（电路与系统专业论文）时域有限差分法在光纤光场中的应用.pdf

硕士学位 论文 i ti f f r s i i i g s s ab s t r a c t f i n i t e - d i ff e r e n c e t i me - d o ma i n me t h o d i s a n u me r i c a l c alc u l a t i o n me t h o d o f f in d i n g t h e s o l u t i o n t o t h e e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d i n t h e t i m e - d o m a i n . i t t r a n s f e r s t h e ma x w e l l d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h t im e v a r ia n t t o t h e d i ff e r e n c e e q u a t i o n s s o a s t o f i n d t h e s o l u t i o n t o e a c h o f e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s . s i n c e t h e f o u n d a t i o n o f t h e f d - t d m e t h o d , i t i s m a i n l y u s e d i n r e s e a r c h i n g t h e e ff e c t s o f t h e c o m m o n e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s o n v a r i o u s o b j e c t s . h o w e v e r , t h e r e a r e s t i l l f e w r e p o rt s o f t h e a p p l i c a t i o n s i n t h e r e s e a r c h o f o p t i c a l f i b e r f i e l d . a n a ly t i c m e t h o d w a s g e n e r a l l y u s e d t o r e s e a r c h t h e o p t i c a l f i b e r . wi t h t h e m o r e e x t e n s i v e u s i n g o f o p t i c a l f i b e r a n d w i t h i t s s t r u c t u r e m o r e a n d m o r e c o m p l i c a t e d , i t i s i m p o s s i b l e t o f i n d a n a c c u r a t e s o l u t i o n . t h u s a n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n m e t h o d i s r e q u i r e d . n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n m e t h o d s o t h e r t h a n f d - t d m e t h o d h a v e l i m i t a t i o n . t h e f d - t d m e t h o d i s d i r e c t l y p e r c e i v e d , r a p i d , s i m p l e i n p r o c e d u r e , a n d c o m m o n l y u s e d . i t s a v e s t h e m e m o ry s p a c e a n d t h e t i m e o f c a l c u l a t i o n , g i v e h i g h a c c u r a c y a n d h a s c l e a r d a t a a n d p i c t u r e s . t h i s t h e s i s i n t r o d u c e s t h i s m e t h o d t o t h e c a l c u l a t i o n o f o p t i c a l f i e l d s i n t h e o p t i c a l f i b e r . i t h a s a r r i v e d a t t h e s a m e c o n c l u s io n s w i t h t h e a n al y t i c m e t h o d i n m a n y d o c u m e n t s , t h u s p r o v e d t h e f e a s i b i l i t y a n d e f f i c i e n c y o f t h e f d - t d m e t h o d i n t h e r e s e a r c h e s o f o p t i c a l f i b e r f i e l d s . t h i s t h e s i s f i r s t c o n v e rt s t h e f d - t d m e t h o d i n o r th o g o n al c o o r d i n a t e s i n t o t h e c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s , a n d t h e n a n a l y z e s t h e d i s t r i b u t i o n o f m o d e f i e l d o f s t e p - i n d e x o p t i c a l f i b e r i n t h r e e - d i m e n s i o n a l s c a l a r f d - t d m e t h o d . f u r t h e r m o r e , f o u r k i n d s o f o p t i c a l s o u r c e a r e u s e d a s s t i m u l i , t h e y a r e g u a s s i a n o p t i c a l s o u r c e , s p h e r i c a l o p t i c a l s o u r c e , s i n o p t i c a l s o u r c e a n d c o s o p t i c al s o u r c e s , r e s p e c t i v e l y . t h e c o n c l u d e d d i s t r i b u t i o n s o f o p t ic a l f i e l d s a ft e r t h e s t a b i l i z a t i o n o f t h e 硕士学位论文 m4 s t e r s t h e si s s p r e a d i n g o f o p t i c a l f i e l d s a r e i d e n t i c a l w it h t h e r e s u lt s b y t h e a n a l y t i c m e t h o d . i n t h e m e a n t i m e , t h e s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s o f t h e o p t i c a l f i b e r a r e c h a n g e d u n d e r t h e s a m e o p t i c a l s o u r c e . t h e s t a b l e d i s t r ib u t i o n s o f t h e o p t i c a l f i e l d s a r e d i ff e r e n t . i t i n d i c a t e s t h a t t h e d i s t r i b u t i o n s o f t h e s t a b l e o p t i c a l f i e l d s h a v e n o t h i n g t o d o w i t h t h e s t i m u l a t e d o p t i c a l s o u r c e s . t h e y a r e j u s t c o n n e c t e d w i t h t h e s t r u c t u r a l p a r a m e t e r s o f t h e o p t i c a l f i b e r . t h i s t h e s i s a l s o d i s c u s s e s t h e o p t ic a l f i e l d s o f t h e o p t ic a l f i b e r t a p e r b y 3 - d s c a l a r f t - t d m e t h o d . a s t a b l e f i e l d i s i n p u t i n t o t w o k i n d s o f f i b e r t a p e r s w i t h d i ff e r e n t t a p e r a n g l e . t h e d i s t r i b u t i o n i n s i d e t h e o p t i c a l f i b e r t a p e r i s n o t s t a b l e w h i l e t h e o u t p u t f i e l d i s a s t a b l e d i s t r i b u t i o n . a c c o r d i n g t o t h e d e c r e as i n g o f t h e a n g l e o f t a p e r , t h e r a d i u s o f t h e s t a b l e f i e l d i s d e c r e a s i n g a n d t h e m a g n i t u d e i s me 化asmg . k e y wo r d s : f i n i t e - d i ff e re n c e t i m e - d o m a i n me t h o d ; o p t ic a l f i b e r ; o p t i c a l f i b e r t a p e r ; f i e l d d i s t r i b u t i o n o f o p t i c a l f i b e r ; c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s ; t h r e e - di me n s i o n a l s c a l a r f t - t d me t h o d . i i i 硕士学位论文 m a s t e r s t i i e s i s 第一章 光纤光学理论研究方法概述 光纤光学是近代光学领域中的一个重要部分，它是研究光波在透明的光纤 中传输的理论。光纤通常是一种带包层的圆柱形透明细丝，可由玻璃、石英、 塑料等材料在高温下拉制而成。 光纤的出现， 给人们提供了一种类似于电缆线 一样柔软的光导管， 而光线和图像就沿着这根导管从一端传到另一端。 光纤的 另一种重要应用是利用光纤可弯曲的特性制成各种图 像变换器， 这种组件可以 改变图形和光源的形状， 可以 解决光源到接收器之间复杂信道的传输问题， 在 光电自 动控制和记录等方面有很大用处。 早期对光纤的研究，主要是图像的传输，如潜望镜和内窥镜系统。随着激 光技术的发展， 激光通信得到了足够的重视。由于大气通信的局限性和光内腔 镜管道通信系统的复杂， 1 9 6 6 年英籍华人高馄博士提出用光纤束传输激光而有 效 地进行光 通信 l这 样 纤 维 光 学就 进入了 通 信光 纤的 研究 阶 段。 在信息爆炸的时代， 旧的电缆正被光缆替代， 人们对通信的要求越来越高， 高分辨率、 大信息量、 快传输速度等等， 各种光纤应运而生。 光纤按其模式分 类有单模光纤、多模光纤， 按材料分类有红外光纤、 石英光纤、塑料光纤、 紫 外光纤等。还有几种特殊光纤:保偏光纤、有源光纤、 双包层光纤、耐辐射光 纤等。无论何种光纤， 若要对其性能进行优化和设计，就要从理论上分析其场 分布、传输特性与几何参量、电参量之间的详细关系，因此，有大量文献对于 不同的光纤从不同的角度来研究光纤的理论特性. 主要的理论方法有: 几何光 学的 方法2 1 和波动 光学的 方法。 几何光学方法主 要用于解决数值孔径等问 题。 而分析场分布主要用波动光学的方法，该方法又分为解析法、数值计算法等， 下面分别简要介绍。 6 ,ti 士学位论文 4 4 s t c r s n i e s i s 一_ 一一一一- 一 份 1 . 1解析 方法 解析方法是从电磁场的m a x w e ” 方程组出发， 在光纤的边界条件下， 把波 动 方 程 进 行 分 离 变量， 最终 求出 精 确 解的 方 法 (3 )4 1 。 每一 个 解 对 应 一 种 场模 式。 由于大多数实际的光纤都是弱波导， 对许多应用而言，标量分析通常就能 满足要求，在标量近似下，电场成为线性极化的，它满足标量波动方程: v 2 e一( 1 . 1 ) n ( x ,y 力为 光纤 波导的 折射率， c 为自 由 空间 的光 速。 解该标量方 程， 可 分析光 纤的 传 播 特 性。 解该 标量 方 程的 方 法 主 要 有四 种: w k b 法、 r a y l e i g h - r i tz 法、 幂级数展开法、微扰法等。 1 . wk b法 w k b 法是 经典的 标量分 析 法 。 1 5 16 )量 子 力 学 及其 它 许多 领 域中 己 得 到 广 泛的应用。 在量子力学中， 当普朗克常数h 不 起显著作用( h - - 0 ) 时， 量子力学就 可以近似地用经典力学处理，这种近似也称为经典近似。因为它是由 w e n t g e l- k r a m e r s - b r i l lo w in 首 先 用 来 解 薛 定 鄂 方 程 7 l ， 所以 又 称 为w k b 法。 在 求解本征值问题时，可利用wk b法近似标量方程: 2 2 + (k (x )“ 一 ” ， ， = 0 ( 1 . 2 ) 其 中 ， 中 为 电 场 分 量 或 磁 场 分 量 ， 从 而 可 以 得 到 传 播 常 数对的 方 程 是 : f, (k (x )、 一 j3 2)zdx = (n + i )rr, n = 0 ,1,2 .一 ( 1 . 3 ) 即为波导 传播常数与介质空间乎面波传播常数的关系。 wk b法物理图像易于明白， 在光纤的初期研究阶段认为 法， 但从本质上说仍属于近似解法。随后发展的wk b法， wk b是标准的方 虽它能逐一分析各 一氮 硕士学位论文 b 1 sc fr s ti i fsi s 模的 特性， 甚至也能适应于单模光纤， 但在最后的求解中须应用计算机计算， 从而失去了w k b 分析法的最大优点。 而且对于折射率变化较陡 情况及低阶模 难以 求得精度高的解， 特别是对于截面 渐变折射率波导在截止区偏差较大。 2 . r a y l e i g h - r i t z 法 又 称变分 法 1 u 5 1 。 在一 般情况下， 直 接 求 解 梯 度折射率光学 纤 维的 波 动方 程是很困难的。 采用变分法可以不直接求解标量波动方程， 而是在边界条件的 限制 下将波动方 程转化为一个变分方 程， 然 后利 用r a y l e i g h - r i t z 方 法求 解变分 问题， 就可以 得到梯度折射率光学纤维的本征值方程， 解该方程就可以计算传 播常数和延迟。主要用于在一边界条件下变分问题，但求解非常复杂和困难， 而且计算量很大。 3 . 幕级效展开法 该方法1 1 1 15 1 实质上是把折射率分布函数和光场横向分量表达式以 级数 r 一 r a 才艺 a n x n 表 示 ， 比 较 展 开 系 数 就 可 以 得 到 光 波 场 分 布 函 数 。 然 后 ， 将 得到的光波场分布函数代入本征方程，最后用计算机进行数值解. 但是， 当 光纤参数v很大时， 幂级数展开 法的收敛很慢， 因 此， 在多模条 件下， 幂级数解对远离截止的低阶模和对高阶模的效果并不好。 在单模条件下， 或者光纤仅可以传导几个低阶模的情况下， 幂级数收敛很快， 幂级数分析方法 就成为模分析的一种有效的方法。 4 .徽扰法 从量子力学知道， 微扰法1 1 1 就是要解如下本征值方程: h w = w w ( 1 .4 a ) 这里:h= h o + h _ ( 1 .4 b ) h o 呜= 丙 呜( 1 .4 c ) 其中h为哈密顿算符，它可分为两个部分:一部分是h o ，相当于不存在微扰 s 、掺 硕士学位论文 m us t e r s c h s s i s 情况下的哈密顿量， 相应的正交本征函数是0 1 ， 本征值是, 1 , ; 另一部分是h . 它看作对h 。 的很小的微扰。 这里。 ， 和幻是已 知的。 利用一级微扰理论， 对低阶的接近截止的模可以得到很好的结果，但对于 其它情况误差较大。 1 .2教值计算法 随着光纤的广泛使用，结构越来越复杂、功能越来越多，要求得到封闭形 式的解析解已经是不可能， 就是半解析解的近似方法也只能在个别问题中得到 有限应用，能够较广泛发挥作用的唯有各种数值方法。数值方法主要分两类: 一类是纯数值方法， 一类是把解析法与数值法结合起来。 后一种方法的特点是 尽量发挥解析方法的作用， 仅在解析法无能为力或最后阶段进行工程上需要的 数值计算。 对于一些复杂的系统， 就只能用纯数值方法。 这种方法通常分为直 接频域技术和直接时域技术。 直接频域技术主要处理的是简谐激发函数， 假设 所有的电荷、电流和场有一正弦稳定时间变量因子， 对单频激发求得场解， 经 典分离变量法就属于这一技术， 它的直接数值方法包括: 矩量法和有限元法等。 直接时域技术的特点是保持m a x w e l l 方程中的时间 微商， 它提供由 齐次( 瞬态) 部分和依赖激发函数的特解部分组成的全解，可用于正弦和非正弦激发。直 接时域法分为积分方程和微分方程两种形式， 滞后势积分表达是经典的积分方 程形式。时域有限差分法是直接时域法的微分方程形式。 下面分别介绍几种常 用方法: 1 . 有限差分法 有限差分法简称差分法18 1 法和近似数值分析联系起来， 这种方法早在十九世纪末己经提出，但把差分 则是在本世纪五十年代中叶以后的一段时间。 它 :髯: 硕士学位论文 n .a st fr s t he si s 以简单、直观的特点而得到广泛的应用， 其应用范围极广， 无论是常微分方程 还是偏微分方程、 各种类型的二阶线性方程，以至高阶或非线性方程， 均可利 用差分法转化为代数方程组， 而后用电子计算机求其数值解。 有限差分法是以 差分原理为基础的一种数值算法， 它把电 磁场连续场域内的问题变为离散系统 问 题， 即用各离散点上的数值来逼近连续场域内的真实解， 因而它是一种近似 的计算方法， 但根据目 前电子计算机的容量和速度， 可以得到足够高的计算精 度。 2 . 有限元法 有限元 法是 一 种 有效 而 精 确的 方法 9 ， 特别 适 用 于几 何结 构或介电 特 性分 布比 较复杂的情况， 因 此在集成光学， 特别是在新型光波导器件的分析和研究 上，越来越受到人们的重视。 五十年代初，由于工程分析的需要，有限元法在复杂的航空结构分析中 最 先 得 到 应 用. 有 限 元 法 这 个 名 称由c lo u g h 于1 9 6 0 年 提出 10 1 ， 运 用 到电 磁 领 域 还是六十至七十 年代初的 一 段时间 d i 1 传统的有限元法以变分为基础，把所要求解的微分方程型数学模型边 值问题， 首先转化为相应的变分问题，即泛函数求极值问题; 然后， 利用剖分 差值， 离散化变分问题为普通多元函数的极值问题， 即最终归结为一组多元的 代数方程组， 解之即可得待求边值问题的数值解。 该法适用于几何结构， 或介 电 特性分布比较复杂的情况。 虽然这种方法的计算程序一般复杂、 冗长， 但其 各环节易于标准化，可以 得到通用的计算程序，且有较高的计算精度。 但是采用变分公式和有限元展开式求解电磁场问题时，往往会有虚模即非 物理解， 它们与真正的 物理解混在一起， 千扰了对物理解的寻求: 而且虚模的 数量随着网格密度( 即总体矩阵的阶数) 的增加而增加， 任何提高精度的作法都 伴随着增加虚模的烦恼。 因此， 鉴别和消除虚模始终是有限元法求解电磁场问 题的一个重要课题。 3 . 边搜元法 石 为 士学位论文 s ni f sr c 又之 乡/ 4 k i i r 9 匆 边 棱 元 法 是 一 种基 于有限 元网 格 划 分的 计 算 方 法1 2 1 ， 其 概 念 最 早 是由 美国 学 者h .w h itn e y 在1 9 5 刃3 1年 提出 的 ， 八 十 年 代 初 被 用 于 涡 流问 题 14 1 ， 八 十 年 代 末 开 始 应 用 于 高 频电 磁场 ( 微 波 场、 光 场 ) 问 题 1 1 5 - 18 ， 近 年 来 越 来 越 受 到 人 们 的 重视。 这种方法与传统的有限元法不同 之处在于:电场或磁场不是用这些场在 节点 上 的 值 ( 矢 量 ) 来展开， 而是 用 场 在 边 棱 上的 线积分 ( 标量 ) 来展 开; 展 开 式 中的型函数不是普通的标量型函数， 而是包含其梯度的矢量型函数。 因 此， 用 边棱元来表示场具有以下特点: 它自 然满足电场或磁场在介质分界面上的连 续条件; 它自 然满足了零散度条件，因而消除了虚模; 由 于边棱元与棱边 的祸合弱于节点与节点之间的祸合， 因而 所得到的总体矩阵具有较少的非零元 素和较小的稀疏度，从而减少了计算量。 边棱元法是一个新方法，本身还在发展中，尚有不少理论的问题需要探讨 和解决。 例如， 边棱元法虽然消除了虚模干扰， 但存在若千零本征值问题， 还 需对零本征值的根源和数目进行探讨。 4 . 矩f法 矩 量 法 是 一 种 将 连续方 程离 散 化为 代 数 方 程组的 方 法 1 19 ， 此 法 对于 求 解 微 分 方 程 和 积 分 方 程 均 适 用 。 r .f .h a r r in g to n 用 统 一 的 观 点 作 了 简 单 扼 要 的 介 绍. 12 0 1 ， 即先将需要求解的偏微分方程或积分方程写成带有微分或积分算符的符号 方程，在将待求函数表示为某一组选用的基函数的线性组合并带入符号方程， 最后用一组选定的权函数对所得的方程取矩量， 就得到一个矩阵方程或代数方 程组。 剩下的问题就是利用计算机进行大量的数值计算， 包括矩阵的反演和数 值积分等。 用此法可以达到所需要的精度。 必须指出， 这种方法中的解析部分 很简单， 但计算工作量很大， 即使使用高速大容量计算机， 计算任务也很繁重。 矩量法能够解决别的方法所不能解决的边界比较复杂的一些问题， 特别是在散 射问题中更有广泛的应用前景。 5 . 时城有限差分法 ( f d - t d ) 这是一种保持ma x w e l l 旋度方程中的时间变量，不经变换而直接在时域空 一氮 硕士学位论文 s i aste r s t hi si s 间中求解的方法， 它能提供方程的瞬时和稳态的全部解答。 它在每一网格反复 地运用由旋度方程直接转换来的有限差分格式， 从而实现计算机数据储存空间 中 对连续的实际电 磁 波的 传播过 程在时间 进程上进行数 值模拟2 1 - 2 3 1 。 它己 成为 一种广泛使用的电 磁场( 光 场 ) 的数 值计算方 法。 它是 直接 求解依赖时间 变量的 m a x w e l l 方程，利用二阶精度的中心差分近似，把旋度方程中电场和磁场的 微 分算符直接转换为差分形式， 这样达到在一定体积内和一段时间上对连续电 磁 场的数据取样压缩。 电场和磁场分量在空间被交插放置， 这样保证介质和分界 面处切向分量的连续条件自 然得到满足， 由此所形成的方程对电磁场完全是显 式的，因而不需要求解一个线性方程组， 因此，具有一些非常突出的特点。 奋 1 . 3 时城有限差分法的发展及特点 早在1 9 6 6 年k a n e s . y e e 用y e e 氏 网格的空间离 散方 式2 4 1 ， 把带时间 变量 的旋度方程转化为差分格式， 并成功的模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时频 响应，该方法后来被称为时域有限差分法( f i n i t e - d i ff e r e n c e t i m e - d o m a i n m e t h o d ， 简称f d - t d 法 ) ， 后 来 经过r .h o l la n d , k .s .k u n z 2 5 1和a .t a fl o v e 2 6 等 一批科学家的不断改进， 经历了近二十年的发展才逐渐走向成熟。 在这近二十 年的发展中主要解决的是以下问题: ( 1 ) 吸收边界条件的 应用和不断改善。 ( 2 )总场区和散射场区的 划分， 可实现任意入射波的设置，保证宽的计算 动态范围，使散射体的设置变得简单，方便了远场的计算。 ( 3 )实现稳态场的计算。 八十年代后期以来，时域有限差分法由成熟转入被广泛接受和应用，在这 一时期，又有了新的发展:回路积分法和变形网格、亚网格技术、广义正交曲 肇 位论文 线坐标系中的差分格式和非正交变形网格、 适于色散介质的差分格式、 超吸收 边界条件和色散吸收边界条件等。 随着新技术的不断提出， 应用范围和质量正 在不断的提高和扩大。 作为一种电磁场的数值算法， 它有着和其它数值方法不同的特点: ( 1 ) 直接时 城计算 时域有限差分法直接把含时间量的m a x w e l l 旋度方程 在y e e 氏网格空间中转换为差分方程。 在这种差分格式中每个网格点上的电场 ( 或磁场) 分量仅与它相邻的磁场( 或电场) 分量及上一个时间步该点的场值有 关。在每一时间步计算网格空间各点的电场和磁场分量，随着时间步的推进， 即能直接模拟电 磁波的传播及其与物体的 相互作用过程。 时域有限 差分法把各 类问题都作为初值问题来处理，使电磁波的时域特性被直接反映出 来。 ( 2 ) 广泛的 适 用性 在时 域有限差分 法的差分 格式中， 被模拟空间电 磁性 质的参量是按空间网格给出的， 因此， 只需设定相应空间点以适当的参数， 就 可模拟各种复杂的电磁结构。 媒质的非均匀性、各向异性、 色散特性和非线性 等均能很容易地进行精确模拟。 由于在网格空间中电场和磁场分量是被交叉放 置的， 而且计算中用差分代替微商， 使得介质交界面上的边界条件能自 然得到 满足， 这就为模拟复杂的结构提供了 极大的方便。 任何问题只要能正确地对源 和结构进行模拟，时域有限差分法就应该给出正确的解答。 ( 3 ) 节的存 储空间 和计算时间 时 域有限 差分 法所需要的 存储空间 直 接由 所需的网格空间决定， 与网格总数n成正比。 在计算时， 每个网 格的电 磁场都 按同样的差分格式计算， 所以， 就所需的主要计算时间而言， 也是与网格总数 n成正比 2 3 。 相比 之下， 若离 散 单 元 也 是n ， 则 矩量 法所需的 存 储空 间与 ( 3 n ) 2 成正 比 ， 而 所需 的c p u时 间 则与 ( 3 n ) 2 至 ( 3 n ) 3 成正比。 当n比 较 大 时 两者 的 差别是很明 显的。所以，当n很大时， 时域有限差分法往往是更合适的方法。 ( 4 ) 适合并行计算时域有限差分法的 计算特点是，每一网 格点上的电 场 ( 或磁场) 只与其周围相邻网格点处的磁场( 或电场) 及其上一时间步的场值有 关， 这使得它特别适合并行计算. 施行并行计算可使时域有限差分法所需的存 愁彝 : 石 贞 士学位论文 b i a s 丁 e r s t h f s i s 储空 间 和计 算时 间 减 少为 只与n i/ 3 成正 比 。 时 域有限 发法 将随 着并 行 计 算 机的 发展而越来越显得重要。 ( 5 ) 计算程序的通用性由 于m a x w e l l 方程是时域有限差分法计算任何问 题的数学模型， 因而它的基本差分方程对广泛的问 题是不变的， 吸收边界条件 和连接条件对很多问题是可以通用的。 因此一个基础的时域有限时域差分法计 算程序，对广泛的电磁场总是具有通用性。 ( 6 ) 筒单、直观、容昌掌握.由 于时 域有限差分法直接从m a x w e l l 方程出 发，不需要任何导出方程，这样就避免了使用更多的数学工具， 使得它成为所 有电磁场的计算方法中最简单的一种。 其次，由于它能直接在时域中模拟电磁 波的传播及其与物体作用的物理过程， 所以它又是非常直观的一种方法。由于 它既简单又直观， 掌握它就不是件很困难的事情， 只要有电磁场的基本理论知 识， 不需要数学上的很多准备， 就可以学习运用这一方法解决很复杂的电磁场 问题。 这样，这一方法很容易得到推广，并在很广泛的领域发挥作用。 主要需要解决的问题有:数值色散现象如果电磁波所在空间的媒质特 性与频率有关，则电磁波的传播速度也将是频率的函数，这种现象称为色散。 存在色散现象的媒质称为色散媒质。显然， 在非色散媒质中，电磁波的传播速 度应该与频率无关。 所以，如果时域有限差分算法是精确的， 则用时域有限差 分方程在计算机中所模拟的平面波的相速度应该与频率无关。 但是，由于时域 有限差分方程只是原ma x w e l l 旋度方程的一种近似， 当在计算机的存储空间对 电磁波的传播进行模拟时， 在非色散媒质空间中也出现色散现象， 且电磁波的 相速度随波长、 传播方向及变量离散化的情况而发生变化。 我们把这种非物理 的色散现象称为数值色散。 数值色散会导致脉冲波形的破坏，出现人为的各向 异性及虚假的折射等现象。因此数值色散是时域有限差分法的一个重要问题， 它是提高该算法计算精度的一个重要限制。 这种算法的另一个重要问题是，在需要计算电磁场的全部区域建立 y e e 氏网格计算空间。于是，对于像辐射、散射等这类开放问题， 所需要的网格空 一肇 : 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 间成为无限大的。 任何计算机的存储空间都是有限的， 因此在无限大网 格空间 中计算电磁场是根本不可能的。 在实际计算中总是在某处把网格空间截断， 使 之成为有限的。 这样一来， 在网格空间的截断处就会出现非物理的电磁波的反 射， 这将严重地影响计算精度， 必须设法消除这种反射现象。 另一方面，中心 差商形式的时域有限差分方程由于需要截断边界处场的信息用于边界网格点 上场的计算，故也需要适合于截断边界网格点计算的算法。总起来讲，需要一 种截断边界网格点处场的 特殊计算方法，它不仅能保证边界场计算的必要精 度， 而且还能大大消除非物理因素引起入射到截断边界的波的反射， 使得有限 的网格空间就能模拟电磁波在无界空间中的传播。 加边界场的适合上述要求的 算法称为辐射边界条件或吸收边界条件。 计算区域大， 它不仅在结构的表面， 还必须包括内部和足够的外部空间， 以便有效地满足辐射条件。 随着计算机技术的发展及光纤技术的进步，数值计算法得到越来越广泛的 应用， 有限元法由于其虚模干扰问题己通过补偿项法和边棱元法部分的得到解 决， 可广泛的应用于非线性光波导和谐振器的分析和模拟， 在这新领域中还有 大量工作可为， 但须改进相应的程序处理功能。 f d - t d法的突出优点是所需的 存储量及时间与n成正比， 这使得很多复杂的光场计算问 题得以解决。 但在用 非线性网格来划分场空间时， 还有一些问 题要解决 ( 如奇点问 题等) 。 1 . 4本论文的 研究内 容 由以上分析可知， f d - t d法有着其它数值方法不可比 拟的优点， 本文将采 用f d - t d法来分析光纤中 光场的分布。 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 论文在第二章将简单介绍f d - t d法的基本原理， 及其吸收边界、 数值稳定 性、 数值色散和激励源等问题。在第三章将着重分析和推导圆柱坐标系中的三 维标量 f d - t d差分格式， 解决吸收边界条件、 奇点和棱边的处理问 题.论文 的 第四 章将讨论不同 激励下、 相同 v ( 归一 化频 率 ) 的 阶跃光纤中 场分 布情况: 相同 激励下、 不同 v ( 归一化频率) 的阶跃光纤中场分布情况;以 及不同 锥角的 光纤锥的场分布。 、 爵 硕士学位论文 t 1 a s 丁 f r s t h e s 无 s 第二章 f d - t d法的基本原理 2 . 1徽商的差商近似 有限差分法是用变量离散的、 含有有限个未知数的差分方程近似地代替连 续变量的微分方程。 构造合理的差分格式， 使得它的解能保持原问题的主要性 质， 并且有相当高的精确度是其首要任务。 为了 表明 用差商代替 微商的精确程 度，我们用一元函数来说明。 对于 一元函 数方) . 人 x ) 为x 的 连 续函 数， 若在x 轴上每隔h 步长 取一 个点， 其中 任一点 用x 表示， 则在x ;+ ， 点 上的函数 值方* 。 ) 点可 通过t a y l o r 级数表示 为: f ( x ,+ , 卜f ( x ,) + 于a f ( x ) . h a 2 .f ( x ) l h a f (x ) l 十 十 -.二 -十. ， d x一 毛 2 ! 2 lx - , 3 ! a x _ s, ( 2 . 1 ) 由此可得: ax ;十 ,) - f ( x ) h _ j ( x ) a x _ ref ( x ) h 护f ( x ) i十一 !片 j 2 rv + ( 2 . 2 ) + o (h ) 同理，可得: f ( x , ) 一 f ( x , - ) h o f ( x ) 二 _ 二 h a 2 f ( x ) 2 !敌2 !: 二 ; 十 一 ( 2 . 3 ) _ a f ( x ) i. _ ， 。 石 1_ 了 口、 “， a x -1 1 若把式( 2 . 1 .2 ) 和( 2 . 1 .3 ) 相减， f ( x ,+ , ) 一 f ( x i- i ) 二 a f ( x ) i 2 h a x 则可解得: h 2 a 3 f ( x ) 丁- ax 3 一 ix = x h 0 a s f ( x ) 5 ! 击s + ， 。 。 。 。 ( 2 . 4 ) a f ( x ) a x 1二 二 ; + o (h 2 ) 式中. f 全,坦匕 夕x i卫叫 做1 (x ) 在 2h x 点的中心差商。由 ( 2 .4 ) 可知，中心差商为 ;氰 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 变量离散步长的二阶近似， 精度较高。在 f d - t d法中正是利用中心差商代替 由m a x w e l l 方程建立的差分方程的微商。 笋 .2 y e e 氏网 格 光场( 即电 磁场) 的最基本规律是m a x w e l l 方程组，它们的一般形式是依赖 时间变量的旋度方程，从 含有时间变量的m a x w e l l 旋度方程出发， k . s . y e e 于 1 9 “年 创 立了 计 算电 磁 场 的 时 域 有限 差 分 法 ( f d - t d ) 12 a y e e氏提出了在四维空间中合理离散电磁场中六个未知场量的网格体系 ( 称y e e 氏网格) 。 在坐标系中，该网格体系的 特点是:电 场和磁场各分量在空 间的取值点被交叉地放置， 使得在每个坐标平面上每个电场分量的四周由磁场 图2 . 1一个y e e 氏网格单元及电磁场各分f在网格申间离效点的关系 分量环绕，同时每个磁场分量的四周由电场分量环绕，如图2 . 1 所示. 这样的电 磁场空间配置符合电磁场的基本规律 一 f a r a d a y电磁感应定律 和a m p e r e 环路定律。 正 是由 于电 磁场分量在空间网 格中的这种配置， 使得用时 硕士学位论文 v s i h r i丁 i f f s s 域有限差分法在计算机的存储空间中可以 模拟电 磁波的传播及其与散射体的 相互作用过程。 在这种电 磁场的配置下， 当 空间出现介质突变面时 ， 可以 使突变 面上场分量的 边界条件自 然得到满足， 因而为一些复杂结构的电 磁场计算问 题 带来很大方便。这一点保证了f d - t d应用的广泛性。 电磁场的计算与计算空间媒质的电磁性质有重要关系， 在网格空间中除了 规定电磁场的离散取值点以外，还必须同时给出各离散点相应媒质的电 磁参 量， 即电 场离散点处的介电常数和电导率以及磁场离散点处的磁导率和等效磁 阻率。 这也说明， 通过赋予空间点电磁参数的方法可在网格空间中模拟各种媒 质空间及各种电磁结构，这便使得用 f d - t d模拟电磁波与各种复杂的电磁结 构的相互作用变得比较容易。 在y e e 氏网格中， 每个坐标轴方向上场分量间相距半个网格空间步长，因 而同一种场分量之间相隔正好为一个空间步长。为了保证计算的稳定性， 时间 离散的步长与空间步长必须满足一定的关系， 时间步长可选为电 磁波传播一个 空间步长所需时间的一半.这样，在实际运用 f d - t d法时，网格的空间步长 选定后， 时间变量的离散规则也就完全确定了。 也就是说在选定了空间网格结 构后，就可根据差分近似的基本原则来建立所需的差分方程。 2 . 3 m a x w e l l 方 程的 差分表示 一、 m a x w e l l 方程组 m a x w e l l 方程组概括了 宏观电 磁场的 基本规律， 它由 两个旋度方程和两个 散度方程构成。 时域有限差分法是在时域计算电磁场的一种数值方法，自 然应 该从含时间变量的两个ma x w e l l 旋度方程出发。 在叙述原理阶段，我们把问题尽量简化，以便突出关键问题。因此， 假定 我们暂时限定所研究的电磁场问题只涉及各向同性、线性且与时间无关的媒 质，单可以存在电和磁的损耗。于是在无源区域，ma x w e l l 方程的两个旋度方 程为: 硕士学 位论文 m a s t e r s t h e s i s v x e 一 产 40 11a t 一 。 h ( 2 . 5 40 ) v 、 h 一 : 40 e 一 。 _ e a t ( 2 . 5 b ) 在导出差分方程时， 要从电 磁场各分量满足的方程出发， 因此需要写出方 程( 2 .5 ) 等价的电 磁场的六个分量所满足的方程。 在直角坐标系中， 电 磁场可表 示为: e = h = e , a , + e y a r + e a , h x a . + h y a y + h a 其中， a x , a y , a . 分 别为x , y , : 三 个 坐 标 的 单 位矢量。 则 展开 方 程 ( 2 .5 ) 可 得: 1 o h a h_ =一( 一 十一一0 - 七 _ ) o z即 ( 2 . 6 40 ) = 与 一 丝 十 竺 一 a _ e . ) s a x a z ( 2 . 6 b ) 兰、兰、低 a e 匙 、a x a 队_ 一一一氏 e_ ) 妙 ( 2 . 6 c ) cl h f = a t去 ( a z 一 ae .ay 一 h s) 40 e ( 2 . 7 40 ) 与a e , 一 a e s 产 a x a z 一 a . h y )( 2 . 7 b ) 一 生 ( a e _ 40 e 一一刹 - 二一a_ h _ ) a y a x ( 2 . 7 c ) 日7丁龙 之坚-日 二、几个近似 在y e e 氏网格中由于场量之间相距为半个空间步长， 所以f ( i j , k ) 在x 方向 的中 心差商可依( 2 .4 ) 而写为: 8 f ( i , j , k ) f (， 十 要 ， ，、 ) 一 二 (， 一 粤 ,j , k ) 艺 ta x a r 十 o ( , )( 2 . 8 ) 同理， 对时间微商也来用中心差商近似， 且也是相隔半个步长进行计算时就可 、氮 硕士学位