（航空宇航科学与技术专业论文）径向基插值近似方法理论与应用研究.pdf

国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 摘要 近似方法是解决多学科设计优化( m u l t i d i s c i p l i n a r yd e s i g no p t i m i z a t i o n ，m d o ) 计算复杂性的重要手段，对推动m d o 的应用有重要作用。论文以减小计算成本为 目的，建立了有效的近似方法，并以近似模型为联系，提出联合优化方法，应用 于机翼优化过程中。 首先，分析了m d o 的发展特点及其面临的困难，阐述了部件级m d o 的发展 概况；总结了近似方法所要解决的主要问题及其研究进展。 其次，讨论了近似的评价原则及评价方法，对四种典型的近似方法：最小二 乘方法、k r i g i n g 模型、径向基插值和支持向量机进行了研究，通过算例测试，分 析了各自的特点及适用性。 第三，详细分析了径向基插值中参数的影响，提出了形状参数优化径向基插 值方法( s h a p ep a r a m e t e ro p t i m i z a t i o nr a d i a lb a s i sf u n c t i o n , s o r b f ) ，s o r b f 以 优化误差函数的方法对参数进行选择，提高了对各种问题的适应能力：同时，从 理论上分析了近似误差函数收敛是近似模型具有推广能力的必要条件。算例测试 结果表明了算法的有效性和判据的合理性。 第四，研究了径向基插值结构，分析了预测点与样本点之间距离对预测误差 的影响，根据结构最小化原则，提出了影响域径向基插值方法( i n f l u e n c ed o m a i n r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，i d r b f ) 。测试算例表明，i d r b f 有效减少了径向基的结构， 同时为预测可信度提供了量化依据。 最后，将s o r b f 和i d r b f 方法应用于飞机总体设计和机翼耦合模型近似建 模，进一步验证了算法的有效性；基于近似模型，提出了结合全局优化和局部优 化的联合优化方法，算例测试表明，该方法能够有效搜索全局最优解，提高优化 收敛效率。 总之，论文的研究工作为处理不同类型的近似提供了有效手段，对解决多学 科设计优化计算复杂性做了有益尝试。 主题词：多学科设计优化；近似方法；径向基插值；联合优化；响应面 第i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 a bs t r a c t a p p r o x i m a t i o ni sa ne f f e c t i v et e c h n o l o g yt or e s o l v et h ec o m p u t a t i o nc o m p l e x i t yo f m u l t i d i s c i p l i n a r yd e s i g no p t i m i z a t i o n ( m d o ) ，a n d i s i m p o r t a n t t oi m p r o v ei t s a p p l i c a t i o nl e v e l i nt h i sp a p e r ，e f f i c i e n ta p p r o x i m a t i o nm e t h o d sa r eb u i l tt or e d u c et h e c o s to fc o m p u t a t i o n t h ec o m b i n e do p t i m i z a t i o ni sp r o p o s e da st h es u r r o g a t em o d e la sa c o n n e c t i o n ，t h ea l g o r i t h mi su s e di nw i n go p t i m i z a t i o n f i r s t l y ，d e v e l o p m e n to fm d oa n dt h ed i f f i c u l t i e si tf a c e di nt h i sp r o c e d u r ea r e a n a l y z e d ，c u r r e n tr e s e a r c h e so np a r tl e v e lm d o i s s u m m a r i z e d ；s t a t eo ft h ea r to f a p p r o x i m a t i o na r ea l s od i s c u s s e d s e c o n d l y ，p r i n c i p l e so fe v a l u a t i o no na p p r o x i m a t i o na r ed i s c u s s e da n ds e v e r a l e v a l u a t i o nm e t h o d sa r ea l s os u m m a r i z e d f o u rk i n d so ft y p i c a l a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m sa r ea n a l y z e d ：l e a s ts q u a r e ，k r i g i n gm o d e l ，r b f ，a n ds u p p o r tv e c t o r m e c h a n i s m t h ec h a r a c t e r sa n da p p l i c a b i l i t yo fe a c ha l g o r i t h ma r es u m m a r i z e d a c c o r d i n gt ot h es i m u l a t i o nr e s u l t so f t e s tf u n c t i o n s t h i r d l y ，t h ei m p a c to ft h ep a r a m e t e r si nr b fi sd i s c u s s e di nd e t a i l s ，a n ds h a p e p a r a m e t e ro p t i m i z a t i o nr a d i a lb a s i sf u n c t i o n ( s o r b f ) i sp r o p o s e d t h en e wm e t h o d e n h a n c e st h ea b i l i t yo ff l e x i b i l i t yt ov a r i o u sp r o b l e m s c o n v e r g e n c eo nt h ee r r o r f u n c t i o ni sp r e s e n t e da st h en e c e s s a r yc o n d i t i o no ft h eg e n e r a l i z a t i o na b i l i t yo fs o r b f t h er e s u l t so ft e s tf u n c t i o n ss h o wt h ev a l i d i t yo fs o r b fa n dr a t i o n a l i t yo ft h ec r i t e r i o n i nt h ef o u r t ha s p e c t ，t h es t r u c t u r eo fr b fi sa n a l y z e da n dt h ei n f l u e n c eo ft h e d i s t a n c eb e t w e e nd e s i g np o i n ta n ds a m p l ep o i n t sa r ed i s c u s s e d a f t e r w a r d s ，i n f l u e n c e d o m a i nr a d i a lb a s i sf u n c t i o n ( i d r b f ) i sp r o p o s e du n d e rt h ep r i n c i p l eo fs t r u c t u r e m i n i m i z a t i o n t h et e s t i n gr e s u l t ss h o w st h ei d r b fh a v ee f f i c i e n t l yr e d u c e dt h er b f s t r u c t u r e ，a n dp r o v i d eaq u a n t i f i a b l ec r i t i c a lo fa p p r o x i m a t i o nr e l i a b i l i t y f i n a l l y ，s o r b fa n di d r b fa r eu s e dt ob u i l dr s mo ft h ep l a n em o d e la n dt h e s t r u c t u r ed i s c i p l i n a r yi nt h ew i n g ，w h e r et h ea l g o r i t h m sa r ev a l i d a t e df u r t h e r t l l e c o m b i n e do p t i m i z a t i o ni sp r e s e n t e dw h e r et h es u r r o g a t em o d e la sac o n n e c t i o no fl o c a l a n dg l o b a lo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m 耶1 er e s u l t ss h o wi t sa b i l i t yt oo b t a i nt h eg l o b a l o p t i m u ms o l u t i o na n di m p r o v et h ee f f i c i e n c yo fo p t i m i z a t i o n t os u mu p ，t h ep r o c e s so fa p p r o x i m a t i o ni sr e s e a r c h e d ，t w on e wm e t h o d sa r e p r e s e n t e da n da p p l i e dt ob u i l da p p r o x i m a t i o nm o d e lf o rs y s t e mo p t i m i z a t i o np r o b l e m s o fp l a n ea n dc o u p l e db o d y w i n g a l lo ft h e s ea r eb e n e f i c i a lt r i e st oe x p l o r et h e a p p l i c a t i o no fd i f f e r e n tc o m p l e xs y s t e ma n dg o o df o u n d a t i o nf o rf u r t h e r r e s e a r c h k e yw o r d s ：m u l t i d i s c i p l i n a r yd e s i g no p t i m i z a t i o n ，a p p r o x i m a t i o n ，r a d i a l b a s i sf u n c t i o n ，c o m b i n e do p t i m i z a t i o n ，r e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y 第i i 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 表目录 表2 1 多项式回归函数模型11 表2 2 常用的基函数形式1 3 表2 3 测试函数1 6 表2 4 测试函数l 误差比较l7 表2 5 测试函数2 误差比较18 表2 6 测试函数3 误差比较1 9 表2 7 测试函数3 误差比较2 0 表3 1 减速器设计变量说明3l 表3 2 测试函数r m s e 比较3 2 表4 1 测试函数1cg = 0 2 3 9 1 4 4 表4 2 测试函数2cg = 0 0 0 1 4 4 表4 3 测试函数3cg - - 0 0 0 0 8 4 4 表5 1 飞机设计参数5 2 表5 2 形近似误差比较5 4 表5 3 丁近似误差比较5 5 表5 4 形s 近似误差比较5 5 表5 5c a m e l b a c k 优化误差。6 8 表5 6 约束优化问题各优化方法比较6 9 表5 7 机翼材料属性5 9 表5 9 机翼模型的参数6 0 表6 1c a m e l b a c k 优化误差6 8 表6 2 约束优化问题各优化方法比较6 9 表6 3 优化方法比较7 2 表6 4 高精度模型运行次数比较7 3 第1 v 页 国防科学技术大学研究生院硕七学位论文 图目录 图1 1 论文组织结构6 图2 1 插值的问题8 图2 2 结构风险最小化原则8 图2 3l s 和s v m ：测试函数1 。1 7 图2 4r b f 和k r i g i n g ：测试函数1 17 图2 5l s 和s v m ：测试函数2 1 8 图2 6r b f 和k r i g i n g ：测试函数2 1 8 图2 7l s 和s v m - 测试函数3 1 9 图2 8r b f 和k r i g i n g ：测试函数3 1 9 图2 9l s 和s v m ：测试函数4 2 0 图2 1 0r b f 和k r i g i n g ：测试函数4 2 0 图3 1 基函数形状2 3 图3 2c 对m q r b f 的影响2 3 图3 3cg a u s s r b f 的影响2 4 图3 4c 的变化对插值的影响2 4 图3 5 范数对g a u s s r b f 的影响2 5 图3 6 范数对g a u s s r b f 的影响( 局部) 2 5 图3 7 范数对m q r b f 的影响2 6 图3 8 范数对m q r b f 的影响( 局部) 2 6 图3 9 幂次数口对m q r b f 的影响2 6 图3 1 0 幂次数口对m q r b f 的影响( 局部) 2 7 图3 1 1s o i 沿f 流程图3 0 图3 1 2 减速器算例说明一3 1 图3 1 3 测试函数1 比较3 2 图 图 图 3 3 3 测试函数的误差收敛一3 4 测试函数5 的误差优化过程。3 5 测试函数6 的误差优化过程3 5 图3 1 7g a u s s s o r b f 对测试函数5 的近似3 6 图3 18g a u s s s o r b f 对测试函数6 的近似3 6 图3 1 9m q - s o r b f 误差优化过程3 6 图3 2 0 测试函数5 近似比较3 7 第v 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 图3 2 1 测试函数6 近似比较3 7 图4 1r b f 结构3 9 图4 2 马氏距离对r m s e 的影响4 l 图4 3 欧式距离对r m s e 的影响4 1 图4 4 阈值和影响域4 2 图4 5i d i 也f 流程图4 3 图5 1 飞机总体设计学科耦合关系图5 2 图5 2 优化过程中的响应面5 3 图5 3 形近似误差收敛5 4 图5 4t w 近似误差收敛5 4 图5 5w s 近似误差收敛5 5 图5 6 联合优化算法流程6 7 图5 7c a m e l b a c k 优化收敛过程一6 8 图5 8 近似模型误差收敛与采样点分布6 8 图5 9 约束问题优化收敛过程“6 9 图5 1 0 并行子空间优化过程。5 6 图5 1 l 机翼简化模型5 6 图5 1 2 机翼剖面形状5 7 图5 1 3 机翼表面分割5 8 图5 1 4 机翼网格划分5 9 图6 1 联合优化算法流程6 7 图6 2c a m e l b a c k 优化收敛过程一6 8 图6 3 近似模型误差收敛与采样点分布6 8 图6 4 约束问题优化收敛过程6 9 图6 5 质量序贯近似建模7 0 图6 6 角度序贯近似建模7 0 图6 7 蒙皮最大应力序贯近似建模7 1 图6 8m i g ai s i g h t 计算过程7 l 图6 9s l pi s i g h t 计算过程7 2 图6 1 0 联合优化的i s i g h t 计算过程7 2 第v i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一n z _ 作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：互逝 日期：掣年，月彳日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留，使用学位论文的规定本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：薹勉月兰 作者指导教师签名：岍 日期：叩年月彩日 日期：卿7 年11 月站日 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 第一章绪论 1 1 多学科设计优化研究进展 多学科设计优化( m u l t i d i s c i p l i n a r yd e s i g no p t i m i z a t i o n ，m d o ) 方法自上世纪 七十年代提出以来，在结构设计、航空航天、汽车工业等领域得到了广泛的应用， 特别是9 0 年代到上世纪末，形成了m d o 研究的热潮【l 】。在这一阶段，m d o 特别 强调总体设计和概念设计，重视大系统分解和优化设计过程组织，着重强调系统 和学科之间的耦合关系处理。m d o 的主要研究内容和理论基础也在这个时期正式 确定【2 l 。美国n a s a 和众多大学研究机构对推动m d o 的发展起到了关键的作用， 除此以外，美国工业界的应用和支持也推动了m d o 的快速发展，包括波音公司、 洛克希德马丁公司、t r w 公司等众多重量级企业的具体应用，使m d o 研究人 员找到了比较好的应用平台。 但正是由于这种工业先导的特点，m d o 的研究同样面临一些问题，特别是由 于模型复杂度日益提高，对单独的研究单位来讲，很难协调方法研究与模型研究， 导致m d o 的应用水平难以保证，进而限制了m d o 本身的发展。 正是m d o 的研究所遇到的问题，使得m d o 的应用对象从概念设计、初始设 计转到部件级的详细设计阶段上来。部件级m d o 可以定义为：针对有学科耦合关 系的零部件，采用多学科设计优化的理论、方法，对这种耦合关系进行处理，并 设计其参数，优化其性能的一种多学科优化设计。相对于传统的m d o ，部件级 m d o 最主要的改变就是应用对象，即模型。部件级m d o 不关注整个系统的模型 构建，而专注于解决零部件的设计和优化问题。这种零部件的模型可以精确到工 业应用水平而不致过度复杂，单独的研究机构可以建立并作为应用对象。需要指 出的是，部件的定义是相对于系统级而言，部件级的模型也不是无限精细的。例 如，对于一个飞机来说，机翼可以成为它的部件，但是，机翼这个部件的建模可 能就无法包含一个接头的详细设计，这个接头相对于机翼来说也可以称为部件。 部件级m d o 的关键还是要看对耦合关系的处理。 其实，m d o 诞生于结构的设计优化，是从部件级的水平发展起来的。随着 m d o 在大型项目上的成功应用和m d o 技术委员会关于m d o 的应用定位，更多 的研究机构寻求概念设计和初始设计的成功应用，虽然不乏较为成功的经验，但 是限于上述的困难，这方面m d o 的研究进展非常缓慢。而部件级m d o 在近年来 得到了长足的发展。 第1 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 以m d o 的两个重要的国际会议，即2 0 0 9 年结构和多学科设计优化( w c s m 0 ) 和2 0 0 6 年a i a a i s s m o 多学科分析和优化会议为例，统计相关的研究文献。在多 学科优化设计的应用中，部件级m d o 的应用对象分别占到了应用的4 0 和6 0 。 对于工业应用，部件级m d o 能够解决性能优化的多学科之间的矛盾，达到协同设 计的目的，更能直接的体现出m d o 的价值。 部件级m d o 建立在m d o 的大框架之内，同样以优化对象的性能为目标。文 献【3 j 考虑气动和结构学科，在满足约束的条件下对机翼的结构尺寸、升阻比等性能 做优化设计，文献 4 1 针对无人机变体翼的设计，考虑空气动力外形优化和结构变体 模型，获得不同飞行速度下最小阻力外形。文献1 5 】以最大化升阻比系数为目标，考 虑形状参数和流体力学参数对涡轮机的影响，对涡轮机进行优化设计。 对性能的优化往往有一个基线设计方案，并在此基础上进行改进、优化。部 件级m d o 的应用另外一种形式是考虑多学科约束，使设计点位于可行域内，而不 是只满足单学科的要求，或者过分依赖经验的作用。文献【6 】在对热防护系统的设计 中指出，结构的厚度和热导性是一对矛盾，传统的设计方法是根据设计经验来确 定一个安全系数。而多学科设计方法同时考虑结构分析和热分析，对安全系数进 行修正，从而保证满足多学科的约束条件。文献【7 l 对三水平轴流式压缩机的设计同 样考虑了气动和结构的约束条件。文献【8 1 对多层墙壁的设计中将材料的热性能影响 考虑在内，分析墙壁受到载荷冲击时的响应情况。部件级m d o 的发展和成功应用 推动了高校或单一的科研机构对于m d o 理论的研究，对于m d o 在航空航天领域 以及其它工业应用中是一个新的机遇。 1 2 多学科设计优化中的近似方法 1 - 2 - 1 近似方法所要解决的主要问题 多学科优化设计立足于解决学科之间的耦合问题，并对优化进行组织，满足 多学科的约束，其本身优化的计算量是非常大的，而且随着模型复杂程度的提高， 直接将高精度模型代入优化过程中，计算量更是呈指数级增长，这就是多学科设 计优化的计算复杂性问题。 解决这个问题的方法之一就是减少高精度模型的运行次数，而通过构造高精 度模型的一个响应面，使用响应面代入优化过程中进行优化，得出初始方案，然 后再进行验证。响应面构造的过程就是一个对高精度模型的近似，所以，近似所 要解决的一个主要问题在于模型复杂性和计算成本。 另外，使用并行处理技术可以大幅度的减少计算时间，特别是分学科自治， 第2 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 能够在临时解祸的基础上进行优化，而近似是实现学科自治的手段。m d o 希望既 保留学科的充分自治，又能够通过对学科耦合关系的处理提高设计质量。而学科 的耦合使某一学科的设计必学考虑其它学科的输出，这时，通过对另外学科输入 输出关系的近似，可以满足这一学科自治的要求。 通过对高精度模型的近似，以及学科自治带来的并行处理，近似最终为解决 多学科设计优化的计算复杂性提供了一个有效的手段，所以成为m d o 研究的关键 技术之一。 1 2 - 2 近似策略 对于复杂的模型，近似有两种策略，一个是从模型的角度出发，对模型进行 简化，用灵敏度分析等方法减少设计变量。由于模型近似直接和模型的建立相关， 所以在m d o 的基础理论研究中所见不多。m d o 在应用中往往采取另外一种策略， 即函数近似。函数近似使用一个函数来代替物理模型的计算，所以有时也称为代 理模型( s u r r o g a t em o d e l ) ，函数近似又可以分为局部近似、中范围近似和全局近 似【9 1 1 1 。 局部近似策略在设计点的邻域内构造近似函数。局部近似是基于设计空间内 某一设计点的函数值及灵敏度信息，在该设计点处进行级数展开，近似函数只在 该设计点的邻域内有效，又称单点近似策略。局部近似策略是优化中最常使用的 近似策略。常见的局部近似策略有泰勒一阶展开近似法、倒变量近似法、保守近 似、混合变量法等等。 中范围近似策略在由各设计变量移动限制所定义的设计空间区域内构造函 数，又称多点近似策略。中范围近似策略的有效区域比局部近似所模拟的有效区 域大，比全局近似要小。中范围近似策略的基本思想是利用先前和新近生成的设 计点信息来加强稍后的近似，利用可接受的计算代价获取满足精度要求的近似结 果。在飞行器m d o 问题中，中范围近似策略多用于结构学科的优化。 全局近似策略在由各设计变量边界条件和系统约束条件所定义的整个设计空 间区域内构造函数i l 列，应用最广的全局近似策略是响应面法( r e s p o n s es u r f a c e m e t h o d o l o g y ，r s m ) 【l 引。由于覆盖了整个设计空间，因此在三种近似策略中近似 精度最高l l4 。本文就是以全局近似策略作为研究对象的，如无特别说明，在本文 中的近似均指函数全局近似。 1 2 3 近似方法研究进展 第3 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 ( 1 ) 近似函数的研究 近年来的文献主要集中在对已有方法的应用上的改进以及比较研究。g a n o y 5 】 比较了两种近似方法：二次多项式和k _ r i g i n g ，在近似精度、计算效率和鲁棒性方 面与商业软件d a t a s c a p e 进行比较，并使用测试函数和地球火星转移轨道优化的 问题和近地轨道三卫星群设计问题进行验证。c h r i s t i a nj n o o n l y 6 】比较了现有的近 似模型方法，并根据试验的结果，指出m l s 线性近似效果好，k r i g i n g 对于非线性 问题的近似能力强，而r b f 适用于设计空间较高时的局部近似。在已有方法的改 进方面，t u s h a rg o e l l 1 7 】提出权重代理模型的概念，组合不同的模型，使方法更具 有鲁棒性，并应用于涡轮发动机的设计。d e b a s i ss a h o o 使用基于遗传算法的小波 神经网络，并改进了基函数的形式，提高非线性空间和高维空间的预测能力。y i n g x i o n g f l 8 】提出固定方差结果不适应响应值变化较大的情况，发展了非固定方差 k d g i n g 方法。 ( 2 ) 近似模型管理技术 近似模型在m d o 中不可能完全代替高精度模型，很多文献对低精度和高精度 模型的结合提出了有效的方法，t d r 0 b i l l s o i l k 【1 9 】对变复杂度模型的管理技术进行 了总结，并指出当两种模型的设计变量处在不同的设计空间时，需要进行空间映 射，j u m a k a n t 2 0 】提出在设计者关心的区域使用高精度模型，并在低精度模型和高 精度模型间寻找一种函数形式，最后用高超声速飞行器的设计进行了验证。这种 变复杂度模型的方法在m d o 的应用中非常普遍。 ( 3 ) 试验设计 近似模型的精度很大程度上取决于数据点的取样，在取样方式上又分为序贯 建模和非序贯建模。前者主要思想是分层、逐步的增加采样点，使近似模型达到 精度要求；而后者是通过一次采样来构建近似模型。序贯的方法可以针对近似模 型误差大的区域进行重点采样，所以得到了更广泛的关注。文献【2 l 】总结了目前广 泛使用的试验设计方法，并根据均匀性的原则，提出基于拉丁超立方分组试验设 计，取得了较好的效果，t a eh e el e e 2 2 】提出极大熵方法选取k r i g i n g 函数的初始样 本点，基于这种方法，江振宇【2 3 】提出极大熵序贯试验设计方法，通过调整高斯先 验过程协方差函数，在预测模型误差较大区域序贯的增加新试验点。g e n z il i 2 4 1 同样基于极大熵方法，在非平滑的区域采集更多的点，来避免不必要的聚类。f a b i a n f u e r l e t 2 5 】在对约束问题的采样中指出，位于不可行域内的设计点直接被忽略，会造 成设计不合理，并提出一种优化“能 的方式进行拉丁方设计。 ( 4 ) 变量、数据预处理技术 高精度模型考虑的变量很多，产生数据点之后，近似模型面对的依然是一个 第4 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 高维近似问题，模型的近似需要大量的采样点爿能达到一定的精度。所以，对于 模型降维和数据的预处理近年来得到了重视。m a k o t oy a m a k a w a 2 6 】分别使用非线 性瞬态分析和线性分析作为高精度和低精度模型，在对地震波的预测中使用这种 多层混合模型技术来简化。c h r i s t i a ng o g u 27 】使用无量纲分析方法，使设计变量的 维数减小，从而构造响应面时使用最小二乘即可达到相应的精度要求。b r u n os o u l i e 利用l a t i n 方法，通过缩小变量的取值范围，缩小设计空间。r a j a nf i l o m e n o c o e l h 0 1 2 8 】运用p o d 技术对变量进行分解，减少了变量维数，提高近似精度和优化 效率。a s h av i s w a n a t h l 2 9 】提出g t m 方法，在保证数据信息不丢失的条件下，使用 空间映射方法来实现减少变量维数。 ( 5 ) 近似模型评价方法 近似模型建立以后，需要对模型进行验证，目前提出的模型检验方法主要有 均方根误差、相对误差、相关系数、尺2 检验等方法，这些方法都是基于误差最小 这个原则进行评价的，文酬1 5 】提出可以从五个方面来衡量一种近似方法的效果： a 精确性一预测函数值，减小误差的能力； b 稳定性一不同类型和规模问题的近似能力； c 效率一构建近似模型的时间； d 透明度一提供设计变量对系统影响的信息及变量之间交互信息的能力； e 复杂性一实现和使用的难度。 1 3 论文的主要研究内容 本文主要的目的是建立效率较高的近似方法，并利用近似的手段，解决多学 科设计优化的计算复杂性问题。 论文共分为六章。第一章介绍了本文研究的背景和意义，第二章分析了近似 方法的基本理论和评价方法，第三章提出了参数优化径向基插值方法，第四章提 出了影响域径向基插值方法，第五章对近似方法在构造响应面的应用方面做了一 些探讨，第六章提出基于近似模型的联合优化方法并讨论了方法的应用。论文的 主要内容如下： 第一章，绪论。总结了m d o 发展的特点和面临的主要问题，对部件级m d o 的概念和发展做了分析；分析了m d o 中近似理论所要解决的主要问题和策略，并 综述了近年来近似方法的研究进展。 第二章，近似方法的基本理论。总结了近似的原则和评价方法；使用测试函 数对典型的四种方法进行了分析，归纳了各自的特点和适用性。这一章是论文的 第5 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 理论基础。 第三章，参数优化径向基插值，通过分析插值的主要问题、参数的影响，提 出了形状参数优化径向基插值的近似方法，建立了近似流程，并对算法进行了测 试；提出推广能力的判据，来判断方法失效的情况，最后通过测试函数的分析对 判据进行了验证。 第四章，影响域径向基插值。这一章是对结构风险最小化的一种探讨，讨论 了径向基的结构组成及对结构的影响，分析了预测距离对插值精度的影响，最后 总结了影响域径向基插值的流程，并用测试函数对算法进行了验证。 第五章，参数优化径向基插值构造响应面。这一章是对文中算法的应用，一 个应用实例是构造飞机总体设计模型的系统目标和约束条件的响应面；另一个是 构造气动结构机翼耦合模型响应面，这两个实例进一步验证了算法的有效性。 第六章，基于近似模型的联合优化方法与应用。本文基于近似模型，提出了 结合局部优化方法和全局优化方法的联合优化，通过这种结合，保证寻优能力的 同时，提高了算法的收敛速度，并研究了算法在机翼结构优化中的应用。 论文的组织结构： 理论研究应用研究 第五章 第六章 a 结束语 第一章八 第二章 八 参数优化径向基插值 飞机多学科 绪论 近似方法 响应面基于近似模犁的 叫 基本理论 叫叫 机翼耦合模联台方法与应用 型响应面 影响域径向基插德i 图1 1 论文组织结构 e q u a t i o nc h a p t e r ( n e x t ) s e c t i o n1e q u a t i o nc h a p t e r ( n e x t ) s e c t i o n1 第6 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 第二章近似方法的基本理论 本章是论文研究的理论基础。在本章中，首先讨论了近似的原则。在近似理 论中的一个困难就是真实风险是难以得到显示表达的，只能通过经验风险来逼近， 这样就不能保证近似模型的推广能力。但是，近似的评价依然以经验最小化作为 原则。其次，本章对近似评价方法和近似方法进行了总结，并通过测试函数对这 些方法进行验证，讨论了不同近似方法的特点，为下一步的分析奠定了基础。 2 1 1 经验风险最小化 2 1 近似的原则和评价 近似的主要手段是对采样空间进行一定数量的采样，运行高精度模型，得到 函数值，然后再用一个函数去描述这种规律，把这个函数作为高精度模型的一个 近似。在应用中，往往是假设一类带参数的函数，通过对采样点的学习，这个函 数能够近似的表达采样点所能代表的规律，并具有一定的预测函数值的能力。 符合这样的条件的函数构成一组函数 f ( x ，w ) ，称为预测函数集，w 称为函 数的广义参数。定义损失函数：l ( y ，f ( x ，w ) ) ，它是由于用f ( x ，w ) 对y 进行预测而 造成的损失。假定存在一个固定未知联合概率p ( x ，y ) ，n 个独立同分布的观测样本 ( 五，m ) ，( x 2 ，奶) ，( 矗，咒) ) ，定义预测期望风险： r ( w ) = i l ( y ，f ( x ，w ) ) a p ( x ，y ) ( 2 1 ) 期望风险最小化必须知道先验概率密度，而p ( x ，y ) 是未知的，只能依靠样本 点的信息。所以，根据大数定理的思想，定义经验风险 3 0 1 ： 10 乙 r 。唧( w ) = 三三( 咒，厂( 五，w ) ) ( 2 2 ) t g i = i 最小化上式被称为经验风险最小化原则。从经验风险到期望风险并没有可靠 的理论依据，也就是说，使经验风险最小化的参数w 并不一定能够使期望风险最 小，两者只存在概率上的一致性。不过，尽管有这些问题，经验风险最小化依然 是解决近似问题的一个基本原则。 2 1 2 结构风险最小化 对于期望风险和经验风险的关系，相关定理表明【3 0 1 ，有： 第7 页 国防科学技术大学研究生院硕士学位论文 r ( w ) 如。( w ) + ( 2 3 ) 式中称为置信范围，也称为v c 信度( v cc o n f i d e n c e ) 。期望风险受这两部 分决定，但是也。和矽是矛盾的，单纯追求某一方面都会导致期望风险增大。例如， 在插值问题中，选用的参数不合理，将导致在插值点上经过采样点，而在其它区 域严重失真的情况。如图2 1 所示，使用径向基函数插值，在靠近1 的两侧，近 似函数偏离原函数，误差增大。 图2 1 插值的问题 解决这一问题的策略是，首先把函数集s = f ( x ，w ) ) 分解为一个函数子集序 列： sc 岛c 岛c s ( 2 4 ) 并使各个子集按照矽的顺序排列，这样，在每一个子集中，置信范围相同，在 每一个子集中寻找最小经验风险的函数。寻求置信风险和经验风险之和最小化的 函数作为最优函数，这种原则称为结构风险最小化。 最优函数点 图2 2 结构风险最小化原则 第8 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 2 1 3 近似能力的评价方法 对近似能力的评价，主要是评价所建立的近似模型的推广能力。推广能力， 也称为泛化能力或预测能力，是指经样本集训练之后的模型对未在训练集中出现 ( 但具有同一规律性) 的点作出正确反应的能力【3 ，对于函数近似来说，就是正 确预测函数值的能力。 根据2 1 1 和2 1 2 的讨论，评价近似函数的方法应根据其原则来确定。大多 数的近似方法充分利用样本点实现经验风险最小化，而置信范围需要先确定近似 函数形式，所以本文建议重新采样验证近似模型。对近似模型的评价主要有以下 几种形式： ( 1 ) 均方根误差和最大误差 平方根误差r m s e ( r o o tm e a ns q u a r ee r r o r ) 是检验模型预估比较通用的一种 方法，表示为： ( 2 5 ) 其中，n 是验证点的个数， ，y ( ) ) 是验证点集，s ( 薯) 是近似模型给出的预 测值。 与r m s e 相似，最大误差法( m a x i m u me r r o r ) 关注在测试点处函数真实值和 估计值的差的绝对量。 m e = l y , - - s s i ( 2 6 ) ( 2 ) 相关系数 文献【1 7 1 给出了相关系数的计算方法，比较好的模型预测值应该和真实值有较 高的相关系数，最大值为1 。相关系数的计算： 肜( y 一粥- s - ) a v 尺( y ，y ) = ，_ 而万一 ( 2 7 )