（电路与系统专业论文）基于2D+DCT的二维实值离散Gabor变换[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 摘要 1 9 4 6 年，d e n n i s g a b o r 通过将f o u r i e r 变换的核函数与可时移的窗函数相乘， 从而提出了基于f o u r i e r 变换的复值g a b o r 变换。虽然在g a b o r 变换被提出之后 的较长时间里大家均认为它是有用的，但由于g a b o r 展开系数计算的困难，其 应用一直受到限制。 近年来，导师陶亮教授等学者在离散h a r t l e y 变换( d h t ) 的基础上引入能 够时移和频移的系列基函数，通过双正交分析方法提出了基于d h t 的一维和 二维实值离散g a b o r 变换( r d g t ) ，并给出了相应的串行和并行快速算法；并 且借助于一维d c t 的核函数，通过双正交分析方法提出了基于d c t 的一维实 值离散g a b o r 变换( r d g t ) ，针对基于d c t 的一维实值离散g a b o r 变换( i d g t ) 则给出了并行快速算法。所有上述研究成果表明g a b o r 变换在实际应用中的实 用性将大大加强，在非平稳或时变信号的分析和处理，具有广阔的应用前景。 本文首先简单介绍了时频分析的理论，回顾了g a b o r 变换理论的发展，然 后借助于传统2 dd c t 的核函数、运用双正交分析法提出了临界抽样条件下基 于2 dd c t 的二维实值离散g a b o r 交换：首先对理论的完备性进行了论证：通 过矩阵变换，给出了其串行快速算法，加强了理论的实用性；比较了该变换与 二维复值离散g a b o r 变换( 2 dc d g t ) 的算法复杂性，我们发现，针对实值 信号，由于所提出的变换仅涉及实值运算，其运算复杂性大大降低，更加 有利于硬件实现；通过模拟实验进一步验证了理论的正确性。最后作为理 论应用，我们比较了所提出的变换与2 dd c t 在图像编码方面的性能差 别，结果表明利用所提出的算法，图像细节恢复的比由2 d d c t 量化系数 重建的图像要好，因此在图像识别、纹理分割方面，所提出的变换是一非 常好的预处理工具。 关键词： 2 dd c t ，2 dr d g t ，图像压缩，图像编码，临界抽样 基于2 dd c t 的二维实值离散g a b o r 变换 a b s t r a c t i n1 9 4 6 ，d e n n i sg a b o rp r e s e n t e dt h ec o m p l e xg a b o rt r a n s f o r mb a s e do n f o u r i e rt r a n s f o r mb ym u l t i p l y i n gt h ek e r n e lf u n c t i o no ff o u r i e rt r a n s f o r mw i t h t i m e - s h i f t a b l ew i n d o wf u n c t i o n s a l t h o u g hp e o p l et h o u g h ti tw a su s e f u l ，i t s a p p l i c a t i o n sw e r er e s t r a i n t e df o ral o n gt i m eb e c a u s eo f t h ed i f f i c u l t i e si nc a l c u l a t i n g i t se o e f r c i c n t s i nr e c e n ty e a r s ，p r o f e s s o rl i a n gt a oi n t r o d u c e das e r i e so ft i m e - s h i r a b l ea n d f x e q u e n c y - s h i f l a b l eb a s i sf u nc l j i o n sb a s e do nd h ta n dp r e s e n t e d1 da n d2 d r e a l v a l u e dd i s c r e t eo a b o rt r a n s f o r m ( r d g t ) b yb i - o r t h o g o n a la n a l y s i sm e t h o da n d d i s c u s s e di t ss e r i a la n dp a r a l l e lf a s ta l g o r i t h m s ；b yt h ew a y , t h e1 dr e a l - v a l u e d d i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r mb a s e do nd c ta n di t sf a s ta l g o r i t h m sw g l ea l s op r o p o s e d a l lt h er e s e a r c ha b o v ei n d i c a t e st h a tt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o no fg a b o rt r a n s f o r m w i l lb eg r e a d ye n h a n c e da n dt h e r ew i l lb eag o o dp r o s p e c to fa p p l i c a t i o ni n a n a l y z i n ga n dp r o c e s s i n gn o n s t a t i o n a r ys i g n a l s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h et h e o r yo ft i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sa n dt h ed e v e l o p m e n t o fg a b o rt r a n s f o r ma r cf i r s t l yr e v i e w e d b a s e do nt h ek e r n e lf u n c t i o no ft h e t r a d i t i o n a l2 dd c t , w ep r e s e n tan e 3 vt r a n s f o r mb yb i - o r t h o g o n a la n a l y s i sm e t h o d ： 2 dr e a l v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m ( 2 dr d g t ) b a s e do n2 dd c ti nt h ec a s eo f c r i t i c a ls a m p l i n gc o n d i t i o n f i r s t ，t h ec o m p l e t e n e s sp r o p e r t yo f t h et h e o r yi sp r o v e d ； s e c o n d ，b ym a t r i xt r a n s f o r m ，t h es e r i a lf a s ta l g o r i t h mi si n 仃o d u c c d , s ot h ep r a c t i c a l a p p l i c a t i o no f t h et h e o r yi se n h a n c e d ；t h i r d , t h ec o m p l e x i t yo fa l g o f i t h mb e t w e e nt h e 2 dr e a l - v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m ( 2 dr d g t ) a n dt h e2 dc o m p l e x - v a l u e d d i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m ( 2 dc d g t ) i sc o m p a r e d ，i na l l u s i o nt or e a l - v a l u e ds i g n a l s ， t h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yi sg r e a t l yr e d u c e d b e c a u s eo n l yr e a l - v a l u e do p e r a t i o n s a r ei n v o l v e di no u rt h e o r y , a sar e s u l t , h a r d w a r ei m p l e m e n tc a nb em u c hm o r ee a s i e r ； f o u r t h , w ef u r t h e rv e r i f y0 1 1 1 t h e o r yb ye x p e r i m e n t a t i o n ；f i n a l l y , a sa na p p l i c a t i o n ，w e i l 摘要 c o m p a r et h ed i f f e r e n c e sb e t w i x t l l2 dr d g ta n d2 dd c t i ni m a g ec o d i n g , w h i c h d e m o n s t r a t e st h a tt h ep r o p o s e dt r a n s f o r mi sm o r ea t t r a c t i v ei nr e c o v e r yo fi m a g e d e t a i l s ，s oo u ra l g o r i t h mi ss u r e l yag o o dp r e - p r o c e s s i n gt o o li ni m a g er e c o g n i t i o n a n dt e x t u r es e g m e n t a t i o n k e y w o r d s ： 2 dd c t , 2 d r d g t , i m a g ec o m p r e s s ，i m a g ec o d i n g ，c r i t i c a ls a m p l i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获蛴妒他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 糊黼鲐钇色护鳓期：6 月弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解窍彳豁伏括关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授师静将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：宅三 签字目期衍月叫u | v 学位论文作者毕业去向： 通讯地址： 机 弓日 导师签名：7 l 氢唐 签字日期： z 州7 年月 日 电话： 邮编： 第一章绪论 第一章绪论 1 1 信号的时频表示 f o u r i e r 分析方法”】是分析和处理平稳信号的最常用也是最主要的方法。 f o u r i e r 变换建立了信号从时域到频域的变换桥梁，而f o u r i e r 逆变换则建立了 信号从频域到时域的变换桥梁，这两个域之间的变换为一对一映射，时域和频 域构成了观察一个信号的两种方式。 然而，f o u r i e r 变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，而缺乏时间 局域性信息，即它并不能告诉我们某种频率分量发生在那些时间内，而这对非 平稳信号是十分重要的。与f o u r i e r 变换相关的傅氏谱、能量谱及功率谱都是信 号交换到频域的一种表示，对于频谱不随时间变化的确定性信号与平稳信号， 都可用它们进行分析和处理。但当信号的频率随时间变化时，如人的语音信号 与脑电信号( e e g ) 、通过时变信道传输的信号及非平稳信号等，频域表示法就 存在严重的不足，因为它不能表示某个时刻信号频谱分布的情况。于是，针对 频谱随时间变化的确定性信号与非平稳信号，人们开始研究联合时频分析( 简 称时频分析) 方法，它将一个一维的时间信号以二维的时间频率密度函数形式 表示出来，从而揭示信号中包含了多少频率分量，以及每一分量是怎样随时间 变化的。 例如：图1 i 的底部曲线为一男子说“y e s ”时语音时间波形，右上角所示的 功率谱虽然显示了频率成份，但没有显示出信号的时变特性。左上角较大的图 为信号的时变频谱图，从该图中不仅可以看出信号的频率是如何随时间变化的， 而且由图中灰度的明暗变化可以看出频率的密度。换句话说，通过对信号在联 合时频域中的分析，我们可以更好地理解人类语音的机理。 基于2 dd c t 的二维实值离散g a b o r 变换 图1 - 1 语音信号的时频分析 ( v i g u r e l 一1t i m e - f r e q u e n c ya m l l y s i so f s p e e c hs i g n a l ) 1 2 时频分析法的研究与发展 时频分析方法的研究开始于二十世纪四十年代。1 9 4 6 年，匈牙利出生的英 国物理学家d e n n i sg a b o r 提出的g a b o r 变换( 或展开) f 2 】，为此后在时频域内 分析信号奠定了基础。为更好地理解语音信号，p o t t e r 等人 3 】在1 9 4 7 年首次提 出了一种实用的时频分析方法短时f o u r i e r 变换，并将其绝对值的平方称为 “声音频谱图”。1 9 4 8 年，v i l l e 【4 1 将w i g n e r 在1 9 3 2 年提出的w i g n e r 分布引入 到信号处理领域。此后的学者提出了很多新的时频分析方法。这些时频分析方 法主要有线性时频表示、二次时频表示以及参数化时频分布。 1 2 1 线性时频表示 线性时频表示主要有g a b o r 变换、短时f o u r i e r 变换和小波变换。 g a b o r 展开与变换 。 d e n n i sg a b o r ( 于1 9 7 1 年因发明全息照相获得了诺贝尔奖) 是最早提出在 信号分析和处理中使用时间和频率两个变量对信号进行描述的学者。1 9 4 6 年他 在文献 2 】中采用了由窗函数 ( f ) 的时移和频移产生的一系列基函数 。o ) = h ( t r o t ) e x p ( j n o t ) ) ，j = j ，对信号f ) 进行分解，即将信号工( f ) 表 2 第一章绪论 示为 工( f ) = c ( m ，n ) h ( t - m t ) e x p ( j n o t ) ( 1 1 ) 这就是著名的连续g a b o r 展开，而求展开系数c ( 埘，妨的式子被称为g a b o r 变换。 上式中时移和频移的间隔都是离散的。g a b o r 选择了高斯函数作为窗函数，即 h ( t ) = e x p ( 一a t 2 ) ，这是因为高斯函数在信号的不确定原理中具有最小的有效时 宽q 和有效带宽吒乘积q ，在时频平面中分布最集中。这样，基函数k 。( f ) 集中于沏r ，n o ) ，而c ( m ，n ) g 看成是与 r o t - o t ，m t + c r , x n o - c r 。, ，弹d + 吒】相 联系的信号时频特性的表征。g a b o r 展开中丁和力分别为时间和频率的采样间 隔。从直观的角度看，如果采样格网过于稀疏，就会丢失信息而不能恢复原信 号，另一方面过密的采样又会导致展开式的冗长。g a b o r 在其原文中采用的是 t f 2 = 2 n ，也没给出什么解释，后来证明g a b o r 展开存在的必要条件是t q = 2 r e 5 - 8 ，故g a b o r 采用的正是其最低极限。此外，g a b o r 展开中的基函数不必一定 是高斯函数。虽然在较长的时间大家均认为g a b o r 展开是有用的，但由于计算 c ( m ，以) 的困难，其应用一直受到限制。在g a b o r 展开式中基函数 。( f ) ) 不构成 正交基，因而不能用通常的内积规则来计算c ( m ，z ) 。这样，就存在如何计算g a b o r 展开系数c ( m ，”) 问题( 即g a b o r 变换问题) ，g a b o r 当时只给出了一种近似计算 c ( m ，以) 的迭代方法。随着计算机技术的发展，在实际应用中，人们逐步认识到 需要研究离散时间信号的g a b o r 展开与变换，即用离散g a b o r 展开与变换来解 决这一问题。直到近十几年离散g a b o r 展开与变换提出后，计算c ( m 一) 方法才 有所突破。近十几年来一些学者在g a b o r 展开与变换的离散化与有限化方面做 了许多工作，内容颇为丰富。g a b o r 展开与变换的研究方法形式多种多样，主 要有以b a s t i a a n si s 、w e x l e r 【q 和q i a n 7 4 1 等人为代表的双正交分析法，m o r r i s 【9 】 等人为代表的框架理论、d a u g m a n 1 0 1 等人提出的神经网络方法，t e l a n e r u 】和 i b r a h i m1 1 2 等人提出的自适应学习算法以及l u 吲等人提出的并行格型结构实 现块时间递归复值g a b o r 变换算法。为了克服g a b o r 展开中基函数带宽固定的 缺点，q i a nf 1 4 】还提出了自适应g a b o r 表示方法。 短时f o u r i e r 变换 基于2 dd c t 的二维实值离散g a b o r 变换 若用一窗函数y ( f ) 抽取一段信号，并对其作f o u r i e r 变换，移动窗函数，重 复上述过程，则得到短时f o u r i e r 变换： s t f s ( m t ，n o ) = j 。x ( o y ( f r o t ) e x p ( 一j n o r ) d r ( 1 2 ) 其中幸”表示复数共轭，上式还有其它表示形式。窗函数的时移和频移，使得 窗函数变成即是时间的函数又是频率的函数，因而信号与对应于某一时移和频 移的窗函数的内积就能反映信号在该时刻的局部频谱特征，整个变换结果也就 能揭示信号频谱的演化特征。文献【8 】指出，自从g a b o r 变换与短时f o u r i e r 交换 在上世纪四十年代被提出后，二者之间关系很长时间不为人所知，直到上世纪 八十年代初期才搞清楚短时f o u r i e r 变换s t f s ( m t ，n o ) 实际上就是g a b o r 展开 系数。文献 8 】同时还指出，短时f o u r i e r 变换虽然也有离散形式，但其并不是从 展开与内积的角度来研究的，有些重要方面，如过抽样与信号精确重建之间的 关系不明确，特别是对偶窗函数的计算求和式是无界的，从而不便于数值计算 实施。 小波变换 在小波变换的系统理论发展起来以前，其基本思想已经在许多领域的应用 中有所体现，只是还没有在数学上形成一个体系。例如，b u r t 在1 9 8 2 年提出的 金字塔式图像压缩编码概念，通信及语言编码中的子带编码，数字信号处理中 的多采样率滤波器组，计算机视觉中的多分辨率分析等。小波变换的思想来源 于伸缩与平移方法。小波变换由法国学者j m o r l e t 于1 9 8 2 年提出，后经其他几 位法国学者的再塑造，使之成为一种基础坚实、应用广泛的信号分析工具。小 波变换定义为 w t x ( t , a ，2 击柳( 等户f m s ， 其中a 为尺度，f ( o 为母小波函数。小波分析本质上是一种时间尺度分析，它 更适合于分析具有自相似结构的信号；从考察信号的频率成份随时间的演化特 性角度来说，小波变换的结果则难于解释f 1 5 1 6 1 ，尽管这一研究领域十分火热。 小波变换是以时间和尺度为参数，在时间尺度平面的不同位置上具有不同的分 辨率，因而是一种多分辨率分析方法。小波分析得益于小波基函数的完备性、 4 第一章绪论 自相似性和多分辨性，它能获得成功的两个最重要的原因是其拥有塔形快速算 法和良好的时频域特性；目前小波变换在许多领域得到了广泛的应用，如 j m o r l e t 等将小波用于地震信号的分析与处理；s m a l l a t 将二进小波变换用于图 像的边缘检测、图像压缩与重构；m f a r g e 将连续小波变换用于涡流的研究等。 但小波变换的缺点是一旦母小波选择不当，应用效果会大受影响。 1 2 2 二次时频表示 w i g n c r 在研究量子力学时提出的这种分布是这类时频表示中非常重要的 一种。信号f ) 的w i g n e r - v i l l e 分布( 4 1 定义为 w v d , 以伊x ( r + 妒( r 一三) e x 卅伽纠d r 4 ， 两信号柏( 力与恐( 力的互w i g n e r - v i l l e 分布定义为 w v 。私伊仁五( r + 拳( r 一护卅伽纠d r s ， 若工( ，) = a l x l ( t ) + a 2 x 2 ( t ) ，则 w v d x ( t ，力= l q l 2 w v d ( t ，力+ l 乌i 2 w v d ( t ，力+ 2 r c q 吗1 v d ( f ，- ，) 】 ( 1 6 ) 由此可见，w i g n e r - v i l l e 分布的时频集中性高，但交叉项干扰严重，影响其分辨 率。 1 9 6 6 年，l c o h e nf 1 刀提出一种对w i g n e r - v i l l e 分布进行时频平滑，并进而 构造新的时频分布的方法，即广义双线性时频分布 郫，门= 去嘶力x ( “+ 妒( 一) e x p _ j 2 礁r + 一c u ) l a u d 瞒( 1 j 7 ) 其中，( ，f ) 表示核函数，它决定了p , a t ，) 的特性。采用不同的核函数，将得到 不同的时频分布。1 9 9 3 年，1 lgb a r a n u i k 和d l j o n e s 【1 8 】提出了一种与信号 有关的最优核函数设计方法。对核函数的要求，是希望既能压缩交叉项干扰又 能有好的特性。常用的c o h e n 类广义双线性时频分布有c h o i - w i l l i a m s 分布、广 义指数分布等。 重要的二次时频表示方法还有仿射类双线性时频分布1 1 9 1 和重排类双线性时 5 基于2 dd c t 的二维实值离散g a b o r 变换 频分布】，这里不再赘述。 1 2 3 参数化时频表示 上述介绍的时频分析均为非参数方法，而参数化时频分析方法则根据对信 号组成结构的分析，构造出与信号组成结构最佳匹配的信号模型，因而能浓缩 信号的信息，简化对信号的表示，并由此得到不含任何交叉项干扰的时频表示。 具有代表性的参数化时频分析方法有，s q i 8 1 1 和d c h c n 1 4 1 提出的自适应展开 算法，s m a l l a t 和z z h a n g 【2 i 】提出的匹配投影算法。两种算法的中心思想都是 采用一个经伸缩、时移和频移调制的高斯函数组成的“原子”集( g a b o r 集) 在此集上根据最大匹配投影原理寻找最佳基函数的线性组合，以达到白适应分 解之目的。这种算法对时不变频率分量效果很好，但当待分析的信号是e h i r p l e t 信号时，这种匹配相当于零阶逼近，效果则很差。为了克服这一缺陷，s m a n n 和s h a y k i n 2 2 1 等学者提出了e h t r p l e t 变换，其本质是对时频平面上的任意一条 能量曲线用一组任意倾斜的线段进行线性逼近。然而，当信号的频率成分随时 间非线性变化时，如d o p p l e r 信号，用c h i r p l e t 变换的效果也不好。于是邹红星 等人【2 3 1 又提出了d o p p l e r 交换予以改进。从信号压缩及消除交叉项干扰角度看， 参数化时频分析方法较好，但求取其基函数模型的参数，实非易事。 需要加以说明的是，上述介绍的时频分析方法表现出逐级包含的关系，但 随着时频分析性能的提高，均是以增加计算复杂性和降低计算速度为代价的， 适用条件也有所变化，因此被包含的各种时频分析方法并不会被替代而退出舞 台。 1 3 时频分析应用简介 时频分析方法已被广泛应用于很多领域。1 9 9 6 年9 月的p r o c e e d i n g s o f i e e e 和1 9 9 9 年3 月的i e e es i g n a lp r o c e s s i n gm a g a z i n d 8 1 都出专辑介绍了时频分析 方法研究的进展及应用。时频分析方法涉及的应用领域有声学、机械故障分析 与机械制造、生物医学信号处理和音乐等。其它重要文献也报道了时频分析在 语音识别【2 5 】，雷达信号与图象处理1 2 6 1 ，地震信号处理【2 7 1 ，信号重构【2 8 1 和扩频通 6 第一章绪论 信中干扰抑制【2 9 】等方面成功的应用成果。基于g a b o r 变换的过抽样表示【划也给 信号检测注入了新的活力；高阶时频谱在雷达目标识别中的应用【3 l 】、基于g a b o r 变换的s a r 图象压缩【3 2 】以及g a b o r 展开与变换应用于时变系统建模【3 3 1 、生物 医学中核磁共振信号的降噪“l 、通信中自适应回声消除【3 5 1 亦都引起了研究者的 兴趣。 1 4g a b o r 变换国内外研究现状及分析 早在十九世纪二十年代，法国工程师傅里叶( f o u r i e r ) 就指出，一个“任 意”的周期函数x ( f ) 都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里 叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。传统f o u r i e r 变换以及与之相 关的实值变换如h a r t e y 变换、余弦变换和正弦变换是分析和处理平稳信号的最 常用和最主要的方法，在电学、声学、光学、机械学、信号与图像处理、机器 视觉、通讯和自动控制等领域有着广泛的应用0 - 2 1 。然而，由于f o u r i e r 变换是在 整体上将信号分解为不同的频率分量，因此它实际上是一种全局的变换，无时 间局部信息，无法表述信号的时频局域性( 即无法描述信号的频率分量是如何 随时间变化的) ，而这一点恰恰是非平稳信号如语音、生物医学信号等最根本和 最关键的性质。为了有效地分析和处理非平稳信号，早在1 9 4 6 年，英国物理学 家d e r m i sg a b o r l 3 】( 于1 9 7 1 年因发明全息照相获得了诺贝尔奖) 就提出在信号分 析和处理中使用时间和频率两个变量对信号进行描述的方法。在文献 3 】中他将 f o u r i e r 变换的变换核即复指数函数，与可时移的g a u s s 窗函数乘积，构造了一新 的可时移和频移的变换核( 即基函数) ，从而提出了在联合时频域中将信号展开 成一组g a u s s 基本函数形式。这一展开形式被后人称为g a b o r 展开，而求解展开 系数的式子被称为g a b o r 变换。 虽然在g a b o r 展开被提出之后的较长时间里大家均认为g a b o r 展开是有用 的，但由于g a b o r 展开系数计算的困难，其应用一直受到限制。在g a b o r 展开式 中基函数不构成正交基，因而不能用通常的内积规则来计算展开系数。这样， 就存在如何计算g a b o r 展开系数问题( 即g a b o r 变换问题) ，g a b o r 当时只给出了 一种近似的迭代计算方法。随着计算机技术的发展，在实际应用中，人们逐步 7 基于2 dd c t 的二维实值离散c r a b o r 变换 认识到需要将g a b o r 展开与变换离散化来解决这一问题。直到近十几年离散 g a b o r 展开与变换提出后，计算g a b o r 展开系数方法才有所突破。近十几年来一 些学者在g a b o r 展开与变换的离散化与有限化方面做了许多工作，内容颇为丰 富。g 如o t 展开与变换的研究方法形式多种多样，主要有以b a s t i a a n s 【4 1 、w e x l e r 5 1 和q i a n 6 - 7 等人为代表的双正交分析法，m o r r i si s 等人为代表的框架理论、 d a u g m a n l 9 等人提出的神经网络方法、n u n c i 1 伽和i b r a h i m 等人提出的自适 应学习算法以及l u 【1 2 】等人提出的并行格型结构实现块时间递归g a b o r 变换算法。 为了克j 艮g a b o r 展开中基函数带宽固定的缺点，q i a n 1 3 j 还提出了自适应g a b o r 表 示方法。 为更好地理解语音信号，p o t t e r 等人【l4 】在1 9 4 7 年也提出了一种实用的时频分 析方法短时f o u r i e r 变换。尽管g a b o r 展开与短时f o u r i e r 变换在上世纪四十年代 几乎是同时被提出的，但二者之间关系很长时间不为人所知，直到上世纪八十 年代初期才搞清楚短时f o t w i e r 变换实际上就是g a b o r 变换。但正如文献 7 所指出 的那样，短时f o u r i e r 变换虽然也有离散形式，但其并不是从展开与内积的角度 来研究的，有些重要方面，如过抽样与信号精确重建之间的关系不明确，特别 是对偶窗函数的计算求和式是无界的，从而不便于数值计算实施。 综观上述g a b o r ) 畏开与变换的研究历史，我们注意到传统的g a b o r 展开与变 换是复值形式的，是在复值f o u r i e r 变换基础上通过引入能够时移和频移的一系 列基函数而产生的，对实值g a b o r ) 畏开与变换的研究几乎空白。尽管g a b o r 在1 9 4 6 年文献【3 】中也提出了在连续余弦变换基础上引入实值g a b o r 展开，1 9 9 5 年文献 【1 5 】又将其离散化，但对这种基于离散余弦变换的实值g a b o r 展开的研究很不充 分，例如，其完备性条件如何等问题没有得到解决，基于离散余弦变换的实值 g a b o r 畏开的研究文献也是寥寥无几。因此半个世纪的对g a b o r 展开与变换的研 究和应用实际上是以基于f o u r i e r 变换的复值g a b o r 荽开与变换为主导地位的。 近年来，导师陶亮教授等学者在离散h a r t l c y 变换( d h t ) 的基础上引入能 够时移和频移的一系列基函数，通过双正交分析方法提出了基于d h t 的一维和 二维实值离散g a b o r 变换( r d g t ) ，并给出了相应的串行和并行快速算法；并 且借助于一维d c t 的核函数，通过双正交分析方法提出了基于d c t 的一维实 值离散g a b o r 变换( r d g t ) ，针对基于d c t 的一维实值离散g a b o r 变换( i u ) g t ) 8 第一章绪论 则给出了并行格快速算法。所有上述研究成果表明g a b o r 变换在实际应用中的 实用性将大大加强，在非平稳或时变信号的分析和处理，具有广阔的应用前景。 1 5 本文研究内容 众所周知，g a b o r 将f o u r i e r 变换的变换核即复指数函数，与一类可时移的 窗函数乘积，构造了一新的可时移和频移的变换核( 即基函数) ，从而提出了基 于f o u r i e r 变换的复值g a b o r 变换。与之类似在本文中借助于稍作修改的二维 d c t 的实值变换核与一类可时移的窗函数乘积，构造出新的可时移和频移的实 值变换核( 即实值基函数) ，运用双正交分析方法给出了一种全新的变换：基于 d c t 的二维实值离散g a b o r 变换。 实值离散g a b o r 时频变换的完备( 存在) 性问题研究是这个新的时频变换 理论建立的关键。类似于复值离散g a b o r 变换，实值离散g a b o r 时频变换的完 备( 存在) 性是通过变换核中的综合窗及其对偶窗函数( 即分析窗) 必须满足 双正交性条件来体现的。双正交性条件的证明中最主要的一点是利用了h a r t l c y 函数、余弦函数和正弦函数形式的离散泊松( p o i s s o n ) 求和公式。根据所要分 析信号的需要，选择一综合窗后，就可由双正交性条件求出对应的分析窗。 在( 串行) 快速算法中要解决的关键问题是，如何通过矩阵变换，并利用 快速的d c t ，使得求解实值离散g a b o r 时频变换系数以及由变换系数重建原信 号问题的计算复杂性最小，从而有效地提高算法的速度。 a h m c d 和r a o 于1 9 7 4 年首先给出了离散余弦变换的定义。由于d c t 避免 了复数运算，并且有类似于d f t 的快速算法，所以d c t 在语音、图像的处理 中获得了广泛的应用，但我们注意到在量化比特数比较少的情况下，d c t 变换 会出现严重的块效应，在论文中通过具体的实例展示了所提出的变换是如何克 服传统d c t 变换中的块效应的，通过实验结果我们发现新交换对于图像的细节 恢复的比较好，在图像识别与理解，纹理分割与区分方面是一种非常好的预处 理工具。相信通过对实值离散g a b o r 时频变换的深入研究，不断地丰富和完善 g a b o r 时频分析理论，使g a b o r 展开与变换成为信号与图像处理、通讯、机器 视觉、模式识别和自动控制等领域更具吸引力的工具。 9 基于2 dd c t 的二维实值离散g a b o r 变换 1 6 课题的研究意义 复值离散g a b o r 变换已取得了不少成功的应用成果，但问题是其计算复杂 性较高，特别是在实时处理要求下，这一问题更加突出。而文中提出的实值离 散g a b o r 时频变换比复值离散g a b o r 变换在计算、实现方面简单，并可利用快 速d c t 加速变换；同时，实值离散g a b o r 时频变换不仅能很好地表示信号的时 变信息，在频域方面还保留了对应的d c t 的特性，例如，基于d c t 的实值离 散g a b o r 变换不仅保留了d c t 的高效数据压缩特性，而且由于具有时频局域性 还可以克服使用d c t 压缩数据产生的块效应，等等。利用实值离散g a b o r 时频 变换的这些优点和特点，将其推广应用到信号和图像分析处理( 如s a r 图像压 缩、数字水印生成、数字滤波器组设计) 等方面，必将有效地提高非平稳信号 与图像的分析、处理速度和效率。 本文课题研究是在国家自然科学基金项目( n o 6 0 5 7 2 1 2 8 ) 、安徽省人才开 发资金( n o 2 0 0 5 2 0 2 9 ) 以及安徽大学人才队伍建设项目基金的资助下完成的。 1 7 论文内容安排 第一章简单讨论了时频分析的概念和g a b o r 变换的产生背景及其发展历 史，并对毕业论文将要论述的主题进行了简要的说明。 第二章分别回顾了传统复值和实值g a b o r 变换的理论方法，为后面的论 文主题作出必要的理论铺垫。 第三章提出基于d c t 的二维实值离散g a b o r 变换，对其完备性进行了证 明，论述了该变换的串行快速算法，最后对算法进行了实例验证。 第四章介绍了图像压缩编码的相关知识，重点比较了传统d c t 变换与所 提出的变换在图像压缩编码方面的性能差别。 第五章本文总结，提出以后的研究方向。 1 0 第二章c r l l b o r 变换基本理论的回顾 第二章g a b o r 变换基本理论的回顾 2 1 概述 g a b o r 展开是一种同时用时间和频率表示一个时间函数的方法，而求解 g a b o r 展开系数的公式被称为g a b o r 变换【2 】。g a b o r 变换和g a b o r 展开已被公认 为是通信和信号处理中信号与图像表示的最好的方法之一。然而，由于g a b o r 基本函数彼此之间互不正交，g a b o r 展开与变换的计算复杂性很高，实时应用 受到很大限制。近十几年来一些学者在g a b o r 展开与变换的离散化与有限化方 面做了许多工作，内容颇为丰富。g a b o r 展开与变换的研究方法形式多种多样， 主要有以b a s t i a a n s 嘲、w e x l e r 【6 】和q i a n 【 】等人为代表的双正交分析法， m o r r i s o l 等入为代表的框架理论、d a u g m a n | 【1 0 l 等人提出的神经网络方法、 t e u n e 3 1 1 1 和i b r a h i m 【1 习等人提出的自适应学习算法以及l u 1 3 1 等人提出的并行 格型结构实现块时间递归复值离散g a b o r 变换算法等。 本章从连续g a b o r 展开和变换的定义出发，以双正交分析法为主，回顾了 g a b o r 展开和变换的基本理论。 2 2 复值g a b o r 变换基本理论的回顾 2 2 1 连续复值g a b o r 展开和变换 连续时间信号0 的连续g a b o r 展开嘲定义为： 工( r ) = c ( r a ，玎玩。( f ) 月 式中 k 。( f ) = h ( t - m t ) e x p ( j n q t ) ，所，n - - o ，士1 ，士2 ， ( 2 1 ) ( 2 2 ) 基于2 dd c t 的二维实值离散g a b o r 变换 称为g a b o r 基本函数，其中j - 4 z t 。c ( m ，n ) 称为g a b o r 展开或变换系数。 通常设窗函数 ( 力受能量归一化约束，即 n h ( t ) 2 d r ：l( 2 3 ) 在连续g a b o r 展开中，若已选定了窗函数矗( f ) ，时移和频率参量r 与饼9 选 择则决定了连续g a b o r 展开的完备性、唯一性和数值稳定性。连续g a b o r 展开 完备性的必要条件是t x 2 = 2 兀，其中t i - 2 = 2 兀条件称为临界抽样条件，可使展开 系数c ( m ，1 1 求解唯一和数值稳定，但这种选择约束性强、自由度差：面t t 2 2 ，c 条件， 是不完备的，a 以”) 失去稳定。 由于g a b o r 基本函数h m , n ( f ) 不是正交的，计算c ( m ，栉) 比较困难，可采用辅 助窗函数( 又称为双正交分析窗函数) r ( o 来计算的方法阁，即 c ( m ，n ) = 二工( f ) 形。( t ) d t ( 2 4 ) 上式定义为连续g a b o r 变换，因此，连续g a b o r 展开为连续g a b o r 变换的逆变 换。上式中 。( f ) = r ( t m t ) e x p o n o t ) ( 2 5 ) 将( 2 4 ) 式代入( 2 1 ) 式，就得到下列完备性关系： h m ，。( f ) r ：。( f ，= 8 ( t - t ( 2 6 ) 这里文力表示d i r a c 占函数。上述完备性关系可表示成如下双正交条件： 警砸) y 砸一删r o ) e x p ( 一j 栉d f = 跏) 砌) ( 2 7 ) 上式中t o 与蹋为 瓦= 鲁，瓯= 了2 7 9 ( 2 8 ) 下面来证明( 2 7 ) 式的双正交条件。f l q ( 2 6 ) 式得 h ( t - m t ) r p 。一所r ) e x p j r m ( t f 】= 万。一t 5 ( 2 9 ) 肼月 对下列复指数函数序列应用泊松( p o i s s o n ) 求和公式3 6 1 ， e x p j n q ( t - t 1 ) = t o 8 ( t t l n t o ) ( 2 1 0 ) 第= 章g a b o r 变换基本理论的回顾 于是，( 2 9 ) 式可表示成： t o z 8 ( t r - n r o ) , y _ , h ( t - m t ) y + ( t - m t - n t o ) = 6 0 f ， ( 2 1 1 ) 再利用泊松求和公式可知下式成立： e x p j m n o ( 川俨丁莓占。- t - m t ) = 篝莓- t _ m 乃( 2 1 2 ) 上式可用于证明下式成立： h ( t m t ) r ( t - m t n t o ) 墓酬蛾，伫h ( t s y ( t - n t o 肼m 将( 2 1 3 ) 式代a ( 2 1 1 ) 式得 车占( t - t - n 矗) 莓e x p ( j 袖警仁的矿