（应用数学专业论文）banach空间脉冲方程解的存在性.pdf

中文摘要 非线性脉冲微分方程理论来源于生物学和医学的一些数学模型，是微分方程 中一个新的重要分支。由于它比以往的微分方程理论要丰富得多，所呈现的结构 有其深刻的物理背景，因此研究脉冲微分方程具有其内在的价值，这就迫使我们 对该课题进行认真分析和研究 首先，本文考虑实b a n a c h 空闻e 中的一阶脉冲v o l t e r r a 方程在比较宽松 的紧型条件下，利用一个新的比较结果、递归法、等价范数、t o n e l i i 近似序列和 局部凸拓扑，得到了b a n a c h 空间无穷区间上的具有无穷个脉冲点的非线性脉冲 v o l t e r r a 积分方程整体解的存在定理，改进了文1 1 中的结果同时，指出了存在 最大最小解的一个充分条件作为应用，把文中的结果应用到无穷区间上具有无 穷个脉冲点的非线性脉冲v o l t e r r a 积分方程的极值解问题上 其次，介绍b a n a c h 空间e 中一阶脉冲积分一微分方程初值问题利用递归 法、一个新的比较结果、拟幂零算子和不动点理论，得到了b a n a c h 空间中一阶非 线性脉冲积分一微分方程初值问题解的存在性定理，改进推广了某些已知的相关 结果同时，把文中的结果应用到混合型无穷脉冲积分一微分方程组初值问题 关键词脉冲v o l t e r r a 型积分方程，脉冲积分一微分方程，局部凸拓扑，非 紧性测度，t o n e l i i 序列，拟幂零算子，递归法 a b s t r a c t t h et h e o r yo fn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si san e wa n di m p o r t a n t b r a n c ho fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w h i c ho r i g i n a t e sf r o ms o i n ei n a t h e m a t i c mm o d e lo f b i o l o g y ，m e d i c i n e b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r eo fi t se m e r g e n c eh a sd e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n d ：t h er e s e a r c ho nn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sv e r ym e a n i n g f u l ， w h i c hm a k e su sr e s e a r c ht h i ss u bj e c ts e r i o u s l y i nt h i sp a p e rf ir s t l y ，w ec o n s i d e rt h ei m p u l s i v ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o ni l l ar e a lb a n a c hs p a c eeu n d e raw e a k e rc o m p a c t n e s s t y p ec o n d i t i o n u s i n gan e w c o n p a t i s o nr e s u l ta n dt e e m r e n c en m t h o d t h r o u g hi n t r o d u c i n gt h ee q u i v a l e n tn o r m 2 b n e l i is e q u e n c ea n dt h el o c a l l yc o n v e xt o p o l o g y , w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s f o rf i r s to r d e rn o n l i n e a ri m p u l s i v ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o no i la ni n f i n i t ei n t e r v a l w i t ha ni n f i n i t en u m b e ro fi m p u l s i v et i m e si nar e a lb a n a c hs p a c ee w h i c hg e n e r a l i z e a n di m p r o v et h er e s u l t so fp a p e r ”a n dw eo b t a i no n es u f f i c i e n tc o n d i t i o no f e x i s t e n c eo fm a x i m a la n dm i n i m a ls o l u t i o n sa sa p p l i c a t i o n so fo u rr e s u l t s ，t h e s o l u t i o n so ft h ei n f i n i t es y s t e mo fn o n l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r a le q u a t i o no fv o l t e r r a t y p eb eo b t a i n e d s e c o n d i w ec o n s i d e rt h e v pf o rn m o r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a - t i o ni nb a n a c hs p a c eeb ye s t a b l i s h i n gc o m p a r i s o nr e s u l t sa n da p p l y i n gt h em 6 n c b f i x e dp o i n tt h e o r e m t , h r o u g hi n t r o d u c i n gt h ee q u i v a l e n tn o r n l ，t h er e c u r r e n c em e t h o d a 1 】( 1 q u a s i n i l p o t e n l ，o p e r a t o r w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fs o l u l i o n so fi n i t i a lv a l u e p r o b l e m so fi m p l l l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nb a n a c hs p a c e s ，w h i c hg e n e r a l - i z ea n di m p r o v es o m er e l a t e dr e s u l t sa n dw eg i v es o m ea p p l i c a t i o n st ot h ee x t r e m a s o l u t i o n so fi m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a ie q u a t i o n k e y w o r d si m p u l s i v ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n ，i m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n l o c a l l yc o n v e xt o p o l o g y ，m e a s u r eo fn o n c o m p a e t n e s s ，t o n e l i i l sm e t h o d ， q u a s i n i l p o t e n to p e r a t o r ，r e c u r r e n c em e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也巧i 包含为获得苤鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材判。与我一同工作的同志划本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论义作者签名：j 司摒兰 签宁f 1 期： l 印牛年忙j 。t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全r 解苤叠盘茔有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盔叁鲎t ，j 以将学位论文的仝部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 阳幽家有关部f j 或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文行解密后适用术授权随明) 学位论文作者签名 习粑 导师签名 乍物参 l 签字几期：。中年j 月。同签字f j 期：p 9 u 年i 1 - 月钐f 第一章绪 论 第一章绪论 1 1 引言 抽象空间中的微分方程理论是近二、三十年发展起来的一个新的数学分支， 它把微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分析的方法研究抽象空间 中的微分方程此后出现了大量有关的专著、文献如专著 2 4 1 概述了b a n a c h 空间中的常微分方程理论；专著【25 】全面论述了抽象空间非线性方程各分支的内 容；专著【2 6 】利用非线性泛函分析的方法研究常微分方程解的存在性、唯一性、 多解性；专著 2 7 】综合讨论了非线性泛函分析半序方法的发展，并将其应用到抽 象空间的积分微分方程，同时收集了近年来许多国内外数学家关于半序方法的新 成果；专著f 2 s 建立了拓扑度理论和锥的概念 非线性脉冲微分方程是近年来发展起来的微分方程的一个重要分支，主要来 源于生物学、医学和现代物理学、经济学的一些数学模型，由于它的理论比以往 的微分方程理论要丰富得多，所呈现的结构有其深刻的物理背景，其数学模型与 自然界中许多现象极其吻合，因此研究脉冲微分方程具有其内在的价值 由于非线性脉冲微分方程具有脉冲现象，其解的连续性受这种脉冲性质的影 响，在瞬间会出现一定的跳跃度，从而给这类问题的研究带来一定的难度伴随 着科学技术日新月异的发展，非线性泛函分析为解决当今科技领域中层出不穷的 非线性问题提供了富有成效的理论工具因此，利用非线性泛函分析解决脉冲方 程解的存在性，也就日益引起人们的广泛重视 目前，关于b a n a c h 空间有界域上的非线性脉冲v o l t e r r a 型积分方程和非线 性脉冲积分微分方程的研究已有许多结果国内外学者在这方面已做了大量工 作，无论在一阶方程的研究，还是在二阶方程的研究都有了很大的发展( 参看文献 1 】， 2 】i 3 】i 5 】， 7 1 ， 1 0 】等) 第一章绪论 近年来郭大均先生又讨论了b a n a c h 空问无穷区间上的具有无限个脉冲点的 二阶脉冲积分微分方程 lo ”= ( t ，z ，t z ) ， y t zt t k ( k = 1 ，2 ，3 ，) ， i z f ec 。= ， ( z ( ) ) ， ( = l ：2 ，3 ) ， l z ：“= ( z ( ) ) ，( k = 1 ，2 ，3 ，) ， it ( o ) = z ( h z 7 ( o ) = t j ， 其中，= _ r + ( j r + 是非负实数集) 0 t l o ，当k 叶+ o 。t 一+ 、 n 】，z j p ，c ( j p p 、p ) ，“：，c ( p p ) ( 膏= 1 2 ，3 ) t 是。其 b a a c b 空j l = i je 中的锥， ( t z ) ( t ) = k ( t ，s ) x ( s ) d s ， k c ( d r + ) ，d = “，s ) ，：之s ， k + = s u p k ( t s ) d s + ， a xj 一+ = 。( t j j 一。( 坛) ，其中z ( j ) 和z ( 石) 分别代表z ( f ) 在t = t k 处的右极限和 左极限 ：t 。对于一( t ) 有类似的定义 郭大均先生利用锥理论得到了这类脉冲积分微分方程极值解的存在性定理 ( 参看文献【1 8 ，( 1 9 ，( 2 0 】等) 陈芳启教授在文 1 1 r 讨论了b a n a c h 空间无穷区间上的具有无限个脉冲点的 一阶脉冲v o l t e r r a 方程 引一以) + z 肌舢一( s ”如+ 。聂。毗。h 如。l 挺胪， 其中0 t 1 t k ，当盘_ + 。o ，t b 叶+ o 。，p c 【r + ，e 1 = z 。，_ e 】z ( t ) 在t t k 处连续，z ( i ) = z ( “) ，l i 呻m ( t ) 存在，k = 1 ，2 ，、m - ) 。o p f i r + ，e ，e i f _ e ，f 1 f = ( ，s ) 0 sst 0 ) ， 0 = t o l ， 0 ，使得v 。l d ，x 2 d ， 若忪l 一。2 ( d ，有l l a z l 一a z 2 o ls 可表为有限个集的并：s = us 且每个s 的直径d ( s ) 都 ) 则称c l ( ，) 为s 的非紧性测度 非紧性测度具有下列性质( s ，t 表e 中有界集，n 是实数) 4 第一章绪沦 ( i ) d ( s ) = 0 甘s 是相对紧集； ( i i ) sct = ( s ) s ( 1 、) ； ( i i i ) ( 了) = o ( s ) ； ( i v ) ( s u t ) = m a x 。( s ) ，n ( t ) ) ： f v la ( a s ) = l a l n ( s ) ，其中a s = z l z = a z , ，z s ) ； ( v 1 ) o ( s + r ，) n ( s ) 。( t ) ，其中s4 - t = z i t = y + 。，s ：1 1 、 ( v i i ) a ( c o - s ) = n ( s ) 定义1 2 i 0 设x 是域赶上的线性空间。p 是x 上的一个实值函数，满足 ( 1 ) p ( z + y ) p ( z ) + p ( f ) ( z ，y x ) ( 2 ) p ( a x ) = 1 a l p ( z ) ( z x ，o j c ) ， 称p 是x 上的一个半范数 x 上的一个范数显然是半范数，一个半范数未必是一个范数如果一个半范 数p 满足条件 当z 0 时，p ( x ) 0 则p 是一一个范数 定义1 2 1 1设”队与”i l 。是线性空间x 上的两个范数，若存在正数。 和b ，使得对于每一个z x 都有 。曼l l ts6 ”忆 则称”l l t 与” i z 等价 定义1 2 1 2 设x 是复b a n a c h 空间，t 8 ( x ，x ) ，若t 满足 l i i n 厕= 0 则t 称为拟幂零算子 第一章绪 论 1 3 一些基本引理 引理131 1 1 锥p 是正规的充分必要条件是存在常数n 0 使当0 至，s 时，恒有忙| | n l l y l l 足 引理1 32 ( 1 9 】 若是p 正则的，则p 必是正规的 引理1 33 【2 2 ( a r z e l a - a s c o l i ) 设acc a ，6 】，a 是列紧集的充分必要条件a 满 ( 1 1a 是有界的，即存在常数c ，使得对一切r a ( 2 1 。 足等度连续的，即对v ( 0 ，存在d 0 ( 6 仅与c 有关j ，使得 v 1 、2 n 叫，当1 l 一如i 6 时，对一切z a 有 引理13 4 1 2 0 hcp c i j , 舻】( p c mr “】= z ：j - r “lz ( t ) 在t t k 处连 续，z ( ) 2 z ( 如) ，且。l _ + i m 。 。( 亡) 存在，= 1 ，2 ：，m ) 为相对紧集的充分必要 条件是h 中诸函数在l ，上一致有界阻在每个j e ( k = 0 ，1 m ) 上都等度连续 引理135 【1 q 对v z p e ( ，e n c l ( j ，e ) 则有 叫归“0 ) + 一卅。聂。m 叫j 证明令z p c ( ze ) n c l ( j7 ，e ) ，“ 0 使| z 川茎p ( = 1 ，2 ) 则 ( i ) l i mj i a z i z 洲= o ； ( i i ) z ：ln = 12 ， 在c o ，1 相对紧，并且它的任何极限点都是a 的不 功点； ( i i i ) 若- 4 在扛g o 1 】l1 1 ：f 1 1 曼p 中的不动点。+ 唯，则_ ：( )致收 敛到z + ( ) 第二章非线性脉冲v o l t e r r a 型积分方程解的存在性 第二章非线性脉冲v o l t e r r a 型积分方程 解的存在性 2 1 引言 本章在比较宽松的条件下，对脉冲项不加紧型条件，利用递归法、一个新的 比较结果、t o n e l i i 近似序列和局部凸拓扑，得到了b a n a c h 空间无穷区间上的具 有无穷个脉冲点的非线性脉冲v o l t e r r a 积分方程整体解的存在定理，改进了文【1 】 中的结果 本章考虑下列实b a n a c h 空间e 中的一阶脉冲v o l t e r r a 方程 z ( t ) = x o ( t ) + h ( t ，邺( s ) ) d s + a k ( t ) i k ( x ( t k ) ) ，t r + ， ( 2 1 1 ) j 0 o t t t ( t 其中r + = t r 1 ：t2o ，0 t 1 t 2 k 并且t n _ 。( n - ) ， p c i r + ，吲= 恤：r + - ez ( t ) 在t “处连续，嚣( ) 2z ( “) ，耀。( 2 ) 存 在，自= 1 ，2 ，n ，) ，z o p c i r + ，e 】，h c f xe ，e ，f = 0 ，8 ) 05 sst o o ) ，厶c e ，明，且口k b c j ；，r 1 】( b c 靠，r 1 1 表示映靠到r 1 的所 有有界连续函数组成的集合，以= 陬，+ o 。) ) 2 2 预备引理 令0 五 t 2 矗 ，其中矗_ 。_ o o ) ，且正t j ，v i ，j 对每一个固定的t k ，记i i x l l n = s u p l l x ( o i i ：0 t 孔 ，p c i r + ，明显 然，1 i n 是p c i r + ，e 中的半范数，由半范数族 i i n ：k = 1 ，2 ， 生成 的局部凸拓扑r 即是在r + 的任何紧子集上的一致收敛拓扑 9 第二章非线性脉冲v o l t e r r a 型积分方程解的存在性 耻c g r + e 1 = z 删趾趴锄s u p + 荆 o ) i o = 1 0 t , i ，j l = ( t i j k = ( “t k - 1 1 对于d p d f 乩记d ( t ) = 。( ) ：z d ) ce0i f _ r + ) ，d ( i ) = z ( ) ：z d ，t j ce ( 其中是r + 中的 子集) 本章对固定的t k ，p c i o ，瓦】，e 】表示p c i r + ，e 】中的函数限制在【0 ，瓦】构成的 集合，易知它在范数忆1 1 n 下为一b a n a c h 空间令0 t l t 2 - k 。 0 ，m 2 0 ，m 3 0 是满足下列条件之一的常数 ( i ) a m 3 ( e 。( m r + “”2 ) 一1 ) 0 ，蛆0 ( i = 0 ，1 ，一一，j 一1 ) ，则p ( t ) = 0 ，v te 巧 证明我们将利用递归法证明引理22 5 ( a ) vtej o = o ，t l 】，由( 2 22 ) 知 p ( ) l p ( s ) d s 根据引理2 2 4 可知，p ( t ) = 0 ( t ，, t o ) 特别地，p ( 1 ) = 0 更进一步，由( 222 ) 可知 p 。) 曼z “p ( s ) d s + m t p ( t ：) = 上j p ( s ) d s p ( 。) 曼0 p ( s 。z ) 乩上p ( 8 ) 如 显然p ( t ) = 0 ( b ) v t = ( t 1 ，t 2 ，由( 2 2 2 ) 知 p f p ( t ) l p ( s ) d s + m t p ( t 1 ) 由( a ) 知p ( t ) = 0 ( t 0 ，l 】) 因此 p ( t ) l ，十p ( s ) d s 今 显然，me g ( 【t l ，t 2 如 | | 如 0 0 0 0 刨洧 执 啪划 l 加 州h 怪r，【p | 【 ；= m 且 ， 第二章 非线性脉冲v o l t , e r r a 型积分方程解的存在性 由引理2 24 ，知m ( t ) = 0 ( t t l ，2 】) 因此p ( t ) = 0 ( t ( t l ，t 2 ) ，特别地，p ( t 2 ) = 0 且p ( t ；) = 0 如此继续下去，有 p ( t ) = 0 ( t 上) ( i = 3 ，4 ，j 一1 ) 综上可知，p ( t ) = o ，v t ， 2 3主要结果 定义算子a ： ( 堋一) + z 聃，小) ) d s + 。乏。嘣忡n ter + ( 2 31 ) 本文使用下列假设 ( h 1 ) 设知( t ) p c g r + , 司，其中9 ( ) ( r + ) 是连续正的不减函数且i n r f + g ( ) e o 0 ( h 2 ) 设h c r e ，明，i f 在f e 的任意有界子集上一致连续皿( t ，s ) g fr + ( i = t ，2 ) v ( t ，s ) f ，z e ，满足 | | h ( t ，s ，x ) l i 曼h l ( t ，s ) + 凰( t ，s ) 忙 l( 2 32 ) ：o i h i ( t ，s ) d s a l g ( t ) ，t er + n 2 月j ( t ，s ) g ( s ) d s a 2 9 ( t ) ，t r + 其中a ，( i = 1 ，2 ) 是非负常数 ( h 。) 存在非负常数c k ( a = 1 ，2 ，) 和g 满足 ( 2 3 3 ) ( 23 4 ) ( z ) i i 。k l l z l + g ( z f ，k = l ，2 ，) ( 235 ) 1 3 第二章非线性脉冲v o l t e r r a 型积分方程解的存在性 f h 。) | 、列叶：等式成立 ：g 0 使得a ：b n ( x o ) _ b n ( x o ) 其中 日n ( z o ) = ( r p ( 乙【r + ，e 】：i l z x o l l 。，r ) 证明：( 1 ) 易知a 映p c n 。，e 到p c i r + ，e 令 4 ( 1 ) z ( t ) = 3 ：0 ( t ) + h ( fs 、- ( s ) ) d s r + 且 a 2 z ( t ) = o k ( t ) 厶( z ( “) ) ，t r + 0 0 且 腔扣“p c k + a 2 ) i i x o i l 一善一 0 ，存在l ，( t ，8 ) g 【fr + 】 使得 “( h ( t s ，d ) ) l ，( ，5 ) “( d ) ，( t s ) ed ck ( 2 37 ) 那么，方程( 211 ) 在p c i r + ，f 】中至少有一解 证明由引理2 3 2 ，a 是映p c i r + ，e 到p c i r + ，e j 的连续算子并且存在足 够大的常数r 0 ，使得a ：b r ( z o ) - 4 b r ( 。o ) 一 一 十 ) f ( o一 ) f ( cl 一生羔量j 坠堑型鲎坐! ! 堡! 坠型墨坌立堡壁塑壹垄堡 令0 1 t l ，定义t o n e l i i 序列 z 。) 如下 。n ( ) = ? o ( 一) ，一，y t o ( t ) = 如( t ) + h ( 和，z 。( s 一；：；) ) 如十 n 女( t ) ( z 。( “) ) ( 238)o n “。、7 ”( c j 易知x o b r ( z o ) v t 0 、孙有 j | # 一( t ) 一z o ( ) j | i l h ( t ，s ，z ( s ) ) ij d 5 f 州) 幽+ z 凰圳圳协 s 撇) + 弘咖帮“s a l g ( t ) + a 2 9 0 ) | l z i l 。 a 1 + a 2 l l x o l l 。，) + a 2 l l x z 0 1 1 g ( t ) 卢古( a t + 也l l x o l l 。，) + a 2 捌g ( t ) 9 r + ( 1 一p r ) 9 ) n g ( t ) 利用递推法，易知 8 z 。( t ) 一。o ( f ) j | sr 9 ( t ) v t r + 目p ? ，b r ( _ 抽) 也就是 ，h c 口r ( z o ) 故 l i z t t ( t ) | | s ( 1 l z o ( t ) l l 。，+ r ) 9 ( t ) ，vt r + 且 j j 。n ( t ) j j 兰( 1 l z o ( o l l 勺十r ) 9 巩，v t f 0 ，疋】 其中纽2 。端 口( 。) 故( z n ) 在f 0 ，靠】上一致有界并且 z 。) 中的元素在以( 自= o ，1 ，2 ，m 一1 ) 和( 靠e ，疋l 上等度连续本章中 。椰，n 】( o 为充分大的常数使得 凤5 两2 n , a 1 下面我们将利用递归方法 ( 1 ) 由引理2 21 ，引理222 可知，v z = j o = 【o ：1 似叫圳兰州z 础，( s 一胁) ) 令p ( t ) = a ( ：( 吡则 2f 。( 怛( ，z 。( s i ) ) ) ) d s 0 2 z l n 巩( 厶s ) 0 ：( 。( s i ) ) ) d s 由引理223 知p e 【j ：r + 特别地 由( 23 1 0 ) ，知 o ( u j i ( t 1 ) ) = 0 1 7 0 ( t ，i ) 圆此 ( 23 1 i ) ( 23 1 2 ) 括 “ 如 印 s 0 t 幔 “。n k z 1 k z m 2 2 | | 一 如 正 。“ 得 z且l“乩 删 炉 由 第二章非线性脉冲v o l t e r r a 型积分方程解的存在性 ( ( ，( t ) ) = 0d = 2 ，3 ：” ) ( 231 3 ) ( 2 ) 由引理2 2 1 和引理2 22 知，v t = 0 ，t 2 ， r 1 n ( c j ，；( 。) ) n ( ，h ( $ z n ( s j ) ) “s ) ) + “( “( ) 7 ：( 。，c ( 1 ) ) 2 z 。州h ( t , 8 , z n ( s 一跏) 。烈，l ( 州) ) 2 l tl r t k ( t ，s ) 。( z 。( s i ) ) d s + 。i 。( ( z n ( t - ) ) ) = 2 l t l n r , ( t ，s ) n ( ( s ) ) d s + a i 。( ，t ( 如) ) ) 茎2 t kz 。a ( ( s ) ) d s + n 烈叫( c 1 ) ) ) 根据( 23 1 3 ) 式可知，u , s ：( t t ) 是p g 五，别中的相对紧集，并且厶g 【e 吲，因 此 n ( ，t ( u “圳) 20 - 故 n ( ) 2 z “( ( s ) ) 虹 ( 2 3 1 4 ) 令p ( t ) = n ( ，。( t ) ) ，由引理22 3 ，显然，p c 池，r + ( i = 0 ，1 ) 根据( 2 3 1 4 ) ，得 加) 2 上t p ( 曲如。 ， 由引理2 2 5 ，知p ( t ) = o ( t 以) ，即d ( v “) ) = o ( l 特别地 。( ( 圳20 根据( 231 0 ) 式，知 “( 如，t i i ( 如j ) = 0 日 。( ( t 2 ) ) = 0u = 3 ，4 ，：m k ) _ ( 2 3 1 5 ) 第二章非线睦脉冲t f i t e r r a 型积分方程解的存在胜 如此继续下去可以得到 q ( o ，n l ( t j ) = 0 ( i = 3 ，4 ，一，m k ) ( 2 3 1 6 ) 因此，u o ，n l ( 如) ( i = 1 ，2 ，i n k ) 分别是p c ( o ，兄】，e 】上的相对紧集更进一 步，由：t i e ，e j ( i = 1 ，2 ，一，m k ) ，可知 对任意 2 、p e o n 】， - 令 ( 2 3 1 7 ) 俐。一：戮，m 懈) 显然，p c i o ，孔】，e 】在范数| 1 i l o 下为一b a n a c h 空间，且范数l i 1 1 0 和范数 | | i | 孔是等价的用q + 表示p c i 0 ，巩】，e 】中有界集在范数”11 0 下的k u r a t o w s k i 非紧性测度 由( 2 3 7 ) 式，( 2 3 1 7 ) 式，引理2 21 和引理2 2 2 可得，v 【0 死 ， r n ( m 】( t ) ) 。( 日( t j 0 r 2 。( h j 0 因此 一抛+ 0 “。篆i 州啪和水扪 o c l cj s 一跏) d s 十咖( ( c 1 。、w 。l ( t t ) ) 0 t 一： 曼2 zl r r 。“加( 一如 ，- c = 2 l r 吒( t ，s ) o ( 研。川( s ) ) d 5 曼2 z 。( 州s ) ) d s 2 z n ( e - 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