（基础数学专业论文）q算子恒等式及其应用.pdf

中文摘要 中文摘要 二百多年来，人们用各种各样的方法来研究口一级数在众多的研究方法 中算子方法一直备受推崇，像l ，e u l e r 、l j r o g e r s 、g c r o t a 、s r o m a n 、j c i g l e r 、m e h i s m a i i 、g e a n d r e w s t d j r a s k e y 等这样的数学大家都曾应用算 子方法来研究过q 一级数在本文中，我们也将应用算子方法来研究q 一级数， 本文从4 一交换二项式定理出发，推导出q l e i b n i z 法则和q 一平移算子恒等 式，再利用这两个算子恒等式，我们可以得到一些q 一恒等式及口一级数转换公 式最后，构造了两个g 一交换算子，并结合q 一交换二项式定理算子形式，我们 得到了一个比较好的结果，它包含了口一二项式定理，j a c o b i 三重积恒等式及证 明五重积恒等式需要的一个关键等式 关键词：g 一级数，口一微分算子，g 一算子恒等式，q - 二项式定理，q - c h u v a n d e r m o n d e 卷积，j a c o b i 三重积恒等式，五重积恒等式 a b s w a e t a b s t r a c t t h eh i s t o r yo f q - s e r i e sh a sb e e nm o f et h a nt w oh u n d r e d sa n dk i n d s o f w a y sh a v e b e e nu s e dt os t u d yi lq - o p e r a t o rm e t h o ds e e n l st ob eo n eo ft h eb e s tm e t h o d s m a t h - e m a t i c i a n sl i k el e u l e r , l j r o g e r s 。g c r o t a , s r o m a n j o g l e r , m e h i s m a i l ，g e a n d r e w sa n dr a s h yh a v ee m p l o y e dq - - o p e r a t o rm e t h o di ns t u d y i n gt h e q - s e r i e s i nt h i sa r t i c l e ，w ec o n t i n u et oa p p l yq - o p e r a t o rm e t h o dt os t u d yt h et h e o r y o fq - s e r i e s w es t a r tf r o mq - - c o m m u t a t i v eb i n o r m a lt h e o r e m , t h eq - l e i b n i zr u l ea n d q - f o r w a r do p e r a t o ri d e n t i t yc a l lb ea r r i v e d u s i n gt h e s et w oi d e n t i t i e s , w e c a l lg e ts o m eq - i d e n t i f i e sa n dq - t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a s f i n a l l y , w ec o n s t r u c t t w oq - - c o m m u t a f i v eo p e r a t o r sa n du s eq - c o m m u t a t i v eo p e r a t o ri d e n t i t y , an i c e q - i d e n t i t i e sc a l lb eo b t a i n e d t h i si d e n t i t yi n c l u d e sq - b i n o m i a lt h e o r e m , j a c o b it r i p l e - p r o d u c ti d e n t i t ya n dt h el 【e yi d e n t i t yf o rp r o v i n gt h eq u i n t u p l e - p r o d u c ti d e n t i t y k e yw o r d s ：q - s e r i e s ，q - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r , q - o p e r a t o ri d e n t i t y , q - b i n o m i a l t h e o r e m , g c h u v a n d e r m o n d ec o n v o l u t i o n ，j a c o b it r i p l e - p r o d u c ti d e n t i 吼q u i n t u p l e p r o d u c ti d e n t i t y 一一 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：硷适 学位论文授权使用声明 日期：埤 本人完全了解华东师范大学有关保留使用学位论文的规定， 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允 许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学 位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：谨龟形导师签名： 伽l a 日期： 竺2 ：丘： 第一章绪论及预备知识 第一章绪论及预备知识 基本超几何级数( g 一级数) 的发展，以1 7 4 8 年l e u l e r 将无穷乘积 0 0 ( g ；口) 0 = i i ( 1 一矿) 一1 七；l 看成正整数n 的分拆函数p ( 死) 的母函数为标志经过一段漫长的时间，直到1 9 世 纪上半叶，一些低阶的q 一级数的求和公式才陆续被c eg a u s s 2 0 ，a l c a u c h y 【2 7 ，e h e i n e 【脚】等人发现1 9 世纪下半叶到2 0 世纪中叶，l j r o g e r s 【3 0 - 3 2 1 ，s r a m a n u j a n , w n w a t s o n 4 0 1 ，eh j a c k s o n 2 5 ，2 6 ，w n b a i l e y 【6 】和l j s l a t e r 【3 9 等数学家在q 一级数的发展进程中都作出了不可磨灭的贡献2 0 世 纪5 哞代到7 0 年代，可以说是q 一级数发展的黑暗期，但是q 一级数的发展并 没有因此而终止在数学家g e a n d r e w s 【1 - 4 】和r a s k e y 【5 1 等人的不懈努力 下，口一级数又重新获得了数学家的认可世人重新认识到了口一级数的巨大应 用前景，乃至到了二十世纪8 0 年代，有人戏称当时数学家及有些物理学家患 了q d i s e a s e 他们将数学的其他分支及物理领域中的一些概念及性质都拿 来q 一模拟 口一级数发展至今。已经形成了一套比较完整的理论，它被应用到数论，根 系( m a c d o n a i d 恒等式) ，超越数理论，计算代数，组合学，差分方程，李代数和 李群，物理学，统计学，代数几何，h a r d - h e x a g o n 模等方面 人们用各种各样的方法来研究q 一级数有组合的方法，有解析的方法， 也有算子方法在众多的研究方法中算子方法一直备受推崇，如l e u l e r 【1 6 ，1 7 、l j r o g e r s 【3 0 - 3 2 、g - c r o t a 【3 6 】、s r o m a n 【3 3 - 3 5 、j c i g l e r 【1 0 - 1 3 、m e h b m a i l ，g e a n d r e w s 【1 _ 4 】和r a s k e y 【5 】等人都曾先后应用算子 方法来研究过口一级数 事实上，g 一算子方法的发展也只不过是近3 0 年的事情，但是它在数学与物 理学之间建立的桥梁作用是不可估量的本文也将应用算子方法来研究q 一级数 在第一章中，我们主要介绍q 一级数的历史及一些常用的符号，并给出口一交 换二项式定理( 定理1 1 ) 在第二章中，我们利用口一交换二项式定理的算子形式( 定理2 1 ) 证 明q l e i b n i z 法则( 定理2 2 ) ，并结合引理2 1 给出q l e i b n i z 法则的一些应用 第一章绪论及预备知识 在第三章中，我们又一次利用定理2 1 ，给出口一位移算子恒等式( 定理3 1 ) ， 我们将算子作用在形式幂级数 垫! ! ! 丝! ! ：塾盟竺 ( 6 1 6 ，6 2 6 ，k 。 上，然后结合刘治国在文【2 8 1 中的口一级数展开公式，我们可以得到一类形式幂 级数的展开公式( 定理3 3 ) 非终止的v e x y - w e l l - p o i s e d6 如求和公式是它的一个特 例 在第四章中，我们结合q l e i b n z 公式与g 一位移算子恒等式，得到一些级数 的转换公式( 定理4 1 ，定理4 2 ) 在最后一章中，我们将定理2 1 稍作推广，并用它构造了两个可交换 的q 一算子，得到一个比较好的结果( 定理5 3 ) ，这个结果包含了口一二项式定 理，j a c o b i 三重积恒等式及证明五重积恒等式需要的一个关键等式为方便起 见，我们在本文中取| 口i 1 在本文中我们采用g a s p e r - r a h m a n 【1 9 1 所使用的符号记g 一升阶乘符号为 r t - - 1 ( 。口) o = 1 ，( 峨口k = ( 1 一a q ) ，乱= 1 ，2 ， ：= 0 口一二项式系数 ”意 由上面的定义我们很容易得到 臀卟旷水叫纠 ( 口；q ) 、叫。 i 后i 基本超几何级数为 。，0 1 ，晚，吼、 印义6 2 ，巩柚一 一2 一 第一章绪论及预备知识 号器啄：) r 如果s = t + 1 ，i 面r q a l 0 2 a t + i = 6 1 6 2 b t , 。= q 那么我们称基本超几何级 数t + 1 纳3 z 衡的( b a l a n c e d ) 如果s = t + i ，i 面r q a l = 衄h = = a t + l b t ，那么我 们称1 基本超几何级数也为良平衡的( w e l l p o i s e d ) ；特别地，如果眈= 弘 ，幻= 一q o ，我们则称这个良平衡级数为完全良平衡的( v e r y w e l l p o i s e d ) 双边基本超几何级数 。讥( ：啦b 2 , ：b t ；吼z ) =。蔓糍眇(-1bx b 2 b t ；q ) k水) r 矿 ：1 r ! ! ! ! ! 竺：! 坐! 型! f、 。( ；) 1 1 一 i 幺( ， 【、”j 4 当s = t ，而f l a l b l = 砚6 2 _ = m 也，那么我们称双边基本超几何级数。砒为良 平衡的( w e l l - p o i s e d ) ；特别地。如果0 1 o a q b l = 一9 6 2 ，我们则称这个良平衡 级数为完全良平衡的( v e r y w c l l p o i s c d ) 为了方便起见我们也使用如下的紧凑符号 ( 口l ，眈，；口k = ( a l ；g ) 。( 0 2 ；g ) 。( ；口) 。，行= 0 ，1 ，2 ，0 0 在本文中我们采用如下g 一微分算子定义 d q f ( z ) ) = f ( x _ ) - f ( q x ) ( 1 2 ) 这一定义首先由l e u l e r 给出，与fh j a c k s o n 【2 5 】在1 9 0 8 年所给的q 一微分算子 叫 = 帮 稍有不同一它们相差一个常数因子 q 一升阶乘为 q ，( z ) ) = f ( q x ) 一3 一 丝沁一 脚 一一 第一章绪论及预备知识 由上面的定义，我们很容易得到 玟= x - 1 ( 1 一叼) 我们在这里只列出在本文中常用到的一些符号及性质，更多的符号及性质 可以参见文【1 8 ，1 9 】 下面我们给出口一交换二项式定理： 定理1 1 ：设0 m l + + 竹k ，我们更有以下的这个结果 d ； ( 6 1 z ；q ) 。( 6 2 茁；口) m ( “z ；g ) m ) = 0 一1 8 一 第三章q 一位移算子恒等式及应用 上式等价于 结合定理3 。2 。有 明 丽象等) 一o ， 研 丽鼍象等彘) =z一面而(bl忑x,b丽2x,_,jbrx丽；q)oo ( 9 一鼍? 孤0 命题得证( 见g a s p e r 【1 9 】) 口 定理3 3 ：我们有下面的等式 ( a l b ，a 2 b ，一，n m 1 6 ；q ) ( 6 1 d 玑6 2 n q ，6 仇一l n q ；q ) ( 6 1 6 ，6 2 6 ，一1 6 ；口) 。( n l n 吼a 2 a q ，a r n l a q ；口) 。 = 薹些氆q 学( 旦a q r = ， 一i l 幺 ( ，6 ；口) n 、7 州( 4 “，6 l 。 ，k - 1 0 吼a q ；口，口) 、 l o 口，a m _ l a q ，a q 7 我们应用下面的这个定理( 具体见【2 8 】) 来证明上面的定理 定理3 4 ：设，( 6 ) 是关于b 的形式幂级数，则我们有下列的关于6 的展开形式 邢) = 薹坐竺卺萼：3 等堂暇m g ) 一j z 一 定理3 3 的证明： 在定理3 4 中，令 m ，= 镞鲁善寒慧 一1 9 第三章q 一位移葬子恒等式及应用 由定理3 2 ，我们知 扯焉，( z ) ( 弼g ) 一】口 = 睇 = ( a q ) ( a l z ，a 2 x ，一，a m - l z ，z ；钟1 ( b l z ，6 2 z ，k 一1 z ，x q 一1 ；口k 扭。” 一n ! ! ! 丝：丝丝：! 竺苎二! 丝：竺! ! k ( b l a q ，b , 2 a q ，k l a q ，卵；g k 。+ l f4 一，6 1 8 一，k l q ，口矿 、 a l a q ，一l a q ，a q 将上式代入定理3 4 经过适当的化筒，我们就可以得到定理3 3 口 下面我们来给出定理3 3 的两个应用： 倒3 1 设m = 2 和6 1 = 1 ，我们容易得到 ( a l b ，口；口) 。 ( 6 ，a l a q ；g k 在上式中令a ，= 矿，经过适当的化简，有 丙( 叫1 - - 刚a q 2 n ) ( a + q l l b 删；q ) n 。( l q g ；q ) kqnq)k q ) a - n ( n 一1 ) 酽 ( 6 ；g j 。i 叼；+ “口；口j 。l g ； 。 上面这个等式两边同时乘上( 口2 ；q ) k z ，然后对庇求从0 到o 。的积分，可得 薹错= 壹譬黜鬻挚忖，n = o台( 女 厶 ( 6 ；g ) n ( z ；q ) 州 。叫 最后将8 替换成口z ，就可以得到r o g e r s f i n e j i 亘等式 o o 掌：( 1 - - 黜；q ) n q n ( n - 1 ) ( b z ) n ( 3 2 ) 鲁( 6 ；q ) ”n = 0 、，、一 ” 例3 2 设m = 3 和6 1 = 1 ，并k i k _ a l ，6 2 ，6 2 分别变为1 c ，1 d ，l l e d l l i 生t , e 简， 一2 0 一 。脚 ； 赤 第三章口一位移算子恒等式及应用 利用q - p f a f f - s a a l s c h i i 研l l ，可以得到著名的v e r y - w e l l - p o i s e d6 九恒等式 。九( m q 如j a ，叫- - 、，如a , 0 6 0 岛叼d d ；州) ( a q ，凹b c , a q l c d ，a q b d ；口) 。 ( 凹6 ，a q c ，a d d ，a q b c d ；口) 。 定理3 5 ：设n 是正整数，t 是整数，则 d n f 竺苎! 丝兰! ：! ! 竺兰! ! 竺一 u 西万面i _ _ 忑丽g 一州镞崭若畿 ( 9 一黧象 证明：定理3 1 两边同时作用到关于z 的幂级数 ( a l x ，0 2 肛，n 。肛；g ) 。j ( b l z ，如z ，6 f 。z ；口) 。“ 上，我们有 研婆丝罢争二菩啤翟霉 一4 ( b i z ，幻卫，6 。z ；口) 。4 ”奏臀矿镞蔫察糍c 呐 ：z 一t 鱼：! 丝竺! ：丝丝! ：! 竺绝! ! 丝 4 台( q q x b l ，q x b 2 ，q x b , n ；q ) k 镞糍筹糕(糕ql+t)b2 。仇肛，肛，k 肛；口k 、6 l 6 仇 一, r - n + t ( 0 1 屈，也肪，a m x ；g ) 。o ( b l z ，5 2 x ，6 m 口k ( 2 一黧：翥而q a l - - a ml + t ) 这一定理的应用将在下一章中给出 第四章两个算子恒等式的综合应用 第四章两个算子恒等式的综合应用 由前面的知识我们知道d ：作用在形式幂级数上，这个形式幂级数 的n 阶g 一导数有两种表达方式；一种是莱布尼兹表示，另外一种是q 一平移 算子恒等表达式本章是结合这两个不同的表达形式，得到一系列的q 一级数的 转换公式 定理4 1 ：设z ，以，m 0 = 1 ，2 ，曲为任意复数，t 为整数，有 l + 1 九f9 ，6 1 ”一，蜘；口，9 1 、 a l x ，z 7 = 毋乏o i l ；至i r a - 2k f i = o i 2 = 0 l = ok = o 寡学 = 毋坚兹竺学 i 1 2 0 i a 一 、一一一1 ， 怂6 - - 2 鲥一- - 如i k _ _ _ 塑以一。刊- - q ) 。、- - ) 讥- 证明：由定理3 2 知道有 四 ! 竺! 兰! ! ! 兰兰! ：! 丝兰! ! ! 竺 ( b l x ，b 2 x ，b a x ；q ) 。 一如甓嚣赭 x 卧l 钆r ”“”一，咖；口，玉， 、 a l x ，a s x ， 再结合定理2 3 就可以得到所要的结论了口 引理4 1 ：设z ，魄，啦“= l ，2 ，厕为任意复数，有 d n ! ! ! 兰! ：鱼兰1 2 竺! 鱼! 三：! ! 竺兰1 2 塑 一。( b l x ，以z ；q ) ( 以+ l z ，6 仇z ；口) o o 冉 ；! 竺! 三：! 生竺! 型竺! ! 兰! 兰! ：! ! 里兰1 2 竺，一。 ( 6 l 曩一，以z ；q ) o o ( b 。+ l x ，b m z ；口) o o 。 塞 ：卜“，筹糍 一2 2 第四章两个算子恒等式的综合应用 l 九( 9 6 1 ”一，啦；口，) 、 a l x ，一，0 z 7 ( 4 ：奎 髻；磊o 、 口 1 z 口”n m o a ” ， 证明：在定理2 2 中，设 则得到 矿“垆筹岽象， f ! ! 苎! ：! ! ! 三! ! ! 竺! 坐! 兰! ：! ! 堕兰! ! ! 竺 ( b l x ，k z ；口) 。( 以+ l z ，6 m z ；g ) 。 = 争k = o ”k 嘲 掰“ ( + l 第矿， ( 以+ 1 z 矿， ! ! ! 兰! ：! 生兰! ! ! 竺 ( b l x ，k 而g ) 。 ，。z 矿；g ) 。 ，b m x q l ；口k 由定理3 2 ，我们可以得到d ；和d ? 一的表达式 n i ( a l x ，眈z ， 嵋面五而 玎。甓嚣糍 。九( 口_ 6 1 ”一，咖舢，+ t ) 、 a l x ，a a x ， = z 堕! 苎尘! ：! 坠兰型竺 ( b , + l x q 。，茁戎口) o 。 一( n k ) ! ! ! ! 兰型! ! ：! ! 竺兰! 1 2 塑 ( 以+ l z 矿，一，b , r , x q k ；q ) o o m 一“虹。( r 扣：变：b , x q k l ，。) ，、 d 上z 矿以。$ 口 7 将上面两个式子代入到( 4 1 ) ，就可以得到要证的结果口 一2 3 一 ( 4 1 ) 害 虫籼盟惦 第四章两个算子恒等式的综合应用 定理4 2 ：设z ，y ，钆，啦0 = 1 ，2 ，m ) 为任意复数，有 。+ l f9 “，6 l ”一，咖；删1 、 n l z ，$ 7 = 争k = o ”k n ， ( 6 | + 1 0 ， ( n 。+ l $ ， ，6 m z ；q k ，n m z ；q ) k 。l 九( 9 一，6 1 z ，以z ；口，! ，1 、 口1 茹，z 7 ( 9 一删：妻 k z 矿、 计；9 。j 证明：由定理3 2 和引理4 1 得到结果后，再利用聚点定理就可得到要证的结果口 例4 1 设m = 2 , s = 1 以及= q ，我们有 3 也f9 邮唧；g ，口1 、 g l x ，a 2 x = 乒k = o k 产黜 。妒，( 9 一：；a ，a ) 。妒，( 9 一似一a 6 2 2 z x 矿q k ；a ，a ) = 非卜哪黜譬掣蔫# h 劫 化简可得到下面的这个级数变换 。也( g 。”，6 l z ，蜥；鲫) 、 a l x ，a 2 x 7 = 警a 也( 9 篆。，：0 眈孙咖，砚) 最后分别令b l z ，b 2 x ，a l x ，a 2 x 为b ，c ，d ，e ，可得到终止型的s e a r s 变换的又 一2 4 第四章两个算子恒等式的综合应用 一种形式 。也( 9 一”：；a ，0 = 紫s 也( 4 一“主。一d 。b 。；a ，a a e ) 引理4 2 ：设z ，m ，玩a = 1 ，2 ，? ) 为任意复数，有 d n l 竺! 兰! ：! 竺! 兰! 1 2 竺! 丝! 兰! ：! ! 竺苎! 虫竺 一9 ( b l x ，k z ；口) 。( k + l x ，k x ；q ) 。4 ：牲兰! ：! 垫兰1 2 竺x - - n + t l 仃i 口m 。) f 坚! ! ! ! ：! 兰丝竺型! ( b l x ，6 m x ；口) 。色ikl 。( q x b 州，q x b , n ；g ) k ( 等岽) ks + l s ( 旷蹴讹q x a 。孙而q a l a sl + t ) r m 参锐享麓忽孢精a ) 证明：在定理2 2 中，设 弛) = 镞等藩采矿川垆面( a s + i 万z , 丽, a m x ；q ) o o 则有 n 。f ! ! 兰! ：! 生垒；q ) o oa s + l x ，z ；口) 。 一4 ( b l x ，b s x ；g ) 。( l x ，6 仇z ；口) 。4 = 产k = o k h 磷铣精z t 矿缭 揣， ， 由定理3 5 ，知 d ! ! ! 兰：竺兰竺：生兰型竺 1 ( b i x ，b 2 x ，b 。x ；口) 。4 第四章两个算子恒等式的综合应用 ：z 一t ! ! ! 兰! 丝兰：! 坐兰型竺 ( b l x ，5 2 x ，b z ；口) * 九( 旷“q 赢x a l q 帆x a o 孙而q a l - a sl + t ) ， r ) n - k ( a s + l x q ，a , n x q k ；q k l , q ( b s + l x q k , j , b m x q k ；q ) o o ：z 一( n 一 ) 坐! 丝生：! 塑型! 型竺 ( b + l x q ，6 t n z 旷；q ) 州“( 9 小“；麓勰。款孙芒篙a ) ( + 1 茹q ，a 。x q k ；q ) 。o ( 6 l + 1 z q ，6 m x q 。；g ) o o ：f 竺! ! 兰! ：! 竺竺兰! 1 2 竺! 丝! ! 生! ： ( b s + 1 z ，6 仇z ；口) 。( q x b s + l ， ( 等岽) ， 一q x a 。；q ) q x b m ；口) k 将上面三个等式代入( 4 3 ) ，就得到这个引理口 利用引理4 2 和定理3 5 ，然后i l ：q z a 1 ，凹n m 替换成a 1 ，a 。可 以得到下面的定理： 定理4 3 ：设y ，啦，以0 = 1 ，2 ，m ) 为任意复数，有 m + ( 9 一瓢：a k m 孙糕，) m + 1 i 6 1 ，6 仇；9 百_ i 9 j = 砉胁，慨糍c 等鼍p 也( 9 一誓：糕d m 一州( 9 。”黼a “s + l q k ：寒孙精a ) 一2 6 第五章算子恒等式的进一步应用 第五章算子恒等式的进一步应用 在这一章中我们将给出定理1 1 的一个推广形式_ 定理5 1 ，我们应用定 理5 1 证明了包含五重积恒等式与j a c o b i - - 重积恒等式在内的许多口一级数公式 定理5 1 ：设a 和日是两个线性算子，a 有逆算予，且满足关系日a = q a b ，则我 们有 a 一”c a + b r = k 壹；- - r a 行：m a 。伊一i c s - ， 证明：因为算子a 和8 有口一交换关系 b a = q a b 所以我们知道算子a 和引蘅足 ( a + b p = k - - - - o 在上式中令n 为7 1 , + m ，则有 ”伊 卜扑k - - - ol + m 一， ( a + b ) = ”：”l 扩“一， j 对上式两边同时左作用a m ，我们就可得到 a - ”( a + b 1 ”+ ” = 扑+ m 驴一 二k 产= - , 。f 霓m + + m kj1 a 矿 接下来，我们找一些比较具体的算子恒等式，然后说明其应用 一2 7 第五章算子恒等式的进一步应用 定理5 2 ：我们有 ( 一1 ) ”口一( 等1 ) z 一，7 一叼佃 = 圭 糍 ( _ 1 怕也竹抑矿 证明：在定理5 1 中，设a = 一x - 1 ；7 ，b = z ， 这里的a 和b 显然满足口一交换，且a 存在逆运算从而有 ( 一z 一1 旷( 一。一1 7 + z 一1 ) ”+ m = k 三f f i _ mr l ”m + + kj ( 一z 一1 帆一 因为叩一1 z = q - l x y 一1 ，所以( q 一1 $ ) m = q - ( 譬1 ) z m ，7 一，n l s d = ( 一1 ) ”( ，7 1 z ) m 研+ m = ( 一1 ) m q 一心1 ) z ”叩一”d 孑+ m ， ( 5 2 ) 又因为班一1 = q - 1 x 一1 仉 则 脚= 圭 篇卜锄1 枷 = z 1 。三：- m “m + + ”k ( 一，a h + p ，矿， 岱3 ， 结合( 5 2 ) 和( 5 3 ) ，我们就, - i p l 得到下面的等式 ( 一1 ) ”g 一( 譬1 ) $ m “叩一”d ? “ 二圭 糍 ( _ 1 山臂抑矿 一2 8 第五章算子恒等式的进一步应用 命题5 1 ： k = 圭 糍 ( - 1 州訾h 咖沪州 证明：将( 5 4 ) 这个算子恒等式作胭j x j ( j r n , + n ) 有 ( - - i ) ”q 一( 吁1 ) z m ”，7 一”叼抽一 = 塞 糍卜守聃m 结合引理2 1 的第一个式子， l s d = ( 一1 ) m q 一( 譬1 ) 棚叩一m ( 口；g ) t ，蚪t l i 一一m n l m 十nj = ( 一1 ) m g ( 譬) + m 协叫( g ；g ) 。i l ， lm 十nj 册肚兰 烹卜f 叫蛩批 从而有命题成立口 将( 5 4 ) 这个算子恒等式作用到 ( s x ；q ) 。 ( t x ；q k 上，结合引理2 1 的第二个式子，我们有下面的命题： 命题5 2 ：对任意的复数s ，t ，。，我们有 必= k 壹- ：- l 川卜r + 1 ) 丛2乙-m【mn+m后j【_kq-tm+(sx；q)cqtx；q),。( 一s x ；q ) k 一2 9 第五章算子恒等式的进一步应用 将( 5 4 ) 这个算子恒等式作用到 坐! 塑：二：兰垒型竺 ( z ，甜z ；q ) 上，我们得到下面的这个等式： 命题5 3 ：对任意的复数s ，t ，霸且8 0 我们有 c m 高糍甓端翕兰等 = 圭h lm + k1 ，- j ( 旷a 勘竹+ 1 ) 定理5 3 ：我们有 塞 裟 z k ( z ；q ) - k ( a ；扣訾 ， 证明：首先我们定义口l i ( a ，z ) = ，( 叫，z ) 和r n y ( a ，z ) = ，( o ，z q ) 设 因为 a = z ( x 一口) 啦，b = ( 1 一z ) ，7 2 a b f ( a ，z ) = z ( 1 一n ) 啦( 1 一z ) r n y ( a ，z ) = z ( 1 一n ) ( 1 一z ) f ( a q ，z q ) ， b a f ( a ，o ) = ( 1 一z ) 啦：( 1 一a ) m f ( a ，。) = ( 1 一z ) z q ( 1 一a ) l ( a q ，z g ) ， 即有b a = q a b ，且a 可逆，从而有 c a 删一；圭 ：卜， 回 第五章算子恒等式的进一步应用 将上面这个恒等式两边同时作用到l 上， 在等式( 5 6 ) 的左边： - 4 - b ) 1 ) = ( z ( 1 一n ) m + ( 1 一z ) ，7 2 ) 1 = ( 1 一a z ) ， ( a + 日) 2 i ) = ( z ( 1 一口) 叩1 + ( 1 2 ) 啦) 1 一a z = ( 1 一a z ) o a z q ) ， 由归纳假设，我们可以得到 由 可以得到 所以 ( a + b ) “+ ” 1 ) = ( a z ；g ) 。+ 。 a = 百1 ( 1 一n ) “z ， a q ( a + 日) ”+ ” 1 ) = ，7 i 1 ( 1 一口) 一1 z 一1 ( 口z ；q ) 。+ 。) = ( 1 一a q 。1 ) 。1 z - 1 ( a z q 。1 ；g ) 。h ， a 一2 ( a + b ) “” 1 ) = 百1 ( 1 一口) 一1 z 一1 ( 1 一a q 一1 ) 一1 z 一1 ( a z q 一1 ；口) 。+ 。) ) = ( 1 一a q 一1 ) 一1 ( 1 一a t 一2 ) 一1 z 一2 ( a z q 一2 ；口) 。+ 。 ， 也通过归纳假设，我们总结出 a 一”( a + b ) 州“ l ， = ( a q 一”；q ) 2 z 一”( a z q 一”；口) 。h ：! ! 丝：型竺! 竺坐! = ( a q 一”；口) m ：( q a z ；q ) m ( a z ；q ) n ( q a ；口) 。 第五章算子恒等式的进一步应用 等式( 5 6 ) 的右边，因为 所以 伊“ 1 ) = ( ( 1 一z h ) ” 1 ) = ( 2 ；g ) 。幽 小伊4 1 = ：( z ( 1 一o ) 叩1 ) ( z ；口) 。一 ) = z k ( 。；g ) 。一( o ；g h 从而得到( 5 5 ) 口 注i a ：g n 5 3 d p ，1 与仡的构造首先由汪明瑾给出 下面我们给出定理5 3 的几个特例： 例5 1 在( 5 5 ) 中令m = 0 ，那么 耋 ： z c z ；a ，。一t c n ；a ，t ；c n z ；a ，。 令n o o ，马上得到口一二项式定理 例5 2 在( 5 5 ) 中，若m ，n o o ，可得 虽， h i ( q a z ，a z ，q ；q ) o o k(咄拈等鼯=o 、1 ， 它是l h m a n u j a nl 讥恒等式的一个特例再让o ，z 都替换成一z ，然后 结- z d = r o g e r s - f i n e s _ 等式( 3 2 ) ，可以得到著名的五重积恒等式，具体参 见c o o p e r 1 4 例5 3 在( 5 5 ) 中，令m = t i , ，则得到 。 壹b 卜湖椭机( q a 丽z ；q ) r ( a z ；q ) n 一3 2 第五章算子恒等式的进一步应用 设o = a z ，上面这个恒等式变成 圭b 卜如一撕肛锴， 再让z 一0 ，我们就得到著名的j 粒o b i 三重积恒等式的有限形式 圭 ( _ 1 = c 轴c 钿k 若接着令n o o ，我们有j a c o b i _ 三重积恒等式 ( 一1 ) 小口( ：) = ( q ，a ，q a ；q ) 。 k = - o o 一3 3 参考文献 参考文献 【l 】g ea n d r e w s o nt h ef o u n d a t i o n so fc o m b i n a t o r i a lt h e o r yv e i l l 口m 两i 蹦o p e r a t o r s s t u a p p l m a t h 。l ( 4 ) ：3 4 ”7 5 ，1 9 7 1 【2 】g e a n d r e w s t h et h e o r yo f p a r t i t i o n s a d d i s o n w e s l e yp u b l i s h i n gc o m p a n y , 1 9 7 6 【3 】g e a n d r e w s q - s e r i e s ：t h e i rd e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o ni na n a l y s i s n u m b e rt h e o r y , c o m b i n a t o r i c s ，p h y s i c s ，a n dc o m p u t e ra l g e b r a c b m sr e g i o n a lc o n f e r e n c es e r i e s 如m a t h - e m a t i c $ , 6 6 , a m s , p r o v i d e n c e , 尼l 1 9 8 6 4 1g e a n d r e w s 。i la s k e y , a n dk r o y s p e c i a if u n c t i o n s c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s , c a m b r i d g e , 1 9 9 9 【5 】r m k e ya n dj w i l s o n s o m eb a s i ch y p e r g c o n m r i co r t h o g o n a lp o l y n o m i a l st h a tg e n e r a l i z e j a c o b ip o l y n o m i a l s m e na m m a t h s o c ，5 4 ( i v + 5 5 ) ：3 1 9 。1 9 8 5 【6 】wn b a i l e y g e n e r a l i z e dh y p e r g c o m e t r i cs e r i e s c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s , c a m b r i d g e 1 9 3 5 【7 】w yc c h c oa n dz l i u p a r a m e t e ra u g m e n t a t i o nf o rb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e si i n ：b e s a g a n ，i l e s t a n l e y ( e d s ) m a t h e m a t i c a l e s s a y s ，i n h o m o r o f g i e m - c a r l o r o t a z c o m b i gt h e o r e m s e n ，b i r k h f i u s e r , b a s e l ：1 1 1 - 1 2 9 ，1 9 9 8 【8 】w c h u l a g t i c ep a t hm e t h o df o rc l a s s i c a lp a r t i t i o ni d e n t i t i e s s y s t e m ss c i e n c em a t h 1 2 ( 1 ) ：5 2 _ 5 7 ，1 9 9 2 【9 】w c c h u q - d e r i v a t i v eo p e r a t o r sa n db a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s r e s u l tm a t h 4 9 ：2 5 - 4 4 , 2 0 0 6 【1 0 j c i g l e r o p e r a t o r m e t h o d e nf f i rq - i d e n t i t i t e ni v ：f i n ek l a s s ev o nq - g o n l d - p o l y n o m e n $ i t z u n g s b e r a b t ，( 2 , 0 5 ) ：1 6 9 1 7 4 , 1 9 6 6 【l l 】j c i g l e r o p e r a t o r m e t h o d e nf i i r q - i d e n t i t i t e n m h m a t h ，8 8 ：8 7 - 1 0 5 4 , 1 9 7 9 【1 2 j c i g l e r u m b r a l ei n v e r s i o nu n dd i el a g r a n g e s c h ef o r m e l a r c h i vd e rm a t h e m a t i lo p e r ao m - 耐珥s e r 1 ，v o i s 1 l 一1 3 ，3 5 ，1 9 8 0 【1 3 】j c i g l e r o 牟相t o m 砖t h o d c i lf j rq - i d e n t i t f i t e ni iq - l a g u e r r c - p o l y n o m e m h m a t h ，9 1 ：1 0 5 -