（通用版）2020版高考数学复习专题二函数与导数2.3导数与积分练习理.docx

2.3导数与积分命题角度1导数的运算与几何意义高考真题体验对方向1.(2018全国5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f(0)=1.故切线方程为y=x.2.(2016山东10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A解析当y=sinx时,y=cosx,因为cos0cos=-1,所以在函数y=sinx图象存在两点x=0,x=使条件成立,故A正确;函数y=lnx,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.3.(2019全国13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.答案y=3x解析由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,k=y|x=0=3.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.4.(2019天津11)曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0解析y=-sinx-12,y|x=0=k=-12.切线方程为y-1=-12x,即x+2y-2=0.5.(2016全国16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln 2解析对函数y=lnx+2求导,得y=1x,对函数y=ln(x+1)求导,得y=1x+1.设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)=1x1(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=lnx1+x2x2+1+1,解得x1=12,所以k=1x1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.6.(2015陕西15)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=y=ex|x=0=1;由y=1x,可得y=-1x2,因为曲线y=1x(x0)在点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,故-1xP2=-1,解得xP=1,由y=1x,得yP=1,故所求点P的坐标为(1,1).典题演练提能刷高分1.(2019重庆模拟)若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a=()A.e-12B.2e-12C.e12D.2e12答案B解析依题意,设直线y=ax与曲线y=2lnx+1的切点的横坐标为x0,则有yx=x0=2x0,于是有a=2x0,ax0=2lnx0+1,解得x0=e,a=2x0=2e-12,选B.2.曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.496C.92D.113答案B解析由xy-x+2y-5=0,得y=f(x)=x+5x+2,f(x)=-3(x+2)2,f(1)=-13.曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-13(x-1).令x=0,得y=73;令y=0,得x=7.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=12737=496.3.过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+)B.1e,+C.(1,+)D.(2,+)答案C解析y=ex,y=ex,切线斜率为ex0,切线方程为y-y0=ex0(x-x0),当x=0时,y=-x0ex0+y0=-x0ex0+ex0=ex0(1-x0)1,则x0的取值范围是(1,+),故选C.4.(2019山东潍坊二模)若函数f(x)=x-aln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a=.答案-1解析f(x)=1-ax,f(1)=1-ax=1-a,由题意得1-a=2,解得a=-1.5.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足关系式f(x)=3xf(2)+ln x,则f(1)的值等于.答案14解析由f(x)=3xf(2)+lnx,可得f(x)=3f(2)+1x,f(2)=3f(2)+12,解得f(2)=-14,f(1)=3f(2)+1=14.6.已知函数f(x)=2ln x和直线l:2x-y+6=0,若点P是函数f(x)图象上的一点,则点P到直线l的距离的最小值为.答案855解析设直线y=2x+m与函数f(x)的图象相切于点P(x0,y0)(x00).f(x)=2x,则f(x0)=2x0=2,解得x=1.P(1,0).则点P到直线2x-y+6=0的距离d=|21-0+6|22+(-1)2=855.即为点P到直线2x-y+6=0的距离的最小值.命题角度2导数与函数的单调性、极值和最值高考真题体验对方向1.(2017浙江7)函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案D解析设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)上,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.2.(2017全国11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1答案A解析由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.3.(2017山东15)若函数exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2答案解析对,设g(x)=ex2-x,则g(x)=ex2-x+2-xln12=ex2-x1+ln120,g(x)在R上单调递增,具有M性质;对,设g(x)=ex3-x,则g(x)=ex3-x+3-xln13=ex3-x1+ln130,g(x)0,g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填.典题演练提能刷高分1.已知函数f(x)=2ef(e)ln x-xe(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()A.2e-1B.-1eC.1D.2ln 2答案D解析f(x)=2ef(e)x-1e,f(e)=2ef(e)e-1e,f(e)=1e,f(x)=2x-1e.令f(x)=0,则x=2e.x(0,2e)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(2e,+)时,f(x)f(x),在下列不等关系中,一定成立的是()A.ef(1)f(2)B.ef(1)ef(2)D.f(1)ef(2)答案A解析由题意得f(x)-f(x)0,f(x)-f(x)ex0,f(x)ex-f(x)ex(ex)20,f(x)ex-f(x)(ex)(ex)20,f(x)ex0,y=f(x)ex在R上是减函数.1f(2)e2,ef(1)f(2),故选A.4.(2019山西吕梁一模)函数f(x)=ln x+12x2-ax(x0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是()A.52,3B.52,103C.52,103D.2,103答案B解析f(x)=lnx+12x2-ax(x0),f(x)=1x+x-a(x0).函数f(x)=lnx+12x2-ax(x0)在区间12,3上有且仅有一个极值点,y=f(x)在区间12,3上只有一个变号零点.令f(x)=1x+x-a=0,得a=1x+x.令g(x)=1x+x,x12,3,则g(x)在区间12,1上单调递减,在区间(1,3)上单调递增,g(x)min=g(1)=2,又g12=52,g(3)=103.结合函数g(x)=1x+x,x12,3的图象可得,当52af(x)cos x(其中f(x)为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.f42f6C.f62f4D.f6f(x)cosx,f(x)sinx-f(x)cosx0,F(x)0,y=F(x)在(0,)内为单调递增函数.F4F6,即f(4)sin4f(6)sin6,即f42f6,故选B.6.已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是()A.-9,-154B.-9,-154C.-154,+D.(-,-9)答案B解析f(x)=3x2-a,当a0时,f(x)0,f(x)无极值;当a0时,易得f(x)在x=-a3处取得极大值,则有f-a3=4,即a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,g(x)=3x2+(m-3).当m-30时,g(x)0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值.当m-30时,易知g(x)在x=3-m3处取得极小值,依题意有-33-m32,g(3-m3)m-1,解得-9m-154.故选B.7.已知函数f(x)与其导函数f(x)的图象如图所示,则满足f(x)0时,函数f(x)单调递增,当f(x)0时,函数f(x)单调递减.由图象可知,当0x1时,函数y=f(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f(x)4时,函数y=f(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f(x)f(x).所以满足f(x)f(x)的解集为x|0x4,故选D.8.已知函数f(x)=exx+k(ln x-x),若x=1是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是()A.(-,eB.(-,e)C.(-e,+)D.-e,+)答案B解析由函数f(x)=exx+k(lnx-x),可得f(x)=exx-exx2+1x-1=x-1xexx-k,已知f(x)有唯一极值点x=1,f(x)=0有唯一解x=1.exx-k=0无解,即y=k与g(x)=exx无交点.g(x)=ex(x-1)x2,由g(x)0得g(x)在1,+)上递增,由g(x)0得g(x)在(0,1)上递减,g(x)min=g(1)=e.k1,2x+0m3t2dt,x1,且f(f(e)=10,则m的值为()A.1B.2C.-1D.-2答案B解析因为0m3t2dt=t3|0m=m3,所以有f(x)=lnx,x1,2x+m3,x1,f(e)=lne=1,f(f(e)=f(1)=2+m3=10,解得m=2,故选B.2.若4a(sin x+cos x)dx=22,则a的值不可能为()A.1312B.74C.2912D.3712答案B解析由题意得(sinx-cosx)4a=(sina-cosa)-sin4-cos4=sina-cosa=2sina-4=22,所以sina-4=12,验证各选项,把a=74代入,sin32=12,显然不成立,故选B.3.如图,在由x=0,y=0,x=2及y=cos x围成的区域内任取一点,则该点落在x=0,y=sin x及y=cos x围成的区域内(阴影部分)的概率为()A.1-22B.2-12C.3-22D.2-1答案D解析由x=0,y=0,x=2及y=cosx围成的区域面积S=02cosxdx=sinx|02=sin2=1.由x=0,y=sinx及y=cosx围成的区域面积S=04(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)|04=22+22-1=2-1.根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=SS=2-11=2-1,故选D.4.曲线y=x3与直线y=x在第一象限内所围成的封闭图形的面积为.答案14解析把曲线y=x3与直线y=x的方程联立解得x=0或x=1.由题意得曲线y=x3与直线y=x所围成的封闭图形的面积为S=01(x-x3)dx=12x2-14x4|01=1212-1414=14.5.直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为.答案1解析由题意知直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内所围成的封闭图形如图所示,又由y=4x,y=4x3,解得x=0或x=1,所以封闭图形的面积为S=01(4x-4x3)dx=(2x2-x4)|01=1.6.已知曲线y=x3与直线y=kx(k0)在第一象限内围成的封闭图形的面积为4,则k=.答案4解析联立方程可得y=x3,y=kx,解得x=0或x=k,先根据题意画出图形,如图阴影部分所示.直线y=kx与曲线y=x3所围图形的面积S=0k(kx-x3)dx=12kx2-14x4|0k=12k2-14k2=14k2=4,解得k=4.7.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则13f(x-2)+1xdx=.答案ln 3解析由定积分的运算性质可得13f(x-2)+1xdx=13f(