（计算机应用技术专业论文）基于emd的纹理分析方法研究.pdf

摘要纹理分析在遥感、医学图像处理、计算机视觉及基于纹理的按图像内容检索等许多应用领域中具有重要意义。经验模态分解( e m p i r i c a lm o d ed e e o m p o s i t i o n , e m d ) i 扫h u a n g 等人在1 9 9 8 年首次提出，该方法能够自适应的将原始信号分解为频率由高到低的一系列内蕴模态函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ,i m f ) 及残差的和。作为一种完全的数据驱动方法，它从信号本身的尺度特征出发对信号进行分解，具有良好的局部适应性，近年来在信号去噪、故障诊断等方面得到广泛应用。n u n e s 等人将经验模态分解从一维推广到二维，将其应用于纹理分析。本文主要做了以下几个方面的工作：( 1 ) 分析现有的一维经验模态分解方法的抑制边界效应的方法，将其应用到二维经验模态分解中，并对二维经验模态分解方法进行改进。根据内蕴模函数的定义，改进二维经验模态分解中的筛分结束判别函数，避免因误差造成的筛分过程提前终止的现象；将紧支撑径向基函数插值法应用到n u n e s 的二维经验模态分解方法的包络构造过程中，并分析了应用不同的插值方法得到的分解结果。( 2 ) 利用二维经验模态分解方法对纹理图像做分类。对纹理图像进行二维经验模态分解，计算出内蕴模态函数的极值间距均值、瞬时幅值的均值及方差，组成特征向量，对纹理图像进行分类。( 3 ) 利用二维经验模态分解进行纹理图像的分割。对纹理图像进行二维经验模态分解，计算出内蕴模态函数的每个像素点对应的瞬时幅值及四个方向的瞬时频率组成特征向量，使用改进的模糊c 均值聚类算法对纹理图像进行分割。本文的实验仿真在m a t l a b7 0 环境下进行，使用二维经验模态分解方法对纹理图像进行分解，并从分解得到的内蕴模态函数中分别提取出的特征用于纹理分类及纹理分割，最终得到了较为精确的纹理分类及纹理分割结果，验证了所取特征的合理性。关键词：纹理分析：经验模态分解：内蕴模态函数：特征提取：瞬时频率a bs t r a c tt e x t u r ea n a l y s i si sv e r yi m p o r t a n ti nr e m o t es e n s i n g ，m e d i c a li m a g ep r o c e s s i n g ，c o m p u t e rv i s i o na n di m a g es e a r c h i n gb yt e x t u r ef e a t u r e e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ( e m d ) ，w h i c hi sf t r s f l yi n t r o d u c e db yn u n e se ta 1 i n19 9 8 ，c a l la d a p t i v e l yd e c o m p o s eas i g n a li n t os e v e r a li n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n s ( i m f ) w i t ht h ef r e q u e n c yl o w e ra n dl o w e r t h i sm e t h o d , w h i c ha n a l y s e sas i g n a lc o m p l e t e l yb yt h ei n n e rs c a l ef e a t u r ed i r e c t l yf r o mt h ed a t a , i sl o c a l l ya d a p t i v e i ti sw i d e l ya p p l i e di nt h es i g n a ld e n o i s i n ga n df a u l td i a g n o s e st h e s ey e a r s n u n e se ta 1 h a v ee x t e n d e dt h i sm e t h o di n t ob i d i m e n s i o n , a n da p p l i e di ti nt h et e x t u r ea n a l y s i s t h e w o r ko f t h i sp a p e rm a i n l yc o n s i s t so f t h r e ep a r t s f i r s t l y , t h i sp a p e ra n a l y s e st h ea p p e a r e dm e t h o d sf o ra v o i d i n gb o u n d a r ye f f e c tw h i c hi se x t e n d e di n t ob i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n , t h e na ni m p r o v e db i d i m e u s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o ni sp r e s e n t e di nw h i c ht h ec r i t e r i o nf o rt h e2 d s i r i n gp r o c e s st os t o pi sm o d i f i e d ，t oa v o i dt h ee a r l yt e r m i n a t i o no fs i f t i n g i n t e r p o l a t i o nu s i n gc o m p a c t l ys u p p o r t e dr a d i a lb a s i sf u n c t i o ni sa p p l i e di nt h ep r o c e s so fs i f t i n g ，r e s u l t si nu s i n gd i f f e r e n tm e t h o df o ri n t e r p o l a t i o ni sa n a l y s e d s e c o n d l y ,b i - d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o ni sa p p l i e df o rc l a s s i f i c a t i o no ft e x t u r ei m a g e s t e x t u r ec l a s s i f i c a t i o nu s e st h ea v e r a g ea n dv a r i a n c eo fe n v e l o p s ，a v e r a g ed i s t a n c e so fp o i n t so fl o c a lm a x i m aa n dm i n i m aa sf e a t u r e s a tl a s t ，t e x t u r ei m a g e sa r ed e c o m p o s e du s i n gb i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o na n ds e g m e n t e db yt h ef e a t u r e sw h i c ha r eo b t a i n e df r o mt h ei n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n s f e a t u r e sc o n s i ao ft h ei n s t a n t a n e o u sa m p l i t u d ea n di n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c i e sf r o m4d i r e c t i o l l s m o d i f i e df u z z yc m e a n sa l g o r i t h ma r ea p p l i e df o rt h es e g m e n t a t i o np r o c e s s s o m es i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sa r ec a r r i e do u to ns o f t w a r ep l a t f o r mo fm a t l a b7 0a n de x p e r i m e n tr e s u l t sa r ea n a l y z e da n ds u m m a r i z e da tl a s t t e x t u r ei m a g e sa r ed e c o m p o s e di n t oi n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n sb yb i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s k i o n , t h e nf e a t u r e sf o rt e x t u r ec l a s s i f i c a t i o na n dt e x t u r es e g m e n t a t i o na r eo b t a i n e da n dt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sa r es a t i s f y i n g ，w h i c hi n d i c a t e st h a tf e a t u r e sp r o p o s e di nt h i sp a p e ri sr e a s o n a b l e k e yw o r d s ：t e x t u r ea n a l y s i s ；e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ；i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ；f e a t u r ee x t r a c t i o n ；i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yi i长沙理工大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：亭碍位守日期：) ? 年j 月膳日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1 、保密口，在年解密后适用本授权书。2 、不保密囵。( 请在以上相应方框内打“)作者签名：胡穆守日期：) 0 0 8 年明培日翮硌译崎赢帆缔铂u1 1 纹理的定义和特点第一章绪论纹理是一种普遍存在的视觉现象，我们可以去感受纹理，却很难对纹理下一个精确的定义。它最初指纤维物的外观，但通常被定义为“任何事物构成成分的分布或特征，尤其是涉及外观或触觉的品质 ，而与目的更加相关的定义是：“一种反应以各区域中像素灰度级的空间分布的属性 。纹理可以广义的表述为具有表面特征的物体，如地形、植物、矿物、毛皮等，而在计算机图形学领域内，纹理通常指一种特殊的图像，该图像的任意部分在视觉上都有相似性，但又不完全相同，一般用来描述人们所观察到的图像中像元的灰度变化规律。习惯上我们将局部不规则的，而宏观上有规律的特性称为纹理。在图像分析中，讲描述这种灰度变化规律的数字特征成为图像的纹理特征。纹理特征是图像分析中一个难以描述的基本特性。纹理图像具有以下两个特点：( 1 ) 稳定性：在观察窗e l 大小合适的前提下，移动窗口时所看到的内容具有相似性；( 2 ) 半周期性：图像中的任意像素可以由其周围邻域内的其他像素预测得到，而与图像中的剩余部分无关。从纹理信息的产生过程划分将纹理分为人工纹理和自然纹理。将特定子图像按照一定的规则重复的排列，就可以产生人工纹理。而自然界展示的纹理被称为自然纹理。纹理图像的特性是，纹理基元会以周期的形式重复出现，而纹理基元是纹理区域中重复出现的局部特征。图像的纹理具有粗细度、对比度、方向性、线性、规则性、粗糙度等特性，从人类的视觉系统对纹理的认知来看，纹理还应该具有平移不变性和一定的尺度不变性以及旋转不变性，即人们对纹理的感知基本上和图像的位置、大小和方向无关。1 2 本文的选题意义及国内外研究现状纹理可以表示场景的深度和图像画面的走向。纹理能够用来调整图像中各种各样的表面性质，如表面的颜色、反射、透明度、或者转换。因此，在计算机图形学、图像处理、计算机视觉以及模式识别等众多领域中，纹理有着很重要的地位。纹理分析主要包括一下四个问题【l 】：( 1 ) 纹理分类纹理分类作为纹理分析研究领域的重要方面，在众多应用领域产生了深远的影响，人们对这个问题进行的大量的研究也取得了丰硕的成果，这个问题成为了图像处理领域的热点和难点之一。随着数字图书馆、图像和多媒体数据库的不断发展，纹理分类在景物识别【射、遥感图像分析【3 1 、医学图像分析【4 1 、基于内容的图像检索【5 】等方面得到了广泛的应用。纹理分类需要确定所给纹理的所属类别，是一个有监督的过程。首先需要抽取训练样本和测试样本的特征，训练阶段形成各类纹理模式，识别阶段使用某一类分类器确定待识别样本的所属类别。纹理特征提取是进行纹理分类的基础和关键，要求提取的特征既要满足同类纹理尽可能相似，同时也要能够使不同类别的纹理尽可能分离，在此基础上进一步使用高准确率的分类器进行分类从而实现准确分类。( 2 ) 纹理分割纹理分割是纹理分析的重要组成部分，目标为判断相邻纹理区域的异同和不同纹理区域的边界，得到纹理区域边界图。纹理分割通常有两种途径，基于区域的方法的主要思想是将具有一致纹理的区域标记在一起，基于边界的方法则是检测相邻区域的纹理之间的差异。对于任何一种途径，特征提取是纹理分割的关键所在。纹理特征提取的目的在于，从图像中抽取表示每个像素或者是表示空间灰度分布的特征量，将纹理的空间结构的差异转变为特征空间的差异，其基本内容是根据某种能够描述纹理空间分布的模型，给出纹理特征的定量估计。( 3 ) 纹理合成纹理合成常用于图像压缩，和计算机图形学。纹理合成主要用于呈现物体的表面，如着色、添加纹理。( 4 ) 根据纹理的三维重建由于纹理特征或纹理基元在成像和投影过程中被扭曲，纹理中将包含关于目标表面的方向性和形状的信息，根据纹理的三维重建的目的是从诸如阴影、立体图片、纹理等线索中提取目标的三维形状信息。在过去的三十年里，作为图像处理与识别的重要研究内容和难点之一，纹理分析颇受关注，并取得了丰硕的成果【6 】【7 1 ，产生了很多纹理特性的研究方法。总的来说，纹理分析主要有统计分析、结构分析、基于模型分析以及信号处理分析等几大类方法。( 1 ) 统计分析方法【3 】。统计方法一般通过计算图像像素的局部特征来分析空间的灰度分布情况，根据确定局部特征的像素数可以分为一阶、二阶和高阶统计特性。从灰度图像计算出灰度共生矩阵、能量、对比度、均匀度、熵等纹理特征。一阶统计特性估计单个像素特性而不考虑像素间的空域关系，二阶和高阶统计特性根据像素见得相关空间信息估计成两个或者多个像素特性。当纹理基元很小并构成微纹理时，统计方法的效果较好，且该模型需要大量的统计特性的数据。( 2 ) 结构分析方法【9 】。应用结构化的方法首先要确定基元的形状和性质，然后确定控制这些基元位置的规则。当纹理基元很大时采用结构化的纹理分析方法效果更好。但是由于自然图像中很难提取纹理基元，因此这一类方法不适合对自然纹理做分析。( 3 ) 基于模型的方法【l o 】。基于模型的分析方法主要是先建立纹理的参数模型，然后通过求模型参数来提取纹理特征，如马尔可夫链和马尔可夫随机场。该模型可以用于表示纹理，此类分析方法在纹理合成及纹理恢复方面有很多的应用。( 4 ) 信号处理方法。信号处理方法是根据纹理的周期性，采用滤波方法处理。研究表明，人类在分析纹理图像时，视觉感知系统自动将图像分解为不同的频率和方向成分。因此，通过信号处理进行纹理分析是一种行之有效的方法。该方法通过滤波将纹理图转换到频率域，也叫做滤波方法，l a w s 】首先使用滤波方法提取特征并利用带通滤波器组来刻画纹理。1 9 7 6 年，w e s z k a 等人【1 2 】对f o u r i e r能量谱、二阶灰度统计、灰度共生矩阵( g - r a yl e v e lc o o c c u r r e n c em a t r i x ，g l c m ) 等的纹理特征提取方法进行了比较。1 9 9 1 年，j a i n 等人【1 4 】开始利用动态g a b o r 滤波器组进行纹理分析，利用g a b o r 滤波器方向滤波进行纹理分析逐渐成为研究热点。而上世纪8 0 年代后期，小波理论的发展为纹理分析提供了新的方法，由于其多分辨的特性，可以将纹理图像分解，便于从高频到低频进行研究分析。新技术的不断发展为纹理纹理分析技术提供了广阔的前景。近年来利用g a b o r 滤波器方向滤波进行纹理特征提取是一个研究热点，尽管g a b o r 能量谱可以捕获纹理中的大量有用信息，但是很难获得纹理在频率和方向上的微小变化信息。g a b o r 滤波具有较好的方向性，不同方向的g a b o r 滤波器能够有效地区分不同纹理，因此可以利用不同频段不同方向的滤波器对图像进行滤波，以提取滤波后各个图像不同的特征；但是g a b o r 函数系是非正交的，g a b o r 滤波器所提取的特征中存在大量冗余信息。而小波理论的出现为空间频率多尺度分析提供了一个精确而统一的框架，它克服了g a b o r 方向滤波对高频信号的分析缺乏足够分辨率的缺陷。小波变换是上世纪8 0 年代后期发展起来的一门新兴的应用数学分支。在工程应用领域，特别在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别和量子物理等领域，小波变换被认为是工具及方法上的一大突破。小波变换具有多分辨特性，也叫多尺度特性，可以由粗及细地逐步观察信号，也可以看成是组带通滤波器对信号作滤波。通过适当地选择尺度因子和平移因子，可得到一个伸缩窗，只要适当的选择基本小波，就可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力。基于多分辨分析与滤波器组相结合，丰富了小波变换的理论基础，拓宽了它的应用范围，对小波滤波器组的设计提出了更系统的方法，降低t d , 波变换的计算工作量【1 5 】。基于小波分析的纹理特征提取方法受到广泛关注，采用小波变换进行纹理分类的新算法不断涌现，如利用小波变换、小波包等方法【1 6 1 1 1 7 】【1 3 】【1 9 】进行纹理分析研究，目前关于纹理分析的研究仍然十分活跃。然而，至今对纹理特征的选择及分析方法还在进一步的研究中，实际应用中仍然需要根据实际情况来做选择。新理论、新技术的不断提出为纹理分析的进一步完善提供了广阔的前景。1 9 9 8 年美国国家宇航局m a s a ) 的h u a n g 等人首次提出对- n 时间序列数据先进行经验模态分解，然后对各个分量作h i l b e r t 变换，这种变换被称为h i l b e r t h u a n g 变换【2 0 】【2 l 】【2 2 】。这种信号处理方法被认为是近年来对以傅立叶变换为基础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。该方法从本质上讲是对一个复杂的信号进行平稳化处理，其结果是将信号中不同尺度的波动或趋势逐级分解开来，产生一系列具有不同特征尺度的数据序列，每一个序列称为一个内蕴模函数。从而提取一个数据序列的趋势、去掉该数据序列的均值或去除数据序列中的高频噪声。由于这种分解是基于局部特征尺度，因此，该方法既能对线性、平稳信号进行分析，又能对非线性、非平稳信号进行分析；既包含小波变换的多分辨的优势，同时又克服了小波变换中需要人为选取小波基的困难，从信号本身的尺度特征出发对信号进行分解。作为一种完全的数据驱动方法，它具有良好的局部适应性，短短几年来，它已被成功地应用于地震、地质、海洋、生化、医学、语音、石油勘探等诸多方面【2 3 】【2 4 】【2 5 1 。经验模态分解方法在一维信号处理方面已经获得巨大的成功，我们将一维经验模态分解方法推广n - - 维情况。与金字塔表示、基于小波和基于扩散方程的经典多尺度构造方法相比，二维经验模态分解方法在纹理图像分析方面有独特的性质。首先，极值点之间的距离被作为局部尺度计算引入。其次，在提取分量时迭代计算直到达到某个满足条件才停止。而且，不同的曲面插值技术可以被用于计算二维经验模态分解中的平均包络。由于二维经验模态分解方法完全数据驱动的4特性，将其应用于纹理图像的分析中比傅里叶变换、小波变换和其它图像分析技术的效果要好。最近几年关于将二维经验模态分解应用到纹理分析的新方法不断的出现。将h u a i l g 的经验模态分解方法扩展至二维图像领域，有方向经验模态分解【2 6 1 ，该方法对分解得到的两个内蕴模函数中提取出包络特征及两个方向的瞬时频率特征，加上像素本身的位置因素，构成1 4 维的特征向量进行纹理分割。对具有显著方向性的纹理图像，可采用先行后列的顺序使用一维经验模态分解，然后进行一维h i l b e r t 变换，以进行瞬时频率和幅度的计算及分析1 2 7 】。n u n e s 等人提出使用数学形态学的方法来搜索极值、利用径向基函数插值构造二维包络的二维经验模态分解方法来分解图像，分析得到的内蕴模函数中极值数量及间距【2 引。人类视觉研究表明【2 9 】：空间一频率的多分辨分析克服了频谱方法缺乏空间域的多分辨性，能同时在空间域和频率域中达到最大的局部性，且与人的视觉特性相一致。由于二维经验模态分解方法具有很好的局部性和自适应性，因此可以将其应用于纹理的多尺度分解。1 3 主要工作及内容安排1 本论文的主要研究内容经验模态分解通过筛分过程，可以将信号分解成一系列从高频到低频的分量的序列，非常适合非线性、非平稳信号，将其引入n - 维，可以进行图像的多尺度分解。本文主要研究将一维经验模态分解方法引入n - 维后，应用到纹理分类和纹理分割的特征提取。本文针对二维经验模态分解的纹理图像分析，做了以下几个方面的工作：( 1 ) 分析现有的一维经验模态分解方法的抑制边界效应的方法，将其应用到二维经验模态分解中，并对二维经验模态分解方法进行改进。根据内蕴模函数的定义，改进二维经验模态分解中的筛分结束判别函数，避免因误差造成的筛分过程提前终止的现象；将紧支撑径向基函数插值法应用到n u n e s 的二维经验模态分解方法的包络构造过程中，并分析了应用不同的插值方法得到的分解结果。( 2 ) 禾t j 用二维经验模态分解方法对纹理图像做分类。对纹理图像进行二维经验模态分解，计算出内蕴模态函数的极值间距均值、瞬时幅值的均值及方差，组成特征向量，对纹理图像进行分类。( 3 ) 币l j 用二维经验模态分解进行纹理图像的分割。对纹理图像进行二维经验模态分解，计算出内蕴模态函数的每个像素点对应的瞬时幅值及四个方向的瞬时频率组成特征向量，使用改进的模糊c 均值聚类算法对纹理图像进行分割。2 本文内容安排本文共分六章，主要的内容安排如下：第一章绪论。介绍了纹理的特点、纹理分析技术以及纹理分类方法的进展，以及本文的主要工作及内容。第二章经验模态分解。介绍了经验模态分解方法及其相关概念，最后详细的说明了经验模态分解方法的边界效应问题，通过实验，实现了已有的抑制一维经验模态分解中边界效应的方法并对这些方法做了比较和分析。第三章二维经验模态分解方法及其改进。介绍了二维经验模态分解的模型，改进而为经验模态分解中筛分过程的终止判别条件。详细说明了二维经验模态分解中对离散数据点插值构造包络曲面中的两个方法：径向基函数插值以及d e n a u l y 三角剖分的三次多项式插值；为了降低计算量，将紧支撑径向基函数应用到插值方法中。使用这两种二维经验模态分解方法对图像进行分解，比较了他们的效果。第四章基于b e m d 的纹理分类方法。用二维经验模态分解方法将纹理图像分解成一系列的i m f ，并对每个内蕴模函数提取出包络均值、极值点个数及能量作为特征，应用于纹理分类。最后使用b r o d a t z 纹理图像库中的纹理图像，设计实验方法来验证所取特征的有效性。第五章利用b e m d 和f c m 聚类对纹理图像进行分割。用二维经验模态分解方法将纹理图像分解成一系列的i m f ，并对每个像素点计算瞬时幅值和瞬时频率作为特征，然后使用f c m 聚类方法来实现纹理的分割。并对实验结果进行比较分析。第六章总结与展望。给出了本课题研究的结论及归纳。6第二章经验模态分解f o u r i e r 频谱分析被引入以后，为检测全局能量频率分布提供了一种主要的方法，由于傅立叶分析方法的有效性和简单易行，很快就在数据分析中占主导地位。虽然傅立叶变换通常是有效的，但是对于傅立叶谱分析也有一些严格的限制：傅立叶分析只适用于分析线性系统，数据必须具有周期性或者是平稳的。傅立叶谱分析是在全局意义上定义一致的谐波分量，因此将把非平稳信号的能量扩展到更宽的频带中。另外，傅立叶谱分析应用了三角函数的线性叠加，所以对于非线性信号，傅立叶谱分析中将包含谐波频率分量。所以，傅立叶谱分析对于非线性和非平稳信号，都会引入虚假的谐波分量，造成能量扩散，分析结果将没有意义。小波变换具有多分辨特性，也叫多尺度特性，可以由粗及细地逐步观察信号，也可以看成是组带通滤波器对信号作滤波。通过适当地选择尺度因子和平移因子，可得到一个伸缩窗，需要选择适当的小波基，使小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力。但是，在应用小波变换进行信号分析时，需要人为的选取合适的小波基，以适应不同情况的需要。h u a n g 等人提出的经验模态分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n , e m d ) 方法州可以自适应的将原始信号分解为频率由高到低的、局部窄带的一系列内蕴模态函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n , i m f ) 和残差的和。该方法适合处理非线性、非平稳过程的信号。下面介绍经验模态分解方法及一些相关概念。2 1e m d 方法及相关概念2 1 1 瞬时频率为了研究瞬态与非平稳现象，频率与能量必须是时间的函数，因此，需要顺势频率与能量的定义。信号的瞬时能量与瞬时包络的定义已被广泛的接受，然而瞬时频率的概念却存在着很大的争议性。现存的大多数观点认为其不存在或者只有在特定条件下存在，如单分量信号。在传统的傅立叶分析中，频率被定义为在整个数据长度中具有恒定振幅的正弦或余弦函数。作为这一定义的扩展，瞬时频率的概念也必须与正弦函数或余弦函数相关。因此，需要最少一个周期的正弦或余弦波动来定义局部的频率值。所7以，少于一个波长的长度将无法给出频率的定义。这样的定义对于频率时刻变化的非平稳信号将没有意义。对于任意一个时间序列x ( ，) ，有它的h i l b e r t 变换y ( t ) ，如式( 2 1 )r ( t ) = 三尸挚( 2 1 )其中p 为柯西原理值。所有级函数都有这个变换。通过这一定义，x ( ，) 和】，( f )为复共轭对，所以可以得到解析信号z ( t ) 如式( 2 2 ) ：z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) = a ( t ) e 坩( 2 2 )其中a ( t ) = x 2 ( f ) + 】，2 】1 7 2) = a r c t a n 略)理论上有很多种虚部定义方法，但是h i l b e r t 变换给出了一个独特的定义虚部的方法，使结果为一解析函数。式( 2 1 ) 定义了x ( t ) 和1 t 卷积的h i l b e r t 变换，强调了x ( t ) 的局部特性，式( 2 2 ) 中，极坐标的表达形式更深一步的阐明了其局部特性：对x ( t ) 的振幅和相位变化的三角函数的最佳局部近似。尽管有了h i l b e r t 变换，对于定义瞬时频率为缈：d o _ ( t )( 2 3 )缈= i z j l仍然有相当多的争论。v i l l e 在1 9 4 8 年讨论时频分布时，将瞬时频率定义为频率分布的一阶矩。c o h e n 在1 9 8 9 年提出了信号能量在时域和频域分布的通用表达式，并定义瞬时频率为在指定时间间隔内，在时频平面内的平均频率【3 0 1 。b o a s h a s h在1 9 9 2 年对瞬时频率不同的定义进行了综合讨论【3 1 1 。无论采用瞬时频率的何种定义，长期以来都一致认为：瞬时频率的概念只对单分量信号具有物理意义。2 1 2 内蕴模态函数虽然h i l b e r t 变换具有优良的特性，但是，大多数信号或者数据并不是内蕴模函数。数据可能包含不止一个振荡模式，所以h i l b e r t 变换不能给出一个一般信号的完全的频率内容，因此，需要将数据分解成为基本模式分量。在e m d 方法中，i m f 是基于信号的局部特性的，引入i m f 的概念使得可以定义一个有意义的瞬时频率。在物理意义上定义一个瞬时频率的必要条件是：函数相对于局部零均值是对8称的，并且具有相等的过零点数和极值点数。基于此，h u a n g 提出了i m f 的定义：i m f 是满足以下两个条件的函数：( 1 ) 在整个数据集中，极值和过零点数目必须相等或相差不能超过1 ；( 2 ) 在任意一点，由局部极大值点形成的包络和局部极小值形成的包络的均值为零。第一个条件类似于对高斯平稳过程的窄带要求。第二个条件是新的提法，它把传统的全局限定修改成为局部限定。这个限定是很必要的，因为它会避免瞬时频率含有不需要的由非对称波形导致的波动。理想情况的这个要求应该是：数据的局部均值均为零。对于非平稳数据，局部包含局部时间尺度来计算平均值是很难定义的。用由极大值和极小值分别构成的包络的均值来代替局部对称作为替代，避免了设计到局部平均时间尺度的定义。使用这种定义，由过零点定义的每一个圆中的i m f 只含有一种振荡模式并且不允许复杂的骑波。用这种定义，i m f不仅仅限于窄带信号，它也可以是振幅或频率调制。实际上，它可以是非平稳的。图2 1 给出了一个典型的i m f 。暑量鼍窘口萋i i r a 研图2 1 一个典型的i m f 例子为了使用瞬时频率这个特殊定义，必须把一个随意数据集分解为i m f 分量，这样一个瞬时频率值可以被赋予各个i m f 分量。从而，对于复杂数据，在一个局部时间可以有多个瞬时频率。e m d 方法将从待处理的数据集中提取所需要的i 分量。2 。1 3 筛分过程在给定的时间，大多数的数据可以包含几个振动模式，并不符合i m f 的条件。这使得h i l b e r t 变换不能够直接对一般的数据提供完全频率内容的表示。因此，所以，我们必须首先将数据分解为i m f 分量。在经验模态分解方法中，信9号被分解成为i m f ，以便讨论分解所得i m f 的物理意义。与大多数先前的方法相反，这种方法是直接的、后验的和自适应的，完全由数据驱动。这个过程被称为筛分( s i f t i n g ) 过程。筛分过程基于下列假设：任何信号由不同的固有振动模态组成，每一个模态不论是线性或者是非线性的，其极值点数和零交叉点数相同，在相邻的零交叉点之间只有一个极值点，模态和模态之间是相互独立的，这样任何一个信号都可以分解为有限个i m f 之和；数据至少有两个极值，即最大值和最小值；由两个极值之间的时间间隔定义特征时间尺度；如果全部数据不包含极值点而仅仅含有拐点，那么可以经过微分一次或多次求得极值，最后的结果能够通过分量的积分获得。e m d 通过多次的筛分过程，一方面消除信号中的骑波，另一方面平滑高低不平的振幅，得到一系列的i m f 。i m f 的两个特征，也就是e m d 过程结束的收敛准则。设时间信号为( f ) ，它的上、下包络线分别为甜( ，) 和，( f ) ，则上、下包络的平均曲线r e ( t ) 按照式( 2 4 ) 计算：1r e ( t ) = 亡阻o ) + ，o ) 】( 2 4 )z通过移动过程，用厂( f ) 减去m ( t ) 后剩余部分啊( ，) ，即：如( ，) = f ( t ) - m ( t )( 2 5 )根据以上的定义，理论上扛( ，) 应该满足：( 1 ) 极值点( 极大值或极小值) 数目与过零点数目相等或最多相差1 ；( 2 ) 由局部极大值构成的上包络和由局部极小值构成的下包络的平均值为零；即i z t ( f ) 应为i m f 。而实际上，由于包络样条逼近的过冲和俯冲作用，会产生新的极值影响原来极值的位置和大小，因此，分解得到的啊( f ) 并不完全满足i m f 条件。用啊( ，) 来代替f ( t ) ，与啊( ，) 相应的上、下包络线为u i ( f ) 和h ( ，) ，重复移动过程k 次直至吃( ，) 满足i m f 条件为止。这样就分解得第一个i m fc l ( ，) = h k ( t ) ，和信号的剩余部分( ，) 。将f i ( t ) 继续进行上面的分解，直至所得的剩余部分为一单调信号或其值小于预先给定的值时，分解完毕。最终分解得到所有的i m f 及残差，那么信号厂( f ) 就表示为所有i m f 及残差的和。筛分算法如下描述：1 ) 初始化j = l ，哟= ，为原始信号；2 ) i = 1 ，对心) 的确定其极大值点和极小值点，然后分别对极大值点和极小值点插值得到极值点的上下包络及包络均值m 。( f ) ；1 03 ) r o ( t ) = r o ( t ) 一m 打( f ) ；4 ) i = i + l ，重复步骤2 4 ，直至m 盯( ，) 满足终止条件s d 。此时可得q ( f ) = r , j ( t ) ，r j ( t ) = 厂( ，) 一r o ( t ) ；5 ) j = j + l ，r o ( t ) = 厂( f ) 一c ( j - i ) ( f ) ；6 ) 重复步骤2 - 一5 ，可将信号分解为：们) = c j ( t ) + r k ( t )( 2 6 )式( 2 6 ) 中，c j ( x ) y g 分解出的第，个i m f ，r k ( t ) 为单调的残差函数。为了保证i m f 分量返回由充分物理意义的振幅和频率，我们必须确定以各准则用于筛分过程的终止，这个条件由限制标准差来完成。终止条件s d 一般采用如下定义：肋=壹x=o壹y=o【k掣l(km 旎所取参数( 2 - 7 )一n ，式( 2 7 ) 中通常s d 的值设置为0 2 - - 一0 3 。2 2e m d 中的边界效应2 2 1 一维e m d 中的边界效应及其已有的抑制方法目前使用e m d 方法对信号进行分析时，筛分过程中构造极值包络需要对数据进行插值运算，在插值过程中人容易造成数据序列的两端出现发散的现象。随着筛分过程的不断进行，其影响会不断向数据序列内部扩展，进而污染整个数据序列而使结果严重失真。图2 2 ( 曲显示了模拟信号：y ( o = s i n ( o 1 硎+ o 8c o s ( 0 0 7 矽+ 1 2s i n ( 0 13 n t ) ，t o ，10 0 】( 2 8 )的波形图。以下实验均在m a t l a b 7 0 环境下进行。图2 2 ( b ) 显示的是直接利用t h i n p l a t e 径向基函数插值对该模拟信号计算的上下极值包络，图2 2 ( c ) 显示的是直接利用三次样条插值对该模拟信号计算的上下极值包络可以看到无论是径向基函数插值，还是三次样条函数插值计算出的该信号的上下极值包络，都在左右端点出产生了失真的现象。这种端点处插值失真的结果将导致提取出的i m f 以及残差的内部出现失真的现象。对于一个较长的数据序列，可以根据极值点的情况不断抛弃两端数据来保证所得到的包络的精确度，而这样做对于短数据序列，和二维图像数据，是不可行的。因此需要对数据进行延拓，再插值构造上下包络。h u a n g 在介绍e m d 方法的文献中提到了根据特征波来对原有数据序列进行延拓的理论，但没有给出具体的解决方法，因此边界效应是e m d 研究的一个重要课题。( a ) 原始信号t( b ) 直接对原始信号的极人值和极小值使用r b f 插值构造的上下包络t( c ) 直接对原始信号的极火值和极小值使用三次样条插值构造的上下包络图2 2 原始信号y ( t ) 及其极值包络针对这一问题，“边筛分，边延拓”的边界问题处理方法【3 2 1 ，利用自回归( 模型对一个给定信号的两端进行延拓，分别获得附加的极值点，然后利用三次样条插值将附加的极值点和信号本身的极值点进行插值，从而构造出上下包络；镜像闭合延拓和包络的极值延拓两种方法【3 3 】也是比较有效的方法，镜像闭合延拓方法根据信号端点的分布特性，把镜子放在具有对称性的极值位置，通过镜像法把镜内信号映射成一个周期性信号，不存在端点，从根本上避免e m d 和h i l b e r t变换的端点问题。极值延拓法简单易行，具有与镜像闭合法相当的效果，在处理非对称波形信号时比较有优越性。由于不同的信号具有不同的特性，因此在实际应用中应该针对具体问题来选择适当的信号延拓方法。1 22 2 2 一维e m d 抑制边界效应及信号分解实验及分析本节实验在m a t l a b 7 0 环境下运行，图2 3 ( a ) ( b ) 是分别使用自回归模型和镜像法对图2 2 ( a ) 中的原始信号y ( t ) 做边界延拓，使用三次样条插值构造的上下包络的实验结果；图2 4 ( a ) ( b ) 是分别使用自回归模型和镜像法对图2 2 ( a ) q h原始( a ) 使用自回归模型做边界延拓( b ) 使用镜像法做延拓图2 3 使用三次样条插值对原始信号y ( t ) 构造的上下包络( a ) 使用自回归模型做边界延拓t( b ) 使用镜像法做延拓图2 4 使用r b f 插值对原始信号y ( t ) 构造的上下包络1 3信号y ( t ) 做边界延拓，使用径向基函数插值构造的上下包络的实验结果。由以上的实验结果和图2 5 中原始信号真实的上下包络的对比可知，利用自回归模型做线性预测与镜像法来延拓待处理的信号，可以有效的消除插值构造包络的过程中，由于极值点非数据序列的端点，而造成的包络线的飞翼的现象，得到较为准确的上下包络。图2 5 原始信号y ( t ) 真实的上f 包络图2 6 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 分别显示的是采用不同的边界延拓方法和不同的插值方法来对图2 2 ( a ) 中的信号进行经验模态分解所得到的i m f 以及残差，本实验中循环判决条件s d 中口= 0 0 1 。用e m d 方法对删进行分解，最先被分离出来的是信号r ( o 的最高频的部分，然后依次分解出次高频，最后只剩下一个单调的趋势函数。因此，分解出的第一个i m f 可以看作删中最高频率的信号的波形，所以e m d 方法可以将信号删内部的不同频率的信号按照频率从高到低的顺序以i m f 的形式分离出来。比较上述边界延拓方法对于e m d 中不同的包络构造方式得到的结果，可以看出，三次样条插值构造包络所提取出的i m f 较符合信号的模式组成。而通过自回归模型的线性预测方法，可以较好的保证端点处包络构造的精度。经过上述试验可知，使用镜像法和自回归模型做时间序列预测的方法，均可以抑制经插值构造的上下包络端点处的误差，从而有效的抑制e m d 的边界效应对分解结果的低频部分造成的影响，得到较为精确的i m f 。1 4( a ) 使用镜像法做延拓，三次样条插值构造包络的e m d 对信号提取的i m f 及残差原始信号( b ) 使用自回归模型做延拓，三次样条插值构造包络的e m d 对信号提取的1 m f 及残差原始信号t( c ) 使用镜像法做延拓，r b f 插值构造包络的e m d 对信号提取的i m f 及残差原始信号t( d ) 使用自回归模型做延拓，r b f 插值构造包络的e m d 对信号提取的i m f 及残差图2 6 使用不同的延拓方法和插值方法对原始信号y ( t ) 提取的i m f 及残差1 52 3 本章小结本章作为预备知识的部分，首先介绍了h u a n g 提出的e m d 方法关联的一些概念，如瞬时频率、h i l b e r t 变换及筛分过程，然后详细介绍筛分过程及e m d 方法中边界效应的产生及已有的抑制方法。实验部分以e m d 对一维信号数据的分解为例，将不同的抑制边界效应的方法应用到基于不同的包络构造方式的e m d分解信号的过程中，比较了这些方法针对不同的包络构造的边界效应的抑制作用，以及不同的包络构造方式对产生的i m f 的影响。使用自回归模型对信号两端的数据做预测，可以较好的保持信号分解过程中，端点处插值的精度，但是较镜像延拓法来说，运算量相应增大，会影响实际程序运行效率；而镜像延拓法由于以数据序列两端点内出现的第一个极值为镜面，向两端复制数据，会影响到i m f 在数据序列两端的精确度，但是实际计算的时间复杂度较低，可以保证运行效率。所以，在e m d 对实际的信号分解及处理的应用中，应该考虑实际情况，来选择合适的数据延拓方法来抑制边界效应。1 6第三章二维经验模态分解方法及其改进经验模态分解对于处理非平稳信号的优势在于：对信号的分解是数据驱动的和自适应的，对于大量实际信号的实验说明这种分解许多情况下是符合物理意义的，可以得到基本的近似周期成分；分解得到的i m f 中可定义合理的瞬时频率特征；分解得到的i m f 把本来只能由弥散的f o u r i e r 频率表达的同一成分的信息浓缩到一个成分内部，这正是h u a n g 所强调的。本章我们把经验模态分解推