（检测技术与自动化装置专业论文）基于小波的图像压缩编码.pdf

摘要 摘要 伴随着数字通信、计算机网络及多媒体技术的飞速发展，图像压缩编码成为 解决多媒体通信问题的一个关键环节和信息技术中最为活跃的领域之一，而基于 小波变换的图像压缩是图像压缩领域的一个重要分支。在这种背景下对小波图像 压缩算法进行研究和改进无疑是一项重要任务和研究热点。 论文主要内容由以下几部分构成：首先介绍了课题的背景、意义和研究现状 以及静止图像压缩的分类和评价标准；然后，从小波变换的原理出发，通过实验， 对变换后图像小波系数的特点进行分析，为后面介绍和改进小波压缩编码方法做 准备；接下来，介绍了阈值压缩方法并根据硬阈值和软阈值压缩方法的优点和缺 点提出了一种改进的阈值压缩方案；然后，对基于零树结构的图像压缩编码进行 了重点介绍和研究，主要分析了嵌入式零树小波编码( e m b e d e dz e r o t r e ew a v e l e t s e n c o d i n g ，e z w ) 和基于多级树集合分割编码( s e tp a r t i t i o n i n gi nh i e r a r c h i c a lt r e e s ， s p i h t ) 两种算法，并对s p i h t 算法提出了两种改进方案：方案一，在s p i h t 编码 前采用纹理子带补偿的预处理。这种方案能够提高恢复图像的主观质量。方案二， 首先引入“兄弟节点相关性”假设对原算法中“父子节点相关性 假设作补充； 其次，对最低频子带系数分开处理，即将三。子带系数和日。，m 。，魍，子带系 数区别对待。并对s p i h t 算法的零树结构进行相应的修改。方案二改进后的s p i h t 算法能够更有效的标识显著节点，进而提高了图像的压缩性能。两种方案通过仿 真实验证实都是可行和有效的。 关键词：图像压缩小波变换零树阈值 a b s t r a c t a bs t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fd i g i t a lc o m m u n i c a t i o n s ，c o m p u t e rn e t w o r k sa n d m u l t i m e d i at e c h n o l o g i e s ，i m a g ec o m p r e s s i o nb e c o m eak e yo fs o l u t i o nt om u l t i m e d i a c o m m u n i c a t i o n sa n do n eo ft h em o s ta c t i v ea r e a si ni n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y i m a g e c o m p r e s s i o nb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r mi sa i li m p o r t a n tb r a n c ho fi m a g ec o m p r e s s i o n a g a i n s tt h i sb a c k g r o u n dt os t u d ya n di m p r o v et h ea l g o r i t h m so fi m a g ec o m p r e s s i o n b a s e do nw a v e l e ti sn oo n l ya ni m p o r t a n tt a s kb u ta l s oar e s e a r c hh o t t h et h e s i si sm a i nd i v i d e di n t ot h e f o l l o w i n gs e c t i o n s ：f i r s tg i v e ab r i e f i n t r o d u c t i o na b o u t b a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c e ，s t u d y o fc u r r e n tc o n d i t i o n sa n d e v a l u a t i o nc r i t e r i o no fs t i l li m a g ec o m p r e s s i o n ；a n dt h e n ，f r o mt h ep r i n c i p l eo fw a v e l e t t r a n s f o r mt h r o u g he x p e r i m e n t sg i v et h ec h a r a c t e r i s t i c so fw a v e l e tc o e f f i c i e n t sa sa p r e p a r et o d e s c r i b ea n di m p r o v et h ew a v e l e tc o m p r e s s i o n c o d i n gm e t h o d ；t h e n i n t r o d u c e dt h ew a v e l e ti m a g ec o m p r e s s i o nb a s e do nt h r e s h o l d a n da c c o r d i n gt ot h e a d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fb o t hh a r d t h r e s h o l da n dc o m p r e s s i o ns o f t t h r e s h o l d p r o p o s e da ni m p r o v e dt h ec o m p r e s s i o ns c h e m eb a s e do nt h r e s h o l d t h e nt h er e s e a r c h f o c u s e do nt h ei m a g ec o m p r e s s i o nb a s e do nz e r o t r e es t r u c t u r e a f t e rh a v i n gam a i n a n a l y s i sb o t he z w ( e m b e d e dz e r o t r e ew a v e l e t se n c o d i n gf o rs h o r t ) a n ds p i h t ( s e t p a r t i t i o n i n gi nh i e r a r c h i c a lt r e e sf o rs h o r t ) ，w ep r o p o s e dt w op r o g r a m st oi m p r o v e s p i h ta l g o r i t h m p r o g r a mi ，h a v eap r e t r e a t m e n tw h e nc o d et e x t u r es u b b a n d s u c h p r o g r a mc a ni m p r o v et h es u b j e c t i v eq u a l i t yo ft h er e s t o r a t i o no fi m a g e s p r o g r a mi i ， g i v et h ei n t r o d u c t i o no fa s s u m p t i o n “r e l a t i o n s h i po fb r o t h e r s n o d e s ，t oa d dt h e r e l a t i o n s h i po ff a t h e ra n ds o nn o d e s a s s u m p t i o n ；h a v ead i f f e r e n tt r e a t m e n tt ot h e c o e 伍c i e n t so fl o w e s tr e s o l u t i o ns u b b a n d sa n dw em o d i f i e dt h ez e r o t r e eo fs p i h t a l g o r i t h m p r o g r a mi ii m p r o v et h ea b i l i t yo fi d e n t i f yt h es i g n i f i c a n tc o e f f i c i e n t sn o d e ， s oi ti m p r o v e dt h es p i h ta l g o r i t h m sp e r f o r m a n c eo fi m a g ec o m p r e s s i o n s i m u l a t i o n c o n f i r m e dt h a tb o t hp r o g r a mia n dp r o g r a mi ia r ef e a s i b l ea n de f f e c t i v e k e y w o r d s ：i m a g ec o m p r e s s i o n ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，z e r o t r e e ，t h r e s h o l d i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：3 立捌l 日期：降月乙l 臼 关于论文使用授权的说明 ，本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：二趾 日期： 伊7 年乡月1 一日 第一章绪论 1 1 课题的研究背景和意义 第一章绪论 ( 一) 图像压缩的必要性 众所周知，原始图像数据会占用大量的存储空间，对于需要大量存储和传输 视频图像的应用领域( 如办公自动化、医学图像处理、卫星遥测系统、h d t v 及多 媒体综合信息服务系统等) 需要有效的方法来存储及传递这些图像文件。很显然， 在几乎所有涉及到数字图像存储和数字图像传输的应用中都需要进行有效的数据 压缩【l 】。例如，在不进行压缩处理的情况下，一张6 0 0 m 的光盘仅能存放2 0 s 左右 的6 4 0 * 4 8 0 像素的图像信息；一幅2 2 9 1 * 2 1 9 0 * 8 b i t 的气象卫星红外云图占用 4 9 m b ，如果一颗卫星每半小时发一次全波段数据( 五个波段) ，每天的数据量就 高达1 2 g b ，可见所需存储的数据量之大。如果没有一个有效的压缩数据的方法， 图像的传输、存储及加工处理等方面都会引起极大的困难。因此，数字图像的压 缩就显得格外重要。 ( 二) 图像压缩的可行性 对数字图像进行压缩，降低图像传输的数据率，同时，还要尽量保证在数据 丢失的情况下使图像质量的损失最小化。理想的状态是，能够在接收端将丢失的 数据完全恢复，或即使无法恢复但人眼感觉不到图像质量的损失。这就要求压缩 过程中，要根据视频信号的特点及人眼的视觉特性，寻找数据中那些与信息无关 或对图像质量影响不大的成分，即冗余数据，进行压缩【2 】p 主要包括以下几种冗余： 1 空间冗余 这是静态图像或动态图像的一帧中存在的主要的一种数据冗余。对于大多数 图像来说，相邻像素、相邻行之间图像内容变化很小，即具有很大的相关性( 或称 相似性) ，这种相关性称为视频信号的空间相关性或帧内相关性。但是基于离散像 素采样来表示图像内容的方式通常没有利用像素间的这种空间相关性，从而产生 了空间冗余。 2 时间冗余 序列图像的表示中经常包含时间冗余。比如在电影中我们用2 4 幅图像记录一 秒的活动画面，相邻的帧往往包含相同的背景和移动物体，只不过移动物体所在 电子科技大学硕士学位论文 的位置略有不同，因此相邻帧的对应像素间就存在很强的相关性，称之为时间相 关性或帧间相关性。由这种相关性导致相邻帧的数据中会有许多共同的地方，称 为时间冗余。 3 视觉冗余 人类的视觉系统对图像的敏感性是非均匀和非线性的。对于人眼难以识别的 数据或对视觉效果影响甚微的数据，都可认为是多余的数据，称为视觉冗余。 4 结构冗余和知识冗余 在有些图像的纹理区，像素值存在着明显的分布模式，例如，竹席、方格状 的地板图案等，由有规律的分布模式引入的数据冗余称为结构冗余。有些图像的 理解与人的先验知识和背景知识有很大的相关性。例如，人脸、人体的图像都有 固定的结构，由这种规律性的结构引入的数据冗余称为知识冗余。 ( 三) 小波图像压缩的优势 小波分析【3 4 】具有数学发展史上的里程碑的意义，被誉为“数学显微镜 。作为 一种多分辨率分析方法，小波分析具有很好的时频局部化特性，特别适合按照人 眼视觉特性设计图像编码方法，也非常有利于图像信号的渐进传输。 小波图像压缩方法相对于传统图像压缩方法更有优势1 5 j ： 小波变换后，图像的能量集中。小波变换具有很好的时频域局部特性，图 像经过小波变换，少量的小波分解系数上集中了绝大部分的能量，我们可以只保 留这部分系数而将其它的系数置零，从而获得较好的压缩效果。 小波图像压缩对图像的边缘和细节部分恢复能力强。小波图像压缩在高频 带采用小时窗观察，在高频时它对时间的定位较准，对图像的细节和边缘信息的 捕获能力较强。 小波图像压缩采用多分辨率分解。每次小波变换将图像分解成低频平滑图 像分和高频细节图像。我们对每次变换后得到的平滑图像反复采用小波变换，直 到达规定分解层数，可以得到一个关于原始图像的一系列子带，这个过程称为多 分辨率分解。因此，采用小波图像压缩时，可根据各子带的重要程度对各子带的 系数进行不同的处理，这有利于提高压缩比；而在图像重建时，可以逐渐加入细 节图像，适合图像的分级传输。 小波图像变换具有抑制噪声的能力。我们可以研究噪声信号在小波分解系 数中的分布，通过设置合理的阈值能够消除图像中的部分噪声。 小波图像压缩的选择性较强。基于小波图像压缩，有较多的性能良好的小 波基可供选择。我们可以根据不同的应用问题选择最适合的小波基。 2 第一章绪论 小波图像压缩的恢复图像没有方块效应。 总之，图像压缩是必要的和可行的，而基于小波的图像压缩有其自身的优势。 所以对小波图像压缩编码进行研究是必要的，也是当前的一个研究热点。 1 2 小波图像压缩的研究现状 基于小波变换的图像压缩编码的研究目前主要集中在下面几个方面： 小波基的确定：如何选择和选择哪一种小波基做小波变换是小波图像处理 中的首先要面对的问题，也是一个比较难解决的问题，至今我们还没有发现一种 真正意义上的最优小波，只是根据小波基的数学特性，如小波基的紧支性、对称 性、正则性、正交性、消失矩等数学特性来选择，在文献f 6 ，7 】提到：正交小波基的 消失矩和平滑性对图像压缩性能都有影响，而且平滑性的作用要高于消失矩的作 用。文献【8 , 9 , 1 0 1 中提到了各种小波基在图像编码中的性能并进行了对比。 离散小波变换的快速实现算法的研究：离散小波变换的m a l l e t 算法【i l 】被提 出后，离散小波变换改进算法也成为一个研究热点。r i o u l 等人i l2 j 提出了利用f f t 进行卷积运算，对长度较大离散小波变换作用明显。s w e l d e n s 提出的提升算法1 1 3 , 1 4 1 使离散小波变换的计算量比m a l l e t 算法减少了一半。 整数小波变换的研究：在图像表示中，图像的像素值是以整数形式表示的， 如果要想保证信息无缺失，就必须采用整数到整数的变换，但是目前采用的各种 离散变换，其基函数均为三角函数，这无可避免的要将整数变换到浮点数，而且 传统的小波变换后的系数也是浮点数，受计算机的精度的限制，不可能实现图像 完全恢复，而且硬件实现的难度也增加了。整数到整数的小波变换是在s w e l d e n s 提出的新的小波构造方法提升方法【1 3 , 1 4 1 的基础上进行改进得到的。文献【1 5 , 1 6 对 于如何构造和选择哪种整数小波变换以提高编码效率进行了分析。 小波系数量化方法：s h a p r i o 提出的嵌入式零树小波e z w 算法【1 7 】是小波编 码技术的一次飞跃，它充分的利用了小波系数的特性。之后，在e z w 的基础上， 又有学者提出了一些新的性能更好的算法，如多级树集合分裂算法s p i h t 1 8 l 、集 合分裂嵌入块编码s p e c k 1 9 , 2 0 j 等，都取得了很好的效果。 小波编码算法与其他算法的结合：如小波算法与神经网络1 2 ，小波和分形 理论【2 2 】的小波和形态学【2 3 j 等其他学科结合的混合编码也成为近几年研究的热点。 电子科技大学硕十学位论文 1 3 图像压缩编码方法和分类 人们对图像压缩编码的研究始于1 9 4 8 年电视信号数字化的提出，至今已有六 十年的历史。1 9 6 9 年第一届“图像编码会议 在美国的召开，标志着图像压缩编 码技术作为一门独立的科学诞生了【2 4 】。二十世纪八十年代以来，伴随着小波理论， 人工神经网络和分形理论的发展，图像编码进入了崭新的时期。下面对几种常见 压缩编码算法进行简要介绍： 1 预测编码 预测编码f 2 5 】是根据离散信息之间存在着一定关联性的特点，通过前面的个 或多个信号对下一个信号进行预测，然后对实际值和预测值的差进行编码。如果 预测比较准确，那么误差就会很小。因此，在同等精度要求的条件下，可以用比 较少的数码进行编码，以达到数据压缩的目的。 无损预测编码是指不对预测误差进行量化，因此不丢失任何有效的信息：而 有损预测编码则需对预测误差进行量化处理。有损预测编码也称差分脉冲编码调 制法d p c m ( d i f f e r e m i a lp u l s ec o d em o d u l m i o n ) 。 当 图1 1d p c m 编解码的原理 在对图像或视频进行预测编码时，既利用了信号的统计特性，从而降低了编 码率。另外，对于图像和视频信息而言，不仅在相邻的像素和相邻行之间存在着 较强的空域相关性( 帧内相关性) ，而且在相邻帧之间也存在着较强的时域相关性 ( 帧间相关性) 。所以，根据帧内或帧间的相邻像素的已知样本值作线性或非线性预 4 第一章绪论 测，所得误差的方差比原始图像样本值的方差要小，从而可以达到压缩图像信息 的目的。 2 矢量量化 矢量量化是把图像分成许多没有交叉的子图像块，每一个像块可以被看成 是一个维的图像矢量x ，等于该子图像块的像素数。然后每个矢量去与储存 好的参考图形或称码矢量进行比较，找出一个与图像矢量x 量最接近的码矢量， 就将该码矢量的标志符传送到接收端。在接收端可根据查表重新产生码矢量，从 而恢复原图像，为减小误差必需使码矢量尽量接近x 。 矢量量化编码分为编码器和解码器。解码器实质上是个查找表；编码器是矢 量量化的核心。矢量量化器有以下优点： ( 1 ) 只传递码字的下标，编码效率高； ( 2 ) 在相同速率下，矢量量化比标量量化失真小； ( 3 ) 在相同失真情况下，矢量量化比标量量化所需传输速率低。 它的缺点是复杂度随矢量维数或指数增加。 输出矢量 输入 f 图1 - 2 矢量鼍化编码和解码示意图 3 分形编码 分形几何可以描述自然界里一些景物的自相似形。1 9 8 8 年，b r a n t l e ymf 等学 者首先将分形引入图像压缩领域，提出了“迭代函数系统”的概念【2 7 】。这种压缩 方法的基础是：图像整体与局部具有相似性。它的压缩实质是设法提取图像生成 的方法和规则，而不是对像素本身进行压缩。解码器只要根据图像的生成规则， 就可以还原出原始图像。由于一些具有比较明显分形特征的图像的生成规则很简 单，因此该方法可以获得极高的压缩比。但是如何寻找任意一幅自然图像的分形 迭代码是一件很困难的事情，同时由于自然图像本身并不具有严格的分形特征， 因此，这一编码方法仍处在不成熟的发展阶段。 电子科技大学硕十学位论文 4 变换编码 变换编码【2 6 】是指先对信号进行某种函数变换，把信号从一种信号空间变换到 另一种信号空间，然后再对其进行编码。如将时域信号变换到频域，因为声音、 图像大部分信号都是低频信号，在频域中信号的能量较为集中，如果变换后再进 行编码，肯定可以起到压缩的效果。变换编码系统中压缩数据有三个步骤：变换、 变换域采样、量化。变换本身并不进行数据压缩，它只是把信号映射到另一个域 上，使信号在变换域里变换后得到的样值更加独立更加有序，这样容易进行压缩。 小波编码是变换编码的一种。小波离散变换具有时频域局部性，方向性，并 且支持多分辨率分析，能把图像信号的能量聚集在某些频带上，这些特性都有利 于图像的压缩编码。 1 4 静止图像压缩质量的评价标准 ( 1 ) 静止图像主观评价准则 主观评价是指由观察者依据自己的感觉对图像质量进行评价。人的视觉系统 基本上都是图像通信系统的最终接收者。因此，对图像质量进行主观评价是最直 接、最可靠的方法，也是目前最常用的方法【2 引。 图像质量的主观评价不足之处是其使用的不便性，这种评价方法取决于人的 感觉和心理状态，即图像质的量的最终评价与观察者的心理因素有关。不同的观 察者可能会对同一组图像的质量，做出不同的评价结论。从图像信息的传输角度 出发，图像系统评价的真正尺度应该是发送者的意图和接收者的理解程度，而不 是对发送者发出的图像像素信息结合的简单接收。恢复图像的主观评价是指评价 者对一幅恢复图像进行观察，并从感觉上去度量它恢复质量，给出评价分数。我 们对所有评价者给出的分数进行加权平均，所得结果即为主观评价结果，有两种 尺度：绝对尺度和相对尺度，如表1 1 所示 表1 1 主观评价尺度 级别绝对测量尺度相对测量尺度 l很好最好的 2 较好高于平均水平 3 一般平均水平 4 较筹低于平均水平 5很差最差的 6 第一章绪论 人的主观评价结果必然是同人的视觉感受相统一的，是可靠的。但是主观评 价也有不可克服的缺点：( 1 ) 恢复图像的主观评价结果容易受到评价者个人的主观 因素影响，如性格、年龄大小、受教育程度等。( 2 ) 我们不能用具体的数学模型或 公式对主观评价准则进行描述。 很多情况下我们采用客观评价准则对图像的恢复质量进行评价。 ( 2 ) 静止图像客观评价准则 客观保真度准则一般是指压缩后恢复图像的峰值信噪比。 对于一幅m xn 灰度图像，如果原始图像为g ( x ，y ) ，压缩后恢复图像为 f ( x ，y ) ，a 为f ( x ，y ) 中的最大值。 峰值信噪比p s n r 定义为1 2 s j ： 一1 0 刈g 蕊蒋赢 n 。1 j 当采用标准灰度图像并使用8 位量化时量化级为2 5 6 ，那么式( 1 1 ) 中的a 取值为2 5 5 。当p s n r 超过3 0 d b 时，人的视觉系统不易分辨出近似图像与原始图 像的差别，此时可认为恢复图像的质量较好。 值得注意的是，峰值信噪比p s n r 是从总体上反映重构图像和原始图像的差 别。峰值信噪比相同，不代表视觉效果相同，这主要是由误差分布的均匀程度决 定的。一般来讲，误差分布均匀能够得到较好的视觉效果，如果误差的分布很不 均匀视觉效果就要降低。 1 5 论文的组织结构和安排 第一章介绍了课题的研究背景、意义和现状，并简要介绍了静止图像相关的 标准。 第二章简述了小波分析的历史和基本理论。 第三章实验分析了小波变换后图像系数的特点。对小波阈值图像压缩方法进 行了研究，并根据硬阈值算法和软阈值算法的优缺点对软阈值函数进行了改进。 第四章研究了基于零树的小波图像压缩算法中两种经典算法的嵌入式零树 小波编码( e m b e d e dz e r o t r e ew a v e l e t se n c o d i n g ，e z w ) 和基于分层树集合分割排序 编码( s e tp a r t i t i o n i n gi nh i e r a r c h i c a lt r e e s ，s p i h t ) 算法进行了研究，并对s p i h t 算 法提出了两种改进方案：方案一，在s p i h t 编码前采用纹理子带补偿进行预处理。 7 电子科技大学硕士学位论文 这种方案能够提高恢复图像的主观质量。方案二，引入“兄弟节点相关性 假设 对原算法中“父子节点相关性”假设作补充；将三厶子带与三见，m 。，h 日。区别 对待，即定义初始零树根节点只分布在厶。同时对原s p i h t 算法的划分结构进 行相应的修改。方案二能够更有效的标识显著节点，从而提高了图像的压缩性能。 两种方案通过仿真实验证实都是可行和有效的。 第五章对论文研究工作进行了总结和展望。 8 第二章小波分析理论 第二章小波分析理论 小波分析自提出以来就受到数学界的密切关注，十年来其理论和应用都得到、 了空前发展，并在信号处理等众多学科领域得到了广泛应用。小波变换克服了经 典傅罩叶变换不能同时表现局部信号时频域特征的缺点，所分辨率、时频域局部 化的特性使其在数学界享有“数学显微镜的美称。 小波变换编码就是在小波变换的基础上，利用小波变换后系数的各种特点， 采用适当的方法去组织变换后的图像小波系数，实现图像的高效压缩。选取的小 波不同压缩性能也不同，因此对小波理论进行研究是必要的。 2 1 小波发展史和基本概念 2 1 1 小波发展史 小波分析【2 9 】的历史是数学家和工程师共同创造的，它的产生、发展以及成熟 凝结了多人的智慧和劳动。小波分析方法中伸缩和平移的基本思想，可以追溯到 1 9 1 0 年h a a r 提出小波规范正交基，尽管在当时还没有出现“小波”这个词。1 9 8 0 年，法国地球物理学家m o r l e t 创造性的提出“小波”的概念。1 9 8 6 年，法国数学 家m e y e r 和他的学生提出了多尺度分析的思想。1 9 8 7 年，m a l l a t 提出了多分辨率 概念，给出了快速小波算法。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 构造出了紧支正交小波基，标 志着小波分析的理论初步形成。c o i f m a n 和w i c k e r h a 提出小波包理论，意味着信 号处理领域又一次重大发展。1 9 9 2 年，m a l l e t 将小波分析用于边缘检测，取得了 较好的效果。1 9 9 3 年多小波概念的提出，使小波分析理论达到了一个高峰。1 9 9 5 年，s w e l d e n s 提出了一种小波构造的新方法一提升算法，并证明所有的传统小波 的构造都可以由提升算法实现。 2 1 2 小波变换中的基本概念 小波分析的基本思想1 3 0 1 足用一组持续时间很短的时域函数 y 。( f ) ) 构成 r ( r ) 空间的一组小波基函数，实现对z 2 ( r ) 空间中的时域信号厂( f ) 的分解。 9 电子科技大学硕士学位论文 定义2 1 如果沙i f ( r ) 满足i 容许性”条件： 那么| | f ，被称为“基本小波”或“母校波”，其中y ( f ) 是吵( f ) 的傅里叶变换 巳：一时i - - 4 - d 彩 o 是一个常数，称为抽样速率。 对少( f ) r ( 尺) ，则有： l o 第二章小波分析理论 ，i ，) = 2 一2 v ( 2 廿卜风) 定义2 5 于厂( f ) r ( 尺) ，函数( f ) 的离散小波变换定义为： ( 厂) ( 2 ，瓯，) = - 2 一。e 儿) 和 一般地，若抽样速率= 1 ，则有： y 女，( ，) = 妙l ，t ，jo ) = 2 - k 2 沙( 2 一七t - j ) 2 2 小波基的选择 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 从理论上讲，我们可以通过小波分解后的信号重构原信号，但事实上并不是 所有的小波基都适用于图像信号的分解、重构。要想获得好的压缩效果，我们需 要选择合适的小波基【3 1 1 。影响我们选择小波基的主要因素有：小波基的数学特 性，包括紧支性、对称性、正交性、正则性、消失矩等；被处理图像自身的特 点。 2 2 1 小波基的数学特性 紧支性 如果函数y ( x ) 在区间【口，b 】外恒为零，那么我们称该函数在这个区间上是紧支 的，具有紧支性的小波被称为紧支撑小波。小波函数的紧支性代表着小波滤波器 的衰减速度，紧支撑小波的低通和高通滤波器是f i r 滤波器。紧支宽度越窄，小 波局部化能力越强，我们通常所指的紧支性为时域紧支性： 对称性 如果小波函数是对称的，则滤波器具有线性相位。这个特性非常重要，例如 在图像压缩编码中，小波函数的非对称性将使量化误差在图像的边缘非常明显， 而人眼视觉系统对这类失真比较敏感。采用对称滤波器是可以在视觉误差相当的 情况下达到较大的压缩比。 正交性 正交性是小波基的一个非常优良的性质。正交小波对应的低通滤波器和高通 滤波器系数之间有着直观的联系，这对正交小波的构造和实际应用都带来很大的 方便。 电子科技大学硕士学位论文 通过正交小波基进行多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的 f ( r ) 的子空间中，使各子带数据相关性减小，这有利于数值计算和数据压缩，另 外在计算小波反变换时，综合滤波器和分析滤波器之间只差一个共轭，算法更加 简洁。 正则性 小波函数的正则性又称光滑性，是指该函数连续可导。小波函数是否正则对 数据压缩的结果影响很大。因为量化后，一些较小的小波系数被舍弃，如果小波 函数不光滑，则误差很明显。此外，光滑程度高的小波，其滤波器的频率局部特 性也较好。 消失矩 小波函数的k 阶消失矩定义为： m = e 缈 ) d x ( 2 - 1 0 ) k 阶消失矩是指使m = o ( i = 0 ，k 一1 ) 成立的最大k 值。消失矩决定了信号分 解后能量在少数小波系数上集中程度。消失矩与小波的正则性有关，小波消失矩 的大小决定了小波逼近光滑函数的收敛速度。小波的正则性和消失矩相互作用。 d a u b e c h i e s 证明：对于相同阶的消失矩，正则性越好则编码效果越好；对于相差不 大的正则性，消失矩的阶数越高则编码效果越好；正则性的重要性比消失矩更强。 需要指出的是，不可能构造出一个小波在所有上述数学特性上都表现良好， 实际应用中构造小波基只能对上述特性进行折中。 2 2 2 图像特点对小波基选择的影响 图像根据所包含的数据的特点一般可以分成两类：图像中主要包含低频数据 的称为平滑图像。在实际应用中，大多数图像都是平滑图像，比如说自然图像、 医学图像、遥感图像等；另一类则是指像指纹图像，文档图像等这类含有较多的 高频数据的图像。 小波基的压缩编码效果与图像本身的特性密切相关。为了比较全面的分析小 波基对图像压缩性能的影响，本文选用了3 类有代表性的测试图像，如图2 1 所示。 它们有各自的特点，分别属于不同的应用领域。 1 2 第幸小波分 j f 理论 ( 1 ) 自然图像 这是最常见的幽像类j 班，我们在的性能评估史验进丌j 了两幅斟像。其叶 l e n a 图像是以、r 滑成分为主的人物图像，b a b o o n 属丁鲰l 节 ：富的类型。 ( 2 ) 科学图像 科学图像选取了两壤 多红外目像i rp h o t o ( 3 ) 其他罔像 以文档阁像i e x t 作为代表 ( d ) i r i 睡_ _ 彰蜘* i 刳俜r rp h o t ( 删试【鼍_ 像 电子科技人学硕+ 学位论文 从图像的客观评价指标p s n r ( 见表2 1 ) 来看，在3 种压缩比下，除了h a a r 小波对文档图像t e x t 表示出突出的压缩性能外，d 9 7 小波的平均p s n r 要高于 s y m 3 小波和h a a r 小波，s y m 3 小波的平均p s n r 要高于h a a r 小波。 根据以上的讨论可知，图像压缩编码中，并不存在对任何图像都能实现最佳 压缩效果的“最优小波”，只能根据具体应用要求来合理选择小波基。 表2 1 不同小波的压缩性能比( 单位：d b ) 压缩倍数对应比特率小波 l e n ab a b o o ni rp h o t ot e x t 1 0 ：l 0 8 b p p d 9 73 3 7 1 7 42 6 6 6 7 62 4 5 8 4 22 8 0 3 9 9 s y m 3 3 2 9 7 2 72 6 6 1 4 32 4 3 9 5 72 7 1 3 2 3 h a a r3 1 0 9 4 42 6 1 1 3 62 3 3 2 0 32 6 3 4 9 4 2 0 ：l 0 4 b p p d 9 72 9 0 3 5 12 4 4 1 0 22 1 7 0 6 81 9 6 7 2 9 s y m 3 2 8 5 7 8 22 4 2 7 7 3 2 1 7 0 2 0 1 9 7 5 4 7 h a a r2 7 0 6 5 l2 4 0 6 1 42 0 8 6 6 02 0 3 3 1 6 4 0 ：l0 2b p pd 9 72 4 6 3 4 22 2 6 4 9 71 9 3 6 1 91 5 7 6 5 6 s y m 3 2 4 4 8 4 92 2 4 9 3 7 1 9 1 1 9 9 1 5 4 0 2 7 h a a r 2 3 6 9 0 32 2 5 3 0 1 1 8 9 1 0 01 5 7 7 0 5 注：b p p 表示b i t sp e rp i x e l ，即每个像素值用几个比特位表示。标准灰度图的 每个像素采用8 比特表示。因此本文涉及到压缩倍数的实验通过比特率来控制压 缩倍数。效果对比是比较相同压缩倍数下压缩图像的恢复质量。 2 3m a l l a t 算法和多分辨率分析法 2 3 1m a l l a t 算法 1 9 8 7 年，m a l l a t 将多分辨分析的思想引入小波变换，统一了之前所有的正交 基的构造方法，并给出了小波变换的快速算法m a l l a t 算法【3 2 , 3 3 】。m a l l a t 算法在 小波变换中的作用和地位相当于傅旱叶分析中的快速傅里叶变换，m a l l a t 算法的提 出宣告小波从理论研究转入实际应用。 这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带 编码，其概念如图2 2 所示： s 表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生a 和d 两个信号 a 表示信号的近似值( a p p r o x i m a t i o n s ) 1 4 第二章小波分析理论 d 表示信号的细节值( d e t a i l ) 一sh 低通滤波 高通滤波 il ,it l a l 。 l 图2 - 2 一维m a l l a t 分解不意图 在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂 的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能 够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。在 小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节 值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。 如果要对图像采用小波变换的快速算法，必须将m a l l a t 算法扩展n - - 维空问。 图2 3 所示为二维m a l l a t 算法分解示意过程。在图2 3 中，分解滤波器先对图 像的“行 进行分解，让后对“列”进行分解。每次分解产生三厶，三以，地，h 吃四 个子带，各子带保持的频率特征和保持的图像特征见表2 3 ，图2 3 中的”山2 ”代 表2 取1 的“抽取运算”。 图2 - 3 二维m a l l a t 算法的分解过程 l l l h h l h h 电f 科技人学硕l 学位论文 表2 - 2 小波分解后备r * 幽像 t 性 j 子剀像行滤波 列滤波保持频社婿扯 反映h 像特 l _ 低避低通保留水平、币直低频平稳成分 低近高通保留难亢高舸成分水平边缘 高通 低通保留水平高频成分 脏直地缘 高通高通 保留对角线高频成分 景物拐角 232 多分辨率分析 如果在一级分解之后继续进行分析，这种分解过程叫做多分辨率分析吲，实 际上就是多级小波分解的概念。使用多级小波分解叫以得到更多的分辨率不同的 罔像，这些图像叫做多分辨牢罔像( m u l t i r e s o l u t i o ni m a g e s ) 。图2 - 4 表示l e n a 的多 分辨率罔像。其中，丰h 糙图像l 的分辨牢是原始图像的l 4 ，桐糙图像2 的分辨牢 是孝h 糙图像1 的1 4 。 f f r 麟+ 凰 异 刚像z ，、 麟+ 曩i + 弱? 第三章小波阈值压缩算法的改进 第三章小波阈值压缩算法的改进 图像经过小波变换和量化后，由于正交变换的作用，能量分布主要集中在某 些小波系数上，使得这些小波系数的幅值比较大，具有较大的能量，称为“显著 系数。具体来说，显著系数是指经过量化后，系数幅度超过某一给定阈值丁的小 波系数。系数的显著性测试函数定义为： s ，( r ) = ：) l 凳：川r ，。7 m 。， t k 一 r 软阈值的估计系数： 巳，t = s i g ( c j ：；l q 一一丁：三； 式中q ，。表示给定的小波系数，t 为给定的阈值。 2 7 ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 电子科技大学硕十学位论文 ，七7 、 罗 ( a ) 原始信号 3 3 改进的软阈值算法 - - j 4 c t y 乒7 t 飞 ( b ) 硬阂值法处理系数( c ) 软阂值法处理系数 图3 5 阈值信号处理示意图 硬阈值函数的系数处理方案是将绝对值小于阈值的小波系数置零，而将绝对 值大于给定阈值的系数原封不动的保留。但是，由图3 - 5 ( b ) n f f j 失l l 硬阈值函数是不连 续的，所以重构所得图像会有振荡。软阈值函数的系数处理策略是对绝对值大于 阈值的小波系数时作收缩处理，即减小这些系数。由图3 - 5 ( c ) 可知软阈值函数是连 续的，所以能克服硬阈值函数不连续导致的缺点。但是软闽值函数也有其自身的 缺点，即绝对值较大系数的处理总是存在恒定的偏差，直接影响着重构图像与原 图像的逼近程度，其结果就是恢复图像的边缘模糊不清。在实际应用中，利用软 阈值压缩时重构图像比较光滑，但是存在较大的失真，图像轮廓不清楚。而利用 硬阈值压缩效果也并不理想。 本文综合了软、硬阈值函数的不同特点，提出了一种改进的软阈值函数，用 于小波系数的估计。实现如下： 巳，。：= i s i g n ( c j ，t ) i q 。tl - t 吼l - l 0 9 2 ( 1 7 j q ，tl + 1 ) ! q ，t ! r ( 3 - 4 ) 1 0 i c ，t l t 其中厶a 为调节因子，0 旯1 ，为正整数。l o g ：( 1 吖c i + 1 ) 用于动态的调整 阈值的大小。当k 。f t 时0 f r c , ，。i 1 ，则0 l o g ：( f 吖c 肼l 声+ 1 ) 1 。随着c m 的增大， i r c , 。i 不断减小，从而使l o g ：( i 吖c 触i p + 1 ) 不断减小。这对避免软阈值方法中对大系 数总存在恒定衰减的问题作用显著。用l o g ：( 1 吖