（信号与信息处理专业论文）自适应方向提升小波图像去噪及其实现.pdf

摘要 摘要 数字图像在采集和传输过程中往往会受到噪声的污染，如何有效的消除噪声 是图像处理中的一项重要课题。1 9 9 4 年，d o n o h o 等人提出了小波阈值去噪方法， 它将图像变换到小波域后对图像的小波系数进行阈值萎缩处理，这种去噪方法因 为简单有效而被广泛应用。 但传统的二维离散小波变换不利于表达图像的纹理和边缘等方向信息，在去 噪时容易损失图像的细节信息，造成图像纹理和边缘的模糊。2 0 0 7 年，d i n g 等人 提出了一种可分离的自适应方向提升小波( a d l ) ，它能够在分数精度上检测图像的 纹理方向，并沿着图像的纹理方向对图像进行方向提升小波变换，这样可以尽可 能的减少图像分解后高频子带的能量。a d l 最初被应用在图像压缩中并获得了成 功。在本文中，我们把它移植到图像阈值去噪领域，利用它的自适应方向提升来 保持图像的纹理信息。同时，本文对a d l 进行了改进，提出了a o l ( a d a p t i v e o m n i d i r e c t i o n a ll i k i n g ) ，较之于a d l 的+ 4 5 。方向搜索范围，a o l 能够在图像的 0 。一3 6 0 。内搜索图像相关性最强的方向，这样可以更加精确的逼近图像的纹理，取 得对图像纹理区域更好的去噪结果。 由于a o l 是可分离的小波变换，因此结构简单，并且因为提升变换，它的逆 变换容易获取，利于硬件实现。实验表明该方法去噪后的图像在纹理区域无论 p s n r 值还是主观视觉效果均优于传统的二维离散小波变换。 关键词：自适应方向提升图像去噪小波变换阈值 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed i 百t a li m a g e sa reu s u a l l yc o n t a m i n a t e db yt h en o i s ei nt h ep r o c e s so f a c q u i s i t i o na n dt r a n s m i s s i o n h o wt or e m o v et h en o i s ef r o mt h ei m a g e si sa ni m p o r t a n t t o p i c i n19 9 4 ，t h ew a v e l e tt h r e s h o l d i n gm e t h o df o ri m a g ed e n o i s i n gw a sf i r s t l y p r o p o s e db yd o n o h o 。i nt h i sm e t h o d ，t h ew a v e l e tt r a n s f o r mi sa p p l i e do nt h ei m a g ea n d t h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t sa let r e a t e dw i t hs h r i n k a g e d u et oi t ss i m p l i c i t ya n dh i g h p e r f o r m a n c e ，t h i sm e t h o di su s e dw i d e l y h o w e v e r , t h et r a d i t i o n a l2 - dd i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r mi si l ls u i t e dt oa p p r o x i m a t e t h et e x t u r e sa n de d g e so fi m a g e s t h ed e t a i li n f o r m a t i o nm a yb eh u r tb ys h r i n k a g ea n d t h ed e n o i s ei m a g em a yb eb l u r r e d i n2 0 0 7 ，d i n gp r o p o s e das e p a r a b l ea d a p t i v e d i r e c t i o n a ll i f t i n g ( a d l ) - b a s e dw a v e l e tt r a n s f o r m t h ea d lc a l ls e a r c hf o rt h ed i r e c t i o n o fh i g hp i x e lc o r r e l a t i o na n dp e r f o r mt h el i f f i n go p e r a t i o na l o n gt h i sd i r e c t i o n ；t h e r e f o r e ， t h ee n e r g yo ft h eh i 曲s u b b a n dw i l lb el e s s t h ea d lw a sf i r s t l yu s e di ni m a g e c o m p r e s s i o na n dg o tg o o dr e s u l t sd u et oi t ss u p e r i o rp r o p e r t y i nt h i sa r t i c l e ，w eu s et h e a d lt r a n s f o r mt or e m o v et h en o i s ef i o mt h ei m a g ea n dk e e pt h ei m a g et e x t u r e ；f u r t h e r m o r e ，an e wt e c h n i q u e a d a p t i v eo m n i d i r e c t i o n a ll i f t i n g ( a o l ) w a sp r o p o s e db a s e do n t h ea d l c o m p a r i n gw i t ha d l ，w h i c hs e a r c ht h ed i r e c t i o nb e t w e e n + 4 5 。，t h ea o lc a l l s e a r c hf o rt h ed i r e c t i o no ft h es t r o n g e s tp i x e lc o r r e l a t i o ni nt h ew h o l e2 - ds p a c eo ft h e i m a g eb e t w e e n0 。- 3 6 0 。d u et ot h i sp r o p e r t y , a o li sg o o da ta p p r o x i m a t i n gt h et e x t u r e o ft h ei m a g ea n dt h er e s u l to fi m a g ed e n o i s i n gw i l lb eb e t t e rt h a na d l d u et os e p a r a b l et r a n s f o r ma n dl i f t i n go p e r a t i o n ，a o li ss i m p l ei ns t r u c t u r ea n d e a s yt oa c h i e v et h ei n v e r s et r a n s f o r m c o n s e q u e n t l y , i ti sc o n v e n i e n tt oi m p l e m e n ti n h a r d w a r e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a ti nt h et e x t u r ea r e ao ft h ed e n o i s ei m a g e ，t h e p r o p o s e dm e t h o do u t p e r f o r m sc o n v e n t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mi np s n ra n ds u b j e c t i v e q u a l i t y k e y w o r d ：a d a p t i v ed i r e c t i o n a ll i f t i n gi m a g ed e n o i s i n g w a v e l e tt r a n s f o r m t h r e s h o l d 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 日期型：塾! 二 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名： 日期竺三i ：至：鱼 日期竺1 2 ：3 ：鱼 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 图像是利用观测系统以不同的形式和不同的手段观测客观世界而获得的实 体，研究表明，人类从外界获得的信息中有7 5 来自图像1 。随着信息技术的发展， 数字图像处理近年来得到了极大的重视和长足的进步。一般来说，图像在采集、 编码、传输、恢复的几个基本过程中，会受到多种因素的影响。如电磁干扰、相 片颗粒噪声、采集图像信号的传感器等会为图像带来很多噪声干扰，噪声恶化了 图像质量，甚至淹没了图像的特征点，这极大的防碍人眼对图像的观察。因此， 在利用图像之前对图像进行去噪处理是不可缺少的环节。 为了更好的了解噪声对图像的影响，我们需要建立一个图像退化的模型，退 化过程可以被模型化为一个退化函数和一个加性噪声项n 一3 ，如果退化函数是一个 线性时不变的系统，那么空间域中给出的退化图像可由下式表示： g ( x ，y ) = h ( x ，y ) 半f ( x ，y ) + v ( x ，y )( 1 1 ) 其中f ( x ，y ) 代表原始图像，h ( x ，y ) 是退化函数的空间描述，v ( x ，y ) 代表噪声。 一般来讲，常见的图像的噪声有以下几类瞳3 ： 高斯噪声 高斯噪声是一种具有正态分布( 也称作高斯分布) 概率密度函数的噪声，换 句话说，高斯噪声的值遵循高斯分布或者它在各个频率分量上的能量具有高斯分 布。高斯随机变量的概率密度函数由下式给出： p ( z ) = 丽1 p 七训2 胁2 ( 1 2 ) 其中，z 表示灰度值，表示z 的平均值或期望值，仃代表z 的标准差。图1 1 ( b ) 给出均值为0 ，方差为0 0 1 的高斯白噪声。 椒盐噪声 双极脉冲噪声的概率密度函数可由下式给出： 1 只z = a p ( z ) = 忍z = b( 1 3 ) 10其它 如果b a ，灰度值b 在图像中将显示为一个亮点，相反，a 将显示为一个暗点。 若只或乞为0 ，则此时脉冲噪声为单极脉冲。如果只和忍均不可能为o ，尤其它们 自遁n 方目提升小& 圈镕去& 其实m 近似相等时，脉冲噪声将类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒。由于这个 原因，双极脉冲噪声也称椒盐噪声。图11 ( c ) 给出了含椒盐噪声图像，其密度为 00 5 ，即：图像中受噪声影响的像素点数量为：o0 5 图像像素数量。 斑点噪声 斑点噪声是一种乘性噪声，它对图像的影响可由下式确定： ，= ，+ n + ，n 一4 1 其中，代表受噪声污染的图像，川弋表原始图像，一服从均值为o 的均匀分布。 图1 1 ( d ) 给出了含斑点噪声图像，其中 的均值为0 ，方差为00 4 。 f a ) 原始图像 巾) 高斯噪声 ( c ) 椒盐噪声( d ) 斑点噪声 图1 1 噪声对图像的影响 在信号处理中，为了模拟所研究的客观对象，常常需要人为的产生不同类型 的噪声，最常用的一种噪声模型就是高斯白噪声，它具有恒定的功率谱，包含所 有频率成分，因此，在图像等信号处理中，高斯自噪声作为一种最具有代表性的 噪声模型被广泛应用。本文在图像去噪中采用高斯白噪声作为噪声模型。 1 2 去噪算法概述 目前常用的图像去噪技术根据处理所进行的空间不同，大致可分为两类：基 于空域的方法和基于变换域的方法。前者是对原图像素点的灰度值进行数据处理， 第一章绪论 3 如：中值滤波，均值滤波。而变换域滤波去噪主要思想是：将原定义在空域的图 像以某种形式转换到其它空间，并利用在这些空间的特有性质方便的进行一定的 加工，最后再反变换回图像空域。 空域滤波将图像的各处特性视作一致性，不符合自然图像的特点，其结果是 在去除噪声的同时引起了边缘和细节模糊性问题口1 。传统的傅立叶变换去噪方法是 采用低通滤波法，低通滤波固然能通过平滑抑制噪声，但同时也会把图像中的边 缘变模糊。 近几年来，小波阈值去噪h 5 6 1 在图像去噪领域获得了巨大的发展，小波去噪本 质上利用了信号与噪声在小波系数上的差异：信号的能量集中于少数大的系数上， 而噪声则主要表现为小系数。通过选取合适的阈值，将绝对值小于阈值的小波系 数作为噪声去除，从而达到去噪的目的。小波变换呻3 方法进行信号处理与传统的傅 立叶变换相比有两大突出优点：时间一频域局部性和多分辨率分析( 多尺度分析) 。 多分辨率分析是小波分析的一个特点。图像之所以适于采用多分辨率分析是因为 它的结构和纹理可以分别表现在不同分辨层次上：轮廓信息可以在低分辨率下通 过提取边缘来获得，纹理信息则在较高分辨率下来表现。而提升小波构造方法的 提出使得小波变换的实现可以不依赖傅立叶变换，大大减少了计算复杂度，节省 了存储空间，因为这些优点，提升小波变换成为了j p e g2 0 0 0 里的核心算法。 1 3 本文主要工作 传统的小波变换 3 在对图像进行分解时是通过分别沿水平和竖直方向上的两 次一维变换来实现的。传统小波变换虽然可以很好的表示一维信号，但是由于其 在对图像进行分解时仅仅沿着水平和竖直方向，这就忽略了图像其它方向上的纹 理信息，不能很好的对图像进行表示。针对传统小波的以上缺点，近几年来，利 用图像的方向信息对图像进行分解的方法涌现出来。1 9 8 5 年，i k n o m o p o u l o s 等人 首次提出的二维方向滤波器组将图像分解为一个低通子带和个包含给定方向信 息的高频子带哺3 。e j c a n d 色s ，d l d o n o h o 等人发展出的脊波理论通过对小波基 函数添加一个表征方向的参数，能够很好的逼近图像中具有方向性的直线纹理特 征阳j0 1 1 1 ，这是小波变换难以做到的。为了能更好的逼近图像的曲线特征，e j c a n d 6 s 和d l d o n o h o 构造了曲线波n2 1 3 1 ，曲线波变换的核心部分是子带分解和 脊波变换，它弥补了脊波变换不能很好表示曲线的缺陷，在图像去噪中取得了广 泛应用。2 0 0 2 年m n d o 和m a r t i nv e t t e r l i 提出的一种二维图像表示方法一轮廓 波n 毛1 5 1 朝。它变换首先利用l a p l a c e 塔型滤波器分解( l p 分解) 得到多分辨分解，再 利用方向滤波器组得到方向分解结果，因此它不仅拥有多分辨与时频局部性的主 要特征，还具有方向性与各向异性。以上这些方法是“真正 的二维图像变换方 4 自适应方向提升小波图像去噪及其实现 法，作为不可分离的二维变换，它们往往结构比较复杂，计算量大而且存在冗余。 在图像分解中，如果我们能够先验的知道图像各个区域的纹理方向，然后沿着这 个方向对图像做小波变换，较之于传统小波，这无疑会更好的逼近图像的纹理信 息。基于这样的思想，w a n g ，c h a n g ，d i n g 等人分别提出了弯曲小波变换( c u r v e d w a v e l e tt r a n s f o r m ) m 】，d a d w t ( d i r e c t i o n a la d a p t i v e - d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ) n 踟和自 适应方向提升小波( a d l ，a d a p t i v ed i r e c t i o n a ll i i t i n g ) n9 1 。其中由d i n g 等人提出的自 适应方向提升小波通过插值算法获得分数位置的像素值使得它能够在分数精度上 自适应的检测图像的纹理方向，并沿着图像的纹理方向对图像进行方向提升小波 变换，这样可以尽可能的减少图像分解后高频子带的能量。同时，a d l 是一种可 分离的二维小波变换，可以由现存的任何一种一维小波来构成二维变换，并且由 于基于提升结构，它有着结构简单的优点。a d l 最初被应用在图像压缩中，由于 它在刻画图像纹理上所具有的优势使其获得了成功。在本文中，我们把它移植到 图像阈值去噪领域，利用它的自适应方向提升功能来获得更优于传统提升小波的 效果。同时，利用图像去噪的特点，我们对a d l 进行了改进，提出了a o l ( a d a p t i v e o m n i d i r e c t i o n a ll i f t i n g ) ，较之于a d l + 4 5 。的方向搜索范围，a o l 能够在图像的 0 。一3 6 0 。内搜索图像相关性最强的方向，并且沿着这个方向做提升，这样可以更加 精确的逼近图像的纹理，取得对图像更好的分解结果。a o l 同样可以保证系统的 完全重构特性，它也是一种可分离的二维小波变换，可以由任何一种小波来构成。 较之于传统的提升小波而言，方向提升小波固然有着纹理刻画效果更好的优 势，但同时也存在着算法上复杂度高，实现起来计算量大的缺点。本论文给出了 自适应方向提升小波在d s p 上的软件实现过程和结果，总结了方向提升小波较之 于传统提升小波在计算量上的差异。本文具体内容安排如下： 第二章介绍了一维，二维传统小波变换以及其提升结构的基本原理和小波阈 值图像去噪的基本理论。 第三章介绍了a d l 的背景，原理，分析了其存在的缺点并予以改进，提出了 自适应全方向提升小波( a d a p t i v eo m n i d i r e c t i o n a ll i f t i n g ，a o l ) 并将其用于去噪， 给出了去噪结果并予以分析。 第四章给出了a d l ，a o l 在图像去噪中的d s p 软件实现过程，给出了一种能 够快速求阈值的方法。 第五章对论文进行了总结，并结合已经完成的工作对今后的研究方向进行了展 望。 第二章小波去噪基本理论 第二章小波去噪基本理论 2 1 小波变换理论 小波变换是近几十年才发展起来的一种数学工具，经过不断的探索研究，现 在已经广泛应用于信号分析、图像处理、医学成像与诊断、计算机视觉、计算机 图形等众多领域。传统的f o u r i e r 变换揭示了时间函数与频谱函数之间的内在联系， 反映了信号在整个时间范围内的频谱成分，但f o u r i e r 变换并不具有时间局部化能 力，无法同时得到图像的时域和频域特性。与f o u r i e r 变换相比，小波变换通过伸 缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，它不仅能提供较精 确的时域定位，而且能提供较精确的频域定位，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许 多困难问题心0 2 1 1 。一般来说，以往所有f o u r i e r 变换的应用领域均可被小波变换来 加以应用。 2 1 1 小波变换 设y ( f ) 是一平方可积的函数，即y ( f ) r ( r ) ， 若其满足下述条件： ，哔 0 ，b r ( 2 2 ) 称y 曲( f ) 为依赖于参数口，b 的小波基函数，简称为小波。 将r ( r ) 空间内的任意函数f ( t ) 在小波基下进行展开称其为函数f ( t ) 的连续 小波变换c w t ： w t f ( a , b ) = 击p 矽譬) 出( 2 - 3 ) a v “ 当小波函数的容许性条件成立时，其逆变换为： 6 自适应方向提升小波图像去噪及其实现 胁专了亨王啊”去痧学，如 ( 2 - 4 ) 其中q ：下隧如 ，即为矽( f ) 的容许性条件。 乞 a 根据小波变换的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，也是积分变换，称 啊( 以，6 ) 为小波变换系数。不同于傅立叶变换的是小波函数具有位移参数和尺度参 数，其中，尺度参数的作用是将母小波y ( ) 作伸缩处理，口越大y 仁) 越宽。对于 一个持续时间有限的小波，不同尺度下小波的持续时间随着a 加大而增宽，幅度则 与控成反比，但波形不变。从频域上看，对函数厂( ) r ( 只) 用不同的尺度参数a 作小波变换相当于用一组带通滤波器对信号进行处理。当a 较小时，时间轴上的观 察范围小，在频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细 节观察；当口较大时，频率轴上的观察范围小，在频域上相当于用低频小波作概貌 观察。 在小波变换的实际应用中，尤其是在数字图像处理领域，我们需要对小波变 换加以离散化。小波变换的离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续的位移参数b 进行的，因此，离散小波变换实际上是在离散a ，b 栅格下的小波变换。在对尺度 参数a 进行离散化时通常是按照幂级数进行离散化： a = ? ( 2 - 5 ) 相应的位移间隔取为2 ”e ，得到了离散的小波函数： 屯。0 ) = 22 ( 未了一栉i ) ( 2 - 6 ) m o 如果将礴由用l 归一化，则有： 丸。( f ) = 22 矽( 寺一，z ) ( 2 - 7 ) 研 。 因此。离散化的小波变化可以写成： 吁( ，z ，z ) = ，厂( f ) 丸。( t ) d t ( 2 - 8 ) 矗 第二章小波去噪基本理论 7 2 1 2 多分辨分析与m a l l a t 算法 由粗到细或由细到粗地在不同分辨率( 尺度) 上对事物进行分析称为多分辨分 析心2 2 3 ，2 钔，又称多尺度分析。多分辨分析最早用于计算机视觉研究领域，研究者们 在划分图像的边缘和纹理时发现边缘和纹理的界限依赖于观察与分析的尺度，这 激发了他们在不同的尺度下检测图像的峰变点。1 9 8 7 年，m a l l a t 将计算机视觉领 域内多分辨分析的思想引入到小波分析中研究小波函数的构造及信号按小波变换 的分解和重构，提出了小波多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 的概念， 统一了此前各种具体小波的构造方法，为正交小波变换的快速算法提供了理论依 据。同时，它的思想又和多速率滤波器组不谋而合，使得我们又可以将小波变换 和数字滤波器组的理论结合起来。m a l l a t 的工作不仅使小波分析理论取得了里程碑 式的发展，同时也使多尺度分析在众多领域取得了许多重要的理论和应用成果。 下面我们给出多分辨率分析的概念。 定义设 巧) 磁是p 俾) 上的一列闭子空间，妒( f ) 是r ( 尺) 中的一个函数，如果 它们满足如下的五个条件，即 单调性：对任何整数，z ，巧+ ， 逼近性：西瓦：r ( r ) j e z 。 伸缩性：f ( t ) 匕营f ( 2 t ) l + l ，w z 平移不变性：f ( t ) 营f ( t k ) z o ，v k z 正交基的存在性： 妒0 一尼) ) 。z 构成子空间的标准正交基，那么，称 ( 巧k z ；妒( f ) ) 是r 俾) 上的一个正交多分辨分析。 由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族 伊卅( f ) ) 。z 是杉空 间的标准正交基。如果把当作某人在某种尺度，下所观察到的物体信息，则当尺 度增加到j + l 时，他所观察到的信息为+ 。，此时可以认为是他进一步靠近目标所 观察到的信息，因此巧+ 。所表示的信息应该比巧更为丰富，即巧巧+ 。总之，尺 度越大，距离目标越近，观察到的信息越丰富。反之，尺度越小，距离越远，含 有的信息量越少。 m a l l a t 算法是正交小波分解与重构的快速算法，由m a l l a t 在多分辨分析的基 自适应方向提升小波图像去噪及其实现 础上提出来的。它在小波分析中的地位相当于f f t 在经典傅立叶变换中的地位。 它的基本思想可以归纳如下：设a j f 为能量有限信号f 亭( 尺) 在分辨率2 广f 的近 似，则，a j f 可以进一步分解为厂在分辨率2 川下的近似4 一。f ( 通过低通滤波器 h ) ，以及位于分辨率2 7 与2 川之间的细节q 一。f ( 通过高通滤波器g ) 之和，它的 过程如图2 1 所示： 厂( f ) a i f d l 厂 i 如fd 2 f g a x ，d 图2 1 正交小波分解结构不葸图 由上图，我们可以写出信号f ( t ) 相应的多尺度分解的过程为： f ( t 、= 厶 七d l f = 如 + d l f 七d l = = a 。l d n 七d 。- 、 + d h + 七d l 七d 。 ( 2 9 ) 我们称这一过程为正向小波变换。 反过来，信号f ( t ) 的重构过程如下： a n f + d n f + d n f + d n 也f + + d 2 f 七d i f = f q 一1 0 ) 我们称这一过程为反向小波变换。 以上的正向和反向小波变换实际上可以看成为一组滤波器组的分解部分和重 构部分，又称这组滤波器为m a l l a t 塔式快速小波变换。它的一维分解和重构过程 如图2 2 所示。 厂( f ) l p 厂( f ) 图2 2 小波分解和重构滤波器组 m a l l a t 算法通过一组分解滤波器h o ( 低通滤波器l p f ) 和g o ( 高通滤波器 h p f ) 对信号进行滤波，然后对输出结果进行下二采样( 隔一取一) 来实现小波分 第二章小波去噪基本理论 9 解，分解的结果是产生长度减半的两个部分，一个是经低通滤波器产生的原始信 号的平滑部分，另一个则是经高通滤波器产生的原始信号细节部分。重构时使用 一组冠和g l 合成滤波器对小波分解的结果滤波，再进行上二采样( 相邻两点间补 零) 来生成重构信号。多级小波分解通过级联的方式进行，每一级的小波变换都 是在前一级分解产生的低频分量上的继续，重构是分解的逆运算。低频分量上的 信息比较丰富，能量集中；高频分量上的信息分量多为零，细节信息丰富，能量 较少。 2 1 3 基于提升的小波变换 小波变换的m a l l a t 算法虽然是一种快速算法，但是在硬件实现过程中还是存 在诸多不便瞳引： 进行滤波运算时，滤波器的系数往往是浮点数，为了保证精度而截取多位浮 点数，会给硬件实现带来不便，浮点的位数越多，实现难度越大，而若在滤 波运算中作近似处理后，系统完全重构的性质又会改变，花费大量精力设计 的完全重构滤波器组在实际应用过程中又退化成了近似完全重构系统。 滤波器与信号的卷积运算过程由大量的乘加运算构成，浮点数的乘法运算耗 时较多，会影响系统的实时处理性能。 1 9 9 5 年，s w e l d e n 提出的一种不依赖于傅立叶变换的新的小波构造方案一 提升变换( 1 i f t i n gs c h e m e ) 瞻5 1 ，这种方法不仅得到了新的小波变换，还将现有的小波变 换的计算复杂度进一步降低。经证明，所有的小波变换都可以由提升方式来实现， 所以，提升小波变换又被称为第二代小波。与傅立叶分析框架下的小波变换理论 相比，基于提升的小波变换具有以下特点昭q2 2 3 3 ： 小波构造完全在时域进行，不依赖傅立叶变换； 可以实行原位( i n p l a c e ) 运算。换言之，整个计算过程不需要申请辅助存储空 间，可以节省存储单元； 提升变换的功能与m a u a t 算法相同，并且运算量有一定的减少； 结构简单，反变换容易得到； 可以实现整数到整数的变换，运算过程适宜硬件实现。 提升结构的基本思想是：由于数据集具有自相关性，两个数据集的差值与它们 自身相比很小，而小的差值就可用很少的位数来表示，在一定程度上能达到压缩的 目的。假设一维原始信号s ，要将它分解成一个数值较大的近似信号s ，_ ，和一个数 值相对较小的对应细节的信号d 川。 提升结构的分解过程分为三阶段晗0 2 2 2 3 1 ：分裂( s p l i t ) 、预测( p r e d i c t ) 和更新 ( u p d a t e ) 。变换过程如下图所示： 1 0 自适应方向提升小波图像去噪及其实现 j 5 1 ，一 嘭一- 图2 3 预测、更新的提升步骤框图 分裂 分裂过程也叫惰性小波变换过程，此过程仅仅将原始信号s ，分解为两个较小 的数据子集，理论上我们可以将信号任意划分，但考虑到信号之间的相关性，通 常将信号按奇偶顺序为两个子集e v e n n ( 偶数序列s 2 。) 和o d d j 一。( 奇数序列是川) 。 表达式为： ( o d d j - l ，e v e n 一1 ) = s p l i t ( s j ) ( 2 11 ) 这一步只是将信号简单的分为两个部分，并没有做其他的操作，并不能改进 我们对信号的描述，接下来的提升步骤将重组这两个序列以降低这两个序列的相 关性。 预测 预测过程就是用预测算子p 和数据集e v e n j 一。对o d d j 一，进行预测，即： d ，_ l = o d d j l p ( e v e n j 1 ) ( 2 - 1 2 ) 其中差值d n 被称为细节信号，如果p 是一个好的预测算子，则d h 将是一个 稀疏数据集。p ( e v e n j _ , ) 即为用e v e n j l 的值来预测o d d j l 值的表达式。m ( 2 一1 2 ) 可以 看出，当信号相关性较大时，d h 中的值将很小，预测将非常有效。这一步在提升 步骤中被称为对偶提升( d u a ll i f t i n g ) 。 更新 更新过程就是原始提升( p r i m a ll i f t i n g ) 过程。为了使近似信号s ，能保持原始信 号s ，的某些性质，使用更新算子u 对数据子集e v e n h 进行更新，表示如下： s j l = e v e n j l + u ( d j 1 ) ( 2 1 3 ) 提升小波的重构过程是分解的逆过程，即：重构和分解之间刚好是顺序相反 的关系，同时交换“+ 和“一 ( 如图2 4 ) 。和m a l l a t 分解一样，若对分解得 到的近似信号s 再进行以上的三个步骤的分解，经过一定次数的迭代之后，我们 就可以得到原始信号s ，的一个多级分解。从上面可以看出提升方法实现小波分解 的最大优点之一就是将小波滤波器过程分解成几个非常简单的基本步骤，由此我 们可以得到完全重构的滤波器组。 第二章小波去噪基本理论 2 2 1 图像的二维小波变换 图2 4 重构步骤框图 2 2 小波图像阂值去噪 上一节中我们介绍了一维小波变换以及它的m a l l a t 快速算法和提升结构，对 于二维图像的小波变换我们可以通过一维小波变换的张量积来实现，即对图像的 行和列分别进行一维小波变换。小波对图像进行分解时首先沿行( 列) 方向对图 像进行分解，得到h 和l 子带，然后对h 和l 子带分别沿列( 行) 方向进行分解， 得到l l ，l h ，h l ，h h 子带堙，1 8 】。m a l l a t 二维塔式快速小波变换的分解过程如图 2 5 所示。重构的过程与分解过程相反。小波变换系数具有一定的空间取向特性， l h 代表了水平方向的边缘信息( 即垂直方向的高频分量) ；h l 代表了垂直方向的边 缘信息( 即水平方向的高频分量) ；h h 代表了对角线方向的边缘信息，为利用人眼视 觉系统知识进行去噪提供了合适的表示。 l l l h h l h h 图2 5 图像的二维小波分解图 图像经过二维小波分解后，可以得到四幅子图像l l ，l h ，h l 和h h ，它们分 别表示水平低通垂直低通子带图像，水平带通垂直低通子带图像，水平低通垂 直带通子带图像，水平带通垂直带通子带图像。可以对子带图像l l 再次小波分 解，得到更高尺度上的四幅子带图像，以此类推，可以得到图像的多级小波分解， 得到不同分辨率的子带图像。图2 6 是图像的三级小波分解示意图。 1 2 自适应方向提升小波图像去噪及其实现 l l 3h b h l 2 l h 3h 飞 h l l i l l h 2 h h l i 3 i i l h l h h l 图2 6 小波变换对图像的3 级分解 图像经过小波变换后，能够获得良好的空间一频率多分辨率表示，小波变换 具有以下主要特征晗1 瓯1 6 2 6 | ： 保持了原图像的空间特性，并且很好的提取了图像的高频信息。在低频 处有很好的频率特性，在高频处有很好的空间选择性； 能量主要集中在低频子带图像，高频子带能量较少； 小波分量有方向选择性，分为水平、垂直、斜向，这些特性都和人类的视 觉特性相吻合； 低通模糊子图具有很强的相关性，水平子带图像在水平方向相关系数大， 而垂直方向小；垂直子带图像在垂直方向相关系数大，而水平方向小，斜 子带图像在垂直方向和水平方向相关系数都小。 下面我们给出一幅l e n a 图像的2 级小波分解图，通过这幅分解图，我们可以 很好的了解小波变换的以上特征。由图2 7 可以发现，图像的绝大部分能量集中在 上图左上角的l l 子带，而高频子带中能量较少，主要包含了图像的轮廓，边缘等 细节信息。如果对l l 子带继续进行小波分解，我们可以得到3 级，甚至更多级的 小波分解。 因为提升结构可以实现小波变换，因此，图像的二维小波分解同样可以由提 升结构来实现。具体过程是先沿着行( 列) 进行一次提升变换，得到代表低频信 息的l 子带和代表细节信息的h 子带，然后对l 和h 子带分别沿着列( 行) 进行 提升变换即可得到l l ，l h ，h l ，和h h 子带。提升结构相对于第一代小波变换中的优 点使得他在用于图像分解时可以明显的减少计算量，在实现过程中，由于提升过 程可以在空域上进行原位运算，因此不需要额外的辅助存储空间，节省了存储空 间。 飚广_ _ _ i _ | 。 i| 十 。 、 j 一 ”。 ； ： ，7 。 _ ， 2 22 闽值的选取 图27 图像的2 级小波分解图 1 9 9 5 年，d o n o h o 和j o h n s t o n e 等人提出了一种基于小波变换域的去噪方法： 小波闽值去噪算法”。小波阈值去噪算法的主要思想是：图像经过小波变换后图像 的主要信息将集中在小波域的低频带，图像中的纹理和边缘等突变信息将被集中 到高频带，而噪声则均匀的分布在所有的小波系数中。如果一个信号的能量集中 于小波变换的少数系数上，那么对这些系数的取值必然大于在小波变换域内能量 分散于大量小波系数上的信号或噪声的小波系数的取值。因此在小波变换域中， 噪声信号丰要表现为小系数，而对于图像重要的突变信息则表现为大系数“，可 以通过对高频系数设置闽值来决定系数的保留或置零，从而达到去噪的目的。 在含噪图像小渡变换域中，图像信号能量的绝大部分集中在绝对值较大的小 波系数中，噪声成份能量则主要集中在绝对值较小的小波系数中。阀值去噪的基 本原理是：通过设定一个阈值，将低于某个闽值的小波系数置为零，而保存高于 阀值的小被系数，经过处理之后的小波系数就可以认为基本上是由信号引起的， 然后对处理后的小被系数进行逆变换便得到去噪后的图像。 鞫值的选取是小波闽值击噪的关键所在，若闽值选取的过小则起不到去除 噪声的效果，若闽值选墩过大则会在去除噪声的同时损伤图像自身信息，导致重 构后的图像纹理变模糊，使得图像视觉质量下降，对于纹理丰富的图像这种现象 尤其明显： 本文采用由d o n o h o 和j o h n s t o n e 于1 9 9 2 年提出的小波碉僮萎缩方法”，即： d = 口2 】n nr 2 - 1 4 1 其中，口为噪声标准差， + 为图像的象素数。这是在正态高斯噪声模型下， 1 4 自适应方向提升小波图像去噪及其实现 针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋向无穷时的研究得出的结论，即大于该 阈值的系数含有噪声信号的概率趋于零。这个阈值由于同信号的尺寸对数的平方 根成正比，所以当较大时，阈值趋向于将所有小波系数置零。此时小波滤噪器退 化为低通滤波器。 然而，在实际环境中，图像中的噪声标准方差是不可能知道的，因此在选取 阈值时，要用估计方法来确定噪声标准方差。其中较常用的估算方法多采用公式 f 1 9 】： 0 , 2 ：m e d i a n ( d j ( k ) ) ( 2 1 5 一) 一_ 一- = 一 1 2 -) 其中是小波分解尺度，m e d i a n 是求中值。 在小波阈值去噪中，主要有两种阈值函数法：硬阈值法和软阈值法幢8 1 。 硬阈值法( 如图2 8 ) ： i i w i t 肚1 01 高 ( 2 - 1 6 t ) oi 形i 。 软阈值法( 如图2 9 ) ： 矿：f s g 呱形掣形卜力：形w ：三t c 2 ，7 ， 0 li n 2 ，则说明a 小于中值，将a 增1 后继续上一操作，直到b n 2 时停止，、反之 同理。一维搜索求中值法不需要对序列进行排序，就可以求得其中值，但是需要 预先提供一个初始值，这个初始值越接近中值，计算量越少。根据以往的试验， 在自然图像的阈值去噪中，我们得到的中值往往介于1 0 一2 0 之间，因此，我们可 以取初始值为1 5 。 表4 4 是冒泡排序求中值法和一维搜索求中值法对不同大小的图像在 b l a c k f i n 一5 3 3 芯片上实现所需时钟周期数的比较，在一维搜索法中，我们选用的初 始值为1 5 ： 表4 4 冒泡法和一维搜索法计算量比较 必 6 4 6 41 2 8x1 2 82 5 6 x 2 5 65 1 2 5 1 2 方法 冒泡排序法4 4 5 7 5 6 34 0 3 8 4 0 2 26 4 5 9 7 8 1 3 417 5 2 8 6 6 8 0 8 一维搜索法3 6 9 2 22 8 9 3 4 81 1 5 4 4 1 9 4 6 0 8 2 4 7 由上表可以看出，一维搜索方法求中值所用的时钟周期远远小于冒泡排序法， 图像越大，一维搜索法所具有的优势越明显。 另外，考虑到均值计算的快速性，如果图像h h 子带的中值和均值相差不大， 我们也可以考虑用均值代替中值来计算阈值。下面我们分别对8 幅自然图像加 盯= 2 0 的高斯白噪声，然后计算5 3 小波分解后的阈值。阈值计算分别由中值和均 第四章自适应方向提升去噪实现 4 5 值来参与完成，结果如表4 5 。 表4 5 中值与均值计算阈值比较图 图像名称中值方法求得的均值方法求得的阈值差额 阈值阈值 b a r b a r a1 8 8 0 1 92 0 5 1 4 21 7 1 2 3 l e n a 1 8 2 4 7 11 9 8 9 7 91 6 5 0 8 g o l d h i l l 1 7 5 8 7 51 9 1 8 3 11 5 9 5 5 m a n d r i l l 1 9 4 4 6 72 1 1 6 4 31 7 1 7 7 p e p p e r s 1 7 0 6 8 6 1 8 6 1 5 91 5 4 7 3 z e l d a 1 8 3 5 9 41 9 9 6 8 81 6 0 9 4 c 锄e r a 1 8 3 5 9 42 0 0 3 3 31 6 7 3 8 b o a t 1 8 4 7 1 02 0 0 5 2 61 5 8 1 6 由表4 5 可知，由均值代替中值来获取阈值，二者得到的阈值差额在1 5 1 7 之间，并没有太大差别。由于在阈值去噪中，阈值上下浮动较小的幅度对去噪结 果影响不大，为了提高硬件的实时性，我们可以考虑用均值代替中值来求得阈值。 第五章总结与展望 4 7 第五章总结与展望 5 1 本文总结 小波阈值图像去噪目前已经成为图像去噪的主要方法之一，1 9 9 4 年，d o n o h o 提出了小波阈值函数萎缩方法，还给出了艿= o - 2 4 瓦g n 的阈值计算方法，此后， 小波阂值萎缩方法被广泛用于去噪，并取得了很大的成功。但传统的二维小波变 换因为不能很好的表达图像非竖直和非水平方向上的纹理信息，因此容易导致去 噪同时损失图像的细节信息，导致图像的纹理变的模糊。为了解决这个问题，许 多利用图像方向信息对图像进行稀疏表示的方法被提了出来。本文总结了其中几 种具有代表性的方法，其中，着重介绍了a d l 方法，将其进行了改进提出了a o l 方法并应用到去噪中去。 a d l 是一种基于提升的自适应方向小波变