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分数布朗运动下的亚式期权定价研究 摘要 亚式期权作为一种强路径依赖期权，是新型期权中常见的一种，其执行与否 取决于合同期内股票平均价格的高低。由于采用平均值可以减少价格波动的所带 来的影响，从而亚式期权比类似的常规期权更便宜，因此在货币和商品市场中比 较流行。 本文是股票价格的变化符合用分数布朗运动，将保险精算定价方法用于亚式 期权的定价上，保险精算方法即将标准期权的定价转化为一个等价的公平保费问 题，这种定价方法的主要优点是其前提条件不涉及任何的经济假设，在有套利、 不均衡、不完备市场上也能适用，建立了亚式期权定价模型。本文在前人研究的 基础上，结合自己所做的一些工作，推广了股票价格的变化符合分数布朗运动下 的几何平均亚式期权的定价公式。 关键词：期权定价亚式期权分数布朗运动保险精算公平保费 s t u d yo nt h ep r i c i n g o fa s i a no p t i o n s i nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n a b s t r a c t a sak i n do fs t r o n gp a t hd e p e n d e n c eo p t i o n s ， a s i a n o p t i o n sa r eo n e o ft h en o r m a l e x o t i co p t i o n sa n dt h e i re x e c u t i o na r ed e p e n d e n to nt h es t o c ka v e r a g ep r i c e f o rt h e d e c r e a s i n go ft h ei n f l u e n c eo fs t o c k sv a l u e ，t h ep r i c eo fa s i a no p t i o n si s l o w e rt h a n t h es t a n d a r do p t i o n ，t h e r e f o r ei ti sm o r ep o p u l a ri nt h ec u r r e n c ya n dt h ec o m m o d i t y m a r k e t s t h i sa r t i c l ei saf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nt oc h a r a c t e r i z et h ec h a n g e si ns t o c k p r i c e s ，t r a n s p l a n t st h ea c t u a r i a lo p t i o np r i c i n ga p p r o a c h t ot h ep r i c i n go fa s i a no p t i o n s a c t u a r i a lo p t i o np r i c i n ga p p r o a c h ，w h i c ht u r n st h ep r i c i n go f s t a n d a r do p t i o n si n t oa n e q u i v a l e n tf a i rp r e m i u md e t e r m i n a t i o n t h em a i na d v a n t a g e o ft h i sa p p r o a c hi st h a t t h ep r e m i s ed o e sn o ti n v o l v ei na n ye c o n o m i ca s s u m p t i o n ，a n dc a nb eu s ei nt h e a r b i t r a g e ，n o tw e l lb a l a n c e da n di n c o m p l e t em a r k e t e s t a b l i s ho f aa s i a no p t i o np r i c i n g m o d e l b a s e do ft h ef o r m e rc o n c l u s i o n so fo t h e r sa n ds o m ew o r k s o fm y s e l f , t h e a r t i c l ee x t e n d e da na c t u a r i a la p p r o a c ho na s i a no p t i o np r i c i n gf o r m u l aw h e n u n d e r l y i n ga s s e t sd r i v e nb yg e o m e t r i cf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ，a s i a no p t i o n s ，f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ， a c t u a r i a la p p r o a c h ，f a i rp r e m i u m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得 金壁工些态堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：司镢 签字日期：乃l 。年锄叼日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金8 巴王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被杳阅和借阅。本人授权盥 王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期：叫绰 少) 日 电话： 邮编： 口艮、 - z p 飞甘 月 名 年 签 。 截 卟 畦 p 文 期 沦 日 位 字 学 签 致谢 首先我要感谓j 我尊敬的导师杜雪樵教授。他那渊博的知识，敏捷的思维，严谨 的治学精神，开明的作风不断的激励着我努力探索。在他的指导下，我进一步懂 得了从事教学以及科研应当具备什么样的素质和能力。在论文写作期间，杜老师 付出了大量的精力，在百忙之中精心审阅和细心指导，才使论文得以顺利完成。 杜老师不仅在学业和学术研究上对我孜孜不倦的教诲，而且在生活上对我有很大 的帮助，在为人处事方面言传身教，使我终身受益。杜老师高深的学术造诣，不 倦的进取精神以及对前沿方向的把握和直觉，永远是我们学习的榜样。在此，我 向他表示衷心的感谓 。 在两年多的学习和论文创作过程中，数学学院的多位老师及同学朋友给了我 很多的帮助，在此一并表示我真诚的谢意! 。 感谢我的家人，你们给予了我巨大的物质上的资助和精神上的鼓舞，他们是 我学习和生活的动力是他们时时刻刻的关爱和支持使我战胜困难，完成学业。 作者：周银 2 0 1 0 年4 月 第一章绪论 1 1 关于金融衍生产品的基本概念 1 1 1 金融衍生产品的概念 金融衍生产品( d e r i v a t i v e s ) 是指其价值依赖于基础资产( u n d e r l y i n g s ) 价 值变动的合约( c o n t r a c t s ) 。这种合约可以是标准化的，也可以是非标准化的。 标准化合约是指其标的物( 基础资产) 的交易价格、交易时间、资产特征、交 易方式等都是事先标准化的，因此这类合约大多数在交易所上市交易，如 期货。非标准化合约是指以上各项由交易的双方自行约定，因此具有很强 的灵活性，比如远期协议。 金融衍生产品的共同特征是保证金交易，即只要支付一定比例的保证金 就可进行全额交易，不需实际上的本金转移，合约的了结一般也采用现金 差价结算的方式进行，只有在满期日以实物交割方式履约的合约才需要买 方交足贷款。因此，金融衍生产品交易具有杠杆效应保证金越低，杠杆效 应越大，风险也就越大。 金融衍生产品的种类主要有以下三种 ( 1 )远期合约 ( f o r w a r dc o n t r a c t s ) 远期合约指合约双方同意在未来日期按照固定价格交换金融资产的合 约，承诺以当前约定的条件在未来进行交易的合约，会指明买卖的商品或 金融工具种类、价格及交割结算的日期。远期合约是必须履行的协议，不 像可选择不行使权利( 即放弃交割) 的期权。远期合约亦与期货不同，其合约 条件是为买卖双方量身定制的，通过在场外交易达成，而后者则是在交易 所买卖的标准化的合约。远期合约规定了将来交换的资产、交换的日期、 交换的价格和数量，合约条款因合约双方的需要不同而不同。远期合约主 要有远期利率协议、远期外汇合约、远期股票合约。 ( 2 ) 期货合同( f u t u r e sc o n t r a c t ) 从基本内容上看，期货合同和远期合约非常相似，即它也是合同双方关 于在未来某一特定的时间和地点进行标的资产买卖的项协议。其中同意 购买标的资产的一方称为期货合约的做多方( 买方) ，而同意出售标的资 产的另一方称为期货合约的做空方( 卖方) 。但是，期货合同和远期合约 存在着本质的区别，主要表现在下面几个方面： 第一，期货合同是标准的金融工具，主要体现在标的资产的交割数量及其 质量，交割日，交割地点和交割价格等合同条款方面，而远期合约是 非标准化的合同。 第二，期货合同的清算是通过期货清算所( c l e a r i n gh o u s e ) 完成的，清算所 是独立的第三方，充当中间人的角色，从而可使得信用风险降低到最 低限度，而远期合约双方则要面对对方可能违约的信用风险。 第三，期货合同交易双方的损益是盯住市场，逐日清算的。 第四，期货市场受到金融监管当局和有关法规的管制，而远期市场则不在监 管的范畴之内。 ( 3 ) 期权合同( o p t i o nc o n t r a c t s ) 期权( o p t i o n ) 就是允许投资人在未来一段时间内以事先确定的价格，买入或 者卖出某项资产的权利。简而言之，其他投资方法都需要投资人事先对不确定的 事件采取行动，投资的成败也就取决于投资人对不确定性事件的事先判断。而期 权投资人则是在收到新信息之后，再采取行动，这是处理不确定性的最好办法。 因此，期权普遍存在于金融的各个领域；有不确定性的地方就有期权的存在。 期权合同可以分为两大类型，即看涨期权( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( p u t o p t i o n ) 。看涨期权赋予其持有者在规定的时间内以事先预定的价格购买某种标 的资产的权利，而看跌期权则赋予其持有者在规定的时间内以事先预定的价格出 售某种资产的权利。 无论看涨期权还是看跌期权，他们都有下面四个基本参数： 第一，标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t ) ，即期权合同持有者行使权利时所 购买或者出售的资产。标的资产的种类很多，不仅可以是买股票， 债券，货币，利率等的金融资产，也可以是黄金及其他的一些商品。 第二，执行价格或敲定价格( e x e r c i s ep r i c eo rs t r i k ep r i c e ) ，即期 权合同所规定的标的资产的买入或者卖出的价格。执行价格一旦固 定，不再随标的资产市场价格的变化而变化。 第三，到期同( e x p i r a t i o nd a t e ) ，即期权合同所规定的有效期限或合 同做多方行使权利的时间。 第四，权利金( o p t i o np r e m i u m ) ，即期权合同的做多方为得到购买或者 出售资产的权利，而向合同的做空方所支付的一定的费用，也就是 期权合同的价格。 1 1 2 金融衍生产品的基本功能 金融衍生产品主要功能有：风险管理，获得收益，金融工程。 一风险管理 金融衍生产品最主要和最基本的作用在于实现风险的转移，从而为投资者提 供套期保值的有效工具和途径。套期保值者的主要动机就是进行风险管理，当面 临一个难以承受的风险是，套期保值者就可以利用衍生产品去降低或消除这种风 险。通过一定的交易价格，投资者可以将自己不愿意承担的风险转移给那些愿意 承担风险的专家或者追求风险收益的投机者，从而达到对投资风险进行管理的目 的。 二获得收益 不论是对于运用衍生产品进行风险管理的投资者或者是运用衍生产品进行 投机的风险爱好者来说，进行衍生产品交易均有可能使他们获得一定的收 益。 三金融工程 运用衍生产品构建特殊产品是金融工程中相对比较新的领域。金融工程师们 从一系列数目繁多的看涨期权，看跌期权，期货以及其他衍生产品做出选择和进 行不同的组合，以便构造出不同达到产品，满足不同投资者的需求。 1 2 期权的产生及其发展 1 2 1 期权的概念及其发展历史 近年来，在金融市场及商品市场中有很多形式的金融衍生工具，其中远期 合约( f o r w a r dc o n t r a c t s ) 、期货( f u t u r e s ) 和期权( o p t i o n s ) 是几种最基本的金 融衍生工具。我们也称这些金融衍生工具为未定权益。研究未定权益所要解决的 主要问题是如何确定未定权益的价格以及其应用问题。未定权益的价格是指为了 捌有在未来某个时刻( 如t 时刻) 支付的未定权益而现在应该支付的费用。在所 有未定权益的研究中，期权因其既能够为投资者提供套期保值功能又不丧失盈利 机会而在金融衍生工具中占有重要地位。 传统的标准期权通常是按照权利的种类和行使权利的时间来划分的。根据合 约中购入和销售标的资产来划分，期权可分为看涨期权和看跌期权：看涨期权 ( c a l lo p t i o n ) 是一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的标的 资产( u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的合约；看跌期权( p u to p t i o n ) 是一张在确定时间， 按确定价格有权出售一定数量和质量的标的资产的合约。根据合约中有关实施的 条款来划分，期权又可分为欧式期权和美式期权，此分类源于期权合同里的一项 专门条款：欧式期权( e u r o p e a no p t i o n s ) 只能在合约规定的到期日实施；而美式 期权( a m e r i c a no p t i o n s ) 能在合约规定的到期日以前( 包括到期日) 任何一个工 作日实施。早期发展的期权以欧式期权为主，如今得以进一步研究和发展的大多 数期权为美式期权 1 最简单的期权是欧式标准看涨或看跌期权，此期权在到期日的价值( 即终值 收益) 仅依赖于到期日标的资产价格，而与标的资产的历史价格无关。与之相比， 路径依赖型期权的价值是依赖于标的资产在期权有效期内整个的历史价格，也就 是说，路径依赖型期权的价值不仅依赖于标的资产当前的价格，还依赖于标的资 产价格在期权有效期内走过的所有路径。 在现今的金融市场上常见的路径依赖期权有障碍期权，亚式期权和回望期权 等。从数学上讲，障碍期权是最简单的路径依赖期权之一，由于它的终值收益对 标的资产在期权有效期内价格演化的依赖比较弱，所以又把障碍期权归为弱路径 依赖期权。 除了上面提到的几种期权外，还有其它一些路径依赖期权如百慕大期权，巴 黎朔权，俄式期权，亚式障碍期权等等。这些期权或是以上期权的某个变种，或 是综合了以上期权的某些特征，它们的出现都是为了迎合金融市场上各种投资者 的需要 2 。 4 1 2 2 期权定价理论的发展 期权给予合约持有人的是一种权利而非义务，即合约持有人具有放弃合约的 权力因此期权的价值一定大于或等于零，这样就必须以一定的价格才能买到期 权，但是期权的价格很难从市场交易中直接反映，因此期权定价一直是金融实践 和金融数学中的一个重要课题。但长期以来，一直未能出现令人满意的定价模型。 期权定价理论的奠基性工作是b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年首先做出的，他们在 假定股价波动符合几何布朗运动的基础上，建立了具有划时代意义的 b l a c k - s c h o l e s 模型，在风险中性意义下，推导了无红利支付无交易费用的欧式 期权定价公式。 许多现代数学工具，如随机分析，鞅论，随机最优控制，多元统计分析，数 学规划，现代计算方法等在金融理论和实践中起着关键的作用。我们可以将传统 的期权定价模型概括为以下三种： ( 1 ) 由b l a c k 和s c h o l e s 3 在1 9 7 3 年建立的b l a c k s c h 0 1 e s 模型。在市场无摩 擦，存在可连续交易的假设下，允许使用全部所得卖空衍生证券，形成一个无风 险的套期保值的证券组合推导出著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价公式，该公式是 建立在解偏微分方程的基础上的，这种定价方法又称为解偏微分方程方法。 ( 2 ) 由h a r r i s o n 和k r e p s 4 建立的鞅方法模型。是在市场无摩擦和完备的假设 下，市场无套利等价于存在唯一的等价鞅测度，市场上任何证券的折现价格在这 个测度之下是一个鞅过程，这种定价方法称为鞅方法。 ( 3 ) 由c o x 、r o s s 和r u b i n t e r n 5 在1 9 7 9 年建立的二叉树模型。二叉树方法可 以视为b l a c k s c h o l e s 定价模型的一个离散版本。这三种方法的共同点在于：通 常假设金融市场是无套利、均衡的、完备市场，利用复制的思想得到的。利用复 制的思想，b l a c k 与s c h o l e s 曾断言：任何未定权益的价值均可以由包含基础证 券( 股票) 和无风险证券( 债券) 组成的投资组合精确复制，换句话说，购买或出售 一个期权的风险可完全被投资组合的收益所对冲，因此在无套利、均衡的、完备 市场假设下期权的市场价值可由债券和股票的市场价值确定。 b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年开创性的推导出欧式标准期权的价格满足一个 线性的抛物型偏微分方程即著名的b l a c k s c h o l e s 方程。经过适当变换后该方程 与相应的终值条件一起构成一个常系数的柯西( c a u c h y ) 问题，b l a c k 和s c h o l e s 通过求解这个问题给出了欧式标准期权的解析定价公式。b l a c k 和s c h o l e s 获得 成功的关键在于，他们认识到一个期权的损益特征可以由标的股票和无风险债券 的适当组合来精确复制，即任意一个期权都可以通过人工合成的办法来实现。因 此，复制期权所需要的成本即为所对应期权的价值。 b 1 a c k s c h 0 1 e s 期权定价模型克服了以前各种模型存在的问题，从而为包括 期权定价在内的金融衍生工具定价问题的研究开创了一个新的时代。在同年， m e r t o n 6 和c o x ，r o s s 和i n g e r s o l1 7 又都对其进行了深入地研究和改进，并 将其推广到诸如股票期权、股指期权和货币期权等众多衍生品之中。随后在 b l a c k 和s c h o l e s 的研究基础上，人们找到了其他很多期权定价方法。 但b l a c k s c h o l e s 传统的期权定价模型对市场作了许多理想的、不切实际的 假设例如标的资产价格的波动率为已知，且在期权的寿命期内部不发生变化；股 票市场交易是连续不断进行的，因此其价格平稳的变化，不是随机变量；任何人 都能以同一利率借入或贷出任意金额的资金；可任意卖空标的股票或者期权，且 所得可以立即全额使用；股票市场和期权市场均不存在交易成本；投资者参与市 场交易并不影响其所承担的税务；股票市场和期权市场具有充分的流动性；标的 股票不支付股利。使得它的推导及运用同样受到了各种条件的约束，显然过于严 格的假设削弱了原始定价公式在现实中的运用，使其在理论和应用上存在着缺 陷。其后一些学者们对模型进行了更加详细深入地研究和改进，并推广到了对其 他金融衍生工具估价及金融风险控制这些“更普遍的环境”之中，使期权得到了 不断完善。下面简单介绍一下： ( 1 ) 利率是不是常数时的期权定价问题 在b l a c k s c h o l e s 模型中利率是给定的常数。实际上，利率的变化是相当复 杂的不同性质、不同到期日的证券，利率的变化规律互不相同，这就是利率的期 限结构利率不变实际上是假设利率的期限结构为一平坦的直线，显然这是不符合 实际情况的，1 9 7 3 年m e r t o n 考虑到这种情况，首先给出了利率随机变化的欧式 期权定价模型，由于各种原因该模型在实际中很少被采用。近年来由于利率的风 6 险同益突出，利率期权等利率衍生证券得到迅速发展，关于利率期权定价方法的 研究在期权定价理论研究中显得尤为的重要，综合起来这方面的研究可分为两 类：第一类是以b l a c k s c h o l e 模型为基础的修正与推广。第二类是基于利率期 限结构变化的估计与建模。 ( 2 ) 价格非连续变化时的期权定价问题 在现实中股票价格可能出现非连续的变化，即所谓的跳跃，这是用 b l a c k - s c h o l e 模型下股价服从对数正态分布的假设无法处理的，为此需要引入 新的分布，1 9 7 6 年m e r t o n 第一个考虑了股价服从跳跃扩散过程的期权定价问题， 由于所得定价公式十分的复杂，且所含参数的值不容易被确定，使得该模型在实 践中难以推广应用，在另一方面，c o x 等人在1 9 7 9 年提出股价变化服从对数泊 松分布的假设，从而得到了所谓的跳跃过程离散卖权定价模型。 ( 3 ) 波动率不是常数时的期权定价问题 股票价格的波动率是刻画未来股票价格变动的一种最为关键的变量，在 b 1 a c k s c h o l e s 模型及其大部分推广中，总认为股票价格的波动率为常数，事实 上，金融统计数据表明b l a c k s c h o l e s 模型与实际情形存在显著的系统差异，其 中主要的两种不一致现象是：由b l a c k - s c h o l e s 模型确定的无条件报酬分布的 峰度过小；实际观测到的资产价格分布的两条拖尾曲线都比b l a c k s c h o l e s 模型架设的对数正态分布要宽。同时，市价观测到的衍生证券市场价格表明，隐 含波动率并不符合模型所作出的常值假设，而是存在隐含波动率的现象。总之， b l a c k s c h o l e s 模型关于标的资产分布规律的有些假设是与实际相违背的。而大 量实证分析表明，随着时间的变化波动率一般不是一个常数，例如波动率的大小 往往与股价水平的高低成反向变化关系。因此如何估计波动率的变化规律，并将 其反映在期权定价模型中，是学者们十分关注的一个问题。 1 2 3b l a c k s c h o l e s 期权定价理论 1 9 7 3 年，美国芝加哥大学学者f b l a c k 与m s c h o l e s 发表了关于期权定价的经 典论文 3 “t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ”引发了“华尔街的又 一次革命”( 第一次为上世纪5 0 年代末6 0 年代初，m a r k o w i t z 的投资组合的均值一 方差理论与s h a r p e 的资本资产定价理论) 。文中利用随机微分方程推导出了期 权定价模型，在推导定价公式时，b l a c k 和s c h o l e s 作出如下8 个假设条件： ( 1 ) 允许使用全部所得卖空衍生证券； ( 2 ) 无交易费，无税收，所有证券都是高度可分的； ( 3 ) 在衍生证券的有效期内没有红利支付； ( 4 ) 不存在无风险套利机会； ( 5 ) 证券交易是连续的； ( 6 ) 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施的； ( 7 ) 无风险利率是常数，且对所有到期同都相同； ( 8 ) 标的资产价格的变动符合几何b r o w n 运动过程， 即姆= s ( u d t + c r d b ( t ) ) 该假设等价于标的资产价格服从对数j 下态分布 该过程利用套利原理和随机分析中的i t 6 公式证明了欧式看涨期权价格， 厂 ，f ) 满足的b s 微分方程： 肛心嘉毛筹幽2 = 哆。， 研a s2 舔2 ( 1 1 ) 【f ( s ，f ) = ( s k ) + 解得：f ( s ，f ) = c ( s ，f ) ， c c s ，= s c p ( 里! 壹学 一膨7 ( 里墨学 ( 2 ， 其中：c 为看涨期权价格；k 为期权执行价格；s 为标的资产现价；丁为期权有 效期；，- 为连续复利计无风险利率；仃为标的资产价格的波动，( ) 为标准正态 分布函数。 b l a c k - - s c h o l e s 期权定价公式给出的价格与股票的期望收益率无关，而且它 是一个完全由“可观察”变量组成的函数，这使得模型能接受直接的实证验证该 模型是现代分析型金融学的最杰出成就之一，其中的方法为其它金融衍生证券的 定价奠定了基础，以b s 为代表的期权定价理论具有一定的科学价值与借鉴意 义 1 3 本文的主要内容和结构安排 自从b l a c k s c h o l e s 期权定价公式被提出后，这一公式便被广泛地应用于金融 市场的定价分析。但是这一传统公式是建立在有效市场假设之上的，而近年来对 股票市场的大量研究结果都表明股票市场价格变化并不符合正态分布的，它们呈 现的是一种“尖峰胖尾”分布。而且，股价之间也不是随机游走的，是在不同时间存 在着长期相关性等特征，这与几何布朗运动有一定差距。而分数布朗运动正好具 备长时间相关、自相似等特征，因此它能很好地刻画股票波动规律。 针对b l a c k s c h o l e s 模型无套利，均衡，完备市场的假设在大多数情况下并 不能得到满足这一缺憾，1 9 9 8 年m o g e n sb l a d t 和t i n ah v i i dr y d b e r g 提出了 期权定价的保险精算方法。保险精算方法在对市场没有假设的情况下利用公平保 费的原理将期权定价问题转化为保险问题，其基本思想是：买入一份期权，对方 ( 既此时的期权出售者) 在期权有效期内就会承担一定的潜在风险，若要为这一风 险加上保险，其保费就是这一期权的价格，也就是用对方所承受风险的大小来衡 量期权价值的大小。由于其方法对市场没有任何的假设，所以它不仅对无套利， 均衡，完备市场有效，且对有套利，不均衡，不完备市场也都有效。 第一章作为绪论部分，介绍了金融衍生产品相关概念及功能；回顾了期权及 其定价理论的历史及发展。简述了b s 经典期权定价理论，最后介绍了本文的主 要内容和机构安排。 第二章是预备知识，主要介绍了亚式期权及其传统定价方法，分数布朗运动， 及i t 6 公式 第三章首先介绍了欧式期权的保险精算定价，然后建立的分数布朗运动下保 险精算的定价模型在对市场没有假设的情况下利用公平保费原理将期权定价问 题转化为保险问题，用对方所承受风险的大小来衡量期权价值的的大小，得出了 分数布朗运动下的亚式期权的定价。它不仅对无套利，均衡，完备市场有效，且 对有套利，不均衡，不完备市场也有效。 9 第二章预备知识 2 1 亚式期权及其传统定价方法 亚式期权( a s i a no p t i o n s ) 是几种最常见的新型期权中的一种，是强路径依赖 期权一种典型代表，也是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的新型期权之一。 它的特点在于其支付结构取决于期权有效期或者期权期限内某一特定时段内标 的资产价格的平均值，而不单单是标的资产在期权到期日( 欧式期权) 的价格或在 期权执行日( 美式期权) 的价格。由于它最早由美国信托( b a n k e r st r u s t ) 公司在 日本东京推出，故称其为亚式期权( 期权的标的资产包括股票、股票指数、外汇、 债务工具、各种商品和期货合约) 。 亚式期权实质上是欧式期权的一种创新，它在货币和商品市场特别的流行， 它与欧式期权的相同点在于它们都是只允许起投资者在到期同t 当天执行期权 合同，不同点在于欧式期权是根据到期日t 当天的股价s ( t ) 的高低来决定是否 执行期权合同，而亚式期权是根据合同期 0 ，t 内的股价的平均价格的高低来决 定是否执行期权合同。亚式期权如此受欢迎的一个重要的原因在于：平均值的采 用减少了波动，导致了它比一个类似的常规期权要便宜一些，而任何能降低合约 前端费用的东西都会导致它们受欢迎。在许多情况下，在市场上寻求套期保值的 公司往往需要为他们在未来一段时间内连续平稳的可预测现金流进行保值，这时 持有一个合适的亚式期权可以对冲平均价格的风险，因此，亚式期权对那些不断 进行小额交易特别有用。有时，亚式期权所使用的是一段特定时期内的平均价格， 往往可以满足投资者的特殊需求。 由于结算方式的不同，亚式期权可分为两种：种是平均价格型期权 ( a v e r a g ep r i c eo p t i o n s ) ，它最早是在货币期权市场发展起来的，又称其为“平 均利率期权( a v e r a g er a t eo p t i o n s ) 。平均价格型期权的价值是由平均价格与 约定执行价格的差额决定，以看涨期权为例，当合同期内的股价的平均价格高于 约定执行价格时，则行使期权；反之则不履行期权合约，该类型的期权为常规亚 l o 式期权，也是较常见的亚式期权的形式。平均价格期权主要是在o t c 市场上交易 的，且绝大多数都是欧式的，并且是采用现金结算。这类期权合约一般都有关于 平均价格计算的详细规定，如标的资产价格的信息来源以及观察样本的时间、频 率或间隔时间等。市场管理采用的是标的资产价格的算数平均数，但早期也有使 用集合平均数的。在货币期权市场上，平均价格的数据是建立在连续样本的基础 之上的；在其它市场上，平均价格的取样则根据预定的不连续的活力点的时间间 隔来进行。另一种是平均执行价格型期权( a v e r a g es t r i k eo p t i o n s ) ，即期权的 价值是由平均价格与到期日的价格的差额所决定的，也就是将平均价格作为期权 的约定执行价格。虽然它不如前一类期权那样活跃，但这类期权仍有其独特的作 用，即通过买进平均执行价格看涨期权能确保购买某项在市场上经常有交易的标 的资产时，所支付的平均价格不超过其最终价格( 即期权合约到期时标的资产的 市场价格) ；或者反之，通过买进平均执行价格看涨期权能确保出售某项在市场 上经常有交易的基础资产时，所收到的平均价格不低于其在t 时刻的最终价格。 同样以看涨期权为例，当到期日的股价高于合同期权价的平均价格时，则行使 期权，反之则不履行期权合约。平均价格在两者中的用途是有所差异的：前者以 平均价格代替欧式期权中到期日股价s ( t ) ，用来避免在一段时间内因频繁交易 资产而发生的价格波动风险，后者以平均价格来替换执行价格，可保证一段时间 内频繁交易资产所支付的平均购买价格低于最终价格或保证频繁交易资产所收 取的平均销售价格高于最终价格。 在对价格进行平均时，可以采用算术平均法也可以采用几何平均法，所以若根 据价格平均的不同，亚式期权还可以分为算术型亚式期权和几何型亚式期权，其 中以算术型亚式期权为常见类型。具体地说，若s ，& ，最为标的资产在不同时 刻f 1 ，f ：，的值，则离散算术平均价格a ( n ) 和几何平均价格g ( 门) 分别是： 鼬) ：攀；g ：( n s ) ；：p 帮 ( 2 i ) 对于连续时间的算术平均价格a ( t ) 和几何平均价格g ( t ) 分别是： 彳( 7 ) = 亭p u ) d t , g ( d - e x p 哼f s ( o d t ，) ( 2 2 ) 以a ( t ) 为例，对于平均价格型亚式看涨，t 时刻其收益为： 彳( 丁) 一k + = m a x a ( t ) 一k ，0 ) ，其看跌期权为 k 一4 ( 丁) ) + ，而平均执行价格型 亚式看涨期权t 时刻的价值为 s ( 丁) 一彳( r ) ) + ，其看跌期权价值为 彳( 丁) 一s ( 丁) ) + 。 由于标的资产平均价格的波动率一般总小于标的资产单个价格系列的波动率，因 此亚式期权的期权金一般总是小于相应的标准期权的期权金。 在金融市场中可以通过买进平均执行价格看涨亚式期权来确保购买某项在市 场上经常有交易的标的资产时，所支付的平均价格不超过其最终价格( 即期权合 约到期时标的资产的市场价格) ：或者反之通过买进平均执行价格看跌亚式期权 能确保出售某项在市场上经常有交易的标的资产时，所收到的平均价格不低于其 在t 时刻的最终价格。 亚式期权降低了期权价格对标的资产在合约到期日的价格变动的敏感性，而且 购买这类合约的费用比较低，因此，其交易十分活跃，所涉及的标的资产也从外 汇扩大到利率、股票、股价指数及实物商品；由于亚式期权的价值与标的资产的 价格变化的路径有关，所以其定价要比欧式期权的定价复杂的多，但亚式期权与 欧式期权有着直接和问接的联系，它是标准期权的延伸和派生，所以本文的以下 内容中，我们首先从欧式期权的保险精算定价模型出发，探讨亚式期权的保险精 算定价。 下面介绍下亚式期权的传统定价方法：首先我们来建立亚式期权的数学模型： 设亚式期权定价是：v = y ( s ，以，) 形成投资组合：丌( s ，d ，f ) 一a s 选取适当的，使得n 在时段( ，f + d t ) 内是无风险的，即 d y i = r y i d t = r ( v a s ) d t 由i t 6 公式，d l - i = d v a d s q a s d t = c 詈+ 三仃2 s 2 罟一g 埘，衍+ 罾船+ 孑一嬲 = c 詈+ 2 豢一g a s + o va d ) d t + c 豢- a ) d s 取 = 豢 可得：百o v + 孑等+ 三仃2 s 2 豢嘶一郴芸一厂y = 。 其中：以= 故，盟： d t p 办( 算术平均 ；j l n s 出( 几何平均 ( 2 3 ) 将上面的式子代入定解方程，我们得到亚式期权的定价模型： 算术平均亚式期权的定价模型：在定解区域 0 s ，0 j 0 0 ，0 t t ) 上，求 解定解问题： 百o v + 了s - j 万o v + 1 2 仃2 s 2 祟o s + ( ，一g ) s 竺o s 一，矿= o8 tt 2 、 “ v ( s ，j ，r ) ，( 具有固定敲定价格的看涨期权) ，( 具有固定敲定价格的看跌期权) ，( 具有浮动敲定价格的看涨期权) ，( 具有浮动敲定价格的看跌期权) 几何平均亚式期权的定价模型，在定解区域 0 s 0 0 ，0sj 0 0 ，0 f t ) 上，求 解定解问题： 百o v + ，坐半竺o j + 1 2 盯2 s 2 祟o s 竹刊j s r 业o s 一= oa tt z 、 “ v ( s ，j ，丁) = ( ，一k ) + ，( 具有固定敲定价格的看涨期权) ( k 一) + ，( 具有固定敲定价格的看跌期权) ( s 一，) + ，( 具有浮动敲定价格的看涨期权) ( 一s ) + ，( 具有浮动敲定价格的看跌期权) 此即为亚式期权的定解方程，对于其求解过程，如果用微分方程的理论，将会有 一个非常复杂的过程。 1 j 一一f 以只一 一 n 一 谶 r r r r 科圹圹盯 一 一 一 一 k s ， (，ll，l ，、， 2 2 分数布朗运动 自从b l a c k s c h o l e s 期权定价公式被提出后，这一公式便被广泛地应用于金融 市场的定价分析。但是这一传统公式是建立在有效市场假设之上的，而近年来对 股票市场的大量研究结果都表明股票市场价格变化并不符合正态分布，它们呈现 的是一种“尖峰胖尾”分布。而且，股价之间也不是随机游走的，是在不同时间存在 着长期相关性等特征，这与几何布朗运动有一定差距。而分数布朗运动正好具备 长时间相关、自相似等特征，因此它能很好地刻画股票波动规律。 定义1 - 设0 e - r t k ) ) ( 3 3 ) 注：该定理中没有对金融市场和价格过程做任何的限制，计算价格时只利用 了价格过程在期末时的实际概率分布和公平保费原理，因而克服了鞅方法定价中 寻找等价鞅测度的困难，所以保险精算定价对非均衡、不完备金融市场均适用 9 。 期权的保险精算定价与传统的无套利定价有许多本质的区别：保险精算定价 中欧式涨期权执行的条件为e - r s ( t ) e - r t k 而不是s ( t ) k ，在鞅定价方法中， 当期权被执行时，即s ( t ) k 时，欧式看涨期权的价值等于股票期末价格与期权 执行价格之差在等价鞅测度下的数学期望。事实上，只要假设随机过程 s ( t ) ：f 0 ) 满足：a s , = ( s ，t ) d t + 仃( s ，) d 彬 其中彬被称为标准布朗运动，s ( o ) 为初始值，这样就可以得到欧式看涨期权 的保险精算定价公式。 定理3 1 2 ：欧式看涨期权的保险精算定价公式： c ( k ，丁) = s ( o ) 尸( s ( 丁) e ( t z - r - o - a ) t ) 一k e 。7 尸( s ( 丁) p _ ，7 ) 其中p 是s ( t ) 的实际概率分布。 证明：s ( f ) ：s ( o ) e x p ( ( 一妻仃z ) f ) + 仃( ，) 有唯一解： 这等价于l n ( 器) ( ( 一扫t , o 2 t ) 即s ( 丁) 服从对数正态分布，期权执行条件e - u r s ( t ) e - t k 等价于： 1 n ( s ( o ) k ) + ( 厂一昙仃z ) 丁 w ( t 1 一乏一 l n ( s ( 0 ) k ) + ( ，一l ，o - 2 ) t 令y = 一一 稿球叫删旷阳m 圻硎玎p 抄击p 一嘉出 叫。河南口巾。，2 7 出邓( o ) 耶圳叫哪( 珍驴_ 1 6 这里z n ( t c r ，r ) ，并且z = 0 - 1 ( 1 n s ( o ) + 3 - - 0 2 t 一丁) 所以 c ( k ，丁) = e ( p 一s ( t ) 一e - r t k ) i e - ；r s ( r ) e - r k ) = s ( 0 ) p ( s ( 丁) g e ( - r - a 2 ) t ) 一e e 。7 k i e - r s ( 丁) e - r t k ) = s ( 0 ) 尸( s ( 丁) k e ( p - r - a 2 ) t ) 一p 一一k p ( s ( t ) k e - r ) t ) ) 注：当 s ( t ) ：f 0 是几何布朗运动时，欧式期权的保险精算定价与传统的无套 利定价是一致的。两种方法都可得到b l a c k s c h o l e s 公式，即当s ( t ) 服从对数 正态分布时，定理3 1 2 等价于b l a c k s c h o l e s 期权定价公式 3 。 相应地，我们可以得到下