（基础数学专业论文）felbin意义下模糊赋范空间中模糊有界线性算子.pdf

摘要 f e l b i n 意义下模糊赋范空间是一种较为典型的模糊赋范空间，本文致力于 f e l b i n 意义下糊赋范空间上的的模糊有界线性算子的基本性质的研究主要内容包 括如下： 讨论f e l b i l l 意义下模糊赋范空间模糊有界性线性算子和模糊连续线性算子的 一些基本性质，证明了模糊连续线性算子的模糊集合式刻划与序列式刻划是等价 的，同时给出了模糊线性算子的几个充要条件，证明了模糊线性算子的有界性与连 续性的等价关系引入模糊连续线性算子范数的概念，讨论固定妒的模糊有界线性 算子空间，证明该算子空间为f e l b i n 意义下的模糊赋范线性空间，此外给出该算子 空间成为模糊b a n a c h 空间的充要条件，及在一定条件下算子的保范延拓定理对 已有的f e l b i n 意义下模糊赋范空间中几种模糊有晃线性算子的概念进行了较深入 的研究，讨论他们相互之间的关系 关键词：模糊赋范空间，模糊有界线性算子，模糊连续线性算子，模糊范数，模 糊b a n a c h 空间 a b s t r a c t f u z z y n o r m e d s p a c ei ns e n s e o ff e l b i ni so n eo fc l a s s i cs p a c i a lf u z z yn o r m e d s p a c e ，t h i sp a p e rb e n d si t s e l ft os t u d yt h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h ef u z z yb o u n d e d l i n e a ro p e r a t o r t h em a i nc o n t e n t sc o n c l u d ea sf o l l o w s ： f i r s f l 3 s o m eb a s i cp r o p e r t i e so ff u z z yb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o ra n df u z z y c o n t i n u o u sl i n e a ro p e r a t o ra r ed i s c u s s e d i ti sp r o v e dt h a tc h a r a c t e r i z a t i o n sf o r f u z z yc o n t i n u o u sl i n e a ro p e r a t o r sb ya i d so ft h ef u z z ys e t sa n dt h ef u z z ys e q u e n c e si se q u i v a l e n t a tt h es a m et i m e ，s e v e r a lo t h e rn e c e s s i t ya n ds u f f i c i e n c y o ft h ef u z z yc o n t i n u o u sl i n e a ro p e r a t o ra r eg a v e ，a n dt h ee q u i v a l e n c eb e t w e e n t h eb o u n d e d n e s sa n dt h ec o n t i n u i t yo ft h ef u z z yl i n e a ro p e r a t o ri sp r o v e d s e c o n d l y , t h ed e f i n i t i o no ft h en o r mo ff u z z y b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r si s i n t r o d u c e d ，t h es p a c eo ff u z z yb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sd e t e r m i n e db yaf i x e d o r d e r - h o m o m o r p h i s mp i sd i s c u s s e d ，a n dt h ec o n c l u s i o nw h i c ht h es p a c eo ff u z z y b o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r si saf u z z yn o r m e dl i n e a rs p a c ei ns e n s eo ff e l b i ni s p r o v e d a l s ot h en e c e s s i t ya n ds u f f i c i e n c yt h a tt h es p a c eo ff u z z yb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r si saf u z z yb a n a c hs p a c ei so b t a i n e d m o r e o v e r , n o r m p r e s e r v i n g e x t e n s i o nt h e o r e mu n d e rs o m ec o n d i t i o n si sp r o v e d a tl a s t , ar e l a t i v e l yd e e ps t u d yo ft h e c o n c e p t sf o rs e v e r a lf u z z yb o u n d e d l i n e a ro p e r a t o r sh a v eb e e ni n t r o d u c eu pt on o wi sc a r r i e do u t , a n dt h er e l a t i o n s a m o n g o ft h e mi sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：f u z z yn o r m e ds p a c e ；f u z z yb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r ；f u z z yc o n t i n u o u sl i n e a ro p e r a t o r ；f u z z yn o r m ；f u z z yb a n a c hs p a c e 致谢 衷心感谢导师严从华教授对我的悉心指导与热情帮助，我才能顺利地完成学 业本文从选题到成稿，每一步都是在老师的鼓励和指导下完成的，我所取得的进步 无不倾注着老师的心血严老师渊博的学识，严谨的治学精神以及诲人不倦的高尚 品格必将使我受益终身在此，我向严老师表示最衷心的感谢! 同时，我要感谢同学、朋友对我的关心、帮助和支持 借此机会，我还要特别感谢我的家人，感谢他们的鼓励和照顾，论文的完成与他 们的支持是分不开的 这篇论文是用c t e x 软件制作的感谢h t t p ：l i w w w c t e x o r g 免费提供了 这个软件 江苏南京 2 0 1 0 年1 月 岳倩钰 第1 章引言 随着科学技术的迅速发展，现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随 着复杂性出现，而建立在经典集合论基础上的精确数学及随机数学不能很好地描述 这些模糊性1 9 6 5 年美国控制论专家l a z a d e h 教授【1 】发表了关于模糊集的开 创性论文，模糊数学作为一门新的学科诞生了把研究确定性对象的数学与不确定 性对象的数学沟通起来，实现了对模糊性进行有效地定量描述，人们可以用精确的 数学方法来研究和处理模糊现象了模糊数学的发展近一步丰富和发展了经典数学 的理论模糊数学理论及其应用已取得巨大发展，在模糊分析学，模糊拓扑学，模糊 代数学，模糊集合论等诸多领域都已取得了可喜得进展，模糊数学已成为广泛应用 的新学科，吸引众多学者专家从事这方面的理论和应用研究，从而使模糊数学发展 为当前十分活跃的学科之一 以l a z a d e h 的模糊集合论为基础，1 9 6 8 年c l c h a n g 【2 2 】引入了模糊拓扑” 空间的概念，1 9 7 4 年c k w o n g 2 9 】在模糊拓扑空间中引入模糊点及其邻域概念， 但模糊点概念存在一定缺陷，给性质的深入研究带来许多局限性1 9 7 7 年蒲保明和 刘应明【2 4 】首次突破传统邻域方法引入重域概念，并以重域基为工具对模糊拓扑 进行系统而又深入地研究，使模糊拓扑学的研究取得突破性进展将模糊拓扑结构 与线性结构相结合，开展模糊拓扑线性空间的研究始于k a t s a r a s 与l i u 1 9 7 7 年 a k k a t s a r a s 与d b l i u 【2 3 】首次给出了模糊拓扑线性空间的定义，但存在一定 的不足，因该空间不具有平移不变性，无法进行深入研究a k k a t s a r a s 【2 5 】后来 又利用r l o w e n 的满层模糊拓扑的概念给出改进的模糊拓扑线性空间的定义与 此同时，吴从忻，方锦暄先后给出了模糊拓扑线性空间的两种定义，1 9 8 2 年又进行 了再定义【2 7 ，以模糊点的重域系为工具展开了深入的研究吴从圻，方锦暄【2 7 的 定义虽然在形式上与a k k a s a r a s 2 5 】的定义有所不同，但这两种定义实际上是等 价的1 9 9 7 年方锦喧和严从华【2 8 】引进了厶模糊拓扑线性空间的概念，将模糊拓 扑空间的研究拓展到格上，进行了相关深入地研究 1 第1 章引言 2 在初步建立模糊拓扑线性空间理论之后，作为模糊拓扑线性空间一种特殊情 形的模糊赋范空间，其研究很快引起学者的关注1 9 8 4 年吴从忻和方锦暄【3 0 ， a k k a s a r a s 2 6 】分别引入了两种模糊赋范空间的定义，其上的模糊拓扑结构以 及z a d e h 型模糊线性算子的研究得到了展开1 9 9 2 年f e l b i n 3 】受o k a l e v a 和s s e i k k a l a 2 】关于模糊度量空间的启发定义了一种模糊范数为非负模糊数的模糊赋 范空间，2 0 0 3 年，b a g 与s a m a n t a 2 0 】给出了一种基于概率范数的模糊赋范空间 最近，b a g 与s a m a n t a 2 1 】对已有的各种模糊赋范空间的概念进行深入地比较研究， 揭示了这些概念之间的关系，最后得到了如下结论：“上述所有的模糊赋范空间的 概念中，以f e l b i n 意义下的模糊赋范空间及k a t s a r a s 意义下的模糊赋范空间最为 典型”此表明对上述两种意义下的模糊赋范空间开展研究是非常有意义的肖建 中，朱杏华【1 5 】研究了f e l b 试意义下模糊赋范空间中由模糊范数诱导的分明线性 拓扑结构，并讨论了分明拓扑结构下模糊赋范空间的一些性质，如紧性，完备性等 肖建中，朱杏华【1 6 】中继续深入研究模糊赋范线性空间上将分明集映到分明集的 经典的模糊有界线性算子及模糊有界线性算子空间的若干性质此外，m a s u oi t o h , m u n e oc h o 【1 3 】和t b a g ，s k s a m a n t a 【1 9 】分别介绍了f e l b 试意义下模糊赋范 线性空间上的另外三种经典的模糊有界线性算子，并讨论了相关性质，取得一些较 为系统的成果徐国华【1 2 】文中研究了在f e l b m 意义下模糊赋范空间中由模糊范 数诱导的一种新的模糊线性拓扑结构，并讨论了它的相关性质，如收敛性，有界性， 稠密性，完备性等但还有一些性质的研究尚未深入进行，如相应模糊赋范线性空 间上的模糊有界线性算子及其空间性质的研究等等在以往的研究中，f e l b i n 意义 下模糊赋范空间中模糊线性算子的研究，都是基于分明集之间的映射，甚至还不是 z a d e h 型模糊线性算子，这与模糊分析学的研究是不相适应的较为一般的模糊线 性算子的研究，可以追溯到1 9 8 8 年吴从忻与马明【4 】的工作，1 9 9 6 年，方锦喧教授 将它推广为模糊线性序同态，在模糊拓扑线性空间的研究中，已有的研究成果表明， 作为线性算子推广的模糊线性序同态是非常理想的本文中模糊线性算子，我们采 用的是最为一般的模糊线性序同态 本文在徐国华【1 2 】中定义的模糊赋范空间的基础上讨论将模糊集映到模糊集 第1 章引言 3 的模糊有界线性算子的一些基本性质，证明了模糊线性算子的有界性与连续性的 等价性，给出模糊有界线性算子的模糊范数的定义，证明了模糊有界线性算子空间 关于算子范数构成f e l b i n 意义下模糊赋范空间，给出模糊有界线性算子空间成为 模糊b a n a c h 空间的充要条件及一定条件下算子的保范延拓性质，同时还比较了 f e l b i n 意义下模糊赋范空间中几种模糊有界线性算子 本文是作者在硕士生学习期间工作的总结，主要内容包括以下五个方面，论文 的大致框架如下： 第一章，介绍模糊赋范线性空间产生的背景和研究发展的现状 第二章，作为预备知识，介绍模糊赋范线性空间的某些基本概念和性质，模糊线 性算子的基本概念和运算及有关记号 第三章，讨论模糊有界性线性算子的一些基本性质，证明了模糊线性算子的有 界性与连续性的等价关系 一 第四章，讨论模糊有界线性算子空间，证明该算子空间为f e l b i n 意义下的模糊 赋范线性空间，此外给出该算子空间成为模糊b a n a c h 空间的充要条件，及在一定 条件下算子的保范延拓定理 第五章，比较f e l b i n 意义下模糊赋范空间中几种模糊有界线性算子，讨论他们 相互之间的关系 第2 章预备知识 本文中j ，如分别表示【0 ，1 】，( 0 ，1 1 ，i x 是x 上的所有模糊集组成的的集合，口 是x 上的零元，n 表示全体自然数的集合， z 5 ：) ) n n 为一q - 模糊点列对7 - 【o ，1 】， x 上取常值r 的模糊集记为己设a i x ，z a 是一个模糊点，p t ( 1 x ) 为所有模糊 点的集合若a ( x ) a ，则称z 属于a ，记为以a ；若a ( x ) 1 一入，则称叭重 于a ，记为z 乏a ，反之若a ( x ) 1 一a ，则称纵不重于a ，记为z c a 用r 表示 实数域，r 上的映射7 ：r _ ，称为模糊数，设模糊数的q 一水平集表示为m a ，它 定义为m n = t ri 叩( t ) 之a ) ，vq ( 0 ，1 】，r + ( j r ) 表示所有上半连续的，正规 的，凸的，非负模糊实数组成的集合b 莎( x ，y ) 为所有模糊有界线性算子的集合， b 玩( x ，y ) 为所有由固定序同态妒的模糊有界线性算子的集合 定义2 1 ( 【3 】) 设x 为r 上的线性空间，| l 0 ：x _ 彤( ，) 是一个映射，又 设厶r ：【0 ，1 】 0 ，1 】_ 【0 ，1 】是关于两个变元对称的，不减的二元函数，满足： l ( o ，0 ) = 0 ，r ( 1 ，1 ) = 1 记【i l x l l 口= 【i l x l l f ，f i x l l 孑 ，vz x ，a ( o ，l 】，又设存在不 依赖z 的0 1 0 ( 0 ，1 】，使得对所有的z x 口) ，有 ( a ) i i x l l 呈 0 如果| i 8 还满足： ( f n 一1 )i l x l l ：6 当且仅当z ：以此处6 ( 亡) ： 1 。_ o 【0 t 0 ( f 一2 ) 0 凫z 0 = i 忌ii i z l l ，z x ，七r ( f n 一3 ) vz ，y x ，成立 ( a ) s j i z i i i ，t i | 可| i ，且s + t i i z4 - 可i l i ，有0 z + y l l ( s + t ) l ( 1 i x i i ( s ) ，i i v i i ( t ) ) ； ( b ) 8 i i z i i i ，t i i 可i l ，且8 + t f i z + 可i i ，有i i 。+ y i i ( s + t ) r ( 1 l x l l ( s ) ，i l y l l ( t ) ) 则称| | i i 为x 上的模糊范数，称( x ，”j i ，厶r ) 为模糊赋范空间 4 第2 章预备知识 5 注记2 1 条件( a ) vn ( 0 ，1 】，忙峪 0 ，定义x 上的模 糊集如下：展( z ) = s u p 1 一q ：忙峪 0 ，韪( z ) = s u p 1 一q ：i i z i i 口2 o ) 为基坯( q l ) - 型，一拓扑线性空间 引理2 3 ( 【1 2 】) 设 z 5 ：) ) n 为( x ，i i i i ，l ，兄) 中的模糊点列，z 是x 中的模 糊点则z 2 - 瓢令熙i i 。n 一zi | ；“= 0 0 0且县黑o o 入n 入 t i n + 定义2 3 ( 【1 2 】) 设( x ，少) 为，拓扑线性空间，a i x ，如果对每个入( o ，1 】 及以的任一q 一重域u ，存在t 0 及7 ( 1 一a ，1 】，使得an ct u 则称a 为 矿一有界的模糊集 定义2 4 ( 【5 】) 设( x ，”l l ，厶兄) 为模糊赋范空间，a i x ，则a 是镉有界 的，当且仅当对每个a ( o ，1 】，圳z 蚓z 口乏a ，q 【a ，1 】) 是r 中有界集 第2 章预备知识 6 定义2 5 ( 【1 2 】) 设【z 5 ：) ) 为( x ，i i i i ，l ，r ) 中c a u c h y 点列，当且仅当l i m 入。= 一 n + o 。 弘 0 且v 入( 0 ，1 ) ，有l iz ( n ) 一z ( 仇) 峪一o ( m ，他_ o o ) 定义2 6 ( 1 1 ) 设，：x _ y 是一个普通的映射，则能被扩张成莎( x ) 记为： 当a 庐( x ) 时 一似萨悟：嚣 ，。( b ) ( z ) = b ( ， ) ) b 莎( y ) ， ( a4 - b ) ( z ) = s u pm i n ( a ( s ) ，日( t ) ) ， c 。a ，c z ，= 芋z e x pa 。二i 三： x a4 - 鼽= ( z4 - 可) m i n ( ，m ， 定义2 7 ( 【7 】) 如果映射妒：i 一，满足： ( 1 ) 妒( 0 ) = 0 ； ( 2 )妒为保并的，即妒( v 毗) = v 妒( 吼) ； ( 3 ) 妒一1 为保逆合的，即对vb j ，妒一1 ( 6 ，) = ( 妒一1 ( 6 ) ) j 其中妒- 1 ( 6 ) = v 【口，i 妒( o ) s6 ) 则称妒为序同态 第2 1 预备知识 7 定义2 8 ( 7 1 ) 设x ，y 是数域k 上的两个向量空间，映射f ：箩( x ) _ 岁( y ) 为序同态，满足：f ( a a + p b ) = a f ( a ) + p f ( b ) ，v a ，b 箩( x ) ，口，卢k 则称 f 为一个模糊线性序同态 引理2 4 ( 【7 】) 设x ，y 为两个向量空间，f ：莎( x ) _ 箩( y ) 为模糊线性序同 态专j 一个通常的线性算子，：x _ y 和一个序同态妒：i j 使得f 是一个 关于，和妒的双线性映射，即f ( a ) ( 3 ，) = v 妒( a ( z ) ) ，a 罗僻) ，y y ，( 霉) = v 定义2 9 ( 7 1 ) 设x ，y 是数域k 上的两个向量空间，映射f ：p t ( i x ) _ p t ( i y ) 满足： ( 1 ) f ( a x a + 黟礼) = a f ( x a ) + p f ( 鼽) j ( 2 ) f ( 0 v a 。) = vf ( p a 。) ； ( 3 ) h g t f - 1 ( 以，) = 【h g t f - 1 ) 】7v 入( 0 ，1 ) 其中f - 1 ( 纵) = u s ( x ) ：f ( x p ) c 纵) ，h g t a = s u p a ( z ) 则称f 为一个模糊线性算子 引理2 5 ( 7 1 ) f ：p t ( i x ) 一p t ( i y ) 为模糊线性算子号了一个通常的线性算 子，：x _ y 和一个序同态妒：i 一，使得f ( z a ) = ( ，( z ) ) 妒( a ) ，vz a p t ( i x ) 记f = ( i ，妒) 。 注记2 4 从【6 】中知每个模糊线性序同态可由一个模糊线性算子唯一确定，反 之成立故可将模糊线性序同态与模糊线性算子视为同一，模糊线性算子为模糊线 性序同态的点式刻划 引理2 6 ( 8 1 ) 设( ，妒) - + ：莎( x ) _ 莎( y ) 为模糊序同态，z a p t ( i x ) ，a 莎( x ) ，b 莎( y ) ，r ( 0 ，1 】贝0 ( 1 ) ( f ，妒) 。( z a ) = ( ，( z ) ) 妒( a ) ( 2 ) ( f ，妒) 。( b ) ( z ) = q - 1 ( b ( 厂( z ) ) ) ( 3 ) ( f ，妒) 1 ( and = ( ，妒) - + ( a ) n 妒( r ) ( 4 ) ( ，妒) 。( a n 妒一1 p ) ) c ( i ，妒) 。( a ) n 第2 2 预备知识 8 引理2 7 ( 【1 0 】) 设妒：i _ j 为序同态，入，p ，r ，8 ，则 ( 1 ) p 1 一a = 妒( 弘) 1 一妒( a ) ； ( 2 )妒( p ) 1 一入 专妒一1 ( 入) 1 一p ； ( 3 ) 妒- 1 ( s ) r 净v ( r ) 1 一q ，于是妒( u ( z ) ) 1 一妒( q ) ，即( ，妒) _ + ( z 口) 毛( ，垆) 。( u ) ( 2 ) z n 乏( ，妒) 。( y ) 骨( ，妒) 。( y ) ( 。) = 妒一1 ( y ( ，( z ) ) ) 1 一q 铮 妒( q ) 1 一y ( ，( z ) ) 铮 y ( ，( 。) ) 1 一妒( 口)错( ，妒) 。( z 口) 乏矿 ( 3 ) 因( ，妒) 。( u ) zv ，从而了钆萑( ，妒) 。( u ) ，但鲰簪矿由鲰毛( ，妒) 。( u ) ， 知( ( ，妒) _ + ( u ) ) ( y ) 1 一p 于是v 妒( u ( 名) ) 1 一p ，即jz ox ，满足 f ( z o ) = y ，使得妒( u ( 徇) ) 1 一肛辛u ( z o ) 1 一妒一1 ( p ) 净z o o - 1 ( p ) 乏u 令 z a = 缅妒一- ( p ) ，由( 1 ) 有( ，妒) 。( z 口) 乏( ，妒) 。( u ) 又由钆譬v 令v ( v ) 1 一p 1 一妒妒一1 ( p ) = 争蜘9 - t ( 肛) 隹v 即( ，妒) + ( 2 ：o 妒一- ( 肛) ) 隹v = 争 ( ，妒) ( z 口) v 定理3 1 设，l i l l ，r ) ，( vi i 恢厶冗) 为两个模糊赋范空间，a i x ， ( ，妒) 。：p t ( i x ) 一p t ( i y ) 为模糊线性算予，( ，妒) ( a ) 为妒( a ) 一模糊有界# 号 l t f ( x ) l l ；2 ( lz 口乏a ，a 队，1 】) 为r 中有界，v 入( 0 ，1 】 证明：考对v 入( 0 ，1 】，因( ，妒) _ + ( a ) 是妒( 入) 一有界模糊集，c i 为吆a ) 的 9 第3 章模糊有界线性算子 1 0 t 乡i 1 i i 。重域，了t 0 ，r ( 1 一妒( a ) ，1 】，使得( ，妒) 。( a ) n ct c l 对vz a 萑a ，a f a ，1 】由弓f 理3 1 知，( ，妒) 。( z 盘) 乏( ，妒) 。( a ) 由于口盼，1 j 兮妒( 口) 妒( 入) 冷 7 + 妒( q ) 1 一妒( a ) + 妒( a ) = 1 净( ，妒) 。( 。口) 乏( ，妒) - + ( a ) n 互 号 ( ，妒) 。( 。口) 乏t c x = g 从而有i l i ( x ) l l 爨a 1 一妒( a n ) ， 有妒( a n ) 妒( a o ) 一g n 丛笋= 1 一( 1 一亟笋) 辛1 一a n 1 一妒- 1 ( 1 一掣) ，于是| 9 7 0 ，使得k 1 一妒- 1 ( 1 一掣) + g 1 一妒_ 1 ( 1 一掣) 由r 0 1 一妒( ) ，n 递减趋于0 ，故jn n ，对vn n ，使得 7 0 1 一妒( 入o ) + n 1 一妒( a o ) ，进一步地，有伽 1 一妒( 入o ) + 。 1 一垆( a 。) ，故有 ( ，妒) 。( z 2 ) 毛鱼号( ，妒) 。( z 2 ) 叠佗c 乙= 所以i i f ( x ( n ) j j 爨 艇o ( 竹 n ) 辛【i l y ( x ) l l 曼刚iz 。萑a ，q 【1 一妒- 1 ( 1 一掣) + e 7 ，1 】) 在r 中无界，与假设产 生矛盾 定理3 2 设( x ，”1 1 1 ，l ，冗) ，( y ，l | 忆l ，r ) 为两个模糊赋范空间，( ，j 妒) 。： p t ( i x ) 一p t ( i y ) 为模糊线性算子，则下面几个条件等价： ( 1 ) ( ，妒) 。模糊有界； ( 2 ) 对v 0 ，入( 0 ，1 】( f ，妒) 。( 玩) 是妒( a ) 一有界模糊集； ( 3 ) 对va ( 0 ，1 】，( f ，妒) 。( b x ) 是妒( 入) 一有界模糊集 证明：( 1 ) 净( 2 ) 对ve 0 ，a ( o ，l 】，展为| 乡i j ，有界，则展为a 一有界模 糊集( ，妒) 。为模糊有界线性算子号( ，妒) 。( b ) 为妒( 入) 一有界模糊集 ( 2 ) 辛( 3 ) 取s = l 即可得( 厂，妒) 。( b 1 ) 为妒( a ) 一有界模糊集 第3 章模糊有界线性算子 1 1 ( 3 ) 号( 1 ) 对v 入( 0 ，l 】，a i x 为蜀i i 。有界，即a 为入一有界模糊集 v 0 ，展为以的乡i l i i 。i l t _ j 线，于是| t 0 ，p ( 1 一入，1 】，使得a 丝ct b , = 玩 当然成立( ，妒) 。( aap ) c ( ，妒) 。( b t , ) = 据( ，妒) - + ( b 1 ) 因( ，妒) 。( b 1 ) 为妒( a ) 一 有界模糊集对吆 ) 的任一重域ga 互存在s 0 ，( 1 一妒( a ) ，1 】，使得 ( 厂，妒) 。( b 1 ) au _ cs c , ，y 记o t = m i n 妒) ，y ) ，由引理3 1 ，知仅 1 一妒( a ) 故有 ( ，妒) 。( a ) ag = ( ，妒) 。( aa 丝) a 芝c 拓( ，妒) 。( b 1 ) a 芝ct s e c ea 王 此表明( ，妒) 。( a ) 为妒( 入) 一有界模糊集，即( ，妒) 。为模糊有界线性算子 定理3 3 设( x ，l i | 1 1 i 工，r ) ，( ki i 恢l ，r ) 为两个模糊赋范空间，模糊线性算 子( ，妒) _ + ：p t ( i x ) 一p t ( f ) 为连续的兮当模糊点列z 5 ：? 苎骂z 时，有 ( ，妒) 。( z 5 ：7 ) 兰业马( 六妒) 1 ( z a ) 证明：号对( ，妒) 1 ( z a ) 的任意| 乡i i i 。重域y ，存在z 的t 乡i i i i 。重域u ，使得 ( ，妒) 。( ) cv ，当z 是型当瓢时，| n n ，对vn n ，有z 5 ：) 乏u 于是有 ( ，妒) 。( z 东) 萑( ，妒) 。( u ) cv 故( ，妒) 。( z 姘) 马( ，妒) 。( z a ) 乍设( ，妒) 。不连续，于是存在( ，妒) 1 ( z a ) 的玩i i 。重域y ，对瓢的任意 | 乡i l i i 。重域u ，总有( ，妒) 。( u ) 仁v 即u 茌( ，妒) ( y ) ，则对v n n ，r ( 1 一a ，1 】， 有z + b 王a t 茌( ，妒) 。( y ) 取z 5 ：) 乏。+ b x ad 但z 5 ：) 隹( ，妒) 。( y ) ，由此可知， ( ，妒) 。( z 2 ) 磊v 因z 5 ：) 乏z + b 击 易我们有z 5 ：? 兰骂z ，由充分性的假设可知， ( ，妒) 。( z 5 ：7 ) 型与( 厂，妒) 。( 孤) 此与( ，妒) 。 5 ：? ) 譬v 产生矛盾所以模糊线性算 子( ， 妒) 。：p t ( i x ) 一p t ( i y ) 是连续的 定理3 4 设( x ，”1 1 1 l ，兄) ，i | i | 2 ，l ，r ) 为两个模糊赋范空间，( ，妒) _ + ： p t ( 1 x ) _ p t ( i y ) 为模糊线性算子，( ，妒) 。连续，则对vp ( 0 ，1 】，：( x ，i 恕) _ ( ki i 0 爨 ) 在a 吣，1 】等度连续 证明：对vz x ， o ，p ( 0 ，1 】及任意，y ( 1 一妒( p ) ，1 ，因，0 ) + ga2 是( ，妒) 。( ) 的乡| i i ：重域及( 厂，妒) 。的连续性，知j6 0 ，7 ( 1 一肛，i i ，使得 ( ，妒) + ( 。+ 风a ) cf ( z ) + 倪a7 第3 章模糊有界线性算子 1 2 对va 阻，1 】，且i i z 一洲如 1 一p ，有， 1 一入，从而0 一) a 萑故有 一剪) a 萑岛ad 即有 纵乏z + b 6 据弓i 理3 1 ，有( 厂，妒) ( 可a ) 乏( ，妒) 。( z + b 6 dcy ( x ) + c ： 7 于 是有( ，( z ) 一，( 秒) ) 妒( a ) 毛g a 2cg 进一步地，有i i s ( x ) 一s ( u ) l l 爨a ) 0 ，使得对va 阻，1 】，当l i z 一训赵 1 一妒( a ) ，即( 妒) 。) 为妒( a ) 一有界，此表 明( - 厂，妒) 。为模糊有界线性算子 仁假设( ，妒) 。有界但不连续v 入( 0 ，1 ，| q ( 0 ，妒( a ) ) ，取( 0 ，妒( a ) 一 q ) ，递减趋于0 ，令p n = 1 一妒( a ) + ，可以验证集族 丢b 王a 妒_ 1 ( ) i 礼n 为0 x 的鲡i i 重域基由假设( ，妒) 。不连续，故| a ( 0 ，1 】和吆 ) 的镉i i 。重域 g 。 鱼使得( ，妒) - + ( 去b 击 竺盟) 仁g 。八堡即 b 砉 竺塑茁( ，妒) 。( 佗c 已 固 于是jz 5 ：) 乏b 吉 竺邋但z 5 ：) 霉( ，妒) 。( 佗g 。八堡) 因z 5 ：) 乏竺3 世净 妒一1 ( p 。) 1 一a n = 争， 1 一妒( a n ) ，即1 一妒( a ) + g 竹 1 一妒( a 住) = 争 妒( a n ) 妒( 入) 一e n a = 争妒( 入n ) 1 一( 1 一q ) 号 1 一入n l 一妒一1 ( 1 一口) 从而| 0 ，使得k 1 一妒一1 ( 1 一a ) + 1 一妒一1 ( 1 一a ) 由z 2 隹( 工妒) 。( 佗g 。ar _ o ) 号( ，妒) ( z 姘) 隹礼a r _ o o 因礼g 。ar _ o 是吆a ) 的乡i i i i 。重域，r 0 1 一妒( 入) ，因n 递减趋于0 ，兮jn n ，对v 礼n ，有 r 0 1 一妒( a ) + 5 n l 一妒( a ) ，进一步地有伯 1 一妒( a ) + n 1 一妒( h ) 于是有 第3 1 模糊有界线性算子 1 3 ( ，妒) 。( z 5 ：? ) 乏! 少贝o ( ，妒) 。( z 5 ：? ) 趸礼c ：。= c k 。令0 ，( z ) l i 曼a n 扎o ( n ) ：争 l l f ( z ) l i 复口iz n 乏b 丢，q 【1 一妒- 1 ( 1 一a ) + 1 】) 在r 上无界，由定理3 1 知 ( ，妒) 。( b 击) 无界，但由定理3 2 及( ，妒) 。有界，知( ，妒) _ + ( b 击) 有界，产生矛盾结 论为真 定理3 6 设( x ，i i | l l ，l 兄) ，( k0 i | 2 ，l ，兄) 为两个模糊赋范空间，( ，妒) 1 ： p t ( i x ) _ p t ( i y ) 为模糊线性算子，( ，妒) 。有界甘vp ( 0 ，l 】，有f ：( x ，” 0 乞) _ ( v l i 爱a ) 在a p ，1 】等度有界，即对v 入阻，1 】，jm = m ( 肛) ，使得 v z x ，i i f ( x ) l l 鬟砷 0 ，对任意入【肛，1 1 ，当i i x l l 乞 0 ，使得i i f ( x o ) l l ；c k o 洲知| i 扭此时有 l | 嚣i l 翘 j ，有i i ，( 卺) i i 曼沁 1 产生矛盾令m = m ( p ) = 1 + ，结论为真 鲁由定理3 2 知，要证( ，妒) ”模糊有界，只要证( ，妒) - + ( b 1 ) 为l 乡i | i i ：有界 集对vp ( 0 ，1 】，若z a 乏b 1 ，v 入阻，1 】，有i i x l l 乞 l ，由已知，对上述p ，入， ，：( x ，i i i i 赵) _ ( i i l i 爨柚) 在a 【p ，1 】等度有界，即对v 入，1 】，了m = m ( p ) ， 使得vz x ，0 厂( z ) l | 爱a ) m l l x l l 赵贝u 对vp ( 0 ，1 】，若z 入乏b i ，v 入 p ，1 】，就 有0 ，( z ) i i 爨a ) m l l x l l 也 m ，故圳，( z ) l i 爨 iz a 乏b i ，a ，1 】) 为r 中有界， v 弘( 0 ，1 】由定理3 1 知( ，妒) 。( b 1 ) 为函i i 。有界集，证得本题 定义3 1 设( x ，1 1 忆l ，月) ，( ki i 恢l ，r ) 为两个模糊赋范空间，( ，妒) 。： p t ( i x ) 一p t ( i y ) 为模糊线性算子，vq ( 0 ，1 】， l l ( f , q o ) - l l ( c 0 = a 出v o 3 a a - 51x e x 辱口错i i p 【，】 声口 ”1 定理3 7 设( x ，i i 忆l ，r ) ，( ki i i2 ，l ，r ) 为两个模糊赋范空间，( 妒) 。： p t ( i x ) _ p t ( i y ) 为模糊线性算子，则( 厂，妒) 1 为模糊有界线性算子的充分必要条 第3 章模糊有界线性算子 1 4 件是对va ( 0 ，1 】，i i ( ，妒) 。j | ( a ) + o 。 证明：弓对v 入( 0 ，1 】，j 艿( 0 ，a ) ，记p = a t 由( ，妒) 。模糊有界，由 定理3 5 知( 妒) _ 连续，由定理3 6 知，jm = m ( p ) ，对v 眦，1 】，z x ，有 l l f ( x ) i i 爨 m 川i 如 于是有蛳v 。嵴sm 一圳v 陬砷v 嵴m 抵故有 i i ( - 厂，妒) _ 呻i | ( 入) + o o 乍设对va ( 0 ，l 】，有0 ( ，妒) 。8 ( a ) + o o 令m = 0 ( 厂，妒) 1 i l ( a ) 4 - 1 ，有 l l ( ，妒) 。i i ( 入) m 于是了如( 0 ，入) ，对vp 【a 一南，1 】及任意z 0 ，z x ， 有l l ，( z ) i | 爨m m l l x l l 乞记q = 入一, 5 0 ，对vp 【q ，1 】，z x ，有i l 厂( z ) l i 寥 0 ，存在6 ( 0 ，a ) ，对vp 队一j ，1 】，有 i i ，( z ) l l 曼刖( i l ( f ，妒) 。0 ( 入) + e ) i i z 0 乞； ( 2 ) 对va ( 0 ，1 】，z x ，有l i f ( x ) 1 ；5 a l i ( f ，妒) 。+ 0 ( 入) i i z 0 赴 证明：由i l ( 厂，妒) 。i i ( q ) 定义知，( 1 ) 显然成立，( 2 ) 可有( 1 ) 得 引理4 2 设( x ，”1 1 1 ，l ，r ) ，( y ”1 1 2 ，l ，r ) 为两个模糊赋范空间，( ，妒) - + ： p t ( i x ) 一p t ( i y ) 为模糊有界线性算子，则 i l ( f ，妒) 。o ( a ) = v vi l ，( z ) i i 爨p = 入v vl l f ( x ) l l 筻川 o 6 a p f o 一五1 】l l 石乞= 1 o 6 ap f 口一6 ，1 j i x l j j | 2 _ l 证明：对v 口( 0 ，1 】， 圹ii(班矧v州则v口曙=a川v川必，(赢)i|比2206a 6 , 1 1 1 2 o 6 a x e x x # o i t12) p 【口一】z x ，z 口 l i 山i p 【口一6 ，1 】 ， 山i a v也川v扣iif(x)ll爨()a矧v删倒vo6aueai = l l o 6 a6 , 1 辱口警_ | i 圹| l ( 以 一6 ，1 】i乞= 1p i 口一】z x t 善口 。1 z 又有 ( ，妒) 1 i i ( q ) = v vi i ，( z ) i i 筻p 入vv | | ，( z ) l i 爨p 0 6 a p 【口一正l 】z i i 乞；1 o 6 a p 【口一最1 】i i x l l 譬2 1 1 5 第4 章模糊有界线性算子范数及空间1 6 脚v螂刮刮vllf(x)ll强全口v，vo6a 6 , 1 p e c , - 6 , 1o l l x l l i + 2 _ t 警1 2 p f c l jo z 乞l o 5 0 ，存在6 ( 0 ，q ) ，使得对 一切入【a 一正1 】，且l i x l l 按= 1 时，有| i ，( z ) l j 爱 ) j l ( f ，妒) 。j j ( a ) + 令 j 1 = g ，t = q 一6 1