（工程力学专业论文）非保守热弹性圆形薄板的动力特性和稳定性.pdf

摘要 论文题目：非保守热弹性圆形薄板的动力 特性和稳定性 学科：工程力学 导师姓名、职称：王忠民教授 作者姓名：高敬伯 答辩日期：2 0 0 2 年3 月 摘要 签名 2 乏厶。 签名一盘塑笪 本文主要研究了受面内切向均布随从力作用下的弹性非保守圆薄板的振动和 稳定性问题。主要j 二作有： ( 1 1 本文首先从微元体出发，通过分析圆板微元体的受力状况，建立了轴对称 圆板在面内周边可移、不可移两种情况下的轴对称控制方程，这是一个变系数四阶 偏微分方程。通过假设振动模态，将所得的混合初一边值问题转化为相应的变系数 常微分方程两点边值问题，然后用打靶法直接导出求解该变系数常微分方程特征值 问题数值解的计算式，通过数值计算，给出了周边可移、不可移的简支、固支圆板 自振频率和临界载荷的特征曲线以及相应的临界发散载荷，并分析了泊松比对圆板 自振频率和临界载荷的影响。 f 2 ) 在此基础上，本文采用k a n t o r o v i c h 平均法和打靶法，对于受切向均布随从 力作用f 的变厚度热弹性圆板和变温热弹性圆板的振动和稳定性问题分别进行了分 析。通过数值计算，分别给出了在这两种情况下周边不可移的简支、固支热弹性圆扳 自振频率和临界载荷的特征曲线以及相应的临界发散载荷，并分别分析了厚度变化系 数以及温度变化系数对圆板自振频率和临界载荷的影响。 f 3 1 最后基于圆板变形大挠度理论，导出了均匀加热非保守弹性圆板用中面位 移表示的非线性振动的动力学控制方程，通过数值计算，获得了周边不可移简支及固 支圆板的振动响应，绘出了在不同随从力下的幅一频响应曲线。 关键词：随从力，稳定性，打靶法，自振频率，非线性振动 陕西省自然科学基金资助项目( 编号9 9 s l 0 7 ) b s tr a c t t i t l e ：d y n a m i cb e h a v i o ra n ds t a b i l i t yo ft h e r m a l e l a s t i c c i r c u l a rt h i np l a t e u n d e rt h ea c t i o n 0 f n o n c o n s e r v a t i v ef o r c e s m a j o rs u b j e c t ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s 1 a d v i s e r ：p r o f w a n gz h o n g - m i n a u t h o r ：g a oj i n g b o a b s t r a c t s i g n a t u r s i g n a t u r i nt h i s p a p e r d y n a m i cb e h a v i o r a n d s t a b j l i t y o fe l a s t i c d o n c o n s e r v a t i v ec i r c u l a rt h i np l a l e s u b j e c t e dt ot a n g e n t i a l l yu n i f o r m l y d i s t r i b u t e df o l l o w e rf o r c e s ，i sa n a l y z e d t h em a i dr e s e a r c h w o r kisa s f o l l o w s ： ( 1 ) b yt h ea n a l y s i so ff o r c e - h a l a n c eo fe l e m e n t s ，t h ea x i s y m m e t r i c g o v e r n i n ge q u a t i o n so fc i r c u l a rt h i np l a t ew i t hm o v a b l ea n da n n o y a b l es u p p o r t s i nt h em i d d l ep l a n e ，s u b j e c t e dt ot a n g e n t i a l l yu n i f o r m l yd i s t r i b u t e df o l l o w e r f o r c e s a r ed e r i v e d t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n i sao r d e rf o u rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t h v a r i a b l ec o e f f i c i e n t o nt h e a s s u m p t i o no f o s c i l l a t i o nf o r m t h em i x e di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sc o n v e r t e di n t o c o r r e s p o n d i n gt w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h e nn u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rt h ee i g e n v a l u ep r o b l a mo ft h eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t sa r eo b t a i n e db ys h o o t i n g m e t h o dm o r e o v e r ，t h ec h a r a c t e r i s t i cc u r v e sb e t w e e ns e l f - e x c i t e df r e q u e n c i e s a n dc r i t i c a ll o a d sa n dt h e i rc r i t i c a ld i v e r g e n c el o a d o ft h ec i r c u l a rp l a t e w i t hm o v a b l ea n du l l m o v a b l es i m p l es u p p o r t sa n dc l a m p e ds u p p o r t sa l o n ge d g e s a r ep l o t t e d ，a n dt h ee f f e c to fp o s s i o n sr a t i oo nt h es e l f e x c i t e df r e q u e n c i e s a n dc l “i t jc a ll o a d s o ft h ec i r c u l a rp l a t ei sa n a l y z e d ( 2 ) 0 nt h eb a s i so ft h ea b o v es t u d y b yt h ek a n t o r o v i c ha v e r a g i n gm e t h o d a n ds h o o t i n gm e t h o d ，t h ev i b r a t i o na n d t h es t a b i l i t yo fv a r y j n gt h i c k n e s s t h e r m a l e l a s t i cc i r c u l a rt h i np l a t ea n dv a r y i n gt h e r m a lc i r c u l a rt h i np l a t e ， s u b j e c t e dt on o n c o n s e r v a t i v ef o r c e s ，a r es t u d i e d b a s e do nt h en u m e r i c a l s o l u t i o n s f o rt h ee i g a n v a l u ep r o b l e mo ft h eo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， t h ec h a r a c t e r i s t i cc u r v e s ，u n d e rt h o s et w oc o n d i t i o n s ，b e t w e e ns e l f - e x c i t e d f r e q u e n c i e sa n dc r i t i c a ll o a d sa n dt h e i re r i t i e a ld i v e r g e n c el o a do ft h e c i r c u l a rp l a t ew i t hb n m o v a b l es i m p l es u p p o r t sa n dc l a m p e ds u p p o r t sa l o n ge d g e s a r ep l o t t e d b e s i d e s ，t h ee f f e c to ft h eva = r i a t i o no fc o e f f i c i e n to ft h i c k n e s s a n dt h ev a r i a t i o nc o e f f i c i e n to ft h i c k n e s st e m p e r a t u r eo nt h e s e l f e x c i t e d f r e q u e n c i e sa n dc r i t i c a ll o a d so ft h ec i r c u l a rp l a t ei sa n a l y z e d 一 西安理工大学硕士学位论文 ( 3 ) a t1 a s t ，b a s e do nl a r g ed e f l e c t i o nt h e o r yo fc i r c u l a rt h i nd 1 a t e t h ed y n a m i cg o v e r n i n ge q u a t i o no fn 0 1 3 l i n e a rv i b r a t i o no ft h e r m a l e l a s t i e c i r c u l a rp l a t es u b j e c t e dt od i s t r i b u t e df o r c e si nt e r m so ft h ed is p l a c e m e n t o f t h em i d d l ep l a t ea r ed e r i r e d b yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h ev i b r a t i o n r e s p o n s eo ft h e r m a 卜e l a s t i ct h i np l a t ew i t hu n m o v a b l es i m p es u p p o r t sa n d c l a m p e ds u p p o r t sa l o n ge d g e sa r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h ec h a m a c t e r i s t i c c u r v e so ff u n d a m e n t a lf r e q u e n c i e sv e r s u sa m p l i t u d e sf o rs o m es p e c i f i cv a l u e s o ff 0 1 1 0 w e rf o r c ea r ep l o t t e d k e y w o r d s ：f o l l o w e rf o r c e ，s t a b i l i t y ，s h o o t i n gm e t h o d ，s e i ! 一e x c i t e d f r e q u e n c y ，n o n l i n e a rv i b r a t j o n r v 绪论 1 绪论 1 1引言 在工程实际中，薄板是结构的重要构件，有着广泛的应用，因此， 对于薄板的振动与稳定性分析具有重要的意义和实用价值。对于弹性杆 和矩形薄板在保守力或非保守力作用下的振动和稳定性问题，迄今为止， 无论是从理论上还是计算方法上，前人都已经做了大量的研究工作，取 得了比较成熟的成果。 但是，在实际工程中，构件有时是处于温度场中，由于热载荷的作 用，使得构件产生热应力和热变形以及由此引起强度、刚度问题都必须 进行考虑。己有的等温下薄板振动和稳定性理论已经无法正确反映出热 弹性薄板的实际特性，因此，有必要分析薄板在变化温场作用下的振动 和稳定性问题。正因为这一问题在工程上的重要意义，薄板的热弹性动 力特性问题引起了国内外学者的广泛关注，本文是在前人工作的基础上 研究了热弹性圆板在随从力作用下的振动和稳定性。 1 2 国内外研究状况概述 1 2 1 弹性非保守系统的动力稳定性的发展状况 弹性非保守系统的稳定性分析在工程实际中有着极为广泛的应用。 特别是杆、板、壳等结构，有许多学者对此做了大量的研究。从7 0 年代 开始，l e i p h o l z 开始研究非保守力作用下的杆的屈曲稳定问题。几乎与 此同时，国内学者也开始了对该问题的研究。近2 0 年来，国内外学者对 弹性非保守稳定性问题的解决提出了一些有效方法，特别对该系统拟变 分原理的研究方面尤为突出。l e i p h o l z 1 - s 】首先提出自共轭的概念，建立 西安理工大学硕士学位论文 了广义哈密顿原理，并利用拓展g a l e r k i n 法研究了随从力作用下的矩形 薄板在不同边界条件下的稳定性。刘殿魁、张其浩【6 】针对弹性非保守系统 往往不能以某一泛函极值形式出现的特点，提出了弹性非保守系统一般 拟变分原理。1 9 8 7 年，黄玉盈、王武久【7 对于有随从力作用的弹性非保 守系统中存在的自激现象进行了研究，建立了弹性非保守系统自激振动 的拟变分原理。在此基础上，一些学者对于在随从力作用下矩形薄板的 稳定性问题也提出多种计算方法。1 9 8 1 年，刘殿魁、张其浩直接用拟变 分原理计算了沿板面受均布随从力作用下的四边简支矩形薄板的稳定 性。张其浩，单文秀【8 s 吩别于1 9 8 1 年、1 9 8 4 年利用有限单元法分析了 弹性非保守问题的热屈曲和热振动问题。1 9 8 9 年，h d o w e l l 1 0 ，1 1 】分析了 随从力方向受板边缘转角控制的矩形薄板的稳定性。1 9 9 1 年，宋志远【1 2 1 等采用样条函数及配点法分析了沿中面受随从力或沿边缘受随从力作用 的弹性矩形薄板的稳定性，给定了几种边界条件下的求解途径，并计算 了一对边简支，另一对边为其它支承的板的临界载荷。1 9 9 8 年，k i m 和 p a r k f l 。】研究了切向随从力作用于矩形薄板某一横截面上时的稳定性问题。 1 9 9 2 年，王忠民，计伊周m 】研究了两对边简支、另两对边为任意支 承的各向同性矩形薄板受切向随从力作用时的动力稳定性，如图1 1 所 示。在对于所研究矩形薄板进行动力学分析，得到矩形薄板用无量纲量 表示的运动微分控制方程后，利用l e v y 法，设 w ( x y ) = z ( x ) s i n r e t r y( 1 1 ) 其中w ( x ，y ) 为矩形薄板的无量纲挠度，将w ( x ，y ) 代入薄板的无量纲运动 方程，从而将这一变系数四阶偏微分方程转化为一个变系数四阶常微分 方程，这样，就将一个二维问题w ( x ，y ) 转化为了一维问题。然后，利用 改进的有限差分法对于这一常微分方程进行求解，其解给出了问题的特 征曲线( q 一曲曲线) 。王忠民通过利用l e v y 法和有限差分法这种方法， 并通过数值计算，研究两对边简支、另两对边为三种典型支承任意组合 的六种弹性矩形薄板在切向随动力作用下的稳定性，分别给出了各种支 2 一 绪论 承板的失稳形式及相应的临界载荷，分析了泊松比、板的边长比对板的 失稳形式以及临界载荷的影响。 6 一 工 口 图1 1 矩形薄板受切向均布的随从力作用 1 9 9 6 年，王忠民、计伊周【1 5 】研究了两对边固支另一对边具有弹性约 束的矩形薄板受切向随从力作用下的稳定性问题。王忠民首先从弹性非 保守系统的拟固有频率变分原理出发，采用康托洛维奇法把挠度函数近 似表示为沿固支一固支方向粱的振型函数与另一方向待求函数的乘积形 式，从而把四阶偏微分方程化为变系数四阶常微分方程；其次用幂级数 形式的归一化基本解分析了弹性约束和边长比对板的稳定性的影响。同 时，作为特例，还分析了弹性约束对三边固支薄板自振频率的影响。还 有，赵风群、王忠民【1 6 】在1 9 9 8 年研究了点弹性支承的非保守矩形薄板的 稳定性。赵凤群对于带有点弹性支承且受随从力作用的矩形薄板，采用 积分方程理论，把问题的控制方程化为相应的积分方程，并根据退化核 特性得到了相应的特征方程，从而分析了点弹性支承的刚度及其位置对 于非保守矩形薄板的自振频率和稳定性的影响。另外王忠民旧采用有限 离散法结合幂级数归一化解法，对一对边简支、另一对边为其它支承的 变厚度矩形薄板在切向均布随从力作用下的稳定性问题进行了分析。 一3 一 西安理工大学硕士学位论文 1 9 8 2 年，z c e l e p 剐9 1 在研究了在圆板板边承受均布非保守随从力和 均布压力的共同作用下的振动和稳定性问题，如图1 2 所示，其中所研究 弹性圆薄板所承受的切向均布压力为n c ( 保守力) 和随从力为n ，( 非保 守力) 。c e l e p 通过分析得出圆薄板的动力控制方程为 d v 4 + ( m + ，) v 2 w p h 矿= 0( 1 2 1 其中，w ( r ，鼠f ) 为横向挠度，d 为弯曲刚度，p 为材料的密度，h 为圆 薄板的厚度。通过假设圆薄板的振动模式为 形( 见目，) = a w ( r ) c o s h o e ”f1 3 、 然后采用分离变量的方法并利用数值计算方法，分析了圆薄板在板边随 从力作用下的振动模态和临界载荷。 总之，对弹性系统的稳定性研究无论在理论还是在处理方法上都有了 大量研究，并逐渐的得到完善。 4 n f 图1 ，2 在圆板板边随从力作用下的圆薄板 绪论 1 2 2 热弹性薄板的动力稳定性的发展状况 薄板的热变形和热应力问题，不论在理论上，或是在实际应用上都 有着很重要的意义。在各个工程部门提出的结构强度问题中，因温度变 化而产生的应力和应变问题是其中的一项主要内容。其中，尤其是对受 约束弹性薄板在温度场内的振动和热屈曲问题引起了国内外许多学者的 大量研究。已有研究成果可见t a u c h e r t ( 1 9 9 1 ) 1 2 0 1 和t h o m t o ( 1 9 9 3 ) 2 1 1 的综述文章：1 9 7 9 年，b u c k e n s l 2 2 1 采用g a l e r k i n 法研究了面内热应力作 用下的圆薄板在热屈曲构形附近的微幅振动；1 9 8 4 年，g a n e s a n l 2 3 采用 混合方法分析了变温产生的内力对矩形板和斜形板微幅振动的影响； 1 9 8 1 年，1 缸【2 4 】采用有限差分格式研究了横向均布载荷作用下的加热环 板在轴对称大变形弯曲平衡构形附近微幅振动的特征值问题；此外， s a r k a r l 2 5 】和g r i g o l y u k f 2 6 】分别在1 9 6 7 年、1 9 8 4 年用线性理论分析了圆板 的热屈曲，r h j u t 2 】在1 9 8 4 年分别采用f e m 方法和g a l e r k i n 法研究了圆 板的轴对称热过屈曲，给出了中心无量纲挠度o ) h 1 情况下的数值结 果。在国内，1 9 9 0 年，戴德成、任勇生【2 s 】从完整的弹性力学方程出发， 导出了矩形板的非线性热弹耦合基本方程，分析了力和温度场的边界条 件，并对夹支边界和混合边界条件作了具体的分析和计算，从而得到了 热弹耦合矩形板的振幅和固有频率。1 9 9 8 年，李忠学、严宗达【2 9 l 研究了 周边固支的矩形板上表面受均匀分布热流冲击的热弹耦合问题。李忠学 首先利用算子法将热传导方程由三维降为二维，和二维的热弹性运动方 程相协调，然后利用双重傅立叶级数和拉普拉斯变换的方法消去方程中 的对时间的微分项，最后利用正交奇异法求解方程。同时，在1 9 9 8 年， 程赫明、王洪纲 3 0 l 在弹塑性本构方程和热传导方程的基础上，用泛函分析 理论导出了耦合弹塑性问题的泛函。2 0 0 0 年，丁皓江、国风林【3 l 】从线性化 的耦合热弹性方程出发，导出了新型式的一般解，降低了问题求解的难度。 1 9 9 1 年，李世荣、程昌钧【3 2 】研究了环板在面内轴对称非均匀无源温 度场和周边面内压力共同作用下的热弹性稳定性问题。李世荣根据薄板 - 5 西安理工大学硕士学位论文 变形理论建立了问题的力学模型，并通过理论分析的方法将问题简化为 一组二阶常微分方程边值问题，再将其归结为一对参数的线性特征值问 题，从而采用了数学分析和数值计算相结合的方法求解该特征值问题， 获得了环板失稳的临界曲线。1 9 9 2 年，李世荣吲基于y o nk a r m o n 方程 和h a m i l i t o n 原理，研究了外周边完全夹紧、内周边固连一刚性质量的各 向同性环板在均匀变温场内的非线性振动和热屈曲。在这里，李世荣采 用参数摄动与数值微分有机结合的方法寻求与刚性质量和变温参数有关 的圆板的非线性固有频率的高阶摄动解，并获得了表征圆板面内失稳特 征的临界温度。1 9 9 6 年，李世荣、宋曦 3 4 3 5 1 研究了厚度沿径向变化和受 面内约束的各向同性环形薄板在均匀变温下的自由振动和热弹性稳定性 问题，并且利用有限差分法计算了变厚度环板在内、外周边横向夹紧和 简支边界条件下的线性固有频率和临界温度。另外，李世荣 3 6 , 3 7 1 在19 9 7 年分析了均匀加热圆板的轴对称热屈曲问题和他在同年研究了在均匀温 度场作用下的热弹性圆板的大幅自由振动问题。 树学锋 3 8 , 3 9 j 在2 0 0 0 年研究了周边固支圆板的热弹性耦合振动问题， 如图1 3 所示，他建立了轴对称圆板的中面协调方程、横向热振动方程以 及热传导方程，利用g a l e r k i n 法，通过假设可以满足位移边界条件、内 力边界条件和中法线不转动条件的位移模式 f r l - 1 3 月2 + 2 r 3f 1 4 ) 由分离变量法，将问题简化为一个常微分方程组，通过求解得出了振幅 随时间变化的数值解。同年，树学锋、张晓晴1 4 0 4 1 用同样的方法研究了 简支圆板的非线性热弹耦合振动问题。 一6 绪论 图1 3 周边固支圆薄板 将热弹性非保守系统和热弹性保守系统相比，热弹性非保守系统无论 是在理论分析方面还是在计算方法方面的研究都比较少，对于在随从力 作用下的圆形薄板的振动和稳定性研究则是更少涉及。本文就是针对热 弹性非保守系统在理论上研究较少的情况下而进行的。 1 3 本文主要研究内容和方法 本文在上述研究的基础上，对受在面内均布的切向随从力作用下的 热弹性非保守圆板的振动和稳定性问题进行了研究。 本文从微元体出发，通过分析圆板微元体的受力状况，由所研究微 元体的内力和内矩平衡方程建立了轴对称圆板横向运动方程。在圆板的 中面，通过中面平衡微分方程、物理方程和变形协调方程得到了圆板中 面的相容方程。通过求解圆板中面相容方程，并利用热弹性一等温弹性 的相似性原理，从而得到了非保守热弹性圆板在面内周边可移、不可移 两种情况下的轴对称控制方程，这是一个变系数四阶偏微分方程。通过 假设振动模态，将所得的混合初一边值问题转化为相应的变系数常微分 方程两点边值问题，然后用打靶法直接导出求解该变系数常微分方程特 征值问题数值解的计算式，通过数值计算，给出了周边可移、不可移的 简支、固支圆板自振频率和临界载荷的特征曲线以及相应的临界发散载 荷，并分析了泊松比对圆板自振频率和临界载荷的影响。在此基础上， 本文进一步分析了各种边界条件、温度载荷和圆板厚度变化系数对圆板 7 西安理工大学硕士学位论文 自振频率和临界发散载荷的影响，并分别绘制了在各种情况下的圆板自 振频率和临界载荷的特征曲线。最后，研究了当圆板的挠度与板厚是同 阶量，但仍然远小于中面尺寸时等温热弹性非保守变厚度圆板的非线性 振动，分析各种边界条件、温度载荷、圆板厚度变化系数以及非线性项 对于圆板固有频率的影响。 在切向随从力作用下的弹性非保守圆板的运动方程是变系数的四阶 偏微分方程，对于这种方程的求解，一些学者进行了研究。1 9 9 2 年，王 忠民、计伊周用l e v y 法结合有限差分法求解了在几种不同边界条件下， 不同边长比的矩形薄板的四阶变系数偏微分方程。1 9 9 6 年，王忠民、计 伊周又用康托洛维奇法结合幂级数形式的归一化基本解求解了一对边简 支，另一对边具有弹性约束的矩形薄板的屈曲运动微分方程。1 9 9 1 年， 李世荣、程昌钧利用数学分析和数值计算相结合的方法求解了偏微分方 程的特征值问题。1 9 9 5 年，李世荣、宋曦、赵勇刚利用中心差分的方法， 将方程转化为了有限维代数特征值问题，从而使方程得以求解。还有一 些学者采用g a l e r k i n 法和r i t z 法对弹性薄板在随从力作用下的稳定性问 题进行了研究。从前人的工作中，可以发现求解偏微分方程的方法有很 多种，具体采用那一种方法，还要看薄板的具体情况。因此，对于在面 内均布随从力作用下的圆薄板的稳定性问题，这里采用打靶法求解所得 的运动方程。打靶法作为一种数值分析方法有着相当的普遍性，可以直 接应用于任意线性或者是非线性常微分方程两点边值问题的求解，所得 到的结果是数值意义上的精确解。打靶法与摄动法及级数法相比有着明 显的优点，因为打靶法在求解微分方程时有着比较好的收敛性。为了说 明本文所采用数值方法的可靠性和计算精度，将面内随从力为零时的计 算结果与己知的结果进行了比较。计算结果表明，两者对应的数据十分 的吻合。 8 非保守圆板运动微分方程的建立 2 非保守圆板运动微分方程的建立 本章通过对圆板微元体的受力分析，建立了在切向均布随从力作用 下的圆板在面内周边可移、不可移两种情况下的轴对称控制方程。 2 1基本假设 本文讨论的是小挠度的薄板的振动和稳定性问题，即板的厚度远小 于中面的最小尺寸，而挠度又远小于板厚的情况。在这里除了采用弹性 力学中的材料为均匀、连续、各向同性和线性弹性的假设i “l 外，还补充 以下基本假设： ( 1 ) 变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线；且垂直于变形后的 中面，并保持原长： ( 2 ) 于中面平行的各面上的正应力t 相应于应力t 、盯，和k 相比属 于小量。 d y ， i z 图2 1 薄板坐标系 一9 一 西安理工大学硕士学位论文 2 2 非保守圆板的基本力学模型 本文所研究对象为一半径为a ，厚度为h 的圆形薄板【4 5 】，受切向均布 随从力如图2 2 所示。所谓切向随从力，即指在板挠曲时，力的作用线始 终与板的挠曲面相切。这是一种常见的非保守力，其所作的功与变形过 程的路径有关。设等厚度圆薄板的抗弯刚度为d ，单位面积质量为p ， 泊松比为“。 q q = 三= 三三= 三于e 三三二三三三三三 图2 2 受切向均布随从力作用的圆薄板 ( a ) 简支边界条件( 6 ) 固支边界条件 2 _ 3 非保守圆板的控制方程 由于本文主要讨论的是圆板的振动和稳定性问题。因此采用极坐标表 示较为方便。 2 3 1 变形几何关系 根据薄板近似理论的假设( 1 ) ，与中面平行的各面上的径向和切向位 移分别为 1 0 非保守圆板运动微分方程的建立 n = 一z 一0 w ，v = 一z 竺 (21)or r 0 0 、7 在极坐标下，由弹性力学导出的几何方程是 o u却“1o u加v 0 2 j f 2 j 苫万+ 了y m2 了百万+ 石一i 将( 2 1 ) 式代入( 2 2 ) 得 一z 窘，岛= 号窘+ 手h = 之z 导c 吾5 吒萨，岛2 7 万+ 7 i ) ，h2 - 2 2 i 了_ ) 2 3 2内力与变形的物理关系 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 应用在极坐标系中得应力与应变间的关系式以及薄板近似理论的假 设( 2 ) ，则有 o r ：e )1_-l-7(c,+,uxo = ) ：i e ( 岛+ 孵) ( 2 4 )0 82 五i 慨+ 自r ( 2 4 1 e 汪蒽剑( 2 3 ) 式a 将上式改写为 q 一啬亭州专鲁七铷 q 5 一丁= 7 i 。j 芦+ 卢( 7 百矿+ ；石7 ) 】 z e 10 2 w1i = ，w0 2 w 一再f 事万+ i 石+ 矿】 z ea 】o w 一面面石( 拶 沿板厚线性分布的应力在微元体侧面上形成的弯矩和扭矩为 珥一d 【萨0 2 w 州专等+ t m g - ) 】 一唠雾弓警+ 卢窘， 肘m = 一d ( 1 一声石0 1 历0 w ) 其与横向剪力q r ，g 的作用方向如图2 3 所示。 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 一1 1 - 西安理工大学硕士学位论文 ：t 图2 3 极坐标下的内力、内矩 2 3 3 圆薄板横向平衡方程 取微单元体，其受力如图2 5 所示，其中，q 为施加于面内均布切向 随从力，q 为圆板所受横向载荷。 图2 5 极坐标下圆板的平衡力系 将所受各力投影到：轴： 1 2 非休矸脚扳连动微分万程的建立 ( 1 ) 横向力 q o r d r d o ( 2 7 ) ( 2 ) 随从力在横向的合力 一g 罢删修 ( 2 8 ) 一g i 凡桕 ( 2 8 ) ( 3 ) 横向剪力( 由图2 3 得) 【(qr+孥删珊瑚q删峭岛+等毋一q。dror0 。 d = q r ，d 目+ q+旦鱼lr(妇口占+曼望l砌d臼一o，d口+(z西,drdo a n 泖o r 。 ( 2 9 ) + 萼d 8 d p q ，d r 卜7 = c 吾q + 警毒静一 ( 4 ) m 方向上的拉压力 m 坩口掣+ ( m + 掣毋) ( r + d r ) d o - 兰( w + 掣出) o ro r o ro r =一，枷掣+(p，办+挲胁+罂撕)d目(罂+窑毋)or o ro r o ro r = 一m ，棚娑o r + ，耐口警+ r 枷窑o r 卉+ r 西础掌o r ( z 1 。) 泖 、。 士n 姗瑚蔷+ 等r 出a 8 等+ 等r 毋西酾萼 = ( m 矿0 2 w + ；ln ，_ o w + 警詈) 删目 1 3 - 西安理工大学硕士学位论文 一堡d ， 图2 4 拉压力在：轴方向上的投影 一卉吾嚣+ c 十等毋吾品c w + 嚣蚴 叫咖! r 堡c o + a t o 小三r 塑0 0 + 毋窘卯 ，、 十盟d o d r lo w + 盟d 劬三垡卯 。 8 8 ra 8 e e ra e 2 = c 等筹+ 吉等搠 1 4 y ， 0 n o 、r la ra 疗 旦l z 图2 5 拉压力a t 。在。轴方向上的投影 非保守圆板运动微分方程的建立 ( 6 ) 。方向上的平错力 一耐目吾嚣+ ( + 警毋”+ 西) 卯j r + 一d r 旦c 3 0 ( w + 警 = 一n d o 嚣o + d p 警+ 枷翥+ 警捌口历o w 亿。2 、 望静翻d 9 旦 ：r 尘立旦+ 1o n , oo w l 衙d 臼 ! 丝 0、7 a 。 r y ， 图2 6 平错力在z 轴方向上的投影 以咖詈+ ( + 百o n o r 出昙( w + - 筹d o ) 一舳詈+ n o , 咖石o w 帆矽善硼( 2 + ! ! ! 生d 劬垒竺+ ! ! 生d 目d ! ! ：兰d p 0 0 o r0 0o r 0 0 = c ；翥七警争删臼 - 1 5 一 一箩一箩 西安理工大学硕士学位论文 0z 图2 _ 7 平错力在：轴方向上的投影 椅以上各式投影相加，令冥总和等于零，然后除以r d r d o ，即得 旷a 警+ c ；q + 孥o r + 三r 等， 口t o b + c m 窘+ ；m 警+ 警+ c 7 a r e 万。2 , w + 砉等等 + c 争鱼o r 0 0 弓盟o r 如立o r 0 0 七盟a o 当o r = 。 ?r r a e 。、r d r j。 得 旷a 娑o r + c 吉g + 挚o r 号斋0 ，r，d 州，窘+ 扛弓篇+ c ；m + 警毒警，警 + c 专等七挚考专窘= 。 再次考虑微单元体，得以下平衡条件 ( 1 ) 这里，将横向载荷r d r d o 对切向轴的力矩作为高阶小略去，得 绕周边切线的力矩平衡条件为 ( 警删h 州吕出棚州一等卿咖f 2 1 6 ) 一丹门1 6 、 1 6 ， ! ! 堡! 璺! 壁三垄竺竺互垦塑兰兰 r - 1 _ _ - ，_ _ _ ，一一 一 整理得 堕+ 盟+ 必一q ：o ( 2 1 7 ) o rr o b r 。 ( 2 ) 绕，轴取力矩平衡条件为 一o m , e + 堕+ 监一幺：o ( 2 1 8 ) o r t o o ， 。 ( 3 ) 由几何关系( 2 6 ) 式得横向剪力g 、q 与挠度之间关系的表达式 q 一言c v 2 包一詈刍( 妒w ) 得 ；q r + 警+ 7 l 百0 9 = - d ( 蔷十了1 石0 + _ 1 拶0 2 ，i v 2 w 一仞( 2 2 。) 由弹性力学平面问题得出圆板中面平衡方程为 一o n , + ! 盟+ n , - n 一- q = 0o r ，0 07 f 2 2 1 ) 皇型生+ 三旦生+ 三丝生：0 o rrd p7 薄板横向控制方程化为 扫警七争 蚴 + u , - 伊- 萨”- 十吾翥一吾嚣+ ；警+ 7 1 虬万0 2 w = 。 化简得 。苦弓导专参+ 挎w 亿2 ，、 1 m 害+ ：导c 吾嚣，+ 也c ；警+ 吉= 蜘 考虑轴对称问题，有：n r 8 = - o ，刍= o ，得 。c 等+ 詈导一吉蔷+ 吉争w 一r 窘一号警弛 c 2 埘， 1 7 西安理工大学硕士学位论文 2 3 4 中面协调方程的推导 下面由弹性力学平面问题的有关理论推导，、虬。 平衡方程 孥+ o r - - 盯0 十k ，= 0 wr 由n 9 = h e r a ，n ? = h a r ，。有 盟+ n ，- - n o 一日：0 d rr 。 轴对称问题的几何方程 孔，“， 。言岛2 寸 物理方程 s ? = 告( n r 一“n 8 ) e 九 ，：三_ o n ，一u n 1 2 , n 由相容方程一景( ，岛) = o 得 去( m 一虬) 面1 ( 虬一以) 一， 导( 丝 竽) 】= 。 ( 2 2 9 ) 式与( 2 2 6 ) 式联立，消去a t 。，得到关于a t ，的微分方程 ，。磐曲盟- ( 2 训舻o o r 2o r 、 。 解此常微分方程，得通解为 _ = 3 ( 2 + 2 ) q ，+ c ，t 式中c ：、c 为积分常数。 2 4 边界条件 圆板横向边界条件 ( 1 ) 当，= a 的边界刚性固定时，边界条件为 1 8 一 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) f 2 2 7 ) f 2 2 8 ) f 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 ，3 1 ) 非保守圃板运动微分方程的建立 塑：o 务 ( 2 ) 当，= 口的边界简支于刚性支座上时，边界条件为 m = 0 窘州警+ 吉= 。j f + 卢( 7 石= - + 7 否矿j 2o ( 3 ) 当r = a 的边界自由时，边界条件为 蛉。或窘州；警十专窘c 节ra rrd 廿 g = 。或拿o r ( v 2 小( ) 关r o r o u ( 当0 0 = 。， 圆板径向边界条件 ( 1 ) 圆板周边边界不可移的情况时，位移边界条件： “，l 一。= 0 ( 2 ) 圆板周边边界可移的情况，边界条件为 m l = 0 f 2 3 2 ) ( 2 _ 3 3 ) f 2 3 4 ) r 2 3 5 ) r 2 3 6 ) 2 5 非保守圆板基本方程的建立 对于方程( 2 3 1 ) ，因为在板的中心处( ，= 0 ) ，m 不可能为无限大， 所以有c = 0 ：另一积分常数c 、的确定以及相应的控制方程可分为下列 两种情形。 ( 1 ) 圆板周边边界不可移时的情况： 由位移边界条件蚱i = o 和由几何方程岛= 誓得 “，= ：( 心一 0 ) ( 2 3 7 ) 将( 2 2 6 ) 式代入( 2 3 7 ) 式，消去，整理得 驴争警+ ( 1 刊，呻】 ( 2 3 8 ) 把( 2 3 1 ) 式代入上式，从而由边界条件“，l = o 得 一1 9 - 西安理工大学硕士学位论文 所以 ( 2 3 9 ) ，：l q ( 2 + ) ，一( 1 + ) 盯】 也= 喜叮 ( 1 + 2 ) ，一( i + ) 口】4 0 ) _( 2 将解得的n ，、n e 代入( 2 - 2 4 ) 式，得 。c 等+ ；嘉一专等+ 专昙胪；c z 训帕叫雾 缇。，、 一；9 【( 1 + 2 ) r 一( 2 + ) d 】二1 i o w + q 掣：o 。 ( 2 ) 圆板周边边界可移时的情况 由于周边可以移动，边界条件为n ，l = 0 ，得 c 1 = i - ( 2 + p ) q a ( 2 4 2 ) 所以 。每+ 詈导一吉等+ 寺多w c 2 州撕刊窘 。：4 。， 一1 + 2 ) ，一( 2 + ) 口 三学+ q 掣：o 、 2 6 非保守圆板运动方程的建立 设圆板在振动过程中的任一瞬时f 的挠度为w = w ( ，只，) ，则圆板在每 单位面积上的惯性力是 一2 0 一 锄口 扣 叫 m p 岬 刎 弘 + 一3 o 1 1 虻 m，一， 非保守圆板运动微分方程的建立 铲一p 窘 ( 2 4 5 ) 因此，圆板的自由振动微分方程为 ( 1 ) 圆板周边边界不可移时的情况 。每+ 簪吉景+ 与w 扣训川州口，窘。：舶、 一知l + 2 卢) r 一( 1 + ) 日 7 m - 互- + p 百c 3 2 w ：o 。4 f 2 ) 圆板周边边界可移时的情况 。c 岳+ 詈导一专导+ 专争w i c z + 砌c 一口，窘亿。， 一扣脚卜( 2 训口号宴o r + p 争+ g 宴o r = o j， 讲。 引入无量纲量 x = 三面= 竺吲( 争了1 ac = 罢h 蚓2 半幽 ( 2 - 4 8 ) 乜口口+也 得无量纲量表示的运动微分方程为 窘+ 吾窘一吉窘+ 吉譬1 。0 1 ( 2 + u ) 州1 】窖 良4 。工缸3 z 2 衙2 缸3 “。尸1 2 ( 2 4 9 ) 一；鲫协) 一幽】誓+ 窑：o 。 窘+ 吾窘一丢x 窘+ 专豢一；3 c 川，堕8 x 2。2 瑚、 苏4 工彘32 良2 。，苏 z 卜。p 7 、4 、 一q 【( 1 + 2 一) 一土( 2 + ) 票+ 窘：o 设圆薄板的稳态解为 茹( x ，r ) = w ( x ) e “ ( 2 51 ) 式中q 为板的固有频率。将( 2 5 1 ) 式代入式( 2 4 9 ) 式、( 2 5 0 ) 式，并整 理得无量纲量表示的振型微分方程为 辑毒害一当罂+土x3婴dxdxd xd x d x 一1 3 纵z 圳州训】警亿，：、 4 x 3 x 2 2 g 卜p 、1 。p 川c 2m 一昙q 【( 1 + 2 ) 一三( 1 + ) 】华一q ：o 。 一2 l 一 西安理工大学硕士学位论文 警专娶毒罂专警一!卿c川，二音d2wdxd x3d x 汜；，、 出4 。x 3 x 22 x 3 出 y 。一r 八“ 2 ，1c ，、 一；q ( 2 + 卢) ( 2 一土) 孕一q ：+ q 婴：o 、。 jx 积积 按照f 2 4 8 ) 式，将由2 4 节给出的边界条件无量纲化，得到 在j = 0 处： 矽有限= 兰i d w c= 。粤 窘+ 土x 警 _ o ( 2 5 4 ) 僦c 黜 在x = 1 处： ：0 d w + t d 2 w ：of 2 5 5 1 其中，= o 二分别表示圆薄板周边固支和周边简支边界条件。 因此，由上述控制方程和边界条件构成了一变系数常微分方程两点 边值问题。 2 2 打靶法及非保守轴对称圆薄板稳定性分析 3 打靶