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文档简介
椭圆及其标准方程,一:认识椭圆,生活中的椭圆,一:认识椭圆,二:尝试探究、形成概念,取一条定长的细绳;(1)若把它的两端用图钉固定在纸板上同一点处,用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动,画出的轨迹是一个圆。(3)若绳子的两端拉开一段距离,再分别固定在纸板的两点处,用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动,画出的轨迹是什么曲线?,动手实验(亲身体验),演示实验1,圆的定义,圆,平面内与一个定点的距离等于常数(大于0)的点的轨迹叫作圆.这个定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.,圆的定义:,椭圆的定义:,二:尝试探究、形成概念,类比,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。,椭圆的定义,两个问题:为什么要强调在平面内?为什么要强调绳长大于两焦点的距离?,三:概念透析,平面内:圆,空间中,空间中,球面,椭球面,为什么要强调在平面内?,三:概念透析,绳长,绳长,为什么要强调绳长大于两焦点的距离?,注:定长所成曲线是椭圆定长所成曲线是线段定长无法构成图形,理解定义的内涵和外延,步骤一:建立直角坐标系;步骤二:设动点坐标;步骤三:限制条件,列方程;步骤四:代入坐标步骤五:化简方程。,回顾:求曲线方程的步骤,四:椭圆的标准方程的推导(坐标法),探讨建立平面直角坐标系的方案,建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”,方案一,学生活动,解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图).,设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距2c(c0),M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c),则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).,建构数学,问题:上式如何化简呢?,由椭圆的定义得,限制条件:,代入坐标,椭圆的标准方程的推导,方案(1):两边直接平方.(太繁琐),方案(2):考虑两个根号下代数式的相似性,这样化简可以减少平方次数,而且为后面学习第二定义作了铺垫,为表述方便记:,则m+n=2a,又因为:m-n=,化简得,即展开得,两边除以,则方程可化为,即,令,数学中的求美、求简意识,椭圆的标准方程,椭圆的标准方程,焦点在x上,椭圆的标准方程(两种形式),方程特点,(2)在椭圆两种标准方程中,总有ab0;,(3)焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上;,(1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是1;,(4)a:表示椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半(长半轴长)c:表示半焦距.且有关系式成立。,焦点在x上,焦点在y上,分母哪个大,焦点就在相应变量所对应的那个轴上,a2-c2=b2,(ab0),P=M|MF1|+|MF2|=2a(2a2c),五:知识整理,形成系统,(3)已知椭圆上一点P到左焦点F1的距离等于6,则点P到右焦点的距离是;(4)若CD为过左焦点F1的弦,则CF1F2的周长为,F2CD的周长为。,已知椭圆方程为,则(1)a=,b=,c=;(2)焦点在轴上,其焦点坐标为,焦距为。,5,4,3,(-3,0)、(3,0),6,x,4,16,20,变式一:将上题焦点改为(0,-4)、(0,4),结果如何?,变式二:将上题改为两个焦点的距离为8,椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10,结果如何?,当焦点在X轴时,方程为:,当焦点在Y轴时,方程为:,已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;,方程表示的曲线是椭圆,求k的取值范围.,变式:(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆,求k的取值范围.(2)方程表示焦点坐标为(2,0)的椭圆,求k的值.,k0且k
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