（计算机应用技术专业论文）softregulated形态学及其在图像处理中的应用.pdf

中文摘要 摘要 本文在分析了经典数学形态学的基本原理及其性质的基础上引入了s o f t 形态学和 r e g u l a t e d 形态学算子，并详细探讨了它们的基本性质及其与经典形态学算子之间的关 系，然后分别对s o r 形态学与r e g i l i a t e d 形态学运算在图像滤波、边缘检测以及骨架提取 等图像处理领域方面的应用作了探讨，并将其与传统的方法进行了比较。从仿真结果可 以明显看出，这两种形态学方法具有更好的抗噪声干扰能力，其性能明显优于经典形态 学。晟后对基于神经网络与粗集理论两种软计算方法的r e 肼l a t e d 形态学进行了初步研 究。具体的工作包括： 1 ) 根据软形态学单调性、扩展性、和反扩展性，构造了一种s m 滤波器。实验结果 表明，与其他滤波器( 如均值滤波器等) 相比，s m 滤波器在滤除椒盐噪声、保持图像原有结 构方面效果更好。 2 ) 构造了一种新型s o n 形态边缘检测算法，对一幅加有椒盐噪声的灰度图像的仿 真试验结果表明，该方法比传统的基于模板的图像边缘检测算法和标准形态学边缘检测 算法具有更好的图像边缘提取效果。 3 ) 结合结构元素和约束参数的选择，对r e g u l a t e d 形态学基本算子进行了一定的分 析，得到了几个等价定义和一个颇有意义的结论。比较了调节形态学与普通形态学对噪 声图像处理的结果和性能。实验结果表明，这种新形态学算子比经典形态学算子具有更 好的噪声抑制能力。 4 ) 在经典形态学骨架提取算法的基础上，提出了一种改进的二值图像的r e g u l a t e d 形态学骨架提取算法，这种方法得到的骨架连通性更好，且容易实现并行处理。给出了 这种算法在离散空间中抽取二值图像骨架的算法。 5 ) 针对二值图像，建立了基于感知器模型的二值图像r e g u i a t e d 形态运算模型，推 广了经典的形态学膨胀与腐蚀运算，并将其应用于二值图像的滤波和边缘提取。 6 ) 研究了一类r e j z u l a t e d 形态学与模糊集、粗集理论相结合的图像滤波算法，它是 经典数学形态学方法的拓广和改进，因此有着广泛的应用前景。 关键词：数学形态学；s o r 形态学；r e g u l a t e d 形态学；滤波；边缘检测；骨架提取；神 经网络；模糊集；粗糙集 江南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep 血c i p l e sa 1 1 dp r o p e r t i e so fm a m e m a t i c a lm o i p h o l o g ya r er e v i e w e d a c c o r d i n gt o t 1 1 i s ，t 、v oe x t e n d e dm o r p h o i o g i c a l0 p e r a t o r s s o f tm o 呻o l o g i c a lo p e m t i o n s & r e g u l a t e d m o 讪o l o g i c a lo p e r a t i o n sa r ei n 虹o d u c e d b a s e do n 也ei n v e s t i g a t i o no f 也e i rp r o p e n i e sa i l d 也e l i n k sb e t w e e nt 1 1 ee x t e n d e d o p e r a t o r s 谢t 1 1c l a s s i c a lm o i p h o l o g i c a lo p e m t o r s ，s o m e 印p l i c a t i o n s f o r i m a g ep m c e s s i n g s u c h a st 1 1 e m o r p h o l o g i c a lf i l t e r s ，e d g e d e t e c t i o n ，s k e l e t o i l i z a t i o n a r c p r e s e m e d s i m u l a t i o ne x a m p l e s s h o wt 1 1 a tt l l ee x t e n d e d m o r p h 0 1 0 舀c a lo p e r a t o r sp o s s e s s e s9 0 0 dp r o p e r t i e ss u c ha sr o b u s tt on o i s e ，n e x i b l e ，e a s yf o r p 眦l l e lp r o c e s s i l l gc o m p a r e d 、i t l lt l 】e 仃a d i t i o n a lm o r p h o l o 百c a lo p e r a t o r s f i n a l l y ，f o r 山e s a k eo fg e t t i n gb e t t e rp m c e s s i n ge 往b c t ，w er e g u l a t e dm o r p h o i o g i c a lo p e r a t o r sw i ms o m es o f t c o m p u t m gm e t l l o d ss u c ha sa r t i f i c i a ln e m r k ，f 血z ys e tt l l e o r ya n dr o u g h s e tm e o r ya t t e m p tt o c o m b i n ea i l do b t a i l lan o v e lm o 叩h 0 1 0 9 i c a lf i l t e r i n ga l g o r i m m t h ew o r ki n c l u d e s 恤ef o l l o 谢n gs u b j e c t s ： 1 ) ai m p r o v e df i l t e rb a s e do ns o f tm a t l l e m a t i c a lm o i p h 0 1 0 9 yi sp r e s e n t e d t l l i sn e w f i l t e r i sc o n s m j c t e dt or e r r l o v es a l t & p e p p e rn o i s e ，b a s e do nm em o n o t o l l i c i t y ，e x t e n s i b i l i t ya n d a n t i e x t e n s i o n a l i t yo fs o f tm a t h e m a t i c a lm o l p h 0 1 0 9 y 2 ) ai m p r o v e de d g e d e t e “o na l g o f i t h li sc o n s 缸1 烈e d ，b a s e do n l em o n o t o n i c i t y ， e x t e n s i b i l i t ya n da n t i e x t e n s i o n a l i t yo ft l l es o f 【m o r p h o i o g y w i t l lo l l re x p e r i m e n t so nt 1 1 e i m a g e b l u r r e d 谢血s a l t & p e p p e r n o l s e s ，m ea l g o 血h mo b t a i n e d b e t t e r r e 刚t s m a i l t r a d i t i o n a l a l g o r i t l l m s 3 ) s o m ei 1 1 i t i a la i l a l y s i sf o rr e g u l a t e dm o r p h 0 1 0 9 i c a lo p e r a t i o n sb yc h o o s i n gr e l e v a l l t p a m m e t e r sa r eg i v e n s e v e r a ie q u i v a l e n td e f i i l i t i o n so fr e g u l a t e dd i l a t i o na n dam e a j l i n g f u l c o n c l u s i o nh a v eb e e ng i v e n o l l re x p e r i m e m 越r e s i l l t sd e m o n s 仃a t et t l a ti ti sp o s s i b l et o i m p f o v et h er e s u l t si 工1d e n o i s i n gb yi l s i n gt h er e g u l a t c dm o r p h o l o g i c a lo p e r a t i o n sm g 峙a do f t l l eo r d i n a r yo p e r a t i o n s 4 ) ai m p r o v e da l g o r i t i nw h i c hs k e l e t o no fb i n a r yi m a g ei s e x t r a c t e du s i n gt l l e r e g u l a t e dm a m e m a t i c a lm o 叩h 0 1 0 9 ym e t l l o di sp r e s e n t e d 5 ) ar e g u l a t e dm o r p h o l o g i c a lo p e m t i o n a lm o d e lb a s e d o np e r c 印廿o nf o rb i n a r yi m a g ei s e s t a b l i s h e d a n da p p l i e dt od e n o i s ea n dd e t e c te d g e 6 ) t h er e g u l a t e dm o r p h o l o g i c a lo p e r a t i o n sb a s e do n 矗l z z ys e ta n dr o u g hs e ta r ei n i t i a l l y d i s c l l s s e d k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ；s o rm o i p h 0 1 0 9 y ；r e g u l a t e dm o r p h o l o g y ；f i l t e r ；e d g e d e t e c t i o n ；s k e l e t o n i z a t i o n ；n 唧a ln 哪o r k ；f i l z z ) s 吒r o u 曲s e t i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得江南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：之丝查至日期：以年，月，珀 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规 定：江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：邋，导师签名： 日期2 ，一 第一章绪论 第一章绪论 数学形态学是一门建立在集合论基础上的学科，为数字图像处理和分析提供了一种 有效的工具【1 。j ，已在计算机视觉、信号处理、图像分析、模式识别等领域得到了广泛 的应用，并且覆盖了图像处理的几乎所有内容，包括非线性滤波【6 刮，文本分析【9 】，生物 材料分析，边缘检测】，特征提取 1 2 】，图像压缩，图像分割，模式识别陋17 1 ， 人脸识别i l8 j 等。以数学形态学为基础发展起来的图像代数【l9 1 ，是一种高度结构化的数学 环境，为各种图像处理算法提供了统一的代数描述语言。可见，数学形态学在图像处理 领域中起着重要的基础性作用。 1 1 数学形态学研究现状和新问题的提出 数学形态学起源于岩相学中对岩石结构的定量描述，其历史可回溯到1 9 世纪的 e u l e r ，s t e i n e r ，c r o r o n 和9 0 年代的m i n k o w s k i 2 0 1 ，m a m e m n 【2 l 】和s e r r a 【2 ，捌。1 9 6 4 年法 国的m a t h e r n 和s e r r a 在积分几何的基础上将数学形态学引入图象处理领域，并研制了 基于数学形态学的图象处理系统在算子方面，可以说数学形态学工具箱的核心是在这 一阶段发现的。在迭代运算的基础上，提出了二值细化，s k i z ，极限腐蚀，条件对角切 分及其测地框架体系。与此同时，最初面向集合的方法被拓展到数值函数分析领域，产 生了形态学梯度，t o p h a t 变换，流域变换等灰值形态学理论及其方法。二十世纪7 0 年代初，采用数学形态学的学者们开拓了图像分析的一个新领域。二十世纪8 0 年代发 生的石油危机，迫使工业界采用新技术提高产品质量，降低生产成本，这促进了自动视 觉检测技术的发展。数学形态学方法为解决此类问题提供了有效手段。经过十多年的理 论与实践探索，g m a t h e r n 和j s e r r a 等人在研究中认识到，对图像先作开运算再作闭 运算，可以产生一种幂等运算；采用递增尺寸的交变开闭序列作用于图像，可有效地消 除图像的噪声，1 9 8 2 年他们正式提出了形态学滤波器的概念。1 9 8 2 年出版的专著i m a g e a n a l y s i sa n dm a t h e m a t i c a lm o r p h 0 1 0 9 y 是数学形态学发展的重要里程碑。它的问世 使数学形态学为国际学术界所知，在图像处理、模式识别和计算机视觉等领域引起了广 泛的重视。这些应用反过来又促进它的进一步发展。最初，由m a h e r o n 和s e r r a 提出的 数学形态学研究以二值图像为对象，称为二值形态学；此后，s e r r a 和s t e r n b e r g 等借 助于本影理论，把二值形态算子推广到灰度图像，因而使灰度形态学的理论和应用研究 也得到很大的发展，s t e r n b e r g l 2 副对标准形态学( 二值形态学和灰度形态学) 的算法及 应用进行了综合的阐述，d r o o g e n b r o e c k 【2 4 j 也对灰度形态学的算法及应用进行了较全面 的介绍。 经过2 0 多年的发展，数学形态学无论在理论方面还是在应用方面( 尤其是在视觉 检测方面) 都取得了举世瞩目的成就。然而，作为人工视觉的一种方法，数学形态学在 把握自然景物的含义，以及人类思维的符号描述方面尚显得不够有力，有待于进一步发 婆堕查兰堡主兰垡笙壅 展。数学形态学基于探测的基本思想，以及作为基本运算的上下确界( 或极大极小) 关 系表示，确实反映了自然界中一类相当普遍的现象。可以确信，数学形态学这门新兴学 科尚有相当广阔的空间有待进一步开拓。目前国内许多有效的图像处理系统有的是基于 数学形态学方法原理设计的，有的是把数学形态学算法纳入其基本软件，并以其运算速 度作为系统性能的重要标志之一。但在总体水平和应用普及性方面，还有许多工作需要 进一步去做。 进入2 0 世纪9 0 年代以来，标准数学形态学及其与某些软计算方法、小波分析、分 形理论结合的方法已被我国学者广泛应用于图像处理、模式识别和计算机视觉等领域。 近年来，尤其在图像噪声的抑制、边缘检测、图像分割等方面引起广泛的重视f 2 5 - 3 6 1 。 进一步提高数学形态学图像处理的鲁棒性和抗干扰能力是其研究的重要方面，将数学形 态学基本算子进行改进拓广及将其与人工智能领域中一些软计算方法的结合是一个重 要的研究思路。1 9 9 1 年，k o s k i n e n 等人【3 7 】在经典形态变换基础上提出了s o f t 形态变 换，s o f t 形态学方法用排序加权统计方法代替最小、最大法。权值与结构元素有关，结 构元素由核心和软边界两大部分组成。软数学形态学具有传统数学形态学相似的代数特 性，但具有更强的抗噪声干扰能力，对加性噪声及微小形态变化不敏感。1 9 9 2 年，s i n h a 和d o u g h e r t y 将模糊数学引入数学形态学领域，形成了模糊数学形态学( f u z z y m a t h e m a t i c a lm 0 r p h o l o g y ) 恻，在模糊数学形态学方法中，图像不再看成是硬二值化 集合，而是模糊集合。集合的交、并运算分别由的交、并运算代替，从而分别形成模糊 腐蚀膨胀等运算。1 9 9 9 年，g a d ya g a m 和i t s h a kd i n s t e i n 提出了一类可调形态学算 子p 卅，这类算子在基本运算定义中引入了可调因子，比经典形态学算子更具有普遍意义。 因此探讨s o f t r e g u l a t e d 运算在图像处理中的应用，将在一定程度上丰富和发展利用 数学形态学的图象处理与分析方法。 1 2 主要研究内容与研究思路 针对上述问题，本文首先分析经典数学形态学的基本原理及其性质，在此基础上对 s o f t r e g u l a t e d 形态学算子进行深入研究，并详细讨论它们的基本性质及其与经典形态 学算子之间的关系，然后分别探讨拓广的形态学运算在图像滤波、边缘检测以及骨架提 取等图像处理领域方面的应用，希望获得更好的图像处理效果。最后对基于神经网络与 粗集理论两种软计算方法的r e g u l a t e d 形态学进行初步研究，为实现r e g u l a t e d 形态学 图像处理的智能化提供借鉴。 根据这个基本目标，本文主要的研究内容有： 1 经典数学形态学基本理论及其在数字图像中的应用，在此基础上研究经典形态学算 子的改进形式s o 贼r e g u l a t e dm o r p h 0 1 0 9 y ( 定义、性质等) 及s o f t & r e g i l l a t e dm o r p h 0 1 0 9 y 基本算子的程序实现： 2 对r e g l l l a t e d 形态学运算进行一定的理论分析，以期得到一些有用的等价定义及结论； 3 基于s o f c & r e g u l a t e dm o r p h o l o g y 基本算子构造适当的算法应用于图像处理的若干领 第一荦绪论 域如图像去噪和边缘检测，并与传统方法进行分析比较，希望获得更好的处理效果； 4 初步探讨将r e g u l a t e d 形态学方法与软计算方法相结合，并将其应用于实际的图像处 理领域。 基于以上的内容，我们主要遵循了下面的研究思路： 由于本文主要研究的s o r & r e g u l a t e d 形态学理论是基于经典形态学的，所以本文整 体上遵循了由经典形态学到其拓广s o r & r e g u l a t e d 形态学，由理论分析到计算机模拟实 现的原则。数学形态学图像处理是由形态运算的定义和结构元素的选择所确定的，所以 我们首先从分析这两类形态学基本算子的定义和性质及其与经典形态学算子之间的关 系入手，通过构造适当的算法将其分别应用于图像处理的某些领域；然后结合结构元素 和约束参数的选择，对r e g u l a t e d 形态学基本算子进行一定的分析，得到了一些等价定义 和有意义的结论。最后，将s o r & r e g u l a t e d 形态学方法和基于模糊集和粗糙集的r e g u l a t e d 形态方法进行程序实现，并用于二值图像去噪，对其与传统形态学方法的处理结果进行 对比分析。 1 3 主要研究成果 通过对s o r & r e g u l a t e d 形态学方法的较深入研究，并将r e g u l a t e d 形态学良好的滤 波机制与神经网络、模糊集、粗糙集理论相结合，对传统的数学形态学方法进行了改进， 丰富和发展了利用数学形态学的图象处理与分析方法。 本文的主要研究成果有： ( 1 ) 根据软形态学单调性、扩展性、和反扩展性，构造了一种s m 滤波器。实验结 果表明，与其他滤波器( 如均值滤波器等) 相比，s m 滤波器在滤除椒盐噪声、保持图像原有 结构方面效果更好。 ( 2 ) 构造了一种基于s o f t 形态学的边缘检测算法，对一幅加有椒盐噪声的灰度图 像的仿真试验结果表明，该方法比传统的基于模板的图像边缘检测算法和标准形态学边 缘检测算法具有更好的图像边缘提取效果。 ( 3 ) 结合结构元素和约束参数的选择，对r e g u l a t e d 形态学基本算子进行了一定 的分析，得到了几个等价定义和一个颇有意义的结论。比较了r e g u l a t e d 形态学与普通 形态学对噪声图像处理的结果和性能。实验结果表明，这种形态学算子比经典形态学算 子具有更好的噪声抑制能力。 ( 4 ) 在经典形态学骨架提取算法的基础上，提出了一种改进的二值图像的r e g u l a t e d 形态学骨架提取算法，这种方法得到的骨架连通性更好，且容易实现并行处理。给出了 这种算法在离散空间中抽取二值图像骨架的算法流程。 ( 5 ) 针对二值图像，建立了基于感知器模型的二值图像r e g u l a t e d 形态运算模型， 推广了经典的形态学膨胀与腐蚀运算，并将其应用于二值图像的滤波和边缘提取。 ( 6 ) 研究了一类r e g u l a t e d 形态学与模糊集、粗集理论相结合的二值图像滤波算 法，它是经典数学形态学方法的拓广和改进，因此有着广泛的应用前景。 婆堕奎堂堡主兰垡笙苎 总之，通过本文的研究，我们对r e g u l a t e d 形态学基本算子进行了初步的理论分析， 研究了s o f t 形态学和r e g u l a t e d 形态学方法在图像处理某些领域中的应用，讨论了 r e g u l a t e d 的神经网络实现方法及结合模糊集、粗集理论的r e g u l a t e d 形态学滤波算法， 并将其用于数字图像处理的某些领域，从仿真结果可以明显看出，这些方法具有较好的 抗噪声干扰能力，其性能优于经典形态学图像处理方法。因此，本文的研究在理论方法 和实际应用中都具有一定的推广价值，并为图像处理系统的智能化提供了较好的借鉴。 1 4 本文的组织结构 本文中其它章节从以下几个方面展开： 第二章，对数学形态学的基本原理作一简要介绍。内容主要包括二值形态学和灰度 形态学运算的定义和性质。这些内容构成了数学形态学方法的核心和应用基础。 第三章，引入s o f i & r e g i l l a t e d 形态学运算，由于这两种运算通过放宽经典形态算子 的定义，获得了一定程度的鲁棒性，但还保留了经典形态算子的优良特性，因此在有噪 声的情况下比传统的形态算子性能更好；结合结构元素和约束参数的选择，对r e g u l a t e d 形态学基本算子进行了一定的分析，得到了几个等价定义和一个颇有意义的结论，为后 面的讨论打下理论基础。 第四章，s o f l & r c g u l a t e d 形态学应用研究。其主要内容包含以下几个方面：首先， 针对经典形态学运算对含噪声图像处理效果不够理想，根据s o r & r e g u l a t e d 形态学单调 性、扩展性、和反扩展性，构造了一种s m 滤波器和r m 滤波器；其次，根据s o r 形态学 单调性、扩展性、和反扩展性等基本理论，构造了一种s o f 【形态边缘检测算法；最后， 阐述了形态学骨架提取的基本思想，提出了一种改进的二值图像r e g u l a t e d 形态学骨架提 取算法。对含噪声图像的仿真实验结果表明，这种算法具有较好的抗噪和边缘提取能力， 其性能明显优于传统方法。 第五章，r e g u l a t e d 形态学与软计算方法相结合的初步研究。主要探讨了r e g u l a t e d 形态学方法的神经网络实现及基于模糊集和粗集理论的r e g u l a t e d 形态学图像处理方 法，进一步改善了r e g u l a t e d 形态学图像处理的效果。 第六章，总结全文并给出了需要进一步研究的问题。 4 笙三里丝墨堑查兰塑型堡苎堂 第二章经典形态学的理论基础 数学形态学具有坚实的理论基础，它以集合论的语言来描述图像处理算法。为了便 于数学形态学理论的论述，这里首先从图像代数( i m a g ea l g e b r a ，i a ) 理论中引入图像 与样板( 结构元素) 的严格数学定义。 2 1基本概念 1 像素值集合：像素值集合是指某特定的数值集，记为f ，其类型可分为整型、 实型、复数型、具有固定长度k 的二进制数型以及扩展实数型，分别用大写字母z ，r ， c ，z ：。和尺；。= r u + 。，一m ) 来表示。 2 坐标集：设尺”为n 维欧氏空间，则xc 彤称为坐标集。对数字图像来说，一般 取x z “，0 1 ，2 ，o r ，3 ) 。特别地，z2 代表二维离散点集( 栅格点集) 。 3 图像：设x c 彤为坐标集，f 为一像素值集合，图像，定义为函数，：j ，f ， 用下式描述为：，= ( z ，( x ) ) ：工z ，厂( 工) ， ( 2 一1 ) 图像是i a 系统重要的操作数，通常以，。表示坐标集z 到像素值集，函数的全体， 从而，f 。 4 样板：样板是一类特殊的图像，是i a 系统中另一种重要的操作数。设y 表示坐 标集合，样板占定义为：g ：y 一，。，( 2 2 ) 即对任意的_ y y ，g ( y ) 是定义在坐标集合x 上的值域为f 的一个图像。一般用g ，表 示g ( y ) ，则昌= ( z ，g ，( x ) ) ：x x 。 ( 2 3 ) 这里，样板可以视作像素值为图像的图像，它是通常图像处理中模板、窗口等概念 的一般化，也是数学形态学中结柯元素概念的一般化。 2 2 数学形态学的基本原则 数学形态学的基于集合的观点是极为重要的。这意味着它的运算由集合运算( 如交、 并、补等) 来定义，同时所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。这一基于集合的 观点的一个自然的结果是形态学算子的性能将主要以几何方式刻画，而传统的理论却以 解析方式描述算子的性能。这种显式的几何描述应该更适合视觉信息的处理和分析。 坚查查鲎堡主堂些堕三兰； 数学形态学的主要内容是设计一套变换( 运算) ，概念和算法，用以描述图像的基 本特征。假设用x 表示图像，( x ) 表示对图像进行形态学变换。形态学创始人s e r r a 给形态学变换规定了以下基本原则： 平移不变性 v ( x ：) - v 僻) 。 其中x ：表示x 平移矢量z 的变换 ( 2 4 ) 缩放不变性 w 。皤) = 棚( 九1 x ) ( 2 5 ) 局部知识性 1 i ，佃) 变换只用到局部领域信息。 半连续性 形态学变换具有一定的连续特性。 2 3二值形态学 二值形态学适用于二值图像。所谓二值图像是指那些灰度只取两个可能值的图像， 这两个灰度值通常取为0 和1 。习惯上认为取值为1 的点对应为景物中的物体，而取值 为0 的点构成背景。这类图像的集合表示非常直接，考虑所有1 值点的集合( 即物体) z ，则x 与图像是一一对应的。我们感兴趣的也恰恰是x 集合的性质。 如何对集合x 进行分析呢? 数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突 出所需要的信息。其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法。“探针”也是 一个集合，由分析者依据分析的目的来决定。术语上，这个探针集合通常称为结构元素。 剩下的问题就是如何用结构元素对物体集合x 进行变换以找出所需要的信息。在数学形 态学中定义了两个基本的变换，分别称为膨胀和腐蚀。 2 3 1 二值膨胀( d ila t i o n ) 和腐蚀( e r o s i o n ) 运算及其性质 对一个给定的集合( 即图像) x 和另一个集合( 即结构元素) 口，想象一下将b 在 图像上移动。在每一个当前位置x ，b 。只有三种可能状态：一是b 。x ；二是曰。x 。； 三是b 。n x 和b 。n x 。均不空。第一种情形说明b ，与x 相关最大，第二种情形说明b 。与 x 不相关，第三种情形说明b ，与x 只是部分相关。因而满足第一种情形的点x 的全体 构成结构元素与图像的最大相关点集，称这个点集为b 对x 的腐蚀。腐蚀可以看作是将 图像x 中每一个与结构元素口全等的子集合口( 并行地) 收缩为点x ，那么反过来，也 可以将x 中每一个点x 扩大为口，这就是膨胀运算。 笙三翌丝墨受查兰堕些堡苎些 定义2 1 设爿，b 为j v 维欧氏空间的子集，记4 被8 膨胀为爿b ，则 4 0 b = 工“i 工= 口+ b 厂。r s 。e 爿口门d6 口1( 2 6 ) 定义2 2 记爿被8 腐蚀为爿 b ，则 爿 曰= 工e ”i 工+ 6 爿 ，d rp v p 6 曰1 ( 2 7 ) 上述定义形象地描述了二值膨胀与腐蚀的概念。为便于理解和实际应用，下面建立 了两个等价的计算公式。 定理2 ( 1 ) 爿 b 2 盆爿一6 ( 2 8 ) ( 2 ) 爿。口罩u 爿。( 2 9 ) 6 印 定理2 1 的详细证明请参考文献【2 。 以下为二维膨胀、腐蚀运算的示例。 田 田 4b 爿o b 爿口 爿9 口 图2 1 二维膨胀腐蚀 腐蚀变换爿 田是把结构元素口平移z 以后得到b ，使b 包含于爿，满足该条件的 所有点z 构成了腐蚀变换的结果集合。腐蚀变换的结果是4 的子集，因此它是一种收缩 变换。这种变换使目标肢体收缩，孔洞扩张。膨胀变换4 0 b 是把结构元素b 平移z 以 后得到b ，使b 、与爿的交集不为空集的所有点z 构成集合。膨胀是个扩张过程，这种 变换使目标肢体扩张，7 l 洞收缩。膨胀和腐蚀运算具有以下基本代数性质： 1 对偶性 ( x 。 b ) 。= x o b( x 。o b ) 。= x ( 2 一l o ) 江南大学硕士学位论文 腐蚀和膨胀运算的对偶性意味着腐蚀对应于补集的膨胀 质上，形态学的基本变换只有一个。 2 结合性 4 0 ( b o c ) 皇( 爿。曰) o c 爿0 p o c ) = 0 b ) 0 c 3 平移不变性 4 b = 即 b ) 4 0 b 。口) 。 4 递增( 减) 性 x e b x ，x x 9 8 5 交换律 4 0 b = 口。爿 4 0 曰= 即b ) 。 爿b = 曰) 。 反之亦然。可以看出，本 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 2 3 2 二值开( o p e n ) 和闭( c i o s e ) 运算及其性质 在上述两个基本运算的基础上，我们可以构造出形态学运算簇，它由上述两个运算 的复合及集合操作( 并、交、补等) 所构成的所有运算组成。其中两个最为重要的复合 运算是形态学开和闭运算。一般情况下，腐蚀和膨胀是不可恢复的运算，先腐蚀再膨胀 通常不能使目标复原，而是产生一种新的形态学变换。 定义2 3 记4 与b 的开运算为爿。口，则 4 。b 篁( 4 0 曰) o b ( 2 1 7 ) 记4 与b 的闭运算为爿b ，则 爿b = ( 爿0 b ) 曰 ( 2 1 8 ) 开运算可视为对腐蚀图像用膨胀来恢复，而闭运算可看作对膨胀图像用腐蚀来恢 复。不过这一恢复通常不是信息无损的。爿。b 由所有爿中与结构元素口全等的子集的 并所组成。或者说对彳。b 中的每一个点x ，我们均可以找到某个包含在彳中的结构元素 的平移b 使得x b 。，即爿在x 的近旁具有不小于b 的几何结构。而对于爿中不能被 爿。占恢复的点，其近旁的几何结构总比口要小。这也就是开运算所具有的几何意义。 而闭运算的几何意义可由补集的开运算的几何意义导出。因此，可以得出开运算使目标 轮廓更光滑，并去掉了毛刺和孤立点，锐化了角；而闭运算则填平了小沟，弥合了孔洞 和裂缝。 开运算和闭运算的示例如图2 2 所示。 笫二章经典形态学的理论基础 厂f 厂1 曰瑁 衄 爿。b b 爿。曰 图2 2 二维开、闭运算 开运算和闭运算具有以下代数性质： 1 对偶性 ( 爿。b ) 。= 爿b( 爿b ) = 爿。b 2 扩展( 收缩) 性 爿。b 4 爿b 3 幂等性 ( 爿。b ) 。口= 爿o b( 爿日) b = 爿b 4 平移不变性 。b = ( 爿。b ) 。4 。b = ( 爿b ) 。 4 。b 。= 爿。b爿马，= 爿b ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 从开、闭运算本身所具有的几何意义和它所具有的性质可以预见开和闭运算具有良 好的去噪能力，是一种基于几何结构的滤波器。 9 江南大学硕二e 学位论文 2 4 灰度形态学 在实际应用中，绝大多数遇到的都是灰度图像，如遥感图像，显微图像，照片等。 与二值图像相对应，灰度图像是指象素点的灰度值多于两个的图像。一般用定义在连续 或数字空间上的一个实值函数来刻画它。例如，可以说一幅二维图像就是一个定义在r 2 或z 2 上的函数f ( x ) 。以往的图像处理理论就是建立在这一表象基础上的，但对形态学 而言，这一表象不能直接使用。因此欲建立灰度图像的形态学理论，第一步必须将函数 转化为集合。s e r r a 在文献 2 中利用了阴影集的概念，建立了灰度图像的集合表示，将 二值形态学推广应用到了灰度图像，并利用阴影集说明了形态学在二值信号和灰度信号 的同态性，进而证明了两种情况下形态学特性的一致。 2 4 1 爱面( s u r f a c e ) ，阴影集( 哪b r a ) 设4 是维空间内一给定的集合，不妨取前( 一1 ) 个坐标作为4 的空间定义域，而 第j v 个坐标表示爿的表面，对于灰度图像= 3 。 定义2 4 设爿e ”，f = x e “1 1 ) ，e ，( z ，) ，) 4 。如果彳的上表面记作 r 彳 ：f e ，则有丁 爿 ( x ) = m a x _ ) ，i ( x ，y ) 爿 ( 2 2 1 ) 定义2 5 设，e “1 ，：，一e 。，的阴影集记为【厂 ， f e ，则有 u ， 皇 ( z ，) j ) f i _ ) ，s ，( z ) ) 。 ( 2 2 2 ) 这样，一个函数，的阴影集就可描述成一个包括，的表面及表面以下所有各阶信息 的集合。下图描述了一个一维信号，及其与阴影集的关系。 j 厂垒) 沥笏 缓缓 图2 3 一维信号，及其与阴影集的关系 对于任一彤上的实值函数，我们可以得到以下公式 1 0 至= 里丝墨丝查兰塑型堡堑型 ，p 【厂】 = 厂 ( 2 2 3 ) 至此，我们看到，对一个函数，可以构造一个相应的集合u 厂】，而由u 厂】也可 以反过来重构厂。因此，u 门将被用来作为图像函数的集合表示以建立灰度图像的形 态学理论。 2 4 2 灰度膨胀、腐蚀运算的定义与性质 利用阴影集合的膨胀和腐蚀运算可以构造灰度图像形态学运算。 定义2 _ 6 设，k 量“1 ，厂：，寸e ，：k _ e 。把灰度膨胀记为厂。g t ，灰度腐蚀 记为厂。t 。则 厂o 。t 27 1 u 1 0 u k 】 ( 2 2 4 ) 徊。t = 丁 u 【厂】o u k ( 2 2 5 ) 上述定义形象地描述了灰度膨胀和腐蚀的概念。所以根据u 【门。叫t 】的几何刻画， 可以得出厂o 。k 是将的中心保持在厂的上表面上移动时所形成的包络：而根据 u ，】o u 【t 】的几何刻画，可以得出厂o 。t 是将紧贴而在下移动时所形成的中心点 的轨迹。上式u ， o 【，【】是在维空间中定义的运算，使用很不方便，其存在一1 维 空间中等价的计算公式。 定理2 2 。s ( x ) 2 f 嚣 厂( x z ) + t ( z ) ( 2 2 6 ) 厂。s ( x ) 。，恕 厂( x + z ) 一( z ) ) ( 2 2 7 ) 详细证明请参考文献 3 。 灰度形态学腐蚀和膨胀运算具有与二值形态学腐蚀和膨胀相似的性质。将其列举在 下面，它们均可以用阴影集和上表面函数的相关性质用二值形态学运算的对应性质来证 明。 1 对偶性 厂o 。= 一( ( 一- 厂) o )厂o 。女= 一( ( 一，) o 七) ( 2 2 8 ) 2 单调性 ，蔓厂j ，9 k s ，j 9 k ，s f jj ，ek s f j ok( 2 2 9 ) 七七= - 。七2 d t t t = 厂0 厂o t + ( 2 3 0 ) 1 1 江南大学硕士学位论文 3 交换律 ；q k = k 固f 4 结合律 厂o ( 与。岛) = ( 。南) 岛 ，o ( 墨。屯) = ( 厂。毛) o 也 5 平移不变性 五o = ( 厂 七) 。五o | i = ( 厂o | i ) 厂。= ( ，。) ，o = ( 厂o _ j ) 。 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 2 4 3 灰度开、闭运算的定义与性质 类似于二值形态学，灰度形态学也有开运算和闭运算。 定义2 7 设厂：f e ，| i ：k _ e ，则灰度形态学开、运算分别定义为： 厂。女= ( ，o ) o 女 ( 2 3 6 ) 厂。七= ( ，o 七) o t ( 2 3 7 ) 与二值情形类似，灰度形态学开运算会去掉灰度图像上与结构函数的灰度分布结构 不相吻合的凸( 相对亮) 的灰度分布结构，同时保留那些相吻合的凸结构，而闭运算会 去掉灰度图像上与结构函数的灰度分布结构不相吻合的凹( 相对暗) 的灰度分布结构， 同时保留那些相吻合的凹结构。 灰度形态学开和闭运算具有与二值形态学开和闭运算相类似的性质。 1 对偶性 厂。七= 一( ( 一厂) | ) 厂= 一( ( 一厂) 。女) ( 2 3 8 ) 2 扩展( 收缩) 性 厂。女， ( 2 3 9 ) 3 幂等性 ( ，。后) 。j = 。后( 厂女) = 厂 ( 2 4 0 ) 4 平移不变性 兀。七= ( 厂。| j ) 。厶= ( ，七) 。 ( 2 4 1 ) 。k h = o k厂屯= ，七 ( 2 4 2 ) 兰三翌丝墨垄查兰塑里丝茎型 2 4 4 使用结构元素的灰度图像形态学变换 前面所述的灰度形态学变换均为由一个结构函数定义的。既然灰度形态学变换仍是 建立在集合( 准确说是阴影集) 的二值形态学变换上，我们可以考虑使用一般的集合作 为结构元素对阴影集进行变换，并由此产生出相应的图像的形态学变换。 设函数定义在中，从而它的阴影集u ( 厂) 是月”月中的一个集合。对一个且”月 中的任意集合b ，可以用b 作为结构元素对u ( 厂) 进行形态学变换，例如u ( ，) 0 曰， u ( 厂) o b 等等。易证下面的关系成立： b y u ( ) 营u ( 曰【y 】) = u ( b ) 【y 】u ( 厂) ： ( 2 4 3 ) 五 y n u ( 厂) 营移( b 【y 】) n u ( ，) ：f 凶( b ) 【y 】n u ( 厂) ( 2 4 4 ) 因此有： u ( 厂) o b = u ( 厂) o u ( b ) ( 2 4 5 u ( 厂) o b = u ( ，) o u ( b ) ( 2 4 6 可以证明： g f u ( 厂) 。吾 = g ( u ( 厂) ) 占( u ( b ) ) = 拍占( b ) ( 2 4 7 ) g ( u ( 厂) o b ) = g ( u ( 厂) ) o g ( b ) = 厂o g ( b ) ( 2 4 8 所以采用一般集合作为结构元素的函数阴影的腐蚀和膨胀与采用它们的上表面函 数作为结构元素的灰度形态学腐蚀和膨胀可视为同样的运算。上述结果事实上可以推广 至由阴影集的使用一般集合结构元素的腐蚀、膨胀及并、交运算构成的二值形态学运算 的全体，即它们均等于使用相应阴影集结构元素的运算。这意味着采用一般集合结构元 素的阴影集的形态学变换学变换可以用灰度形态学运算来实现。由于这些灰度形态学运 算的数据空间比阴影集的形态学变换的数据空间维数少1 ，因此这一结论在实际中具有 重要价值。 现在考虑一种特殊的结构元素b r ”( 注意阴影集是在r ”r 中) 。它们均是图像 定义空间的