（工程力学专业论文）均匀热流场中螺型位错、界面裂纹与夹杂的相互作用.pdf

摘要 由于压魂孝葶辩其有独特豹掇魄勰合犍，使其在现代工程中具有广溺麴应爆蘸 蓉。在实际工镤中，大部分离遂释与热毒关，黠楚予滏凄场孛含缺麓繇魄李于稀斡 研究具有重要的理论与工程应用价值。本文主要研究聪电材料在远端均匀热流场 作用下，螺型位错分别和圆形夹杂与界面裂纹、椭圆形夹杂与裂纹之间相互作用 的问题。建立了相关问题的力学模型，应用复变函数分区全纯理论、解析函数奇 性主部分析方法、艇车厅延拓原理、c a u c h y 型积分、r i e m a n n 边值阉题袋解方法以 及瀑惫交换嚣纛，获褥稳应颡题熬羧复势艇答。对于疑骚究闲逛懿黪豫祷瑷， 分鄹求出裙廒问题的应力、电位移和作用于位错上豫力的封闭解，薨露出裂纹尖 端应力强度因子的解析表达式。数值分析结果表明：温度梯度、热传导系数和热 电系数对像力都有一定的影响。 本文主鼹通过求解相应问题的螺型位错解和穗惑漏度场解来获得所研究问题 懿簿。本文静瓣答结暴惫谔估工纛中含缺臻压电材糍装受戆强度帮荀纛猿方瑟提 供了猿据。本文的特锈包含7 鼓缎文献的若于缝采。 全文共五章，第一章综述了本文的研究背景及桶关领域的研究现状，对压电 材料的特性及疑应用的广泛性做了说明。第二章基于压电材料的机电耦合关系求 解螺型位错、圆形界面裂纹与夹杂之间相互作用的问题。第三章考虑服电材料在 远端均匀热流场下爨形界面裂纹与夹杂之闽相互律耀躯阉题。第四章分圭 亍蓬电材 褥在远端臻匀热流殇下螺鍪位镪、瓣澎赛瑟袈绞与夹杂之蔑裾互佟焉懿麓殛。第 五章研究压电率孝料在远端均匀热流场下螺型位锩、椭豳界面裂纹与夹杂之间相互 作用的问题。 关键词：圆开蓦夹杂，椭圆夹杂，界面裂纹，均匀热流，螺型位错，像力，相互作 用，裂纹尖端应力强度因子 顿j j 学位论史= a b s t r a c t p i e z o e l e c t i cm a t e r i a lh a st h eu n i q u ee l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l i n gn a t u r ew h i c h m a k e si th a v ew i d ea p p l y i n gf o r e g r o u n d am a j o r i t yo fp r o b l e m sa r er e l a t e dw i t hh e a t i nt h ep r a c t i c a lp r o j e c t 。t h e r ea r ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n a l v a l u e st os t u d yp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a lw i t hd e f e c t s t h ei n t e r a c t i o na m o n gas c r e w d i s l o c a t i o n c i r c u l a ri n c l u s i o na n di n t e r f a c ec r a c ko re l l i p t i c a li n c l u s i o na n di n t e r f a c e c r a c ku n d e rr e m o t eu n i f o r mh e a t f l u xi s m a i n l yr e s e a r c h e d i nt h i s p a p e r t h e m e c h a n i c sm o d e l so fc o r r e l a t i v ep r o b l e m sa r ee s t a b l i s h e d t h eg e n e r a lc o m p l e x p o t e n t i a ls o l u t i o n so fc o r r e l a t i v ep r o b l e m sa r eo b t a i n e db ym e a n so ft h et h e o r yo f s e c t i o n a l l yh o l o m o r p h i cf u n c t i o n ，t h ea n a l y s i so ft h es i n g u l a r i t yo fc o m p l e xf u n c t i o n s ， t h ea n a l y t i c a le x t e n d i n gm e t h o d ，c a u c h ym o d e li n t e g r a l ，t h em e t h o do fs o l v i n g r i e m a n nb o u n d a r yp r o b l e ma n dc o n f o r m a lm a p p i n gm e t h o d a ss p e c i a le x a m p l e s ，t h e c l o s e ds o l u t i o n so fs t r e s s e s ，e l e c t r i cd i s p l a c e m e n t sa n di m a g ef o r c e so nt h e d i s l o c a t i o no fc o r r e l a t i v ep r o b l e m sa r ed e r i v e d ，a n dt h ea n a l y t i ce x p r e s s i o n so fs t r e s s n t e n s i t yf a c t o r sa tt h et i p o fc r a c ka r ee d u c e d n u m e r i c a la n a l y s i ss h o w st h a t t e m p a r a t u r eg r a d i e n t ，c o e f f i c i e n t o fh e a tc o n d u c t i o na n dc o e f f i c i e n to f t h e r m o e l e c t r i c i t yh a v es o m ei n f l u e n c eo nt h ei m a g ef o r c e t h es o l u t i o n so ft h er e s e a r c h e dp r o b l e m sa r eo b t a i n e d b ys o l v i n gs c r e w d i s l o c a t i o ns o l u t i o na n ds t e a d ys t a t et e m p e r a t u r ef i e l ds o l u t i o no fc o r r e l a t i v ep r o b l e m i nt h i sp a p e r t h er e s u l t so ft h i sp a p e rp r o v i d et h eg i s t so fe v a l u a t i n gt h ei n t e n s i t ya n d r e l i a b i l i t yo ft h ep i e z o e l e c t r i cm a t e r i a ls e t sw i t hd e f e c t si nt h ep r o j e c t f o rt h es p e c i a l e x a m p l e so ft h i sp a p e r , i tc o n t a i n ss e v e r a le x i s t i n gs o l u t i o n so fa n c i e n t l el i t e r a t u r e t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ei n v e s t i g a t i o n b a c k g r o u n da n dp r e s e n ts t a t u so ft h i sp a p e r i sd e p i c t e d ，a n dt h es p e c i a l i t ya n da p p l i e d u n i v e r s a l i t y o fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l si s e x p l a i n e d ，i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h e i n t e r a c t i o na m o n gas c r e wd i s l o c a t i o n ，c i r c u l a ri n t e r f a c i a lc r a c ka n di n c l u s i o ni s s o l v e db a s e do nt h ee l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l i n gr e l a t i o no fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l i n t h et h i r dc h a p t e r , t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nc i r c u l a ri n t e r f a c i a lc r a c ka n di n c l u s i o nu n d e r r e m o t eu n i f o r mh e a tf l u xi sc o n s i d e r e d i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，t h ei n t e r a c t i o na m o n ga s c r e wd i s l o c a t i o n ，c i r c u l a ri n t e r f a c i a lc r a c ka n di n c l u s i o nu n d e rr e m o t eu n i f o r mh e a t f l u xi sd e r i v e d + i nt h ef i f t h c h a p t e r , t h ei n t e r a c t i o na m o n gas c r e wd i s l o c a t i o n ， e l l i p t i c a lj n t e r f a c i a lc r a c ka n di n c l u s i o nu n d e rr e m o t eu n i f o r mh e a tf l u xi sr e s e a r c h e d k e yw o r d s ：c i r c u l a ri n c l u s i o n ，e l l i p t i c a li n c l u s i o n ，i n t e r f a c i a lc r a c k ，u n i f o r mh e a tf l u x s c r e wd i s l o c a t i o n ，i m a g ef o r c e ，i n t e r a c t i o n ，s t r e s si n t e n s i t yf a c t o ra tt h et i po fc r a c k 湖南大学 学位论文原剖性声明 本人郑羹声孵：所呈交静论文蹩本入在导筛鹣指导下独立邋行研究浙取 得豹研究成槊。除了文中特别加以标注引用的内容夕卜，本论文不包含侄何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人嚣集体，均已在文中羧甓确方式撅臻。本人完全意识到本声甓戆注德爱票 由本人承担。 作者签名：蚕戆稳! i 目期：2 0 0 6 年42 0 臼 学位论文版权使用授权书 本学位论文终卷完全了解学校有关保鬣、镬麓学位论文熬麓定，霹慧学 校保髓并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阕。本人授衩潮南大学可戬将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据痒进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属予 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不探密函。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：巍趔 导师签名：肖别中 翻期：2 0 0 6 年4 月2 0 | 阻期：2 0 0 6 年4 月2 0f - 1 硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 压电效应是1 8 8 0 年由p 居里和j 居里两兄弟发现的。他们在研究热电性与晶 体对称性的关系时，发现压力可产生电效应，即在某些晶体的特定方向加压力时，相 应的表面出现正或负的电荷，而且电荷密度与压力大小成正比。他们报道的这些晶体 中就有后来广为研究的铁电体酒石酸钾钠( 罗息盐) 。这一发现在科学界引起了很大 兴趣。1 8 8 1 年，l i p p m a n 应用热力学原理预言了逆压电效应，即电场可以引起与之 成正比的应变。很快这一预言被居里兄弟用实验所证实。接着h a n k e l 引入了 p i e z o e l e c t r i c i t y ( 压电性1 这个名词。v o i g t 应用对称性原理建立了压电性的唯象论。他 将弹性顺度张量和极化矢量的分量与晶体的对称操作联系起来，得知在3 2 个晶体点 群中，作为三阶张量的压电常量有哪些张量元不为零，并指出它们之间有什么关系。 在微观理论方面，玻恩和他的合作者在晶格动力学的框架内研究了压电效应，并计算 了一些晶体的压电常量。 压电材料的实用化是进一步研究压电效应的推动力。实用化方面早期有两个奠基 性的工作。第，1 9 1 6 年朗之万发明了用石英晶体制作的水声发射器和接收器，并 用于探测水下的物体。第二，1 9 1 8 年c a d y 通过对罗息盐晶体在机械谐振频率附近的 特异的电性能研究发明了谐振器。前者是最早的换能器，后者则为压电材料在通信技 术和频率控制等方面的应用奠定了基础。 压电效应的早期研究主要是针对罗息盐和石英晶体进行的。这些研究全面反映在 c a d y 的经典著作d e , 电性1 1 i 一书中。3 0 年代出现了铁电体k d p 及与之间型的一系 列晶体。4 0 年代出现了b a t i 0 3 。这些晶体的出现扩大了压电性的研究对象，丰富了 人们对压电性的认识。1 9 4 7 年发现b a t i 0 3 陶瓷经强直流电场作用后也具有压电性 2 1 。 这一阶段的成果在m a s o n 的经典著作压电晶体及其在超声中的应用1 3 1 _ _ 书中有全 面的论述。后来陆续出现了一些新型的压电晶体和以p z t 为主的性能优异的压电陶 瓷，并出版了关于压电陶瓷的专著【4 1 。同时，1 r e ( 及后来的i e e e ) 制订和发布了一 系列关于压电晶体的标准，推动了测量方法的规范化和现代化。 压电材料可以将压强、振动等迅速转变为电信号，或将电信号转变为振动信号， 也就是说压电材料在外电场的作用下可以产生微小变形，同时也可以将微小变形转变 为电信号。而且新一代的压电材料还具有了条件反射和指令分析的能力。其特征和 运转方式类似于人的神经系统，可执行类似于大脑的指令。压电材料的这种独特功能， 使其在智能材料系统中具有广阔的应用前景。 所有的这砦特性使压电材料在机电换能、传感汁测、频率选择和控制等方而实现 了“泛的应用。但是i l lf 爪l 。l l 材料常常含育孔洞、裂纹、位措、夹杂等f | 勺缺陷及爪r _ l 陶瓷自身的脆性，这对压电材料的使用带来了极大的不便。一些相应的研究对评估工 程中含缺陷压电材料装置的强度和可靠性方面提供了依据，并对研制新的压电复合材 料有很大帮助。 1 2 相关领域的研究现状 1 2 1 压电材料机电耦合问题的研究现状 在研究材料力学性能的过程中，认为影响力学量的因数有两类，一是材料的各个 参数，另一是材料的内部微结构特征，它包括夹杂的形状、几何尺寸、在基体中的分 布和夹杂之间的相互作用。对于夹杂模型的研究在过去几十年一直是固体力学和材料 科学所关注的热点问题。自从e s h e l b y l 5 】提出一个椭球形弹性兴杂问题后，s m i t h 6 1 、 g o n g 与m e g u i d 7 】相继研究了圆形、椭圆形弹性夹杂的问题，m a r i n o s a 和k a t t i s 8 i 讨论 了刚性夹杂的界面裂纹问题。随后，b a r n e t t 和l o t h e 9 1 、m c m e e k i n g l l 0 1 、p a k t l ”、s o s a 和p a k 1 2 j 、y a n g 与s u o 13 1 、z h a n g 和t o n g 1 4 蝽对于含有裂纹或位错的压电材料问题 进行了研究。其中，具有代表意义的是d e e g ”】以及d u n n 和t a y a 1 6 】，他们运用了 e s h e l b y 的等效夹杂方法。 近十多年来，大量学者对于含缺陷的压电材料进行了研究。p a k t 7 ，捕椎导出了在 无限压电体中螺型位错的封闭解，给出电弹耦合效应下作用于位错上的像力，并研究 了在反平面压电体中圆形夹杂的问题；w a n g l l 9 】对含椭圆夹杂的压电材料问题进行了 三维分析；s u o ，k u o 和b a r n e t t 等【2 0 j 对有界面荷载作用的压电陶瓷问题进行了研究； c h e n l 2 1 j 讨论了反平面压电介质含刚性椭圆夹杂的旋转的问题；f a n 与q i n i 捌分析了将 一个压电传感器置于非压电基体中的问题；s o s a 和k h u t o r y a n s k y i 冽给出了一些含缺 陷压电材料问题研究的新进展；m e g g i u d 与z h o n g t m 应用复变函数的方法求解了在 反平面剪切荷载和面内电场作用下压电材料含椭圆夹杂问题的一般解； m e ：西u d 和 d e n g l 2 5 2 6 】运用保角变换和罗朗级数展开的方法研究了压电材料在反平面剪切荷载和 面内电场作用下，螺型位错分别位于夹杂与基体时，位错对椭圆夹杂的干涉作用的问 题； l i u ，n i n g 和j i a n g 2 7 】应用复变函数方法和r i e m a n n s c h w a r z s 对称延拓原理揭 示了螺型位错对椭圆夹杂的干涉作用的问题；c h e n 、x i a o 和l i e w 2 8 “j 借助于复变函 毁和涉动方法，对位错设置于两种不同楔形压电材料结合处顶点附近的电弹性应力问 题进行了分析，并对在反平面机械荷载与面内电场作用下的半无限反平面裂纹与螺型 立错之间干涉作用的问题进行了研究；w u 、s t e v e 和y u r i s 求解了有反平面机械荷 戋与面内电场作用下压电复合材料的界面、界面裂纹与螺型位错之间的相互作用的问 亟；g a o 和h e r b e r t i ”】运用复变函数的方法分析了圆形压电夹杂与无限压电基体之间 i 多条圆弧形界面裂纹的反平面问题；l j u 、f a n g 和j i a n g i ”j 研究了压电螺型位错与 日弧形夹杂和压电基体之问界面火层干涉作用的问题：c h e n 、x i a o 和l i e w f 3 4 】求解了 i 远端均布荷载作用p 无限压电体中螺型位错与有限裂纹之i 剐相互作用的问题。 2 2 压电材料热机电耦合问题的研究现状 硕士学位论文 在实际工程中，由于大部分问题都与热应力有关，这使得研究材料与热应力有关 的问题显得十分重要。关于这方面的研究，前人已做了很多：c h a o 和s h e n 3 5 】分析了 点热圆分别位于圆形夹杂内外的问题，同时包含了任意方向的均匀热流的解答；z h u 和m e g u i d 3 6 】求解了无穷远均匀热流下含多个圆形夹杂的热弹性问题；q i n l 3 7 】利用 g r e e n 函数的方法研究了热荷载作用在椭圆里及边界上的问题，其中还给出了内部含 一条直线裂纹的情况；k a t t i s 和m e g u i d l ”j 采用二相复势的方法研究了蓝线边界夹杂 的平面热弹性问题，得到了椭圆夹杂在无穷远处均匀温变下的弹性场，但其热流方向 只限于椭圆短轴方向；r u l 3 9 】分析了均匀温度变化下含界面层椭圆夹杂的热失配问题； s h e n 与s c h i a v o n e 4 0 l 研究了均匀温变下非理想界面椭圆夹杂的热应力问题；c h a o 与 t a n 4 1 】分析了点热源作用在圆环内的热弹性问题；h a n 4 2 1 获得了一个任意孔的无限大 板在点热源下热应力混合边界值问题的精确解；c h a o 与c h a n g 4 3 j 讨论了在均匀热流 作用下各向异性介质含界面裂纹的问题；l i u 和n i n g 4 4 j 研究了点热源作用下椭圆夹杂 的热弹性问题。 另外，压电材料与热应力的问题近些年来也被广泛研究。q i n ，m a i 与y u 4 5 】求解 了带有孔洞的面内有热应力作用的压电材料的问题；w a n g 和s h e n g 46 j 分析了压电材 料在远端均匀热流作用下椭圆夹杂的问题：z h a n g 和c h e n g 4 _ 获得了压电碾压层热电 弹性耦合行为问题的精确解；g u 与w e n 【4 8 】研究了压电介质在高电冲击荷载作用下反 平面的热效应问题；d a i 与w a n g 4 9 l 研究了有孔洞结构压电体的热、电、弹性瞬时 响应的问题。 1 3 本文的主要研究内容 本文主要考虑在均匀热流场下压电材料中螺型位错、界面裂纹与夹杂之间相互作 用的问题。全文的主要研究内容如下： 第一章综述了本文的研究背景及相关领域的研究现状，对压电材料的特性及其应 用的广泛性作了说明。 第二章基于压电材料机电耦合的本构关系，综合运用复变函数分区全纯理论 5 0 - 5 2 】、解析函数奇性主部分析方法、解析延拓原理f 5 4 ，5 引、c a u c h v 型积分以及 r i e m a n n 边值问题求解方法【5 6 1 ，求解了螺型位错、圆形界面裂纹与圆形夹之间相互作 用的问题；应用p e a c h k e o h l e r 公式获得了作用于位错上的像力【5 ”。 第三章考虑压电材料在远端均匀热流场下圆形界面裂纹与夹杂之间相互作用的 问题，所采用方法与第二章类似，求得温度场的封闭解及反平面应力和面内电位移的 解析表达式以及面内应力场。研究表明热电系数的变化比热传导系数的变化对应力和 电位移影响要明显。 第四章综合考虑了第二、三章的情况，即分析了压电材料在远端均匀热流场下螺 型位错、圆形界面裂纹与圆形央之川相互作用的问题。以螺型佗错解为控制方程和平 衡方程的齐次方程的解，以稳态温度场解为控制方程和平衡方程的特解，组合它们得 到所研究i 题的通解。 均匀热流场中螺型位错、界面裂纹和夹杂之间的相互作用 第五章研究稳态温度场下压电螺型位错对含界面裂纹椭圆夹杂干涉作用的问题。 本章采用保角变换的方法，将椭圆夹杂、界面裂纹变为圆形夹杂、界面裂纹。再运用 前面两章中相同的方法进行求解。 1 4 本文的主要创新工作 对压电材料在远端均匀热流场作用下，螺型位错分别和圆形夹杂与界面裂纹、椭 圆形夹杂与裂纹之间相互作用的研究，在国内外鲜有文献报道，本文针对这些问题进 行了解答。 本文的主要创新点如下： 1 基于复变函数分区全纯理论、解析函数奇性主部分析方法、解析延拓原理、 c a u c h y 型积分以及r i e m a n n 边值问题求解方法，求得在远端均匀热流场作用下压电 材料圆形界面裂纹与夹杂之间相互作用问题中温度场的解析解，并以此解为基础，求 得相关问题的其它解。 2 获得压电材料在远端均匀热流场下螺型位错、圆形界面裂纹与圆形夹杂之间 相互作用问题的封闭解。 3 应用保角变换方法，求解了稳态温度场中压电螺型位错对含界面裂纹椭圆夹 杂干涉作用的问题。 4 各章的数值分析得到一些有意义的结论。 颂十学位论文 第2 章螺型位错位于基体与夹杂时对含界面裂纹圆形 夹杂的干涉作用 2 1 引言 弹性力学的许多问题都可以可归结为寻求满足一定条件的调和函数或双调和函 数。解析函数的实部或虚部都是调和函数，因而它的某种组合形式可构成双调和函数， 于是弹性力学的许多问题可转化为解析函数的边值问题，借助于复变函数理论的充分 研究，弹性理论找到了一条近乎完美的分析途径。弹性问题的复势方法是迄今唯一能 从已知到未知顺次求解的分析方法。这一方法由克洛索夫( k o n o c o bf b ) 和穆斯 海里什维里( m u s k h e l i s h v i l in i ) 发展完善，是2 0 世纪力学领域的一大重要成果， 自今仍为许多科学研究工作者所采用。本文所讨论的压电螺型位错与圆形界面裂纹相 互作用的问题采用和发展了这一方法。 2 2 问题的描述和基本方程 如图2 1 所示，压电材料基体1 1 包含圆形夹杂i ，它们的交界处含有界面圆弧绝 缘裂纹三，螺型位错位于基体内，b = b 。，) ，s + 和s 一分别代表夹杂和基体对应区 域。下标1 ，2 分别代表圆内与圆外区域的相应物理量。 蚓21螺型待借对含界面裂纹圳形必杂的干涉作川 考虑州平研为横观再向同性i l i 的 j 、i e 反、i ? m i 位移仪1 j n 内电场仲：1 ，i 1 1 l ，m l j f h ，= “一0 ，“：= w y ，y ) e ；e 0 ，y ) ，e y 。e ( 工，y ) ，e ，o ( 2 1 ) 其中，“，、“，与“：分别为沿z 、y 和z 方向的位移，t 、e 和e 分别为沿石、y 和z 方向的电场强度，w 为反平面位移。反平面位移与电场耦合的本构关系是 ”“i + 巳s 盖吣a t i - t - e 1 5 蔷 。! ；巳，； 一d ，。；曼，。j ：q ，告害一d ，；害 2 2 式中，c 。是稳定电场的纵向剪切模量，e i ，是压电模量，d n 是稳定应力场的电介模量， 妒是电场函数。电场强度可表示为 t 一詈，e y = - - 秘万 ( 2 3 ) 控制方程是 监+ 导。o ，譬+ 冬：o(24)d x 却 。 叔 却 、7 联合式( 2 2 ) 和( 2 4 ) 得到 c 4 4 v 2w + 气j v 2 妒= 0 ，v 2w 一盔1 v 2 庐= 0 ( 2 5 ) 这里，v 2 为l a p l a c e 算子，v 2 ：+ 二。 d x 。 o v 参阅文献【5 8 】，令u = w ，卉1 ，则式( 2 5 ) 变为 v 2 u ；0 ( 2 6 ) 引入以下一般应力向量 。= ，d x ) t r = f y z , - e ，7卜三y = 饥 o y z ，也, d y ： ( 2 ，) 则式( 2 2 ) 可表示为 。= m l ，；m y ，( 2 8 ) 其中，m = ( 墓一e “1 5 ) 是电弹性模量矩阵。调和方程( 2 6 ) 的解可表示为 u = r e f ( z )( 2 9 ) 式中，r e 代表求相应函数的1 实部，f ( z ) 为解析函数，h f ( z ) = o ) ，( z ) 7 。 j 虹用复变向量关系有 、i 、= m f ( z )( 2 1 0 ) c 巾f ( z ) = f 仁) ，f 怕、i 2 碍农永纠z 求导。将j ( 2 1 ( ) ) 心川饭班礼i j 莨小为 硕十学位论文 ，一i 。= e i o m f ( z ) ( 2 1 1 ) 2 3 边界条件 u 1 = u 2 t e l ( 2 1 2 ) 2 4 一般问题的解答 2 4 1 位错位于基体内 当位错位于基体内时，由式( 2 9 ) 有 u 2 = r e f 2 ( z ) ( 2 1 5 ) 参阅文献【1 7 】和【5 9 】，f ( z ) 可表示为 州小础= 皑峨 荟一 仁- 回 其中，d 为待定常数，f 2 0 ( z ) 在基体内全纯。 在h ；r 上t - f = r 2 ，应用r i e m a n n - s c h w a r z 对称开拓原理，将f 2 ( z ) 延拓到夹 酢) = 等i 矧+ ( 2 1 7 ) f 2 ( z ) 在点2 = r 2 z ，z = o 有奇点，则整个平面内f 2 ( z ) 可表示为 对e ( z ) 应用相同的方法有 f l ( z ) ；d + 7 d + f l 。( z ) z s + u s z e s + u s ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 这罩，e 。( z ) 存整个甲面f j 伞纯。l h 式( 21 1 ) 、( 2 1 3 ) 有 【m r e e ”i i ( f ) 】+ = m 二r e e e ( ，) 1 ( 2 2 0 ) 其t 、，上标“+ ”1 ：【j “一”分别表示稚近吲内侧和网外侧。j 、i 川e ( 2 1 7 ) 干| 1 ( 2 2 0 ) 1 - 1 m 【f + ( ，) + e ( f ) 1 - m ! 【e ( ，) + 耵( r ) 】 ( 2 2 i ) k 小叫叫 上去 叱 _ 1 捌 卜 0 = r 。 其 望兰垫鎏堑主些型竺些兰羔望望鳖望銎星圣兰望些垄望兰垒坠：= ：= = ：一 将式( 2 1 2 ) 刑对0 求偏导，o q 式( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 干n ( 2 , 1 7 ) - n 【e ( f ) + f 2 ( f ) 卜【e ( f ) + f 2 ( f ) 】 ( 2 2 2 ) 根据一般的l i o u v i l l e 理论，由式( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) g ( 2 2 2 ) 有 驰m = 甜1 ( 去+ 去一 ) 仁2 3 ， 由式( 2 2 1 ) 和( 2 2 3 ) 有 删+ 蚴= 4 玎，( m 1 + m ：) - 1 m 2 b ( t _ o + 上t - t o 一爿 ( 2 2 4 ) 参阅文献【5 0 】，式( 2 2 4 ) 的一般解是 e 。) ；等f h ( t ) d ，+ x 。( z ) b 。) ( 2 2 5 ) 式中，h m 去( m 。+ m 2 广m ：b ( 去+ 去一净驯吨叫4 “( z - ”2 捣 为沿l 割开的z 平面上的一单值分支，且满足：1 1 罂x o ( z ) = 1 ，p l ( z ) * o ，o ) 。 i i 蚓2 2裂纹关于z 轴对称 对式( 2 2 5 ) 进行柯西积分得到 f l ( z ) = x 。( z ) p l ( z ) 一言【h 。( z ) + h 。( z ) + h 。( z ) + h ：i ( z ) + 丢h ( z ) ( 2 2 6 ) 其中，h o ( z ) ，h o ( z ) ，h 。( z ) ，h 二i 0 ) 为h 弘) x 。( z ) 分刖住点z = o ，z = 。，z = z ”z 2z ：的 奇性主部。 圳斟2 2 所示，分f ) i 一种特殊情况：裂纹a b 炎】二t 轴刈称，则“一b ，n 。b = 只! n i 样求我刷i 得到 硕士学位论文 h 澎卜( m 1 + m 2 m ) 一m ：b 去尝 h 如) 叫，+ m ：) - l m ：罢 吣加i ( m + m 2 ) - l m 2 b 粤 吖加i硝，(ml+m2)-im。b圃z-z0 将式( 2 2 7 ) 代x ( 2 2 6 ) 得到 嘲；嘉髓鹊r 麓壶壶甘 壶i ( m 1 + m 2 r 麓 。( z - a ) “，：o 一玎ml 【一丛+ ，+ ，4 1 i ：j 砸+ 3 4 ：觋 涛式( 2 2 8 ) 伐入( 2 。2 3 ) 褥至l 聪，击c m z ，- m l b ( 壶+ 去甘壶脚m ：附 一r + i + 4 ( z o - a ) ( z o 趣- b ) + 妪二婵二1 2 式( 2 。2 国帮( 2 2 9 ) 与文献 5 9 1 n n 麓蕊鼗盼艨褥结论一致。 2 4 2 位锚位于夹杂内 当位错位于夹杂内时，由式( 2 9 ) 有 u l = r e f l ( z ) 参阕文敲【1 7 】器【5 登】，f ( z ) 哥表示为 卫士+e。(z)2r r iz 一 去2 z 叫) iz lz 。j z g s + z s 1 考瘩赫臻 毒影，鼯裂纹抒6 关予菇骧对豁，应翅2 , 4 ，1 耀强黪方法缛受 ( 2 。2 7 ) 1( 2 2 8 ) l i j 1 ( 2 2 9 ) l 犯3 0 ) ( 2 3 1 ) 望釜垫鎏堑塑型垡笪：墨耍型茎翌墨茎圭回堕塑三堡旦 昨) = m - + m 2 ，- 1 m ：b ( 去+ 上z - - z * 一书击c 附。1 脚南 眦，却蛳叫睁击甘南 粤 卫，+ 亚珏卫 这与文献【5 9 】无远端荷载时的结论是致的。 2 4 3 基体与夹杂内均有位错 设基体与夹杂的位错分别为b 2 和b 。，参阅文献【1 7 】和【5 9 】，f ( z ) 可表示为 z s + z s 。 考虑特殊情形，即裂纹n 6 关于工轴对称，应用2 4 1 相同的方法得到 f 2 3 2 ) 佗3 3 ) = m l + m 2 ) - i m 2 b l ( 去+ 上z - - z i * 一争2 ( 去+ 去一扑丽1 (t。+m：)一1：(zn)一1“(za)一l2(1-r(b。+b：)j粤b， f 4 ( z 2 - a ) ( z 2 - b ) b ： z z 2 + 巫：婵：+ 2 一z 1 雁了暖习 驰，= - 刍i i ( m i + m 2 ) - i m i b l ( 去+ 一1i 一垆壶+ 去一扑击 c a a ，+ m 。，一1 z c z n ，一“2 c z 一。，一1 ，2 ( ，一拿) c b - + b z ，+ +正j 丽 z 一2 厄i 丽 z z 1 ( 2 3 4 ) _ 扛 k 。一，一 且撕蔓撕 如0 e e 扛 硕+ 学位论文 2 5 裂纹尖端应力强度因子 参阅文献 3 2 】，在裂纹尖端z = r e 魄应力强度因子可表示为 蜘) = k + 蚶= 觋厮【q ，d a 7 由p ；r d o 及( 2 1 1 ) 式有 k ( 口) = 届两艘【厕e e l 。f ( z ) 】 ( 2 3 5 ) f 2 3 6 ) 当裂纹a b 关于x 轴对称，基体与夹杂内均有位错时，将式( 2 3 4 ) 代入式( 2 3 6 ) 有 k z c n ，= m 2 ( m 1 + m 2 ) q m 2 b e i “ ( ，一詈) c b t + b z ，+ 口一z 1 + 4 圃( z 2 - a ) ( z z - b ) b ：+ 正二蝉二+ 妪二蜂二 a z 。a z 1a 一2 ， (，一詈)cb。+b：)+4譬(2-2-a)(22-b)b：+雩 +雩b：b一董 2 6 反平面应力和面内电位移 将式( 2 3 4 ) 代入式( 2 1 0 ) 得到夹杂和基体的反平面应力和面内电位移 + e i f 2 3 7 ) k 壤圹 刍i m l ( m a + - 扩m b l ( 去+ 上z - - z ：一争壶+ 去一划 一刍m - ( m 1 + m ：) _ 1 m 2 ( ) - 1 ，2 ( ) - 1 胆 ( 1 _ 珈- + b z ) +4 圃( z a - a ) ( z 1 - b ) ”正亟习 z 一2 z z 2 雩 扩；丽1 m ：雌1 + m 2 ) - l m lf b l ( 壶+ 去甘b ：( 去+ 壶一矧 + 嘉m 2 ( m + m 2 ) - l m ：b ”1 气山) _ 1 “n 抄- + b z ) +辱j 丽 2 一五 琏丝! 造盟b ： ：一z 2 z 一2 2 + 圃b ， z z l 犯。3 8 ) 2 ，7 像宠 对理解压电位锚与夹杂的干涉作用，作用于位错上的像力是一个十分熏要的物理 爨。 分裂当z t ，z 一毛时，涉动应力秘趣链移由式犯1 3 8 ) 鸯 昏磷= 磊1m 烈蛳叫b l ( 去甘b z ( 去+ 再1 一割 一击m ，( m 。+ m ：) 。m 。瓴一担) “一6 ) 4 ”f ( ，一詈) ( b 。+ b ：) 肼l l 、口， f z ：一s ) 毛- b ) 一乞吣圃z 1 - - z , t 吣霹z 1 - - z 2 螽。 壤啦矿。去i im 2 ( m l + m 2 ) i m l b 1 ( 壶+ 去一壮1 乏一i 1 ) + 去m ：+ m 2 ) - 1 m 2 b ”事啦鼯”搬 挚，+ b z ) + 压亚b ，+ 巫二些二+ 蜓二巡二 z ，一z z ，一z z ，一z ， 参翅文献 1 7 1 ，佟麓予位错上豹豫力霹装达为 一峨= i b 7 露三一i 芝螽) 嵇一毛2 ) 设基体与夹杂的位锚均位于j 轴上，由式( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) 有 f 2 3 9 ) f 2 + 4 0 ) 硕士学位论文 只；五1b m c m ，m 广m ：“寿一珈+ ( 去+ 再x 2 一x t ) b ： 一c畸一a，一mc墨一6，一-，：一bxx半r+ba+b2+，41雩b。 + b z 忪； m z m i + m 2 ) - i m l b 1 ( 去+ 嘉一护2 ( 表一圳 + m 2 ( m i + m 2 ) 1 呦z 卅“2 ) _ 1 ” - 警n b l + b ： + 、 ( r 2 - i a x i 2 = ) i ( r 广2 - b x 2 ) b ：+薯一r 。 。 e = 0 2 8 数值分析与讨论 瓜孤瓦葡 五z 2 - r 2 ”粤b - 而一五i l r 2 4 1 ) 下面讨论各种参数对像力的影响。为了方便，分村f 位错郡位于z 轴上的情况，螺 型位错向量取为 b 2 讣一别 假设基体的材料为p z t - 6 b 压电陶瓷，其弹性模量矩阵为 r 35 3 1 0 i o n m 9 -1 7 c m 2 1 m 2 。1 1 7 跏2“5 1 1 0 “c 砌i 令= f ，r ( c 。嘭) ，白= r x 。，口= c 。( 1 ) ，r 。( 2 ，卢= ，d 掣= d p ，x 1 = r ，茗：= 九r 对图2 3 ，当a = 1 ，凡；0 5 ，凡= 4 ，b ，= b 2 = b ，fo 在卢分别取0 5 、1 、2 时随臼的 增加而减小，卢越小只。越大。对图2 4 ，当卢= 1 ， = 0 5 ，t = 4 ，b ，= b ：= b ，c 。在a 分别取0 5 、1 、2 时随0 的增加而减小，a 越小只。越大。 图24 k 随日的变化目= 1 ，x ，= n 5 卅b 。= b 2 = b 对图2 5 ，当乜；p = 1 ， 一0 5 ，九= 4 , b ：；b ，e 。在b 。分别取1 、2 时随目的增加 而减小，只。在b 。取0 5 时随日的增加而先增加后减小，b l 越大只。越大。对图2 6 ， 当口= 1 ，0 = 1 0 0 ，九。4 ，b l = b 2 = b ，在卢分别取0 5 、1 、2 ，且 0 2 5 时，e o 随 的 增加而减小，p 越大e 。越大；当 ，0 2 5 时，只。随 的增加而减小，p 越小只。越大： c 。在 一0 2 5 时出现奇点。 图2 5k 随日的变化忙1 x 。= 05 ，峥屯p = 1 b ：一b 罔26 l ，| ；白x ，的变化昨1 ，日= 1 一x ，= 讪= b z = b h 28l 芦虮的硬化u 矗b = 】0 = 1 0 k = 4 硕十学位论文 对图2 7 ，当芦= 1 ，0 = 1 0 ”，如；4 ，b 1 = b 2 = b ，在a 分别取0 5 、1 、2 ，且 o 2 5 时，只。随 的增加而减小，口越大只。越大；但当_ ) 0 2 5 时，只。随 的增加而减小， 越小只。越大；c 。在 = 0 2 5 时出现奇点。对图2 8 ，当口= = 1 ，占= 1 0 0 ，如= 4 ， b ：一b ，在b ，分别取0 5 、1 、2 时，e 。随 的增加而减小，b 。越大只。越大：e 。在 = o 2 5 时出现奇点。 综合上述，b l 越大只。越大aa ，卢越小，只。越大。当 c 0 2 5 时，口，卢越小，e 。 越小；但当 ，0 2 5 时，a ，卢越小，只。越大。螺型位错向量的变化对像力的影响最 大；夹杂内电场