（机械电子工程专业论文）三自由度齿轮传动系统的非线性振动及混沌控制.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 摘要 本文针对三自由 度间隙非线性齿轮传动系统发生的混沌现象， 采用增量 谐波 平衡法深入研究了齿轮传动系统的非线性振动特性， 采用混沌控制方法中的连续 变量反馈方法，对齿轮传动系统中的混沌运动有效的加以抑制。 在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上， 利用增量谐波平衡法 获得了受到参数激励和外部谐波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应， 包括稳定 和不稳定的周 期轨道，并利 用 f l o q u e t 理论研究其稳定性、分岔类型， 对系统的参数变化进行分析， 研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分 岔道路，绘制了系统周期解分岔图。 对现有的混 沌控制方法的 优缺点进行了比较， 利用混沌控制理论中的 连续变 量反 馈控制方法， 实现了 系统混沌吸引 子内 部的 不稳定周期轨道的稳定化. 对齿 轮传动系统进行了 有效的混沌控制， 并对连续变量反 馈方法的结果进行了 分析， 包括噪声的影响和方法的改进。 关键词: 齿 轮 转 子 一 轴 承 传 动 系 统间 隙 非 线 性增 量 谐 波平 衡 法混 沌控 制连 续变量反馈控制 西北工业大学硕士学位论文ab s t r a c t ab s t r a c t t h i s d i s s e r ta t i o n m a i n l y s t u d i e s t h e n o n - l i n e a r d y n a m i c s a n d c h a o t i c mo t i o n s o f 3 - d . o . f g e a r e d r o t o r - b e a r i n g s y s t e m w i t h p i e c e w i s e l i n e a r c l e a r a n c e . t h e p e r i o d i c mo t i o n s o f s u c h m o d e l a r e i n v e s t i g a t e d b y t h e i n c r e me n t a l h a r m o n i c b a l a n c e ( i h b ) me t h o d . o n t h i s b a s i s , u s i n g c o n t i n u o u s f e e d b a c k c h a o s c o n t r o l me t h o d , t h e c h a o t i c mo t i o n s a r e e ff e c t i v e l y s u p p r e s s e d i n t h i s s y s t e m. t h e i h b me t h o d i s u s e d t o o b t a i n p e r i o d i c m o t i o n s o f a 3 - d . o . f n o n - l i n e a r m o d e l o f a g e a r e d r o t o r s y s t e m s u b j e c t e d t o p a r a m e t r i c a n d e x t e rna l h a r mo n i c e x c i t a t i o n s . t h e s t a b i l i t y o f t h e p e r i o d i c mo t i o n s i s i n v e s t i g a t e d b y t h e f l o q u e t t h e o ry , t h e b i f u r c a t i o n b e h a v i o r i s t r a c e d . p a r a m e t r i c s t u d i e s a r e p e r f o r me d t o u n d e r s t a n d t h e e ff e c t o f s y s t e m p a r a m e t e r s s u c h a s e x c i t a t i o n f r e q u e n c y a n d b e a r i n g d a m p in g r a t i o o n t h e n o n l i n e a r d y n a mi c b e h a v i o r s . i n a d d i t i o n t o t h e f a mi l i a r p e r i o d d o u b l i n g b i f u r c a t i o n s c e n a r io l e a d i n g t o c h a o s , a q u a s i p e r i o d i c r o u t e t o c h a o s i s a l s o o b s e r v e d w h i c h o c c u r s t h r o u g h a n i n i t i a l h o p f b i f u r c a t i o n . t h e c u r r e n t c h a o s c o n t r o l me t h o d s a r e c o m p a r e d , t h e s t a b i l i z a t i o n o f u n s t a b l e p e r i o d i c o r b i t s o f t h i s c h a o t i c s y s t e m i s a c h i e v e d b y c o n t i n u o u s f e e d b a c k c o n t r o l me t h o d , t h e s p e c i a l l y d e s i g n e d e x t e rna l o s c i l l a t o r w h i c h u s e d a s t a r g e t m o t i o n o r b i t i n c o n t i n u o u s f e e d b a c k c o n t r o l m e t h o d i s o b t a i n e d d i r e c t l y fr o m i h b me t h o d . a l s o , t h e e ff e c t o f n o i s e a n d i mp r o v e m e n t s o n t h e c o n t r o l me t h o d a re s t u d i e d . k e y w o r d s : n o n lin e a r d y n a m ic s g e a r e d r o to r- b e a r in g s y s te m i n c r e me n t a l h a r mo n i c b a l a n c e me t h o d c h a o s c o n t r o lc o n t i n u o u s f e e d b a c k f l o q u e t t h e o ry c o n t r o l 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪 论 本文的研究意义 齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。为了满足航空、航天及机器 人等技术发展的需要， 对于齿轮传动的精度、 振动和噪声等特性提出了更为苛刻 的要求， 采用传统的线性分析和控制理论已难以满足这一要求。由于零部件间的 间隙、运动副中的 摩擦及时变刚度等因素， 实际的齿轮传动系统都是非线性系 统， 传统的线性分析和控制是对其进行的一种近似处理， 只有对齿轮传动系统实 施非线性分析和非线性控制才 一 能获得精度高， 振动小和噪声低等性能的齿轮传动 系统。 在齿轮传动系统中，由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素的存在，导 致系统产生强非线性振动， 这种振动会对机械传动系统的工作性能和可靠性产生 很大影响。典型的如航空发动机中的齿轮一 转子一 轴承系统因齿侧间隙、轴承间隙 以及时变刚度等非线性因素所引起的碰撞振动， 会导致系统产生高频噪音和混沌 现象;汽车变速齿轮传动系统中的齿轮齿侧间隙及离合器齿槽间隙等非线性因 素， 会导 致系统 产生拍击振动( r a tt l i n g v i b r a t i o n ) 问 题; 机器人传动系统中 零部 件 之间或零部件与环境间的混沌振动，会降低其工作精度，甚至会造成工作失灵; 航天器伸展系统中齿轮传动的非线性振动， 导致传动误差增大，因而给其位姿控 制系统带来较大困难。因此，非线性系统的混沌振动及其控制研究引起广泛的关 注2 8 -3 2 1 从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说， 大部分的研究都是借助数值方 法探讨系统分叉、 混沌等现象的存在2 - 8 1 。由于混 沌对初值存在极端的敏感性， 因此由数值方法得到的结果来分析系统的非线性动力学行为不一定能够反映系 统混沌存在的真实情况， 增量谐波平衡法作为求解非线性微分方程周期解的解析 方法，具有精度高， 适用于求解周期激励问题的特点，最重要的是能够求解出不 稳定周期轨道， 这也恰恰是混沌控制的目 标稳定轨道。 本文综合利用增量谐波平 衡法和数值方法研究三自 由 度齿轮传动系统的 动态特性， 考察系统各个参数对动 态性能的影响，探讨了通向混沌的倍周期和拟周期分叉道路。 迄今，从已经公开发表的论文来看，还未见到控制间隙非线性导致的齿轮传 动系统混沌运动的报道， 本文利用前述的增量谐波平衡法求出的在混沌吸引子内 部的不稳定周期轨道作为 控制目 标， 应用连续 变量反 馈方法成功的 对系统出 现的 混沌现象加以 控制， 相信对后续齿轮传动系统混 沌控制的近一步研究 具有理论和 实际意义。 此外， 本论文的研究工作是汕头大学教育部重点实验室开放基余 “ 名级街较 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 传动系统的混沌振动及其智能控制”课题的部分内容。 2齿轮动力学研究概况 二十世纪 5 0年代以前，在分析理论方面，齿轮动力学以冲击理论为基础， 以啮合冲击描述， 解释齿轮动态激励和动态响应， 并用冲击作用下的单自由度系 统的动态响应来模拟系统的动力学行为。后来，随着振动理论的发展，人们开始 把齿轮系统当 作一 种弹性的机 械振动系统来分析其 动力学 特性。1 9 5 0 年， t u p l in 提出了第一个齿轮动力学模型。此后，人们逐渐建立了若干模型， 并开始考虑齿 形误差， 时变啮合刚度等参数。 在振动理论的框架内， 齿轮系统的动力学模型经历了由线性振动理论到非线 性振动理论，由 定常系统到时 变系统的发 展。 其模型有以 下四 种 1 1 : 1 ) 线性时不变模型( l t i : l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t ) 。 这是在线性理论基础上建 立的一种模型，以平均刚度代替时变的啮合刚度，并由此计算齿轮副的固有 频率和振型。这一过程不考虑由时变啮合刚度引起的参数激励问题，忽略多 对齿轮副的相互关系及齿轮副与时变刚度的相互作用对系统动态特性的 影 响。 2 ) 线性时变模型 ( l t v : l i n e a r t i m e - v a r i a n t ) 。在齿轮传动的过程中，由 于同 时参与啮合的轮齿数目和啮合位置的变化，轮齿的啮合刚度是随着时间周期 变化的。同时，由于齿形误差带来了 静态传递误差。 这种模型在第一种模型 的基础上，引入了时变啮合刚度等的 影响建立起来，由 于出现了 参数激励， 因此，得到的微分方程比较复杂。这种模型没有考虑齿侧间隙的影响。 3 ) 非线性时不变模型( n t i : n o n l i n e a r t i m e - i n v a r ia n t ) 。 如前所述， 齿轮运动 中， 轮齿侧隙 是必然存在的， 当轮齿间隙较大，转速较高时，间隙的影响 就 比较突出。这样，需要考虑齿侧间隙导致的间隙非线性动力学行为。大部分 的非线性模型忽略了啮合刚度的变化，采用了定刚度模型。 4 ) 非线性时变模型( n t v : n o n l i n e a r t i m e - v a r i a n t ) 。 这种模型在第三种模型 的基础上引入了时变的啮合刚度，把齿轮系统作为一种非线性的参数振动系 统来加以研究。 目前， 对齿轮系统的研究模型主要集中在线性时变模型和非线性时不变模型 上面， 然而，随着计算机技术的发展，多种求解方法的涌现，研究的重心逐步转 移到非线性时 变模型上面。 从国内 外的 研究来看， 研究的 模型主要是直齿圆 柱齿 轮 传 动 ，对 多自 由 度 齿 轮 系 统的 研究 可 以 追 溯 到k a r h r a m a n 和s in g h 的 研 究 4 1， 他 们研究了由 轴承间 隙和齿 侧间隙引 起的间隙非 线性三自由 度齿轮系统， 在他们的 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 论文中， 几个关键的问题， 包括模型各零部件之间的相互影响及内部静态传动误 差 激励和外部扭矩激励的作用差 别都做了一一阐述。 后续的 研究中 6 1 ， 他们又进 一步建 立了具有时变刚 度的三自 由 度间隙非线性齿轮模型， 采用数 值方法研究了 系统的频响特性和系统时变刚度与齿轮间隙的强相互作用。 印度学者r a g h o t h a m a 则利用增量 谐波平衡法( i h b ) 分析了不具有时变啮合刚 度的三自由度齿轮系统，利用 i h b方法得到的系统周期解，次谐波解和倍周期 分叉结果与数值方法得到的结果完全吻合。b l a n k e n和 k a h r a m a n则采用谐波平 衡法和实验的方法研究了具有周期激励和间隙非线性这样有典型意义的一类机 械系统 6 1 。 此外， 他们采用多 阶的 谐波平衡法研究了 具有间 隙和参数激励的 振子 在外部激励下的稳态响应， 探讨了系 统参数对次谐波响应的影响 闭 。 他们对间隙 非线性系统进行的实验研究中， 观察到次谐波响应， 幅值跃变 ( j u m p ) ， 直到 周期 9的长周期轨道运动和混沌现象。 c . w . w o n g 4 6 1等 人 在 1 9 9 1 年 利 用 改 进 的i h b 法 研究 了 受 到 谐 波 激 励的 不 对 称分段线性刚度的非线性系统，观察到次谐波，谐波和超谐波响应及分叉现象。 而l a u 和z h a n g 4 7 则 进一 步 拓 展了ih b 方法 ， 以 分 析 具 有 分 段 线 性刚 度特 性 系 统的周期响应。 1 . 3混沌控制研究概况 混沌控制是对混沌系统加入微小扰动的过程， 以实 现理 想的 行为状态， 包括 混沌振动、 周期振动和静止状态。 很长一段时间内， 人们认为混沌是不可控制的。 1 9 9 0 年， 美国马里兰州大学的 三位学者 o tt , g r e b o g i ,y o r k e 提出了 划时代的 混沌 控制的概念和思路， 称为o g y方法2 8 1 。 其主要的思 想是等待混沌轨道自 然的 演 进到目标周期轨道的附近， 然后施加计算好的小扰动. 随后的十年中， 混沌控制 和混沌同步的研究得到了蓬勃的发展， 这一方向迅速成为混沌研究领域的热点问 题。在此期间，人们提出了许多其它混沌控制的方法，并在光学，等离子体，化 学反应，流体，电子回路， 人工神经网络，生物系统等大量实验和应用中得到验 证 。 在实现抑制混沌中， 利用混沌运动本身的特性和优点， 对于确定控制目标和 选取控制方法具有重要意义。 首先， 在混沌运动中系统在混沌吸引子上各态历经， 这样， 人们就可以在整个混沌吸引子的广大范围内来实行控制操作和选择控制目 标态，这使得混沌控制具有很大的灵活性;另外，混沌运动具有初值的敏感性， 任何近邻轨道之间的距离随着时间的演化会以 指数形式迅速发散， 这一方面导 致 了混沌运动长趋势行为的不可预见性， 另一方面又构成了实现混沌控制的有利基 础，即对系统施加极小的影响就可以使系统运动产生重大变化; 再者， 在任何稳 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 定的混 沌态中镶嵌着无穷多 个周期轨道， 这些周期 轨道为 混沌控制目 标状态的选 择提供了极为丰富的内容。 总的来说，混沌控制策略可以分为两个主要的 类别: 闭环或反馈控制， 开环 或非反馈控制1 4 0 1 第一类方法在考察系统 状态的 基础上选择 扰动控 制特定的 动力学行为。 这中 间， 除了o g y方法，还有偶然比 例反馈( o p f ) 方法， h u e b l e r 提出的方法，以 及 由p y r a g a s 提出的连续变量反馈控制方法。 这些方法都是与模型无关的， 也就是 说， 选择扰动所需的系统状态知识可以通过在一段合适的学习时间内观察系统获 得。 第二类方法指在系统演化过程中选择合适的外部扰动， 扰动选择无需对实际 系统状态的了解。 周期和随机扰动使系统的动力学行为产生了巨大的变化， 最终 导致某些周期行为的稳定， 然而， 这些方法的局限性在于他们都不是目标导向的， 也就是说，最终的周期状态不由控制者所决定. 1 9 9 3 年，p y r a g as首先提出了以 混沌吸引 子内 部丰富的不稳定周期轨道 作为 控制目 标， 利用简单的负反馈实现混沌控制的 方法 3 d 。 在他的 论文中， 实际 提出 了 两种方法，利用特殊设计的 外部振子产生目 标 信号和外力延迟反馈的反 馈方 法。 这两种方法与 o g y方法最大的不同在于它们都是一种时间连续的小扰动方 法。 2 0 0 2 年， 日 本的 学 者k .y a g as a k i 和m .k u m a g a i 4 11 利 用 连 续 变量 反 馈 方 法 在 实际物理系统中成功的实现了混沌控制。 他们采用延迟坐标技术从混沌时间序列 中提取出目标不稳定周期轨道. 1 .4本文的研究内 容 本文研究的对象是受到参数激励和外部谐波激励的具有轴承间隙和齿侧间 隙非线性的三自由度齿轮传动系统， 对其动力学行为进行了研究。 具体的研究内 容包括: 在第二章中用集中质量法建立系统的间隙非线性动力学模型， 对方程进行了 无量纲化处理，得到系统运动的微分方程，为以后的计算奠定基础。 第三章介绍了增量谐波平衡法的原理，以及应用增量谐波平衡法于本系统所 需要注意的问 题，同时介绍了 判断周期解稳定性的f l o q u e t 理论，为我们以 后判 断周期解分叉类型做好准备。 第四 章介绍了 混沌控制理论， 重点 介绍了o g y方法和本文所采用的 连续变 量反馈方法。 第五章 对三自由 度齿轮传动系统动力学 进行了 分析和计算， 首先我们对比 数 值方法， 对增量谐波法的优点做了介绍， 其次我们通过增量谐波平衡法绘制了系 西北工业大学硕士学位论文第一章 绪论 统在激励频率变化下发生倍周期分叉和拟周期分叉的频响曲线， 同时探讨了在轴 承阻尼比变化的情况下， 系统动力学相应的 变化。 第六章采用前述的连续变量反馈控制方法，应用于三自由度齿轮传动系统， 成功的实现了系统的混沌控制。 西北工业大学硕士学位论文第二章 三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程 第二章 三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程 一个典型的单级齿轮转子一 轴承传动系统包括箱体、滚子轴承、支撑轴、齿 轮副等零部件，如图2 . 1 所示。在进行传动分析时，为了使问题简化，箱体被看 作是固定的; 忽略原动部件惯性载荷的影响， 即假设这样的惯性元件是通过柔性 的联轴器与齿轮箱联接。同时假设系统关于齿轮平面对称， 故系统的轴向运动可 以忽略不计。 齿轮箱 r ma -m 主动轮一。 动 。羹 主动轮 百示浅交寸 吃 九 翻 峨， 究 吮 滋呢 ， 卜 袅瑞司孕 封 l一取 翻 阵 州眼 盆 om 赶 澡 姗 艺 又 昌 容 阵 带翻 自留瑙毯 目幽创接 . 呈 呈呈呈 鱼 口.圈圈.叫 从 动 轮 、 、 滚子轴承 j / 图2 . 1 典型的 齿轮转子一 轴承系统 该系统的运动微分方程可写成如一般的形式为 m q c l + q ) + k ( = s ( 9 c ) 卜 f(7- ) ) ( 2 . 1 ) 式 中 m 表 示 时 不 变 的 质 量 矩 阵 ， q (f ) 表 示 位 移 向 量 。 。 为 时 不 变 的 阻 尼 矩 阵 ， 即 不 考 虑 轮 齿 分 离 及 时 变 的 啮 合 特 性 对 啮 合 阻 尼 的 影 响 刚 度 矩 阵 k ( t ) 为 周 期 时 变 矩 阵 : k ( 司一 k (t + 2 yr 1 5 ) , s2 * 为 齿 轮 啮 合 的 基 频 。 i f ( q ( r ) ) 为 间 隙 非 线 性 函 数 ， 图2 .2 描 述 非 线 性 位 移 向 量 r c g c ) ( 包 括 轴承 的 径向 间 隙 和 齿 侧 间 隙 ) 的 力 一 位 移 关 系 。 f ( 动为 系 统 的 激 励 力 向 量 。 西北工业大学硕士学位论文第二章 三 自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程 图2 . 2齿轮副和轴承中的间隙非线性函数 2 . 1数学模型的建立 使用集中质量法建立如图2 . 1 所示的单级齿轮传动的动力学模型， 认为系统 由只有 弹性而 无质量的弹簧和只有质量而无弹性的质量块组成， 则式( 2 . 1 ) 表示的 多自由度系统的可简化形式为三 自由度非线性齿轮传动系统模型， 包括齿轮惯量 人 : 和几 2 ， 齿 轮 质量凡 ， 和气2 ， 基 圆 直 径心 1 和 九 2 ， 如 图2 .3 所 示 。 齿 轮 啮 合由 非 线 性 位 移函 数 .f n 和 时 变刚 度k b 习， 线 性 粘 性阻 尼c h 描述 。 轴承 和 支 撑 轴的 模 型 则由等效的阻尼元件和非线性刚度元件表述。阻尼元件具有线性粘性阻尼系数 c b l i c b 2 ， 非 线 性 刚 度 元 件由 近 似 分 段 线 性的 间 隙 型 非 线 性 力 一位 移函 数.f b , +f b 2 ， 以 及 相 应 的 刚 度 参数k b , i k b 2 确 定。 同 时 考 虑 因 输 入 扭 矩 波 动引 起的 低 频 外 激 励和 静 态传动 误差e ( t ) 导致的高频内 部 激励， 忽略输出 扭矩的波动，即认为: 兀 , (t ) = 元 ，。 + 元 ,a (t ) 兀 2 ( t ) = 兀 2m ， 式中: t s , u ) 为 输 入 扭 矩; t k i. 为 输 入 扭 矩 均值 ; t x lo ( t ) 为 输 入 扭 矩 变化 部 分; t g 2 。 为 输出 扭 矩 均 值; 并 假 设 在两 边 的 滚 子 轴 承 均 作 用 有 外 径向 预 载 力f hf h 2 0 在建立齿轮传动系统的动力学模型时，做以下假设: 1 .齿轮为渐开线直齿圆柱齿轮， 齿 轮间的啮合力始终作用在啮合线方向 上. 两齿 西北工业大学硕士学位论文第二章 三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程 轮简化为由阻尼和弹簧相连接的圆柱体，阻尼系数为两齿轮啮合时的啮合阻 尼，弹簧的刚度系数为啮合齿轮的啮合刚度。 2 . 啮合点处的摩擦力忽略不计。 3 .整个系统关于齿轮宽度中分平面对称，系统的轴向运动可以忽略不计。 b g , m8 1 l 滚子轴承及轴 的模 型 y g 2 从动轮 魄2 1 几 2 + 凡2 图2 .3 齿轮传动系统的非 线性模型 并对外部激励及内部激励作如下说明: 通常的外部激励由旋转 质量的 不平衡， 几何偏心、 原动机( 电 动机、 发动机) 负载扭矩波动引起。 前两者可以通过提高设计及制造的质量来弥补， 但是扭矩波 动 一 般 不 容易 消 除。 扭 矩 波 动引 起 的 激 励 通常 具 有 较 低 的 频 率 ( f l ) , 一 般 与 输 入 轴 转 速 频率 s 2 : 成 小 倍 数 关 系。 内 部 激 励由 制造 相 关 的 齿 型 和 齿 距 误差， 以 及 轴 承、 轴和轮齿的弹性变形等因素引起。 上述原因可组合产生一个总体的运动误差 函 数， 称为静态传动误差( t h e s t a t i c t r a n s m i s s i o n e r r o r ) ed。静态传动误差是指在 轮齿啮合过程中， 从动齿轮的理论位置与实际位置之间的偏差值， 该误差通常表 示 为 齿 轮 啮 合 线上 的 直 线 位 移 ， 其 频 率由 啮 合的 基 频决 定 : s2 h = n o , n 为主 动 轮 的齿数。 2 .2系统的运动微分方程 根据牛顿力学定律， 图2 .3 所示的齿轮传动系统的 横向 一 扭转运动微分方 程表 示如下: 西北工业大学硕士学位论文第二章 三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程 m g 1y g , + c b ,又 ， + c , ( y + y 8 , 一 元 2 一 e ) + k b ,f , ( y g ,) + k b ( 1 ) a ( x + y 8 , + y 8 2 一 f ) = - f b , ( 2 .2 ) 气 2 元 2 十 c b 2元 2 一 c h ( s + 元 ， 一 又 2 一 的+ 气儿 2 (几 2 ) 一 气 ( d 人 ( 万 + 几 : 一 又 ， 一 司= 凡 2 ( 2 . 3 ) m , ,5 + c h ( s + 元 、 一 元 2 一 e ) 十 k b (r ).f n (x + 几 ， 十 又 2 一 f ) = f十 f t (t ) ( 2 .4 ) = dg, b, (t)-2粤bg2(1 ) ( 2 . 5 ) 1， d 2 + 2g. + 2 - 又 4 1 , , 4 1 g 2 ) ” 2 t 9 1 . d , 2 t , , m d 8 2 凡) 二 m c,几 ，。 住 ) 2 1 8 , ( 2 .6 ) 中刀.厂 式习叭 k b ( t ) = k , ( t + 2 7r / n b ) = k n m + 艺k m r c o s ( r c h t + b, ) (2 .7 ) 护 . 1 其中 : ()表 示 对时 间了 的 导 数， y g l, 0 9 , 分 别 是 第i 个齿 轮 的 横 向 位移 和扭 转 位 移， m c, 是 齿 轮 副 等 效 质量 ， 元为 轮 齿 啮 合 时 传递 的 平 均 作 用 力 ， f t ( t ) 是 外 部 输 入 扭矩激励相关的波动力。k b ( t ) 为齿轮啮合刚度， 随时间 周期变 化，表示为谐波 级数的 形式。 引 入新的变量p ( t ) ， 定 义其为 动态传动误差与 静态传动误差e ( d的 差值: p ( ) _ ( d 8 , / 2 ) 0 , ( t ) 一 ( d 8 2 / 2 )b , , (r ) + v 8 ,( r ) - y 8 , ( r ) 一 t ( t ) ( 2 .8 ) 将等式 ( 2 . 2 ) 一 ( 2 . 4 ) 可以 写为 矩阵 形式: 设 位 移 向 量 9 (f ) 一 y g , (to y g z (to p 回 夕!tz!.!、 ，leseseslleej k h ( t ) - k h ( 乃 k h ( d a ll 0 71 1 ( t ) 几 2 (元 2 ( 了 ) : 人( 万 ( 了 ) ) - f 6, = _f e e_ l f一 m d e ( t ) + f a r ( t ) ) ( 2 . 9 ) 加枷彻 十咬.1.1 几-cch ocbzo chloo 十 、11护esj 。(7)闰 元玲尸 千!走1.1、 oomc 0气mco气。 利|tll协nn 2吕n明，尤11 尸llesesesesesesl+ 西北工业大学硕士学位论文第二章 三自 由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及 方程 f . ( 又) 二 其中: y; 一 b b ; 0 ，- b b 几 + b b ; : ， y g ; b b ; y , b b ; y s, b h 0 ， - b h 万 b h ( p 十 b h ) ,万 p ( 2 . 1 1 ) 稣尹鱼bc ( p一 b _ l p+二 ) ， b , p y , b , yp j +下 井 ， 0 1 y 8 , 1 ( 2 . 1 4 ) i h ( p ) = 0一 1 p1 ， ( p+ 1 ) p 1 0 - 1 p 1 一 1 p o 1， 1 , p o 1 , - 1 p ( 0 ) 1 , p ( 0 ) - 0 人 (p o ， 一 飞 。 ， ; 、 。 ， 一 ， “ ， ， 二 淤 十 ( 3 .2 1 ) 则k n， 在2 ， 上的 积 分 成 为 在 区间 ! 0 0 ,0 1 , 00 2 , . ., m m ,0 m + 1 上 对.f i, ( p o ) 的 分 段 积 分 。 这 样 ， 式 (3 .1 9 ),( 3 .2 0 ) 就 变 为 在【0 , 2 司区 间 内 矩 阵 积 分 的 累 加， 借 助数 学 软 件 我们可以很方便的进行求解。 式( 3 . 1 5 ) 是应用 i h b导出的以增量 a , a m 为未知量的齿轮传动系统稳态 周期响应的迭代计算公式， 如果取谐波阶数为n， 则它是由3 * ( 2 * n + 1 ) 个方 程组 成的线性方程组。 3 . 2 . 3迭代计算过程 需要指出的是式( 3 . 1 5 ) 未知的增量变量要多于方程数， 可以 采用以 下的两种 方 法进行迭代求解. 求解过 程从一个合适的 初值解开始( 通常指系统相应的已 知 线性解) ， 非线性的幅 值一 频率曲 线通过逐点的增 加频率口 或者 增加幅值a的 某个 分量来获得。通常的步骤分为两步: 西北工业大学硕士学位论文第三章求解齿轮传动非线性系统的增量谐波平衡法 一 迭代步骤 在一个 增量过 程中， 使用n e w t o n - r a p h s o n迭代， 定义某个增量为 控制增量 或者主动增量 ( a c t i v e i n c r e m e n t ) 。 如果 指定 w 为 控制增量， 则在迭代过 程中， w 保持为常量，即 口= 0 ，其他的增量则通过以下的方程求取 k m , 0 a = r ( 3 . 2 2 ) 进行上述的迭代直到修正向量r的幅值达到足够小为止， 这时， 我们便获得了一 个稳态解。 这一过 程称为一个迭代步骤( it e r a t i o n ) . 二 增量步骤 步骤一完成后，我们对。人工的增加一个 。，于是在新的。值下进行新的 迭代步骤， 直到获 得另一 个解。 这 个过程 称为一 个增量步骤( a u g m e n t a t i o n ) 。 总的 求解过程就是在增量步骤和迭代步骤交替下完成的。 上 述 的将 八 田 作 为 控 制 增 量 进 行 迭 代 的 过 程 称 为 山一 增 量 过程 ( co - i n c r e m e n t a t i o n ) 。 同 样的， 我们可以 有幅值增量过 程( a m p l it u d e i n c r e m e n t a t i o n ) a 后 者 是 将 a 的 某 个 分 量，比 如 说a a jk ， 指 定为 控 制 增量 ，a jk 在 迭 代 步 骤中 保 持 为 定 值， 即a a j k 二 0 . 求 解 式 ( 3 .1 5 ) 以 获 得 a 其 它 的 增 量 分量 和 。 。 当 r 的 幅 值 达 到 预 期的 精 度 后， 迭 代 步 骤结 束， 在a jk 加入 新 的 增 量开 始 增 量 步 骤 。 这 一 过 程 称 之 为a jk 一 增 量 过 程。 实 际 应 用中 ， 可 选 取 变 化 较 快的 变 量 作 为 控 制 增 量 ， 可以 在 求 解 响 应曲 线 的 过 程中 交替 使 用!0 一 增 量 过 程和a jk 一 增 量过 程。 总结以上，以口一 增量过程为例，迭代计算的具体步骤如下: ( 1 )控 制 w ， 即 对 每一 点， 令 co = o , 0 ) = m , ( 常 数 ); ( 2 ) 设置初始值a ( ) ; ( 3 )考 察ii川是 否 小于 规 定的 精度 (可以 指 定 任意 小 的 精 度 )，若 是 ， 则由 a () 求 出的q ( 1 ) 即是 解， 否则转到 ( 4 ) ; ( 4 )根 据k _ a a = r 求出 a () ; ( 5 ) 令a ( 2 ) = a ( ) + a a ( l ) ， 转到步骤( 3 ) ， 重复上 述的 计算步骤; (6 )在 迭 代 计 算 过 程 中， 如 果刚达 到 误 差 要 求 ， 可 得 到 响 应的a ， 并 由 此 求出 解q 。 ; ( 7 ) 逐步增加或者减小。的 值重新计算， 从而可以 求出 幅频曲 线。 实际编程时应该注意的问题: ( 1 )初 始 值a p ) 应 该 选 取 相应 线 性 系 统己 知 解， 不 合 适的 初值 会 导 致 收 敛 失 败 ; (2 ) 周 期 解 的 收 敛 性 可以 通 过以 下两 个 误 差 估 计 值 检 查 ， 即 上述 迭 代 计 算 步 骤 (3 ) : 西北工业大学硕士学位论文第三章求解齿轮传动非线性系统的增量谐波平衡法 : ， 一 1jr 11， e 2 ， 一 了 ( a a , + a b j ) ,、 一 ，, 2 , 上标。 , s 分 别表示。 o s 项和s i n 项的 系数， 迭代计算步 骤应该重复直到误差 达到足 够 小的 精 度， 在 本 论 文的 计 算 中， 收 敛 性 通 过 : 检 验， 精度 控 制 在e , 1 .0 e - 6 ; ( 3 ) 在幅频曲 线的 尖点或峰值处， 收敛可能会失败， 这时候应该 调节 口 变化的 幅度，用变步长的方法逐渐逼近不易收敛点; ( 4 ) 周期解对于精确解的近似性通过谐波阶数n来调节，与数值仿真的结果比 较， 一周期解选取 n = 4通常能够获得较高的精度，对于 2 倍周期解， 4倍周期解 等，必须选取更大的谐波阶数值。 3 .3稳态解的稳定性 稳 态 解q 。 经i h b 求得 后 ， 它 的 稳 定 性 通 常 通过 增 加 一 个 小 的 扰 动 q 来 考察 : q = q o + 0 q ( 3 .2 3 ) 将 式 ( 3 .2 3 ) 代 入 式 ( 3 . 1 ) ， 注 意 到q 。 满 足 方 程 (3 . 1 ) 同 时 对 q 的 项 进 行 线 性 化， 得到 : co t m , 0 4 + 2 m c , q + 区 ， + k . 4 q = 0 (3 .2 4 ) 式( 3 . 2 4 ) 称为 扰动方程，即 对已 知解q 。 进行 扰动得到。 令增量矩阵方程( 3 . 7 ) 中的 r , = 0 , e co = 0 可 以 得 到同 样的 结 果 。 得到 扰 动 方 程 后， 稳 态 解 的 稳 定 性 问 题 就 是 扰动方程的稳定性问题， 扰动方程是一非线性的常微分方程组， 并且具有周期系 数( k . 1 1 ) 。 其稳定性可以 用多变量的f l o q u e t 理论来考察。 式( 3 .2 4 ) 可以写为: x = q ( 8 ) x( 3 . 2 5 ) 式 中 :x = o q,4 4t, q 一 遗 : 一 (1/。 i1/rv)m ,ic i , q 21一 奋 m ,i(k ,+ k , ), 0为零矩阵，i 为单位矩阵。 由 于 q 。 的 每 一 个 分 量 都 是b 的 周 期 函 数 ， 周 期为 t = 2 ;r l co , q 2 ， 的 每 一 个 元 素 也 是具有相同周期 t的周期函数。 对于 式( 3 . 2 5 ) ， 存在基础解系 y * 一 【 夕 ，* ， 2* ， ， ， ， 7ry ik iy 2k , , y n k i ， 、 一 1 , 2 ,. .n , ( 3 . 2 6 ) n二 2 n ， 基础解系可以 表示为基 础解矩阵的 形式: ( 3 . 2 7 ) lesweeseseeeseseseseses，月j n万时 yy:卫 ylz为 yx 2 yllyzl翔 一一 y 西北工业大学硕士学位论文第三章求解齿轮传动非线性系统的增量谐波平衡法 y满足矩阵方程: y = q ( b ) y ( 3 . 2 8 ) 因为q ( 9 + t ) = q ( e ) , y ( 9 十 t ) 同样也是一个基础解矩阵;因 此它可以 表示为: y ( b + t ) = p y ( b ) , ( 3 . 2 9 ) 上式的p 是非奇异的常数矩阵， 称为转 换矩阵 ( t r a n s i t i o n m a t ri x ) . 根据 f l o q u e t 理论， 系统的稳定性与p 的特征值有关。 如果p 所 有的特征值 的模均小于1 ，则运动是 有界的， 因此解是稳定的， 否则运动是无界的， 解不稳 定 。 根据初始条件y ( 0 ) = i ， 可以 用数值方法解出式( 3 . 2 8 ) 的基本解系，根据式 ( 3 .2 9 ) ， 得到转换矩阵: p = y ( t ) ( 3 . 3 0 ) 从以上的讨论，我们可以清楚地了解到，如何高效的数值计算出p是稳定性 分析的 关键。 h s u提出了 一种效率较高的 在一个周期内 估算转换矩阵 ( 或称为基 础矩阵) 的数值方法. 这种方 法首先 将一个周期分为一定的区 域，然后在不同的 区间求取积分. f ri e d m a n总结了这种方法并给出了明确的计算公式。 这里我们给 出 最终的公式。设 每个周期t 分为从个区间，区间端点值为z k ， 第 k 个区间 长 度 表 示 为 * = 氏 一 氏 _ ， 。 在 第k 个 区 间 内 ， 周 期 系 数 矩阵 q (o ) 可以 表 示为 一 个常 数 矩阵q k : q 、 一 奇 r. q (b )d o, 0 e z, ( 3 . 3 1 ) 最终，转换矩阵p 可以表示为以下的形式: p 一 : 卜 n,1 1一 i (a, q , )j j;.1 j! ( 3 . 3 2 ) n , 为 常 数 矩 阵q * 指 数的 估 算 项 数。 在得到p 后，则周期解的稳定性可以由p 的 特征值模的大小 所确定。 后面一 小 节将详细介绍不同 特征值凡 代表的 稳定 性含义。 3 .4周期解的分岔类型 计 算p 的 所 有特 征 值， 如 果 所 有 特 征 值 的 模引 ( f = 1 ,2 ., 2 n ) 均小 于1 ， 则 周 期 解 稳 定 . 如图3 .1 所 示， 当 某些 凡 穿 过单 位圆 时 ， 周 期 解 的 稳 定 性 发 生了 变 化。 根据穿过单位圆的方向 和位置的不同，我们可以 将不稳定性划分为三个类别: ( i )倍周期分岔印 e ri o d d o u b l i n g ) ，有某一实特征值从一 1 方向穿过单位圆; 西北工业大学硕士学位论文 第三章求解齿轮传动非线性系统的增量谐波平衡法 鞍一 结分岔( s a d d l e - n o d e ) , 有某一实特征值从 + 1 方向 穿过单 位圆; h o p f 分岔， 有一对复共轨特征值穿过单 位圆; 、.少、廿 ，气 了.、了、 图3 . 1周期运动的分岔类型 . 21- 西北工业大学硕士学位论文第 四章混 沌 控 制 理 论 第四章混沌控制理论 混沌控制是对混沌系统加入微小扰动的过程，以实现理想的行为。这里，我 们介绍混沌控制的主要思想， 详细介绍 o g y方法( o tt , g r e b o g i , y o r k ) 以 及在其原 理上发展出来的连续变量反馈