别得到如下理想导体散射问题的电场和磁场积分方程 a 置( ，) = 2 h 豆协) + 2 矗毋s f 一( 施( 硼v i g o + j 掣。( 触豆( f ) ) g o d 8 ( 2 3 3 ) a 霄( 尹) = 2 i 豆( f ) + 2 i 坷s f ( a 疗( f ) ) v c o a s l ( 2 3 4 ) 这两个积分方程都含有未知函数7 。= a 露，即导体面上的面电流分 布。方程( 2 2 0 ) 中还含有未知函数 雷，即导体表面的面电荷密度分布。 用面散度的概念将i 雷用工表示，可使电场积分方程( 2 3 3 ) 仅含有一个 未知函数。 为此，我们可以利用如下关系 i 云；上卉v 。疗：一! ：堕! 望：一l v 7 。( 2 3 5 ) j c 0 6 0j c 0 6 0j 8 q 。 于是，理想导体散射问题的电场和磁场积分方程可写为 d 詹 = 去i 坷s 阿五) ) v g o 蛾2 五( p ) g o d s ( 2 - 3 6 ) 五( ，) = 2 五青( f ) + 2 a 珂s 五( f ) v g o a s ( 2 - 3 7 ) 未知函数工可用矩量法展开进行求解。一般来说，对细柱形导体的散 射问题利用电场积分方程易于计算，而对大尺寸的光滑表面导体的散射问 题，则利用磁场积分方程易于计算。 2 ，3 ，2 二维公式 考虑自由空问中一个二维散射体，截面如图2 3 ，产生标量场的源为 ，( 西。散射体外部波函数妒( 刃满足非齐次标量h e l m h o l t z 方程： v 2 ( 卢) + k 0 2 庐( 西= - f ( 动芦q ( 2 - 3 8 ) 此处k 。是波数，q 表示散射体外部横截面，波函数同时满足辐射条件： 扫 掣+ 业。庐( 芦) _ 0p 斗m 印 ( 2 3 9 ) 引入满足非齐次标量h e l m h o l t z 方程的自由空间二维格林函数g o 1 9 ，即 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 v 2 g o ( 5 ，芦) + k 0 2 g 。( 芦，声) = 一占( 芦一声) ro c o ( 5 ，西。) = 一丢( 伊5 1 ) 图2 3 自由空间中的二维散射体截面 ( 2 4 0 ) 在应用自由空间二维格林函数g 0 之前，先引入第二标量格林定理的 二维形式。 图2 4 二维格林定理推导用图 由第一标量格林定理f 2 2 】 r ( 中v 2 甲+ v a p v 甲) d y = 钉s 中v 甲五葫s ( 2 4 1 ) 其中o ，、壬，是在面积s 包围的体积v 中二阶导数连续，边界上一阶导数存在 的标量函数，j 【；是面法线方向的单位矢量。图2 ，4 中，设体积v 由一段波 导构成，包围体积v 的面积s 为波导的横截面s l 、& 和边界面岛。于是， 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 式( 2 - 4 1 ) 的右侧司写为 盯黾中v 甲h d s - 盯丑中v 甲2 d s + j i s 2 0 0 v f 於 当波导段的长度d z 趋近于零时，上式的后两项抵消。式( 2 4 1 ) 写为 j j s ( v r z 甲+ v r 中v r q ) d s = 4 f q - - 豢d l ( 2 4 2 ) 同理也有 i s s ( 、= f v t 2 巾+ v r 甲v r g o ) d s = g 尸等讲 ( 2 _ 4 3 ) 将( 2 4 2 ) 与( 2 4 3 ) 式相减，得到第二标量格林定理的二维形式 s ( 吲。羽2 甲) 棚= 俨筹一巾罢m ( 2 a 4 ) 将其应用至图2 - 3 所示的散射问题时，有 。( v v 2 。一。v 2 甲) 抛= r + r o ( 甲罢一中署) 打 ( 2 - 4 5 ) 令甲= 妒( 卢) 及中= c o ( 多，芦) ，则 i s n 【g 0 ( 芦，声) v 2 驴( 卢) 一烈芦) v 2 6 0 ( k ，芦) 】d q ：如) 鱼警型- g o ( 翮掣妒 q 4 6 将式( 2 - 3 8 ) 两端乘以中= g 0 ( 乃，f ) ，式( 2 4 0 ) 两端乘以甲= ( 芦) ，所得 结果代入( 2 4 6 ) ，并考虑辐射条件使边界r 。上积分为零，得到 f ，嗽力! 兰1 2 ；争盟一g o ( 乃) 重擎 玎+ 盯n g o ( 芦) ( 西m 。 绷伪 o o = j j q ( 芦) 占( 芦一芦) m ( 2 4 7 ) = 妒( 芦) 考虑到格林函数的对称性，交换芦和乃，求得 蛔：加) + 扣( 芦) 亟鬈也一g 0 ( 卯) 塑粤 - ( 2 4 8 ) 。研zc 巩 此处，定义入射波为 ( 西= j f n g 0 ( 芦，芦) ，( 芦) d q