（材料加工工程专业论文）自然对流作用下枝晶生长的数值模拟.pdf

摘要 自然对流作用下枝晶生长的数值模拟 研究生姓名：杨朝蓉 导师姓名：朱鸣芳教授 学校名称：东南大学 摘要 金属凝固过程的计算机数值模拟是当今材料科学与工程研究领域的前沿课题之一。本论文采用 数值模拟方法研究了自然对流作用下枝晶的生长规律，这项工作有助于深入理解凝固微观组织的形 成机制。完成的主要工作如下： 首先建立了对由温度梯度和浓度梯度引起的自然对流以及受对流和扩散控制的溶质和热传输进 行数值计算的二维l a t t i c eb o l t z m a n n 方法( l b m ) 模型，开发了相应程序。随后将l b m 模型与前期工 作建立的模拟枝晶生长的元胞自动机( c a ) 方法相耦合，建立了适用于对自然对流作用下合金凝固过 程中枝晶生长进行模拟的二维c a l b m 耦合模型，开发了相应程序。 通过计算方腔自然对流及r a y l e i g h b 6 n a r d 对流两个关于自然对流的经典问题并与相应的基准解 进行比较，对l b m 模型及程序进行验证。为了对c a l b m 耦合模型进行验证，分别将在纯扩散和 自然对流作用下的枝晶稳态生长模拟结果与描述纯扩散的l i p t o n g l i c k s m a n k u r z ( l g k ) 模型和考 虑熔体自然对流作用的修正l g k 模型的预测结果进行了比较。 应用c a l b m 耦合模型对合金在自然对流作用下的单枝晶和多枝晶的生长规律进行了模拟研 究，分析了初始过冷度、初始合金成分、r a y l e i g h 数和冷却速度等因素对枝晶生长的影响规律。定 量研究了合金中自然对流的存在对枝品生长动力学的影响。结果表明，新建立的c a l b m 耦合模型 可成功地对纯扩散和自然对流作用下具有不同择优取向的单枝晶和多枝晶的枝晶生长规律进行模 拟。自然对流的存在显著改变了枝晶的生长行为：上游枝晶臂的生长得到促进，而下游枝晶臂的生 长受到抑制，造成了非对称的枝晶生长形貌。随着初始过冷度的增加，枝晶臂变细，枝晶尖端稳态 生长速度增大；随着初始合金成分的增加，枝晶臂变细，枝晶尖端稳态生长速度降低；r a y l e i g h 数 越大，流场强度随之增强，枝晶形貌的不对称程度更加明显；此外，与纯扩散情况相比，自然对流 的存在加快了溶质和热在熔体内的传输速度从而加快了凝l 司速度。 关键字：枝晶生长；自然对流；数值模拟；l a t t i c eb o l t z m a n n 方法；元胞自动机；浓度场； 温度场 木国家自然科学基金( n o 5 0 6 7 1 0 2 5 ) 和教育部博士点基金( 2 0 0 7 0 2 8 6 0 2 1 ) i a b s t r a c t n u m e r i c a lm o d e l i n go fd e n d r i t i cg r o w t hi n t h ep r e s e n c eo fn a t u r a lc o n v e c t l o n b yy a n gc h a o - r o n g s u p e r v i s e db yp r o f z h um i n g - f a n g s o u t h e a s tu n i v e r s i t y a b s t r a c t c o m p u t a t i o n a lm o d e l i n go fm e t a ls o l i d i f i c a t i o ni so n eo ft h ea d v a n c e dt o p i c si nt h er e s e a r c hf i e l do f m a t e r i a l ss c i e n c ea n de n g i n e e r i n g i nt h i st h e s i sn u m e r i c a ls i m u l a t i o nh a sb e e nc a r d e do u tt os t u d y d e n d r i t i cg r o w t hi nt h ep r e s e n c eo fn a t u r a lc o n v e c t i o n , w h i c hw i l lh e l pu st oi m p r o v et h ef u n d a m e n t a l u n d e r s t a n d i n go ft h em e c h a n i s m so fs o l i d i f i c a t i o nm i c r o s t r u c t u r ef o r m a t i o n n l em a i nf i n i s h e dr e s e a r c h w o r ki sa sf o l l o w s f i r s t , at w od i m e n s i o n a l ( 2 - d ) l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ( l b m ) m o d e la n dr e l e v a n tp r o g r a ma r e d e v e l o p e df o rt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o no fn a t u r a lc o n v e c t i o nr e s u l t i n gf r o mt h et h e r m a la n ds o l u t a l g r a d i e n t sa sw e l la st h es o l u t ea n dh e a tt r a n s p o r t sc o n t r o l l e db yb o t hd i f f u s i o na n dc o n v e c t i o n t h e n ，t h e l b mi sc o u p l e dw i t hap r e v i o u s l yd e v e l o p e dc e l l u l a ra u t o m a t o na p p r o a c hf o rs i m u l a t i n gd e n d r i t i cg r o w t h t h ec o u p l e d2 dc a - l b mm o d e lc a nb ea d o p t e df o rt h es i m u l a t i o no fd e n d r i t i cg r o w t hi nt h ep r e s e n c eo f n a t u r a lc o n v e c t i o nd u r i n ga l l o ys o l i d i f i c a t i o n t h ev a l i d a t i o no ft h el b mi sp e r f o r m e db yc o m p a r i n gt h ec a l c u l a t e dn a t u r a lc o n v e c t i o ni nas q u a r e c a v i t ya n dt h er a y l e i g h - b r n a r dc o n v e c t i o np r o b l e m sw i t ht h er e l e v a n tb e n c h m a r k s t ov a l i d a t et h e p r o p o s e dc a l b mc o u p l e dm o d e l ，t h es i m u l a t e ds t e a d y - s t a t et i pf e a t u r e so fd e n d r i t i cg r o w t hu n d e rb o t h c a s e so fp u r ed i f f u s i o na n dw i t hn a t u r a lc o n v e c t i o na r ec o m p a r e dw i t ht h ep r e d i c t i o n so ft h el i p t o n g l i c k s m a n k u r z ( l g k ) a n a l y t i cm o d e l w h i c hd e s c r i b e sp u r ed i f f u s i v ed e n d r i t i cg r o w t ha n dt h em o d i f i e d l g km o d e lw h i c hi n c l u d e st h ee f f e c to fn a t u r a lc o n v e c t i o n t h ec a - l b mm o d e li sa p p l i e dt os i m u l a t es i n g l ea n dm u l t i - d e n d r i t i cg r o w t hi na l l o ys o l i d i f i c a t i o n w i t hn a t u r a lc o n v e c t i o n t h ee f f e c t so fi n i t i a lu n d e r c o o l i n g ，a l l o yc o m p o s i t i o n ，r a y l e i g hn u m b e r sa n d c o o l i n gr a t e o nt h e d e n d r i t i cm o r p h o l o g ya n dg r o w t hb e h a v i o ra r ea n a l y z e d t h ee f f e c to fn a t u r a l c o n v e c t i o no nt h ed y n a m i c so fd e n d r i t i cg r o w t hi sa l s oq u a n t i t a t i v e l yi n v e s t i g a t e d t h er e s u l t ss h o wt h a t t h ec a - - l b mm o d e lc a nb es u c c e s s f u l l ya p p l i e dt os i m u l a t es i n g l ea n dm u l t i - - d e n d r i t i cg r o w t hw i t hv a r i o u s p r e f e r r e dg r o w t ho r i e n t a t i o n si nb o t hc a s e so fp u r ed i f f u s i o na n dw i t hn a t u r a lc o n v e c t i o n t h ed e n d r i t i c g r o w t hi so b v i o u s l yi n f l u e n c e db yn a t u r a lc o n v e c t i o n t h eg r o w t hv e l o c i t yi se n h a n c e di nt h eu p s t r e a m r e g i o na n di n h i b i t e di nt h ed o w n s t r e a mr e g i o n ，r e s u l t i n gi nt h et y p i c a la s y m m e t r i cg r o w t hf e a t u r e so f c o n v e c t i v ed e n d r i t e s w i t ht h ei n c r e a s eo fi n i t i a lu n d e r c o o l i n g t h ea lm so ft h ed e n d r i t eb e c o m et h i n n e ra n d t h es t e a d y - s t a t et i pv e l o c i t yo fd e n d r i t i cg r o w t hi n c r e a s e s ；w i t ht h ei n c r e a s eo fi n i t i a la l l o yc o m p o s i t i o n ，t h e a r m sb e c o m et h i n n e lb u t t h es t e a d y s t a t et i pg r o w t hv e l o c i t yo fd e n d r i t ed e c r e a s e s ；w i t ht h ei n c r e a s eo f r a y l e i 曲n u m b e r s ，t h en a t u r a lc o n v e c t i o nb e c o m e ss t r o n g e r , a n dt h ed e g r e eo fa s y m m e t r i cd e n d r i t i c m o r p h o l o g ya l s ob e c o m e sm o r eo b v i o u s i na d d i t i o n ，c o m p a r e dw i t ht h ec a s eo fp u r ed i f f u s i o n ，t h en a t u r a l c o n v e c t i o na c c e l e r a t e st h es o l u t ea n dh e a tt r a n s p o r t sa n dt h u ss p e e d su pa l l o ys o l i d i f i c a t i o n k e yw o r d s ：d e n d r i t i cg r o w t h ；n a t u r a lc o n v e c t i o n ；n u m e r i c a lm o d e l i n g ；l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ；c e l l u l a r a u t o m a t o n ；c o n c e n t r a t i o nf i e l d , t e m p e r a t u r ef i e l d i i 符号注释表 符号注释表 v 符号注释表 符号量纲或表达式物理意义 s c h s l s l l l 戤，7 劬。 p e 7 = v r 2 a r a c = 卯c ( c 一一c m i n ) h 3 少a r a 7 = g p r ( k 一乙) h 3 胭 m s c h = v d k k k k k k k m s m s m s m s m 2 s ( m a s s ) 。1 温度p e c l e t 数 浓度r a y l e i g h 数 温度r a y l e i g h 数 稳态枝晶尖端半径 s c h m i d t 数 最近邻的4 个网格的状态参数 次近邻的4 个网格的状态参数 温度和初始温度 计算区域中流体的最高和最低温度 热壁和冷壁的温度 枝晶尖端温度 温度过冷度 成分过冷度 曲率过冷度 五y 方向速度分量 液相流体运动的速度 稳态枝晶尖端生长速度 固液界面法向生长速度 权重系数 平面直角坐标的两个方向 热过饱和度 溶质过饱和度 热扩散系数 浓度体积膨胀系数 v i 7 c 丁 心 舰 肋 r 砒 彳 摒 觇 蝎 u 矿 蜥 w 踮 口 艮 符号注释表 v i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：涵垄丑蓥 日期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 干u 登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：翱翔蓥导师签名：挺垒盔嗍2 塑星2 ：留 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 大部分材料，尤其是金属材料，在制备过程中均要经历由液态到固态的转变，即凝l 司过程。凝 固学的中心任务是探索凝固组织的形成规律和控制方法，它一直是冶金和材料科学 ：作者十分关注 的重要问题。 枝晶是一种典型的凝固组织。在工程材料中，枝晶的形貌及其亚结构尺寸将决定材料的最终性 能。掌握和控制凝固过程中的枝晶生长是获得理想产品的关键。同时，枝晶是典型的非平衡自组织 结构，是一个涉及到热量、质量和动量传输以及界面热力学、动力学和毛细作用效应相耦合的自由 边界问题【。众所周知，凝固过程中液相金属的对流除强制对流外，还存在由温度梯度和浓度梯度 引起的自然对流，这种流动在凝固过程中是始终存在的，它将直接影响到材料凝固后的组织，成分 偏析以及凝固疏松和孔洞等缺陷的分布。对流对枝晶组织的影响表现在：当对流达到紊流程度时， 会冲刷枝品臂，造成晶粒繁殖，促使等轴晶体的发展，特别是溶质浓度较高的合金容易借助流动形 成等轴晶体；另一方面，即使流动达不到冲断枝晶臂的程度，它也会明显地影响一次枝晶臂间距及 二次枝晶臂的生长方向【2 1 。因此，研究凝固过程中对流作用对枝晶生长的影响规律具有重要意义。 由于对流作用下的枝晶生长是一个涉及高温、合金相变和多物理场相互作用的复杂过程，很难 直接观察和控制。目前研究枝晶生长规律的实验方法主要有原位直接观察法和金相实验方法。直接 观察枝晶生长的动态过程的实验方法，往往仅限于一些熔点低、具有典型晶体结构且透明的有机物。 同时，实验成本高，常常受实验条件制约。尤其对于有对流作用的枝晶生长过程，很难在实验中进 行精确地观察和控制。理论研究方面，比较有代表性的有：p h b o u i s s o u 和p e l c e l 3 1 在i v a n t s o v 解的基 础上，通过选用合适的可解性条件，得到了流动作用下，纯金属枝晶生长p e c l e t 数与过冷度的一个 简化关系式；l i 和b e c k e 册锄【4 】在l i p t o n g l i c k s m a n k u r z ( l g k ) 模型i s 基础上，引入对流作用发展了 一个停滞膜模型，并利用该模型预测了s c n - - a c e 合金在对流作用下枝晶生长的尖端半径，尖端速 度等，将预测结果与实验结果进行了比较。但上述的理论模型的解析求解是在一些简化的假设条件 下进行的，仅能描述枝晶上游尖端的稳态生长特征，而不能描述整体枝晶的生长规律及形貌的演变 过程。 近几十年来，随着计算机技术的飞速发展，数值模拟已为人们认识科学规律的一种重要研究手 段。计算机技术和计算材料科学的迅速发展使得凝固过程的复杂数值模拟成为可能，它为凝固学这 门古老的学科带来了新的活力和崭新的研究方法。目前，凝阎过程宏观尺度的数值模拟已日趋成熟， 出现了如p r o c a s t 、m a g m a s o f t 和华铸c a e 等一些模拟宏观凝同过程的商用软件，并开始大量 应用于生产实际。如：铸造过程温度场、流场及应力场等的数值模拟：预测铸造过程中的某些缺陷， 如缩孔、缩松、冷隔、热裂及变形等。 在宏观传热、传质和动量传输基础上发展起来的微观组织模拟技术，被专家们称为跨世纪的模 拟技术或第二代模拟技术，已成为当前材料科学领域的研究热点。通过微观组织模拟，可以帮助我 们深刻理解微观组织的演变过程和形成机制。进而通过优化成分和工艺，获得具有理想的微观组织 和性能的材料，从而架起了材料成分和工艺设计与性能控制之间的桥梁，对于实现成分、工艺 组织一| 生能一体化研究具有十分重要的意义。 东南人学硕士学位论文 1 2 凝固组织模拟的数值计算方法 凝同微观组织的形成是一个复杂的物理过程，不仅受到相变热力学、动力学、毛细管效应、晶 体生长各向异性等因素所控制，还与温度场、浓度场、流场的三传过程密切相关。因此对微观凝同 组织进行数值模拟比对宏观凝【司过程如充型过程的模拟具有更大的挑战性。微观组织的数值模拟经 历了从定性模拟、半定量模拟到定量模拟，从纯物质微观组织的模拟到对多元合金微观组织的模拟， 数学模型和研究方法也在不断完善，但目前仍然处于学术研究阶段。下面将凝固枝晶组织的模拟方 法以及微观组织模拟中三传过程的数值计算方法进行简要叙述。 1 2 1 枝晶组织的模拟方法 目前，枝晶组织模拟方法主要有相场法( p h a s ef i e l d ，p f ) 、前沿跟踪法( f r o n tt r a c k i n g ，f t ) 和元 胞自动机法( c e l l u l a ra u t o m a t o n ，c a ) 。 1 、相场法 相场( p h a s ef i e l d ，p f ) 法基于l a n g e r 提出的相场理论，通过引入相场变量( = 1 时表示固相；o = - 1 或0 时，表示液相；1 o 1 或0 1 表示界面) 、考虑有序化势与热力学驱动力的综合作用来建立 相场方程。其解可描述金属系统中固液界面形态和界面的移动，从而避免了跟踪复杂固液界面的困 难。此外，p f 法可以方便地将相场变量引入温度场、溶质场、流场及其它外部场控制方程，有效地 实现微观与宏观尺度的耦合。由于具有上述优点，p f 法能直接模拟材料中固相和液相中的溶质偏析、 分枝的形成、熟化和重熔等复杂的凝固过程及定量地研究固液界面曲率效应、动力学效应、扰动、 各向异性对凝固微观组织的影响。1 9 9 3 年，k o b a y a s h i 6 j 利用含有各向异性的相场模型实现了过冷纯 金属熔体中枝晶生长的二维模拟，最早对具有复杂形状的枝晶进行了计算。k a r m a 等i7 j 对纯金属自 由枝晶的生长进行了二维和三维的定量模拟，枝晶尖端速度和尖端半径的计算结果与稳态枝晶生长 的格林函数数值解一致。目前，p f 法已被应用于对纯扩散和对流条件下枝晶的生长、共晶和包晶组 织的形成进行定性和定量的模拟研究【8 。1 4 】。但p f 模型有一些自身难以克服的局限性。例如，它受到 严格的网格尺寸限制。在固液相变中，界面的尺度大约为n i r l 级，这么微小的尺度与溶质场、温度 场和流场的尺度形成了巨大的差距，这造成了p f 法数值模拟巨大的计算量。因此，它的计算区域一 般很小，所需内存容量大而计算效率低。使相场法数值模拟对计算机的硬件提出了很高的要求，国 内外在这方面的计算往往是通过高性能工作站或计算机集群完成的。 2 、前沿跟踪法 前沿跟踪( f r o n tt r a c k i n g ，f t ) 法是一种在较早的时期就引起了研究者兴趣的模拟枝晶生长的方 法。它在整个计算区域中使用固定网格，而在相分界面上使用移动的非结构化网格。在计算时，控 制方程在固定网格上求解，然而相分界面上用一条移动的“前沿( f r o n t ) ”来表示，该界面用一系列 标记点连接而成。当分界线移动时，它会延伸变形，这样会导致其中的一些单元过于稀疏，而一些 单元则过于密集。为了保证计算精度，就必须在稀疏的单元中添加一些新的单元，同时也要合并一 些过密的单元。以前的f t 法需要处理不同的相，而改进后的方法则通过一套控制方程来处理流场中 所有的相。为了描述不同相之间材料性质的区别，该方法在控制方程中加入了适当的界面作用项， 2 第一章绪论 从而将相分界面特征如表面张力考虑进来。由于这些作用相集中在不同流体分界面上，因此可以用6 函数来表示它们。离散控制方程时，这些6 函数也必须随着方程一起被近似。f t 法通过在合适的液 固界面条件下求解传热和形核守恒公式来模拟枝晶生长。它是依照界面条件来决定每一时刻界面的 移动的。f t 法能够处理界面性能的不连续性、界面的各向异性和布局的改变。d a m i rj u d e 和g r e t a r t r y g g v a s o n i ”】运用界面跟踪方法模拟枝晶生长。在他们的模型中，固液界面必须满足g i b b s t h o m s o n 条件，从而能够体现不连续的热物理性质对表面张力的影响。z h a o 和h e i n r i c h l l6 1 7 j 利用有限元方法结 合界面跟踪技术模拟了枝晶生长，并将模型中所跟踪的每个标识点用二次函数表示，以此来提高计 算准确程度。由于f t 法中界面位置的确定性跟踪的运算法则包括复杂的数值计算，特别是在考虑三 维的情况时，这种方法较难实现模拟具有发达二次晶的多枝晶的形貌。而且，f t 模型的计算效率较 低。z h u 和s t e f a n e s c u l l 8 】提出了一个虚拟的前沿跟踪( v i r t u a lf r o n tt r a c k i n g ，v f t ) 模型用来模拟低p e c l e t 数体系下的枝晶生长。该v f t 模型不需用附加的节点来描述固液界面，只是在捕获新的界面网格时 采用了前沿跟踪的思想，而实际的界面用界面网格中的固相分数来隐式地表示，因此，具有较快的 计算效率。该模型不仅能够定量地预测合金凝固过程中枝晶的生长，而且能够模拟出与实验观察相 符的等轴晶和柱状晶的生长形貌。 3 、元胞自动机方法 元胞自动机( c e l l u l a r a u t o m a t o n ，c a ) 方法的基本思想是一个元胞或系统的基元，依据与其相邻的 其它基元的情况，按设定的规则来决定自己的状态，从而通过定义局部简单的规则来描述系统整体 复杂的演变规律。它是一种时间、空间和状态都离散的动力学模型。c a 方法在模拟凝固过程中微观 组织的形成时主要是将元胞自动机的组成元素按照金属凝固原理进行扩展，而在处理形核( 晶核的分 布、晶体学取向) 时，则采用随机方法。c a 法将区域划分为不同的网格，采用其节点标示不同网格 区域的状态，然后按照该区域的凝固条件确定适当的演化规则进行状态演化，从而可以描述晶粒形 核长大的过程。该方法有较强的物理基础，可用于模拟晶粒生长中的竞争机制、晶粒结构及形态的 演变。这些优点使得它很适合于描述自由枝晶、柱状枝晶的形成以及柱状晶与等轴晶之间的转化。 n o r m a nh p a c k a r d 1 9 】建立了第一个枝晶生长的二维元胞自动机模型。模型中考察了局部界面曲 率、热扩散和潜热释放，定性观察了枝晶生长结果。d i l t h e y 和p a v l i k l 2 0 1 提出了一个改进的c a 模型， 该模型是基于界面处溶质扩散的平衡和界面处的曲率作用，通过求解溶质场，建立了描述枝晶界面 及其生长的一系列方程。这个模型可以成功的应用于焊接过程中枝品形貌演变的模拟。n a s t a c i z u 也 采用了类似的溶质传输公式进一步修改了模型，使得c a 模型可以用来模拟柱状晶向等轴晶的转变 ( c e t ) 。z h u 和h o n g 提出了一个改进的c a 模型，该模型能够很好的模拟二维和三维的单枝晶和多 枝晶形貌1 2 2 , 2 3 j ，半固态非枝晶组织的演变2 4 1 ，以及在对流作用下的枝晶的生长f 2 5 , 2 6 1 。该c a 模型已 被推广到多相系统模拟了规则和非规则的共晶组织【2 7 , 2 8 j 。和热力学计算相耦合该模型也可以对多元 合金的显微组织和微观偏析进行模拟【2 9 - 3 1 】。w a n g 掣3 2 】建立了一个c a f d 模型，对不同择优取向的 枝晶生长进行了模拟研究。为克服网格所引起的各向异性，s t e f a n e s c u l 3 3 , 3 4 】在c a 的基础上提出了一 种改进的模型，模拟了低p e c l e t 数下溶质枝晶的生长。陈晋等人【3 5 , 3 6 】采用c a 方法模拟了枝晶生长、 界面扰动以及分枝的竞争演化。李强、李殿中掣3 7 , 3 8 采用一个基于界面溶质守恒的c a 方法，对f e c 二元合金凝固过程中的枝晶生长和显微偏析等进行了模拟研究。许庆彦、柳百成等 3 9 , 4 0 将c a 模型 与宏观传热耦合，对a l 合金的晶粒组织及等轴枝晶形核生长进行了模拟计算。c a 方法的最大优点 是算法简单，与p f 法等相比较，计算效率较快，计算区域较大。因此，更具有工业应用的潜力优势。 3 东南大学硕士学位论文 但以往的c a 法组织模拟主要局限于定性的组织形貌模拟，最近也逐步向定量精确模拟方向发展。 1 2 2 微观凝固组织模拟中三传过程的数值计算方法 1 、基于传输模型的流场计算 传输模型是求解流场的传统方法，也是至今最常用的一种方法。将凝固过程中高温熔融的金属 液看作有黏度的不可压缩的牛顿流体，对黏性不可压缩牛顿流体进行数值模拟计算的控制方程为连 续性方程和动量方程( n a v i e r - s t o k e s 方程) 。 基于连续介质假说，在研究流动时，认为流体是连续地充满它所占据的空间。根据质量守恒定 律，对于空间固定的封闭曲面，稳定时流入的流体质量必然等于流出的流体质量；非稳定时流入与 流出的流体质量之差，应等于封闭曲面内流体质量的变化量。也就是说，流体在单位时间内流经单 位体积空间输出与输入的质量差与内部质量变化的代数和为零，基于这一思想可以得出连续性方程 的通式： 粤+ v ( 胛) ：0 ( 1 1 ) 式中 p 流体的密度( k g m 3 ) ； r 时间( s ) ： u 流体运动的速度( m s ) ； 根据动量守恒定律和牛顿黏性定律，得到实际流体的动量守恒方程，即不可压缩黏性流体的动 量守恒方程： p 罢+ u v u i 一卯们“，+ 胪 2 ， 式中 流体的动力粘滞系数( k g ( s m ) ) ； 尸压强( p a ) ； f 作用在流体基元上的体积力( n ) ； 在传统方法中，多采用基于控制体积的s e m i - i m p l i c i tm e t h o df o rp r e s s u r e - l i n k e de q u a t i o n s ( s i m p l e ) 法求解连续性方程和动量方程，其求解的要点是对速度场和压力场同时迭代求解，计算出的速度场 同时满足连续性方程和动量方程。s i m p l e 法广泛应用于流体力学流场的计算，是一种较成熟的流场 模拟技术。 由于传统流体计算模型是建立在连续介质的假设条件基础上的，对单相连续介质的流体流动的 数值计算是适用的。但当有枝晶固相存在时，流体就成为非连续介质。因此，采用基于n s 方程的 传统方法计算流场时就会对数值稳定性和计算效率带来问题。在我们前期的工作中发现，当固相分 数超过2 5 - - 3 0 时，基于n s 方程的流场计算就会发散而使模拟计算难以进行下去。该方法的另一 个问题是很难处理外力源项问题，因此很难开展自然对流枝晶生长的模拟研究。 4 第一章绪论 2 、基于传输模型的浓度场和温度场计算 传质和传热是合金凝固过程中很重要的两个方面。随着晶粒的形核和生长，一方面在液相中析 出具有和液相成分不同的固相，释放出的溶质富集在凝同界面前沿的液相中，即溶质在同液相中的 再分配：同时从不同成分的液相析出的围相也具有不同的成分，这样就造成了凝固体系中各处溶质 浓度的不均匀，引起溶质传输。另一方面凝同时在同液界面释放出潜热，造成温度的不均匀，引起 热量传输。 在一个含有两种或两种以上组分的体系中，如果存在浓度梯度，则每一种组分都有向低浓度方 向迁移的趋势，物质有高浓度向低浓度方向迁移的过程称为质量传输过程，简称传质。质量传输的 基本方式可分为分子传质( 分子扩散) 和对流传质。分子纯扩散基于菲克第一定律。对流传质是指在 流动与固体壁面之间，或互不相溶的两种运动流体之间发生的传递。在合金凝固过程中受对流和扩 散控制的双组分混合物a ，b 中组分a 的质量传输方程为： 等v c 爿= d 柚v 2 c 一一( 1 - 鲁 ( 1 3 ) 式中 o 组分a 的浓度( m a s s ) 。 组分a 、b 之间的溶质互扩散系数( m 2 s ) ； 乞平衡分配系数 石固相分数 式1 3 右边第二项代表合金凝固过程中溶质再分配对浓度场的影响。 热量传输有三个基本方式：热传导、热对流和热辐射。一般凝固微观模拟中的温度场计算只需 考虑热传导和热对流，宏观控制方程为： 胪p 百c o t + p c p u v t = v ( 脚帅嗜 ( 1 4 ) 式中 卜温度( k ) 5 白质量定压热容( j “崦k ) ) 。 a 导热系数( w ( m k ) ) ； q 凝同潜热( j k g ) ： 传统方法采用有限差分法对式1 3 ，1 4 进行离散求解浓度场、温度场。传输模型对纯扩散时的浓 度场及温度场计算比较简单，但当考虑对流的影响时，式1 3 ，1 4 需耦合式1 1 和1 2 进行求解，则计 算变得复杂，计算效率较低。 3 、l a t t i c eb o l t z a m n n 方法计算流场 格子b o l t z m a n n 方法( l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ，l b m ) 4 1 , 4 2 j 扫美 亘l o s a l a m o s 国家重点实验室的 m c n a m a r a 和z a n e t t i 教授于1 9 8 8 年首次提出，它由格子气自动机( l a t t i c eg a s a u t o m a t a ，l g a ) 理论 5 东南大学硕士学位论文 发展和改进而来。它的理论基础是分子运动论和统计力学。l b m 是一种不同于传统数值方法的流体 建模和计算方法。l b m 从微观动力学角度出发，把宏观物理量当作微观统计平均的结果。将流体及 其存在的时间空间完全离散，给出离散的流体粒子之间的相互作用以及迁移规则，应用质量、动量 和能量守恒规律，在分子运动论和统计力学基础上构架宏观与微观、连续与离散之间的桥梁。l b m 的演化过程主要分两个步骤：( 1 ) 迁移，粒子在一个时间步长内从一个节点运动到它最邻近的节点上； ( 2 ) 碰撞，在一个节点上与从邻近的节点迁移过来的粒子发生碰撞，根据质量、动量和能量守恒规则 改变粒子的速度，然后又以改变后的分布函数继续进行迁移。这两个步骤交替循环，直到流场计算 收敛。 l b m 模型中的格子就是数值计算中用的模型网格。l b m 是对流体动力学的空间离散方法，这 种模拟方法的基本模型网格必须满足一定的对称性条件。这样才能用空间旋转对称性还原流体动力 学行为。l b m 常用的网格类型有d 2 q 5 、d 2 q 9 、d 3 q 1 5 、d 3 q 1 9 ( d k q n ，k 表示维数；n 表示速度 分量数) 。图1 1 为二维常用的d 2 q 9 模型，图1 2 为三维计算常用的d 3 q 1 5 模型。 图1 - 1l b m 的d 2 q 9 模型图1 - 2l b m 的d 3 q 1 5 模型 由于l b m 的微观粒子背景使它具有其他许多数值方法所没有的独特优点：从物理角度看，l b m 可以比较方便地处理流体与边界之间、不同流体组分之间以及流体界面之间等复杂的相互作用且不 须借助经验或半经验的模型。另一方面，从计算的角度看，l b m 属于显式时间推进方法，每个时间 步的计算量为o ( m n ) ( m 为离散速度数，n 为计算格点数) ，计算效率高于一般的数值方法。同时， l b m 的演化过程简单清晰。l b m 中涉及的计算都是局部性的具有天然的并行性，适合在大规模并 行计算机上运行。此外，l b m 没有连续介质的假设条件，特别适合于对复杂系统中的多相流和多元 流进行数值计算，也就特别适合应用于我们凝固显微组织模拟研究领域。和传统方法相比l b m 还有 一个优点就是比较容易处理外力源项。因此，比较容易开展自然对流的数值计算。 正是由于具有上述优点，l b m 在近2 0 年内得到了迅速发展，现已成功地应用于流体力学诸多 方面的数值计算，如湍流、多相流、多孔介质流、反应和燃烧系统、粒子悬浮流、磁流体力学等【4 8 】 相关领域也得到了比较成功的应用。从9 0 年代后期国内外已有学者将l b m 应用于凝固领域的数值 模拟研究【4 9 - 5 引，如铸造充型过程模拟、金属发泡过程模拟和枝晶生长过程中的流场模拟等。 4 、l a t t i c eb o l t z a m n n 方法计算浓度场和温度场 处理传热及传质问题的格子b o l t z m a n n 方法有两种4 2 】：多速度( m u l t i s p e e d ，简记为m s ) 模型和 双分布函数( d o u b l e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ，d d f ) 模型。 6 第一章绪论 m s 模型只是等温模型的直接推广，还使用原来的密度分布函数，需要使用更多的离散速度对 宏观内能作统计定义，以使格子b o l t m z n a n 方程与宏观对流扩散方程一致。m s 模型不足之处是数值 稳定性较差。因此，限制了这类模型的使用。 d d f 模型的基本思想是，如果粘性热耗散和压力所作的功可以忽略，温度、浓度就可以看作是 跟随流体运动的被动量，并且满足简单的对流扩散方程，因此可以使用两个独立于密度分度函数的 新分布函数来模拟温度场和浓度场。d d f 模型可分为三类：一是s h a n 提出的基于多组分模型的模 型，构造该模型时需要假设流动中压力所做的功和粘性热耗散可以忽略：二是h e 等提出的基于连续 b o l t z m n a n 方程的能够反映压力功和粘性耗散的模型，该模型的优点是物理背景明确，具有良好的数 值稳定性，p r a n d t l 数不受限制，但存在物理空间不易离散，演化方程比较复杂，计算量大等问题。 三是郭照立等提出的基于等温不可压模型的一类新的格子b o l t z m n a n 模型，该模型使用三个格子 b o l t z m a n n 方程，分别用来模拟速度场、温度场和浓度场，并采用b u o s s i n e s q 近似将这几个方程耦 合起来，从而构成一个复合格子b o l t m z n a n 模型。该模型对于定常与否没有限制，具备一般d d f 模 型的优点，不增加任何附加的计算量且数值稳定性好，使用灵活。 1 3 流场作用下枝晶组织模拟的研究现状 目前，大多数枝晶生长的理论模型都是基于纯扩散条件，而忽略熔体对流的作用。这是由于凝 固过程中熔体的对流十分复杂，很难用数学模型进行精确描述。流场是影响枝晶生长形貌非常重要 的因素之一。对流可以促进或阻碍枝晶的生长，从而导致了与纯扩散条件下完全不同的枝晶显微组 织的形成。因此，在对凝固显微组织进行有效预测时，掌握金属液流动对枝晶生长的影响是非常重 要的。随着计算科学的发展，在微观组织的模拟中考虑熔体对流作用成为可能，熔体对流对组织形 成的影响方面的数值模拟研究已成为组织模拟研究领域中一个备受关注的研究课题。 1 9 9 8 年以来，国内外学者们应用c a 、p f 和f t 等方法耦合流场的数值计算，对流场作用下枝晶的 生长规律进行了模拟研究。瑞典的t s n h a r d t 和a m b e r g t 5 9 】等应用p f 方法耦合传输模型，研究了自 然对流对s c n 枝晶形貌演变的影响，同时定性和定量地考察了不同过冷度对自然对流枝品生长规律 的影响。图1 3 为t 6 n h a r d t 等人利用相场法耦合传输模型模拟的自然对流作用下枝晶形貌及等温线分 布图。美 i o w a 大学l ；f 勺b e c k e r m a n n 教授课题组和n o n h e a s t e m 大学 佝k a r m a 教授等人1 8 。1 0 】，应用二维的 p f 模型耦合n a v i e r - s t o k e s ( n s ) 动量方程的数值计算，以及热噪音对在高热过冷度和液体对流条件 下，纯物质中的自由树枝品的生长进行模拟，研究了流体的流动速度和枝品生长各向异性强度等因 素对枝晶尖端半径、生长速度和二次枝晶臂发展的影响规律。台湾l a n 等1 6 0 j 应用p f 模型耦合基于 n a v i e r - s t o k e s 方程的流场数值计算方法研究了合金在强制对流作用下枝品的生长规律。美国c o m e l l 大学t a n 等1 6 1 , 6 2 1 应用f t 模型模拟了纯物质和合金在流场作用下的枝品生长形貌。 国内方面，北京大学的l id a m i n g 纠6 3 】应用c a 方法对强制对流作用下枝晶生长规律进行了研 究，并将等温条件下的模拟结果与o s e e n - i v a n s t o v 解进行了比较。本课题组的前期工作中 2 5 , 2 6 建立 了一个改进的元胞自动机( m c a ) 一传输耦合模型，对合金在对流作用下的单枝晶和多枝晶的生长规 律进行了模拟研究。 在上述对流作用下枝晶生长的研究中，流