（固体力学专业论文）含双裂纹载流薄板外载荷作用下电热止裂的研究.pdf

摘要 摘要 金属作为现代工业应用的主要材料，在航字、航天、交通运输等各种 轻重工业的机械设备中得到了广泛的应用。金属材料在使用过程中由于种 种原因会产生裂纹，裂纹存各种因素作用下扩展从而造成严重的断裂破坏。 如果能够有效的防止裂纹继续扩展，则可以延长金属制品的寿命，避免突 然破坏带来的灾难。利用电热效应原理对带有裂纹的载流薄板进行裂纹止 裂，是延长金属制品的工作寿命、提高工作的安全性、可靠性的一种行之 有效的方法。 通过理沦计算和实验观察表明，在含有裂纹的金属薄板中沿一定方向 通入瞬间电流，载流薄板中裂纹尖端附近由电流绕流形成的热集中效应能 够熔化裂尖附近小范围的金属，形成焊口，钝化裂尖，显著地减少了应力 集中，可遏制裂纹的扩展。 本文研究了带有两个共线裂纹载流薄板在外载荷作用下实施电热止裂 时的温度场以及应力场，计算了由裂尖点热源产生的热应力强度因子。首 先采用复变函数的方法对温度场进行了求解，利用裂尖处的点热源效应可 以计算出热应力强度因予，通过与外载荷作用下的应力强度因子进行叠加 从理论上验证了电热止裂的可行性：采用复变函数的方法，利用温度场的 结果，对裂纹尖端附近的应力场进行了计算；通过算例，讨论了温度场及 应力场与裂纹尺寸及电源功率的关系，并应用有限元软件a n s y s 作了数 值模拟计算；最后通过z l 一2 实验装置，对带有两个共线裂纹的载流薄板 在外载荷作用下的电熟止裂进行r 实验，并与理论计算和数值模拟的结果 进行了对比，结果表明三方面结果有较好的吻合。证明了电热止裂是种 有效的、有实际应用价值的止裂技术。 关键词复变函数：载流薄板；热应力强度因子；点热源；温度场；应力场 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t a st h em a i nm a t e r i a lu s e di nt h em o d e r ni n d u s t r y , l h em e t a li sw i d e l yu s c d i n a l lk i n d so f l i g h ta n dh e a v yi n d u s t r ym e c h a n i c a le q u i p m e n t ss u c ha sa v i a t i o n ， s p a c et l i g h ta n dt r a n s p o r t a t i o n t h ec r a c k sw i l la p p e a rd u r i n gt h en l e t a ls t u f f b e i n gu s e db ya l lk i n d so f r e a s o n ，l f t h i sp r o b l e mc a l lb es e t t l e d ，t h el i f e s p a no f m e t a lp r o d u c t sw i l lb ep r o l o n g e de n dt h ed i s a s t e rc a u s e db ys u d d e nf r a c t u r e w i b ea v o i d e d t h es o l u t i o no fc r a c kp r e v e n t i o nb ym e a n so fe l e c t r o h e a t e f f e c tt h e o r yi sa ne f f e c t i v en l e a s e r eo f p r o l o n g i n gt h el i f e s p a na n di m p r o v i n g t h es e c u r i t ya n dr e l i a b i l i t yo ft h em e t a lp r o d u c t s h r o u g ht h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o n sa n de x p e r i m e n t a ls t u d i e s ，i ts h o w st h a t w h e ns e n d i n gat r a n s i e n te l e c t r i cc u r r e n td o w nt h ep l a t ew i t hc r a c k sa l o n g c e r t a i nd i r e c t i o n ，as m a l lr a n g eo fm e t a ln e a rt h ec r a c kt i p sw i l lb em e l t e db y w a yo fh e a t - c o n c e n t r a t e de f f e c ta st h er e s u l to fe l e c t r i cc u r r e n tw i n d i n go nt h e t i p si nt h ec u r r e n t - c a r r y i n gp l a t e t h e nas m a l lw e l d e d j o i n te s nb ef o r m e da n d t h ec r a c kt i p sc a nb eb l u n t e d t h ec r a c k sw i l lb ep r e v e n t e df r o me x t e n d i n g 0 r s t r e s sc o n c e n t r a t i o nb e i n gr e d u c e dr e m a r k a b l y i nt h i sp a p e r , t h et e m p e r a t u r ef i e l da n ds t r e s sf i e l di na c u r r e n t - c a r r y i n g p l a t ew i t ht w oc o l l i n e a rc r a c k su n d e rt h ea c t i o no fl o a d i n gw h e nc a r r y i n go u t t h ee l e c t r o h e a tc r a c kp r e v e n t i o nt e c h n o l o g yw e r es t u d i e d t i l et h e r m a ls t r e s s i n t c a s i t yf a c t o rw a sc a l c u l a t e dw h i c hw a gf o r m e db yc r a c kt i pp o i n th e a ts o k l r r g e a tf i r s t ，t h et e m p e r a t u r ef i e l dw a sg i v e n u s i n gc o m p l e xf u n c t i o na n a l y s i s s o l u t i o nt h et h e r m a ls t r e s si n t e n s i t yf a c t o re a r lb eo b t a i n e du s i n gt h ep o i n t h e a ts o u r c ee f f e c to nt h ec r a c kt i p t h r o u g ha d d i n gt h et h e r m a ls t i e s si n t e n s i t y f a c t o rl ot h es f f e s si n t e n s i t yf a c t o rc a u s e db yt h el o a d i n g ，t h ef e a s i b i l i t yo ft h e e l e c t r o h e a tc r a c kp r e v e n t i o nc a l lb ep r o v e df r o mt h e o r y a d o p t i n gc o m p l e x f u n c t i o na n a l y s i ss o l u t i o na n du s i n gt h et e m p e r a t u r ef i e l dc o n c l u s i o n ，t h es t r e s s i i - 摘要 f i e l dn e a rt h ec r a c kt i pw a sc a l c u l a t e d a sa ne x a m p l e ，t h er e l a t i o n s h i p so f t e m p e r a t u r ea n ds t r e s sf i e l d w i t l lc r a c kd i m e n s i o na n de l e c p o w e rw e r e d i s c u s s e d m o r e o v e r ，t h et e m p e r a t u r ef i e l da n ds t r e s sf i e l dw e r es i m u l a t e db y f i n i t ee l e m e n ts o f t w a r ea n s y s a tt h ee n do ft h i sp a p e r , u s i n gz l 一2 e x p e r i m e n t a lu n i t ，t h ee x p e r i m e n te l e c t r o h e a t c r a c kp r e v e n t i o nu s e di na c u r r e n t c a r r y i n gp l a t e 、i t l lt w oc o l l i n e a rc r a c k su n d e rt h ea c t i o no fl o a d i n gw a s c a r r i e do u ta n dt h ee x p e r i m e n tr e s u l t sw e r ec o m p a r e dw i t ht h er e s u l t so f t h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o n sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n i ts h o w e dt h a tt h r e ea s p e c t s v a l i d a t e de a c ho t h e r , p r o v i n gt h a tc r a c kp r e v e n t i o nb ym e a n so fe l e c t r o - h e a t e f f e c tt h e o r yi sa ne f f e c t i v ea n dh a v i n gp r a c t i c a la p p l y i n gv a l u et e c h n o l o g y k e y w o r dc o m p l e xf u n c t i o n ；c u r r e n t c a r r y i n gp l a t e ；t h e r m a ls t r e s si n t e n s i t y f a c t o r ；p o i n th e a ts o u r c e ；t e m p e r a t u r ef i e l d ；s t r e s sf i e l d i i i - 第1 章绪论 1 1 课题背景 第1 毫绪论 随着宇航和航空工业的飞速发展，高强度合金的使用量越来越大，高 强度合金具有强度与质量密度比值高的优点，但是，绝大部分高强度合金 却比较脆，容易产生裂纹，导致断裂。金属是各种轻重工业机械设备中不 可缺少的材料，金属材料在使用过程中由于种种原因会产生裂纹，因此， 如何才能有效的防止断裂已经成为当前急需解决的研究课题之一。通过众 多科学工作者长时间在金属裂纹研究上进行的大量工作，无论在理论上， 还是在实践上都取得了一定的进展，建立起了系统的断裂理论，不但能够 检测到裂纹的存在，而且还得到了一些制止裂纹扩展的方法，其中包括【l o 】： ( 1 ) 大幅值的弹性压力场的建立。用纯机械方法得到的这种场可以使 具有任何扩展速度的裂纹止裂。 ( 2 ) 使裂纹变钝。在静态机械处理的方法中，通常采用钻孔法。它在 预防板材裂纹扩展的实践中得到了广泛的应用。这种方法是用增加裂纹尖 端的半径、降低应力集中来遏制裂纹扩展的。 ( 3 ) 载荷和破坏系统弹性势能的松弛。即松弛所有的弹性场，使裂纹 尖端处的塑性变形区吸收弹性应力的能量来遏制裂纹的扩展。 ( 4 ) 在裂纹传播的路径上设置障碍。可阱是宏观的，也可以使微观的： 可以是夹杂、缺陷、断层、焊缝、中间层、复合层等。 ( 5 ) 借助于其它裂纹组来遏制裂纹的扩展。这要求其它裂纹组中的裂 纹分布要足够的密集，并且相互独立又特殊地相互制约着。 ( 6 ) 用分叉的方法来迢铋裂纹的扩展。高速扩展的裂纹往往是不稳定 的。常常具有倾斜的趋向，使裂纹主干的方向发生变化并降低惯性。若裂 纹扩展时容易分叉，使能量分散、速度降低到停止的程度，便可以达到遏 制裂纹扩展的目的。 燕山大学工学硕士学位论文 热磁弹性理论是专门研究电磁场、温度场同机械场的耦合的。热磁弹 性理论的产生，对于处在高温高压和强电场作用下的结构及结构元件的强 度与可靠性分析，具有非常重要的意义。热弹性理论是将物体的弹性和热 传导结合在一起讨论温度场和机械场相互耦合的理论，这是自然界各物理 场枢互作用的一个古典例证；蔼热磁弹性将囊括经典的弹性理论、热传导 和电磁场理论，且用以解决位于磁场中考虑热作用下的导电体弹性变形及 运动的一些问题，即解决温度场、机械场和电磁场相互作用和相互影响问 题。一方面，热磁弹性理论的逐步形成，给利用电磁热效应进行裂纹止裂 方面的研究带来了新的有效途径p l ，但目前仍处于起步阶段【4 】，国内尚属 空白；另一方面，随着科技的进步和工业技术的发展，人们日益认识到延 长日常生活、生产品寿命，提高工作安全可靠性的重要。2 0 世纪8 0 年代 初，美国众淀员科技委员会委托国家标准局进行了一次关于断裂所造成的 损失的大型综合调查。1 9 8 3 年，在国际断裂杂志上发表了调查委员会 给国会的报告。报告指出，断裂使美国一年损失1 1 9 0 亿美元，占1 9 8 2 年 美国国家总产值的4 【5 1 。作为热磁弹性理论及应用研究的一个分支，利用 电磁热效应来遏制裂纹的扩展，与以上介绍的几种方法比较，具有一定的 优越性。对于带有裂纹的导体材料，利用强大的电流或超强度电磁场的作 用，遏制快速扩展的裂纹具有广泛应用的可能性。自从电磁热效应能够止 裂的现象被发现，考虑到其广泛的应用前景，人们便开始通过不同途径研 究探讨这个问题，但应用复变函数法分析这个问题国内外几乎没有，本课 题组就是采用这种方法对带有裂纹的导电薄板实施裂纹止裂技术进行了分 析研究。 1 2 电磁热效应裂纹止裂技术发展概况及研究现状 1 2 1 电磁热效应裂纹止裂技术发展概况 电磁热效应裂纹止裂技术是2 0 世纪七、八十年代出现的新生事物。作 为磁弹性理论的一个应用领域，其发展主要经历了以下几个阶段。 第i 章绪论 上个世纪7 0 8 0 年代，前苏联学者b m m h h k r i b 等人用实验的方法 研究了导电薄板内通入脉冲电流时裂纹发展的动力过程，提出了利用电磁 热效应来遏制导体中裂纹扩展的可能性哪】。随后b a k y 皿n a b a e b 等人对 这一过程进行了理论分析1 8 ，9 1 。从此揭开了利用电磁热效应进行裂纹止裂的 序幕。 7 0 年代末和8 0 年代，在理论研究方面国外有些学者注意到了导体内 部裂纹在电磁场作用下前缘区的应力、应变状态 1 0 , 1 1 】，有些学者探讨了在 只有载荷作用下应力强度因子的计算方法1 1 2 l ，s h i n d o y 等人给出了裂纹 磁弹性问题的解析解【i ”i ；在实际应用研究方面，m h h 职bbm 等人绘出 了由2 d 号刚制成的，外径为2 5 r a m ，内径为2 1 m m 的管道在破坏瞬间利用 电磁感应进行裂纹止裂的研究结剁m 】。 9 0 年代，在理论研究方面，a c a n ，m 且皿等人研究了带有裂纹的、位 于定常横向磁场中的软磁层应力、应变的计算方法，确定了裂尖附近的应 力、应变状态与磁场强度的关系i l ”，o h f l 3 m t h b c k h 葫j i a 研究了具有微裂 纹的磁化介质的磁弹性平面问题，在分析裂纹附近的应力状态的基础上。 考虑了材料磁化的影响。得到裂纹前缘应力强度因子的表达式和算铡【8 j ： t e r a m o t ot 等人给出了在电磁力作用下，单边裂纹开裂的数值分析结果 【1 9 】，证明在裂纹尖端处，涡流有个奇点，并且其大小随着裂纹长度的增加 而增加。裂纹开裂的计算取决于边界条件。实验研究方面，k o v a l e n k ov s 等人给出了应用电磁热效应处理气体粉末激光器涂层龟裂的实例1 2 ” p a r o n v 等人证明脉冲电流能够使裂纹在导体内的传播减速【2 lj ，当脉冲电 流通过含有裂纹的金属薄板时，裂纹前缘的电流密度增加，板内的电磁热、 弹性应力场韵变化对裂纹的传播起着掷制作用。 1 2 2 电磁热效应裂纹止裂技术研究现状 强前，国外大多数学者多是从理论入手，指出研究和解决裂纹体强度 问题的思想和路径。l b f r e u n d 2 2 1 研究了在载荷作用下，弹性固体中裂纹 的扩展。u y u c e o g l u l 2 3 1 研究了在斜对称载荷作用下具有轴向裂纹的圆柱壳 燕山大学工学硕士学位论文 问题。a c e r i n g e n 的理论研究【2 4 】给出了在电磁场的作用下液晶的平衡规 律及静力学、动力学的基本方程，该基本方程考虑了热、电传导及电磁场 的耦合效应，为研究耦合场的热效应打下了理论基础。文献 2 5 】研究了带 有便士形状裂纹的圆形薄板，在电磁波辐射作用下所产生的应力波的动态 响应。在整个作用时间内，磁场脉冲强度是按照商欺指数衰减规律作用的。 忽略热传导的影响，按照热弹性动力学理论，采用有限元插分法作近似计 算，通过算例给出了动态热应力分布和动力强度因子的数值计算结果。 g y a g a w a 和s y o s h i m u r a 在文献 2 6 ，2 7 仲介绍了电磁力在核压力容器裂纹 动力问题研究中的应用。给出了具有单边裂纹的高强度钢制成的试件，在 瞬变电流和电磁场的作用下，变化的电流和电磁场与裂纹相互作用的结果， 在整个试件中体现了电磁力的动力效应。在国内，胡宇达等人采用积分变 换的方法计算得到了带有单个裂纹的载流薄板在脉冲电流作用下的温度场 及应力场p 8 , 2 9 ，给出了电磁热效应裂纹止裂中各参数之间的关系及金相组 织分析结果。本课题组的田振国口。1 、胥红敏【3 “、杨春燕均采用复变函数 的方法，解决了带有直线裂纹的无限大载流薄板中在通入均衡电流时的整 个域内的电流密度分布，给出了电磁场作用下的温度场及应力场，讨论了 影响止裂效果的因素。文献【3 3 】对电磁热效应止裂的效果与裂纹走向关系 进行了研究。许志强、付宇明等人1 3 4 】利用数值模拟的方法得到了具有半边 裂纹导电薄板放电瞬间的温度场。 在电热止裂的实验研究方面，国内外许多学者的实验研究结果给出了 检测裂纹、测定裂纹疲劳扩展及裂纹止裂的方法等等，为电磁热效应裂纹 止裂技术的研究奠定了基础。文献 3 5 1 给出了在强电磁场的作用下，裂纹 尖端处材料的破坏动力学实验结果，确立了过程的动力特性。即：材料的 加热一冷却速度、表面温度梯度、材料的破坏速度、破坏瞬间裂纹表面的 温度和压力、裂纹前缘处曲率半径变化情况等。这些参数完全由脉冲电流 的参数来控制。在他们的另一些文章【3 6 】中，介绍了钢片中脉冲电流对裂纹 传播动力影响的实验结果。乔桂英等人对带有裂纹的金属薄板进行了电脉 冲实验f 2 】，实验结果表明：对于一定材料、几何尺寸、不同裂纹分布形式 的试件，止裂的效果与遇入的电流密度的大小及电流方彝提关。通入适当 第1 章绪论 的脉冲电流瞬间，裂纹尖端处的温度值急速升高，裂尖处的金属熔化，形 成焊口。乔桂英等a t 3 7 3 8 1 对电脉冲作用后的试件在电镜下作了金相组织分 析，分析结果表明：由于电热止裂时在裂尖处形成了很大的温度梯度，造 成了裂尖附近环形区域内的金相组织发生了变化，使得原本粗大的金属颗 粒细化，增强了材料的韧性，同时金属体积膨胀，在裂尖附近形成了压力 区。 1 3 电磁热效应裂纹止裂原理 在导体中通入电流，导体中会有焦耳热和应力产生，由于导体中存在 裂纹，会导致电流产生绕流和集中，由于裂纹尖端处电流集中，电能转化 成热能从而使该处的材料温度升高，足以达到使材料熔化的程度。裂纹 尖端金属熔化，裂尖曲率半径可以增大2 3 个数量级，并且局部迸发爆炸 形成焊口。裂纹尖端钝化，这样不仅可以减少甚至可以消除裂纹前缘处的 应力集中，而且在裂纹尖端附近会产生相当大的热压应力区，如果带有裂 纹的金属薄板在远处受单向拉伸作用，热压应力可以抵消甚至消除外载荷 产生的拉应力。这样，利用电磁热原理抑制形成裂纹主干线的势能源，从 而达到遏制裂纹继续扩展的目的。 1 4 本文的课题来源及主要研究内容 本课题来源于国家自然科学基金资助项目“磁弹性、热磁弹性在裂纹 止裂中的应用( 1 9 7 7 2 0 4 6 ) ”及河北省自然科学基金资助项目“金属模具电 磁热效应裂纹止裂的研究( 5 9 9 2 5 5 ) ”。“带有两个共线裂纹载流薄板在外 载荷作用下的电磁热效应裂纹止裂的研究”是此课题研究内容的个重要 组成部分。 本文采用复变函数的方法研究了通入瞬闻电流时，带有两个共线裂纹 的导电薄板在外载荷作用下整个域内的电流、温度及应力分布。考虑到温 度函数和应力函数的调和性，通过温度势函数及应力函数的复势得到了带 燕山大学工学硕士学位论文 有两个共线裂纹的载流薄板的温度场和应力场，通过与外载荷单独作用下 域内产生的应力场叠妞。可以锝型载瀛薄板在实旗电热止裂酎在外载荷作 用下域内总的应力场。文中引进了“热应力强度因子”的概念，把通电瞬 间由裂尖绕流产生的电流密度高度集中产生的焦耳热看作是在裂纹尖端放 置了点热源，由参考文献 3 9 1p - i 以得到平面域中放置了点热源在任何部位 产生的应力强度因子的表达式，把裂尖看作点热源，可以得到裂尖处的热 应力强度因子，通过与载荷作用下产生的应力强度因子叠加，可以得到带 有裂纹的载流薄板在同时有外载荷作用下的应力强度因子的表达式，从而 证踢电热止裂的可行2 洼。 单纯的理论计算并不能说明电热止裂在应用上的正确性，由此，本文 运用有限元的方法应用a n s y s 软件对带有两个共线裂纹的载流薄板实施 电热止裂进行了数值模拟：为了证实电热止裂在实际应用上的可行性，本 课题组进行了实验，实验结果表明：电磁热效应裂纹止裂的效果与试件的 材料、试件的尺寸、裂纹的有效长度、裂纹的分布状况、通入电流密度的 大小、通入电流密度与裂纹主干线的夹角等因素有关。通过具体实验与理 论计算和数值模拟进行对比，可以看出理论与实际存在较好的吻合，扶而 验证了用复变函数法计算带有裂纹的导电薄板通电瞬间温度场和应力场的 适用性。 第2 章本文用到的基础知识 2 1 引言 第2 章本文用到的基础知识 论文中要用到的一些力学、数学及电磁学的基础知识在本章作了简要 的介绍。力学方面，主要推导了应力函数的复变函数表达式，应力和位移 的推导过程类似，此处直接给出了其表达式。由于文中所遇到的都是半平 面或者是无限大平面的多连通域问题，因此简单的介绍了此种情况下的力 学基本方程。这里给出的力学基本方程的复变函数表示都考虑了温度场的 存在，即均属热弹性问题；数学方面主要介绍了c a u c h y ( 柯西) 积分的部 分重要性质和计算柯西积分的初等公式，以及对于平面边值问题的复变函 数解法，即将平面弹性边值问题化归为黎曼问题( 或平面挈和问题) ，另外， 还对本文中用到的特殊的椭圆积分作了介绍；本章最后介绍了平面域中电 磁场与热学的基础知识，绘出了存在点热源时的温度场的复势。 2 2 力学基础知识 2 2 1 应力函数、应力及位移的复变函数表示 参见文献 4 0 ，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应 力函数“它是位置坐标的重调和函数，即v 4 u = 0 。引用复变函数z = x + 砂 和：= x i y 以代替实变数x 和y ，由此： 国 压 矗 夏- 1 面刮i o y 。叫瓦_ 1 戊鲫 w 可以得到变换式： 一o u ：型一o z + 一o u 丝：f 旦+ 呈k ， 塑坐銮童三差塑圭兰堡堡苎 詈= 罢考+ 警考= f ( 鲁一未) u ， c z 川 钞岔砂钯匆l 如a 2 厂。 7 詈+ ，詈= z 警，尝一，券= z 警。 c z 埘 由( 2 一i ) 式，又可以进而得到变换式： 害= 隹+ 尝) 2 u ，害= 七一妾 2 u ， s ， v 2 u = 等+ 害= 。篆。 钔 于是可将相容方程v u ：o 变换成为1 6 堡；o ，即： a z 2 a z 要地 ( 2 - 5 ) 南2 a z 将式( 2 5 ) 对z 及z 各积分两次，得到 u = ，l 如) + i 厶( z ) + 五仁) + 矾车) ， ( z 一6 ) 其中工， ，六，均表示任意函数。注意式( 2 - 6 ) 左边的双调和函数，是实函 数，可见该式右边的四项一定是两两共轭，即： 五g ) = 羽。五g ) = 厕。 于是式( 2 6 ) 可以只用工及 表示如下： u = 石0 ) + 现g ) + 万研+ z 万阳。 将任意函数，l t ) 及厶分剐改写为去9 g ) 及去9 g ) ，即得有名的古萨公 式： u = 主阢) + ：羽+ 口g ) + 硎。( 2 - 7 ) 上式也可以再改写为： u ：i 沁囟0 ) + 口0 ) 】。( 2 - 8 ) 假定不记体力，于是有： 第2 章本文用到的基础知识 a2 u q 2 矿 因为由( 2 4 ) 式可得： a 2 u 丽。 q = 害+ 害= 。券。 所以由( 2 7 ) 式可得 盯，- i - o y = 2 b ( z ) + 硎= 4 r ee d ( z ) 。 用同样的方法可以得到： c r ，一仃，+ 2 i r 。= 2 融g ) + 甲( z ) 】， 2 g 0 蚋) = 婶0 ) 一z 羽一羽。 其中如) = 妒( z ) ，掣( z ) = y g ) = 目4 ( z ) 。 2 2 2 应力和位移在半平面上的基本公式 ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) ( 21 1 ) ( 2 一1 2 ) 参见文献 4 1 ，若物体占据着域d 一( y 0 ) ，是由直线l = o ) 分割而 成的。引入两个新记号q 0 ) 、国g ) ，并令： q g ) = 一0 ) 一z 中g ) 一甲0 ) ， 国t ) = j q g ) 出。( 2 - 1 3 ) 将上式代入到公式( 2 1 0 ) ( 2 - 1 2 ) 中去可以得到： 吒+ q ：2 p ( z ) + 羽】_ 4 r e 。( z ) ，( 2 - 1 4 ) 盯，一i r 。：0 ) 一q 仁) + g 一三商可刁， 2 g 0 十f v ) ：坤( z ) 仁) k j 再酾。 - 9 - ( 2 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) 塑祥 = o 第2 章本文用到的基础知识 2 3 数学基础知识 2 3 1 c a u c h y ( 柯西) 积分定义及其导数 设，o ) = z o ) + 以o ) 为在上给定的函数，并假定厂o ) 在通常意义下可 积。为简单光滑噬线，沿着曲线作逆时针旋转时，曲线l 的左侧为正， 右侧为负。沿着曲线三所取的积分 f ( z ) = 去i 警 ( 2 _ 1 7 ) 称为柯西积分l 矧，其中z 为平面上的某点。 函数f 0 ) 在全平面上( 除了上的点以外) 全纯。若曲线包含有闭围 线，函数f ( z ) 在被曲线三所分割出的平面的每一部分的内部为全纯。且从 2 一1 7 ) 式可以看出，当z 趋向无穷远对f ( z ) 趋于零，即： f ) = 0 。 ( 2 1 8 ) 对应的柯西积分的导数很容易通过对( 2 一1 7 ) 式就z ( 此处认为z 不在曲 线上) 直接微分右边的积分得到【4 3 i ： 吼) = 尝i 器， ( 2 - 1 9 ) 对这个积分采用柯西积分公式得到： b ) = 抄+ 去i 铧。 ( z - 2 0 ) 2 3 ，2 柯西积分的边界值及计算公式 参见文献 4 4 ，如果在l 上给定的函数厂o ) 在曲线l 的非端点t 。的邻 域内满足条件h ( 迪里赫里条件) ，也就是对于任意两个曲线上的点满足下 式： l ，o ：) 一，“】 a i t ：一t lr ，0 2 - 0 数值a 成为迪里赫里常数，丑一迪里赫里指数。则积分f o ) 从左到右皆可 第2 章本文用到的基础知识 连续延展于上；即存在边界值f + ( f 。) 和f 一( ，。) 。 这两个边界值由下面的公式给出： f + ( ，o ) = 三炖) + 去i 等 f 一一洳) + 去 等 z ” 此处右边出现的积分为主值。 公式( 2 - 2 1 ) 能够用与他们等价的公式代替，即： f + ( f 0 ) 一f 一( f 。) = 厂“) f + f 一i 1f 磐。 2 2 ) 很多情形下，为便于计算柯西积分，给出了些简单公式f 4 4 j 。 设三同上假设表示简单光滑闭围线，记号s + 表示以l 为界的有限部 分，而用s 一表示位于上外部的点构成的平面的无限部分。围线三既不属于 s + 也不属于s 。由s + 与曲线构成的域，通常用s + + 表示，而由s 一与 曲线l 构成的域，则通常用s 一十工表示。l 的正方向选择为使域s + 保留在 左侧的方向。 ( 1 ) 设厂0 ) 为在s + 内全纯并在s + + 三内连续，于是 壶l 警= ，o ) ，当维蛐内部， 2 3 ) 上f 熊= o ，当z 在的s 一内部， ( 2 2 4 ) z 刃t z 公式( 2 - 2 3 ) 是熟知的柯西公式，而公式( 2 - 2 4 ) 则为柯西定理的直接结果， 因为在此情形被积函数，( ，x ，一z ) 被看作，的函数时，它在s + 内全纯并在 s + + l 内连续。 ( 2 ) 设，( z ) 为在包含无穷远点的域s 内全纯并在s 一+ l 内连续的函 数。于是： 去i 望芋= 一，( z ) + ，o ) ，当z 在s 一的内部， ( 2 2 5 ) 鎏生查兰三兰堡圭兰堡篁塞 击i 警= f ( q o ) ， 当z 在s + 的内部，2 6 ) 公式( 2 2 5 ) 称为对于无限域s 一的柯西公式。若取l 的正方向为使域s 一( 而 非s + ) 保持在左侧的方向，公式( 2 - 2 5 ) 与( 2 - 2 6 ) 的右边的符号将相反。 为推广前述的公式，预先作如下限制，设口为z 一平面上的有限点，并 设此点的邻域厂k ) 有如下的形状： 厂( z ) = g ( z ) + s o ( z ) ( 2 2 7 ) 式中五( z ) 为在点a 的邻域全纯的函数，又 g m 刍+ 南+ 南 z s ) 且a ，a ：，a ，皆为常量。此时，称，0 ) 在点口有z 阶极点并以g ( z ) 为主部。 仿此- 若在点z = o 。的邻域，即对于充分大的i z j 公式( 2 2 7 ) 成立，式 中此处的兀g ) 为在点z = 。全纯并在此点为零的函数，而 g g ) = a o + 4 z + + 4 z 。 ( 2 2 9 ) ( 爿。，a ，a ，为常数) ，则将称厂( 2 ) 在点z = * 有，阶极点并以g ( z ) 为主部- ( 3 ) 设函数厂( z ) 在域s + 内全纯并在s + + 工内连续，但在s + 内的 q ，4 ：，点可能除外，在这些点函数有极点，以g 1 0 ) ，g 2 ( 三) ，q g ) 瓯( z ) 为主部。于是 壶l 等警= 厂如) 一g 。一g 2 如) - 一瓯如) ，当二在s + 的内部， ( 2 3 0 ) 去i 磐= 一g 1 ( z ) _ g 2 m g 。o ) ，当z 在s 一的内部，( 2 - 3 1 ) ( 4 ) 设函数f ( z ) 7 ；e s 一内全纯并在s + 工内连续，但在s 一内的 q ，日：，一，d 。点以及z = m 除外，在这些点函数有极点， 以 g ，g l g ：( z ) ，g 。g - 瓯( z ) 为主部a 于是 去i 譬字= - f ( z ) + g 。o ) + q o ) + + 瓯g ) ，当z 在s 一的内部，( 2 3 2 ) 去i 警_ g 1 ( z ) + g 2 m - + g 。( z ) ，当：在s + 的内部，( 2 _ 3 3 ) 第2 章本文用到的基础知识 2 3 3 平面弹性理论边界问题化归黎曼问题的解法 设简单光滑曲线三表示复变量z 平面上的有限个互不相交的开口弧与 闭围线的集合。工所包含的开口弧( 如果有的话) 的端点我们将称为围线工 的端点。这个开口弧常用如，或者几个开口弧时，用a k b 。 = 1 , 2 ，) 表示。 并规定从d 到b 或扶d 。飘b 。的方向为正方向。用s 表示从全平面除掉属于 的点而其余的平面部分。 设f ( z ) 为在s 上( 但不在上) 给定的某函数，并满足以下条件： 函数f ( 2 ) 在j 上到处全纯；它从左到右均可连续延展到上的各点， 但端点吼，b 女除外；在端点a kb i 邻近，有不等式 i f ( z 】 _ ，o 1 ， ( 2 3 4 ) 1 z q 其中c 表示端点t 7 。，巩中的任一个，4 为正的常数，而为满足指定条件的 常数。 这样的函数称为分区全纯于全平面上或者称为分区全纯。曲线三称为 函数f ( z 1 鹊跳跃煞线或界线。 寻求以工为跳跃曲线，左侧与右侧边界值满足条件： f + o ) = g ( f 扩一( f ) + ，( f ) ( 端点除外) ( 2 - 3 5 ) 的分区全纯函数，其中g ( ，) 与厂( f ) 为在上给定的函数，并在l 上到处有 c ( t 1 0 ，且满足条件h 。 当g o ) = 1 时，按给定在l 上的跳跃，( f ) ： ，+ 0 ) 一f 一( r ) = 厂( r ) 在三上。( 2 3 6 ) 应用l i o u v i l l e 定理可以解得； f ( z ) ：上 盘坦十c ， ( 2 3 7 ) 。 2 瘢t z 其中c 为任意常数。如果希望f 0 ) = 0 ，则必须命c = 0 如果考虑更一般的问题，即假定所求的函数f ( z ) 到处分区全纯，但无 穷远除外，再次点函数有不高于脚阶的极点，应用推广的l i o u v i l l e 定理可 以得到： 垄型芝篁! 兰型丝篁塞 f g ) ；去i 辔+ 只( ：) 。 3 8 ) 其中已0 ) 为次数不高于m 的任意多项式： 只o ) = z ”+ 。z ”1 + c 。表示任意常数。 ( 2 3 9 ) 最后假定解f 如) 在给定的点毛，z ：，刁，。分别有不高于，聊：，m ，阶 的极点，即可看出： f ( z ) = 去f 警+ r g ) ， 4 0 ) 其中r ( z ) 为有给定形式的诸极点的任一个有理函数，即： 喇= 圭一i 。：c j l + 南+ + 南卜牛+ ” 其中，吼为任意常数。 当g ( t ) - g 时，其中g 1 为己知的一般复常数，即： f + ( ，) 一扩一( ，) = ，( ，)在三上，但端点除外。 ( 2 4 2 ) 首先求解在无穷远处有任意阶极点的解，若厂( f ) ：0 ，问题简化为齐次 问题： f + ( f ) 一g f 一( f ) = o 。 试寻求下面形式的特解扎如) ： ( z 一4 3 ) z 。g ) = n ( z q ) - ，g o y 一，( 2 - 4 4 ) ；l 其中，= 口+ 猡为常量。 若函数五o ) 为某确定的分支，在无特殊说明时取使h m k ”五g 】= 1 的 那支，即：对于充分大的瑚，有： 甄= 三z n + 等+ 则蜀q ) 在s 内，即沿着三割开的平面上全纯。 ( 2 - 4 5 ) 第2 章本文用到的基础知识 如果从弧吼6 t 上的点f 起始描条包围端点c k 或以但不与l 相交 的闭路，并注意当从弧n 。b k 的左侧沿此闭路走向右侧时z 一吼或z 一饥的幅 角的变化，则不难看出等式 x oo ) = e - 2 “y 嚣( f )( 2 4 6 ) 是成立的，因此，茂( 2 ) 将满足边界条件( 2 4 3 ) ，若令p 。”r = g ，可褥 ，：口+ 妒：掣+ i 0 。( 2 - 4 7 ) 4 7 )，= 口+ 妒= _ 睾+ i 一。 其中护表示常量g 的幅角。此幅角精确到2 k x 形的项，其中为整数，但 这里只取0 0 2 r r ；这样口即完全确定。特别是，若g 为正数，则目= 0 ； 若g 为负数，则口= 玎。 作为齐次方程的解的函数凰( z ) 应满足条件： x ；0 ) = 硝i e 在l 上，( 2 4 8 ) 毗有： g = 裂 在址。( 2 _ 4 9 ) 将此表达式带入边界条件( 2 4 3 ) 中的g ，可以得到： 烈一烈：o 在上。 x o o ) “o ) “ 因此，齐次问题的最一般的解可表为 f ( z ) = x 。( z ) p ， ( 2 5 0 ) 其中，b ) 为任意多项式。 从公式( 2 4 5 ) 所确定的x o - ) 在无穷远的性态可知，如果希望得到在 无穷远为全纯的解，则必须假定多项式尸( z ) 的次数不超过m 。若希望 f 如) = 0 ，则尸0 ) 必须为次数不超过n l 的多项式。 解( 2 4 0 ) 在趋近于端点时一般为无界。如果希望得到的解在指定的端 点c 。，c l j 一，郎临近有界，则必须选取p g ) ，使它在此各点变为零，即取： 尸( z ) = ( z c 。) ( z c ：) t 卟_ ) q g ) ， 其中q g ) 为多项式，此时解f 0 ) 不仅在指定点的端点临近有界，而且在此 各点变为零。设 x ，( 2 ) = x 。g x z c l x z c ：) 0 一c ，) ， ( 2 一s t ) 第2 章本文用到的基础知识 可将在端点c o ，。l j 一，c ，临近有界的解皆表示为 f g ) = x ，0 ) 9 0 )( 2 5 2 ) 的形式，其中q g ) 为任意多项式，x ，( z ) 与x 。( z ) 相类似，是齐次方程的特 解，但在指定的端点临近有界，并在此等端点变为零。因此可以得到端点 c o , c l ，一，印临近有界的通解： 刖：掣i 稻尚蝎m ) ， ( 2 _ 5 3 ) 其中p ( z ) 为任意多项式。 由公式( 2 4 5 ) 和( 2 5 1 ) 可知对充分大的l z i 有 工p 0 ) = z 一”+ 砟一1 z 一1 + - ， ( 2 5 4 ) 因此函数4 0 ) 只当p 即时方在无穷远全纯。 当所论的问题g = 一1 时，在此情形边界值具有如下的形状 f + ( f ) + f o ) = ，( r ) ( 2 5 5 ) 此时有： y ：口+ 垆：i n ( - 1 _ _ f i ：昙。( 2 - 5 6 ) 因此，按公式( 2 4 4 ) 有 甄。) 5 冉g 1 ) 一汜。卜i 而丽i 丽1 丽，5 7 ) 若令x ( z ) = 抓i 石顶i 五f 1 i i 顶云习，可得到在无穷远有极点的通 解： 哟= 壶i 掣学+ 粥， 涪s s ， 其中p g ) 为任意多项式。若多项式尸0 ) 的次数不超过r l ，得到的是在无穷 远仍为全纯的解。 2 3 4 椭圆积分与椭圆函数 椭圆积分的普遍形式是【4 5 】； 1 6 - 第2 苹本文用到的基础知识 f r g ，y k ， ( 2 5 9 ) 其中r g ，y ) 为x 和y 的有理函数，而 y 2 = p g ) = 戚4 + 如3 + “2 + 出+ e ， ( 2 6 0 ) 若日= o ，则多项式尸g ) 由四次降为三次，三次和四次多项式情形都属于椭 圆积分。且三次多项式积分可以用变换x ；! 化为四次多项式情形。 尸g ) = b x 3 + c x 2 + d x + e ，i p ( 乎古撇删吲4 埘+ c 产r ， e - ， ) ，= 扣q = r 。2 扣两，j 普通椭圆积分可以归结为几个基本椭圆积分的组合，利用( 2 6 0 ) 式可 以把r ( t y ) 表示为下列形式： 月g ，y ) ：r 。o ，y ) + ! ! ! 粤；塑， ( 2 6 2 ) 其中r i g ，y ) s c d l r ：b ，_ y ) 为x 的有理函数，积分j r ，b ，y ) 出可以用初等函数表 达，只剩下j r z ( x ，y ) y 。1