（模式识别与智能系统专业论文）基于bandelets的图像稀疏表示及其应用.pdf

摘要 摘要 图像的稀疏表示是目前图像处理领域的个研究热点。图像的多尺度几何分 析工具能产生具有空间方向性的基函数系统，因此能很好的利用图像自身结构的 几何正则性，在对直线或曲线状奇异性表示的时候，可以用较少的基函数对图像 进行稀疏表示。b a n d e l e t s 是一种新近提出的自适应多尺度几何分析工具，能够白 适应跟踪图像中存在的未知几何规则性，对二维空间中具有c 口缸 2 ) 正则阶的函 数，能达到实现最优稀疏表示。在研究图像稀疏表示理论的基础上，本文深入探 讨了基于自适应b a n d e l e t s 的图像稀疏表示方法与应用，主要在如下几个方面开展 了工作： ( 1 ) b a n d e l e t s 几何流的改进。在分析l a g r a n g e 函数值的基础上，本文提出了一 种基于类二分法的最佳几何流搜索算法，该算法将第二代b a n d e l e t s 的几何寻优的 时间复杂度降为o ( 1 0 9 ：n 2 ( 1 0 9 ：) 2 ) ( 对于大小为的图像) ，并将该算法应用 到了后续的研究工作中。 ( 2 ) 基于改进b a n d e l e t s 的感兴趣区域( r e g i o no f i n t e r e s t ，r o i ) 图像压缩。该方法 采用了不同编码策略来分别编码r o i 和背景( b a c k g r o u n d ，b g ) 部分，即首先使用 b a n d e l e t s 来编码r o i 区域，然后对b g 区域降低比特面后，使用多级树集合分裂 ( s p i h t ) 算法来编码。实验结果表明，本文方法在客观指标峰值信噪比( p e a ks i g n a l t on o i s er a t i o ，p s n r ) 和视觉效果上相对最大移位法都有明显的改善，尤其是背景 区域。 ( 3 ) 基于b a n d e l e t s 和拉普拉斯塔分解( l a p l a c i a np y r a m i d ，l p ) 的图像压缩。首 先使用l p 塔分解将图像分解，得到一个低频图像和一个高频图像，然后使用s p i h t 算法对低频图像压缩，使用b a n d e l e t s 变换对高频图像进行压缩。实验结果表明， 本文方法在客观指标p s n r 和视觉效果上均优于b a n d e l e t s 变换和s p i h t 算法，尤 其是纹理图像。 ( 4 ) 基于嵌套迭代优化的图像压缩感知( c o m p r e s s i v es e n s i n g ，c s ) 重构。该算法 在分析迭代硬阈值( i t e r a t i v eh a r dt h r e s h o l d i n g ，i h t ) 算法的基础上，使用b a n d e l e t s 和w a v e l e t s 分别作为基函数嵌套迭代来更好的捕捉图像信息，从实验结果可以看 出，本文的重构算法在p s n r 上相对已有一些方法有所提高。 本文的工作得到了国家自然科学基金( 6 0 6 0 1 0 2 9 ) 和国家自然科学基金 ( 6 0 9 7 1 11 2 ) 1 拘资助。 关键词：稀疏表示b a n d e l e t sr o ic s a b s t r a c t a b s t r a c t s p a r s er e p r e s e n t a t i o no fi m a g ei sar e s e a r c h i n gh o t s p o ti ni m a g ep r o c e s s i n g 。功e m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ( m g a ) c a nm a k ef u l lu s eo fi n t r i n s i cg e o m e t r i cr e g u l a r i t y o fi m a g e s w h e ni tr e p r e s e n t st h el i n e so rt h es i n g u l a r i t yo fc u r v e ，i tu s e sf e w e rb a s i s f u n c t i o n s ，w h i c ha c h i e v e sm o r es p a r s er e p r e s e n t a t i o n b a n d e l e t si san e wm g at o o l w h i c hc a ni m p l e m e n ta na d a p t i v ea p p r o x i m a t i o no fi m a g eg e o m e t r y a sap i e c e w i s e c 。以 2 ) r e g u l a rf u n c t i o n ，i tc a nr e p r e s e n tt h eg e o m e t r i cr e g u l a ri m a g e se f f i c i e n t l y w eg i v em o r ea n a l y s i so fb a n d e l e t sb a s eo ni m a g es p a r s er e p r e s e n t a t i o n ，a n do u rm a i n w o r kc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ei m p r o v e m e n to fg e o m e t r i cf l o wo fb a n d e l e t s b a s e do nt h ea n a l y s i so ft h e r e l a t i o nb e t w e e nt h e g e o m e t r i ca n dt h el a g r a n g ef u n c t i o n ，an e wm e t h o df o r d e t e r m i n i n gt h eb e s tg e o m e t r yi sp r o p o s e di nt h i sp a p e ru s i n gs i m i l a rb i n a r ys e a r c h a l g o r i t h m ，w h i c hd e c r e a s et h et i m ec o m p l e x i t yt oo ( 1 0 9 2n 2 ( 1 0 9 2 ) 2 ) ( f o ri m a g e o f nxn p i x e l s ) a n dw eu s et h i sa l g o r i t h mt ol a t t e rw o r k ( 2 ) t h er o ii m a g ec o m p r e s s i o nb a s e do ni m p r o v e db a n d e l e t s ，n l ep r o p o s e d m e t h o dc o d e st h er o ia n db g 谢t l ld i f f e r e n tc o d i n gm e t h o d f i r s t ，t h er o i i m a g ei s c o d e db yb a n d e l e t s ，a n dt h er o ib i t p l a n ei ss h i f t e dd o w n , w h i c hi sl o w e rt h a nb g b i t p l a n e t h e n ，t h eb gi m a g ei sc o d e db ys p i h ta l g o r i t h m e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o w t h a tt h ep r o p o s e dm e t h o dh a sg o o dp e r f o r m a n c et h a nm a x s h i ri nb o t hp s n ra n dv i s i o n ， e s p e c i a l l yb gi m a g e ( 3 ) i m a g ec o m p r e s s i o nb a s e do nl pa n db a n d e l e t s f i r s t l y ，t h ei m a g ei s d e c o m p o s e db yl pt og e tac o a r s ei m a g ea n dad e t a i li m a g e t h e nw ec o d et h ed e t a i l i m a g e 埘ls p i h ta l g o r i t h m ，a n dt h ec o a r s ei m a g ei sd e c o m p o s e db yab a n d e l e t s t r a n s f o r mf o l l o w e db ye n t r o p yc o d i n g s o m ee x p e r i m e n t sa r et a k e no ns o m ei m a g e sa n d t h er e s u l t ss h o wt h a to u rp r o p o s e ds c h e m eo u t p e r f o r m ss p i h ta n dt h es e c o n d g e n e r a t i o nb a n d e l e t sm e t h o d s i nb o t hp s n ra n dv i s i o n ，e s p e c i a l l yt e x t u r ei m a g e ( 4 ) t h ec sr e c o n s t r u c t e da l g o r i t h mb a s e do nn e s t e di t e r a t i v eo p t i m i z a t i o n t h i s a l g o r i t h mi sb a s e do nt h ea n a l y s i so fi t e r a t i v eh a r dt h r e s h o l d i n g ( i h t ) i tu s e s b a n d e l e t sa n dw a v e l e t sa st h es p a r s eb a s i sr e s p e c t i v e l y ，w h i c hc a nc a p t u r em o r ei m a g e i n f o r m a t i o n s e v e r a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e dr e c o n s t r u c t e da l g o r i t h my i e l d s s o m ei m p r o v e m e n t so v e ro t h e rc sr e c o n s t r u c t e da l g o r i t h m si np s n r t h er e s e a r c hi ss u p p o r t e db yn s f c6 0 6 010 2 9 a n dn s f c6 0 9 711 12 k e yw o r d s ：s p a r s er e p r e s e n t a t i o n b a n d e l e t sr o ic s 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确地说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期：竺! 里：! ：p 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期问论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论 文在解密后遵守此规定) 本人授权西安电子科技大学图书馆保存学位论文，并同意将论文在互联网上 发布。 本人签名： 导师签名： 闩期：矽l o p r # , f j ：篁蝴二! 兰：塑 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景与意义 图像在医学、军事、通信、生活、互联网等许多领域都占据着十分重要的地 位，但是随着科技的进步，要处理的图像数据越来越多。例如，一副分辨率为 6 4 0 x 4 8 0 的2 4 b i t p i x e l 的真彩色静止图像，就有7 3 7 m b 帧的数据量。如果是活动 图像，以3 0 帧s 的速度播放，则视频信号的传输率为2 2 0 m b s ，如果存放在6 0 0 m b 的光盘中，只能播放2 0 秒。图像表示是绝大多数图像处理工作的核心，是高效准 确地实施图像处理任务( 如压缩、去噪、特征提取等) 的关键。 调和分析研究将一个函数表示成多个基本函数的线性叠加，根据调和分析， 图像可以表示为一组基函数的线性组合，它为图像信号的表示提供了多种工具， 如f o u r i e r 分析，小波分析等等。小波分析自上世纪8 0 年代兴起后，成为继f o u r i e r 分析之后最伟大的一次变革，已经并将继续在信号处理的众多领域取得瞩目的成 就。小波变换为计算机视觉和图像处理中的多分辨技术、语言和图像处理中的子 代编码技术和数字通信中的正交镜滤波器组等建立了一个统一的理论框架。随着 应用的深入，其自身也暴露出一定的局限性。对于分段光滑的一维信号，小波提 供了简单有效的表示方法，但是对于高维图像来说，二维标准张量积小波无法有 效表示图像中边缘、轮廓和纹理的奇异性，即小波分析在处理具有点状奇异性的 对象时能表现出良好的性能，但由于图像边缘的不连续性是按空间分布的，小波 分析在处理这种线状奇异性时效果并不是很好。因此，要获得更好的图像表示， 迫切需要设计出新的图像表示方法来有效地处理二维图像信号，这已经成为当前 图像处理和数学研究领域的一个热点问题。 图像表示方法的发展趋势要求采用自适应于人类视觉特性的工具对图像进行 快速高效的表示。在图像表示中，快速有效的表示方法应具有如下视觉感知机制 的特性【3 8 】：多分辨率，能够对图像从粗分辨到细分辨进行连续逼近，即带通性； 局域性，在空域和频域，这种表示方法的基应该是局部的；临界采样，即对于压 缩和传输而言，具有较低的冗余结构；方向性，支撑基应具有长条形结构，达到 用最少的系数来逼近奇异曲线，基的长条形结构实际上是方向性的一种体现，称 这种基具有各向异性( a n i s o t r o p y ) 。 近年来，随着图像表示的不断发展， 方法给图像处理技术带来了崭新的活力， 许多基于多尺度方向分析的图像表示新 这些方法包括余弦包、边缘小波、脊波、 曲线波3 7 】【3 8 l 等等。这些变换工具能充分利用图像自身结构的几何正则性，基函数 2 基于b a n d e l e t s 的图像稀疏表示及其应用 的支撑区间与小波的正方形结构( 即，各向同性) 不同，而是“长条形”结构( 即， 各向异性) ，这种基函数的结构相对于小波函数而言j 是从正方形的支撑区间变成 了长方形，这实际是基函数方向性的体现，所以，多尺度几何分析工具在对直线 或曲线状奇异性表示的时候，可以用较少的基函数获得同样或者更好的表示，即 更稀疏的表示。因此，研究图像的多尺度几何分析具有十分重要而且深远的意义。 1 2 信号和图像的稀疏表示 在众多信号处理的应用中，人们希望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近 取代原始数据表示可以从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。传统的信 号表示理论基于正交线性变换，但许多信号是各种自然现象的混合体，这些混合 信号往往在单一的正交基变换中不能非常有效地表现出来，例如，一个含有脉冲 和正弦波型的混合信号，既不能用单一的脉冲基函数，也不能用单一的正弦基函 数有效的表示。所以，人们希望寻找一种能够自适应于信号特征的信号表示，其 结果应该比采用其中单一类型的正交基函数系统有效得多。 稀疏表示有两种模型：一种是线性模型，即利用原子的线性叠加逼近信号， 另一种是非线性模型，即用原子的非线性叠加逼近信号，线性稀疏表示是普遍采 用的稀疏表示方法。首先给出线性稀疏表示的定义：给定一个集合 d = g k ；k = 1 ，2 ，k ，其元素是张成整个h i l b c r t 空间h = r 的单位矢量，k n ， 我们称集合d 为原子库，其元素为原子。对于任意给定的信号厂h ，我们预想 在d 中自适应地选取m 个原子对信号厂做m 项逼近： 厶5 己q g ， 【l 。1 ) y e l - 其中l 是岛的下标集，c a r d ( 1 ) = m ，则b = 印册( 邑，7 厶) 就是由俄个原子在原 子库d 中张成的最佳子集。由于m 远小于空间的维数，这种逼近也称为稀疏逼 近，或者稀疏表示。记稀疏表示的误差为： o m ( f ，d ) = i 啦i i 厂一厶i | ( 1 - 2 ) j m 在上述线性稀疏表示模型中，常用的就是d 为一个正交基函数系统的情况， 这种方法最简单有效，但是对于实际信号来说，一般的，很难在某种正交基函数 系统中得到最佳稀疏表示。最近几年，人们在信号稀疏表示方面取得了很大的进 展。新的信号稀疏表示理论的基本思想【3 9 】是：基函数用称之为原子库的过完备的 冗余函数系统取代，原子库的选择应尽可能好的符合被逼近的信号的结构，其构 成可以没有任何限制，原子库中的元素被称为原子。这种方法又称为超完备冗余 基函数系统下的表示或者自适应线性稀疏表示。 第一章绪论 相比一维信号的稀疏表示，二维图像的稀疏表示意义更大。在图像处理中， 常对图像进行正交变换，例如现行的j p e g 国际静止压缩标准采用的离散余弦变 换；j p e g 2 0 0 0 国际静止图像压缩标准采用的小波变换等。离散余弦变换的基函数 缺乏时间空间分辨率，因而不能有效地提取具有时频局部化特性的信号特征。小 波分析在处理一维和二维的具有点状奇异性的对象时，表现出良好的性能，但图 像边缘的不连续性是按空间分布的，而小波不能有效表示这种线状奇异性时，即 不能稀疏地捕捉图像结构的轮廓特征。因此，小波分析对于图像信号来说并不是 最优的稀疏表示工具。要获得更好的图像表示，迫切需要设计出新的图像表示方 法来有效地处理离散域图像信号，相应的基函数或字典中的原子应具有多方向性 和各向异性，以匹配图像中这种高度各向异性的边缘和围线。 多尺度几何分析为高维函数逼近提供了具有方向性的丰富基函数系统【3 6 1 ，这 些基函数应具备下述特点：多分辨率分析；时频定位能力；方向性；各 向异性的尺度变换等。这些新的能够稀疏表示高维函数的基函数系统不断涌现， 使得最近几年图像稀疏表示的方法更加成为研究的热点。类似的，图像的多尺度 几何分析方法分为自适应和非自适应两类。非自适应的方法主要以r i d g e l e t s 铂舶j 、 c u r v e l e t s t 4 5 4 7 1 和c o n t o u r l e t s 4 8 - 4 9 1 为代表，这类方法不需要预先知道图像本身的几何 特征作为先验信息，但是也可以对某种特定的函数给出比较理想的逼近效果。自 适应的方法以b a n d e l e t s 【1 。5 j 为代表，这类方法一般先进行边缘检测，再利用边缘信 息对图像等信号进行最优表示。自适应的方法认为，在图像处理时，如果能预先 知道图像的几何正则性，并充分予以利用，无疑会提高图像变换方法的逼近性能。 1 3 论文的主要工作及内容安排 图像的多尺度几何分析是近年来一个非常活跃的研究领域，它旨在建立更加 稀疏有效的图像几何表示模型。本文在研究图像信号稀疏表示的基础上重点分析 了b a n d e l e t s ，主要做了以下几个方面的工作： ( 1 ) 第二代b a n d e l e t s 变换在寻找最佳几何流时是对所有可能的方向遍历查找， 然而此方法的时间复杂度很高，本文在分析l a g r a n g e 函数( 几何流优化的函数) 值 的基础上提出了一种类二分法的算法来寻找最佳几何流，该算法将第二代 b a n d e l e t s 的几何寻优的时间复杂度降为o ( 1 0 9 2n 2 ( 1 0 9 2 ) 2 ) ( 对于大小为n xn 的 图像) ，并将此算法应用到了后续的研究工作中。 ( 2 ) 本文提出了一种基于改进b a n d e l e t s 变换的感兴趣区域( r o i ) 图像压缩方法， 该方法并不是从比特面上进行改进，而是采用不同编码策略来编码r o i 和背景区 域( b g ) 部分，即首先使用b a n d e l e t s 来编码r o i 区域，然后对b g 区域降低比特面 后，使用s p i h t 来编码，这样就可以调节r o i 和b g 的相对重要性；在编码b g 4 基于b a n d e l e t s 的图像稀疏表示及其应用 时，将r o i 的比特面全部降低在b g 比特面之下，这样就具有了最大移位法的优 点。本文方法在客观指标p s n r 和视觉效果上相对最大移位法都有明显的改善。 ( 3 ) 本文首先使用拉普拉斯塔分解( l p ) 将图像分解，图像经过一级拉普拉斯塔 分解后得到一个低频逼近图像和一个高频残差图像，由于b a n d e l e t s 能够捕捉并表 示图像的细节信息，所以我们对高频残差图像进行b a n d e l e t s 压缩；低频逼近图像 经过小波变换后图像能量更加集中，量化损失减少，所以使用s p i h t 算法能极大 的提高了编码效率，最后，二者的比特流之和便是整个图像的码流。本文方法在 客观指标p s n r 和视觉效果上高于b a n d e l e t s 变换和s p i h t 算法。 ( 4 ) 本文提出了一种基于嵌套迭代优化的图像压缩感知( c s ) 重构算法，该算法 在分析迭代硬阈值( i h t ) 算法的基础上，分别使用b a n d e l e t s 和w a v e l e t s 作为基函数 嵌套迭代来更好的捕捉图像信息，从实验结果可以看出，本文的重构算法相对已 有一些算法在客观指标p s n r 上有很好的提升。 全文主要内容安排如下： 第一章介绍了本论文的研究背景及意义，简要阐述了信号和图像的稀疏表示， 并介绍了本文的主要工作。 第二章介绍了图像的稀疏表示，着重介绍了基于几何正则性的图像稀疏表示 和基于c s 的图像稀疏表示，在最后详细介绍了b a n d e l e t s 的实现及相关技术，以 及本文对b a n d e l e t s 的几何流优化的改进方法。 第三章介绍了图像的r o i 压缩，并且将b a n d e l e t s 应用到了图像r o i 压缩，使 用两种不同的方法来分别压缩r o i 和b g 部分，在最后给出了对比实验。 第四章提出了一种基于分层的低比特率图像压缩方法。本文使用l p 将图像分 解，然后使用b a n d e l e t s 和s p i h t 分别进行压缩l p 分解后的高频和低频部分，并 且和b a n d e l e t s 压缩和s p i h t 压缩做了对比实验。 第五章提出了一种新的图像c s 重构算法。该算法是在分析i h t 算法的基础上， 分别使用b a n d e l e t s 和w a v e l e t s 作为基函数嵌套迭代，并且和已有文献做了对比实 验。 第六章是对本文工作的总结，并对今后的工作提出了进一步的展望。 第二章图像的稀疏表示 5 第二章图像的稀疏表示 图像是一种特殊但常见的二维信号，一般的图像的数据量很大，所以人们希 望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近取代原始数据，即对图像进行稀疏表示。 传统的二维可分离标准小波对点奇异性可以达到最佳逼近，然而它在表示图像中 的轮廓和边缘时，将线奇异性和面奇异性看作点孤立对待，未能充分利用沿着边 缘方向的连续性和图像自身结构的几何正则性。因此，要获得更好的图像表示， 迫切需要设计出新的图像稀疏表示方法来有效地处理离散域图像信号，相应的基 函数或字典中的表示原子应具有多方向性和各向异性，以匹配图像中这种高度各 向异性的边缘和轮廓。 2 1 图像稀疏表示概述 图像信号的稀疏表示可以在标准正交基上分解得到。假设一幅大小为m 鸠 含奇异曲线的分片光滑的图像厂。设d = g r 时为用于图像稀疏分解的过完备库， 毋为由参数组y 定义的原子，用不同方法构造原子，参数组7 所含有的参数及参数 个数也不一样。原子毋的大小与图像大小相同，但原子应作归一化处理，即 | ig r | = 1 。r 为参数组厂的集合。由库的过完备性可知，参数组7 的个数应远远小 于图像的大小。即若用p 表示过完备库d = g ， ，。r 中原子的个数，则有 p m 鸠。通过图像稀疏分解，可以得到图像的一个线性表示： l 厶= r ，g n 椐，i ( 2 - 1 ) 式中， 表示图像f 或图像的残余尺在对应原子g 靠上的分量。由于 i ir ”厂l i 的衰减特性，用少数的原子就可以表示图像的主要成分，即： n - i 厶 g n ( 2 2 ) k = 0 其中，2 mx m 2 。式( 2 2 ) 和条件，水 m lx m 2 基中体现了稀疏表示的思想。 定义助是膨个最大内积的索引集合，它们的幅值在某一个阈值砌之上： 如= m n ：i r f ，g 托冷) ( 2 3 ) 则图像逼近误差为： 6 , , ( m ) 刊 f - - f mi | 2 = l 1 2 ( 2 - 4 ) 我们希望找到一个基，使得当m 增加时，i | 厂一厶| 1 2 快速收敛于零。即如果存 在一个小的常数c 和一个大的指数口，使得： 6 基于b a n d e l e t s 的图像稀疏表示及其应用 i i 厂一厶1 1 2 c m ( 2 - 5 ) 则采用的基对于逼近图像非常有效。然而，传统的分析方法如傅立叶变换只能达 到o ( m q 门) ，而小波变换也仅能达到o ( m 。1 ) 。也就是说，对于图像来说，由于通 常边缘的不连续性是按空间分布的，因此这种奇异性影响了小波展开系数中的许 多项，所以小波展开的系数不是稀疏的，因而限制了逼近的误差。简言之，小波 虽善于描述点或者零维空间的不连续性，但对于上面所提到的，类似于图像的二 维分段光滑函数所面临的是一维的不连续性。直观的，由一维小波的张量积所生 成的二维小波也会很好的分辨出边点的不连续性，但不能捕获沿着轮廓的光滑。 这意味着在高维中需要更加有效的表示方法。目前，图像的稀疏表示的研究热点 包括基于几何规则性的图像稀疏表示，以及基于压缩感知理论的图像稀疏表示。 2 2 基于几何正则性的图像稀疏表示 小波自上世纪8 0 年代兴起，成为继f o u r i e r 分析之后最伟大的一次变革，已 经并将继续在众多领域取得卓越的成就。推动小波分析发展的先驱者d a u b e c h i e s 、 m a l l a t 、a l b e r tc o h e n 、d o n o h o 、v e a e d i 等对发展新的高维函数的最优表示方法做 出了不懈的努力，他们提出了多尺度几何分析的概念。即对于二维图像信号，最 优表示这种信号的多尺度几何分析方法应该具有以下特征【3 6 ：多分辨，能够对图 像从粗分辨到细分辨进行连续逼近，即带通性；局域性，在空域和频域，这种表 示方法的基应该是局部的；临界采样，即对于压缩和传输而言，具有较低的冗余 结构；方向性，支撑基应具有长条形结构，达到用最少的系数来逼近奇异曲线， 基的长条形结构实际上是方向性的一种体现，称这种基具有各向异性( a n i s o t r o p y ) 。 从上述特征可以看到，多尺度几何分析技术区别于小波变换的最本质的特征就是 其支撑基具有方向性或各向异性。 图像的多尺度几何分析是近年来一个非常活跃的研究领域，它旨在建立更加 稀疏有效的图像几何表示模型。不同于小波在具有特定尺度一位置的固定空间区 域附近提供了局域化的尺度一位置表示，新的多尺度几何分析系统则具有局域化 的尺度一位置一方向的表示。自从上个世纪末脊波分析的理论框架成功的建立之 后，具有各种不同几何特征的分析处理工具也相继产生。主要有：m a l l a t 等提出的 b a n d e l e t s 变换1 4 1 和第二代b a n d e l e t s 变换【1 2 】；c a n d 6 s 提出的r i d g e l e t s 变换【5 0 1 、 c a n d 6 s 和d o n o h o 提出的c u r v e l e t s 变换【4 5 】和第二代c u r v e l e t s 变换5 2 1 、d o n o h o 等 提出的w 甜g e l e t s 变换【5 3 】和b e a m l e t s 变换【5 4 。5 5 】；m e y e r 和c o i f i n a n 于19 9 6 年提出 的b m s h l e t s 变换【5 6 - 5 7 等；滤波器先驱v e u e d i 和d o 于2 0 0 2 年提出的c o n t o u r l e t s 变换【4 8 1 、v e l i s a v l j e v i 6 等于2 0 0 4 年提出的d i r e c t i o n l e t s 变换【5 8 - 6 0 1 ，e a s l e y 等于2 0 0 6 年提出的s h e a r l e t s 变换【o u 等。 第二章图像的稀疏表示 7 这些新方法的提出，无不基于这样一个事实：在二维情况下，小波分析并不 能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或者说最稀疏的函数表示方 法。而上述多尺度几何分析方法则可以最优的表示二维图像信号。可以证明，对 于含有奇异曲线的二维分片光滑函数( 奇异曲线的光滑指数为a ，a 2 ) ，用m 个 系数的非线性逼近误差s ( m ) = i i 厂一厶0 2 的衰减速度( 其中f 和厶分别为原函数和 用m 个系数构成的逼近函数) ，c u r v e l e t s 变换能达到o ( ( 1 9 m ) 2 m 之) ，b a n d e l e t s 变换能达到o ( m 1 ) ，c o m o u r l e t s 变换能达到o ( ( 1 9 m ) 3 m _ 2 ) ；而小波变换和傅立 叶变换分别只能达到o ( m 一) 和o ( m 。1 陀) 。由此可知，多尺度几何分析技术在稀疏 表示方面比小波分析有了很大提高。 总的来说，多尺度几何分析工具正是我们所希望的图像处理工具，这些变换 工具能充分利用图像自身结构的几何正则性，基函数的支撑区间与小波的正方形 结构( 即，各向同性) 不同，而是“长条形 结构( 即，各向异性) ，这种基函数的结 构相对于小波函数而言，是从正方形的支撑区间变成了长方形，这实际是基函数 方向性的体现，因此，多尺度几何分析工具在对直线或曲线状奇异性表示的时候， 可以用较少的基函数获得同样或者更好的表示，即更稀疏的表示。总结一下，多 尺度几何分析工具的基函数具有如下的优越性【6 2 j ： ( 1 ) 多尺度( m u l t i r e s o l u t i o n ) ，以保证可以连续地细化图像； ( 2 ) 局部性( l o c a l i z a t i o n ) ，以达到空域和频域的精确定位； ( 3 ) 严格采样( c r i t i c a ls a m p l i n g ) ，保证系统的完全重构性； ( 4 ) 多方向性( m u l t i d i r e c t i o n a l ，m d i r ) ，以匹配自然界中各个方向的需求； ( 5 ) 各向异性( a n i s o t r o p i e ) ，以做到最稀疏、最优的表示。 2 2 1c u r v e l e t s 脊波理论( r i d g e l e t s ) 5 0 】由e j c a n d e s 在1 9 9 8 年提出，这是一种非自适应的高 维函数表示方法。标准的脊波变换仅对于具有直线奇异性的多变量函数有良好的 逼近性能，对于含曲线奇异性的函数，逼近效率只相当于小波变换，不具有最优 的非线性逼近函数误差衰减阶。在图像处理中，由于一般的边缘是曲线而不是直 线，因此标准的脊波函数对它不能提供有效的表示。为了有效的表示曲线奇异性， e j c a n d e s 给出了一种单尺度脊波的实现方法【删，基本思想就是当把曲线无限分割 时，每- d , 段可以近似地看做是直线段，这样就可以在这些直线段上应用脊波分 析。在单尺度脊波分析的基础上，e j c a n d e s 和d l d o n o h o 又构造了一种多尺度 脊波系统，称之为曲线波( c u r v e l e t s ) 1 4 5 - 4 7 1 。单尺度脊波变换的基本尺度是固定的， 而c u r v e l e t s 变换则不然，它在所有可能的尺度s 0 上进行分解，实际上c u r v e l e t s 变换是由种特殊的滤波过程和多尺度脊波变换组合而成的。多尺度脊波字典是 基于b a n d e l e t s 的图像稀疏表示及其应用 所有可能的尺度s 0 的单尺度脊波字典的集合： 概= s o ，q q ，口r ) ( 2 6 ) 完成c u r v e l e t s 变换需要使用一系列滤波器：哦、甲2 ，o = 0 ，1 ，2 ，) ，其中： ( 1 ) 。是一个低通滤波器，并且其通带为：i 孝降2 ： ( 2 ) 甲2 ，是带通滤波器，通带范围为：i 善i 2 2 卜1 ，2 2 3 】； ( 3 ) 所有滤波器满足：i 哦( 善) j 2 + l 甲：，( o1 2 = l 。 s z o 滤波器组将函数厂映射为： p 0 f = o ，a o f = 甲o 厂，a ，f = 甲2 ，厂， ( 2 7 ) 满足：i i s l l ；4 i 昂哐+ | i ，圯。于是，可以定义c u r v e l e t s 系数为： 口卢= ，o q 。，口f ( 2 - 8 ) c u r v e l e t s 变换时将任意均方可积函数f 映射为系数序列吼的变换，称元素 = ，口( qeq ，口er ) c u r v e l e t s 。c u r v e l e t s 集合构成r ( r 2 ) 上的一个紧框架： f f 幢= f f 2 ，并且有分解： 厂= 2 ) 正则阶的函数，能达 到最优逼近效果。b a n d e l e t s 是针对图像中几何结构的特性而构造的，利用的是边 缘在图像空间中可以转化为分段正则曲线的特性。b a n d e l e t s 的核心思想是把图像 中的几何特征定义为矢量场，而不是简单地看成普通边缘的集合。b a n d e l e t s 基并 不是预先确定的，基于应用目的定义目标函数，以优化目标函数来自适应选择所 需的基函数组成。 第一代b a n d e l e t s 旨在借助弯曲算子把自然图像中各个方向的奇异性先扭转至 水平或垂直方向，然后借助常用的二维标准可分离小波变换来最优地处理。所构 造出的b a n d e l e t s 基函数是由一个表示图像中灰度变化的几何流向量组构成的，并 且在几何流的方向上作拉伸，如图2 1 所示： 目 w b 图2 1 水平型区域b 和相应的弯曲区域w b p e n n e c 和m a l l a t 首先定义了一种能表征图像局部正则方向的几何矢量线 ( g e o m e t r i cf l o wo fv e c t o r s ) ；再对图像的支撑区间s 进行二进剖分s = u 。q ；，当剖 分足够细时，每一个剖分区间q ；中最多只包含图像的一条轮廓线( 边缘) 。在所有不 包含轮廓线的局部区域q ，图像灰度值的变化是一致正则的，因此，在这些区域 内不定义几何矢量线的方向。而对于包含轮廓线的局部区域，几何正则的方向就 是轮廓的切线方向。根据局部几何正则方向，在全局最优的约束下，计算区域q ， 上矢量场f ( 葺，而) 的矢量线，再沿矢量线将定义在q ，上的区间小波进行b a n d e l e t s 化( b a n d e l e t s i z a t i o n ) 以生成b a n d e l e t s 基，以能够充分利用图像本身的局部几何正 则性。b a n d e l e t s 化的过程实际上是沿矢量线进行弯曲小波变换( w a r p e dw a v e l e t t r a n s f o r m ) 的过程。于是，所有剖分区域q ，上的b a n d e l e t s 的集合构成了一组r ( s ) 上的标准正交基。如果信号厂有c 口的轮廓线，除轮廓线外，该函数厂也是c 口的， 则b a n d e l e t s 变换具有最优非线性逼近性能： l 厂一厶1 2 c m 一 ( 2 1 4 ) 1 0 基于b a n d e l e t s 的图像稀疏表示及其应用 p e n n e c 和m a l l a t 给出了b a n d e l e t s 变换的最优基快速寻找算法，初步实验结 果表明，与普通的小波变换相比，b a n d e l e t s 在去噪和压缩方面体现出了_ 定的优 势和潜力。 在第一代b a n d e l e t s 的基础上，p e y r 6 和m a l l a t 引入第二代b a n d e l e t s ，第二代 b a n d e l e t s 没有第一代中的重采样和弯曲操作，也不需要对水平或垂直区域作复杂 的判断和标示。第二代b a n d e l e t s 变换的主要思想类似于前面提到的c o n t o u r l e t s 变 换，通过在二维小波变换之后施加几何方向正交投影方向上的一维小波变换，对 图像进行分阶段进行多尺度分析和方向分析。第二代b a n d e l e t s 可以去除小波所无 能为力的各向异性几何冗余，从而对图像给出更加稀疏的表示。总的来说，第二 代b a n d e l e t s 既保留了第一代b a n d e l e t s 的优点，又能获得更快速，鲁棒的去噪算法， 计算复杂度可达到o ( n 3 彪) ，近乎线性。 1 、第一代b a n d e l e t s 第- - 代b a n d e l e t s 1 5 】是e l e p e n n e c 矛l l s t 6 p h a n em a l l a t 提出的一类适于表示图像 几何结构的多尺度几何分析工具，由于边缘通常在图像空间可以转化成分段正则 曲线，b a n d e l e t s 提供了一种基于几何规则性的有效的图像表示方法。在b a n d e l e t s 系统中，每个b a n d e l e t s 基由一个几何流( g e o m e t r i cf l o w ) 向量构成，并且具有沿着某 个几何流方向上可以拉伸的多尺度方向特征。由于几何流向量可以表示图像灰度 发生规则变化