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东北人学博 j 论文摘要 非线性大系统几何理论若干问题研究 摘要 复杂大系统是工程实际中大量存在的一类控制系统，因而受到广泛 的关注。线性大系统由于研究得较多，已形成了较完整的理论体系。近 十余年来，虽然非线性大系统的研究取得了一些进展，但与线性大系统 相比，研究工作进展缓慢。尤其在基础理论方面，研究成果较少。特别 是非线性系统的几何理论在非线性大系统中体现甚少，甚至于一些基本 的概念都没有建立起来。本文利用微分几何方法研究非线性大系统中的 若干基础理论问题，初步建立非线性大系统几何理论的基本框架。具体 工作归纳如下； 用微分几何方法讨论了一般非线性大系统的能控性。把非线性系统 能控性及局部能控性的概念推广到一般非线性大系统，给出了非线性大 系统能控性及局部能控性的定义，并研究了非线性大系统的能控性条件。 得出了一般非线性大系统的能控性与各个子系统能控性之间的关系。即 整体结构与各组成部分结构之间的相互依赖关系。 对一般非线性大系统的能观性进行了研究。利用一般非线性系统不 可区分点集的概念，给出了一般非线性大系统的不可区分点集、能观性 及局部能观性的定义，并研究了非线性大系统的能观性条件。借助于能 观性对偶分布的概念，得出了一般非线性大系统的能观性与各个子系统 的能观性之自j 的关系。 研究了一般非线性系统的线性化问题。借用了一般非线性系统的可 以线性化的定义，并利用一般非线性系统的相关阶的概念，给出了一般 非线性系统可以线性化的条件。即用相关阶以及特征矩阵的秩来判别一 个般非线性系统是否可以线性化。 相似性和对称性是许多复杂大系统的重要特征。借助于相似性的概 念研究了非线性大系统的一些性质。给出了非线性大系统具备某种相似 东北大学博士论文摘要 性时可以线性化的条件。相似性是大系统的一个重要特征，非线性大系 统具有相似性时可线性化的条件与一般非线性系统的线性化条件不同。 借助于对称性的概念研究了一些非线性大系统的性质。借用已有的 对称性的概念，即用变换群的方式给出的对称性的概念，研究了非线性 大系统的能观性。给出了非线性大系统具备某种对称性时能观的条件。 得到了商空间和对应的不可区分点集的轨道之间的关系，通过变换群的 方法给出了一个判别条件。 最后，对全文进行了总结并指出了今后研究的方向。 关键词：非线性大系统，微分几何方法，能控性，能观性，对称性，相 似性，相对阶，能控性分布，能观性对偶分布，反馈线性化， 群 n i 东北大学博士论文 a b s t r a e t p r o b l e m so ng e o m e t r y t h e o r yo f n o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e m s a b s t r a c t l a r g e - s c a l es y s t e m sa r ei m p o r t a n ts y s t e m si ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ， a n da t t r a c tal o to fa t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s n e a r l yc o m p l e t et h e o r e t i c a l f r a m e w o r ki se s t a b l i s h e df o rl i n e a rl a r g e s c a l es y s t e m s c o m p a r e dw i t ht h e r e s e a r c ho nl i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e m s ，h o w e v e r ，t h ed e v e l o p m e n to fn o n - l i n e a rl a r g e s c a l es y s t e m si ss os l o wt h a tt h er e s u l t so ff u n d a m e n t a lt h e o r y a r ev e r yf e w e s p e c i a l l y ，t h ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt h e o r yo fn o n l i n e a r s y s t e m si sh a r d l ya p p l i e dt on o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e m s a l m o s tn ob a s i c c o n c e p to fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt h e o r ya p p e a r e si nt h es t u d yo fn o n l i n e a r l a r g e s c a l es y s t e m s u s i n gd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ym e t h o d ，t h i sd i s s e r t a t i o n f o c u s e so nf u n d a m e n t a lp r o b l e m so fn o n l i n e a rl a r g e s c a l es y s t e m sa n dt r i e s t oc o n s t r u c tap r i m a r yf r a m e w o r ko fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt h e o r y t h em a i n c o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s ： t h ec o n t r o l i a b i l i t yo fg e n e r a ln o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e m si sd i s c u s s e d b yu s i n gd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ym e t h o d ，a n dt h ec o n c e p t so fc o n t r o l l a b i l i t y a n dl o c a lc o n t r o l l a b i l i t yo fn o n l i n e a rs y s t e m sa r eg e n e r a l i z e dt og e n e r a l n o n l i n e a rl a r g e s c a l es y s t e m s t h ed e f i n i t i o n so fc o n t r o l l a b i l i t ya n dl o c a l c o n t r o l l a b i l i t yo fn o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e m sa r eg i v e na n dac o n d i t i o n u n d e rw h i c hag e n e r a ln o n l i n e a rl a r g e - s c a l e s y s t e m i sc o n t r o l l a b l ei s o b t a i n e d t h a ti st h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec o n t r o l l a b i l i t yo fag e n e r a l n o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e ma n dt h ec o n t r o l l a b i l i t yo fi t ss u b s y s t e m s ，o rt h e i n t e r d e p e n d e n c eo ft h ep a r t sa n dt h ew h o l e t h eo b s e r v a b i l i t yo fg e n e r a ln o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e m si ss t u d i e d t h ed e f i n i t i o no ft h es e to fu n d i s t i n g u i s h a b l ep o i n t so fag e n e r a ln o n l i n e a r l a r g e - s c a l es y s t e mi sg i v e na n ds oi st h ed e f i n i t i o no ft h eo b s e r v a b i l i t yo f g e n e r a ln o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e m s f u r t h e r m o r e ，an e c e s s a r ya n ds u f - f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c hag e n e r a ln o n l i n e a rl a r g e s c a l es y s t e mi s o b s e r v a b l ei so b t a i n e db yu s i n go b s e r v a b l ec o d i s t r i b u t i o n t h el i n e a r i z a t i o no fg e n e r a ln o n l i n e a rs y s t e m si ss t u d i e d 。t h ed e f i n i t i o n o fl i n e a r i z a t i o no fg e n e r a ln o n l i n e a rs y s t e m si si n t r o d u c e d b yu s i n gt h e 东北大学博士论文 a b s t m e t c o n c e p to fr e l a t i v ed e g r e eo fg e n e r a ln o n l i n e a rs y s t e m s ，ac o n d i t i o nu n d e r w h i c hag e n e r a ln o n l i n e a rs y s t e mi sl i n e a r i z a b l ei s g i v e n ，t h a ti s ，h o wt o j u d g ew h e t h e rag e n e r a ln o n l i n e a rs y s t e mi sl i n e a r i z a b l ev i at h er e l a t i v e d e g r e ea n dt h er a n ko fc h a r a c t e r i s t i cm a t r i xo ft h es y s t e m s i m i l a r i t ya n ds y m m e t r ya r ei m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c so fs o m es y s t e m s t h ep r o b l e mo fl i n e a r i z a t i o no fg e n e r a ln o n l i n e a r l a r g e s c a l es y s t e m si s s t u d i e db ym e a n so ft h es p e c i a ls t r u c t u r eo fal a r g e s c a l es y s t e mp o s s e s s i n g s i m i l a r i t y al i n e a r i z a f i o nc o n d i t i o nd i f f e r e n tf r o mt h a to fg e n e r a ln o n l i n e a r s y s t e mi so b t a i n e d t h eo b s e r v a b i l i t yo fg e n e r a ln o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e m si ss t u d i e db y u s i n gt h ec o n c e p to fs y m m e t r y am e t h o di sp r e s e n t e dt oj u d g ew h e na s y s t e mp o s s e s s i n gs y m m e t r yi so b s e r v a b l e ，a n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h e q u o t i e n ts p a c ea n dt h ec o r r e s p o n d i n go r b i to fu n d i s t i n g u i s h a b l ep o i n t si s o b t a i n e d ac r i t e r i o nf o ro b s e r v a b i l i t yo fn o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e mi s p r e s e n t e db a s e do nt r a n s f o r m a t i o ng r o u p l a s t l y , as u m m a r yo ft h ew h o l ew o r k si sm a d ea n dt h ew a yf o r w o r df o r f u r t h e rr e s e a r c hi sp o i n t e do u t k e yw o r d s ：n o n l i n e a rl a r g e - s c a l es y s t e m ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ym e t h o d ， c o n t r o l l a b i l i t y o b s e r v a b i l i t y , s y m m e t r y ，s i m i l a r i t y , r e l a t i v e d e g r e e ，c o n t r o l l a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ，o b s e r v a b i l i t yc o d i s t r i b u - t i o n ，f e e d b a c kl i n e a r i z a t i o n ，g r o u p v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示诚挚的谢意。 学位论文作者签名：第表障 签字日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名：否则视为不同意) 学位论文作者签名：彩右停 签字日期： 东北大学博十论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 随着科学技术的不断发展，社会的不断进步，生产和社会生活以及工程项 目中出现的控制问题和管理问题的规模越来越大，由于维数越来越高，控制系 统的结构也越来越复杂，在对这样大规模的复杂系统进行建模，分析和设计时 发现通常的控制理论与方法己不再适用，人们必须考虑新的方法去处理大规模 的复杂控制系统。 自2 0 世纪6 0 年代末期，就有入提出了“大系统理论”i l 刀现在大系统理论 在社会各个方面都已有了广泛的应用和很大的发展。不少学者从不同的角度来 研究这一课题，不仅局限在控制工程领域旱，而且在经济系统，生物工程，社 会系统，环境保护等诸多方面都出现了大系统。但怎样的系统才是大系统，多 大才能称为“大”? 还没有一个确切的回答。但人们对于大系统的特征却有一 个共勘 。一般认为大系统的普遍特点是：高维性，多目标，关联性，分散性， 以及不确定性( 随机性，模糊性) 和主动性( 有入的参与) 例。 商维性，系统模型的维数过高会使得系统的分析设计与仿真需要过多的计 算时间和存储空间。现代控制理论的很多算法当维数增大时计算量急剧增加， 形成“维数灾难”。对这样的高维复杂系统不是作为一个整体进行设计，而是分 成多级( h i e r a r c h i c a l ) ( 或多层m u l t i l e v e l ) 藕合的子系统，上级需要对下级子系统间 的关联进行协调，或者要分散地为每个子系统设计一个局部控制器，这种控制 器考虑了这个子系统与其他子系统的关联。入们要做的是对高维系统进行各种 形式的简化降阶，简化的关键就是要考虑和处理各个子系统之间存在的关联藕 合，正因为研究大系统时，子系统之问的关联是一个重要特点，所以有人把大 系统又称作关联系统( i n t e r c o n n e c t e ds y s t e m ) 。 多目标，通常一个控制系统的好坏，要达到的目标可以用一个性能指标来 描述。有的控制系统既要求达到一定的精度又要求控制能量不太大，也可以用 一个髫标函数来描述。而有的大系统则必须考虑多个目标才能全面描述对控制 系统的要求。 东北大学博士论文 第一章绪论 分散性，用分级递阶控制时，中央控制计算机必须取得很多来自局部控制 器的信息，由于上下级之间通讯比较多，加上这些通讯往往是长距离的。所以 投资就比较高，而且系统过于复杂往往导致可靠性下降。如果一处出现故障， 有时就好象是反馈系统出现反馈线断开那样，会导致严重后果，其影响是全局 性的。假如我们设计时就能考虑在这种断线情况下，系统仍然可以正常工作， 仍然能够稳定地运行。再进一步，如果与中央控制器的联系都断丌了，但通过 子系统之间的关联组成的网络，每个子系统的局部控制器只能检测到所在子系 统的信息，而不了解其他子系统，这样的结构就是分散控制( d e c e n t r a f i z e d c o n t r 0 1 ) 。由于避免了远程通讯，减少了上下级之间的通讯，因而降低了投资， 提高了可靠性。但是与全局控制相比，分散控制在性能指标上只能达到次最优。 不确定性，对一个实际问题要进行分析和设计，总是从建立数学模型开始。 而任何实际系统的数学模型总是忽略掉一些次要因素后的某种程度上的近似。 这些被忽略掉的因素总会或多或少地影响这个系统。如果模型建得比较好，模 型中的参数起主要作用，其他因素的干扰或“嗓声”可以忽略，这时系统称为： 确定性系统。但当噪声的影响大到不宜忽略时，就要引入滤波和随机控制的概 念来进行处理。在实际系统的控制过程中，对模型参数和数据量测两方面的随 轨干扰不可避免地存在。为了更好地提高控制精度，在对状态量进行反馈控制 前，先排除噪声的干扰，这个过程就叫做“滤波”。相应的控制是随机控制。 以上所说的大系统包括线性大系统和非线性大系统。当各个子系统或某些 子系统为非线性系统时，即为非线性大系统。非线性大系统与线性大系统之间 既有区别又有联系，线性大系统己有一些很好的结果，有些结果可以推广到非 线性大系统，反过来，非线性大系统经过线性化以后，又可以利用线性大系统 的结果。 非线性系统的微分几何方法出现以后，又为非线性大系统的研究提供了有 力的工具。使大系统的研究更加丰富多彩。 大系统要研究哪些问题? 应该说大系统涉及的问题很多，这里只说最重要 最基本的问题【4 j 。 ( 1 ) 大系统的建模与模型的简化。大系统的模型建立比较复杂，也比较困难。 首先要建立各个子系统的模型，其次要明确大系统的结构，即确定各部分或各 子系统之间的关联关系。此外，还有已知模型中待定参数的辩识等问题。 东北大学博士论文第一章绪论 描述一个大系统的数学模型客观上存在着两个互相矛盾着的因素，那就是 “精确”和“简单”。应该说，影响系统的因素有很多，应该考虑到所有这些因 素，建立起来的模型才能正确地反映实际系统。但这种理想的做法是不可能的， 详细考虑所有这些因素可能使数学模型过于复杂，以至于无法对它进行分析和 设计。同时变量太多也使得采样和计算很复杂，成本也很高。而模型如果过于 简单又不能很好的描述对象而导致不正确的结论。只有考虑到各个主要因素而 忽略次要因素建立起的模型才是比较好的。模型简化的任务是适当简化模型， 使得大系统的模型比原模型简单而又保留了原系统的主要特性。 ( 2 ) 大系统的稳定性、能控性和能观测性。稳定性、能控性能观测性是控制 系统最基本的特性。只有稳定的系统才能正常工作。只有能控能观测的系统才 能知道系统的内部状态并进行人工的干预，使之按我们的要求工作。大系统的 维数高结构复杂给研究这些基本特性带来了很大的困难。但大系统往往由若干 个子系统构成或者说可以分解成若干个子系统。在研究大系统的稳定性时可以 考虑先研究它的各个子系统的稳定性，把系统分解到足够小，可以采用通常盼 分析系统稳定性的方法，然后再研究在什么样的关联下可以保证整个大系统的 稳定性。 大系统能控性和能观性的研究用同样的方法。即研究小系统的能控能观性， 再考虑它们的组合。需要研究的问题有组合系统的能控性和能观性，分散系统 的能控性能观性和结构能控性能观性。组合系统的能控性能观性是研究这些小 系统的能控性能观性，再根据大系统的结构推断这些子系统经过串联，并联得 到的组合系统的能控性能观性，分散控制系统是研究在分散信息结构下( 也就 是每个子系统只有自己子系统的信息) 的能控性能观性。结构能控性能观性是 从研究系统的结构入手，研究在某种固定的结构下模型的参数变化时的能控性 能观性问题。 ( 3 ) 大系统的镇定和极点配置。镇定和极点配置是设计反馈控制系统的基本 方法。在大系统中主要研究由若干子系统构成的组合系统的镇定和极点配置以 及分散控制系统的镇定和极点配置。由于分散镇定和极点配置只需要子系统本 身的信息，对这个问题的研究特别受到重视。 “) 大系统的分解与协调。在通常的控制理论中，都把一个控制系统看成一 个整体，控制采用完全集中的方式。但由于大系统结构复杂，维数高，分析和 东北大学博士论文 第一章绪论 计算都费时费力，所以在大系统的研究中广泛采用了分解协调法。也就是先把 一个系统分解成若干个规模较小的系统，用通常的方法进行分析，然后通过子 系统之间的关联，通过协调变量来协调这些子系统使整个大系统得到最优解。 ( 5 ) 大系统的分散控制。由于大系统维数高结构复杂，或者各个子系统处于 不同的地理位置，信息传递受到一定的约束，或者收集信息费用较高，同时一 处信息收集不到或不准确就会影响到整个大系统。这时，如果把整个系统分成 若干个控制站，每个控制站只根据局部的量测数据来制定这个控制站的控制律。 这种信息结构叫做分散信息结构，相应的控制策略叫做分散控制。分散控制有 很多优点。第一，各个子系统在制定控制策略时只需知道自己所在系统的信息， 这样就能够对系统本身的故障或外部干扰作出快速反应，提高控制质量。第二， 各个子系统之间不需要交换信息，节省了时间也节省了大量传送信息的费用。 第三，分散控制在一个子系统发生故障时不影响其它子系统的控制，因而增加 了整个大系统的可靠性。由于子系统在排除故障的过程中，不影响其它子系统 及大系统的工作，因而提高了工作效率。 ( 6 ) 分布式综合控制和管理系统。由于大系统具有维数高和结构复杂的特 点，在实际工程上常采用多计算机控制方式。在工业生产过程中，各个控制现 场常采用微处理器实现现场的控制。这是分散控制的方法。然后再由上一级的 计算机完成更复杂的控制和管理任务，并且将所有计算机联成局部网，构成一 个分布式综合控制和管理系统。由于它具有分散控制的优点，必要时各个子系 统之间又可以交换信息，从而进一步提高控制水平。它还具有很强的管理能力 和极方便的人机接口。因此分布式控制和管理系统出现以后，经过不断改进很 快就成为过程控制的主流，迅速得到推广。 1 2 非线性大系统的数学描述 非线性大系统有多种表现形式，现列举一些常见的有代表性的表达式，首 先是线性大系统的表现形式，然后是非线性大系统的表现形式。 ( 1 ) 已知定常线性组合系统的数学模型一般形式如下【4 】： 童，o ) = 爿，x ，( f ) + b ，“，( f ) + a x ( f ) ( 1 1 ) j 。1 只( t ) = c j x ( f ) ， i = l ，n 东北大学博士论文 第一章绪论 我们称系统( e ，4 ，e ) ： j ，( ，) = a ，x ，( t ) + b , u 。( d y ，( f ) = c ，t ( f ) ， i = 1 ，n 为组合系统( 1 1 ) 的子系统。设第i 个子系统的状态囱量工，r 4 ，输入向量 u r ，输出r 甸j y ，r “。a 。，e 和e 是相应维数的常数矩阵。 我们称( 1 1 ) 中的e a u x j 为第f 个子系统上出现的关联项，a n 为关联矩阵。 一l ( 2 ) 由个相同机组构成的发电厂，机组以同一方式互联，电厂又并3 , - - 电力网，后者可用一等价机组表示，此系统在工作点( 对应于电网负荷的一个 额定的稳态值) 附近线性化后，可由下列方程描写【7 1 ： 网： 南= 4 + h t x 一l 厂： 或写成 其中 a = 氐h 1 h 2 a ；日 h z h 膏= a x + b 甜 y = c x 日i h 日 ! !。日 日彳 b = 00 o 0b o ；o! ； 0 oo0b c ：根据对输出的要求两定。 这里，日，为各机组对电网的关联作用，日为机组内其他机组对某一机组的关联 聊 = o 6+ 。纠加 + 日+出 = 而 东北大学博士论文 第一章绪论 作用，日：为电网对某一机组的关联作用。 ( 3 ) 由n 个子系统组成的线性组合大系统描述如下i s ) ； 毫= a i i x ，+ 彳，o + z o ，m + b ，“ 铲隆， f 乩， 这里五和甜。分别是第f 个子系统的状态和输入，2 。是要调节的输出，是平方可 积的干扰。 以上是线性大系统的几个例子，下面是非线性大系统的几种表现形式。 ( 4 ) 由个子系统组成的非线性大系统如下 童，= f a x 。) + g f ( x ，) u 。+ h ( x ，t ) 弘= 红( t ) f = 1 ，n 其中x i r ”，甜，= ( n ，”2 ，“。) 7 ，只= ( h i l ( x ，) ，h f 2 ( x f ) ，h i m ( x ，) ) r ”分另0 是 第f 个子系统的状态向量，输入和输出， g f ( 一) = ( g f l o ，) ，g i 2 ( x ，) ，一，g 。( x 。) ) z ( 一) ，g 口( x 1 ) 砰( q 。) ， l ( x ，t ) 巧( q r + ) 是互联项。这里q 。是工，= 0 的邻域，q = q l q 2 q ，工= e o l ( x 1 ，而，h ) 。 其中 ( 5 ) 考虑如下形式的非线性大系统【1 0 】。 y ，= q 缸1 ，x ”) j 且一， = ；，：，) 足一， 舌 一，工”) 甜l ，= 1 ，( 1 2 ) n 。= 万 ，7 _ - - g ， x ，lg 一 + ) 善 东北大学博士论文 第一章绪论 f ：r 4 _ r 。g ! ：r ”一r ”是r ”上的光滑向量函数 系统( 1 2 ) 可以写成如下紧凑形式。 nnm | j = f b ) + g ( x ) u j ，- ll ll - i y j = 一7 ( x 1 ，x ”) _ ，= l ，。 其中d ，f 都是r ”上的光滑向量场。 q = c o l ( o ，0 ，( 彰) 7 ，o ，o ) ，f = c o l ( o , ，o ，( ，7 ) 7 ，o ，o ) ( 6 ) 考虑一类由个非线性子系统组成的大系统【l l 】，这个系统叫做非线性 组合大系统。 其中，x ，胄”，1 4 ，r “，以r ”分别表示第，个子系统的状态，输入和输出。只为 交互作用项。 可以看到，大系统有多种表现形式。但它们有一个共同的特点，那就是由 各个子系统的方程以及表示各个子系统之间联系的关联项构成。每个子系统是 相对独立的。它与其它系统的关系，或这个大系统与一般系统的差别就体现在 关联项上。现在再列举一些大系统的其它形式，可以看到大系统的形式是丰富 多彩的。 ( 7 ) 由下面个子系统组成的大系统【1 2 j ，称为对称组合系统。 i i = 触l + b u i + p w ? + d u x j + eq w j - 1j - i ；，= s w ，+ 乃 j z l q = c x ，+ q w ，f = l ，。 脚 m 巩 勖 ，雹吐 卜) j 肌 ” ， ： ， ， ， 瓴旬 引z ， 卜) x h z ，k嘲吨 毫 东北大学博士论文第一章绪论 这里一，川，e ，分别是九维状态，肌维输入，j 维可测干扰，和r 维误差。而矩 阵 b = 2 ：；三；= 乏薹i ；乃= 2 j i ； 这样，整个系统的状态空间模型为 i = j x + 百t l + 尹w 咖= 如 e = c x + q w 这里， 而 a = s = a + d d d q ； q s + f d ； x = ( x j ，x ：t ，x ；) 7 ，“= 研，；，甜；) 7 ， w = ( 订，w 2 t ，t ) 7 ，e = ( e j ，8 2 t ，e ：) 7 ， 见 a 4 - 见 见 s + 兄 c 麓 s 纠 p = p + e d e g e q e gp + e d e q e qe qp + e d b = d i a g b ，b 】c = d i a g c , - , c 】q = d i a g q ，q 】。 ( 8 ) 由下面个互相关联的子系统组成的大系统1 13 1 ，这系统称为一类不确 定大系统。 毫( f ) = z ( t ，f ) + 彳，( 墨，t ) + r l ，( 一，t ) u ( ) + h f ( 工j ，f ) ， j * 1 j x ( ，o ) = t o ，i = l ，n 这里f r 是时间，毛r ，吼r ”分别是第f 个子系统的状态向量，输入向量， z ，叩，q 是适当维数的矩阵或向量，r l ，代表不确定参数，代表子系统 8 东北大学博士论文 第一章绪论 s ，s ，之间的关联，子系统常常带有不确定性。 ( 9 ) 下述带有相似性的及不确定性的关联大系统【5 3 】。 毫= a x 。+ f a x ，) + 刀( “，+ 皇( 一，f ) ) + ( 日p ( 石) + t a - i f ( x ，) ) j - i d c t 只= c x ，i = 1 , 2 ，n( 1 3 ) 其中，葺r ”，甜，r ”，y t r ”分别表示第i 个子系统的状态，输入和输出。a 和占是适当维数的常数矩阵，而 h f ( z ，) j - i , j l 是非线性关联，z ( x ，f ) ，参( 一，) 是不匹配的不确定项，满足，( o ，) = 0 ， 喜( o ，f ) = 0 ，而 峨魄) j - i , j i 是第i 个子系统的不确定和不匹配关联，并且假定所有不确定项和关联项满足方 程( 1 3 ) 的解的存在性和唯一性。关联日，o ，) 对所有的1 f ，n ，i ，足够光滑， 并且满足日f ( 0 ) = 0 ，而且保证 嚣f ( x ，) = r ”( x j ) x ，1 s j ，j n ，i j 这里，每个毛( ) 是定义域内的连续函数矩阵。而下列系统 毫= 出+ ，( x ，f ) + 硪帮，+ 备( x ，f ) ) 咒= c t ，i = 1 , 2 ，n( 1 4 ) 叫做系统( 1 3 ) 的孤立子系统。 1 3 非线性大系统的发展与研究现状 自6 0 年代后期，大系统的提法就出现了，并开始进行“大系统理论”的研 究。在大系统的理论与方法方面取得了很多研究成果，也出版了一批专著与教 东北大学博士论文 第一章绪论 材【l 叫。但是，大系统理论的研究一直是以线性定常大系统为核心，形成了与线 性系统理论相平行的理论体系，包括大系统的可解性、稳定性、能观性、能控 性、观测器设计与解耦控制等。对于线性时变大系统，也有较多的研究成果。 但是，对于非线性大系统的研究还处于起步阶段。 对于一个控制系统，不论大小，人们关心的东西并没有变。比如说，能控 性。一个系统能控，才有讨论和操作的意义。通过人或机器的干预，系统能按 照人所期望的方式工作。再如稳定性，一个稳定的系统，才能正常地工作。一 个微小的扰动都能使系统产生剧烈的震荡或者完全损坏，这样的系统没有什么 实用价值。而分解又正是化一个大系统为小系统，化繁为简的举措。其它的就 不一一论述了。 复杂大系统与一般系统的主要区别在于大系统的维数高，结构复杂。这给 大系统的研究带来很大不便，用传统方法将在数字计算上遇到很大困难，甚至 是一种灾难，这使得大系统的分析和设计变得很困难。要想作集中计算是不可 能的，或极不经济的，而且，要想集中全部系统的信息既费时又费力，有时也 是不可能的。另一方面，实际物理系统是由很多小系统组成的，又有上下级的 关联和协调，针对这种关系也需要提出新的设计和处理方法。把一个系统分解 成若干个相互耦合的子系统，然后再从全局出发进行分析设计，是一个切实可 行的方案。 从七十年代开始，这种分解大系统为若干个小系统并利用分散控制的方法 已经被广泛应用于研究复杂大系统，c o r f m a t ，m o r s e 研究了多变量系统的分散 控制，s h i e l d s ，p e a r s o n 和d a v i s o n 研究了组合大系统的结构能控性( 1 5 , 1 6 1 ， g a v e l ，s i l j a k 及h a r t ，c h e n 针对分散控制的鲁捧性得出结果 1 7 , 1 8 1 。此后，大系 统的稳定性以及分散镇定等一些问题都有了很好的结剿1 喊3 1 。此外，带有不确 定性的系统也引起人们的注意，并针对这类系统进行的研究得到了一系列成果 ( 2 4 - 2 s 1 ，q u 进一步讨论了带有不匹配的不确定项的系统的整体镇定化问题【2 引。而 且，一些非线性大系统的相关问题也得到研究并得到丰富的研究成果1 1 9 , 3 5 1 。 进入8 0 年代，大系统自身的结构一个重要方面，对称性和相似性被提了出 来。张嗣瀛院士首先由生物、社会等系统的相似、对称结构出发提出课题，研 究这类控制系统。 对称和相似是大系统中广泛存在的一种现象，生物系统的对称性是显然的， 东北大学博上论文第一章绪论 社会系统中，如一个国家，一个地区不同层次的组织机构相似。 近年来出现的分形理论，也是相似性和对称性的一个例子。 对于这类系统，国内外学者不断地研究，取得了丰富的成果。 首先，从大量的研究中得到一种体现对称，相似结构与控制问题间内在联 系的酱遍规律，即利用对称相似结构可以使许多控制问题大大地简化。对称结 构可以使系统分解化简为低维子系统，且不同对称有不同的化简，然后通过低 维子系统，可以得到关于原系统诸多问题的简化控制律。如能控性的研究i ”- 4 t l ， 就有很多成果。其它控制问题如稳定性【4 “”，带有不确定性的大系统的稳定性 1 4 6 - 4 7 9 0 - 9 2 | ，带有不确定性的非线性大系统的稳定性 1 3 4 s l ，镇定问题 5 0 - 5 3 ) ，最优 控制 4 s 5 1 ，输出调节1 1 2 ”1 ，输出跟踪“，干扰解耦【”娜】，实现 5 9 - 6 ，鲁棒控制 6 2 - 6 7 彤l ，状态空间结构i “7 5 等等，更是硕果累累。对一类更广泛的结构相同但 参数不同的组合大系统，它们的可联结性，结构可控性，渐近合作性等定性问 题，也都有了很好的结果 1 6 , 3 7 。 研究大系统最常用的方法是分散控制的方法，这在文献中也屡见不鲜 s 5 - s g 。 随着对系统自身结构研究工作的深入，一些学者又提出了一些新的概念， 赵军提出一种新型的对称结构l ”，并研究了系统的相关性质，具有其它对称性 的系统的研究也有了一些成果 7 6 7 1 “0 1 ，高立群研究了非线性系统，给出了新的 非线性系统相似性的概念 s 2 1 ，井元伟提出了商相似的概念【“l ，使得系统的结构 更加丰富。接着又出现了全息相似，全息控制等概念。这种控制的本质是用具 有大系统的全部信息的低阶子系统，来寻求对大系统的控制规律眦“】。即任一 子系统的控制器的结构，含有其它子系统及总体大系统控制器的全部结构信息， 从而只须设计一个子系统的控制器。这样一来，就可以将x ，维的问题转化为 行维的问题，大大地简化了所讨论的问题。 大系统的提出到现在已经有四十多年的时间，对其研究的进展很大，取得 了丰硕的成果。但是与正常系统相比较，大系统的研究还处于初始阶段，尤其 是非线性大系统，研究得还不够深入，还没有形成理论体系。在这一点上，与 正常的非线性系统相差甚远。特别是在非线性系统研究上取得巨大成功的微分 几何理论，在非线性大系统的研究上很少体现。本文欲以此为突破口，探讨非 线性大系统的若干理论问题。 东北大学博士论文第一章绪论 作为- - i 新兴起的学科，大系统理论还处于没有形成自己理论体系的阶段， 也就是说，到底什么方面的内容应该包含在内，还是众说纷纭，没有定论。比 如大系统的可靠性的问题，就有不少内容已经有很多人在进行研究，应该成为 大系统理论的重要组成部分。随着大系统理论的应用日益广泛，人们对它的重 要性的看法也在不断发展。大系统理论在人们心耳中的位置正在不断提高。 大系统的研究已经展开，尚有大量问题亟待深入和扩展，同时，新问题又 不断出现，如全息控制，协调控制等。还有许多系统如生物、社会等系统的研 究尚待开发。相关学科之间若能有所交叉，必然是由于这些学科之间存在内在 联系。随着相关学科的发展，这些联系将会越来越多地显示出来。 复杂大系统的研究应该是一个有丰富内容和广阔发展前景的方向。 1 4 本文的主要工作 在2 0 世纪8 0 和9 0 年代，微分几何方法在非线性系统的控制理论中得到了 广泛的应用，逐渐形成了系统理论中一个新的分支，即非线性系统的几何理论 1 9 , - 9 s l 。意大利著名教授i s i d o r i 曾指出：近十余年来用微分几何方法研究非线性 系统所取得的成功，就象5 0 年代用拉普拉斯变换及复变函数理论对单输入、单 输出系统的研究，或6 0 年代用线性代数对多变量线性系统的研究一样。利用微 分几何方法对非线性系统的研究主要考虑两种系统，一种为一般非线性系统： f 圣= f ( x ，) l y = ( 力 另一种为仿射非线性系统，即系统结构为： r” l 童= ( x ，甜) + g 。( x ) “。 1 1 【y 2 h a x ) 其结构特点是关于输入为线性的。 从非线性大系统的形式上来看，例如： 一 主= f 7 ( x ，一，x “) + e ( x 1 co z ”) 叫z = 1 ，n y ，= 以b 1 ，x “) 东北大学博士论文第一章绪论 其结构与一般非线性系统有些相似。但是，非线性系统的几何理论在非线性大 系统中体现甚少。甚至于一些基本概念都没有建立起来，本文想在这方面做些 探讨，欲将非线性系统的几何理论的一些基本概念，基本理论和基本方法推广 至非线性大系统。主要包括能控性、能观性，线性化等。 主要工作归纳为六章。 第二章讨论非线性大系统的能控性。在系统的分析与设计中，能控性是一 个最重要的概念。它反映了一个系统的内在品质。其性质与系统的诸多性质相 联系，如反馈控制等。系统能控是对系统进行分析设计的基础。只有能控的系 统才可以对它进行人工干预，使之正常工作或使之更好地工作。对于线性系统， 已有成型的理论和完美的结果。对于一般非线性系统，这一方面的研究也比较 完善。对于非线性大系统，这方面的研究比较少。本章将一般非线性系统的能 控性的概念推广到非线性大系统，给出了非线性大系统能控的定义，并得出了 大系统能控的条件。 第三章讨论了非线性大系统的能观性。系统的能观性也是一个重要的概念， 因为很多控制都与系统的状态