（计算数学专业论文）期权标的资产波动率的重构方法与应用.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 在b i a c k - s c h o l e s 公式中，波动率( v o l a t i l i t y ) c r 是一个非常重要的参数并且 在诸如股票、利率、股指期货等标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的交易市场中，人们 往往希望知道标的资产未来价格的波动率，从而知道该资产的未来风险结构但 一般来说，由于事件还没有发生，人们对盯的未来走向很难预测但我们可以运用 b l a c k - s c h o l e s 理论框架，从期权市场获取的信息去重构( r e c o v e r i n g ) 标的资产价 格的波动率本文使用的是基于t i k h o n o v 正则化的数值微分方法，利用d u p i r e 公式去重构标的资产的未来预期波动率相对于其他方法，我们的算法更快速有 效，并且能识别标的资产的预期风险突变 本文第一章主要构造了一维数值微分的求解方法，并给出了存在唯一 生的证 明最后给出一些简单的应用实例，说明算法的有效性和应用的广泛性这一节 的主要结果来自于参考文献 3 2 本文第二章主要是讨论如何使用一维数值微分的方法来重构期权标的资产的 未来波动率首先是简单讨论了该期权问题的正问题和反问题，然后用数学方法 证明了d u p i r e 公式，最后给出了一些应用实例这一节的主要结果来自于参考文 献 3 3 在文章的最后还讨论了对该问题的其他求解方法的改进方式和困难之处， 关键词；b l a c k - s c h o l e s 方程，波动率，d u p i r e 公式，t i k h o n o v 正则化 数值微分 中图分类号：0 2 4 1 5 n 复旦大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nb l a c k - s c h o l e sm o d e l ，t h ev o l a t i l i t y 盯i sa ni m p o r t a n t p a r a m e t e r ，w h i c hc a n n o tb eo b s e r v e dd i r e c t l yi nt h em a r k e t t h ev o l a t i l i t yo ft h ef u t u r ep r i c e so ft h e u n d e r l y i n ga s s e t s ，w h i c hc a nb es t o c k s i n t e r e s t ，f u t u r e sa n ds oo n ，i saw o n d e r w h e nw ek n o wt h ev o l a t i l i t y , r i s ks t r u c t u r eo ft h o s ea s s e t si si nh a n d i tt u r n so u t t h a ti np r a c t i c e ，w ec a n tf o r e c a s tf u t u r et r e n d so ft h eu n d e r l y i n ga s s e t sd i r e c t l y u s i n gb l a c k - s c h o l ee q u a t i o n s ，w ec a d r e c o v e rt h el o c a lv o l a t i l i t yo ft h eu n d e r l y i n g a s s e t sf r o mi n f o r m a t i o ni nt h eo p t i o nm a r k e t i nt h i sp a p e r ，b a s e do nt i k h o n o v r e g u l a t i o nm e t h o d ，w eu s en u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o nt or e c o v e rt h ev o l a t i l i t yb y d u p i r ef o r m u l a c o m p a r e dw i t ho t h e rm e t h o d s ，o u rm e t h o di sf a s t e ra n dm o r e s t a b l e t h eo n ea d v a n t a g eo fo u rm e t h o di st h a ti tc a nr e c o g n i z et h er i s ks a l t a t i o n o ft h eu n d e r l y i n ga s s e t s t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ef i r s tp r o p o s et h e m e t h o df o ro n ed i m e n s i o nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s i sp r o v e d f i n a l l y , w eg i v es o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s i ti ss h o wt h a to u rm e t h o d i se f f e c t i v ea n du s e dw i d e l y i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s sh o wt ou s eo n ed i m e n s i o nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n t or e c o v e r yt h el o c a lv o l a t i l i t yo fu n d e r l y i n ga s s e t s ，i p o pp r o b l e m f i r s t ，w e i n t r o d u c et h ed i r e c tp r o b l e ma n di n v e r s ep r o b l e mo ft h i so p t i o np r o b l e m t h e n ， w ei n t r o d u c et h ed u p i r ef o r m u l a f i n a l hw eg i v es o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n s a tt h ee n do ft h et h e s i s ，s o m eo t h e rm e t h o d sf o rs o l v i n gi p o pp r o b l e ma r e d i s c u s s e d w ed i s c u s st h ed i f f i c u l t i e so fe a c hm e t h o d sa n dp r o p o s es o m ep o s s i b l e i m p r o v e m e n t k e y w o r d s ：b l a c k - s c h o l e se q u a t i o n s ，v o l a t i l i t y , d u p i r ef o r m u l a ，t i k h o n o v r e g u l a t i o n ，n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n mrs u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 5 u l 第一章一维数值微分理论与应用 1 1 一维数值微分的背景与问题的提出 数值微分问题是一个在许多实际的工程和科学研究中碰到的问题，例如，图 象处理过程中的不连续点的确定问题( 【5 ) ；化学分析中的实验数据的波峰分离 问题( 6 1 ) ；非参数统计的分布拟合问题( 7 】) 等问题的研究过程中均提出了数值 微分问题 很久以来，最普遍的研究方法是使用有限差分作为导函数的一种近似若已 知，扰动后的值 ，且l i 一f l i 冬6 ，有m k ：= l l ，( 2 | | ：= s u p 。，i ，( z ) l o ) ( 【3 】) 这样在实际处理时要么舍去一些测量数据，要么根据经验或概率分 布插入一些数据，但这些处理很难令人完全满意在7 0 年代以前，样条插值已有 广泛的应用，在数据没有扰动的情况下，三次插值样条的导函数对，( z ) 有h 3 的 收敛阶( h 为步长) ，但由于实际数据会不可避免地产生误差，在节点处的严格插 值就失去了意义，并且这时插值样条的导函数会产生振荡，误差很大所以说数 值微分的困难之处在于这个问题是一个不适定的问题，即任何测量中的误差都可 能导致最后计算结果的非常大的误差 为了处理这类不适定的问题，并充分利用所有数据含有的信息，我们将采用 t i k h o n o v 方法，选取正则化参数来平衡构造函数的逼近性和光滑性当巳知l l ，“| l 存在时，h a n k e 和s c h e z e r 证明了其数值微分是基于三次自然样条的，并给出了 误差( 1 1 ) 现在我们将进一步讨论当l i ，( 脚l l 存在时，t i k h o n o v 正则化下解的形 式 设y = ( z ) 是 o ，1 】区间定义的一个函数，n 是一个自然数= o = x o 0 1 x 。= 1 ) 是 0 ，1 】区间的一个等距划分记h = z m x i = 二 考虑如下的问题：假设我们知道可( z ) 在点的近似值甄，并且有 甄一可( 戤) l 6 ， i = 1 ，2 ，扎 ( 1 1 1 ) 其中6 为一给定的常数通常称为测量误差的水平 不失一般性，我们假设在端点茁。与茁。处无扰动，即y o = 可( o ) ，孤= y ( t ) 我们希望找到一个函数，( 。) ，使得一一1 ( z ) 可以作为函数可( 一1 ) 的一个近 似，k 为一个自然数 注记1 1 1 如果考虑面和荪也含有误差的情况，我们可以用一个新的函数 y ( z ) = 可( z ) + 弱一y + ( 0 ) + ( 孔一y ( 1 ) + y ( o ) 一玩) z 复旦大学硕士学位论文 2 来代替函数y ( 石) 容易证明y ( o ) = 弱，y ( 1 ) = 孤具体可见似 因为数值微分问题是一个不适定的问题，考虑应用t i k h o n o v 正则化方法求 解 定义如下的正则化泛函： 。n 一1 圣( ，) = 击( 药一，( 即) ) 2 + q 渺忆帆，) ( 1 _ 1 2 ) j = j 其中q 是正则化参数 问题： 器慨西( ，) = 圣( 矗) ( 1 1 - 3 ) a 4 = g l g ( o ) = ( o ) ，g ( 1 ) = ( 1 ) ，g h 。( o ，1 ) ) 驴( o ，1 ) = g i g f ( o ，1 ) ，扩l 2 ( o ，1 ) ) 当我们要确定正则化参数n 时，还要求解这样一个不等式： ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 击( 甄一，i ( 墨) ) 2 6 2 ( 1 1 6 ) 。i = 1 不妨构造 = ( 1 一t ) 满足不等式，其中t 是一个充分小的非负值，利 用，是端点固定，并使l i 彤0 达到最小的光滑函数这一性质，推知i i i | = 0 ， 即可知当严格不等号成立时 是一个。平凡解”，是两端点值的线往插值，即 = y ( o ) + z ( ( 1 ) 一( o ) ) 具体证明过程参见( 【1 ) 因此我们只需求解方程击蓦甑一 ( q ) ) 2 = 6 2 来确定a 的值 1 2 一维数值微分的构造 我们首先给出如下的引理，见 3 0 】 引理1 2 1 设，) 是定义在区间化 上的连续函数，如果对任意妒c 铲( o ，1 ) 成立片，( z ) 妒b ( z ) = o ，p 1 ，p 为整数，则，( z ) 为p - 1 次多项式 定理1 2 2 问题，的极小元 是划分上的一个2 一1 次样条 证明：令 ，( z ；t ) = ( 。) + t n ( x )( 1 2 1 ) 其中卵( z ) 川t 是很小的数，通过改变t 的大小，可产生 ( z ) 的邻近路径 f ( x ) 即当t 一0 时，( z ；t ) 一 ( z ) 复旦大学硕士学位论文 考虑函数 f ( t ) = 面( ( z ) + t n ( z ) ) ( 1 2 2 ) 因为，是范函西( ，) 在集合m 上的极小元，所以对于( 1 2 2 ) 式，当t = o 时， 垂( ，) 达至q 极小，因此我们有p ( o ) = o 即) = 击善n - 1 ( 甄叫嘲咱) ) 2 + n 0 1 ( 均胁( 1 2 3 ) 即) = 熹萎i = 1 ( 川吲咖2 n 0 1 铲b 胁= 。 ( 1 2 4 ) 特另0 取协( z ) = c 铲( z i 一1 ，z 1 ) i = 1 ，2 ，n 令啦( 。) 的定义域为n ，定义叩如下： ”= 心谳 显然叩四。( o ，1 ) ，从而q 朋，将町代入( 1 2 4 ) 得到： 一。( z ) 叩( q ( z ) 出= 0 由引理可知 为分片2 k 一1 次多项式 定理1 2 3 ( o + ) = ( 1 一) = 0j = ，k + l ，2 k 一2 证明：由叩( z ) 的任意性，令： 咖，= ”剐气铲剐驰矧 对于每个j ，我们知道相应地总存在一个合适的与。无关的常数c ( 仅与j ，e 有关) ， 使得 ，。 上q 仕) d x = 1 ( 1 1 2 5 ) 3 复旦大学硕士学位论文 其中j = 0 ，1 ，七，现令寸( z ) = q ( 茁) ，这样由( 1 2 4 ) 式可推知： 一 n 一1 12 i j i = 1 ( 饰卜鳓( 蚓+ 2 0 j ( “劬( 硝伽z 2 0 r ，( z ) 日( 。( z ) 如 一2 0 “( 嚣) 而( ( z ) 出 ( 一1 ) 2 q 厂，。( z ) 矿( z ) d z 对于上述等号后的每一步都使用分部积分法，我们可以得到t p e 拶( ) f ( 驰一j ( z ) d z = 0j = k ，k + 1 ，2 k 一2 j o 由( 1 2 5 ) 式可知( ) = 0 ，令e 一0 ，有( o + ) = 0 同理若我们取卢l 一1 一e ，岛= l ，其中e s 有，w ( t ) 一w ( s ) n ( o ，t s ) 甜w ( t 。) 一w ( t ，1 ) ，w ( t 。1 ) 一w ( t 。一2 ) ，一，w ( t 2 ) 一w ( t t ) 与w ( t t ) 都是相互 独立的r 0 t l t 2 0 d 口 因此该方程存在唯一解，盯= ( 7 0 这样我们从一张特定的期权( 敲定价为j 矗， 期限为t o ) 导出了标的资产的隐含波动率1 盯：o 0 但对于不同的敲定价格k ，不同的有效期限t 的期权，由相应的期权的价 格决定出的标的资产的隐含波动率应该都是不同的，它是k ，t 的二元函数，即 盯= o ( g ，t ) 固定r 或者k ，典型的图像是微笑( v o l a t i l i t ys m i l e ) 曲线 因此比较合理的假设应该认为；盯是标的资产价格s 和时间t 的函数现 在我们提出这样的问题：如何运用期权市场期权的报价，获取有关未来标的资产 波动率的信息? i p o p ( i n v e r s ep r o b l e mo fo p t i o np r i c i n g ) 问题：即期权价格v ( s ，t ；k ，t ，盯) 满足半线性退化的抛物型偏微分方程( 2 1 2 ) 假设当t = 矿( 0 扩 - v a r ) = c ( 2 5 3 ) 其中c 表示置信水平，a w 表示资产组合未来价值的变化，是一个随机变量，我 们用一v a r 表示损失的最大值( 损失值为正) 如果! 掣= 肛( s t ) d t + 盯( s ，t ) d w ( t ) ，当p 和盯为常数时利用i t 5 定理，可 以推出s ( t ) 服从正态分布，即如果g = l n s ( t ) ，则 疗2 d g = ( p 一) d + 盯d w 7( 2 5 4 ) 复旦大学硕士学位论文 上式表明l n s ( t ) 一f 礼s ( ) ( ( p 一譬) ( t 一) ，盯2 ( t 一) ) 设带为置信度c 下欧式看涨期权合约在t z 时间内的最低收益率，实际 收益率为r = ( s ( t ) 一k ) s ( t ) 1 一c = p ( n 冗+ ) = 西【 r打z ( 掣) 一( p 一譬) ( 丁 丐刁芑亍一 ( 2 5 5 ) 因此给定具体的置信度c ，我们可以由上式求出相应的彤 下面我们使用本文的方法来构造标的资产未来的在险价值，假设盯不是常 数，可以用上一节的方法求得取时间间隔为t ，设当前标的资产价格为s ( t ) ， 则我们可以从正态分布 丌2 n ( i n s ( t + ( i i ) a t ) + ( _ “一) ( t t ) ，口2 ( t t ) )( 2 5 6 ) - 随机取值作为l n s ( t + i a t ) ，其中i = 1 ，2 ，【( t t ) l a 】从而我们可以得 到一个s ( t ) 的值不断重复上述过程即可以得到s ( t ) 的概率分布，这样标的资 产未来的在险价值就确定了 2 6i p o p 其他解法的探究与困难之处 在这一节，我们回顾了i p o p 问题的其它解法和我的一些想法，由于时间时 间限制，一些想法无法具体实现，仅仅是提出一些可行方案 文献【1 2 j 是最早应用正则化算法解决i p o p 问题在文献f 1 2 】中算法推导和 描述较为简单，参阅相关文献后具体推导如下：令 g w ) = ( y ( ，o ；h ，赴，盯) 一) 2 ( 2 6 1 ) = 砉z 0 。z ”( y ( s , t ；k i ，t i , c t m 膨 蝴) s t 上式表明，给定波动率仃( 只t ) ，在当前时刻理论值与市场观察值的误差平方和 引入目标函数： m j n f ( a ) = i i i w i i i ：+ a g ( 们= f ( o + ) ( 2 6 2 ) 记 三：( 筹) 。+ ( 塞) z + a n ( y ( 跗k 盯) 一) z 邪一岛) 呻) ( 2 6 3 ) 复旦大学硕士学位论文 则： f ( 盯) = j 孑铲l ( s ，t ，吼o s ，a t ) s t 应用变分原理( 具体推导略) ，可知盯+ 应满足： 丽o 瓦o l + 岳差一筹= o ( 2 e 4 ) 8 s8 口rj 矾8 口t8 0 、 、j 1 将( 2 6 3 ) 代入上式可得： 翥+ 嘉一a 盟噶型 ( y ( s 0 ，o ；，岛，一k ) 6 ( s s o ) 6 ( t ) = 0 【2 6 5 j 对于一些特殊的期权，如参数为仅与时间t 有关的的欧式期权，下o v 具有解析表 a 盯 达式对一般的衍生证券还需单独计算_ o v ，具体算法如下；引入算子 砷) = 瓦0 竹刊s 嘉+ 轨即) s 2 未一r ( 2 6 6 ) 则存在光滑函数h ，有l ( o 十曲) y ( s ，；k ，正，盯+ c h ) = 0 从而： o = 磊d 仁( 盯+ s h ) v ( s ，t ；甄，互，盯+ e 圳。：。 = 饰) 丽o v + 未盼。c 1 2 ( a + e h ) 2 】s 2 器l = 吲仃) 丽o v + 2 蒜 因此我们要计算的是如下的偏微分方程： ) 筹= 埘2 丽0 2 v ( 2 6 7 ) 最后利用梯度下降法，对( 2 6 5 ) 进行计算，即可得到我们所要求的o ( s ，) 但在求解该椭圆形偏微分方程时，须加入边界条件，而这些条件在实际中往往是 很难观察到的，只有o ( o ，t ) = 0 是显然的 因此我们可以对上述算法进行改善先定义分数次微分( f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a t i o n ) 酬刚，= 击嘉上5 耘d 丁 协e 固 重新定义f ( o ) f ( 盯) = ( f 奎盯) 2 + a 0 2 + g ( 盯)( 2 6 9 ) 如果我们可以证明 f ；助( 刚= 1 0 a ( 矿s , t ) ( 2 6 1 0 ) 复旦大学硕士学位论文 这样应用变分原理就可以得到如下的方程： 筹+ a a - a 罾邪侧( y = 。 ( 2 6 1 1 ) 计算时只需加上盯( o ，t ) = 0 这一初始条件即可，其中6 ( ) 用“( ) 逼近即可 文献【1 8 】使用的是样条方法假设在期权市场上我们可以观察到基于某个标 的资产的期权报价 ( k ，死，甄) 墨， 根据b l a c k - s c h o l e s 理论，将波动率盯= o ( s ，t ) ，期权到期日为正和敲定价 格为k 的，满足方程( 2 2 1 ) 的理论解记为k p ( st ) ) 现在提出如下的正则优化问题； 嬲善( 帅( s , t ) ) - 群i i 勖( 删i 。 ( 2 6 1 2 ) 我们将仃( s ，t ) 限定在一个较小的空闻中求解，假设盯是属于双三次自然样条( b i - c u b i cn a t u r es p l i n e ) c ( s ，t ) 这一空间中的元素选取样条节点 ( 巧，i ) ) ；1 ， 注意节点的选取不必与观察值重合，选取方法根据实际情况而定( 如在价格波动 大的区间选得密一些) 记两= 口( 夏，i ) ，这样孑= ( 两，巧) t 就是我们所要 求解的 现在我们做插值，使得c ( 夏，五) = 瓦，这样记插值后的样条曲线为c ( s ，t ；孑) 在市场观察值的节点上理论值为( g ( s ，t ；万) = v ( c ( s ，；- ) ，甄，正) 文献【? 】说 明了，当p n ，对优化问题( 2 6 1 2 ) 无须加入正则化项，即可有稳定解 现在将求解的问题重新描述如下： 1 n l 堍，( - ) = i 咄 k ( g ( s 才) ) 一同2 ( 2 6 1 3 ) 定义向量值函数f ：妒一r ，f 的第i 个元素为u ；7 2 瞰( g ( s ，t ；万) ) 一同，岫 为权重 这样我们可以将上式重新写为j 。m ，i 。n 。f ( 万) 。到f ( 万) 嵯 一般来说求解这种非线性最小二乘问题( 最优化问题) m i n ，( x ) 可以使用变 尺度法( q u a s i n e w t o nm e t h o d ) 该文采用的是最简单的最速下降法即x ( 1 ) = 克( + q 了( k ) 其中了( 为搜索方向，这里是一v ，( 膏( e ) ；口 为最优步长，即 求解一维搜索问题m i n ，( 叉( ) + oc f ( ) ) 现在我们还必须要计算v ，( 万) v ，( 万) = v f ( 万) t f ( 万) = j ( 万) t f ( 万) ( 2 , 6 1 4 ) 其中j 为j a c o b i 矩阵巾h 筹) = 等) 复旦大学硕士学位论文 由于二维的三次样条对曲面的插值效果劣于径向基方法，所以我们考虑假设 仃是属于径向基函数p ( s ，t ) 这一空间中的元素径向基函数发的基本思想是用 n 个径向基函数咄近似未知函数p ，即p ( s ，t ) = 墨la ，( ) 哦( s ) 可以选取 h a r d y 的多二次径向基，即电( s ) = 万二戛y f 干，其中c 为参数具体实现 方法与三次样条基本类似 参考文献 1 】m h a n k ea n do s c h e r z e r i n v e r s ep r o b l e m sl i g h t ：n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n j a m e r m a t h m o n t h l y ，2 0 0 1 ，1 0 8 ( 5 ) ：5 1 2 5 2 1 【2 】c h r e i n s c h s m o o t h i n gb ys p l i n ef u n c t i o n s j n u m e r m a t h ，1 9 6 7 ，1 0 ：1 7 7 1 8 3 【3 3a g r a m m i n e q u a l i t i e sf o rt h ed e r i v a t i v e s j m a t h i n e q u a l a p p l ，2 0 0 0 ，3 ： 1 2 9 - 1 3 2 4 】c w g r o e t s c h d i f e r e n t i a t i o no fa p p r o x i m a t e l ys p e c i f i e df u n c t i o n s j a m e r m a t h m o n t h l y , i 9 9 1 ，9 8 ：8 4 7 - 8 5 0 f 5 s r d e a n s r a d o nt r a n s f o r ma n di t sa p p l i c a t i o n s m aw i l e y - i n t e r s c i e n c ep u b - l i c a t i o n ，1 9 8 3 【6 】6m h e g l a n d r e s o l u t i o ne n h a n c e m e n to fs p e c t r au s i n gd i f f e r e n t i a t i o n j 1 9 9 8 ， p r e p r i n t 【7 ib w s i l v e m a n s o m ea s p e c t so ft h es p l i n es m o o t h i n ga p p r o a c ht on o n - p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nc u r v ef i t t i n g j j r s t a t i s t s o c b ，1 9 9 5 ，4 7 ( 1 ) ：1 - 5 2 i s 李岳生，奇东旭样条函数方法f m 】科学出版社，1 9 7 9 【9 】吴迪光变分法【m 】高等教育出版社，1 9 8 7 【1 0 】f b l a c ka n dm s c h o l e s t h ep r i c i n go fo p t i o na n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s j j p 0 1 e c o n ，1 9 7 3 ，8 1 ：6 3 7 - 6 5 9 1 l 】b d u p i r e p r i c i n gw i t has m i l e t j r i s k ，1 9 9 4 ，7 ：3 2 - 3 9 【1 2 】r l a g a a d oa n ds o s h e r at e c h n i q u ef o rc a l i b r a t i n gd e r i v a t i v es e c u r i t yp r i c i n g m o d e l s ：n u m e r i c a ls o l u t i o no fa ni n v e r s ep r o b l e m j j c o m p u t f i n a n c e ，1 9 9 6 ，h 1 3 2 5 【1 3 li b o u c h o u e va n dv i s a k o v t h ei n v e r s ep r o b l e mo fo p t i o np r i c i n g j i n v e r s ep r o b - l e m s ，1 9 9 7 ，1 3 ：l l l l 1 7 【1 4 i b o u c h o u e va n dv i s a k o v u n i q u e n e s s ，s t a b i l i t ya n dn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h e i n v e r s ep r o b l e mt h a ta r i s e si nf i n a n c i a lm a r k e t s j i n v e r s ep r o b l e m s ，1 9 9 9 ，1 5 ： r 9 5 一r 1 1 6 【1 5 1i b o u c h o u e v ，v i s a k o va n dn v a l d i v i a r e c o v e r yo fv o l a t i l i t yc o e f f i c i e n tb yl i n - e a r i z a t i o n j q u a n t i t a t i v ef i n a n c e ，2 0 0 2 ，2 ：2 5 7 - 2 6 3 【1 6 】l i s h a n gj i a n ga n dy o u s h a nt a o i d e n t i f y i n gt h ev o l a t i l i t yo fu n d e r l y i n ga s s e t sf r o m o p t i o np r i c e s j i n v e r s ep r o b l e m s ，2 0 0 1 ，1 7 ：1 3 7 - 1 5 5 【1 7 】l i s h a a gj i a a g ，q i h o n gc h e n ，l i j u nw a n ga n dj i nez h a n g an e ww e l l - p o s e d a l g o r i t h mt or e c o v e ri m p l i e dl o c a lv o l a t i l i t y j q u a n t i t a t i v ef i n a n c e ，2 0 0 3 ，3 ：4 5 1 - 4 5 7 【1 8 t f c o l e m a n ，y l ia n da v e r m a r e c o n s t r u c t i n gt h eu n k n o w nl o c a lv o l a t i l i t y f u n c t i o n j t h ej o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lf i n a n c e ，1 9 9 9 ，2 ( 3 ) ：7 7 - 1 0 2 墨呈盔堂塑圭堂垡迨塞 2 8 【1 9 】n j a c k s o n ，e s t i l la n ds h o w i s o n c o m p u t a t i o no fd e t e r m i n i s t i cv o l a t i l i t ys u r - f a c e s j t h ej o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lf i n a n c e ，1 9 9 9 ，2 ( 2 ) ：5 - 3 2 f 2 0 s c r 4 p e y c a l i b r a t i o no ft h el o c a lv o l a t i l i t yi n at r i n o m i a lt r e eu s i n gt i k h o n o v r e g u l a r i z a t i o n j i n v e r s ep r o b l e m ，2 0 0 3 ，1 9 ：9 1 1 2 7 【2 1 】s c r 6 p e yc a l i b r a t i o no ft h el o c a lv o l a t i l i t yi nag e n e r a l i z e db l a c k s c l i o l e sm o d e l u s i n gt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n j ，s i a mj m a t h ，a n a l ，2 0 0 3 【2 2 t h e i na n db h o f f m a n n o nt h en a t u r eo fi l l - p o s e d n e s so fa ni n v e r s ep r o b l e m a r i s i n gi no p t i o np r i c i n g i n v e r s ep r o b l e m ，2 0 0 3 ，1 9 ：1 3 1 9 1 3 3 8 2 3 p w i l m o t t m d e r i v a t i v e s - - t h et h e o r ya n dp r a c t i c eo ff i n a n c i a le n g l n e e r i n g m n e wy o r k ：w i l e y , 1 9 9 8 1 2 4 1b d u p i r e p r i c i n gw i t has m i l e j r i s k ，1 9 9 4 ，7 ：1 8 - 2 0 1 2 5 1e d e n n a n ，i k a n ia n dn c h r i s s i m p l i e dt r i n o m i a lt r e e so ft h ev o l a t i f i t ys r n i l e j j d e r i v a t i v e s ，1 9 9 6 ，4 ：7 - 2 2 【2 6 】l a n d e r s e na n dr b r o t h e r t o n r a t c l i f f e t h ee q u i t yo p t i o nv o l a t i l i t ys m i l e ：a ni m - p h c i tf i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o a c h j j c o m p u t f i n a n c e ，1 9 9 7 ，h5 - 3 7 27 】m a v e l l a n e d a ，c f r i d e m a n ，r h o l m e sa n dd s a m p e r i c a l i b r a t i n gv o l a t i l i t y s u r f a c e sv i ar e l a t i v e - e n t r o p ym i n i m i z a t i o n j 1 ，a p p l m a t h f i n a n c e ，1 9 9 7 ，4 1 ：3 7 6 4 【2 s 1 j b o d u r t h aa n dm j e r m a k y a n n o n p