（概率论与数理统计专业论文）关于变点问题的若干研究.pdf

摘要 变点问题自2 0 世纪7 0 年代一直是统计中的一个热门话题，它广泛应用于工 业，经济，金融和地震预测等多个领域一般认为，变点问题的研究始于p a g e 于1 9 5 4 年 在b i o m e t r i k e 上发表的一篇关于连续抽样检验的文章【1 】在理论上，变点问题的发 展已经较为成熟，c s 6 r 9 6 和h o r v i t h 在1 9 9 7 年的专著 2 】就是对这一领域近二十年来 理论问题的总结本文主要利用极大似然法，最d , - 乘法以及c u s u m 方法研究了 变点估计及其相应的性质全文共分五章，其中的第三章和第四章是本文的核心内 容 第一章，我们简单概述了变点问题的主要概念，并且指出了研究变点问题的重要 意义 第二章，我们给出了本文所需的基础知识：介绍了变点问题的主要研究方法，以 及给出了变点问题的研究进展 第三章，我们讨论t p 阶自回归模型中的变点检验问题，对于自回归模型在模型 的白噪声序列的方差盯2 未知的条件下，分别利用最大似然估计方法和最小二乘法给 出了变点的检验统计量，并得到统计量的渐近分布，最后给出了证明 第四章，我们考虑了一列具有均值变点的p 一混合序列 五；i = 1 ，2 ，n ) ( n 2 ) ，在x 的g 阶矩有限( g 2 ，1 i 礼) 的前提下，我们得到均值变点的c u s u m 估 计量的强弱相合性，并且得到强弱收敛速度。类似的在相同的前提下得到了西混合 序列中均值变点的强弱相合性以及强弱收敛速度 第五章，我们指出了本文的不足以及可以进一步讨论的问题 关键词：变点，自回归模型，混合序列，相合性，收敛速度 n a b s t r a c t d e t e c t i n gac h a n g ep o i n ta n de s t i m a t i n gi t sl o c a t i o nh a v eb e e nv e r yi m 。 p o r t a n tp r o b l e m si ns t a t i c ss i n c e1 9 7 0 s t h es t u d yi nc h a n g ep o i n ta n a l y s i sh a s b e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e di nq u a l i t yc o n t r o l 。e c o n o m i c s ，f i n a n c e ，e l e c t r o c a r d i o - g r a m s a n de a r t h q u a k e p r e d i c t i o na n d s oo n g e n e r a l l ys p e a k i n g ，i tb e g a nw i t ha n l i t e r a t u r ea b o u tc o n t i n u o u ss a m p l i n gt e s tw r i t t e nb yp a g e t l 】w h i c hi sp u b l i s h e d o nb i o m e t r i k e t h ec h a n g ep o i n tp r o b l e mh a sb e e nw i d e l ys t u d i e di nt h em o n o 。 g r a p hb yc s 6 r 9 6a n dh o r v a t t h 2 1 i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ee s t i m a t i o no ft h e c h a n g e p o i n ta n d i t sp r o p e r t i e sw i t ht h em e t h o do ft h em a x i m u ml i k e l i h o o d ，t h e l e a s ts q u a r e sa n dc u s u m t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of i v ep a r t s ，c h a p t e r3a n d c h a p t e r4i st h ec o r e i nc h a p t e r1 ，i ti n t r o d u c et h ec h a n g e 。p o i n ts i m p l ya n da l s os h o w si t sg r e a t s i g n i f i c a n c e i nc h a p t e r2 ，w ew i l lg i v es o m eb a s i ck n o w l e d g e ss u c ha st h em a i nm e t h o d s i nt h ec h a n g e p o i n ts t u d i e sa n dd e v e l o p m e n t so ft h ec h a n g e 。p o i n tp r o b l e m i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ec h a n g e p o i n tp r o b l e mi nt h ep 。o r d e ra u t o r e 。 g r e s s i v et i m es e r i e sm o d e l w h e nt h ev a r i a n c e 盯2i su n k o w n ，w eu s et h em a x i n u ml i k e l i h o o dm e t h o da n dt h el e a s ts q u a r e se s t i m a t i o nt og i v et h et e s ts t a f f s 。 t i c sa n da t t a i nt h e i ra s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o n sf o rt h ec h a n g e p o i n t , a n dg i v et h e i r p r o o f sa t l a s t i nc h a p t e r4 ，l e t x ；i = 1 ，2 ，礼) 2 ) b ea np - - m i x i n gs e q u e n c ew i t h am e a ns h i f t w ec o n s i d e rt h ec u m u l a t i v es l i m ( c u s u m ) e s t i m a t o ro fac h a n g e p o i n t i nt h e c a s et h a tt h eq t hm o m e n to fx ti sf i n i t e ，f o rq 2a n dl 一i 一n ，t h ec o n - s i s t e n c yo ft h ec u s u m e s t i m a t o ri sp r o v e d f u r t h e r m o r e ，t h ew e a ka n ds t r o n g c o n v e r g e n c er a t e so ft h ee s t i m a t o r a r eg i v e n s e c o n d l y , u n d e rt h es a m ea s s u m p 目录i v t i o nw eg e tt h es i m i l a rc o n c l u s i o n sa b o u t t h e 声- m i x i n gs e q u e n c e i nc h a p t e r5 ，w ei n d i c a t et h ea r t i c l e 7 sd e f i c i e n c ya n dt h ef u r t h e rp r o b l e m s k e yw o r d s ：c h a n g e p o i n t ，a u t o r e g r e s s i v e 。m i x i n gs e q u e n c e 。c o n s i s t e n c y , c o n - v e r g e n c er a t e 第1 章引言 自上世纪7 0 年代以来，变点问题一直是统计中的热门话题一般来说变点是 指”模型中的某个或某些参数起突然变化的点”，或者说所谓的变点是指在一个序列 或过程中，在某个未知时刻，其某个统计特征( 如分布参数或数字特征) 发生了变化，这 个未知时刻叫变点变点问题的统计问题就是根据具体的背景，对变点作出估计，并 对估计量的性质进行统计分析对变点问题的研究，主要围绕检验统计量在原假设和 对立假设下的渐近分布研究，变点的检测、估计以及变点估计量的相合性、收敛速 度和渐近分布等方面，且就观测值相瓦独立或相依情形下展开讨论的 变点问题最早是在质量工程管理中得到应用的一般认为变点问题研究始 于1 9 5 4 年p a g e 在国际著名的统计杂志b i o m e t r i k a 上发表的第一篇关于变点统计 分析的文章，见文献【1 】这是他研究自动产品质量检测问题时提出的一篇关于连 续抽样检验的文章当产品超过产品质量控制警戒线时，希望能及时预报，以免 生产出更多的次品这个质量发生质变的时刻就是我们研究的变点关于变点问 题的统计研究，在国际上进行得有声有色，特别是变点问题的发展已经较为成 熟，c s 6 r 9 6 和h o r v 矗t h 在1 9 9 7 年的专著【2 】就是对这一领域近二十年来理论问题的总 结但在中国起步较晚，但在国内从事这方面研究开始于上个世纪8 0 年代，如陈希孺 院士，缪柏其教授，赵林城教授，王静龙教授和张立新教授等在这方面都做了大量工 作 变点的分类主要有下面几种情况如从观测样本数据特性方面变点可分为随机 过程( 时间序列) 和随机场( r a n d o mf i e l d ) d p 的变点问题由变点处变化的形式主要 分为突变( a b r u p tc h a n g e ) 和渐变( g r a d u a lc h a n g e ) 的变点问题从分布的两个主要 数字特征，均值和方差的变化，常考虑位置变点和时刻( 参数) 变点就样本观测值之 间的关系，可分为独立样本和相依样本情况下的变点情况从研究的变点的个数方 面，变点问题可分为单变点问题和多变点问题 变点问题是统计推断的热点问题之一在理论方面，它把统计控制理论、非贝叶 1 第1 章引言 2 斯和贝叶斯方法、固定样本抽样和连续抽样方法结合起来在应用方面，变点问题 不但在早期的自动控制应用领域有大量的实际应用，而且现在已经发展到在许多领 域都有应用，像经济、金融、医学、气象学、流行病学、行为学、地震预测等方面 都有大量的应用背景例如，在气象学中，由于大气污染，温室效应等现象的加剧，全球 气候的变化日益成为国际气象界关注的热点在流行病学中，人们最关心的问题之 一是传染病在其传染过程中其传染率变化大小和变化时刻，这对确定合理的治疗和 控制手段很重要人们希望准确预报而又难以精确做到的地震也是变点问题的体 现由此可见研究变点问题具有非常举足轻重的地位 第2 章变点问题概述 2 1 变点问题的主要研究方法 变点问题是统计推断的热点问题之一，它把控制理论估计和假设检验理 论，b a y s 理论等结合起来由于变点问题常涉及到独立和非独立随机变量的分布，在 理论上处理起来难度较大，富有挑战性而一些处理变点问题的方法也不断发展和完 善起来，如极大似然法，最小二乘法，c u s u m 方法，局部比较法和b a y e s 法等 2 1 1 极大似然法( l r ) 极大似然法其等价形式包括w a l d 方法，l m 乘子法以及f 检验法它的主要思想 就是用似然比思想对一些分布参数变点存在性检验问题，即通过求似然函数( 密度 或概率之和) 极大值法去估计有关参数此处变点本身是一个参数极大似然方法是 变点理论中较早进行讨论的问题许多学者都对其进行过讨论，主要集中在对正态分 布均值变点的检验 这种方法的一个简单形式如下： 问题模型：设随机变量x 1 ，k 相互独立，且 x n ( p 1 ，盯；) ，i = 1 ，2 ，七； 五一( 肛2 ，盯；) ，i = k + 1 ，礼 ( 其中的七，p 1 ，肛2 ，盯 ，畦都未知) 当p 1 p 2 时即认为其有变点，现在考虑如下假设检 验问题： h o ：p 1 = p 2hh i ：p 1 p 2 ， 其中的原假设风表示无变点，备择假设日1 表示有变点 此模型中的均值变点七的估计步骤如下： 3 第2 章变点问题概述 4 第一步，对固定f 孓j k ( 2 k 礼) 由极大似然比检验思想，令 s u p 兀f ( x i ；弘，盯2 ) 、 ( 肛，盯2 ) e o ot = 1 k2 f i 一， s u p兀，( z ；肛1 ，盯2 ) 兀t 厂( z i ；p 2 ，仃2 ) 第二步，可取检验统计量为 a k = - - 2 1 0 9 a k a n = m a x ( - 2 l o g a k ) 2 k n 、 若k 较大时，拒绝原假设，即认为存在变点此时变点估计为 k k a r g k ：k2 器黑人七) 否则，接受原假设，即认为不存在变点 2 1 2最小二乘法 最小二乘法的基本思想就是以观察值和理论值之差的平方和作为目标函数，以 其达到最小点作为有关参数的估计由于利用该方法无需知道模型误差的分布且就 几利，简单模型，计算不很复杂，因此在处理变点问题时得到了较多应用以下以离散 模型的均值变点问题来介绍变点估计的最小二乘法的主要步骤 考虑如下均值变点问题的离散模型，设 置= a i + e ，i = 1 ，佗 且有 a l 。= a m l 一15b l ， a m l = = a m 2 - 1 2 b 2 ， a m 口= = a n = b q + l 第2 章变点问题概述 5 此处1 m 1 l l t 2 m 口n ，如果幻一1 吻，则m j 就是一个变点随机误差e 1 ， ，e n 假定为独立同分布，且 e ( e t ) = 0 ，v a r ( e i ) = 盯2 c ，则否定凰，认为有变点否则接受凰，设该检验具有渐近 水平a ，该检验方法思想很直观但应注意的是对恰有一个变点的检验最为有效，多个 变点存在时可能因为均值的变化而抵消s 和& 之问的差距 ( 2 ) 检测变点的最小二乘法 利用最，j , - - 乘法检验变点的步骤如下 第一步，建立目标函数如下： 此处约定仇o = 1 ，m 口+ 1 = 佗+ 1 第二步，先固定m 1 ，m 。，要求出t 的最小值，计算 巧= ( z m j 一。+ + 义m j 一1 ) ( 叻一m j 一1 ) 则上式t 在b = 巧时达到最小值 第三步，建立一个简化的仪依赖于m l ，m 。的量，即 ( 2 2 ) 第四步，在1 m l m 2 k + ， 其中乱1 ，乱2 和k + 未知变点k 的c u s u m 估计定义为： 其中 拈幽巩m a xi u j l ， 巩= 掣广1k f 而1 。妻，码) 0 7 91 p i o t rk o k o s z k a 和r e m i g i j u sl e i p u s 应用c u s c 厂m 方法对方差有穷的相依随机变 j 量序列的均值变点进行估计，见文献【3 】，对于任意的 ，j ，假设d ( x t ) v i i i + t = l l h 其中c 为常数，0 6 ，= 佗；一曼：| 三三三ji； 其中7 一k _ n z ，手k 等 第2 章变点问题概述 8 2 1 4 局部比较法 局部比较法的主要思想是在变点附近的”局部”中，某种量有了显著性的变化它 可以通过适当的估计量显示出来，在非变点的附近的局部中，估计量将保持稳定这 个差别就提供了发现变点的一个一般性方法：考察某种有针对性的统计量在各 个”局部”内的变化，取其显著之处作为变点位置的估计这种方法一般有两个优 点：( 1 ) 关于假设检验问题导出的检验统计量，有比较简单的渐近分布( 2 ) 对估计检验 的功效和变点的区问估计，提供了方便的做法下面介绍刚该方法估计变点的步骤 现考虑如下模型： la l + e i ， 1si 七+ ， 叉t _ 【a 2 + e i ， 尼+ i n ， 其中随机误差e l ( 1 i 佗) 独立同分布，k e ( e i ) = 0 ，v a r ( e ) = 盯2 + 式中 的m ，a 1 ，a 2 ，仃2 都未知此模型的均值变点k + 的估计步骤如下： 第一步，由于此处涉及的均值的变化，自然地要考察在邻附近局部内的样本均 值或样本和的变化故可以取i 1 ，礼】，并给定一个适当的自然数d ，将i 左右各d 个观 察值( 右边包含i ) 求和并相减，即得 k = ( x i + + 托+ d 一1 ) 一( x i d + + 五一1 ) ， i = d + 1 ，d + 2 ，佗一d + 1 第二步，若i 非变点且与变点m 的距离不小于0 ，则k 更趋于0 反之，若i = m 或 离m 较近即无变点，则k 右两项值差距较大即有变点故可设流是使i 玑i 达到最大的下 标，即 协靓i = m a x ( 1 y a + 1 1 ，i y d + 2 1 ，f y n d + 1 1 ) 则取晚作为变点m 的估计 第三步，当i 妣i 超过某临界值c 时，( 1 3 ) 否定凰即有变点，否则按凰认为有变点 第2 章变点问题概述 9 2 1 5b a y e m i 占计 点m ( m = 1 ，2 ，n 一1 ) 具有先验分布 - p ( m - m ) ： 。) _ 1 ，m _ 1 2 ，川。1 ， 【0 ， m 1 ，2 ，n l ， 嘣驴 i 211 2 ：； t ( x 1 ，) = ( i 1 ) x i t ( x 1 ，一，) = ( z 一1 ) ( x i 一又) ， t = 1 其中 又：未妻x 扎一i = 1 在原假设日0 成立的条件下，即变点不存在时，检验统计量t 和t + 的精确分布是显 然的 第2 章变点问题概述 1 0 2 2 变点问题的研究进展 近年来，变点问题在理论和应用上了都有了快速的发展一般认为，变点问题的 研究始于p a g e 于1 9 5 4 年在b i o m e t r i k a 上发表的一篇关于连续抽样检验的文章，见文 献【1 】我国统计学者在这一领域的研究始于上世纪8 0 年代，陈希孺教授利用”局部 法”研究了变点问题，见文献【4 】，随后其他许多学者也开始针对变点问题进行研究 利用极大似然法和最小二乘法处理变点问题上，许多学者都对其做过研 究如h i n k l e y 在1 9 7 0 年研究了变点的极大似然法的一些性质并考虑了相关的检验 问题，见文献 5 1 h a w k i n s 在1 9 8 6 年利用最小二乘法考虑了变点的检验和估计问 题，见文献 6 1 w o r s l e y 在1 9 8 6 年利用最大似然法考虑了服从指数分布的一列独立 随机变量中的均值的变点检验问题，并给出了置信区间，见文献【7 】陈希孺在1 9 9 1 年 利用极大似然法考虑了正态分布的均值变点问题和指数分布参数的变点问题，见文 献 8 1 h u a n g 和c h a n g 在1 9 9 3 年提出了最小二乘统计量，并用此估计具有线性趋势 模型中的变点，见文献 9 1 i a r u g k o v 矗在1 9 9 8 年在定位模型中利厂 j 最大似然统计量和 贝叶斯原则去检验其巾的渐变点，见文献【1 0 】h u 蓉k o v 6 在1 9 9 9 年对定位模型中的变 点问题做了更深入的研究，提出了参数的最小二乘类型估计量并且讨论了模型中的 渐变点的估计量的渐近性质，见文献 1 1 1 g u p t aa n dr a m a n a y a k e 在2 0 0 1 年利用似 然比检验统计量去检测一列独立指数随机变量中的变点问题，并得到了检验统计量 的渐近性质，见文献 1 2 1 对于时问序列中的变点问题的研究也有很多重要意义，也已有不少学 者研究过女n k o k o s z k aa n dl e i p u s 在2 0 0 0 年利j j c u s u m 统计量研究了a r c h 模 型的参数变点问题，并且讨论了相应的统计性质，见文献【1 3 】l e e 在2 0 0 3 年利 用c u s u m 统计量，研究了时间序列模型参数的变点问题，见文献 1 4 1 t i m m e r 和p i g n a t i e l l o 在2 0 0 2 年研究t a r ( 1 ) 模型参数变点的检测方法，并将其用到 实践中，见文献【1 5 】王黎明在2 0 0 8 年在a r ( 1 ) 模型巾白噪声序列的方差盯2 已知和未 知情况下，利用极大似然法讨论t a r ( 1 ) 模型中的变点检验问题，见文献 1 6 1 本文对 具有突变点的a r ( p ) 模型，在模型的白噪声序列的方差o r 2 未知的条件下分别利用极 第2 章变点问题概述 1 1 大似然法和最小二乘法得到了模型的变突点的检验统计量及其渐近分布 近年来j d 一混合序列和卢混合序列得到了广泛的关注文献 1 7 - 1 9 1 提出了p 一混 合序列的概念，并讨论p 一混合序列部分和的矩不等式，弱收敛定理，中心极限 定理，完全收敛性以及强大数定律r i c h a r dc b r a d l e y 在1 9 9 2 年和r i c h a r dc b r a d l e y 在1 9 9 3 年研究了的西混合序列的中心极限定理，见文献 2 0 1 和 2 1 1 b r y c 和s m o l e n s k i 在1 9 9 3 年研究了的西混合序列的矩不等式和完全收敛性，见文献【2 2 】 g a n 在2 0 0 4 年得到了西混合序列强稳定性质，见文献 2 3 1 许多学者在不同的条件下 对相依序列变点均值变点的性质研究过比如说l a j o sh o r v d t h 和p i o t rk o k o s z k a 在1 9 9 5 年研究了一族长程相依的高斯观测值的均值变点估计量的渐近性质，见 文献 2 4 1 p i o t rk o k o s z k a 和r e m i g i j u sl e i p u s 在1 9 9 7 年证明了相依序列均值变 点估计的c u s u m 统计量的弱相合性，并得到了弱相合速度，见文献 3 】j a n t o c h , m h u 善k o v 丘和z p r 6 否k o w l 在1 9 9 7 年得到了相依序列的均值变点估计的性质，特别 当相依序列为线性过程时的性质，见文献 2 5 】s a m i rb e nh a r i z 和j o n a t h a nj w y l i e 在2 0 0 5 年考虑了长程相依序列均值变点的累积和估计量的性质，见文献1 2 6 1 第3 章p 阶自回归模型中的变点检验问题 3 0 1 a n ( p ) 模型介绍 如果 e t ) 是白噪音w n ( o ，1 7 2 ) ，实数，z ，( o ) 使得多项式a ( z ) 的零点都 在单位圆外，其中 就称p 阶差分方程 z i 1 ( 3 1 ) 满足( 3 1 ) 的平稳时间序列 k ) 称为平稳解或a r ( p ) 序列，称 、r 2 【1 ，矽2 ，pj ， 是a n ( p ) 模型的自回归系数由于a n ( p ) 模型仪通过序列变量的自身历史观测值来 反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所 构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择，序列相关，多重共线性等 造成的困难本文主要介绍 e 。) 服从正态分布的情况 3 2a n ( p ) 模型中的变点检验问题 假设x 1 ，磁，为来o a r ( p ) 模型的一列随机序列： x t = 1 x t 一1 + 咖2 x t 一2 + + 讳五一p + 8 t ，t = p + 1 ，佗，( 3 2 ) 其中 e ) 是i i d 的随机变量序列，分布为( o ，0 - 2 ) 现在的检验问题如下： h o ：x t = 咖1 五一1 + 2 砭一2 + + p 托一p + e t ，t = p + 1 ，几； 1 2 0 * z 岛 p 触 一1 = za 岛 + 卜 x 如 p 触 l i 磁 第3 章p 阶自回归模型中的变点检验问题 1 3 ，i x t = 1 x t l + 2 义t 一2 + + 如五一p - 4 - e ，t = p + 1 ，k ， 【x t = 卢1 咒一1 + 倪x 一2 + + 岛五一p4 - e t ，t = k - 4 - 1 ，n 并且满足至少存在某个i ( i = 1 p ) 使得也觑其中原假设凰表示没有变 点，各择假设日1 表示k 为变点( 尼为一未知正整数，r p k n ) 下面将分别利用极大 似然法和最d 、- - - - 乘法求出变点k 的检验统计量，并得到统计量的渐近分布 3 2 1 极大似然法 设在原假设凰和备择假设日1 下的极大似然函数分别为l o 。和l 1 。，令 枷笼， a k = 一2 1 0 9 ) k ， 则可取变点k 的检验统计量为 人n = m a xa k p k n 显然当足够大时应拒绝凰，此时可得突变点k 的的估计为 k = a r g 再令 小曩! a 知= ( 3 3 ) 观 现 吼 现 一 p 一 z 孤 1 】 p “ 一 o z 第3 章p 阶自回归模型中的变点检验问题 1 4 以及 z 南x k 一1 x k + lz 毛 z r t - - 1x n - 2 其中p k n 关于k 的渐近分布，我们有下述定理： 定理1 令 五；t = 1 ，2 几) 为满足模型( 3 2 ) 的一时问序列， j 是i i d 的随机变量 序列，分布茭j n ( 0 ，0 - 2 ) ，当a 岛和鼠列满秩时，在凰下有 舰尸 错 z - - - - e x p - 2 e - i ) ， 其中人n = m a , x p 令鬻= 0o = 1 ，p ) ，可得 ( 既一1 缸l + 一如轧p ) ( j ) = 0 ， j = 1 ，p ， i = p + l n几n 咖1 x i - - 1 缸j + + 如x i - p x i - 广幻，j = 1 ，p ( 3 4 ) l = p + 1i - - - - p + l i = p + l 、 。 o 以 z z 、l，一、 。 2 呻 z z 升 o p 一 _ 陆 址 + 2 唧 聃 + 3 + 卅 m 卅 却 矿 加 一 ， 昂 州 址 吒 z ，。 = 如 第3 章p 阶自回归模型中的变点检验问题 1 5 则当a 七列满秩时有a 列满秩，记d n = i d n i ，d n = a ：a n ，如n = l d j n i ，d j n = 啄a j n 由( 3 3 ) 式可得咖的极大似然估计南n 为 锄n2 呜。 如 再令器= o ，可得盯2 的极大似然估计醒为 = j = 1 ，p 一；l n 甄一1 一一磊m 既一p ) 2 在给定x ，= x l ，x 2 = x 2 ，砗= x p 时，备择假设假设日下的似然函数为 l 1 = f x + l i x p ，x 1 ( 却+ 1 i z p ，x 1 ) 厶k i x k 一1 ，x l ( x k l x 七一1 ，x 1 ) ，x k + 1 l x k ，x lx k + li x k ，x 1 ) 厶。i x 。一1 ，x 1 ( z n i z n 一1 ，x 1 ) 陬? 掣唧 一孬1 。妾。柏趾一慨一2 ) e 印卜刍i = k + 1c z t p ，z t 一，一岛z t p ，2 ) 如七=(耋i-!x：p_j+2，：xp+21耋x二p：_j1：j：p 再令 如t = 瓦d j k ，j = 1 ，p 。 n 1 南 。 、j， ， 2 呻 z z 仆 o z 址 蚪 帕 。 z z 卅 m 十 z z 一 m 址 ： 孤 z ，-i。一 l i 已 第3 章p 阶自回归模型中的变点检验问题1 6 当a n 列满秩时，记d = i d ，d = 碟玩；如= i 功i ，q = 霹岛令篱= 0 ，可得岛的 极大似然估计岛为 岛= 鲁， 歹- 1 ，廖 最后令貉= o ，则可得盯2 的极大似然估计醒为 啦击 ；妾。毛觎一缸却) 2 + 。妄，如址粕却) 2 ) 由以上讨论可得在原假设凰和备择假设凰下的极大似然比函数为 k 2 等2 ( 轳呻v 2 l 1 m o d 元 则有 2 勰a 萨踯m a s x n ( n p ) ( 1 0 9 2 一l 0 9 5 2 ) ( 1 1 0 ) 由上式禾l j j 4 - r i c h a r da d a v i s ( 1 9 9 5 ) 6 7 的定理2 2 ( 见文献【2 7 】) 得 舰p 锵z ) 一 - 2 e - ) 定理】得证 3 2 2 最d 、- - - 乘法 令= ( 。，妒。，咖) 1 ，设在凰下自回归参数的最小二乘估计为 参= ( 函。，“一，蟊) 2 现考虑统计量 再令 邑= 托一1 五一1 一咖2 五一2 一如五- p ，t = p + 1 ，n n 一 七 p氏 。叫 = 七 ；芰 第3 章p 阶自回归模型中的变点检验问题 1 7 则可构造变点k 的检验统计量为： k 2 p m 哪a x l y e ( 饼 显然当足够大时应拒绝t - l o ，此时可得突变点尼的的估计为 c = a r g 七；k = p 七：k =1 i 关于k 的渐近分布，我们有下述定理： 定理2 令 x t ；t = 1 ，2 一。n ) 为满足模型( 3 2 ) 的一时问序列， e t ) 是i i d 的随机变量 序列，分布为( o ，盯2 ) ，自回归参数妒的最小二乘估计为$ ，则在凰下有 赢马恶i 鼬i 其中k = m a x ，i ( 忌) i ，b t 为标准b r d 伽n 运动，这里”马”表示依分布收敛 p k n 证明：由最小二乘法可知$ = ( a t a 。) 一1 n t 磊，其中a n 的定义见( 3 3 ) 式， 磊= ( 研。铆：z n ) 丁 由r j k u l p e r g e r ( 1 9 8 5 ) 定理2 1 可知( 见文献【2 8 】) ，在d o ，1 】区间上有 茅匆( n 】) 与 鼠，0 1 ) 令z = ( 既，0 t 1 ) ，y = ( 玑，0 t 1 ) d f o ，1 1 ，有 ls u px t s u py t l s u pi x t 一玑j 0 s s 1 o 一 t s l o s t s l 故f ( x ) = s u px t 是d 【o ，l 】上的右连续左极限存在的泛函，所以可得 丽1 附nlun(七)l与恶吼imax l y n ( 丽附n。o 器慨， 即 丽1 k 马裟。i b , i 定理2 得证 第4 章混合序列均值变点的收敛速度研究 4 1 混合序列介绍 我们先介绍混合序列的相关定义p 一混合序列是包含a 序列和矿混合序列的 一类更广泛的随机变量序列，芦混合序列与通常的p 混合序列有一定的类似但并不相 同，它也是一类极为广泛的相依混合序列，故研究j d 一和芦混合序列有非常重要的性质 4 1 1p 一混合序列 定义4 1 1 ：称随机变量x l ，x 2 ( n 2 ) 是v a 的，若对1 ，2 ，礼的任意两个 非空不相交子集a 1 和a 2 都有 c d u ( ( z t ，i a 1 ) ，f 2 ( x j ，j a 2 ) ) 0 ， 其中 ，止是任何两个似得协方差存在的对每个变量均非降( 或同为对任何两个对每 个变量均非升) 的函数 定义4 1 2 ：若矿( s ) = s u p ( p ( s ，t ) ：有限子集s ，tcn ，d i s t ( s ，t ) s ) _ o ( s _ o o ) ，则称序列 ：扎1 ) 是矿混合的，其巾 p ( s ，t ) = s u p ( e ( f e f ) ( g e 夕) l 川，一e ，1 1 2 i i 夕一e 9 i | 2 ：，三2 ( 盯( s ) ) ，g l 2 ( 盯( t ) ) ) 定义4 1 3 ：若j d 一( s ) = s 乱p j 9 一( s ，t ) ：有限子集s ，t cn ，d i s t ( s ，t ) s ) 一 o ( s _ ) ，则称序列 矗：礼1 ) 是j 9 一混合的，其中 p c s ，t ，= 。vs婶：芳墨兰手萋亨；=差号；夸器，gc)。 显然 z n ：礼1 ) 是a 的当且仅当对s 1 ，有j d 一( s ) = o ，而r p 一( s ) 矿( s ) ，所 以p 一混合序列弱于混合序列 1 8 第4 章混合序列均值交点的收敛速度研究 1 9 4 1 2 卢混合序列 设 ：n 1 ) 是定义在概率空间( q ，p ，p ) 上的随机变量序列，f s = 盯( 咒，i sc ) 是盯域，在p 中给定盯域f 和r ，令 p(f，r1=(一su，p)了iex萧y-丽exeyixel2 y e l 2 ( r ( f ) ，) 、u o r u 0 ，。上 对k o ，令卢( ) = s u p ( p ( f s ，厅) ：有限子集s ，tcn ，d i s t ( s ，t ) 之忌) 显然0 卢( 七+ 1 ) 卢( 尼) 1 且卢( o ) = 1 定义2 1 3 ：对随机变量 k ：7 1 , 1 ) ，若存在k n ，使得卢( 七) 1 ，则称 ： 礼1 ) 为芦混合序列 下面将介绍本文中用到的引理 引理1 定义在混合系数为p 一混合序列 k ，几n d ) 的不交子集上的非升f 或非 降) 的函数仍为p 一混合序列，且其混合系数不超过p 一( s ) 引理2 设随机变量序列 ：n 1 ) 是p 一混合序列对于任意t t 1 ，有e k = 0 ，e i x 。1 4 + ( g 2 ) ，则存在仪依赖于口和p 一( ) 的常数= c ( q ，p 一( ) ) ，使得 e 器眺c tp x q ( 善联) 口肛， rn n 、 引理3 设随机变量序y 0 x n ：n 1 ) 是卢混合序列，对于任意佗1 ，有e = 0 ，e 1 1 9 k ， 其中让1 ，u 2 ，未知常数且k + 为未知的均值变点，7 - + = 忌+ n 为变点位置，假设满足0 o t l 7 - 。 q 2 1 变点k 及变点位置7 的c m 8 u r r t 型估计量忌+ 和亍+ 可定义如下： ik + = r a i n 七：l 巩i = m a x l k e 巩。l i e u 七i i i l 七一七i m 饥( n - - n k * ，等) 记亍= m i n ( o q ，1 一q 2 ) ，由于o q 1 r q 2 1 ，则有 e 巩i i e u i i i 乜i 尼一后i 又由三角不等式知 又 巩l l 巩l = l u k e 巩+ e 巩l i 巩一e 巩+ e 巩 si 巩一e 巩i + l e 巩i _ ( i e 巩| - i 巩一e 巩i ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 2 m a x n i u k e 巩l + i e u 七i i e v k i ( 4 6 ) 用忌替换后并且注意到i i i 巩i ，此时有 i q i 尾一后+ i 2 l m k a x n i 巩一e 巩i ( 4 7 ) 蚴m a x ni u k - - e u k l = 黑i 字妻( k 一删一k ；塞。( k 一删 ( 冠一e 咒) i + l m thfl(n)nlala) ( 4 9 ) p ( 丑 三 f 1 ( n ) 叫i a e ) + p ( 正 丢 f 1 ( n ) 礼i i q 吐 ( 4 1 0 ) 首先考虑( 4 1 0 ) 式右边的第一个式子概率由引理1 当 k ；i = 1 ，2 ，一，n ) 是一 列p 一混合序列时， 五一e 五；i = 1 ，2 ，扎】仍然是j d 一混合序列再由m 0 7 七d u 不等 式和引理2 可得 p ( 乃 叩) c e m a x l 2 ) ( 4 1 4 ) 我们可取 1 ( 礼) = n j l 。1 ( 佗) ，其中f ( n ) 是满足竹_ + l i m + 。o l ( n ) = + 的慢变函数，则有 h q ( n ) o n q 2 第4 章混合序列均值变点的收敛速度研究 因此 p ( t 1 丢f ( 咖l i q ) - - + o 下面考虑( 4 1 0 ) 式右边的第二个式子概率，由于 即由( 4 1 5 ) 式知 7 7 ) ( 4 1 5 ) p ( t 2 丢h i - l ( 咖叫一o ( 4 1 6 ) 综合( 4 1 0 ) ，( 4 1 5 ) 和( 4 1 6 ) 则可得 p