（电磁场与微波技术专业论文）无限元方法及其应用.pdf

摘要 摘要 无限元方法( i f e m ) 是无限剖分的思想与有限元方法的结合，该方法可以克服 有限元法在计算开域问题必须强加截断边界条件的困难。无限元方法可以计算开 域问题，也可以计算闭域问题。 无限元基函数是在原有限元插值函数的基础上乘以一项衰减函数，衰减函数 的引入使得基函数满足无穷远处狄氏边界条件。文中选取三种不同形式的微分方 程作为计算实例验证无限元方法在处理一维开域问题的有效性，选择全域基函数 计算，给出了计算结果与解析解的比较。将此方法应用于静电问题计算同轴导体 电位分布所得的计算结果与解析解非常接近。 结合有理插值的思想构造了一组分域基函数，函数形式简单便于计算，文中 给出了一维直线问题和一维曲线问题算法实现过程，应用该计算程序计算第三章 的三个微分方程，所得的计算结果与解析解非常吻合。结合无限元方法与表面辐 射条件结合计算非理想凸导体柱散射问题，所得的计算结果与文献的结果致。 在一维无限元基函数的基础上提出了二维无限元基函数，给出了二维无限元基函 数的算法实现。 关键词：无限元方法衰减函数映射无限元 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ei n f i n i t ee l e m e n t sm e t h o dw h i c hi sb a s e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di san e w n u m e r i c a l 州t h m e t i c t h ei n f i n i t ee l e m e n t sm e t h o di sav a l i dm e t h o dt oo v e r c o m et h e d i 蚯c u l tt h a t t h e i n t e r c e p t i v eb o u n d a r yc o n d i t i o n si nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dm u s t b ei m p o s e dt ot r u n c a t et h ec o m p u t a t i o n a lr e g i o ni nt h eo p e nr e g i o nq u e s t i o n s t h e m e t h o dc a l lc a l c u l a t eb o t ht h ec l o s er e g i o nq u e s t i o n sa st h es a m ep r e c i s i o na st h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o da n dt h eo p e n r e g i o nw h i c h t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dc a l ln o tc a l c u l a t e t h eg l o b a lb a s i sf u n c t i o n so f t h ei n f l n i t ee l e m e n t sm e t h o da r e p r o d u c t i o n so f t h e f e mb a s i sf u n c t i o n sa n dt h ed e c a yf u n c t i o n s t h ed i r i c h l e tc o n d i t i o na tt h ei n f i n i t e p o s i t i o nc a nb em e ti ft h ed e c a yf u n c t i o n s a r ei n t r o d u c e di nb a s i sf u n c t i o n s t h r e e d i f f e r e n tk i n d so fd i 饪b r e n t i a le q u a t i o n sa r ec h o s e nt ov a l i d a t et h a tt h ei f e mc a ns o l v e t h eo p e n r e g i o nq u e s t i o n s t h ep a r t i a lb a s i sf u n c t i o n sa r eb a s e dt h ei d e ao fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n t h e e x p r e s s i o n sa r ev e r ys i m p l e t h ea l g o r i t h mo fo n e - d i m e n s i o nq u e s t i o ni sg i v e ni nt h e d i s s e r t a t i o n t h eu n i f o r mr e s u l t sc a nb eg e ti ft h ei f e mc o m b i n a t e sw i t ho n s u r f a c e r a d i a t i o n c o n d i t i o nt oc a l c u l a t et h es u r f a c e s c a t t e r i n g f i e l do ft w o d i m e n s i o n i m p e r f e c t l yc o n d u c t i n gc y l i n d e r t h et w o d i m e n s i o ni f e ma l g o r i t h m w h i c hi sb a s e do n t h ei d e ao ft h eo n e d i m e n s i o ni sf i n i s h e d k e y w o r d s ：i n f i n i t e e l e m n e t sm e t h o d s d e c a y f u n c t i o n m a p p i n g l n f i n r ee l e m e n t sm e t h o d 声明 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：薄i 盘遗日期蛰s 叁! 习i ，自 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业 离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名 导师签名： 蓝出生 墒网戋 日期竺! ! 圭! 旦1 9 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1无限元方法发展简介 有限元方法( f e m ) 是近似求解数理边值问题的一种数值技术，该方法得到 了发展并被广泛应用于结构分析问题中，在电磁学方面应用也非常广泛，具体可 以参考【1 。 尽管f e m 是一种广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，该方法在计算 开域问题时需要强加边界条件截断计算区域，为了求得问题的唯一解，必须在截 断边界处引入人工边界条件，在处理散射问题时，f e m 无法有效计算细长散射体 的散射问题 2 1 ，f e m 在计算二维对称静电问题是做了变量代换，新的系数在p 斗0 时所得的组合矩阵对应元素为0 ，f e m 在处理二维对称静磁问题时引入新的计算 变量pa，新的变量在一时所得的计算结果为，而这与问题的真实解误差较op 00 大。而无限元方法可以较好地克服这些困难。 无限元方法( i f e m ) 是无限剖分的思想与有限元方法的结合，而无限剖分的 思想最早见于s i l v e s t e r g e r m a k 的文章，而将无限剖分与有限元结合的思想直到 1 9 7 5 年由t h a t c h e r 提出 3 。有限元方法的基本思想是十分简单的：在有限元方 法的计算过程中，人们总是将所要计算的物体分割成有限个单元，并且，受到计 算机容量的限制，这有限个单元的数目也是非常有限的。这样的限制给一些问题 带来了很大的困难。而无限元打破了这个限制，它允许人们在计算时使用无限多 个计算单元，这种做法比有限元方法灵活得多，对于一个给定的计算问题，如果 使用有限个单元已经得到足够精度，那么就按照常规的有限元方法求解，如果计 算精度达不到要求，则应用无限元方法求解。 北京大学数学系应隆安教授在国内率先提出无限元方法 4 ，命名为无限相似 单元法，对于给定的计算区域按照以下规则剖分：在区域q 内部选择一点作为相 似中心，以区域边界r n 为第一边界，区域q 外部作r 0 的相似形，命名为 r 1 ，l ，l ，比例系数为k 。每两个相似形之间为一层，将每层进一步剖分成 三角形，每层的剖分方式相同，图卜1 给出了简单模型的剖分方式。取第n 个相 似形，从其中某一点开始，按照逆时针方向，将l 上的各点排一个次序，记为 r ，= 侈? ，) ，；，y ：f 。其中m 为该边界上的节点个数。因为单元割分的相似性，每 一层上的单元矩阵是相似的 5 。将一无穷阶方程问题转换为一个1 2 阶矩阵的特征 值和特征向量问题 3 。对于其中组合矩阵的求解给出了两种不同的求解方法：直 接法和迭代法 6 。基于无限元方法求解组合刚度矩阵的特征值和特征向量的过程 无限元方法及其应用 较复杂又提出了一些改进方法减小了计算量，提高了收敛速度 7 。 l l i i i i i i i i i l 图1 i 无限相似单元的剖分方式 国外无限元方法首先由u n g l e s s 和a n d e r s o n 在1 9 7 3 年首先提出，第一篇关 于无限元方法的论文由z i e n k i e w i c s 和b e t t e s s 在1 9 7 5 年完成。关于无限元方法 的首篇系统论文 8 由b e t t e s s 在1 9 7 7 年发表。无限元方法分为衰减无限元 9 和 映射无限元 1 0 1 1 。对于无限元方法的系统介绍可以参考 1 2 。无限元方法的 应用非常广泛，无限元方法应用于计算短波散射或超短波散射 1 3 。无限元方法 与有限元方法结合计算二维导体电磁散射 1 4 1 5 。无限元方法在计算二维电磁 散射问题较有限元方法与吸收边界条件1 和吸收边界条件2 结合的计算精度要高 1 6 。无限元方法在计算对称静磁问题时可以克服有限元法在计算时引入新的变 量在接近对称轴附近无法得到近似解的困难 1 7 。 l - 2 本文主要工作和研究方法 无限元方法是一种新的数值方法，本文主要研究了一维无限元方法和二维无 限元方法。 全文主要内容分为四个部分，第二章主要介绍无限相似单元方法和无限元全 域基函数，讨论了衰减无限元和映射无限元全域基函数的构造过程。衰减无限元 方法根据衰减函数的选取不同又可以分为指数衰减无限元和倒数衰减无限元，所 构造的无限元基函数满足占函数的性质。本文主要讨论了衰减无限元方法及其应 用。 第三章主要研究无限元方法在求解微分方程的具体应用，计算了常系数齐次 微分方程，变系数齐次微分方程和变系数非齐次微分方程。分别应用三节点，四 节点和五节点全域基函数计算，给出了计算结果与解析解的比较，验证了无限元 方法在求解微分方程方面的有效性。 第一章绪论 第四章主要讨论无限元方法在静电问题中的应用，应用无限元方法求解同轴 导体电位分布，给出了同轴圆柱导体电位分布和同轴方柱导体电位分布。在计算 同轴方柱导体电位分布时，其中的一个区域选择了插值公式计算。具体的插值公 式及其应用可以参考附录。如果将计算区域划分成更多的单元，则求解精度更高。 第五章讨论了分域基无限元基函数及其应用。前三章计算选用的无限元基函 数为无限元全域基函数，对于一维问题如果区域划分较细求解过程将非常复杂， 且对于二维问题很难以程序化，鉴于此，提出了分域基无限元基函数，所构造的 基函数满足占函数的性质。文中给出了无限元基函数和有限元基函数的图形比较， 结合新的无限元分域基函数，给出了一维无限元方法的算法实现过程，应用该算 法求解第三章的三个微分方程，所得的计算结果与解析解非常接近，结合无限元 方法和表面辐射条件求解非理想凸导体柱散射问题所得的计算结果与文献给出的 计算结果相同 1 8 。在一维无限元基函数的基础上，提出新的二维无限元基函数， 给出了二维无限元方法的算法实现过程。 附录中讨论了一种结合有理逼近和m b p e 的二维插值公式的构造过程及其应 用。 4 无限元方法及其应用 第二章无限元法简介 本章简单描述了无限相似单元方法的求解过程。讨论衰减无限元和映射无限 元基函数的构造，衰减无限元基函数是在原有限元基函数的基础上再乘以一项衰 减函数，衰减函数引入的目的是满足无穷边界的狄氏边界条件。衰减函数的选择 很多，这里主要讨论两种常见的衰减函数，即倒数型衰减函数和指数型衰减函数。 2 1 无限相似单元法简介 设计算区域为e 2 ，征区域【2 内部选弹一点0 作为相似中心，以区域边界r 0 为 第一边界，区域q 外部作r o 的相似形，命名为，r 2 ，l ，比例常数为k 。每 两个相似形之间为一层，将每层进一步剖分成三角形，每层的剖分方式相同。节 点位于每一层边界上，节点按照逆时针编码，记为_ = ? ，y ；，以 r 。其中m 为 该边界上的节点个数。 第一层单元矩阵记为： 篙：足 1 ，n 的选择要求满足比有限元插值函数的分子变量 阶次高。 如果变量沿着掌和叩方向衰减： d i ( 亭，叩) = ( 缶一4 0 ) i ( 4 一彘) 4 ( r b q o ) ( 叩一吼) ” ( 2 1 6 a ) 塑些盟： 一月( 磊一磊) 一僧一品) t ( 吼一) ( 7 - - r i o ) m ( 2 1 6 b ) a 与 垦堡霎盟：峙一岛) 僧一驯n - m ( 仇一叩。) m i ( r i - r i o ) 1 ( 2 1 6 c ) o7 7 满足k e l l o g g 条件；式中n 1 ，川 1 。 倒数型衰减函数较指数型衰减函数衰减慢。 以上讨论的衰减无限元属于静态问题，以下讨论的是周期无限元基函数。 第一个周期衰减无限元是由b e t t e s s 和z i e n k i e w i c z 在1 9 7 5 年提出的，他的思想 是在原衰减无限元基函数的基础上再乘以一项周期函数。 ，( x ) = p ( x ) d i ( x ) e x p ( i k x ) ( 2 1 7 ) 式中只0 ) 为有限元插值函数，口( 工) 为衰减函数，e x p ( i k x ) 为周期函数。 图2 1 给出了有限元基函数，衰减无限元基函数，周期衰减无限元基函数在 x 1 ，7 】，节点2 ：x = 4 的三个图像的比较，其中y l 为节点2 的有限元插值函数， y ：为节点2 的衰减无限元基函数，y ，为节点2 的周期衰减无限元基函数。 无限元方法及其应用 一维映射无限元 图2 1 插值函数的比较 2 4 映射无限元 o n o d e ln o d e2n o d e3 t o i n f i n i t e l - - l - - - l - - - - l q f - - a * a 刊 n o d eln o d e2n o d e3 ；旨乞叫， ：雀兰：芏 鲨箸 l i a 小a 抖卜一2 a + | 刊：墨：竺i ：耋4 f t l - v 3 - i 3f = l 图2 2 一维三节点映射无限图2 3 一维四节点映射无限元 映射无限元法是在原有限元插值函数的基础上，对原有限元插值函数作变换，使 得无穷远点为基函数的奇点： 设一维n 节点有限元插值函数为： l - i ( 彭一孝) 只( 舌) = 气盟一 ( 2 1 8 ) 兀( 彭一毒) 二1 ，j 列 定义维n 节点映射无限元函数为： 舳弘拍加侣伸舶舢舢拍舯舶枷 第二章无限元方法简介 m 艏，：鬻尊，i n 艏) = 暑盟一( 酱) 2 ，n 丌( 白一鲁) 、 一维映射双节点无限元函数，节点位置：善= 一1 ，1 只= 学j 即击 o m 一维映射三节点无限元函数，节点位置：亭= 一1 , 0 ，1 ，如图2 2 所示。 只：幽等m ：垄 2 1 1 一f o m i ：三 a 毒( 1 一善) 2 只锱+ 1 ) ( h ) j 肼：= 是 一t o m 2 ：上 a f( 1 一孝) 2 维映射四节点无限元函数，节点位置：孝= 一1 ，一 ，j 1 ，1 ，如图2 3 所示。 只：二! 圭! 生二! ；m ：巡 。1 1 6 1 4 ( 1 一亭) 盟：二! ! 堕二! 圭： a 善4 ( 1 一f ) 2 只= 业奠1 兰6 地j 炉筹 。 4 ( 1 一 ) a 彳，一4 2 4 f + 1 2 f 一 a 眚4 ( 1 一掌) 2 b = 鉴与竽地她= 等署 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 a ) ( 2 2 0 b ) ( 2 2 ：1 a ) ( 2 2 i l b ) ( 2 2 2 a ) ( 2 2 2 b ) ( 2 2 3 a ) ( 2 2 3 b ) ( 2 2 4 b ) ( 2 2 5 a ) 无限元方法及其应用 皇坠：! 堂二篁： a 孝4 ( 1 一亭) 2 ( 2 2 5 b ) 从上面三个例子可以看出映射无限元函数的分母都含有( 1 一孝) 项，在善接近l 时 n 只要分子不为0 ，每项无限元函数一定趋于无穷大，而r = m ；x ；，其中n 为节点 = 1 个数，当毒接近1 时，r 趋于无穷大。 二维映射无限元： 二维映射无限元函数分为两种情况： 第一种是只沿着其中某一方向( 假定善) 到达无穷远处，则映射函数可以表示为 n ( 玑一叩) n ( 白一掌) m ；( 善，1 7 ) = 寺l 一气盟一 兀( 仉- q ，) 兀( 白一岳) t ；l ，= 1 ，“ 第二种是沿着两个方向到达无穷远处，则映射函数可以表示为 兀( 仇一叩) 兀( 白一言) m ，( ，7 7 ) = 号堕一 n ( 仇一仇)n ( 白一营) ，；1 ， ( 2 2 6 ) ( ；苍) z ( 堑丑) ：，f ( 2 2 7 ) 吉。一言叩。一玎 如图2 4 的四节点二维映射无限元函数为 只沿孝方向到达无穷远处： m ：坐型 1 ( 1 一毒) 盟：业堂：_ 二l a 亭( 1 一眚) 2 a 7 7( 1 一考) ”将 堕：业堕：l a 善( 1 一手) 2 7 a 叩( 1 一告) ( 2 2 8 b ) ( 2 2 9 a ) ( 2 2 9 b ) 第二章无限元方法简介 jly 。 ”火磊d 。 ?y ，嗝o d e 1 x oo ， 一 l 叩 n o d e4 n o d e3 一一 。一t i oi i l 1 一 一_ n o d e1n o d e2 j 粒7 3 t o l 叩 78 9 - - - _ 一 415 6 l三 t o 一 一 土。 l - 一- = - - 0 1 3 图2 4 二维四节点映射无限图2 5 二维九节点映射无限元 沿着亭和叩方向到达无穷远处： m l = 志 om4o m ，4 a 孝一( 1 7 7 ) ) ( 1 一善) 2 a 叩一( 1 一掌) ( 1 一玎) 2 如图2 5 的九节点二维映射无限元函数为： m 1 翌措； 一0 3 4 1 ：翌! ! 二型 a 孝( 1 一孝) 2 a m l 一善( 1 2 叩) ：一= 2 2 一 7 a 叩( 1 一毒) ( 2 3 0 a ) ( 2 3 0 b ) ( 2 3 1 ) m 2 = 紫；警= 掣1；等= 等2 ( 1 c z 。z ， 2 ( 1 一手) a 告( 一掌) 。 。 a 刁一孝) m ：二塑! 塑二业堕：= 丛! 二窖：一：纽 (24 o m 4 3 3 ) ( 1 一考) a f( 1 一手) 2 。 a 叩( 1 一掌) 无限元方法及其应用 耻紫1 ；警= 等；等= 岽铲 s a ， ( 一毒) 4 a 孝( 1 一孝) 2 。 a 7 7( 1 一善) 炉晋警；警= 芒铲；等= 箐宁 汜s 耻帮；警= 搿；等= 紫。， 沿着善和叩方向到达无穷远处： 吖，：燮：盟： 挈一；一o m l ：j l 。 ( 2 3 7 ) 1 ( 1 一善) ( 1 一q ) a 孝( 1 一f ) 2 ( 1 - q ) a 叩( 1 - 4 ) ( 1 - q ) 2 。 峥高篇；警= 赢；筹= 瓣弦。s ， 巷端；警= 揣； 0 3 4 4 ： a 町( 1 4 芒 亭) ( 1 一即) 2 ( 2 3 9 ) 弘摆篇；等= 揣；筹= 赫汜a 三维映射无限元： 图2 6 三维八节点映射无限元 三维映射无限元函数分为三种情况： 第一种情况只沿着其中某一方向( 假定善) 到达无穷远处 丌( 仉- v ) 肘。( 毒，叩，f ) = 等l 一 兀( q k 一玎，) k ；1 h ( 4 j 一善) 兀( q l f ) y = 1 j f ，= 1 n ( 掌，一善) 卜l ，j 杆 兀( 白一 i = l 8 ( 学) 2 ，( 2 4 1 ) 第二章无限元方法简介 第二种情况沿着其中两个方向( 假定孝和刁) 到达无穷远处。 兀魄一7 7 ) a t ( 善，叩，f ) = ! ：；兰一 兀( 仇一研) 兀( 白一o j = lj _ 兀( 与一岳) 式中i n 。 第三种情况沿着三个方向都到达无穷远处。 丌( 1 7 。一7 1 ) m 。( 善，叩，f ) = 号点生一 n ( 玑一琅) k = 1 i “ ( 2 4 2 ) 兀( 乞一言) 兀( f ，一f ) = j ，可，】，i n 兀( 旬一盏) 兀( f ，一矗) ( 2 4 3 ) j = 1 一f i = 1 ，l # i ( 每粤) 2 ( 翌丑) 2 ( 三矗) ：f n ；。一g叩。一r f 一f 如图2 6 的三维8 节点无限元，只沿孝方向到达无穷远处。 m 3 觜；警= 背；盟o r = 丽- ( 1 丽- 6 - ) ；警= 鬻( 2 4 4 a ) 坞2觜；警=筹；筹=器；百om3=而-(1+r)202 0 2 ( 12 0 汜t 铀， 3 一毋7 鸳一毋2a 叩一0 霹一 ) 1 坞2 絮学；警= 絮紫o m s = 丽- 0 + 9 ) ；警= 器( 2 4 4 c ) 鸩2 絮紫；警= 絮铲o m v = 器；警= 揣汜俐， 沿着f 和叩到达无穷远处： m 2 龋；箦。丽2 ( 1 - q ) ；塑o r = 揣；警= 丽- 2 一( 2 4 5 a ) 丛! 盟 ( i - 白( 1 一功 一o m s 一一里掣一：丝：塑! 二盟：塑： ! 西 ( 1 0 2 ( 1 一们a 叩( 1 - o ( 1 - r ) 2 a f ( 1 - 0 ( 1 一r ) 沿着三个方向到达无穷远处 贮舻 4 无限元方法及其应用 m = 正丽丽8 ； 1 ( 1 一掌) ( 1 一町) ( 1 一f ) 7 塑：! 霹( 1 一# ) ( 1 一叩) ( 1 f ) 2 丝：!丝：! 一 。忡 西( 1 一旬2 ( 1 一，7 ) ( 1 一f ) 4a 玎( 1 - # ) 0 一们2 ( 1 曲 关于衰减无限元方法和映射无限元方法的系统介绍可以参考 1 2 年n 1 3 。 第三章无限元法求解微分方程 第三章无限元法求解微分方程 本章讨论无限元方法的具体应用计算维开域微分方程，文中选取三个 计算实例，分别为常系数齐次微分方程，变系数齐次微分方程和变系数非齐次微 分方程。所选择微分方程形式简单且可以求出解析解，目的是为了验证无限元方 法求解无穷区域问题的有效性，同时给出了解析解与无限元方法的计算结果的比 较和不同节点的计算误差的比较。 对于微分方程 垡一西：o c l x 2 。 3 1 无限元法求解一维常系数齐次微分方程 ( 3 1 ) 边界条件为：酬。= 1 ；乱。= 0 。 利用微分方程的本征值解法和边界条件可得该微分方程解析解为：垂：e l - x 。 将中离散化：中= e j 裤，式中m 为展开全域基函数，旃为待求节点函数值。 i = l 对( 3 1 ) 应用g a l e r k i n 加权余量法，权函数选择与无限元基函数相同。 r ( a 缸2 n ：, 一f ) m 破= 。 f ，= 1 ，m 式中m 为节点个数，式( 3 2 ) 分部积分得 c f 警警出一f n ，n , e x + 警n 谚= 。 式( 3 3 ) 最后一项满足： q 警卜 兰绑，：删“抛d 则式( 3 3 ) 简化为： ( r 警警出+ 几f 出肛。 选取三个节点无限元求解微分方程，节点的位置位于x = 1 ，2 ，o o 。 选择指数衰减无限元基函数求解( 3 1 ) ： ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 无限元方法及其应用 节点】的位置函数：t i , = 2 一x ；对应的衰减函数：d l = e “。 节点2 的位置函数：鼻= x 一1 ：对应的衰减函数：d ：= e 2 。 节点1 的无限元基函数可以表示为： n l = ( 2 一t ) e 。( 3 6 a ) 节点2 的无限元基函数可以表示为： n 2 = 一1 ) - p 2 。( 3 6 b ) 将( 3 6 a ) 和( 3 6 b ) 带入( 3 5 ) 得： r 警挚= 雠- 引e 。2 ；几一划 取上述第二方程得：一破。詈+ 唬詈= o ；节点2 的函数值为：戎= e - i , 不取第一方程的原因是第一方程属于狄利克雷边界条件，可以通过边界条件的强 加简化第方程。 选择一维倒数衰减无限元基函数求解( 3 1 ) ： 节点1 的位置函数：只= 2 一工；对应的衰减函数：d 1 = 1 x ”。 节点2 的位置函数：舅= x - 1 ；对应的衰减函数：d ：= 2 4 x “。 节点1 的无限元函数可以表示为： ，= ( 2 一x ) ；( 3 7 a ) 节点2 的无限元函数可以表示为： ，= 0 一i ) 寻 ( 3 7 b ) 计算过程与指数型衰减无限元方法的求解过程完全相同。 可得：晚= 善；篡：三；1 13 1 a 给出了三节点倒数型衰减无限元方法选择不 同衰减项阶数的计算结果与真实解的比较。图3 1 b 给出了衰减项阶次n = 2 和n = 3 的计算误差比较，由图可见n = 3 的计算结果较n = 2 时误差小。 第三章无限元法求解微分方程 x 图3 1 a 衰减无限元选择不同衰减 阶数计算结果与解析解比较 x 图3 1 b 衰减无限元选择不同 衰减阶数计算误差 选择一维三节点映射无限元基函数求解( 3 1 ) ： 3 对面按照有限元插值函数展开：中= 霉旃；式中霉为孝空间的有限元插值函数 f _ l 表达式与( 1 2 1 a ) 和( 1 2 2 a ) 相同，微分方程应用加权余量法得 r 万0 2 p , 一只) d q 谚：。 将x 区域映射到孝区域： 一喜雌，2 巷刈+ 鬈小壶 鱼：上：三 a 亭( 1 一掌) 2 j 2 式中m ，为无限元映射函数。 式( 3 8 ) 分部积分结合式( 3 4 ) 得： ( r 警o 舐p , d x + r 哪；喇= 。 式( 3 1 0 ) 作积分变换得： e c l 善嚣豢西+ 1 。只；妻鸳，旃= 。 将( 3 9 a ) 和( 3 9 b ) 带入( 3 1 1 ) 得： ( 3 8 ) ( 3 9 a ) ( 3 9 b ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 哺 啪 惜 哪 l o o 无限元方法及其应用 j 器嚣芸蝣+ p 只；奏骘= 1 + 2 ，st ，乙，s ：l 所有标注 的矩阵元素都不需要计算，只需计算第二方程： ( 一1 2 ，5 ) 磊+ ( 1 1 2 1 5 ) 庐z = 0 j 磊= o 3 2 1 4 计算选取的基函数为全域基函数，将计算结果带入离散函数可得： 巾“。= 破n l + 戎n 2 = ( 2 一x ) e 卜。1 + ( 工一1 ) e 2 _ 5 8 = e 卜； _ 2 ) 听n 1 增n 2 ：孚1 + 等x 0 3 2 1 6 = 0 2 8 6 丁4 x + 0 7 1 3 6 ： 叫哳n ，协n 2 ：孕1 + 娑x 0 3 7 2 5 = 半； 一声“一声、 o 脚i n g = 磊墨+ 畦县= 三号- 旦l + ( 1 + 善) ( 1 0 0 3 2 1 4 = 0 1 7 8 6 掌2 一o 5 善+ o 3 2 1 4 ； ， 其中善= 1 一三。 工 图3 2 a 给出了x 1 ，1 0 】的三节点衰减无限元方法的计算结果与解析解比较，图 3 2 b 给出了三节点映射无限元方法的计算结果与解析解比较。图中t r u e 表示解析 解；e x p 代表指数型衰减函数的计算结果；r e c 表示倒数型衰减函数的计算结果 m a p p i n g 代表映射无限元的计算结果( 后同) ( 其中衰减项阶数选择n = 3 ) a 图3 2 a 三节点衰减无限元方法的 计算结果与解析解比较 图3 2 b 三节点映射无限元方法的 计算结果与解析解比较 选取四节点无限元基函数，节点位置：x = 1 , 2 ，3 ，0 0 a 衰减函数选择指数型衰减函数。 节点l 的位置函数：只= ( x 一2 ) o 一3 ) 2 ；对应的衰减函数：d 1 = e 1 - 。 第三章无限元法求解微分方程 节点2 的位置函数：最= 一( z 1 ) ( x 一3 ) ；对应的衰减函数：d ：= e 2 一。 1 9 节点3 的位置函数：只= o 一1 ) ( x 一2 ) 2 ；对应的衰减函数：d 3 = e 。 ，：( 兰二型兰二苎e 1 - x( 3 1 2 a ) n ：= - ( x 一1 ) ( z 一3 ) 】e 2 1 ( 3 1 2 b ) ，：! 兰二! 塑= 至p 一( 3 1 2 c ) 州w2 3 1 6 1 3 e 1 6e 2 8 广盟：l _ 1 3 e 1 63 e ：，4 _ 3 e 3 1 6 4 出出 i e 2 23 p 3 1 6 e 4 1 6 | 3 1 6 e 1 6 0 n 鸬出= l “1 6 引4 叫1 6 l l 0一e 3 1 68 4 1 6j i ( 一3 9 4 ) 畦+ e 2 唬一( 8 3 4 ) 4 3 = 0。i 砍= e 。1 【( p 2 8 ) 破一( e3 4 ) 磊+ ( e 4 8 ) 4 3 = 0= e 。2 节点1 的位置函数：e = 0 - 2 ) ( x 一3 ) 2 ；对应的衰减函数：d 1 = 1 x ”。 节点2 的位置函数：= - ( x 一1 ) ( z 一3 ) ；对应的衰减函数：d ：= 2 ”x “。 节点3 的位置函数：只= 0 1 ) ( x 一2 ) 2 ；对应的衰减函数：d ，= 3 ”x ”。 n一土l(x-2)(x-3) 2x ” 节点2 的无限元函数可以表示为： ”七嘶_ 3 ) ； ( 3 1 3 a ) ( 3 1 3 b ) 无限元方法及其应用 ，：业幽三 ( 3 1 3 c ) 。 2x ” 将( 3 1 3 a ) ( 3 1 3 c ) 带入( 3 5 ) 计算过程与上例相同，选取h = 3 可得： 欢= 03 5 7 9 ，九= 0 1 5 6 4 。 指数型衰减函数得到的计算结果与精确解完全相同，而倒数型衰减函数得到的计 算结果与精确解近似。 计算选择的基函数为全域基函数，将计算所得结果带入离散函数得： 中。m = 硅】+ 唬- n 2 + 如n ，= p 卜。； 中。：，= 噍n ，+ 晚n z + 珐n 。= 二旦翌三! 兰二三；笠竺趔； 图3 3 a 给出了x 1 ，1 0 】的四节点衰减无限元方法的计算结果与解析解的比较。 图3 3 b 四节点映射无限元方法的 计算结果与解析解比较 x o24e4 o x 图3 4 a 三节点和四节点倒数图3 , 4 b 三节点和四节点映射 衰减无限元误差比较无限元误差比较 图3 4 a 给出了xeb ，1 0 】的三节点倒数衰减无限元方法和四节点倒数衰减无限元方 第三章无限元法求解微分方程 法计算结果的误差比较，图中e r r 2 为四节点衰减无限元的计算误差，四节点较三 节点有更高的计算精度。 选择四节点映射无限元函数，节点位置：z = 1 , 2 ，4 ，0 0 。 将x 映射到孝区域： x ：争m ：二! 望。1 + ! 二堕二! 笙。2 鲁一4 ( 1 一善)4 ( 1 一善) ( 3 1 4 a ) + ! 笠望。4 ：! ! 二望 4 ( 1 一善) 4 ( i 一考) 堡：望二箜土! !( 3 1 4 b ) 一 1 、j a 喜4 ( 1 一告) 将( 3 1 4 a ) 和( 3 1 4 b ) 带入( 3 1 1 ) 得： ： 嚣嚣薯蟛+ 只妻西= ! a a 眚缸。1 7 。j 2a 。 一1 8 8 6 96 1 6 3 65 8 6 4 1 + 1 2 5 0 45 8 6 4 11 4 5 9 8 5 + + 所有标注卓的矩阵元素都不需计算。 只要计算第二方程和第三方程：识= o 3 6 3 6 ，九= 0 0 4 9 8 ； 而该微分方程在节点2 和节点4 的解析解为：0 2 = 0 3 6 7 9 ，0 4 = 0 0 6 0 4 将计算结果带入离散函数得： m 蚴。哳只培只增e = 丛 警塑1 + ， ，? o，；其中孝= l 一三。 ! f ! 二篁二生：望! 。o 3 6 3 6 + ! ! ! 堑二圭：二望! 。0 0 4 9 8 3 x 1 61 6 图3 3 b 给出了工i l ，i o 的四节点映射无限元的计算结果与解析解的比较，可见计 算结果较接近解析解。图3 4 b 给出了z l l ，1 0 i 的三节点映射无限元和四节点映射 无限元的误差比较，图中e r r l 为四节点的计算误差，四节点映射无限元较三节点 映射无限元有更高的计算精度。 3 2 无限元求解一维二阶变系数齐次微分方程 对于微分方程： 碧毒倒出2x 2 1 ( 3 1 5 ) 无限元方法及其应用 边界条件为：刊。= 1 ；酬= 0 。 利用边界条件得微分方程解析解为：一1 。 x 将中离散化：巾= i 旃，式中n i 为展开全域基函数，破为节点函数值。 i = 1 对( 3 1 5 ) 应用g a l e r k i n 加权余量法， 胁警毒艘办= 。“- 1 式( 3 1 6 ) 分部积分得： 卜l 等等如一l 专n j n 舭n i 权函数选择与无限元函数相同。 - m( 3 1 6 ) 掣：o o xl 】 左式最后一工贞满足： n j 警1 7 也。坶j 三叩妇d 则( 3 1 7 ) 可简化为： ( f 警警出+ f - 砉n i n f l x ) q k i = 。 选取三节点无限元，节点的位置位于x = 1 , 2 ，o o 。 衰减函数选择指数型衰减函数： 节点基函数的表达式与上例相同，将( 3 6 a ) 和( 3 6 b ) 带入( 3 1 9 ) 得： r 警挚= 瞄捌：r 知呐= 0 3 2 8 1 1 溅1 5 9 2 9 3 1 取上述第二个方程得：破。( 一量+ 0 1 5 9 2 9 3 ) + 珐( j + o - 8 0 8 1 4 9 ) = o ： 口口一 可得节点2 的结果为：也= 0 4 5 1 8 。 衰减函数选择倒数型衰减函数： 节点基函数的表达式与上例相同，将( 3 7 a ) 和( 3 7 b ) 带入( 3 1 9 ) 得： f 警挚= h 1 5 3 3 ，- ：1 驯7 3 3 ；r m m 虻一0 2 m 6 6 7 。0 1 。3 。3 ，3 取上述的第二个方程得：磊( - 1 7 3 3 + o 1 3 3 3 ) + 如( 2 1 3 3 + 1 0 6 6 7 ) = 0 ； 可得：以= 0 5 0 0 ；”= 2 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 苎三兰歪里垂鲨垄塑塑坌杰望 一2 3 单元内任意一点函数值可以表示为： ：主只谚( 3 2 0 ) 式中e = 掣；最：( 1 - 胛+ 孝) ；只：墨望。 将( 3 2 0 ) 带入( 3 1 5 ) ，两边应用g a l e r k i n 加权余量法，分部积分得： ( r 罢罢出+ f ；弓只出) 癌：。 z ， 将( 2 9 a ) 和( 2 9 b ) 带入( 2 2 1 ) 得： c 璧篝鬈蝣+ 睾钟妻嘶m = 。 c 。2 z ， r 詈嚣封i 1，5烈337溅33020 402 6 7 。 。 i 一 1 睁p 轸阳；絮1r p 善= 卜3 1 0 6 70 1 3 3 l l o 0 6 7 o - 1 3 3o 2 6 7j 选择第二方程：( - 1 7 3 3 + 0 1 3 3 ) 破+ ( 2 1 3 3 + 1 0 6 7 ) 毋2 + ( 一0 4 + 0 1 3 3 ) 痧3 ：0 带入边界条件所得的计算结果为：如：0 5 。 x x 图3 ，5 a 三节点衰减无限元方法的 图3 5 b 三节点映射无限元方法的 计算结果与解析解比较 计算结果与解析解比较 将上述的计算结果带入离散函数得： ( i ) e x p = 商n 1 + 珐n 2 = ( 2 一z ) e 1 - 。1 + ( x 1 ) e 2 ”0 4 5 1 8 ； 无限元方法及其应用 ( i ) r e c o r = 2 ) = 删。垤2 _ 孚“瓮掣0 5 1 ： 中，。镕= 西只+ 噍只= 毒( 1 一孝) 2l + ( 1 + 伽一# ) - 。5 ：1 - _ _ 2 a ；其中孝= 1 一j 2 a 由图3 5 a 给出了z 1 1 ，2 0 l 的指数型衰减无限元和倒数型衰减无限元( n = 2 ) 的计算 结果与解析解的比较，图3 5 b 给出了x 自，2 0 】的映射无限元的计算结果与解析解 的比较。倒数型衰减无限元与映射无限元的计算结果与解析解完全相同，指数型 衰减无限元的计算结果与解析解近似。 选取四节点无限元，节点位于x = 1 , 2 ，3 ，o 。 衰减函数选择指数型衰减函数： 无限元基函数与上例完全相同。将( 3 1 2 a ) ( 3 1 2 c ) 带入( 3 1 9 ) 得： r2 3 】61 始1 69 2 81 r 尝：l - 1 3 e 1 63 e 2 4 - 3 8 3 1 6 i 4 出出 | 9 2 23 e 3 1 6p 4 1 6 沣2n i n t 出= 0 2 7 7 3 1 1 2 0 2 7 0 8 6 6 7 一o 1 4 4 4 1 2 0 2 7 0 8 6 6 7 1 0 9 6 5 0 8 0 4 3 1 2 3 8 7 一o 1 4 4 4 1 2 一0 4 3 1 1 2 3 8 7 0 6 3 9 5 5 3 5 i 取上述第二方程和第三方程： i ( 一1 3 e 1 6 + 0 2 7 0 8 6 6 7 ) 破+ ( p 2 + 1 0 9 6 5 0 8 ) 庐24 - ( 一3 e 3 1 6 - 0 4 3 1 2 3 8 7 ) 4 3 = 0 i ( e 2 8 一o 1 4 4 4 1 2 ) 确+ ( - 1 3 e 3 1 6 0 4 3 1 2 3 8 7 ) 谚z + ( 日4 1 64 - 0 6 3 9 5 5 3 5 ) 乒3 = 0 啦= 0 4 9 3 6 ，谯= o 3 1 9 0 衰减函数选择倒数型衰减函数 节点函数与( 3 1 3 a ) ( 3 1 3 c ) 相同，将节点函数的无限元基函数带入( 3 1 9 ) 可 得计算结果为： 珐= 0 5 0 0 ，戎= o 3 3 3 而节点2 和节点3 的解析解为：m ，= o 5 0 0 ，= 0 3 3 3 。 选择映射无限元基函数，节点位置：z = 1 , 2 ，4 ，o 。 将( 3 1 4 a ) ( 3 1 4 b ) 带入