（通用版）2020版高考数学复习专题三三角函数3.3解三角形解答题练习文.docx

3.3解三角形解答题高考命题规律1.高考的重要考题,常与数列解答题交替在17题位置呈现.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形1717命题角度2解三角形中的最值与范围问题18命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形高考真题体验对方向1.(2019北京15)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cosB=-12得sinB=32.由正弦定理得sinA=absinB=3314.在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sinA=3314.2.(2019天津16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sinB=1-cos2B=154,从而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin2Bcos6+cos2Bsin6=-15832-7812=-35+716.3.(2017山东17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.解因为ABAC=-6,所以bccosA=-6,又SABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0A.所以A=34.又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2322-22=29,所以a=29.4.(2015全国17)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90,且a=2,求ABC的面积.解(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=14.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以ABC的面积为1.典题演练提能刷高分1.(2019江西南昌外国语学校高三适应性考试)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.(1)求sinCsinA的值;(2)若cos B=14,b=2,求ABC的面积.解(1)由正弦定理,得2c-ab=2sinC-sinAsinB,所以cosA-2cosCcosB=2sinC-sinAsinB,即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB,cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosB+2cosCsinB.化简得sin(A+B)=2sin(B+C).又A+B+C=,所以sinC=2sinA,因此sinCsinA=2.(2)由sinCsinA=2,得c=2a.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及cosB=14,b=2,得4=a2+4a2-4a214,解得a=1,从而c=2.又因为cosB=14,且0B0,所以b-a=2acosC.根据正弦定理,sinB-sinA=2sinAcosC.因为A+B+C=,即A+C=-B,则sinB=sinAcosC+cosAsinC,所以sinA=sinCcosA-sinAcosC.即sinA=sin(C-A).因为A,C(0,),则C-A(-,),所以C-A=A,或C-A=-A(舍去后者).所以C=2A.(2)因为ABC的面积为a2sin2B,所以a2sin2B=12acsinB,因为a0,sinB0,所以c=2asinB,则sinC=2sinAsinB.因为C=2A,所以2sinAcosA=2sinAsinB,所以sinB=cosA.因为A0,2,所以cosA=sin2-A,即sinB=sin2-A,所以B=2-A或B=2+A.当B=2-A,即A+B=2时,C=2;当B=2+A时,由-3A=2+A,解得A=8,则C=4.综上,C=2或C=4.4.(2019福建厦门高三一模)在平面四边形ABCD中,ABC=3,ADC=2,BC=2.(1)若ABC的面积为332,求AC;(2)若AD=23,ACB=ACD+3,求tan ACD.解(1)在ABC中,因为BC=2,ABC=3,SABC=12ABBCsinABC=332,所以32AB=332,解得AB=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=7,所以AC=7.(2)设ACD=,则ACB=ACD+3=+3.如图.在RtACD中,因为AD=23,所以AC=ADsin=23sin,在ABC中,BAC=-ACB-ABC=3-,由正弦定理,得BCsinBAC=ACsinABC,即2sin(3-)=2332sin,所以2sin3-=sin.所以232cos-12sin=sin,即3cos=2sin.所以tan=32,即tanACD=32.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=2B.(1)求证:a2=b(b+c);(2)若ABC的面积为14a2,求B的大小.(1)证明由A=2B,可得sinA=sin2B=2sinBcosB,又由正、余弦定理得a=2ba2+c2-b22ac,有(c-b)(a2-b2-bc)=0.当bc时,a2-b2-bc=0,即a2=b2+bc=b(b+c).当b=c时,B=C.又A=2B,A=90,B=C=45.a=2b,a2-b2-bc=(2b)2-b2-bb=0,a2=b2+bc.综上,当A=2B时,a2=b2+bc.(2)解SABC=12acsinB=14a2,csinB=12a,sinCsinB=12sinA.又A=2B,sinCsinB=sinBcosB.sinB0,sinC=cosB.又B,C(0,),C=2B.当B+C=2时,B=A2=4;当C-B=2时,B=8;B=4或B=8.6.(2019安徽江淮十校高三最后一卷)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2b,csin B=bcosC-6.(1)求角C;(2)若AD是BC上的中线,延长AD至点E,使得DE=2AD=2,求E,C两点的距离.解(1)在ABC中,由csinB=bcosC-6及正弦定理得sinCsinB=sinB32cosC+12sinC.因为sinB0,化简得12sinC-32cosC=0,即tanC=3.因为0C,所以C=3.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos3=3b2,所以a2=b2+c2,故A=2,即ABC是直角三角形.由(1)知ACD是等边三角形,且AD=CD=AC=1,CAD=3,DE=2,所以AE=3.在ACE中,CE2=AE2+AC2-2AEACcos3=7,CE=7,故E,C两点的距离为7.命题角度2解三角形中的最值与范围问题高考真题体验对方向(2019全国18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA.因为sinA0,所以sinA+C2=sinB.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.典题演练提能刷高分1.(2019河南南阳高三联考)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3(acos C-b)=asin C.(1)求角A;(2)若点D为BC的中点,且AD的长为3,求ABC面积的最大值.解(1)由正弦定理,可得3(sinAcosC-sinB)=sinAsinC.A+B+C=,B=-(A+C).3sinAcosC-sin(A+C)=sinAsinC,即-3cosAsinC=sinAsinC,0C0.tanA=-3.0A,A=23.(2)AD为BC边上的中线,AD=12(AB+AC).又AD=3,3=14(AB2+AC2+2ABAC)=14(b2+c2-bc)bc4,bc12,当且仅当b=c时取得等号.SABC=12bcsinA=34bc33,当且仅当b=c时取得等号,ABC面积的最大值为33.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A.(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.解(1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,则b2+c2-a22bc=12,即cosA=12.由于0A16,所以b2+c2的取值范围是(16,32.3.(2019北京房山高三模拟)已知在ABC中,a2+c2-ac=b2.(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解(1)由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12.因为角B为三角形的内角,故B=3.(2)由(1)可得A+C=-B=23,A=23-C.cosA+cosC=cos23-C+cosC=cos23cosC+sin23sinC+cosC=-12cosC+32sinC+cosC=32sinC+12cosC=cos6sinC+sin6cosC=sinC+6.0C23,6C+656.12sinC+61.故cosA+cosC的最大值是1.4.已知在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,m=(2cos C,acos B+bcos A),n=(c,-1),且mn.(1)求角C;(2)若c=3,求ABC周长的最大值.解(1)mn,2ccosC-(acosB+bcosA)=0.由正弦定理得2sinCcosC-(sinAcosB+cosAsinB)=0.即2sinCcosC-sin(A+B)=0.2sinCcosC-sinC=0.在ABC中,0C0,0)的最大值为2,且f(x)的最小正周期为.(1)求m的值和函数f(x)的单调递增区间;(2)设角A,B,C为ABC的三个内角,对应边分别为a,b,c,若fB2=0,b=1,求32a-12c的取值范围.解(1)f(x)=msinx-cosx=m2+1sin(x+),其中tan=-1m.因为f(x)的最大值为2,所以m2+1=2.又因为m0,所以m=3.又因为f(x)的最小正周期为,所以=2=2.所以f(x)=3sin2x-cos2x=2sin2x-6.令2k-22x-62k+2,可得k-6xk+3(kZ),所以f(x)的单调递增区间为k-6,k+3(kZ).(2)因为fB2=2sinB-6=0,所以B=6.由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得a=2sinA,c=2sinC.32a-12c=3sinA-sinC=3sinA-sinA+6=sinA-6.因为0A56,所以-6A-623.所以-12sinA-61.所以32a-12c的取值范围是-12,1.6.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B).(1)求角C;(2)若ABC的外接圆半径为2,求ABC周长的最大值.解(1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b)