（电路与系统专业论文）延迟反馈法控制混沌的理论及实验研究[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 本文主要围绕用延迟反馈法( d f c ) 控制混沌、超混沌及时空混沌系统展开了研究工 作。以电路实验、仿真为主要研究方法，结合理论分析和数值计算方法，对于文中研究 的控制混沌、超混沌、时空混沌系统的问题都给出了充分、乖确的论证结果。 本文针对前人提出的分析延迟系统产生h o p f 分衍( 支) 理论，用电路仿真实现了 增强型延迟反馈控制法控制时间连续混沌系统，从而证实了这种理论的可行性； 其次，用电路硬件实验和数值计算方法实现了离散超混沌系统的延迟反馈和增强型 延迟反馈控制，从而验证了增强型延迟反馈控制法控制连续、离散混沌系统的可行性； 最后，提出用电路构造三元胞耦台映象格子模型的设计方案，并通过硬件实验、电 路仿真、理论分析、数值计算四种方式验证了延迟反馈法控制三元胞单向耦合环形映象 格子时空混沌系统的正确、有效性。 本文用电路( 包括电路仿真) 实验研究控制混沌、超混沌及时空混沌的结果，无疑 会为实际应用控制混沌、超混沌和时空混沌系统提供重要的实验依据。 关键词：混沌、超混沌、时空混沌、混沌控制、电路仿真、电路实验、数值计算 a b s t r a c t c o n 廿o lo fc h a o s ，h y p e r c h a o s ，a n dc h a o so fs p “o t e m p o r a la r er c s e a r c h e db ym e a l l so f d e l a y e df e e d b a c ki n l i sp 印e r a n dt 1 1 e ya r er e a l i z e di nc i r c u i te x p e r i m e m sa 1 1 ds i m u l a t i o na s w e l la st h e o r e t i ca n a l y s i sa i l dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n a tl a s t ，i te n d sw i t hr e s p e c t i v er e a s o n a b l e c o n c l u s i o nt op r o b l e m so f c h a o s ，h y p e rc h a o s ，a i l dc h a o s s y s t e mo fs p a t i o t e m p o r a l i nt h i sp a p e r ，b a s e do nm et h e o r yo f “h o p fb i 矗j r c a t i o n ”，c o n t m lo ft h ec o n t i n u a lt i m e c h a o sb yt h em e t h o do f e n h a n c i n gd e l a y e df e e d b a c ki sr e a l i z e di nc i r c u i ts i m u l a t i o n i na d d i t i o nc i r c u i te x p e r i m e n t sa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o ns u c c e e d si nf e a s i b i l i t yo f d i s c r e t eh ) ，p e r c h a o ss y s t e m sd e l a y e df e e d b a c ka n de n h a l l c i n gd e l a y e d f e e d b a c kc o n t r 0 1 a n o t h c rd e s j g ns c h e m eo fc j r c u “sm a 埘n gl h r e e c o u p l e dm a pl a n i c em o d e li sp r o p o s e d i n t h i sp 印e lt h ec i r c u i te x p e r i m e n t ，c i r c u i ts i m u l a t i o n ，t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a l c a l c u l a t i o nr e a c h e sm es 锄ec o n c l u s i o nr e s p e c t i v e l yt h a td e l a y e df e e d b a c km a y p e r f e c t l ya j l d e 疗、e c t i v e l yc o n 廿0 1o n e - w a yt 1 1 r e e - c o u p l e dr i n gm 印l a 札i c e t h i s p a p e rs t u d i e sc h a o s ，h y p e r c h a 0 8 ，a 1 1 d c h a o so f s p a t i o t e m p o r a lb y c i r c u i t e x p e r i m e n t sa i l dc i r c u i ts i m u l a t i o n ，a n du n d o u b t e d l yt h ec o n c l u s i o n sa r ev e r yi m p o r t a i l ta n d h e l p f u lf o rf u m l e rr e s e a r c h e si ns u c hs u b i e c t s k e yw o r d s ：c h a o s ，h y p e r c h a o s ，s p a 廿o - t e m p o r a lc h a o s ，c h a o sc o n t r o l ，c i r c “ts i m u l a t i o n ， c i r c u i te x p e r i m e n t ，n u m e c a lc a l c u l “o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：盔蚰：日期：趔：基 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 盖绌签澧 日 期：2 垃8 ：矿日期：! 超：五：星 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 电话： 邮编： 引言 一、研究意义 混沌是发生在类确定性非线性系统中的一种类似随机运动的现象。二十世纪六十 年代初，美国气象学家l o r e n z 在研究大气层的热对流问题时，发现“蝴蝶效应”现象， 即从两个近邻的初始轨道出发，随时间演化混沌轨道将呈指数方式分离。此后，科学工 作者对混沌运动规律做了大量研究工作，在各个学科领域的诸多系统如物理、机械、电 子学、化学“1 1 甚至在社会和经济学系统中均已发现混沌现象的存在”1 。 混沌的基本特征是：1 ) 对初值的极端敏感：2 ) 其轨道由无穷多不稳定的周期轨道 组成；3 ) 其轨道具有遍历性( 各态历经) 。混沌运动具有长时间运动趋势不可预见性和 类似于随机的性质( 确定性系统的内在随机性) ，系统输出的混沌信号常常不符合人们 通常的需要。因此，在许多实际问题中，混沌是一种有害的运动形式。而在混沌系 统中，有效地控制或消除混沌使系统运行到正常的各种有序状态，是实际问题的需要。 又由于在保密通讯及信息处理等方面，超混沌具有比混沌更大容量，更好保密性和 更高效率等优点，更加引起了人们的关注。因此，研究超混沌的控制具有重要的实际意 义。 很多实际系统其描述系统运动的动力学方程包含有时问和空间过程( 如激光系统， 热对流系统，化学反应一扩散系统等等) ，通常用偏微分方程来描述，显然这类系统具有 无穷多维数，这类系统也被称为时空系统。对由偏微分方程描述的绝大多数非线性系统 而言，无论是进行解析分析还是数值计算处理都比较复杂。上个世纪八十年代初期，日 本学者金子邦彦( k k a n e k o ) 从物理考虑出发，将时空连续的偏微分方程转化为空间 和时间均离散的耦合映象格子系统( c o u p l e dm a p1 a t t i c e ) o ”“1 ，从而对这类系统有 所了解。时空混沌中包含着极为丰富的周期轨道、空间模式和时空结构，随着混沌控制 研究的深入，人们自然期望将低维混沌控制的思想和方法“5 捌用于控制更复杂的时空混 沌以至湍流系统。这一领域的研究未知空间广阔，具有更大的理论价值和应用的潜力。 二、发展情况 1 9 8 9 年胡柏勒( a h u b l e r ) 发表了控制混沌的第一篇文章“。1 9 9 0 年奥特( e 0 t t ) 、 格锐柏基( c g r e b o g i ) 和约克( j a y o r k e ) 提出的控制混沌的思想( 0 g y 控制) 产生广泛影 响“。同年，佩考拉( l m p e c o r a ) 和卡罗尔( t l c a r r o l l ) 提出混沌同步的思想“，接 着迪托( w l d i t t o ) 和罗意( r r o y ) 完成了控制混沌的实验”“。从此，揭开了混沌控制 研究的序幕，这一方向迅速成了混沌研究领域的热点课题之一”“，在众多领域中，如 电子学“2 “、光学。”、化学、生物学嘶1 及医学1 的应用研究已经取得一批令人注目的 成果，充分显示了其巨大的应用潜力。 l 混沌行为千奇百怪，因而，控制混沌的方法也丰富多彩：其中有些是将经典控制理 论和工程控制方法用到混沌控制中，有些是基于混沌运动的特点而特有的控制手段。大 体分为反馈控制和非反馈控制。简单的理解，反馈控制就是利用系统的输出信号来调节 自身，以达到某种预期的目标，一般来说被稳定的周期轨道是原系统混沌吸引子中的某 条不稳定周期轨道，此类方法如：延迟反馈法，预测反馈法，比例脉冲法等。而非反馈 控制则是将系统以外的信号注入到系统中，驱使系统达到某个周期态，但此周期态已是 原系统完全被改变的一个新状态，此类方法如周期驱动法，周期拍法，相空间压缩法等。 超混沌系统由于存在不止一个正的l y a p u n o v 指数五( - 1 ，2 ) ，所以就会对初始条 件在多个方向上高度敏感，对于这样的系统控制起来就不如低维混沌系统容易控制。时 空混沌具有无穷多维，所以控制起来也不易。对于这两种情况，一般或者直接把控制低 维混沌的方法沿用，或者在原有方法的基础j 二进行改进。 本文将从以下几个方面开展对混沌、超混沌、时空混沌控制的研究】：作： l 、通过理论分析、数值模拟实现连续混沌系统的增强延迟反馈控制，并利用p s p i c e 仿 真平台实现连续混沌电路的增强延迟反馈控制； 2 、通过电路实验实现对离散二维超混沌系统的延迟反馈及增强延迟反馈控制，理论分 析、数值模拟和电路实验都说明该方案的有效性； 3 、通过电路实验将延迟反馈控制方法应用于三个元胞的单向环形l o g i s t i c 耦合映象格 子时空混沌系统，从理论分析、数值仿真和电路仿真等几个方面，验证其有效性。 实验研究是理论结果应用于实际问题的一个重要中间环节和必由之路。而本论文的 研究工作就是利于电子线路实验( 硬件和仿真软件实现) 研究非线性混沌系统的控制问 题，其目的是：一方面验证理论方案和结果的可行性和正确性；另一方面也期望本文的 工作为实际应用提供可借鉴的实验基础。 第一章增强型延迟反馈法控制低维混沌系统 控制作用使得系统的运动状态从混沌态转变成周期态，或稳定住混沌和超混沌中的 某条不稳定的周期轨道。概括地讲，控制混沌的方法主要分反馈控制和非反馈控制两种 类型。前者是利用混沌系统自身的输出信号构造出的反馈信号调制系统本身，以期使系 统达到预期的目标态，而后者则是利用引入的外部信号或某种调制机制强行消除系统的 混沌运动，并使系统呈现有序运动的状态。反馈控制混沌的方法有多种，但在众多的反 馈控制方法中，p y r a g a s 提出的延迟反馈( d f c ) 法俐以其对待控系统己知的动力学信息要 求低、方法本身实现简单且实验操作方便等诸多优点，使得这种控制方法在实际应用中 得到广泛地使用【2 粥0 1 。它直接利用测量数据进行反馈操作，使系统在自动寻找原混沌系 统不稳定周期轨道的同时实现混沌控制。由于引入延迟项，对于连续系统来说相当于将 原来有限维的系统转化为无限维系统，而对于离散系统则在原来的维数上增加一维。 引文，3 2 1 的作者利用延迟系统的h o p f 分支理论和分析方法，针对三阶自治系统的延 迟反馈控制问题，从理论上给出了确定控制参量( 控制强度七和延迟时间f ) 的解析条 件。从微扰控制的角度看，都采用“系统输出分量延迟自反馈控制”的方案【2 ”，如图1 1 ( a ) 所示。 ( a ) 白反馈控制方式( b ) 增强型控制方式 图1 1d f c 控制方案d 为延迟线 按照这种控制方式，若只选用其中的一个输出分量作为反馈控制量，在有些情况下， 还不能有效地稳定住混沌轨道l 。解决的办法之一是增加反馈控制量的个数，以增强 控制作用的效果。但这样做在实验中要额外添加控制装置，导致系统变得越来越复杂。 为了提高用单一分量控制混沌的有效性，引文1 3 3 提出如图1 1 ( b ) 所示的控制方案，即将 单一输出分量经延迟再反馈到系统的每一个分量上，这种方案也可称之为增强型d f c 控 3 窭 寸 制方案。一个非线性混沌系统各变量间存在相互作用和影响，系统的任一个变量时序 中都包含其他变量的信息，而且在许多实际系统中，系统可测量的输出量只有部分，或 者只有唯一的一个，因此，用单一输出量构成的反馈控制信号作用在系统的每一一个分量， 既减少了控制部分的实验装置，同时还能达到控制混沌的目的或提高控制效果。 1 1 增强型延迟反馈法控制连续混沌系统的理论分析 其中x = ( x 。x ：托) 7 仨r3 ，7 1 为矩阵的转置。实施增强控制后，( 1 1 1 ) 式改写成 川卜z 卜1 地， 设x 5 m = ( x 品，x 二，x 品) 为系统的第n 个平衡点，再平衡点附近对方程( 1 1 2 ) 线性化，得 4 口= 一一k ，4 = v g k 甜，= 口h 】 对应方程( 1 1 3 ) 的特征方程的一般形式为： 刀+ p l j 旯2 + g l j + 1 j 十( p 2 j 牙+ 9 2 ，z + _ j ) pn = 0 ， 其中 p j = k i t o ，p 2 i = 一k i q 、i 3 足j 乃+ 七。辞j 。，( m ，且聊m = 1 = a ，d 口一d o ， 3 i ，岛 ，：l 而 瓦= 丹( 爿) ，d 。= d p f ( 爿) ，= 乃( 爿) ，d 口= ( 一1 ) “7d e t ( 呜) ( 1 1 4 ) 为矩阵爿去掉，行，列的子矩阵，n ( ) 和d e 们分别为求矩阵的迹和行列式。 根据h o p 盼支理论，若存在，当r = f 0 时，特征方程( 1 1 4 ) 有一对简单的纯虚根 且满足横截条件，那么系统( 2 ) 在0 处出现h o p 盼支。 令丑= f 0 ) ，代入方程( 1 1 4 ) ，并分离实、虚部，得到 其中 6 l c o s f + 6 2 s i n r + c l = 0 6 2 c o s f 一6 1 js i n 珊r + c 2 j = o ， 3 t ，岛， ，；1 c ：，= ( 瓦一后，) 国2 + 女，嘎 整理方程( 1 1 5 ) ，得到关于的方程 其中 _ ，功一d 0 ) ( 1 ，1 5 a ) ( 1 1 5 b ) 33 ( 一后，乙+ d “+ i 。，) 珊一御3 ，= 1= l 珊6 + j i ，”4 + 叮”2 + 吩j = 0 33 p ，= 2 ( i ，乃一仇一_ j 。，) + 巧一2 瓦i ， ，= lm = l ( 1 1 6 ) m 町 k ， + d 。 矿 0 一 33 33 g ”= 2 ( 瓦女，d 口一d 。兀+ j i ，d 。) + ( d “一2 ，乃+ 2 t 。口，。) d w ，= j，= l= l，= 1 如，= ( d 0 2 七，d f ) d 0 令z = 珊2 ，令方程( 1 1 6 ) 变换成 z 3 + p 3j z 2 + q 3 j z + r 3j = o 方程( 1 1 7 ) 至少存在一个正实根的条件可由下述定理确定3 ( 7 ) 定义：厅( z ) = z 3 + 岛，z 2 + 9 3 ，z + _ ，且z + l ，2 是方程砌出= o 的两个根。 定理( 4 ) ： 1 ) 若吩， o 且 ( z ：) o 。由此定理，可确定h 方l 豇1 1 7 1 至少存在一个正实根条件下，系数的取值范围。 设。= 础，t ：= 肚，屯= 肛( 口，y 为预先选定的常数) ，可以确定方程( 1 1 7 ) 至少存在一个正根的条件下参量k 的取值范围，继而得到女，t ，丘的取值范围。实际上， 这里确定出的女值仅仅是系统( 1 1 1 3 ) 产生周期解的条件。然而这些解是否稳定，还需要 进一步考察方程( 4 ) 在不同平衡点及相应 值范围内，其他的根是否至少都具有负实 部。方程( 1 1 4 ) 是一个指数代数多项式，用解析方法确定其根是十分困难的，只能用数 值计算的方法来求解。 1 1 2 数值分析 将上述分析方法应用到由斯帕罗特( j c s p r o t t ) 设计的三维自治系统的混沌家族 成员k 模型中j 。 s p r o t t k 系统模型方程为： x 】= x l x 2 一z 3 膏2 = x l x 2 ( 1 1 8 ) 2 0 l + “3 其中口为可变参量。数值计算系统( 1 _ 1 8 ) 随d 变化的的分岔图和l y a p u n o v 指数图 如图1 2 ( a ) ( b ) 可知，在o 2 7 0 口 0 3 3 7 的范围内，系统至少有一个大于零的l y a p u l l o v 指数存在，这说明在此范围内系统是混沌的。取a = o 3 ，系统处于混沌状态。 6 此系统有两个平衡点 i ：瑶”：( 1 ，1 ，一与x 篙 d i i ：式z ) ：( 1 ，l ，一土) x p ，式中z 嚣：o ，x ：一上，系统的l y 印u 1 1 。v 指数( o 0 3 8 ，o ，一o 8 9 0 ) 口 d ( a ) “k ”系统分岔图( b ) “k ”系统李氏指数谱 图1 2 施加延迟反馈控制f ( r ) = 科x ：o f ) 一x ：( ，) 】后，系统变为 爿= 睇习 100 _ 3 瓦= 什( 4 ) = x 2 0 o 7 ， 兀2 = n ( 4 2 2 ) = x 2 0 + o f 3 ， d o = 上k r ( 彳) = 一l 一0 3 x 2 0 0 0 x l o ，d 1 i = ( 一1 ) h 1 d 盯( 4 1 i ) = 一o 3 ， d 1 2 = ( 一1 ) 1 + 2 d p f ( 爿1 2 ) = 一0 3 ， d 2 2 = ( 一1 ) 2 + 2 d p ，( 爿2 2 ) = 0 - 3 石如+ l ， d 3 2 = ( 一1 ) 3 + 2 d “( 一3 2 ) = 一l ， d ”= ( 一1 ) 3 + 3 d 酣( 爿3 3 ) = 一x ! o x l o 刀+ p 1 2 牙+ 9 1 2 + _ 2 + ( p 2 2 a 2 + 9 2 2 z + 也2 ) 8 一n = o 其中： p 1 2 = 2 一兀= 肚+ 0 7 一x 2 0 ， p 2 2 = 一t 2 = 一肚， ( 1 1 1 0 ) 鱼罗 x 一 ( r 孵露一 。 一 8 6 4 2 o 8 6 4 1 1 1 1 1 0 o 0 = 一( x 2 0 + 1 3 ) 肚+ 觑+ ( o 7 0 7 x 2 0 一确o ) 3 9 2 2 = 一七2 疋2 + _ j 。用= 一( x 2 0 + o 3 ) 肚+ 6 晴，( m ，月用_ ，) 月t = l 3 _ 2 = 后，q 2 一d o = 一o 3 础+ ( o 3 x 2 。+ 1 ) 肚一砖+ ( o 3 x 2 。+ o 3 x l 。+ 1 ) f - 1 3 r 2 2 = 一七f d ，2 = o 3 诚一( o 3 x 2 。+ 1 ) 肚+ 皿， ，= i 1 对于平衡点l ( 0 ，o ，0 ) 。( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 可写成： 由6 + ( 一o 9 l 一2 础+ 4 肚徊4 + ( 1 8 9 1 2 2 肚+ 1 - 8 2 础+ 1 4 肛2 ( 1 1 1 1 ) + 2 肚一o 6 础一2 肛+ l = 0 ：3 + ( 一o 9 l 一2 础+ 4 屏) z2 + ( 1 8 9 一1 2 2 肚+ l 8 2 础+ l - 4 肛) z + ( 1 1 1 2 ) 2 西畴一o 6 础一2 肛+ l = o 以下再分两种情 兄讨论： ( 1 ) 未增强控制型( t 。= ，= 0 ，：o ，即口= ，= o ，= 1 ) 。此时，方程( 1 1 1 0 ) 一( 1 1 1 2 ) 分 别简化成如下形式： 刀+ ( 七+ 0 7 ) 2 + ( 一1 3 七十o 7 ) 五十后+ 1 + ( 一舰2 一o 3 m 一后) 已一n = 0 ( 1 1 1 3 ) 国6 + ( 4 七一o 9 1 ) 4 + ( 1 8 9 1 2 2 后) 2 + 2 七十1 = o ( 1 1 1 4 ) z3 + ( 4 尼一0 9 1 ) z2 + ( 1 8 9 1 2 2 七) z + 2 七+ 1 = 0 ( 1 1 1 5 ) 根据定理( 4 ) ： 1 )( 2 尼+ 1 ) o z 3 + ( 4 l j 一0 9 1 ) z 2 + ( 1 8 9 1 2 2 七) z + 2 后+ 1 o 可以确定出方程( 1 1 1 5 ) 存在正实根的k 值范围为 o 时，特征方程( 1 1 1 0 ) 的其他根都具有负实部，而当肚 o 时，方程( 1 1 1 0 ) 的其他根的实部至少有一个为正。因此，满足口托 0 ( 1 1 1 8 ) ( 1 1 1 9 ) ( 1 1 2 0 ) z + ( 1 1 1 0 6 6 十4 意) z 2 + ( 3 2 4 6 8 + 1 1 4 4 意) ：+ l o 。可竺竺妻出方程( 1 1 2 0 ) 存在正实根的k 值范围为i 一1 2 6 0 8 2 2 9 8 1 ：控制参量j 小 三曩二兰要竺! j i 卜9 ) 相对应的特征方程至少存在一个具有正实部的根。此爵：一蒹磊采 可能存在稳定的周期解。 。 ( 2 ) 增强控制型( 毛，女：，也不同时为零) 。重复上面的计算过程： 1 ) ( 0 6 出+ 2 砖+ 1 ) 0 2 + ( 1 1 l 0 6 6 2 赫+ 4 肛) z 2 + ( 3 2 4 6 8 + 1 1 4 4 肚+ 1 5 1 5 3 础+ 8 0 6 7 玻1 z 对于平衡点i i ，数值计算分析结果表明：采用( 2 ) 的控制方式，与系统( 1 1 9 ) 相应的 特征方程( 1 1 1 0 ) 至少存在一个具有f 实部的根，因此，由平衡点i l 决定的控制条件应该 舍去。 1 2 增强型延迟反馈法控制连续混沌系统的电路仿真实验 1 2 1s p r o t t k 模型电路的实现 三阶“k ”模型连续混沌电路原理图1 6 ( a ) ，实际电路图如图1 6 ( b ) 所示 1 ，矿 ( a ) d v 2 蠹拦 ! _ + 1 2 v r ， 口一 1 0 0 k 刖f 丽 1 0 9 上 8 。 一- 1 2 v 图1 6 “k ”模型混沌电路 擎 | 釜膘竺驺卜磊翌嶝1苗 簿 一制一 一怫玳叫n盈眦惦一斜一mm眦汀玳n诒一曲 爿闰日： g 鲁= 一c 去c 一鲁h p z + 去屹， g 鲁= 一c 击c 一卺h ，+ 去， ：- ， g 警= 1 击c 一鲁啪+ 去c 一鲁b ， 取r = 1 0 0 触，c = 1 0 0 0 胛，r 。作为系统的可调参量。构成电路的主要器件有三个 双运算放大器( l f 3 5 3 ) ( 运放分别用a l ，a ：，a3 ，a4 和a ，表示) ，一个乘法器( a d 5 3 4 ) ( 用m 表示) 等。器件的功能如下：a 构成反比例放大器，输出电压为一鲁v ，；a ：是积 分器，构成方程( 1 _ 2 1 ) 第三个式子：a ，为积分器构成方程( 1 2 1 ) 第一个式子：a 。构成倒 相器，输出电压为一鲁v ；a ，为积分器，构成方程( 1 2 1 ) 中第二个式子。 令f = 斋则式子( 1 2 1 ) 可化为： 咖 d f 挚：v 吨 ( 1 2 2 ) 云”1 叫2 l 1 _ 上 堕：v + 生， d f 1 r 电阻r 。可以改变系数口。本系统中取d = o 3 0 ，对应于冠。只2o 3 ，即r 。= 3 0 i 。 p s p i c e 仿真后可观察到电路的混沌时域图和吸引子如图1 7 所示。 ( a ) v ，时域图 图1 7 “k ”模型吸引子 1 2 ( b ) 混沌吸引子 1 2 2 增强控制电路及加控制后p s p i c e 仿真的实验结果 控制电路原理图如图1 8 ( a ) ，实际电路如图1 8 ( b ) 所示 d 吕 1 0 0 k ( a ) 絮 r l j 口- 1 0 0 k赣 2 i n l o u tr 了一 2 i n +l i n - h v e el i n + h j l f 3 5 3 r d 5 1 0 7 r 1 3 口一 1 0 0 k d ( b ) 图1 8 控制电路 实验中，将图1 8 中节点a 、b 、c 、d 与图1 6 中节点a 、b 、c 、d 分别相连。其中 r 。= r 。= 蜀：= r 。，= 置。= 1 0 0 觑0 。控制电路中由两个运算放大器a 。，a ，( l f 3 5 3 ) 和 一个延迟线( r d 5 1 0 7 a ) 所组成。每个器件的功能如下：a ，是倒相器，输出电压为 鲁v z ；a 。是反干目力口法器，输出电压为鲁( 一鲁) v 2 一鲁v 2 ( ，叫；延迟线将信号v ：( t ) 鲁= 嘉 ( v 】v 2 飞) + 砉嗽叫飞( f ) 】 鲁2 去渺_ v 2 ) + 去 v 2 ( h z ) ( 1 2 _ 3 ) 鲁= 去渺，+ 等+ 去h ( ) - v ： 其中，( f ) 2 寺 v 2 0 r ) 一v z ( 例是反馈控制量，_ = 砉是反馈系数( j _ l ，2 ，3 ) ，r 剖音景 a b c r 。l = 2 5 0 垃，r 。2 = 3 3 3 地，月。3 = 2 脚( 相当于础= o 4 肚= o 3 肛= o 0 5 ) ，在仿真实验 中就可以观察到系统被控制到1 周期( 1 p ) ，图1 9 ( a ) 给出系统被控制到l p 电压v 时域图 图1 9 ( b ) 为l p 的v l v 2 平面的相图。 若取仁1 3 7 m s 以及r 。i = 4 0 3 触，尺。2 = 5 3 7 地，月。3 = 3 2 2 5 地( 相当毗= 0 2 4 8 肚= o 1 8 6 ，肛= 0 0 3 1 ) ，则系统被控制到2 周期( 2 p ) ，如图1 9 ( c ) 为电压v ：的时域图， 图1 9 ( d ) 为2 p v l 一v 2 平面的相图。 ( a ) 1 p 电压v 时域图 ( c j 2 p 电压”2 时域图( d ) 2 p 时v 1 一v2 相图 图1 ，9 “k 模型混沌电路被控制到周期态时时域图和相图 1 3 总结 本章从电路仿真上实现了用增强型延迟反馈方法控制连续混沌系统。并从理论分析 和数值计算加以证明，实验结果与理论分析、数值计算的结果非常一致。不仅明显改善 控制混沌的质量，而且更符合实际应用的要求。此外，使用的分析方法也具有普遍性，对 一般的低维连续混沌系统的控制问题，用它可以求出控制参量七，r 之间的解析关系。 进一步地，本文提出的方案及使用的分析方法还可推广到控制三维以上的混沌或超混沌 系统中。只是系统的维数越高，理论上分析越困难。但在一些特殊的高维系统中，还是可 以给出某些解析条件的。 1 4 第二章延迟及增强延迟反馈法控制离散超混沌的电路实验 对一般的m 维离散非线性系统 x = ，( 石。) 采用d f c 法，其控制系统的状态方程可写成： 工。“= f ( x 。) + k x 。一l x 。】 其中k = ( k 。，：，t 。) 7 为反馈系数，本文选择二维离散映象系统作为研究对象。 2 1 离散超混沌系统及其电路实现 为了从实验上研究延迟反馈法控制离散超混沌，我们选择具有超混沌特性的离散系 统： 工一5 i ( z 。，乩) 2 掣。一联 ( 2 t 1 1 ) y = ( x 。，y 。) = 一缸。+ 掣。 其中d = 0 2 ，6 = 1 1 ，c = o 1 ，“为可调参数，系统随d 变化时的l y a p u n o v 指数谱如图 2 1 ( a ) 和分贫图如图2 1 ( b ) 所示，由图可见，当1 3 5 o )( 2 2 5 ) j u r y 阵列为表2 4 所示 表2 4j u r y 阵列 序号系数 1 d 0a 1盯2口3 口”一2臼n 一1月 d nd 一1口 一2口n 一3 口2口ld 0 c 2 ，0c 2 ，lc 2 ，2 c 2 ，3 c 2 ，”一2c 2 。h 1 4 c 2 ，h l c 2 ”一2 c2 ，”一3 c 2 ， 4 。 c 2 1c 2 ，0 c 3 ，0 c 3 ，lc 3 ，2 c 3 ，3 。 c 3 ，n 一2 6 c 3 ，n 一2c 3 ， 一3c 3 ，”一4c 3 ，n 一5 c 3 ，0 ： - 2 聍一5 c n l ，0c n l ，lc n l ，2c 一l ，3 2 一4 c h 1 3c 一l ，2c ”一1 ，lc h 一1 o 2 胛一3 c n 0c n 1c h 2 2 聆一2 c n ，2c ，1c h 。0 其中 c ：，= d e t ：2 ： ，= 。，z ”一 白。：d 。t f 耋：m。：一一- ：o ，z 。一z 。2 ， 1 o 2 ， ，- a e t 匕：譬 刚 z 如果使系统稳定那么需要满足以下充分必要条件： ( f ) p ( 兄) i 。 o ( f f ) ( 一1 ) ”p ( 五) f # o ( f f 。| 以。l h 。小- ，= 2 ，3 n l f 面讨论被控系统( 2 2 1 ) 处于稳定不动点 ，y ，) = ( 0 ，o ) 时的取值范围，若引入新 变量w 。= x 。，则施加控制后的系统( 2 2 1 ) 转变为一个三维离散系统： “= 一( x 。，儿) + ( 一x 。) = 掣。一咖：+ t ( 一x 。) y 。+ 1 = 疋( x 。，y 。) = 一h 。+ 0 0( 2 2 7 ) w h + l = x n 这样我们要研究系统f 2 2 1 ) 的混沌控制问题就归结为：当增益系数t 取何值时，系统 ( 2 2 7 ) 存在稳定的周期解( 工，y ，w ，) = ( o ，o ，o ) a 系统( 2 2 7 ) 在( o ，巧，叶) 处的j a c o b i a n 爿= _ 1 ：口一i 矗7i ( 2 z s ，爿：l 一6 c。o ( 2 - 2 8 loo 相应的特征方程为尸( a ) = 一( 0 1 一t ) 五2 一( 1 1 女一1 7 0 5 ) 兄+ 0 1 = 0 ，要使系统( 2 2 7 ) 稳 定则要求所有特征根的模必须小于1 ，即h o ( 一1 ) 3 p ( 一1 ) = 一 一l 一( 0 1 一七) + ( 1 1 七一1 7 0 5 ) + 0 1 七】 o l o 1 纠 i o 1 七2 + 1 0 9 七一1 7 0 5 l 可得当胁0 6 1 4 时系统可被稳定到不动点。数值计算得( t ) 分岔图如图2 5 ( a ) 所示，为了便于观察，将后( o 3 2 5 ，0 4 3 ) 局部放大，如图2 5 ( b ) 所示。相应的最大李氏 指数谱如图2 5 f c l ，f d 、所示。 碜 ( a ) x 。一的分岔图 ( c ) 最大b a p u l l o v 指数谱( d ) 量( 0 3 2 5 ，0 4 3 ) 的最大l y 印u n o v 指数谱 图2 5 数值计算控制的结果 由图2 5 ( a ) 和( c ) 可见：系统被控制到不动点的临界值及范围与理论分析的结果一致； 除不动点外，系统还可以被控制到其它周期态：最大l y a p u n o v 指数谱中大于零的区间 是混沌态，小于零的区间对应着周期状态，而等于零的区间对应于准周期状态。所以我 们依据最大李氏指数小于零的区域可以断定系统被控制到了周期态。 2 2 2 超混沌系统延迟反馈控制电路实验 构成控制项的电路原理图如图2 6 ( a ) 所示，实际电路图如图2 6 ( b ) ( c ) 所示，节点e 1 pd 电压为，节点e 2 电压为“。，a 端的输出电压为v 。= 二 ( 一。一) ，其中二 为反 几 馈控制系数。 ( a ) 2 l a 伸。靴。之4 。吨。m i 堍鼯 la e 2 地一 l 器 l 口一 1 0 k ( b ) 离散化连续信号电路 旦+ 1 2 v 7 亘一r 1 6 5 恨 i r 1 5 f c l 模拟电蹯 图2 6 延迟反馈控制电路 实验上，将图2 6 中的a 节点与图2 2 中a 节点对应相连，反馈系数为k = 等， 实验中，调节r 。l 值分别为3 3 2 k ，3 4 5 k ，3 6 2 k ，4 2 5 k ( 相当k 分别为o 3 3 2 ，0 3 4 5 ，o 3 6 ，o 4 2 5 ) ， 我们观测到超混沌系统被控制到了2 3p ，1 9 p ，1 5p ，1 1 p 等，图2 7 给出电路被控制到不同周 期态的部分实验结果。相图中横轴为“。，纵轴为v 。 ( a ) l l p ( b ) 1 9 p ( c ) 1 5 p( d ) 2 3 p 图2 7 r 。l 取不同值时电路被控制到不同周期的实验结果 横轴标度2 v 格；纵轴标度2 v 格 2 2 i 黑竽i 羔m 爿萌 腿。坠 2 3 超混沌电路的增强型延迟反馈控制 2 3 1 超混沌系统增强型延迟控制数值计算结果 取超混沌区日= 1 5 5 。仍只对变量x 。实施控制作用，数值计算的结果如图2 8 所示。 其中图2 8 的l y a p u l l o v 指数谱给出