（计算机应用技术专业论文）基于物理的复杂水流图形模拟.pdf

摘要 水流模拟一直是计算机图形学中最具挑战性的研究方向之一。目前，水流模 拟方面研究大多在如何简化n a v i e r s t o k e s 方程方面着手，由于这些方法需要计 算水流每个质点在各个时刻的状态，计算量非常大。对于高坝挑流泄洪这样的复 杂水流模拟，很多学者提出了基于水动力学原理的数值模拟方法，从目前国内外 现状来看，高坝挑流泄洪的图形模拟还很少见。因此，对高坝挑流泄洪的图形模 拟，具有一定的理论意义和实用价值。 论文在分析现有的国内外水流模拟技术的基础上，采用一种新的水流模拟方 法一粒子水平集方法对高坝挑流泄洪进行模拟。在挑流的基本运动模式控制下， 简化挑流运动的n a v i e r s t o k e s 方程，给出了基于粒子水平集方法的挑流运动三 维模拟方法，实现了挑流水舌沿程掺气扩散运动、水舌溅水、气流分离以及雾化 降雨的逼真模拟，并对多股挑流的碰撞进行简单模拟；建立了虚拟的大坝场景， 能从不同的角度对场景中的挑流进行观察。 整个高坝挑流泄洪三维模拟在v c + + 6 0 ，o p e n g l 平台上加以实现。 关键词：复杂水流模拟；高坝挑流泄洪；粒子水平集方法；隐含表面 a b s t r a c t s i m u l a t i o no fw a t e rf l o wi so n eo ft h em o s tc h a l l e n g i n gs t u d i e si n t h ec o m p u t e rg r a p h i c s a tp r e s e n t ，m o s to ff l o ws i m u l a ti o ns t u d yo nh o w t o s i m p l if yt h en a v ie r s t o k e s e q u a ti o n s ， a n dt h e s em e t h o d sn e e dt o c a l c u l a t ew a t e rp a r t i c l e si ne v e r ym o m e n to fe v e r ys t a t e ，t h ec o m p u t a t i o n i sv e r yl a r g e t h es i m u l a t i o no ft h ef l o o dd i s c h a r g eo ft r a j e c t o r yo na h i g hd a mi ss oc o m p l e xt h a tm a n ys c h o l a r sh a v ep u tf o r t ho nt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o nb a s e do nt h ew a t e rd y n a m i c s f r o mt h ec u r r e n ts t a t u sq u oa t h o m ea n da b r o a d ， t h eg r a p h i cs i m u l a t i o no ft h ef l o o dd i s c h a r g eo f t r a j e c t o r yo nah i g hd a mi ss t i l lv e r yr a r e t h e r e f o r e ， t h es i m u l a t i o n o ft h ef l o o dd i s c h a r g eo ft r a j e c t o r yo nah i g hd a mh a sat h e o r e t i c a la n d p r a c tic a lv a l u e t h r o u g ht h ea n a l y s i so fe x i s t i n gd o m e s t i ca n di n t e r n a t i o n a lf l o w a n i m a t i o nt e c h n 0 1 0 9 i e s ，t h i sp a p e ra d o p t e dan e wf l o ws i m u l a t i o n m e t h o d t h ep a r t i c l e1 e v e ls e tm e t h o d u n d e rt h ec o n t r 0 1o ft h eb a s i c m o v e m e n to ft h ed i s c h a r g ew a t e r ，t h i sp a p e rs i m p l i f i e dt h en a v i e r s t o k e s e q u a t i o n so ft h ew a t e r ，o b t a i n e dt h et h r e e d i m e n s i o n a ls i m u l a t i o nm e t h o d b a s e do nt h ep a r t i c l el e v e ls e tm e t h o d ，a c h i e v e dar e a li s t i cs i m u l a t i o n o ft h ed i f f u s em o v e m e n to fat h ed i s c h a r g ew a t e r ，ar e a l i s t i cs i m u l a t i o n o ft h es p l a s h i n go ft h ew a t e rt o n g u e ，ar e a l i s t i cs i m u l a t i o no ft h e s e p a r a t i o nb e t w e e na i ra n dw a t e r ，ar e a l i s t i cs i m u l a t i o no ft h er a i n f a l l o fa t o m i z a t i o n ：a n do b t a i n e das i m p l ea n i m a t i o no fm u l t i w a t e rc 0 1 1 i s i o n a n dt h i sp a p e re s t a b l i s h e dav i r t u a ld a ms c e n e sw h i c hc o u l db eo b s e r v e d f r o md if f e r e n ta n 9 1e s t h et h r e e d i m e n s i o n a ls i m u l a t i o no ft h ef l o o dd i s c h a r g eo f t r a j e c t o r yo nah i g hd a m h a sb e e na c h i e v e di nv c + + 6 o ，o p e n g lp l a t f o r m k e y w o r d ：c o m p l i c a t e dw a t e ra n i m a t i o n ； t h ef l o o dd i s c h a r g eo ft r a j e c t o r y o nah i g hd a m ； p a r t i c l el e v e ls e tm e t h o d ； i m p l i c i ts u r f a c e 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。如有不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) 葺兰臼l 2 0 0 8 年6 月 1 8日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河 海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) 一单扯一 2 0 0 8 年6 月1 8 日 基于物理的复杂水流图形模拟河海大学硕上学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 目前，国内外采用粒子系统对水这种自然现象的模拟已经很是广泛，但现有 的相关研究主要集中在水流效果的表现和可视化实现上，很少顾及复杂水流的物 理机制。现有少数的基于一定物理机理模拟水流形态与可视化的研究，一般也只 是用简化的n a v i e r - s t o k e s 方程来描述相对比较简单的喷泉、波浪及渠道流水 等，高坝挑流泄洪远比这些要复杂，这种复杂性体现在水舌的沿程掺气、水舌与 下游水面的碰撞、溅水区水滴喷溅、多股水舌间的碰撞等，对于高坝挑流泄洪这 样的复杂水流模拟，很多学者提出了基于水动力学原理的数值模拟方法，从目前 国内外现状来看，高坝挑流泄洪的图形模拟还很少见。因此，如何结合复杂的物 理机理与粒子水平集方法来模拟挑流泄洪是一个新的课题，具有很大的挑战性。 高坝泄洪的雾化是大型水电站的一个不容忽视的问题，雾化问题若处理不 当，会对工程安全构成严重威胁。目前相关研究主要集中在用理论计算、物理模 型或原型观测的方法研究泄洪雾化的机理，或用数值模拟雾流的形成与扩散等方 面，而对于如何在泄洪雾化形成机理的基础上，用计算机逼真模拟泄洪雾化现象， 用以直观分析雾化范围及程度等方面基本未涉及。用计算机模拟挑流泄洪不仅可 以节约成本，还可以给研究工作提供诸多理论数据进行直观分析，因而具有现实 意义。本文在借鉴前人的研究成果基础上，基于粒子水平集方法研究挑流泄洪的 复杂物理机制，从而模拟挑流运动和雾化降雨的过程，试图在多股水流相互碰撞 以及雾化流运动方面做些有益的研究。 1 2 国内外研究现状 自1 9 8 3 年r e e v e s 提出粒子系统以来，已有许多利用粒子系统来模拟自然现 象的研究工作。1 9 8 5 年，r e e v e s 和b l a u 利用粒子系统模拟了无定形的、连续可 变的形状。作为自然景物模拟的重要内容，对流水、波浪的模拟正日益引起人们 的关注。有两种比较典型的模拟方法，基于构造的方法和基于物理的方法。1 9 8 6 年，p e a c h y 和f o u r n i e r 等则通过粒子系统模拟风吹波浪和海浪时形成的水花和 基于物理的复杂水流图形模拟河海大学硕_ 上学位论文 泡沫。1 9 8 4 年，a n d e r s o n 等从工程需要出发，基于n a v i e r - s t o k e s 方程准确描述 水流的形态。p e a c h y 和f o u r n i e r 以及a n d e r s o n 等用的就是基于构造的方法， 是用数学函数构造出水波的外形，然后变换时间参数t 。1 9 9 0 年，k a s s 等则以动 画中快速模拟为目标，通过简化n a v i e r - s t o k e s 方程较好模拟了水波。1 9 9 6 年， 国内的徐迎庆等从水力学方程组出发，提出了一个基于物理模型的模拟流水和波 浪的方法，该方法通过求解水力学方程组直接得到流水的形态。k a s s 和徐迎庆 等用的是基于物理的方法，通过求解一组流体力学方程，得到流体质点在各个时 刻的状态。基于构造的方法和基于物理的方法两种方法相比较而言，构造法较为 简单、计算效率较高，但效果比较单调，适用范围较为狭窄，对于不同的流态( 如 海浪、溪流、瀑布等) 必须用不同的造型方法来模拟；物理法的效果比较真实， 适用范围广泛( 不同流态对应的流体方程可以相同) ，但计算起来非常复杂，效 率很低l l 】。 1 9 9 8 年，浙江大学c a d & c g 国家重点实验室的万华根、金小刚等人基于流体 动力学和粒子系统给出了一个模拟实时喷泉水流运动的方法，该方法没有求解复 杂的n a v i e r s t o k e s 方程，而是通过求解n a v i e r - s t o k e s 方程的一个特例，通过将 元球作为粒子，生成真实的喷泉水流视觉效果。但是该方法对于粒子之间的碰撞 仅仅考虑了元球相互靠近时产生变形，进一步靠近时融合在一起时的特性，没有 考虑到水滴相互碰撞时会反弹的特性，并且由于粒子数的增多会对实时性产生一 定的影响1 2 j 。 2 0 0 4 年，c 锄e 西em e l l o n 大学模拟的城市场景，其中的瀑布采用了多种粒 子系统来模拟，表述了不同粒子系统产生的不同效果，还模拟了粒子系统之间相 互发生碰撞时的情况，提供了处理方法。 2 0 0 5 年，天津大学的刘东海等人用粒子系统模拟了高坝挑流泄洪以及雾化 降雨的过程。这是首次在计算机上逼真模拟泄洪雾化现象，具体方法是在挑射水 舌运动方程、水舌掺气扩散模式、水舌碰溅动量守恒方程以及喷溅水滴运动方程 的控制下，提出了基于粒子系统的高坝泄流运动及雾化降雨的三维模拟与可视化 方法，从物理机理上模拟了水舌挑射、水舌掺气扩散以及水舌跌水碰溅的现象， 但是并没有研究基于完全物理特征驱动( 重力、风力等作用下) 的“虚拟泄洪”， 也并未涉及多股水流相互碰撞以及雾化流运动的模拟1 3 j 。 基于物理的复杂水流图形模拟 河海大学硕上学位论文 2 0 0 6 年，s t a i l f o r d 大学在流体的模拟方面比较杰出。他们模拟了很多不同状 态下的液体运动，包括液体与薄细物质接触的运动过程，不同密度的液体相互融 合的过程等。g e o f f r e yi r v i n g ， e r a ng u e n d e l m a n ，f r a n kl o s a s s o a n dr o n a l d f e d k i w 模拟了峡谷中的水流，这是对大量的水的模拟，采用了网格技术和粒子 系统技术【4 1 。 1 3 水流的常用模拟方法 近年来，自然景观的模拟一直是计算机图形学和动画中最具有挑战性的问题 之一，这主要是因为自然景象远比大多数人物造型复杂的多，模拟相对比较困难， 与山、树相比，对水的模拟又更为困难，这是因为水在不同的条件下形态各异， 而且水的图形化显示又有特殊的要求，但随着数值方法和计算机技术的发展，人 们在水流模拟方面的手段也越来越丰富，总的来说，近年来人们在水流模拟方面 所使用的方法大致有三种，基于波的分析，基于粒子的方法，基于物理模型的方 法【5 1 。 基于波的分析方法主要有两类，一类是用类似于正余弦函数来表示水流曲 面，通过角速度、相位和振幅的变化来体现水流的变化，这类仅适合于做静态的 水波图像，另一类是基于小振幅波理论和细胞自动机的模型，采用邻域传播的思 想对水波进行模拟造型，根据小振幅波理论中水波的波形近似长正弦分布的规律 而设计的，不需构造波的波形，根据这一规律构造出不同邻域的水波演变的细胞 自动机模型，效果比较真实。 基于粒子的方法，这一方法并不针对水流的模拟而提出，把模拟的水流看做 是由无数的水滴粒子组成的集合体，通过对粒子的大小、生命周期、速度、质量 等属性进行设计，就可以对每个粒子的不同情况分别处理，可以让某个粒子保留 在集合体中，也可以让某个粒子飞出水面从而形成水花，这与现实中的水流情形 非常接近，是其他方法无法比拟的，但此种方法的缺点是不能模拟作为一个整体 的水波。 基于物理模型的方法，借助物理模型来模拟流体运动，是计算机动画与数值 模拟的结合。该方法的基本思路是首先建立一个合理的物理模型，然后通过求取 物理模型在不同时问点的数值解，得到场景中各元素在每个时间步的状态，以每 基于物理的复杂水流图形模拟河海大学硕十学位论文 个时间步为一个周期对场景进行绘制，这样场景中的各元素在物理规律的约束下 运动，所有的运动状态连续起来便形成水流的运动。该方法能依靠物理模型所蕴 含的流体运动规律自动生成动画，仅需设计好流体运动的初始条件和边界条件就 能够实现。由于人们在计算流体力学方面的充分发展，对各种水流现象的数值模 拟做了大量的工作，取得了极为丰富的成果，使得数值模拟可以模拟更为复杂的 现象，并且可以达到很高的精度，因此把这些计算结果加以可视化，加上计算机 图形学中的真实感处理，就可以达到逼真的水流模拟。 目前模拟流体比较先进的方法就是采用界面追踪技术，水流作为流体的一 种，也可以对其模拟采用界面跟踪的方法，跟踪型方法是对界面上的点进行跟踪， ，y 即设x 位于界面上，用竿= “来跟踪界面，其中甜是界面上的移动速度，而捕 讲 捉型方法是通过一个函数中来描述界面，即自动捕获初界面。一般跟踪型方法 对界面的处理具有高精度的特点，但对大变形难处理，需要较大的存贮量，以及 逻辑关系复杂。而捕捉型方法通过函数自动计算出界面的位置，因而具有处理任 意拓扑结构的能力，但对于计算界面精度是需要关注的，它的主要困难在于对对 流项( “v ) 矽的离散化所带来的数值耗散。 最主要的界面追踪方法是水平集方法，将水平集方法和粒子系统相结合，形 成粒子水平集方法( p a n i c l el e v e ls e tm e t h o d ) 。国内对粒子水平集方法也仅限于 数值模拟的运用，真f 运用于水流的模拟的也就是s t a j l f i o r d 大学。粒子系统对于 普通的水流( 喷泉、涟漪、波浪、雨滴等) 可以实现逼真的模拟，但由于离散的 粒子对于一些复杂水流的模拟存在局限性，无法产生一个光滑的可视的水流表 面，而水平集方法可以隐含的表示动态的界面，但无法对散逸的粒子进行描述的 特点，把这两种方法的优缺点进行互补，能很好的实现水流的模拟。 1 4 本文主要研究内容及成果 本文主要研究挑流泄洪场景中的挑流运动的模拟，采用一种新型的方法 粒子水平集方法模拟挑流运动。在挑流的基本运动模式控制下，简化挑流运动的 n a v i e r s t o k e s 方程，提出了基于粒子水平集方法的挑流运动的三维模拟与可视 化方法，实现了挑流水舌沿程掺气扩散运动、水舌溅水、气流分离以及雾化降雨 的逼真模拟，为工程人员提供了一个可视化的设计与决策环境，并为进一步研究 基于物理的复杂水流图形模拟 河海大学硕士学位论文 “虚拟泄洪 提供理论基础。本文也对多股挑流的碰撞进行模拟，由于没有找到 合适的水流碰撞的数值模拟方程，因此就在模拟过程中对水流的碰撞只做了相应 的简单物理运动处理。 本文的创新点在于采用粒子水平集方法模拟高坝挑流泄洪。天津大学在 2 0 0 5 年实现的粒子系统方法模拟泄流和雾化降雨运动是分割了挑流的运动，对 挑流运动不同的过程建立相应的粒子系统从而实现逼真模拟，缺乏整体性。用粒 子水平集方法实现的挑流泄洪不必根据挑流运动的不同过程划分粒子系统，可以 使用隐含表面把水滴粒子的运动串接起来，使得挑流运动的模拟更为平滑，真实 感更强。同时，该方法也可以对水滴粒子运动和水流的形状进行跟踪，为“虚拟 泄洪 的研究提供数据支持。粒子水平集方法在进行复杂水流的模拟的时候，主 要的难点在于表示水流表面的隐含表面的构造、水平集方程的输移以及粒子的输 移。这些难点的解决在第四章中有详细的讨论和描述。 1 5 本文的组织结构 本文共有5 个章节组成，这5 个章节分别是这样安排的： 第一章绪论。介绍了本文的研究背景，现有水流的常用模拟方法，国内外 研究现状以及本文的研究内容和成果。 第二章复杂水流的物理模型。介绍了流体的物理模型，讨论了在不失真的 情况下简化挑流各个运动过程的数值模拟方程，得到符合本文的物理模型。 论文的重点是第三章和第四章。 第三章水流模拟的粒子水平集方法。本章是对粒子水平集方法的详细阐 述。首先介绍水平集方法，然后以此为铺挚，着重讲述粒子水平集算法的原理， 分析粒子水平集方法并给出实现步骤。接着分析说明粒子水平集库，对库中的主 要模块进行详细分析，并按照算法给出伪代码。通过分析讨论，最后得出粒子水 平集方法模拟水流的运用和算法流程以及一个普通水流模拟的实例。 第四章基于粒子水平集方法的复杂水流模拟。本章从图形学的角度，先简 要介绍挑流的模拟流程并指出难点所在，接着对挑流泄洪的各个过程模拟的具体 实现进行分步骤描述，把难点在对每个过程所使用的数据结构和实现的关键点进 行解释的过程中进行解决，并显示出每一步的实验结果，然后进行分析，得到整 基于物理的复杂水流图形模拟河海人学硕上学位论文 个实验的模拟效果。 第五章总结与展望。对本文的工作进行了总结，并与以往的方法进行比较， 显出优势，并对今后应该展丌的工作做了展望。 基于物理的复杂水流图形模拟 河海大学硕士学位论文 第二章复杂水流的物理模型 目前，在流体力学中，运用高等数学，采用理论分析方法研究流体的平衡与 机械运动规律，建立流体运动的力学模型即n a v i e r s t o k e s 方程组，简称n s 方 程组，方程组包括连续性方程和动量方程等。对于不同的流体，根据其流动特性， 可采用不同的假设和流动条件化简n s 方程组，得到不同版本的n s 方程组。对 于不可压缩的流体可得到不可压缩的n s 方程组，对于无粘性的流体可得到无粘 性的n s 方程组。由于高坝挑流泄洪的流体力学方程比较复杂，每个方程都有相 应的制约因素，在简化的时候要讨论对应的简化条件以及简化后是否会产生失 真，因此，在本章的论述中就着重论述复杂水流挑流泄洪的力学模型，即挑 流运动的n a v i e r s t o k e s ( n s ) 方程组，并根据挑流的物理机理简化n s 方程， 得到适用于计算机模拟的挑流泄洪方程组。 2 1 流体的物理模型 挑流泄洪是一种无粘性的、不可压缩的流体，因此在下面的描述中均仅显示 无粘性的、不可压缩的流体方程【7 1 。 2 1 1 质量守恒方程 质量守恒方程亦称为连续性方程，因为这个方程是从质量守恒定律出发推导 而得的，它表达了任何可能存在的流体运动所必须满足的连续性条件，即质量守 恒条件。对于不可压缩流体，质量守恒方程为 v 甜= o( 2 1 ) 其中“为流体速度，v = ( a 舐，a 钞，a 瑟) 为散度算子。 2 1 2 动量守恒方程 动量守恒方程，由牛顿第二定律即动量守恒定律推导而得。对于无粘性流体， 动量守恒方程为 詈忡v 胪厂一吉即 2 ) 基于物理的复杂水流图形模拟河海人学硕士学位论文 这就是著名的欧拉( e u l e r ) 方程，由理论流体力学的奠基人于1 7 5 5 年推导 得出。式中甜为流体速度，v = ( a 苏，a 砂，a 色) 为散度算子，p 为流体密度，p 为压力。 2 2 挑流泻洪的物理模型 在水动力学中，挑流消能是高水头泄水建筑物的主要消能方式之一，具有工 程结构简单、经济合理的优点。坝下游的雾化是指水舌在空中掺气、扩散和水舌 入水时溅水所形成的雾流【8 1 。这种雾流在气流和地形条件作用下，在局部地区产 生一种密集雨雾现象，按其形态可大致分为水舌溅水区、强暴雨区、雾流降雨区 和薄雾大风区。其雾化流的运动状态，可概化为图2 1 所示的模式。 l j ( )i i ( 0 ) 图2 一l雾化运动状态概化图 由上图可知，概化后的挑流泄洪分为水舌掺气运动、溅水影响区、气流分离 区、雾流输运扩散四个部分。以下为分述： 2 2 1 水舌掺气运动 水舌掺气扩散是指高速泄流时，在溢流坝面或陡槽中的水流可能已经开始掺 气，但更多的是水舌在空中扩散掺气，因此，文中的水舌掺气扩散运动是指水舌 在空中扩散掺气，即水舌出挑坎后的运动过程。水舌出挑坎后，在重力和空气阻 力的作用下呈抛射运动，在空中逐渐分裂、扩散、部分水舌形成气水混合流。如 图2 - 2 所示。 基于物理的复杂水流图形模拟河海大学硕士学位论文 水舌的掺气量是雾化的主要雾源之一。以自由抛射体理论为基础，若认为水 舌掺气主要是受重力和空气阻力的作用，并假设水舌过水断面为矩形，以射流出 口断面的中心为原点建立坐标系，铅垂方向为y 轴，沿下游射流方向为x 正轴， 则水舌运动轨迹方程可表示为【8 】： 卜纠卜砌锄岛一扣似) 舞 ( 2 3 ) 式中( x ，】，) 表示断面位置，岛为水舌初始挑角，u 。出坎时断面平均流 速，g 为重力加速度，k 为反映掺气及空气阻力影响的修正函数， k = 矗等愕t a n 岛等+ 去器 等 2 c ， 3 属c o s 岛乩l甜；”风1 0 “；c o s 2 岛l风 i 式中成为断面平均含水浓度，风为射流半宽，c ，为( x ，l ，) 位置的含气浓 度。如以 耻黄 q _ 5 ) 表示水舌出挑坎时的佛汝得数，以厶表示挑坎末端与下游水面高差为丛时水舌 厶= 警+ t + 9 ( 2 _ 6 ) 基于物理的复杂水流图形模拟 河海人学硕j ：学位论文 并定义无量纲量 卢：量 ! 凰焉c o s 岛 则得考虑掺气及空气阻力影响的水舌挑距三为 = 厶1 - 三生笠f 6 屈s i n 皖7 2 2 2 水舌溅水影响区的确定 2l 一手s i n 岛+ 0 1 孝2 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 当水舌出挑坎后，表面掺气和扩散，纯水的水舌核逐渐减小，掺气部分逐渐 加厚，水舌到达下游入水点时，水舌外缘基本上成为碎裂的掺气水块，因而水舌 入水形态，大致可以分为两种：( 1 ) 水核部分，以跌水的形式进入下游水垫面， 并在两侧形成漩涡；( 2 ) 水舌外缘的破碎水块，由于水体具有较强的压弹效应， 而不完全进入下游水挚面，大部分反弹成为溅激水块向下游抛射，而且在高速水 舌风的作用下，进一步破裂成溅水水滴，水滴向四周抛射形成溅水区。因此，溅 水可看成是水滴在水舌风作用下，成反弹溅抛运动，其主体类似于质点的斜抛运 动。图2 - 3 即为水滴反弹示意图。 u ( i ) 入水 u ( s ) ， 反弹 图2 _ 3 溅水水滴反弹 水舌入水时将引起局部地区大量的溅水，其溅激水块运动，可近似看成是弹 性刚体在一定的水舌风作用下做斜向抛体运动。由于斜抛射角与平面方位角都不 是定值，因而溅抛的影响范围，实际足水舌入水点以后的一块平面区域，显然此 影响区域似大雨倾盆，是雾化影响范围最大的地方。如图2 _ 4 所示。 水跌 、 丫， t yy、 够。 ，p、 基于物理的复杂水流图形模拟 河海大学硕七学位论文 、 溅水 河床 图2 _ 4水舌溅水影响区 在水动力学中，一般近似认为溅水是掺气水块的反弹斜抛运动8 1 。根据动量 守恒原理，得到水块的反弹抛射速度为： u 。：坐巡珥 ( 2 _ 9 ) 5 2 c o s ， 式中p 为虚拟耗散系数，、厂分别为水舌入水角和反射角；u ，、分别为反弹 速度和入射速度。y 、p 可由试验确定。 根据现有的数值模拟结果，在考虑水舌风对溅水水滴溅抛运动影响的情况 下，溅水影响范围的计算式【8 】为： 纵向距离： 溅水横向宽度： l = 旦殳号；兰兰- ( “一“。c o s 7 ) s i n y + 可1 i 歹；面 ( 2 1 0 ) g l 。 2 2 3 气流分离区的确定 d ：q ：! ! ! ；! 旦! 兰 g ( 2 一1 1 ) 由于一般大坝均处于狭谷中，泄流时常有山区狭谷风出现，形成越坝的大气 上游来流，另一方面由于坝面溢流和水舌高速抛射，带动周围的空气形成水舌风。 上游大气来流和水舌风迭加，在坝后产生气流的越坝绕流，但因其上下边界的气 流速度都较大，坝后不产生分离漩涡，其气流速度沿断面的分布，从上到下由大 到小，再由小到大，即由大气来流速度逐渐减小，到水舌风开始影响处，速度再 逐渐增加，最后达水舌风的速度。随着水舌的起挑上抛，气流场受到挤压，气流 速度加大，水舌抬升最高处，可能出现速度最大值。水舌下坠段，水舌风因水舌 、_ 一、，。 一 一 、 基于物理的复杂水流图形模拟河海大学硕十学位论文 下坠入水失去原有的发展边界，气流在强大的惯性作用下，产生分离现象，在此 区域内，气流紊动强烈，并伴有周期性旋涡脱落，从而阻碍了雾流向下游迅速扩 散，雾流在气流紊动作用下碰撞、合并，并在重力影响下汇集成暴雨，形成强暴 雨区。如图2 5 所示。 、 “，、 一、 图2 5 气流分离 根据水动力学的相关知识，由水舌运动轨迹得到水舌的最大抬升高度为： ：地 ( 2 1 2 ) 1 ，= = _ 一 l 2 一i zj 伯“ 2 船 一 式中目为水舌挑角，七为空气阻力影响系数，u 。出坎时断面平均流速，g 为重力 加速度。 分离漩涡区的纵向尺度为： 三= 口( 。+ a ) ( 2 一1 3 ) 式中口为挑坎距下游水位的距离，口= 2 。4 0 。 2 2 4 雾流输运扩散 大气越坝绕流区以后，雾流的影响范围，主要由雾流本身的输运扩散特性所 确定。若水舌入水点处为雾源，在其近区，水滴与气流尚未充分混掺，在密度差 和重力的作用下，形成雾化降雨。在其选区，水气己充分混掺，类似于一般的充 分混掺的污染物扩散，但仍旧受水舌风的影响，因而形成薄雾区，即大气湍流携 带大量的水滴微粒飘散成雾。如图2 “所示。 基于物理的复杂水流图形模拟 河海大学硕士学位论文 ，| r 一一一一 ，一一一 ，。雾流 ，一一一 。 ，一一 ，j j ，：- 一一 一j _ ，_ ，j j ：- 一二、 ? o j 。赢j j 姒，j 、 图2 _ 6雾流输运扩散 雾流的抬升轨迹方程为 z ：巨兰墨x 一；墨! 二! 私z 必 ( 2 1 4 ) 以【- l + r c o s 口 甜2 ( 1 + 尺c o s 口) 2 j 式中r ：竺为抬升速度比，缈：冬，甜为雾流水平速度，近似取来流速度 u ，c = 玩，为喷射常数，口7 o 。 2 3 简化的数值模拟模型 完整的流体动力学方程组描述了流体最一般的运动特征，包括质量守恒方 程、动量守恒方程和能量守恒方程，完整的方程组比较复杂，不太适合水流动画 的模拟，因此要对上述数值模拟的模型加以简化，使得挑流的各运动过程能在保 证实现模拟效果的基础上尽量不失真。 2 3 1 水舌掺气运动 以射流出口断面的中心为原点建立坐标系，铅垂方向为y 轴，沿下游射流方 向为x 正轴，z 轴以正手法则确定。 水舌沿程断面的平均速度计算参考文献【9 1 ，根据参考文献【8 1 的实验证明，不 考虑掺气及空气阻力的影响，计算所得的理论挑距与实测挑距的差异并不影响模 拟效果，因此本文为使控制方程简单，挑流水舌出坎后沿程速度计算时不考虑掺 气及空气阻力的影响，即水舌以自由抛射体计算，则沿x ，z 向的水流速度为： u ，= u oc o s 岛，u ：= u os i n 岛一 ( 2 1 5 ) 同时，由于掺气扩散，水舌在空中的宽度和厚度不断增加，沿程水舌宽度为 b = b o + 2 x t a n 口 ( 2 1 6 ) 基于物理的复杂水流图形模拟河海大学硕上学位论文 式中b 。为出坎时的水舌宽度，口在文献8 1 中取值为2 。4 0 。 沿程水舌厚度为： h = h o ( 2 1 7 ) 水舌运动轨迹即可由上述三个方程2 1 5 ，2 1 6 ，2 一1 7 描述。 2 3 2 水舌溅水影响区的确定 在2 2 2 节中的溅水水滴的公式2 9 进行简化时，由于浮力对溅水水滴的影 响较少，一般忽略不计，因此根据参考文献【8 1 的经验公式得到水舌溅水水滴的溅 抛初速度为： u 。：o 7 7 5 型甜。，取水舌风速甜：三 ( 2 1 8 ) c u s 7 j 其中溅水反射角 7 = 1 3 6 2 ，适用范围3 0 。 0 的域， 逃逸的负粒子去重建 o 的域和逃逸的f 粒子为例，将网格单 元内包含的所有粒子，对每一个粒子采用式3 - 9 计算每一个单元8 个网格点的。， 每一个p 与该点的比较，取最大值为+ 。因此对给定的，就存在逃逸正 粒子域e + ，于是取 1 9 基于物理的复杂水流图形模拟河海人学硕七学位论文 类似有 o + = m a x ( p ，+ ) 印正+ 一= m i n ( i ，一) p 出+ ( 3 一1 0 ) ( 3 1 1 ) 由于粒子修正水平集函数的引起的误差和插值等误差使+ 、一不会一致， 取最小值重建界面。对每一个界面附近网格点巾值为 f + = i 一 l h h 川 h 3 2 4 重新初始化和粒子重置 ( 3 一1 2 ) 由于粒子水平集方法依赖于近似的符号距离函数，首先采用式3 5 重新初始 化水平集函数。然后用粒子方法确定和修正重新初始化水平集函数时造成的误 差。在计算中，粒子也在输移，在界面平滑的区域，粒子被吸引在界面很近的位置， 而在界面扭曲很大的区域，粒子可能逃离界面很远，这时需要去除这样的粒子。有 时由于界面扭曲可能使一些区域粒子数减少，需要增加一些粒子，也可能一些区 域粒子集中，而其他区域粒子疏散，此时需要对粒子重置。 3 2 5 粒子水平集方法求解步骤 粒子水平集方法的求解步骤： ( 1 ) 初始化，初始化所要求的物理量、距离函数( x ，0 ) 和粒子信息 ( ，o ，“( ) ) 。假设乙时刻的值均己知。 ( 2 ) 求解水平集方程3 2 和粒子输移方程3 - 9 。 ( 3 ) 用粒子修正水平集函数。 ( 4 ) 重新初始化。 ( 5 ) 再用粒子修正水平集函数。 ( 6 ) 对粒子重置。 ( 7 ) 求解物理量的控制方程。结合( 墨乙+ ) 的值，求解物理量的控制方程， 得到f 川时刻的物理量的值。在( x ，o 。) 变号的地方( 即界面) 进行特殊处理。 ( 8 ) 重复( 2 ) ( 7 ) ，进入下一时间步的计算。 2 0 基于物理的复杂水流图形模拟河海大学硕十学位论文 3 2 6 粒子水平集方法运用要点 根据上面3 2 1 节- 3 2 5 节所述，粒子水平集的实现首先是，水平集用直角 坐标网格表示，表面定位在零等势面上，粒子在表面的绑定带上( 表示水流表面 的水平集网格) 初始化。然后对于每个时间步： ( 1 ) 以速度作为输入，并用于决定一个c f l ( c o u r a j l t f r i e “c h s l e v y ) 时 间步。 ( 2 ) 速度通过快速一阶的半拉格朗r 方程用于输移水平集， ( 3 ) 速度通过砌( 2 时间合并用于粒子输移。 ( 4 ) 在接口上使用粒子进行误差修正。 ( 5 ) 用快速匹配算法重新初始化网格。 ( 6 ) 由于快速匹配算法会影响接口的位置，故再次使用粒子进行误差修正。 ( 7 ) 必要时进行粒子的重新初始化。 3 3 粒子水平集库 c a l i f o r n i a 大学的e m u d 和p e t r o s 创建了一个粒子水平集库，该库提供了 粒子水平集方法的黑匣子功能，用户只需设置水平集输移的速度域就可得到输移 后的粒子水平集，从而可以显示各个时间步的粒子水平集状态。 3 3 1 粒子水平集库的主要模块介绍 本文所使用的粒子水平集库包含l e v e l s e t 、p a n i c l e s e t 、p 硼i c l e 、f a s t m a r c h 、 c o m a i n e r 五个主要模块。其中l e v e l s e t 表示一个三维的水平集，该类的输入值 为网格的尺寸和单位网格的尺寸，可以实现水平集的初始化、修正、误差修正、 重新初始化、线性插补、三次插补、对逃逸的正负粒子分别修正、求梯度等功能； p a n i c l e s e t 类表示那些在水平集中用于误差修正的一系列粒子，其输入也是网格 的尺寸和单位网格的尺寸，实际使用的时候把粒子存储在列表中，而不需在每个 单位网格中跟踪各个粒子，包含更新粒子、关联粒子等功能；p a n i c l e 类表示粒 子信息，其输入为带有网格信息的粒子位置、粒子中心距离隐含表面的指定距离、 网格单位尺寸值的相反数，每个粒子的信息有它在网格中的位置值、标记( 正或 负的粒子) 以及半径，粒子半径有一定的区间范围，这在前面章节中已经详细介 基于物理的复杂水流图形模拟河海大学硕卜学位论文 绍了，这罩就不赘述，p a n i c l e 类的功能模块有更新粒子、为粒子做标记、设定 粒子半径、获取粒子位置等；f a s t m a r c h 类用于重置从接口到指定距离的网格信 息，输入网格的尺寸和单位网格的尺寸，此类包含它自身特有的f m c o n t a i n e r 类 型的网格和额外的两个列表c l o s e p o i n t s 与as e c o n dl i s t ，c l o s e p o i n t s 存储一系列 邻近点的初始值，as e c o n dl i s t 存储指定最小距离的堆的值，f a s t m a r c h 类首先第 一次重置所有负标记距离值，再没置所有正标记距离值，具有设置和重新初始化 网格的功能：c o n t a i n e r 类是粒子水平集库的组织者，它负责把其他相关的类串 接起来形成粒子水平集库的黑匣子功能，现在把该类的主要功能模块修正部 分的伪码解释如下： v o i d c o n t a i n e r ：u p d a t e ( ) g e t v e l o c i t ) ，( ) ；初始化速度域 l s e t u p d a t e ( g r i d ，d t ) ；初始化水平集 p s e t u p d a t e ( g r i d ，d t ) ；初始化粒子 l s e t f i x ( p s e t ) ；在水平集上种植粒子 l s e t r e i n i t i a l i z e ( ) ；重新初始化水平集 l s e t f i x ( p s e t ) ；误差纠正 误差修正后对拓扑结构变化比较大的表面上的粒子执行的操作 p s e t r e s a m p l e ( 1 s e t ) ；重塑粒子 c o u m + + ； i f ( c o u n t 2 0 = = o ) p s e t r e s e e d ( 1 s e t ) ；重植粒子 3 3 2 粒子水平集库的补充说明 粒子集把所有粒子存储在一个表中，而不是在每个网格中跟踪每个粒子。另 外值得注意的是粒子水平集库使用的一些全局变量包含各个方向上的网格尺寸、 粒子半径的取值范围、半拉格朗同合并法范围和重新初始化的取值范围。当然， 单位网格的尺寸可以变化，但是必须保证各个方向上的单位网格尺寸一致。 基于物理的复杂水流图形模拟河海人学硕士学位论文 ( 1 ) 网格结构( g r i ds t r u c t u r e ) 粒子水平集库的网格模块用于表示三维的直角坐标网格，水平集使用了这种 三维的直角坐标网格，并用一个一维数组来存储网格模块的信息。除了一些传统 的操作，库中的网格数组中有一个单位的缓冲网格用于简化边界查询，对于不同 的绑定条件还可以进行设置。流体定义采用的是m a c 类型【1 2 】，因此与质量相关 的量( 密度、压力等) 应定义在网格中心，但是具体实现时，表示水平集的值 存储在每个单位网格的顶点上。 ( 2 ) 粒子集( p a r t i c l e s e t ) 对于各个粒子的产生有一些值得注意的地方：首先，当单位网格的任何一个 顶点到隐含表面的绝对距离大于单位网格边长的两倍时，粒子置于该网格中；其 次，粒子水平集库本身并不产生正粒子和负粒子，一旦确定某个单位网格在水平 集网格的范围里，粒子就随机地分布在该单位网格中。粒子本身就可以用来跟踪 确定它们自己是里面( 一1 一i n s i d e ) 的粒子或是外部( 1 o u t s i d e ) 的粒子，这在 粒子产生点产生粒子的时候根据值就可以被设定；最后，当单位网格的任何一 个项点到隐含表面的绝对距离小于单位网格边长的一半时，对许多粒子来说该单 位网格被记录两次，因此这些粒子在误差检测的时候将会变得更关键。 ( 3 ) 插值( i n t e r p o l a t i o n ) 由于水平集函数在三维的直角坐标网格上存储数据，因此需要在网格结点之 间使用插值方法来确定表面的实际位置。尽管三线性插值( t r i l i n e a r i n t e r p 0 1 a t i o n ) 对于大多数模拟来说已经足够，但是该库还是采用单调三次插 值法( m o n o t o n i cc u b i ci n t e r p o l a t i o n ) 进行插值。在对四个点围绕的点进行 插值的时候，假如这四个点不是单调的，则标准的三次插值( c u b i c i n t e r p 0 1 a t i o n ) 不能覆盖所有的数据，单调三次捅值法在插值前强制这四个点 必须是单调的，这在确定值的时候提