（概率论与数理统计专业论文）试验结果为连续量的自适应罐子模型.pdf

摘要 针对试验结果为连续量的情况，本文构造了一种罐子模型广义f r i e d m a i l 罐子模型已经广泛地使用于生物统计中但是，在较早的一些文献中常常假设 试验只有两个结果：成功，或者是失败。实际上，许多试验可能有多种结果，不仅 是成功和失败所以，把试验结果假设为连续的也是合理的基于这个假设，我 们建立了自适应模型，并且在这个模型中得到一些强相合定理、收敛速度、估计 量的渐近正态性等我们还通过比较当前试验结果和以前试验的平均结果设计 出另一种加球的方法最后我们应用了一些模拟表明，这种“比较法7 比传统的 方法表现得更好 关键词：罐子模型，自适应设计，强相合性，渐近正态性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h eu r nm o d e l sw i t hc o n t i n u o u st r i a lo u t c o m e t h e g e n e r a l i z e df r i e d m a n su m ( g f u ) m o d e lh a sb e e ne x t e n s i v e l ya p p l i e dt ob i o - s t a t i s t i c s h o w e v e r ，i nt h ef o r m e rf i t e r a t u r e ，s o m er e s u l t sa r ee s t a b l i s h e du n d e r t h ea s s u m p t i o nt h a tt h eo u t c o m eo ft h et r i a li sd i c h o t o m o u s ：as u c c e 船o ra f a i l u r e i nf a c t ，m a n yt r i a l sm a yh a v ea v a r i e t yo fo u t c o m e s ，i n c l u d i n gs u c c e s s a n df a i l u r e s ot h ea s s u m p t i o nt h a tt h eo u t c o m ei sc o n t i n u o u si sr e a s o n a b l e t o o b a s e do nt h i sa s s u m p t i o n ，w ee s t a b l i s hs o m ea d a p t i v em o d e l s w jo b t a i n s o m es t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m s ，r a t e so fc o n v e r g e n c e ，a s y m p t o t i cn o r m a l i t y o fe s t i m a t e s a n dt h e nw ed e s i g nan e wm e t h o dt oa d db a l l sb yc o m p a r i n gt h e p r e s e n tt r i m so u t c o m ew i t ht h ea v e r a g eo u t c o m e sb e f o r e a tl a s t ，w ec a r r yo u ta s i m u l a t i o nt os h o wt h a tt h e c o m p a r i n gm e t h o d g i v e ni nt h i sp a p e rm a k e sb e t t e r p e r f o r m a n c et h a nt h et r a d i t i o n a lw a y k e y w o r d s ：u r nm o d e l s ，a d a p t i v ed e s i g n ，s t r o n gc o n v e r g e n c e ，a s y m p t o t i cn o r - m a l i t y 第一章引言 1 1白适应设计的产生与应用 二战以来，随着各种新的药品和治疗方法的不断涌现，临床试验设计越来 越受到重视，现在一些国家设立了以统计人才为主而构成的专门机构，用来对 临床设计工作进行培训、指导、鉴定和研究在传统的临床试验设计中，各种 处理被同概率的分配给病员，这样的设计有良好的统计效率且便于操作但是 当各治疗方案治愈率相差较大，存在有的处理对病员有严重的负面效果时，则 将有近半数病员受到这种处理的损害，此时这样的设计是不人道的( 见c o n n o r ( 1 9 9 4 ) 的例子) 因此，r o b b i n s ( 1 9 5 2 ) 提出了自适应设计的思想所谓的自适 应设计是，根据前面的试验结果，逐步修正后面的机会，以期使较好的治疗能以 较大的机会分配给病员，而使较差的治疗减少分配给病员的机会为此，z e l e n ( 1 9 6 9 ) ，w e i 和d u r h a n ( 1 9 7 8 ) ，a t h r e g a 和k a r l i n ( 1 9 6 8 ) 先后提出了“胜者优 先”( p l a y 4 h e - w i n n e rr u l e ) 设计，“随机化胜者优先”( r a n d o m i z e dp l a y - t h e - w i n n e r r u l e ) 设计，以及广义f r i e d m a n 罐子模型设计 “胜者优先”设计 考虑这么一个临床试验：这种疾病有两种治疗方式，而且治疗的结果只有 两种( 成功，或者失败) 病员被连续地安捧到试验中并且能够立即地得到治疗 结果7 先l e n ( 1 9 6 9 ) 提出“胜者优先”( p w ) 规则如下： 如果某次试验的结果是成功的，那么对下一个病员将仍然采用这次所采用 的治疗方法；而若这次试验的结果是失败的，那么对下一个病员将采用另外的那 第一章引言2 种治疗方法 令n 1 和n , a 分别为前n 次试验过后，分配到方法1 和方法2 的病员数 目，并且已知 则有 定理1 1 当n _ o 。时 且有 其中 鼽= ( 成功j 试验i ) ，i = 1 ，2 ， 供= ( 失败i 试验i ) ，i = 1 ，2 j 1 q 2 i 。q t - - q 2 “5 咒 她。! ! 口羔 船 q t + 匏 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 叫警一而q 2 】三( o 南) ， ( 1 3 ) 砟= q t q 2 ( p l + 仡) ( 口l + 啦) 3 ( 1 4 ) 随机化“胜者优先”设计以及广义f r i e d m a n 罐子模型设计 从( 1 1 ) 式与( 1 2 ) 式我们可以看出“胜者优先”设计确实可以让更多的人 接受更好的治疗但是如同w e i 和d u r h a m ( 1 9 7 8 ) 以及w e i ( 1 9 7 9 ) 的文t t o o 指出的那样，“胜者优先”设计缺少了随机性并且需要试验后能够, - r a p 观察到治 疗结果，当我们的试验结果有延迟的时候，这个设计便不能使用为此，w e i 和 第一章引言 3 d u r h a m ( 1 9 7 8 1 提出了下面的随机化“胜者优先”设计 首先，我们在罐子里放入( 口m ，a 2 0 ) 个球( 两种不同的球，分别代表两种不同 的治疗方法) ，然后我们从罐子里随机取一个球出来如果第一种球被抽取出来， 我们就让下一位病员接受第一种治疗；如果第二种球被抽取出来，我们就让下一 位病员接受第二种治疗所有的球在抽取出来之后都要再放回罐子里，而所有 的治疗结果也是可以观察的结果出来后，如果第一种治疗成功或者第二种治 疗失败，我们就在罐子里添加一个第一种球；同理如果第二种治疗成功或者第一 种治疗失败，我们就在罐子里添加一个第二种球这种r p w 设计也可以看作是 一个广义f r i e d m a n 罐子模型( w e i ，1 9 7 9 ) 进一步地，令k l ( k 1 ) 为n 次过后罐 子里第一( 二) 种球的个数由a t h r e y a 等( 1 9 6 8 ) 的结果，我们可以得到： 定理1 2 。! i 。上们 k 1 + q l + 9 2 。 垡。生8 丑 k l + k 2 q 1 + q 2 生。2 _n 5 礼 q l + q 2 些。! !们 n q l + q 2 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 进一步地，当p l + p 2 1 5 ( q 1 + q 2 1 2 i b - ，( 3 , 固 其中 = 熹 为第n 步之后罐内两种球所占的比例， n = ( g 1 ，口2 ) 由偿砂式定义 1 正1 0 由模型( 2 3 ) ，可得 k = 五k 一1 + q t ，五= ，+ ( 1 i ) h 则由归纳法得 记 碥= 厶碥一1 + q 。 = 厶( 厶一1 k 一2 + q 。一1 ) + q 。 = 厶厶一l ( 厶一2 y 一3 + q 。一2 ) + 五c k l + q 。 e l - - l = 厶厶一1 以k + 厶厶一以+ 1 劬+ q 。 j = l 玩一= ，风j = 厶以也+ 1 ，0 1 2 时， l 矿= o m l o g n ) ， 当沁= 1 2 时， l id ( n - 1 ) ，当a 2 1 2 时 第三章极限定理 对足够大的c ，分别取e c n 一( 1 - a 2 ) 1 0 9 n ，c n 2l o gn ，c n 一1 2l 0 9 1 2n ，我们可 以证明 霎p ( i g + 1 - - i 产，= 1t 鼠。q e ) 薹。e - c o k n = 霎孰1 1 2 时 熹宴风j 仍= d ( n - t 2 l o g n ) a s 当沁叫2 时 ( 3 1 2 ) io ( n 一2 ( 1 0 9 n ) m ) a s 当a 2 x 2 时 则( 3 7 ) 式得证最后结合( 3 9 ) 式与( 3 1 2 ) 式的结果，得到( 3 2 ) 式中的收敛速 度口 记 众一( 凡， 锄) ，其中尬。( 锄) 为到n 步为止进行的第a ( b ) 种试验 的总次数，同时也表示第n 步为止从罐子里抽取的黑( 白) 球的个数则我们可 以得到螈肛的强大数律和收敛速度 警。 口s ( 3 1 3 ) i 。o o a 哆1 j 一o ( n ( 1 - 2 ) l o g n ) li 弘4 ， e ( 尬一坛一l l 五一1 ) = - 亿- i - - - ， 第三章极限定理 则可得以下递推式： 坛：尬一l + y , - 1 + 仉， 0 将( 3 1 5 ) 式两边相加，则可得 因为 l 等i r o ) - - , 3 i ( zsr 0 ) ，其中0 卢 口1 ，且n + 卢= l 这样选取的的q ( z ) 对应的加球方式为? 试验成功便加入n 个对应颜色的球与p 个相反颜色的球，试验失败便加入q 个相反颜色的球与p 个对应颜色的珠当 口= 1 ，p = 0 时，即是n j j 节中的 r p w ”罐子模型 以 。：i l n 州铷 l n + 堕n l l 以 。：l 1 一n + 箪。 。斟 1 一礼 + 堕礼 = 尬百 第三章极眼定理 1 4 推论2 若选取m 个临界标准7 0 ，7 l ，r m ，0 = r o r l r 2 r m = 1 ， 把试验的结果分成m 个档次，当试验结果忌 r t 一1 ，n ) 时，看作试验结果为第t 档 次则钿( z ) = 2 1 a i ( r i 一1 $ n ) ，其中o = n 1 q 2 0 6 ) 1l73 ( i ，；) 3 ：5 221 01 0 p ( 而= 7 ) = 0 7a ( z ) = ，扣 0 5 ) 32 4 9 5 i ( 器，器) 5 1 ：4 0 55l l 现在我们来分析一下例子中的两种治疗方式的优劣以及表中的结果从表 中可以看出，以试验结果超过o 6 视作试验成功的话，方法a 治疗只有5 0 的 成功率，而方法b 的成功率为7 0 若采用传统的罐子模型就将对更多的病员( 5 8 ) 施以方法b 但是，我们也应该注意到，即使吃药的疗效不好，也不会带来 太大的危害，最低疗效也才0 3 而已；但是一旦手术失败了，后果就是致命的传 统方法将更多的病员分配到更危险的方法口治疗。这是不合情理的 第四章期望标准下的簟子模型 而采用期望原则来衡量a ，b 治疗方式，显然e r l = 0 6 ，而e r 2 = 0 4 9 ，说 明a 方法的平均疗效会好些，所以会有更少的病员( 9 1 9 ) 将被施以手术这样 就说明了使用平均效果更合情理 在此章，我们采用期望原则来比较试验结果的优劣，即若e r l e t h ，则认 为方法a 优于方法b ，反之亦然记鲰= e r k ，k = 1 ，2 取定a ( z ) = z ，表示 的加球方法为若第i 次试验结果为r ，则加入r 个同色球以及1 一r 个异色球， 在这样的加球方式下，作为定理3 1 与定理3 2 的推论，我们有 推论3 令a ( z ) = ，当n o o 时，有 _ n n s 【4 1 ) 丝。o口s ( 4 2 ) o口s l 哇z ， 其中 ， 一( 羔，蔫) ，i ( 4 3 ) a 2 【万而f 而j 。 对于试验结果的期望e r k ，我们也可以找到对应的估计值，那就是前n 次 试验中试验a ( b ) 效果的平均值，令 鼠= ：，：二： 已i = 1 一f “， t = 1 ，2 ， 则 = 缸，6 = ( 缸，钰) i = 1 该 风：掣陋邶， 表示了前n 次试验中a ( b ) 试验的均值，这是脚= 1 ，2 ) 的估计对于西h ，有以 下的渐近正态性 缸 。：i i i n 第四章期望标准下的罐子模型 1 7 定理4 1 当竹_ o o 时，有 何( 风一p ) 三n ( 0 ，) ， 其中风= ( 应l 。，扛2 。) ，p = ( p l ，i 2 ) ， e = ( 警喜) 证明令 厶玎= 如等v ，铴= 锄訾 l t d , 。 ，“lv 由定理3 2 知，m ；。= n a k ( 1 十o ( 1 ) ) ，k = 1 ，2 ，则 、n ( 肛。一p ) = ( 瓶壹j = l 丛掣，而壹j = l 丛掣1 j = ( 厶坊( n 巧) ( 1 + o ( 1 ) ) 注意到 ( ( 白1 j ，钿) ，乃一1 ，j = 1 ，2 ，) 为二维有界鞅差序列 因为当n _ o o 时 _ y j - i , 1 二0 1 ， 则有 y 盯u l 乃一t ) = 去e ( 锄( 啪) 2 i 乃一) 。碉白烈n 八邓l j n 。 = 1 棚半v a r r l 5 n0 2 刍， 二砖， c o y ( ( n u ，鲕) = 0 ， ( 4 4 ) ( 4 5 ) 第四章期望标准下的罐子模型 1 8 啦喜v a te n l i = 竿 j = l 又因为当n 0 0 时 1 盟i 厶巧l 赢。0 所以条件l i n d e r b e r g 条件显然满足因此由鞅差序列的中心极限定理得证此 定理口 第五章比较判别法下的罐子模型 与传统的罐子模型相比，采用连续量试验结果的罐子模型有一个非常好的 优点，即是试验的结果间可以比较优劣，所以我们便可以将另外那种治疗方法的 平均效果作为这个治疗方法结果的衡量标准：比如第n + 1 次采用了b 方法，试 验结果为_ r 2 。+ 1 ，而在前n 次中采用a 方法的平均效果为丘l 。，若飓。+ 1 豇1 。 则说明此次采用b 方法的效果比以前采用a 方法的平均效果要好则可以认为 此次采用b 方法是“成功”的反之若低于以前a 方法的平均效果，则认为是“失 败”的据此建立以下模型： ( 兄1 。) = i ( r 1 。 比五一1 ) ，( 5 1 ) a n ( r 2 。) = ，( j k p l 三一1 ) ( 5 2 ) 此时的n ( z ) 与以前便有非常大的不同，因为以前的a ) 的取值只与第n 次的结果r 。 = 1 ，2 有关，而用比较判别法的a ) 则不仅与第n 次的结果有 关，还与前n 一1 次的结果也有关 同理，前面模型中的三k 三h 也与时间1 1 无关，而此模型中马；是与前n - 1 次的结果有关的 p ( 孚吁t 21 ， ( 5 3 ) 尸( 忌 丘1 一一1 ) 。 、 类似与传统的罐子模型，此模型也有同样的收敛定理 定理5 1 在上面的模型中，当n o o 时，有 n 。一口 n s ( 5 4 ) 其中 。= ( p ( r 2 p 1 ) p ( r 1 ，也) p ( r 1 p 2 ) + p ( 岛p 1 ) p ( r x p c ) + p ( 见p 1 ) 7 为删右特征量， ( 5 5 ) d 0 p 胁胁 p 2 ) p ( 兄p l 1 p ( r l 圯) p ( r 2 t 1 ) ( 5 6 ) l i mm k = o 。a s ( k = 1 ，2 ) ( 5 7 ) n + a l m = l i mj l 矗。= 彳 n p ( a 1 m ) i i ( 1 一等) t = m + l j = t 。 e 一半 t = m + lj = t = 0 所以 p ( 1 i m 尬。 地) a s 风_ h a s 则类似于( 2 3 ) 式，我们有以下递推式 记 则有 所以由归纳法可得 k = ( ，+ ：巩) k 一1 十q 。，i = 1 ，2 ， ：! ( 风一日) ， n 鬈= 石k 一1 手孵一1 十骗 nn k = 玩，k + b j 5 一l + b j q i j = lj = l ( 5 8 ) = j 鼠，n n o + j 粪j 风。q t + ；雨1 ：善n 鼠j 劬垒 + 如+ 厶 类似于定理3 1 中的证明，我们有 l i m 厶= 0 a 8 ( 5 9 ) n + t j 哪- t h = ( ：) 一( ：+ 1 ) = ( ：) ， 并且当j o o 时 g j h a s 第五章比较判别法下的罐子模塑 所以 n 1 t b j q t = i 1i ( t j n t 一1 ) ( t 如+ l t 一1 ) ( 巧嵋) q l = ( 舢带q = ( 栅带一 = ( o c j 赤i i 马+ t ( 1 + 其中，当五n 0 0 时 又因为对于任意e 0 0 南n 昌+ 。( 1 + 争) 0 赤n 笛+ 。( 1 + 争) 白。0 a 8 野+争casi-j+ 1 。 叠善勺c 如- 1 “ = n - ( 1 - 糊印一k + n - 1 捌叨。2 j = 1 j = j o o - 1 sn 一1 一k 白j 一抽+ e 2 j = l e 2 + e 2 = f 0 幸 o c j ( 令如足够大) ( 令n 足够大) 所以 热南塞j = l 风肌一( ：) a s 、， 联合( 5 9 ) 式和( 5 1 0 ) 式，定理5 1 得证 ( 5 1 0 ) 口 、， l 1 一 一 j 1 2 口 n ， 0、，一 、， 第五章比较判别法下的簟子模型 例2 假设两个试验的结果都服从正态分布，即m 一( 卢1 ，盯 ) ，j 恐一n ( 舰，) 在玎。= u 2 = 盯时，定理5 1 有非常简单的形式：记为标准正态随机变量，由于 p ( r 2 讪) = p ( 学 学) = p ( 学) _ , i , m - 。p a ) ， o oo o p ( ) = 尸( 挚 学) = p ( 学) = 西( 学) 且显然 西( 丝l 吾丝) + 西( 竺生吾旦) = l ， 所以 h ：卜( 学) 垂( 学) 1 ， 西( 丐觇) 圣( 气- 盥) n = ( 圣( 学) ，西( 等) ) 所以，罐子中黑自球的极限比例是西( 如产) ：圣( 丝产) 下面我们进行一个模拟试验假设见一n ( 0 5 5 ，0 1 2 ) ，见一n ( 0 6 ，0 1 2 ) ， 在这样的假设下，分别采用传统的根据成功率( 这里视结果超过0 6 为成功) 的 方法和采用比较法在礼= 1 0 0 时做9 次模拟试验可得到以下结果： 第i 次黑球之比例总平均效果a 方法平均效果b 方法平均效果 l0 5 4 0 5 4 l0 5 5 8 3 6 40 5 4 8 7 4 90 5 5 7 0 0 4 20 6 5 7 6 5 8 o 5 9 8 0 1 3 0 5 5 5 9 9 4 0 6 2 3 5 1 1 30 5 6 7 5 6 80 5 9 8 5 4 30 5 7 2 7 2 8o 6 0 7 3 6 2 40 6 2 1 6 2 20 5 9 1 0 3 00 5 5 0 1 8 10 6 1 0 0 9 2 5 0 4 9 5 4 9 50 5 7 5 1 0 60 5 5 3 5 2 7o 5 8 8 4 0 4 6o 5 9 4 5 9 50 5 8 7 7 6 20 5 3 8 7 9 40 6 0 4 8 2 4 70 6 7 5 6 7 60 5 8 0 6 2 0 0 5 2 2 3 8 6 0 6 1 5 3 8 6 80 6 1 2 6 1 30 5 9 4 7 3 70 5 5 1 4 8 30 6 2 1 3 7 0 90 5 5 8 5 5 90 5 9 4 0 7 90 5 7 2 0 0 30 6 1 0 9 4 5 上表为采用传统方法的结果，可以看出在9 次模拟试验中，大多数试验 到1 0 0 步时黑球的比例都超过了一半但是一半以上黑球的比例都还不到6 0 ， 第五章比较判别法下的譬子模型 甚至有一次模拟( 第四次) 黑球的比例为不足5 0 ，并且还有一次( 第一次) a ，b 试验结果的差别不明显，在这种情况下无法判断两种方法的优劣此模拟试验 说明传统的方法在“使较好的治疗能以较大的机会分配给病员”的自适应目的上 做得并不好丽在“判断两种方法的优劣”的统计目的上的表现也是差强人意 第i 次黑球之比例总平均效果a 方法平均效果b 方法平均效果 l0 6 4 8 6 4 90 5 8 6 6 7 00 5 5 1 0 5 30 5 9 5 9 8 8 2 0 6 3 c 1 6 如o 5 8 0 2 7 30 5 3 8 3 3 80 6 0 3 6 0 9 3o 7 2 9 7 3 00 5 7 2 2 9 7o 5 1 0 7 3 0o ，6 0 3 2 8 7 4 0 7 5 6 7 5 7 0 5 8 2 1 6 0 o 5 2 3 0 4 00 5 9 8 9 4 1 0o 6 8 4 6 8 50 5 8 9 2 5 80 5 4 8 6 6 30 6 0 4 3 9 0 60 5 6 7 5 6 80 5 6 8 5 2 00 5 4 3 8 9 80 5 8 5 6 0 0 7 0 6 2 1 6 2 20 5 9 6 6 0 30 5 6 0 2 2 30 6 0 9 8 6 5 80 6 2 1 6 2 20 5 8 2 6 3 20 5 4 5 3 2 30 5 9 0 8 3 1 9 0 8 1 9 8 2 00 5 8 5 9 4 40 5 2 5 6 1 90 5 9 0 4 0 6 上表为采用“比较判别法”所得的结果，在所有的模拟中在1 0 0 步时，黑球的 比例都远远地超过了白球，甚至还有一些超过了7 0 ，而且每一次模拟中a ，b 两种试验的平均结果都有明显的差别，都可以判断出方法b 的确优于方法a 这个事实此模拟试验说明改进的“比较判别法”无论是在“人道”上，还是在“效 率”上都表现得要比传统方法强，说明了此方法具有实际应用参考价值 参考文献 【1 】1a l t h r e y a ，k b a n dk a r l i n ，s ，e m b e d d i n go fu r ns c h e m ei n t oc o n t i n u o u s t i m eb r a n c h i n gp r o c e s s e sa n dr e l a t e dl i m i tt h e o r e m s ，a n n m a t h s t a t i s t ， 1 9 6 8 ，3 9 ：1 8 0 1 1 8 1 7 【2 】a l t h r e y a ，k b ，n e ype b r a n c h i n gp r o c e s s e sb e r l i n ：s p r i n g e r 1 9 7 2 f 3 】a n s c o m b e ，f j ，l a r g es a m p l et h e o r yo fs e q u e n t i a le s t i m a t i o n ，p r o c c a m - b r i d g ep h i l o s s o c ，1 9 5 1 ，4 8 ：6 0 0 6 0 7 f 4 jb a i ，z d a n dh u ，f f ，a s y m p t o t i ct h e o r e m sf o ru r nm o d e l sw i t hn o n h o i l n g e n e o u sg e n e r a t i n gm a t r i c e s ，s t o c h a s t i cp r o c e s s e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ， 1 9 9 9 ，8 0 ( 1 ) ：8 7 - 1 0 1 【5 】b a i ，z d ，c h e n ，g j a n dh u ，f f ，s o m et h e o r e m su n d e ru r nm o d e l sw i t h t i m et r e n d s ，c h i n e s ea n n a l so fm a t h e m a t i c s ，2 0 0 1 ，2 2 ( a ) ：8 9 - 9 6 【6 】b a l ，z d ，c h e n ，g j a n dh u ，f f ，ak i n do fu r nm o d e l sf o ra d a p t i v e s e q u e n t i a ld e s i g n ，a c t am a t h e m a t i c as c i e n t i c a ，2 0 0 1 ，2 1 ( b ) ：2 2 4 - 2 2 8 【7 】b a i ，z d ，h u ，f f a n ds h e n ，l ，a na d a p t i v ed e s i g nf o rm u l t i - a r mc l i n i c a l t r a l s ，j m u l t i v a r i a t ea n a l ，2 0 0 2 ，8 1 ：1 - 1 8 【8 1c h e n ，g ，j ，h u ，s h ，a n dh o n g ，s y ，ak i n do fu r nm o d e l si nd i n i c a lt f i a l s w i t hm u l t i - o u t c o m e ，c h i n e s ej o u r n a lo fa p p l i e dp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s ， 2 0 0 6 ，2 2 ：2 8 1 2 8 7 【9 】c h e n ，g ，j ，c h e n ，y m ，b a i ，z d a n dh u ，f f ，ak i n do fo p t i m a ld e s i g n o fu r nm o d e m ，a c t am a t h e m a t i c as c i e n t i c a ，2 0 0 3 ，2 3 ( a ) 【l o lc h e n ，g j ，z h u ，c h a n dw a n g ，y h ，l i m i tt h e o r e m sa n do p t i m a ld e s i g n w i t ha d a p t i v eu r nm o d e l s ，j o u r n a lo fs y s t e m ss c i e n c ea n d c o m p l e x i t y , 2 0 0 5 ， 1 8 3 4 7 - 3 6 0 参考文献 f 1 1 】d e v r o y a ，l ，l a s j l o ，g ，ap r o b a b i l i s t i ct h e o r yo fp a t t e r nr e c o g n i t i o n ， s p r i n g e r ，1 9 9 6 1 1 2 1h a l l ，p a n dh e g d e ，c c ，m a r t i n g a l el i m i tt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n ， a c a d e m i cp r e s s ，l o n d o n ，1 9 8 0 【1 3 】h uf f a n dz h a n gl x ，t h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t y o fu r nm o d e l sf o rc l i n i c a l t r i a l sw i t hd e l a y e dr e s p o n s e ，b e r n o u l l i ，2 0 0 4 ，1 0 ( 3 ) ：4 4 7 4 6 3 f 1 4 】i v a n o v a , a v ，ap l a y - t h e - w i n n e r - t y p eu r nm o d e lw i t hr e d u c e dv a r i a b i l i t y , m e t r i k a ，2 0 0 3 ，5 8 ：1 - 1 3 【1 5 1l i n ，z y a n dz h a n g ，l x ，a d a p t i v ed e s i g n sf o rs e q u e n t i a le x p e r i m e n t s ， j o u r n a lo fz j us c i e n c e ，2 0 0 3 ，4 ：2 1 4 - 2 2 0 【1 6 】r o s e n b e r g e r ，w f ，f l o u r n o y , n a n dd u r h a m ，s 。da s y m p t o t i cn o r m a l - i t yo fm a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t o r sf r o mm u l t i p a r a m e t e rr e s p o n s e - d r i v e n d e s i g n s ，j s t a t i s t p l a n n i n f ，1 9 9 7 ，6 0 ，6 9 - 7 6 【1 7 1r o s e n b e r g e r ，w f a n dg r i l l ，s e ，as e q u e n t i a ld e s i g nf o rp s y c h o p h y s i c a l e x p e r i m e n t s ：a na p p l i c a t i o nt oe s t i m a t i n gt i m i n go fs e n s o r ye v e n t s ，s t a t i s t s t a t i s t m e d ，1 9 9 7 ，1 6 ：2 2 4 5 - 2 2 6 0 【1 8 lr o s e n b e r g e r ，w f ，n e wd i r e c t i o n si na d a p t i v ed e s i g n s ，s t a t i s t s c i ，1 9 9 6 l l ：1 3 7 - 1 4 9 ( 1 9 r o s e n b e r g e r ，w f ，a s y m p t o t i ci n f e r e n c ew i t hr e s p o n s ea d a p t i v et r e a t m e n t a l l o c a t i o nd e s i g n s ，a n n s t a t i s t ，1 9 9 3 ，2 1 ：2 0 9 8 - 2 1 0 7 f 2 0 】s m y t h e ，r t ，c e n t r a ll i m i tt h e o r e m