（基础数学专业论文）一些组合序列的hankel变换.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 h a n k e l 矩阵的研究是组合矩阵中基本的研究课题之一，涉及到h a n k e l 变换、h a n k e l 矩阵的分解等近些年来，对于h a n k e l 变换的研究非常活跃它自然的出现在组合、数 值分析、代数等数学分支以及计算机科学、结构计算等其它学科中计算h a n k e l 变换的 方法主要包括h a n k e l 矩阵的l d u 分解法，连分式法和格路理论本文用连分式法证明 了b a r r y 提出的几类序列h a n k e l 变换的猜想，同时通过h a n k e l 行列式的计算，给出一 些组合序列对数凸性和对数凹性新的证明 本文安排如下： 1 第一章介绍了h a n k e l 变换研究的一些相关背景和与之相关的概念 2 第二章主要介绍了h a n k e l 变换的计算方法和保持h a n k e l 变换的线性变换，并给出 二项变换保持h a n k e l 变换的新的证明 3 第三章证明了b a r r y 提出的关于反级数的h a n k e l 变换的几个猜想 4 第四章利用g e s s e l v i e n n o t l i n d s t r s m 方法，给出一些组合序列对数凸性和对数凹性 新的证明 关键词：h a n k e l 变换；格路；连分式；对数凸性；对数凹性 大连理工大学硕士学位论文 h a n k e lt r a n s f o r m so fs o m ec o m b i n a t o r i a l s e q u e n c e s a b s t r a c t t h er e s e a r c hi nh a n k e lm a t r i c e si so n eo ft h ep r i m a r yt o p i c si nc o m b i n a t o r i a lm a - t r i c e s ，i n c l u d i n gt h es t u d yo fh a n k e lt r a n s f o r m sa n dd e c o m p o s i t i o no fh a n k e lm a t r i c e s t h eh a n k e lt r a n s f o r ma r i s e so f t e ni nc o m b i n a t o r i c s n u m e r i c a la n a l y s i s a l g e b r aa n do t h e r b r a n c h e so fm a t h m a t i c s i ta l s oa r i s e si nc o m p u t e rs c i e n c e s t r u c t u r a la n a l y s i sa n do t h e r s c i e n c e t h e r eh a sb e e na na m o u n to fi n t e r e s ta n dr e s e a r c hd e v o t e dt ot h eh a n k e lt r a n s - f o r mi nr e c e n ty e a r s i ng e n e r a l ，t h et o o l st oc a l c u l a t eh a n k e lt r a n s f o r m si n c l u d et h el d u d e c o m p o s i t i o no fh a n k e im a t r i c e s ，c o n t i n u e df r a c t i o n sa n dt h et h e o r yo fl a t t i c ep a t h s i n t h i st h e s i s ，w es h o wh o wc o n t i n u e df r a c t i o n sc a nb eu s e dt op r o v et h ec o n j e c t u r e so n h a n k e lt r a n s f o r m so fs o m es e q u e n c e sp r o p o s e db yb a r r y 腑a l s og i v ean e wp r o o fo f l o g - c o n v e x i t ya n dl o g - c o n c a v i t yo fs o m es e q u e n c e st h r o u g ht h ec a l c u l a t i o n so fh a n k e l d e t e r m i n a n t s t h eo r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： 1 i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w er e v i e wt h eb a c k g r o u n da n ds o m er e l a t e dd e f i n i t i o n so fh a n k e l t r a n s f o r i n s 2 i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w em a i n l yi n t r o d u c es e v e r a lc a l c u l a t i o n a lm e t h o d so fh a n k e l t r a n s f o r m sa n dl i n e rt r a n s f o r m a t i o n sp r e s e r v i n gh a n k e lt r a n s f o r m s w ea l s op r o v e t h a tt h eh a n k e lt r a n s f o r mi si n v a r i a n tu n d e rt h eb i n o m i a lt r a n s f o r m 3 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w eg i v es o m ep r o o f sf o rt h e o p e np r o b l e m sa b o u th a n k e lt r a n s - f o r m so ft h es e r i e sr e v e r s i o n sp r o p o s e db yb a r r y 4 i nt h ef o r t hc h a p t e r w eu s et h em e t h o dd u et og e s s e l - v i e n n o t l i n d s t r s mt op r o v e l o g - c o n v e x i t ya n dl o g - c o n c a v i t yo fs o m es e q u e n c e s k e y w o r d s ：h a n k e lt r a n s f o r m s ；l a t t i c ep a t h s ；c o n t i n u e df r a c t i o n s ；l o g - c o n v e x i t y ； l o g - c o n c a v i t y i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作 所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论 文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或 其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论 文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：二丝鱼盔查刻笪丝丛丛查基 作者签名：扬! 鱼名 日期：塑旦艺年月堑e t 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论 文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权保 留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目：二些红堑虚到甾毖垒f 壹送 作者签名：物遣叁日期：2 臣乜2 年鱼月- _ 丛日 导师 签名：一班日期： 之拉岔2 年月么日 3 7 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 本章为后续各章做准备着重介绍h a n k e l 矩阵和h a n k e l 变换的发展情况，并简单 叙述本文所需要的概念及术语 1 1 前言 本研究课题所属的研究领域是组合数学组合数学是一门研究离散对象的学科，有 时人们把组合数学和图论加在一起称为离散数学随着计算机科学的日益发展，组合数 学的重要性也日益凸显因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据，而研究 离散数据的科学恰恰就是组合数学组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地 位，在其它的学科中也有重要的应用：如编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有 重要应用组合数学的研究领域有很多，如：组合计数，组合设计，组合矩阵，组合优化 世 弓f h a n k e l 矩阵的研究是组合矩阵中的基本问题之一，对分析组合序列是有益的h a n k e l 矩阵在数值计算，数字信息处理，系统理论和优化理论中都有广泛应用例如：利用最小 二乘法求数据的多项式拟合曲线问题可转化为求解以h a n k e l 矩阵为系数矩阵的线性方 程组 h a n k e l 变换的研究一直引起了众多人的兴趣s h a p i r o 3 1 】在1 9 7 6 年计算出c a t a l a n 数的h a n k e l 变换为1 a i g n e r z 】用h a n k e l 行列式刻画了b e l l 数随后p e a r t t m j 用同 样的方法对小s c h r s d e r 数，中，b - - 项式系数作出了刻画r a d o u x 对于组合序列h a n k e l 变换的计算作了大量的工作，相关的技巧和方法见文献 2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 1 有许多利用连 分式计算h a n k e l 变换的方法，例如：利用k r a t t e n t h a l e r 1 4 】和w a l l 4 0 】的山分式，以 及j o n e s 和t h r o n 1 3 】的d 分式2 0 0 6 年，s u l a n k e 和x i n 1 1 j 】利用连分式理论得到计 算h a n k e l 变换的二次变换【甜】最近，x i n 4 2 】用二次变换证明了s o m o s 一4 猜想 对数凸性和对数凹性的研究对了解组合序列的分布是有帮助的，这是获得组合不等 式的丰富源泉【，1 尽管它们的定义比较简单，但有时候证明某个序列具有对数凸性或对 数凹性是一件十分困难的事，因为它要使用精细的数学工具和艰深的技巧例如，经典 分析学【1 3 2 ，线性代数学【2 4 1 7 ，以及t o t a lp o s i t i v i t y 理论【5 等等相关问题，技巧 1 一些组合序列的h a n k e l 变换 和方法见s t a n l e y 的关于对数凹性的综述文献 3 5 1 和b r e n t i 的补充文献【5 】以及l i u 和 w a n g 的关于对数凸性的文献f 18 1 本文第四章将用g e s s e l - v i e n n o t l i n d s t r 6 m 方法来证 明一些组合序列的对数凸性和对数凹性 1 2 预备知识 这一节将介绍本文所用到的一些重要概念 1 2 1h a n k e l 矩阵和h a n k e l 变换 设非负序列( 8 七) 缸o = 知，a l , a 2 ，简写为 8 惫) ，这个序列的h a n k e l 矩阵为 日= c 啦卅k ，。= ( 骞a o ；a 1 ；a 2 其中n 阶t t a n k e l 矩阵记为= ( o i 钾) o s j s 几一l ，它的行列式记为h n = d e t ( ) ，显然 上k 是一个对称矩阵 给定非负序列a 膏) 惫o ，a k ) 的h a n k e l 变换是 饥) 1 = h i ，h 2 ，h 3 ) 对于多项 式序列 n 岛( z ) 七o = o o ( z ) ，口( z ) ，0 2 ( z ) ) ，同样的我们可以定义多项式序列的h a n k e l 矩阵和h a n k e l 变换。 设f ( x ) = 七 oa k x 七是序列 o 惫) 七o 的发生函数，记d e t ( h ( f ) ) 为 o 南) 南o 的他 阶h a n k e l 行列式，d e t ( h 三( f ) ) 为 a k k l 的n 阶h a n k e l 行列式通过定义，我们很快 可以得到下面一个引理 引理1 1 令f ( z ) = 惫oo 七矿，则d e t ( 职( f ) ) = d e t ( 风( 且专业) ) 使用该引理可以方便地计算平移序列的h a n k e l 行列式 1 2 2 格路 设z 2 = ( i ，j ) ： ，j z ) 是二维整数格点的集合如果对于所有的0 k r t ，都有 p k 砰成立，则称点序列p = p o ，p l ，p n 为路p o 称为p 的起点，称为p 的终 点例如， p = ( 0 ，o ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，1 ) ，( 2 ，2 ) ，( 3 ，3 ) 是图1 1 中的路如果路p 的终点和q 的起点重合，那么册表示路p 和路口的连接路 也经常用步( s t e p s ) 来描述，它的第i 步是从鼽一1 到胁的向量我们把向量的坐标放入 2 大连理工大学硕士学位论文 方括号以区别路中格点的圆括号如果使用e = 【1 ，o 】，n = 【0 ，l 】，以及d = 【1 ，1 】表示 向东，向北和对角的单位步那么图1 1 中的路p 可以被写成d e n d 的形式如果一 条路由向东步e 和向北步组成，那么称这条路为格路( 1 a t t i c ep a t h ) ( 0 ，0 ) 图1 1 如果在第一象限内从( t ，o ) 到( i + n ，0 ) 的路是由向上步r = 1 ，1 】和向下步f = 1 , - 1 组成，那么此路为d y c k 路例如， p = ( 0 ，o ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，0 ) ，( 3 ，1 ) ，( 4 ，2 ) ，( 5 ，1 ) ，( 6 ，0 ) 是图1 2 的一条d y c k 路 ( 0 ，0 ) 图1 2 显然图1 2 中的d y c k 路可以被写成r f r r f f 的形式d y c k 路中点的高度是该点的纵 坐标和起始点的纵坐标之差如果d y c k 路中有一段是r f ，则称这段为山峰( p e a k ) ，其 中冗步和f 步的交点称为峰点如果d y c k 路中有段是f r ，则称这段为山谷( v a l l e y ) ， 其中冗步和f 步的交点称为谷点例如，在图1 2 中d y c k 路p 有两个山峰，一个山 谷，其中第一个峰点的高度为1 1 2 3 对数凸和对数凹 设非负序列 o 七 惫2 0 = 知，a l ，a 2 ) ，如果对所有的k 1 ，均有不等式 2 a k a k l + a k + 1 ( 2 a k a k 一1 十a k + 1 ) 3 一些组合序列的h a n k e l 变换 成立，则称此序列是凸的( 凹的) ；如果对所有的k 1 ，均有不等式 n l a k 一1 a k + 1 ( a ；a k l a k + 1 ) 成立，则称此序歹9 是对数凸的( 对数凹的) 我们考虑一个著名的对数凹序列- p a s c a l 三角的第九行 ( 州扎 因为( ：) = 志，所以 器= 盟k 将( n 产虬( 七三。) ( 七：，) 一) 因此该序列是对数凹的但是，在组合序列中，大部分的序列并没有像二项式系数那样 简单的计数公式例如第二类s t r i l i n g 数 剐m 垆善( 1 户吖南m 詹 0 ) 因此，关于序列对数凸性和对数凹性问题的研究显得十分困难1 9 8 9 年，著名数学家 s t a n l e y 3 5 对这个问题作了系统的阐述，他具体介绍了研究序列对数凹性的一般性方法， 如经典分析，代数几何，t o t a lp o s i t i v i t y 理论等在许多场合中，发生函数能够帮助证 明一个序列的对数凹性事实上，发生函数构建了离散数学和连续分析之间的桥梁研 究有限序列对数凹性的一个经典方法是应用下述n e w t o n 不等式【l 2 1 n e w t o n 不等式令a o ，a 1 ，a n 是一非负实数序列，如果它的发生函数p ( x ) = a k x 七 只有实零点，那么 。2 独川m t k + l 等等，尼_ l ，2 柚- 1 ( 1 1 ) 成立因而该序列是对数凹的 我们很自然地把序列的对数凹性和它的发生函数仅有实零点性联系在一起此特性 主要来在于t p 理论对于矩阵m = ( 必，) ，o ，如果对任意的t ( t 1 ) 阶子式有相同的 符号，则称m 为r 阶符号正则矩阵，简称s 忌矩阵用e t ( = 土1 ) 表示t 阶子式的相同 的符号，向量( 1 ，2 ，岛) 称为m 的符号序列对于一个s 毋矩阵m ，如果它的符号 序列是( 1 ，1 ，1 ) ，则称矩阵m 为? 阶全正矩阵，简称t 只矩阵如果对所有的r 1 ， 矩阵m 是丁b 的，则称m 为无限阶全正矩阵，简称丁p 矩阵 4 大连理工大学硕士学位论文 设a o ，a 1 ，a 2 是无限非负序列，如果它的h a n k e l 矩阵日是s 辟矩阵，则称序列 1 ) i o 是s 辟序列；如果它的t o e p l i t z 矩阵 = ( a j i ) i , j o = 是t p 矩阵，其中当k o 的2 阶 子矩阵的行列式都是非负的，如 ：1 卜独嘲 所以此序列一定是对数凹的。实际上，上面的2 阶子矩阵是特殊的2 阶h a n k e l 矩阵我 们在第四章利用格路方法判断一些组合序列的2 阶h a n k e l 行列式的正负，进而能够证 明序列的对数凸性和对数凹性 5 m 劬0 一 知0 0 大连理工大学硕士学位论文 2 h a n k e l 变换的计算和保持h a n k e l 变换的线性变换 本章我们将主要介绍h a n k e l 变换的计算方法和保持h a n k e l 变换的线性变换最 后，我们给出二项变换保持h a n k e l 变换的新的证明 2 1 h a n k e l 变换的计算 h a n k e l 矩阵是一类特殊的对称矩阵，计算序列的h a n k e l 变换实际上也就是计算所 对应的h a n k e l 行列式本节将会介绍两种h a n k e l 变换的计算方法：h a n k e l 矩阵的l d u 分解和格路计数方法 2 1 1h a n k e l 矩阵的l d u 分解 矩阵的分解多半是将矩阵拆解为数个三角形矩阵的乘积，依使用目的不同，可分为 三种矩阵分解法： 1 ) 三角分解法，2 ) q r 分解法，3 ) 奇异值分解法本节将介绍矩阵 的l d u 分解，它是矩阵的三角分解中的一种主要的用途在于简化高阶矩阵的行列式 的计算过程，求逆矩阵和求解联立方程组下面我们首先介绍矩阵的l d u 分解 设a 是一个方块矩阵，a 的己d u 分解是将它分解成如下形式： a = l d u 其中三是单位下三角矩阵( 对角线全是1 的下三角矩阵) ，d 是对角矩阵， u = l t 设l = ( 2 n ，惫) 卉。膏o 是单位下三角矩阵，它的s t i e l t j e s 矩阵= l l ，其中己是l 去掉第一行后得到的矩阵从定义，我们可以得到以下性质： 1 = 甘l = l 2 如果= ( 8 i ，k ) i ，南o ，则 2 n 萨跏h 勘n 1 3 是三对角线矩阵当且仅当存在序列 入七) 七2 0 ， 弘七) 惫o ，使得 1 o = a o n l ，0 + t z o l 礼一l ，1 ，几l ， 7 一些组合序列的h a n k e l 变换 2 n 七= f n 一1 ，七一1 + a k l 竹一1 ，七+ # k l n 一1 ，k + l ，k ，礼1 ， 8 0 02a o ，8 1 02p o ， s 七凫5 入知，8 k + 1 七2p 七，k l p e a r t 和w b a n 【2 2 1 给出下面的结论，他们得到了h a n k e l 矩阵和s t i e l t j e s 矩阵的关系 定理2 1 f 2 2 j 设日= ( ，七) n ，南2 0 是序列1 ，a 1 ，a 2 的h a n k e l 矩阵，并且h = l d u 其中 d = l = ( k ，七) n ，k o = 则s t i e l t j e s 矩阵是三对角矩阵， s l = f 4 0f 4 12 4 22 4 3 1 入o 1 p o入1 1 p 1入2 p 2 反0 ，i 0 ，u = l 7 1 久3 1 p 3入4 其中入o = a l ,肛。= d 1 ， a 七= l k + l , 七一k 七一1 ， 卢七= 兰出d k ， k 1 定理2 1 告诉了我们矩阵s l 中元素与h 中元素的关系p e a r t 2 3 】利用s t i e l t j e s 矩 阵得到了h a n k e l 行列式的显式表达式，他给出下面的结论 8 1 l 1 s ； 1 殂 ； 0 0 01 “如b 如 如 大连理工大学硕士学位论文 定理2 2 f 2 3 1 设h = ( k ，k ) n ，惫o 是序列1 ，a l ，a 2 的h a n k e l 矩阵，并且h = l d l t 则 s l = a l 1 d 1a 1 1 弘1 入2 1 p 2 入3 1 肛3a 4 d e t ( h 1 ) = 1 ，d e t ( h 2 ) = d 1 = a 2 一n ；， 咒3 利用定理2 2 ，p e a r t 给出了一些组合序列的h a n k e l 行列式下面我们给出他的一些 例子，更多的例子参见文献【2 3 例2 1 考虑c a t a l a n 数： g = 击( 哿) ，创 至今，人们已经给出它上百种组合解释倪彻，l e 俨j 和他的m i t 主页【3 7 】，c a t a l a n 数 也可用d y c k 路解释，即从( 0 , 0 ) 到( 2 n ，0 ) d y c k 路的计数下面是c a t a l a n 数序列 ( g ) n o = 1 ，1 ，2 ，5 ，1 4 ，4 2 ，1 3 2 ) 它的发生函数为 纠= 坐2 x t l 0 它所对应的s t i e l t j e s 矩阵 s l = 11 121 l21 121 12 其中d 1 = 1 ，地= 1 ，i 1 利用定理2 2 ，我们得到d e t ( h n ) = 1 ，n 1 9 卜一 n 1肛 脚汹 一 回 i i 巩 eed 一些组合序列的h a n k e l 变换 例2 2 考虑大s c h r s d e r 麦& r n 它是不会穿到对角线可= z 以下，从点( i ，i ) 到( n + i ，n + i ) 带有对角步的格路的计数大s c h r s d e r 数序列 1 s u l a n k e 和x i n 3 9 】用上面的引理计算出一些经典组合序列的h a n k e l 变换他们在格路 中使用三种步：u = f 1 ，1 ，h = f f ，o 】，d = 1 ，一1 ，并且日步的权为t ，其余步的权均 为1 设( n ，t ，z ) 是从( 0 ，0 ) 到( n ，0 ) 的路集的权和，其中路集中的路都在z 轴上方，记 y ( x ) = 竹 o ( n ，t ，1 ) x n 下面是s u l a n k e 和x i n 给出的结论 命题2 1 设n 0 ，l = 1 ，则对任意的t ，d e t ( h 札( f ) ) = 1 命题2 2 设扎0 ，l = 2 ，则对任意的t ， 剐= ；耋篡蒜 命题2 3 设n o ，t = 1 ，1 = 3 ，i i , jd e t ( 巩( f ) ) 装l = l ，1 ，0 ，0 ，一1 ，一1 ，一1 ，一1 ，一1 ，0 ，0 ，1 ，1 ，1 ) 上面的性质包括了许多的组合序列，例如：c a t a l a n 数，m o t z k i n 数和大s c h r s d e r 数等第四章，我们将利用引理2 1 证明对数凸性和对数凹性 2 1 3 多项式的h a n k e l 行列式 本节将介绍组合多项式的h a n k e l 行列式，包括b e l l 多项式，d e r a n g e m e n t 多项式， c a t a l a n 多项式和h e r m i t e 多项式下面我们以b e l l 多项式为例，介绍一些组合多项式 的h a n k e l 行列式的计算方法 b e l l 多项式的定义如下 b o ( z ) = 1 ， 风( z ) = s ( 扎，k ) z 七，礼1 其中s ( n ，k ) 是第二类s t i r l i n g 数 1 9 7 9 年，r a d o u x 2 7 1 第一次得到 a e t c k 乩k ，住= ( 塾p 州牌 大连理工大学硕士学位论文 近期，e h r e n b o r g n l 9 用组合方法同样证明了上述等式下面我们给出r a d o u x 3 0 】的三 角分解法 根据第二类s t i r l i n g 数的递推关系 s ( n ，k ) = s ( n 一1 ，k 一1 ) 4 - k b ( n 一1 ，) ， 我们知道b e l l 多项式满足以下等式 鼠+ ，( z ) = z ( 鼠( z ) + 乏鼠( z ) ) 利用归纳法，得到等式 一z ) ：删登川x ki弘dk-gb m ( z ) ) ( 杀玩( z ) ) + n ( z ) = l 赢b m ( z ) ) ( 熹玩( z ) 尤= = u 根据等式我们可以将矩阵 分解成两个三角矩阵 和 b o 心 lb 1 ( z i 岛( z i ： i 。 及( z 岛( z ) 乏剐z ) d 一，、 - - a - ：b 2 ( x ) u 山 乏鼠( z ) 岛( z ) 0 0 0 b l ( x ) 岛( z ) 玩( z ) 鼠+ 1 ( 。) b 1 ( z ) d b l ( z ) 0 0 岛( z ) 岛( z ) 鼠( z ) 玩+ 2 ( o ) 鼠( z ) 玩+ 1 ( z ) 鼠+ 2 ( x ) 岛n 0 ) 0 0 蔷岳眦卜 j； 万x 2 面d 2 夙( z ) 1 3 0 0 o 筹尘b n ( dz ) x n扎! 。 丢脚) _ 茹出2 。礼l “7 竺d 鼠( z ) x n “nl “ 。d擎瓢 。一zu z 一 一些组合序列的h a n k e l 变换 的乘积，并且券玩( z ) = 礼! ，因此 d e t ( b i + j ( z ) ) i j ：。，l ，n = ( n 尼! ) z n ( n + 1 ) 2 n、 七= 0 注意当z = 1 时， 玩( 1 ) ) n 2 0 就是b e l l 数，这样就得到 更多的关于d e r a n g e m e n t 多项式，c a t a l a n 多项式和h e r m i t e 多项式的h a n k e l 行列式 的计算，参见文献 2 9 2 2 保持h a n k e l 变换的线性变换 本节主要介绍了保持h a n k e l 变换的几个线性变换，包括二项变换，反转变换和七一 二项变换，并给出二项变换保持h a n k e l 变换的一个新的证明。l a y m a n 1 5 1 给出了二项 变换和反转变换保持h a n k e l 变换不变的性质，s p i v e y 【3 4 】随后又推广了二项变换，得到 k 一二项变换保持h a n k e l 变换不变的性质 定理2 3 【1 5 】给定非负序列 n 七】七o = ( 知，a 1 ) ，二项变换 = 喜( 扎2 2 u 则 n _ j c ) 南o 和 b k k o 的h a n k e l 变换相等 定理2 4 f 1 5 】给定非负序列_ ( o l | c ) 七o = a o ，a l ) ，b l = 1 ，反转变换 b n = o k 十1 ，凡= 0 ，1 ) 2 则_ ( q 七) 控。和 b k k o 的h a n k e l 变换相等 l a y m a n 在证明这两个定理时，利用l d u 分解将 o 凫) 七o 的n 阶h a n k e l 矩阵分解 成特殊的三角矩阵这种分解的过程比较复杂，下面我们用矩阵的初等变换给出定理2 3 的一个新的证明 定理2 3 新的证明：设 o 知) 豇o 的他+ 1 阶h a n k e l 矩阵 a n 锄件1 a 2 n 七 佗脚 i i n0 = 卜几 可 取 l led 吼眈； m 伽m ；跏 ，j-ii-l-iii-_-il、 | i +n a 大连理工大学硕士学位论文 b k k o 的n + 1 阶h a n k e l 矩阵 b n + 12 妻k = o ( 如篆n + l 根据二项式系数递推关系 n k = o n + 1 k = o ( 加 ，扎+ 1 、 l 七夕吼 ( n 丹一墨k = o ( ( 礼嘉1 ) = ( 力+ ( 七一n1 ) ， 将鼠+ 1 的第j + 1 行减去第j 行，其中j = 凡，几一1 ，1 得到 a l 1 k - = o 2 k - - - - 1 喜( 口七善n + l( 七 ( 力。七 ( 庇1 ) 。惫 1 ) 喜( 翟班七 再将它的第j4 - 1 列减去第j 列，其中j = n ，凡一1 ，1 得到 a l a l n k = l n + 1 k = 2 喜( 瑟二；) n 南芝k = 2 ( 凳二三) n 七e 耋三n k 一- 2 。 n 七 旺叠) 1 5 口 0 、-、 1 岛 2 七 。宇脚 o 、1 忌 咖，脚 n脚州汹 七 口 ，、 0 1 1 后 七 o o 、， 1 1 l 2 一 一 一 一 佗后 n 后 一些组合序列的h a n k e l 变换 由于矩阵的初等变换不改变行列式值，因此d e t ( b n + 1 ) = d e t ( a n + 1 ) ，礼0 定理得证口 在o n l i n ee n c y c l o p e d i ao fi n t e g e rs e q u e n c e s 3 3 1 中，存在大量的序列满足上面的变 换，这样就可以利用定理2 3 和2 4 简化h a n k e l 变换的计算 例2 4 1 9 3 3 年，a i t k e n 3 】引进了b e l l 数递归关系 2 b n + 1 壹( 舡例k= 0 、7 a i g n e 一2 1 在用h a n k e l 行列式刻画b e l l 数的过程中，需要求 b n ) 竹l 的h a n k e t 行列式， 求解过程复杂关于b e l l 数的h a n k e l 行列式的求法很多，这样我们可以根据定理2 3 ， 很快知道 玩) l n 1 和 b n ) n o 的各阶h a n k e l 行列式均相等 例2 5 考虑b e l l 多项式r a d o u x 利用矩阵的三角分拆，计算出 d e t ( b i + j ( z ) ) t j ：o ，1 ，n = 七! z n ( n + ”2 n、 下面我们来计算d e t ( b i + j h ( x ) ) , ，j ：0 1 。n 的值 b n ( z ) 的显示表达式是 风( z ) = e v lr 妒z j c - z k 0 可以验证鼠( z ) 满足下面的关系式 根据定理2 3 ，我们知道 ( 垆。妻( 凳) 剐吐礼 o k = o 、7 d e t ( 鼠+ j + 1 ( z ) ) t j ：0 ，1 ，竹 =d e t ( x b i 旬( z ) ) i ，j ：0 1 ，n z “+ 1d e t ( b , + j ( z ) ) i ，j ：o ，1 ，n n ( n 尼! ) 。( 州淅+ 2 ) 2 k = o 例2 6 考虑c a t a l a n 数上一节利用格路方法，我们可以知道d e t ( m o ) = d e t ( m ：) 下 面通过定理2 4 给出新的证明c a t a l a n 数满足如下递归关系 容易验证 瓯) 如1 是 g ) 詹o 的反转变换，因此根据定理2 4 ，d e t ( m 。0 ) = d e t ( m ：) 1 6 0 一 佗 七 一g瓯 n 脚 = hg 大连理工大学硕士学位论文 3 序列的反级数和反级数的h a n k e l 变换 在2 0 0 7 年，b a r r y 4 提出三个关于反级数的h a n k e l 变换的猜想本章我们将证明 他的一些猜想 3 1 序列的反级数 百先我们给出一些相关的概忿 给定非负序列 ) n o ，它的发生函数f ( x ) = n 2 0a 佗矿f ( u ) = z 的解u = 乱( z ) ， 我们称u ( z ) = 住ou n x n 是a n ) 的反级数为叙述方便，我们记仳二= 钆n + 1 ，u = u n + 2 忍n ) 扎1 ， 九：) n 1 ， 危) 竹1 分另0 是_ u n ) n o ， u ：) n o ， 札：? ) n o 的h a n k e l 变换 猜想3 1 【4 ，c o 叫积u r 。4 1 1 假设f ( z ) = 耳如，它的反级数 u ( x ) = e 、u n x n 1 - a x - v 1 - 1 2 瓦a x + ( a 2 - 4 f 1 ) x 2 n o 其中 i t i 一1 乱n = 喜击( n 二1 ) ( 妒咄印耙， 则 k = p ( ：) 猜想3 2 f 4 ，c o n j e c t u r e6 6 3 l 假设f ( z ) = 坐1 - 竺b x 生， 矽0 它的反级数 乱= u n x n 型堕正挈型 n 0 其中 一薹击( 叶( 妒厂， 则 忆、 1 九：= ( 乜( q p ) ) k ：j ； 2 ：( q 一卢) 竹( 乜( q p ) ) ( ；) 1 7 猜想3 3 【4 ，c o n j 鳅u r e8 1 ，8 3 1 假设f ( x ) = x ( 1 q z ) ，它的反级数 其中 则 1 k = q n ( 扎一1 ) ； 2 蟮= o l 矿 u ( z ) = 矿= n 0 2 a = 。， = 丢( 警二# ) 。n 一1 ， 礼1 3 2 反级数的h a n k e l 变换 本节将给出上面三个猜想的证明要证明这三个猜想，我们需要s u h a k e 和x i n l 3 9 】 给出的两个命题以及k r a t t e n t e r t l 4 给出的定理 命题3 1 【3 9 p r o p o s i t i o n4 1 设f ( z ) = 试孬i 刁x 百d 耳炉两，其中u ( z ) ，u ( z ) 是有理幂级数 且常数项不等于零，d n ，k z + 则g ( x ) = u ( 0 ) f ( z ) 满足 d e t ( h 礼( g ) ) = u ( o ) 凡d e t ( 凰( f ) ) ， c ( x 、= 乞( o ) 一1 u ( z ) + z 七u ( o ) 一2 u ( z ) g ( 。) 命题3 2 3 9 ，p r o p 佣n4 2 】设f ( z ) = 其中u ( z ) ，v ( z ) 是有理幂级数 且常数项不等于零，d n ，恐z + ，铭( o ) = 1 ，u ( x ) = u l ( x ) + x d + 2 珏日( z ) ，其中u l ( x ) 的次数最高是d + 1 例如果后= 1 ，则存在唯一的a ( x ) 使得 并且 a ( x ) - v ( x ) 一z u l ( z ) “h ( z ) 乞l ( z ) 一z d + 2 u h ( z ) 一x d + l g ( z ) d e t ( 硪- d - 1 ( g ) ) = ( 一1 ) d 州) 2d e t ( 巩(