（电子科学与技术专业论文）光子晶体谐振腔特性分析.pdf

a b s t r a c t a b s t r a c t a p h o t o n i cc r y s t a li sa na r t i f i c i a ls t r u c t u r ew h i c hh a sap e r i o d i ca r r a n g e m e n to f d i e l e c t r i co rm e t a l l i cm a t e r i a l s i nt h e p a s td e c a d e ，i th a s b e c o m ean e w f a s t d e v e l o p i n g r e s e a r c hf i e l dd u et oi t s u n i q u ep r o p e r t i e s a n dm a n yp o t e n t i a l a p p l i c a t i o n s t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ep b gs t r u c t u r ef o rt h ea p p l i c a t i o ni ng y r o t r o nr e s o n a t o r s o fm i c r o w a v ed e v i c e a c c o r d i n gt ot h er e s o n a n c ec o n d i t i o nf o rt h ee x c i t a t i o n ，t h es t a t i c a x i a lm a g n e t i cf i e l dh a si n v e r s ep r o p o r t i o no ft h ec y c l o t r o nh a r m o n i cn u m b e r t h e s t a t i ca x i a lm a g n e t i cf i e l dw i l lm u c hb er e d u c e d ，i fo p e r a t i o nf r e q u e n c yi si nt h e h a r m o n i cs t a t e s oh a r m o n i cw a v ei n t e r a c t i o nr e s e a r c h e sb e c o m em o r ea n dm o r ev e r y i m p o r t a n t ，w i t ht h ed e v d o p m e n to fg y r o t r o n s t h e r ea r es e v e r a ld i s a d v a n t a g eb yt h e a b o v em e r i t ，w i t ht h ec y c l o t r o nh a r m o n i cn u m b e r ：t h ei n t e r a c t i o ne f f e c tf a l l sm u c h t h eb a n d w i d t hb e c o m e ss m a l l ，w h i c hn e e d sm o d i f yt h ep a r a m e t e r sc o n t i n u a l l y m o d e c o m p e t i t i o nu p g r a d e s s p e c i a ls t r u c t u r es h a l lb ep r o m o t et os o l v et h e s ep r o b l e m ，w h i l e p b gc a nm e e tt h o s en e e d s t h i sp a p e rd i s c u s s e st w ok i n dg e o m e t r ys t r u c t u r eo fm e d i u mp b gt r i a n g l el a t t i c ea n d s q u a r el a t t i c eu s i n gt h ep l a n e w a v em e t h o d 。is i m u l a t et h eg l o b a lp b gg a pu s i n gm a t l a b a n dg e tt h ec o r r e s p o n d i n gm a p s t h e r ei sao rs e v e r a lg a p si nt h e s em a p s t h i n k i n gt h a t w h o s ea s t r i n g e n c yi sc o m p a r a t i v e l yb a dt ou s i n gp l a n e w a v et oc a l c u l a t et h ep h o t o n c r y s t a l ，iu s et h et r a n s m i s s i o n - m a t r i xm e t h o dt oc a l c u l a t em e t a lp b gi nat r i a n g l el a t t i c e a n di nas q u a r el a t t i c ea n dg e tg e tt h ec o r r e s p o n d i n gm a p s t h i sp a p e rc o m p a r e st h e d i f f e r e n c eo ft r i a n g l el a t t i c ea n ds q u a r el a t t i c ea n dt h ed i f f e r e n c eo ft h em o d eo ft ea n d t m c h o o s i n gas u i t a b l el o c a t i o no fb a n dg a ph e l pm et od e s i g np b gr e s o n a t o ra n d v e r i f yt h er e s u l tu s i n gh f s s u s i n gh f s ss i m u l a t e st h ep b gr e s o n a t o rf o ra c c e l e r a t o r a p p l i c a t i o n si nt h et e r n 0m o d e a t17 g h za n dt h ep b gr e s o n a t o rf o rg y r o k l y s t r o n si nt h e t e 0 4 0m o d ea t14 0 g h za n dt h ep b gr e s o n a t o rf o rg y r o k l y s t r o n si nt h et e 0 4 0m o d ea t 9 4 g h z n o n w o r km o d ei sc o n f i n e d ，a n dm o r es i n g l ew o r km o d ei sg o t ，s ot h eb e t t e r r e s u l ti sg o tf o ra p p l i c a t i o ni nh p m i i a b s t r c t f i n a l l yi f i r s tu s et h es t r u c t u r et od e s i g na n n u l a rm u l t i c o n d u c t o r sp b ga n da n a l y z e t h ec h a r a c t e ro fa n n u l a rm u l t i c o n d u c t o r sp b gu s i n gf d t d u s i n gh f s sis i m u l a t e s t h ep b gr e s o n a t o ri nt h et e 0 5 0m o d ea t9 4 g h z a l t h o u g hn o ta l m o s te n e r g yc a nb ek e p t p e r f e c t l yi nt h eo p e r a t i o nf r e q u e n c y ，n o n w o r km o d ei sc o n f i n e dl i k et h ea b o v er e s u l t k e y w o r d ：p h o t o n i cc r y s t a l ，f d t d ，h f s ss i m u l a t i o n ，m o d ec o n f i n e d i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：垫数避导师签名： 日期：年月日 第一章绪论 第一章绪论 自从1 9 8 7 年光子带隙( p h o t o n i cb a n d g a p ，p b g ) 1 , 2 】的概念提出以来，其理论和 应用的研究发展迅速：1 9 9 0 年p b g 计算机论证【3 】，1 9 9 1 年微波p b g 得到实验论 证 4 , 5 1 ，1 9 9 3 年第一块半导体三维光子晶体诞生。上个世纪9 0 年代，光通信也得 到飞速发展，s d h 已经开始逐步取代p d h 成为光纤传输的主流，掺铒光纤放大器 ( e d f a ) 的出现使得波分复用( w d m ) 技术迅速发展。随着通信速率的迅速提高，新 问题随之出现，原来对通信系统没有影响的问题也变得重要起来。这些都使得科 研人员热切期待着新一代光电功能材料的突破，所以光子晶体的出现很快就吸引 了研究人员的目光。19 9 2 年p s t j r u s s e l l 等人就提出了光子晶体光纤( p h o t o n i c c r y s t a lf i b e r ，p c f s ) 的概念，至1 9 9 6 年，第一根全内反射型光子晶体光纤诞生， 1 9 9 8 年第一根光子带隙型光子晶体光纤诞生【6 。0 1 ，1 9 9 9 年1 2 月，美国科学杂 志把光子晶体方面的研究列为十大科学进展之一【1 1 1 ，2 0 0 0 年第一家光子晶体光纤 公司成立。 人们对光子晶体寄予了厚望，它在光通信领域中有光的半导体【1 2 】之称，利用 它可以制造出各种品质优良的光通信器件：光子晶体光纤、微谐振腔、滤波器、 光开关、波长变换器、集成光路等。 1 1 光子晶体 在固体物理研究中发现，晶体中的周期性排列的原子所产生的周期性电势场对 电子有一个特殊的约束作用。在这样的空间周期性电势场中的电子运动是由以下 薛定谔方程决定的【1 3 - 1 5 1 卜v + 2 m ( e 一矿( r ) ) i y ( 叫) = 0 ( 1 - 1 ) l ，# _ j 其中v ( r ) 是电子的势能函数，它具有空间周期性。求解以上方程式( 1 1 ) 口- f f 以 发现，电子的能量e 只能取某些特殊值，在某些能量区间内该方程无解，也就是 说电子的能量不可能落在这样的能量区间，通常称之为能量禁带( 电子禁带) 。研究 发现，电子在这种周期性结构中的德布罗意波长与晶体的晶格常数具有大致相同 电子科技大学硕士学位论文 的数量级。从电磁场理论知道，在介电系数呈空间周期性分布的介质中，电磁场 所服从的规律是如下形式的m a x e l l 方程： 厂 一2 v 2 + 等( 巳+ 占( r ) ) 一v ( v ) i e ( 彬) = o ( 1 - 2 ) l o j 其中，。为平均相对介电常数，( r ) 为相对介电常数的调制部分，它随空间位 置做周期性变化，c 为真空中的光速，为电磁波的频率。方程( 1 1 ) 和( 1 。2 ) 具有一 定的相似性，通过对方程( 1 2 ) 的求解可以发现，该方程式只有在某些特定的频率 处才有解，而在某些频率取值区间该方程无解。这也就是说，在介电常数呈 周期性分布的介质结构中的电磁波的某些频率是被禁止的，通常称这些被禁止的 频率区间为光子带隙或光子禁带( p h o t o n i cb a n d g a p ) ，而将具有光子禁带的材料称 作为光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l ) ，或叫做光子带隙材料( p h o t o n i cb a n d g a pm a t e r i a l s ) 。 如果光子晶体在几何构形上只具有一维周期性，那么它将形成一维光子晶体， 光子禁带将出现在此方向上；如果在二维或三维方向上都具有周期性，那么它将 形成二维或三维光子晶体，如图1 1 所示。 c 荀雅龙予麓体 1 2 光子晶体特性 ( b ) 二维龙子酝体( c ) 兰维光乎蕊体 图1 - 1 光子晶体空间结构示意图 光子晶体主要有两大特性：光子禁带和光子局域 1 , 2 , 1 6 1 。光子晶体的最基本特征 是具有光子禁带，落在禁带中的光被禁止传播，光子晶体可以抑制自发辐射。我 们知道，自发辐射的几率与光子所在频率的态的数目成正比，当原子被放在一个 光子晶体里面，而它自发辐射的光频率正好落在光子禁带中时，由于该频率光子 的态的数目为零，因此自发辐射几率为零，自发辐射也就被抑制。反过来，光子 晶体也可以增强自发辐射，只要增加该频率光子的态的数目便可实现。如在光子 2 第一章绪论 晶体中加入杂质，光子禁带中会出现品质因子非常高的杂质态，具有很大的态密 度，这样便可以实现白发辐射的增强。 光子晶体另一个主要特征是光子局域。在一种经过精心设计的无序介电材料 组成的光子晶体中，光子呈现出很强的a n d e r s o n 局域【1 1 。如果在光子晶体中引入 某种程度的缺陷，与缺陷态频率吻合的光子有可能被局域在缺陷位置，一旦其偏 离缺陷处光就迅速衰减。光子晶体理想无缺陷时，根据其边界条件的周期性要求， 不存在光的衰减模式。但是一旦晶体原有的对称性被破坏，在光子晶体中央就可 能出现频率极窄的缺陷态。光子晶体有点缺陷和线缺陷。点缺陷仿佛是被全反射 墙完全包括起来，利用点缺陷可以将光“俘获”在某一个特定的位置，光就无法 从任何一个方向向外传播。在垂直于线缺陷的平面上，光被局域在线缺陷的位置， 只能沿线曲线方向传播，达到光学导播的效果。我们都知道在光电子元器件中， 大都要把光学波导束缚在一狭小区域，使之不散开以便进行控制，但光子晶体中 的光波导与传统的光学波导有着本质的区别。光子晶体的发现和它们在控制光传 播方面的应用是一个全新的激动人心的领域，它给材料界、物理学界和通信界的 科学家带来了许多提示。光子晶体的发现是光和电磁波传播与控制技术方面的一 次革命。 1 3 光子晶体应用 1 3 1 光子晶体在微波方面的应用 近年来，在探索新型结构的光子晶体的同时，人们也做了大量的关于光子晶 体应用的工作，应用于微波方面主要有： 1 实现具有高表面阻抗的电磁波反射表面 导体反射面与天线之间的距离需维持在k 4 的距离( 九为波长) ，使反射波与天线 的发射波同相位。对于常用的一些微波波段，m 不是很小的距离，约为几厘米，而 且这一距离与电磁波的频率有关，也就是说，有很强的选频性。另一方面，对于实 际的导体，由于其切向表面电场分量不完全为零，则存在表面波，也叫表面交变电 流。此表面波在许多场合都会对天线有干扰，比如形成“多道斑点干涉”如果在平整 的金属平板上支出一系列的金属突出物阵列，人为的构成周期性排列，制成光子晶 体。就可以避免上诉问题，这类高阻抗电磁波表面有非常广泛的应用前景，它可以 电子科技大学硕士学位论文 作为一个新型的天线反射面或屏蔽面，可大大提高天线的辐射效率，同时还具有体 积小、成本低、工艺制做简单等优点。 2 光子带隙材料用于微带贴片天线 光子晶体在微波方面最早的应用是微波天线，用光子晶体代替传统的金属来做 天线的基底，当发射电磁波的频率落在光子晶体的光子带隙时，可以抑制沿基底传 播的表面波，增加天线辐射到空间的电磁波，从而改善天线的性能。表面波抑制的另 一个作用还可以有效地削弱阵列元件之间的互耦电平，并减少同一块系统板上部 件之间的相互干扰。除了用作微带天线的基片外，光子带隙结构还能覆盖在天线的 上层来提高天线的增益。测试结果表明，光子带隙结构明显地改变了天线的辐射特 性，提高了天线的增益。 3 光子带隙用于微波滤波器 利用光子带隙结构可以做成宽带的带阻滤波器和窄带选频滤波器。还可以很精 确地控制小频段内的电磁波通过，制成窄带选频滤波器。光子带隙滤波器便于集成， 可以和其它电路元件有机地结合起来，同时又不会占用过多的电路空间。光子带隙 结构用于微带电路可以改善其多方面的性能。 4 p b g 微带线 普通的微带线加了光子带隙结构后在不同的频率范围内可作为低通、带通、带 阻、高通滤波器。 5 在高功率器件中的应用 1 9 9 9 年m a s h a p i r o 等人将三角形格子的光子晶体应用于加速器单元。其工作 频率选在1 7 1 g h z 。工作模式为准t m 0 1 0 模。与传统t m o l 0 模相比，该光子晶体谐 振腔具有以下特点：具有纯净的模式；传统尺寸大；输入耦合不发生频偏。 4 第一章绪论 产生2 5 k w 的峰值功率，在二 作频率的3 0 没有模式竞争同年，m a s h a p i r o 1 8 】等人 对带有输入耦合的p b g 腔进行了理论研究和冷测，工作模式是t m 0 1 一l i k e ，实验中为 顶点耦合，工作频率是1 7 g h z ，由矢量分析仪可以得到工作于欠耦合。 黪 图1 - 31 4 0 g h z 的回旋管p b g 腔 光子晶体还有应用于返波振荡器的例子。国防科学技术大学光电科学与工程学 院的陈波，提出了一种新型的具有光子晶体带隙( p b g ) 结构的返波振荡器( b w 0 ) ， 利用p b g 禁带对b w o 工作及输出微波模式进行调制，抑制低次模式，工作在高次模 式。通过数值模拟给出了介质柱p b g 结构的能带图、禁带i i 艮$ j j 模式电场分布和周 期慢波结构的色散关系曲线，选择晶格常数为0 3 1 c m ，介质柱半径为0 1 2 c m ，介电常 数为4 0 的三角格子p b g 结构可以实现在k a 波段的单一类t m 0 3 模式工作，在3 6 - - 4 0g h z 的频率范围内，器件可以工作在返波状态，周期长度为0 4 c m 。 i 纠1 _ 43 6 4 0 g h z 的返波振荡器 1 3 2 光子晶体的理论研究方法概述 数值计算方法是设计、分析光子晶体的重要理论工具，目前研究光子晶体的 数值方法主要有两大类：笫一类是已有的用于分析光波导的通用的数值方法，如 时域有限差分法【2 1 】、光束传播法【2 2 瑙】、有限元法【2 4 】、有限差分法【2 5 】等，这类方法 瀵一鹱鬃露隧麟一麟麓麟 彰锄鲐籀戮锈翳翳翳黎雾一溪 蝴鳞孵缓瀚隧鞠嬲黝糍黟簇一 飘鳜蹶缀麟镧鞠绷缀嬲黝绣，。缓爹 缀獬罐霸滋翳熬麟嗽蹶耢奢o黝飘燃裙戮嗣鹚辫黝糍凇赣鳜鳓戳貔戮簇缀缓嬲缆缓 赣 电子科技大学硕士学位论文 具有通用性强、结果可靠等特点。第二类是专门针对具体光子晶体结构如光子晶 体光纤的新方法，如有效折射率法 7 1 、平面波展开法【3 】、多极法【2 6 埘l 等。这类方法 针对性强，在计算方面有其优势，如平面波展开法在计算光子带隙，周期孔包层 模的有效折射率效果好、计算量小；多极法可以获得很高精度的模式有效折射率 和损耗值等。这类方法主要是针对光子晶体光纤的频域特性的。在需要对光子晶 体光纤进行时域分析( 如研究光子晶体光纤中的非线性现象、耦合问题) 时，一 般仍需要采用时域有限差分法或光束传播法来进行计算。 1 3 3 光子晶体在太赫兹频段的应用 太赫兹( t e r a h e r t z ) 这一术语是f l e m i n g 2 0 】在1 9 7 4 年提出的，当时是被用来描述 麦克尔逊干涉仪的光谱线频率范围。太赫兹( t h z ，1 t h z = 1 0 1 2 也) 辐射通常是指波 长在1 0 0 3 m m 区间，频率从3 0 0 g h z 到1 0t h z 的电磁辐射，其电磁辐射区域位 于毫米波与红外光之间，如图1 5 所示。长期以来，山于缺乏有效的t h z 产生和 检测方法，与传统的微波技术和光学技术相比较，人们对该波段电磁辐射性质的 了解甚少，以致于该波段成为了电磁波谱中的t h z 空隙。从电磁光谱上，太赫兹 波段两侧的红外和微波辐射技术己经非常成熟，但是太赫兹技术却和邻近波段上 的这些成熟技术很不相称，从太赫兹辐射研究的历史来看，早期人们对太赫兹辐 射研究的兴趣主要是来源于大气对太赫兹波的强吸收，因此，早期太赫兹光谱技 术主要是被天文学家和化学家用于研究一些简单分子的转动和振动的光谱性质以 及热发射线等。从科学角度来看，太赫兹波谱也成为了电磁波谱中有待进行全面 研究的最后一个频率窗口。而光子晶体可以作为太赫兹波传播载体。 e l e c t r o n i c s 微波 o p t i c s t h z 可抛毙x 射线y 射线 d ck i l o m e g ag i g a l e r a p e f a e x a 忿l t a y o t t a i t h z i p s 一3 0 0 1 u n 一3 3 c m 一4 1 m e v 一4 7 6 。k 图1 - 5 电磁波谱 6 第一章绪论 而2 0 世纪8 0 年代以来随着自由电子激光器和超快技术的发展，产生了超短 激光脉冲选通半导体开关，为t h z 脉冲的产生提供了稳定、可靠的激发光源，使 t h z 辐射的产生机理、检测技术和应用技术的研究得到了蓬勃发展。t h z 技术之 所以引起人们广泛的关注，是由于物质的太赫兹谱( 包括发射、反射和透射) 具有丰 富的物理和化学信息。 太赫兹的特性决定了研究和开发太赫兹技术的现实意义，在物体成像、环境监 测、医疗诊断、射电天文、宽带移动通讯并体现了巨大的潜在应用价值，尤其是 在卫星通讯和军用雷达等方面具有重大的科学价值和广阔的应用背景，主要体现 在以下几方面。 第一，利用频谱的应用研究。每种分了都有特定的振动能级和转动能级，对太 赫兹波产生特定的吸收。通过研究生物组织和化学物质的特征谱，能够用来区别 化学成分，现在已经研究过的有甲基氟化物的太赫兹吸收谱和透射谱、甲烷和空 气混合燃烧时火焰的吸收谱、火焰中热水蒸气的吸收谱。虽然目前研究工作进行 得不够多，但是已经显示出巨大的应用潜力，将来可以进行疾病诊断、环境监测、 产品质量监控等许多方面的应用。 第二，利用时域谱的应用研究。相干太赫兹波与物质相互作用，通过振幅和相 位变化的测量，可以表征固体、液体和气体材料的电子、晶格振动和化学成分等 性质：可以研究材料的吸收系数、折射率、介电常数、频谱等性质：可以用太赫兹波 进行测量，例如太赫兹波透过纸张后，振幅和相位均会产生变化，据此可以计算 书本的页数和钞票的张数；把太赫兹波的发射和接收在同一器件上实现收发系统， 可以用来测量距离、传递信息，成为一种通讯工具；运用太赫兹波可以透过很多电 介质的特性，用十安全检查和无损检测。 第三，太赫兹波的成像。1 9 9 5 年利用太赫兹波成像的第一篇文章发表以后， 太赫兹波成像技术受到普遍重视，最初利用振幅的变化研究了塑料封装的集成电 路的内部引线等结构和树叶中含水量的分布图象。现在有很多新的成像技术出现 和正在进行深入研究，这些包括：( 1 ) 使用光电导偶极子t h z 射线的常规成像技术；( 2 ) 使用c c d 摄像机的电光t h z 摄像成像技术；( 3 ) 使用单周期脉冲t h z 射线通过时间 反演进行物体重构的成像技术；( 4 ) 利用基尔霍夫( k i r c h h o f f ) 移动的t h z 射线反射成 像技术；( 5 ) 动态孔径和暗场t h z 射线成像技术；( 6 ) t h z 射线计算机层析成像技术， 简称t h z 射线c t ；( 7 ) t h z 射线衍射层析成像技术，简称t h z 射线d t ；( 8 ) t h z 射 线显微镜成像技术，利用进场技术等手段，分辨率可以达到微米；( 9 ) s o m 2 0 0 m 距 离的t h z 射线成像技术。由于t h z 射线光子能量较x 射线光子能量低很多，不会 7 电子科技大学硕士学位论文 引起光电离和破坏，对生物进行活体检查更安全。因此，t h z 射线c t 在医学检查、 安全检查、环境监测、食品生产质量监控等许多方面存在巨大的应用潜力。 第四，宽带移动通讯。电磁波是很好的宽带信息载体，t h z 电磁波比微波能做 到的讯道数多得多，特别适合于卫星问及局域网的宽带移动通讯。国际通讯联盟 已指定2 0 0 g h z 的频段为下一步卫星问通讯之用，进一步的发展必定进入3 0 0 g h z 以上的范围，这实际上就是t h z 通讯。t h z 电磁波的光子能量约为可见光的光子 能量的四十分之一，因而利用t h z 电磁波做信息载体比用可见光或近红外光能量 效率高得多。从技术上看，t h z 雷达技术可以探测比微波雷达更小的目标和实现 更精确的定位，前者具有更高的分辨率和更强的保密性，因而t h z 雷达可成为未 来高精度雷达的发展方向，有望在军事装备和国家安全等方面发挥巨大作用。 第五，在t h z 技术中光子晶体主要用来制作一些功能器件。目前，已经取得 了一些研究进展：德国半导体研究所研究了t h z 波在光子晶体中的传播，结果表明， t h z 波在硅二维光子晶体中能很好地传播，理论和实验相符：德国f r e i b u r g 大学研 究人员应用激光化学蒸汽沉积技术，用a 1 2 0 3 陶瓷材料研究制作了t h z 波光子晶 体；美国圣芭芭拉大学研究人员研究制作了t h z 波光子晶体谐振腔；日本理化学研 究所最近利用多层约瑟夫结制作出t h z 光子晶体滤波器。 上述应用是基于对太赫兹的技术研究发展基础上的。事实上对太赫兹的研究 需要电磁学、光电子学、半导体物理学、以及微加工技术等多个学科的支持。从 这个意义l 来讲，太赫兹技术己经成为了一个新兴的领域。目前应用的核心是要 发展t h z 器件，包括t h z 辐射源、t h z 探测器、t h z 滤波器、t h z 波导等。 第二章计算方法 2 1 时域有限差分法 第二章计算方法 时域有限差分法( f i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i nm e t h o d ，缩写f d t d m ) 。是近 年来在光波导模拟中占有重要地位的一种数值模拟方法，它通过将麦克斯韦方程 在时间空间上离散化的方法实现对电磁波传播的模拟。它能够得到电磁波传输的 瞬态( 即时域) 信息，通过傅里叶变换即可得到相应的频域信息，可用于分析光 子晶体光纤的模场分布、色散、有效折射率、截止频率等等。 时域有限差分法由k s y e e 于1 9 6 6 3 0 】年首先提出，在以后的三十多年中经过 众多学者的努力，使之不断完善，现已基本成成熟。但是，在许多方面它仍在继 续发展，解决问题的能力和应用范围仍在不断地提高和扩大。时域有限差分法从 依赖时间变量的麦克斯韦旋度方程出发，在电场和磁场各分量交叉设置的网格空 间中，利用具有二阶精度的中心差分格式把各场分量满足的微分方程，转化为差 分方程。它在解决任何电磁场问题中均按初值问题处理，依时间步推进计算，并 在每一时间步交替地计算每一离散点的电场和磁场。虽然其本质上属于时域方法， 但也可以直接用于稳态电磁场的计算。 时域有限差分法的最突出优点是 1 节省存储空间和c p u 时间。如果用n 表示问题的离散点数，用矩量法进行计算 时所需的存贮空间与( 3 n ) 2 成正比，所需的c p u 时间与( 3 n ) 2 ( 3 n ) 3 成正比。而对 时域有限差分法而言，两者均只与n 成正比 2 适合分析复杂电磁系统。各种复杂的边界条件能自动地得到满足使得它能方便 地分析各种复杂的电磁结构，比如只需在空间点设定相应的参数，就能准确地模 拟非均匀和各向异性媒质。 3 适合于并行计算。由于有限差分法计算时，每个网格点的物理量只与其相邻网 格点的物理量相关，它特别适合并行计算。 4 适合于宽带分析。与频域法相比，在解决瞬态电磁场问题中，它还具有众所周 知的优越性，即不必经过傅氏变换就能直接得到系统的时域响应特性，只需在窄 脉冲激励下，在时域进行次计算，就能获得宽频带的各种信息 9 电子科技大学硕士学位论文 时域有限差分法的以上各种特性对解决光学中的各种电磁场问题都是非常重 要的。 时域有限差分法是在计算机的数据存储空间中对连续的实际电磁波的传播过 程在时间进程上进行数字模拟，在电磁场的辐射、散射等问题中，边界总是开放 的，电磁场将占据无限大空间，由于计算机的内存总是有限的，故只能模拟有限 空间。这就是说，差分网格将在某处被截断。如何处理截断边界，使之与需要考 虑的无限空间有尽量小的差异是时域有限差分法中必须很好解决的一个重要问 题。实际上，这是要求在网格截断处不引起波的明显反射，因而对向外传播的波 而言，就像在无限大空问传播一样。一种行之有效的方法是在截断处设置一种吸 收边界，使传输到截断处的波被边界吸收而不产生反射，这就起到了模拟无限空 间的目的。 吸收边界条件的研究历史，大致可分为两个阶段。第一阶段是2 0 世纪7 0 - 8 0 年代，共提出了4 大类吸收边界条件，它们是：基于s o m m e r f i e l d 辐射条件的 b a v l i s s t u r k e l 吸收边界条件；基于单向波动方程的e n g q u i s t m a j d a 吸收边界条件 ( 其中，包括常用的m u r 氏吸收边界条件) ；利用插值技术的廖氏吸收边界条件； 以及梅一方超吸收边界条件。这些吸收边界条件通常在仿真区域的外界具有o 5 到 5 的反射系数。第二阶段是2 0 世纪9 0 年代，由b e r e n g e r 提出了完全匹配层( p e r f e c t m a t c h e dl a y e r ，缩写p m l ) 的理论模型及在时域有限差分法中的实现技术，它可以 在仿真区域的外边界提供比上述各种吸收边界条件低4 0 d b 的反射系数，使吸收边 界条件的研究向前迈进了一大步。它将电、磁场分量在吸收边界区分裂，并能分 别对各个分裂的场分量赋以不同的损耗。这样一来，就能在边界得到一种非物理 的吸收媒质，它具有不依赖于外向波入射角及频率的波阻抗。据b e r e n g e r 报道， 使用p m l 可以使数据模拟的最大动态范围达到8 0 d b 。 时域有限差分法近期的一个重要进展是基于交错方向 隐式 法( a l t e r n a t i n g d i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ，缩写a d i 方法) 原理的时域有限差分法的提出和发展。 传统的时域有限差分法属于显式差分法，因而具有显式差分法的共同特性，解 的过程必须满足稳定条件。对时域有限差分法来说，就是必须满足c o u r a n t 条件 3 0 】。这就使得时域有限差分法的应用范围受到限制。比如，当要模拟的问题具有 微细结构时，为了准确地模拟其电磁特性，空间步长必须足够小。为了保证解的 稳定性，这时，时间步长也需相应地取得很小，这将使计算的总时间大为增加， 有时甚至不可实现。 l o 第二章计算方法 与显式差分法相反，隐式差分格式总是稳定的。隐式差分格式的缺点是需要通 过矩阵求逆或迭代求解大型线性方程组，计算复杂且量大。 1 9 5 6 年，p e a c e m a n 和r a c h f o r d 提出了著名的交错方向【隐式 差分法。其基本 思想是：对于空间变量为多维的偏微分方程，如两个空间变量( x ，y ) ，首先， 选取任一变量方向按隐式差分格式处理，而余下的变量方向按显式差分格式处理。 然后，交换隐式和显式差分格式处理的变量方向。对于每一步来说，解仍然是条 件隐定的。但是，两步复合的结果使得解是无条件隐定的。1 9 9 9 年，n a m i k i 首先 将其原理应用于时域有限差分法，提出了a d i f d t d 方法，并将其应用于二维t e 波问题的模拟，后来又将其推广至三维问题。 在本论文中，我们采用一种降维的二维时域有限差分法，结合b e r e n g e r 完全匹 配层( p e r f e c tm a t c h e dl a y e r ，缩写p m l ) 吸收边界条件来分析波导的模式等特性。 2 1 1 公式推导 主要的方法：将m a x w e l l 旋度方程根据采用的坐标系展开成分量形式，然后 利用中心有限差分离散，得到基本的f d t d 迭代方程。 设媒质的介电常数为，磁导率为“，电导率为6 ，磁阻率为p ，麦克斯韦方程 组的微分形式可以写为下列形式： _ o h + p h ：一v x e ( 2 一l a ) a f a f 占竺+ 仃e = v h f 2 1 b ) 如 式中，为是空间位置的函数。在本论文中，取斗o = 4 兀1 0 。7 ( h m ) ( 真空中的 磁导率) 。在三维p m l 边界条件下，直角坐标系中的6 个场分量被分解成： e x = e x ) ，+ e 。z ，e y - e ”+ e y z ，e z = e z x + e ：y ，h 。= h 。y + h 。：，h y 2 h y x + h y z ，h z _ h h z y 。此 时，麦克斯韦方程组成为如下形式： 。警+ 岛= 一等o 言+ 岛月叫一言 。等+ 成也= 鲁 。警+ 见= 一警 。警+ 成如= 等 ( 2 2 a ) ( 2 2 b ) ( 2 - 2 c ) ( 2 2 d ) 电子科技大学硕士学位论文 。譬+ 成比：一等( 2 - 2 e ) 。警+ 岛= 鲁 ( 2 _ 2 f ) 占鲁+ q 岛= 鲁 弘2 曲 占等+ 吒瓦= 一警( 2 - 2 h ) 占警+ 吒= i o h x ( 2 - 2 i ) 占警+ 吒= 一i o h , ( 2 - 2 9 占警+ q 吃= 等 弘2 k ) s 鲁+ q 岛= 一警 ( 2 _ 2 - ) 式中，呱，i j y 和a ：为电导率，p x ，p y 和p ：为磁阻率。 对于在z 方向( 传播方向) 上折射率均匀的媒质来说，任一场分量均可表示为： ( x ，y ，z ) = ( x ，y ，0 ) e 川2 ( 2 3 ) 式中多是z 方向的传播常数。因而有： 娑：一肿( 2 - 4 ) d z 将式( 2 2 ) 中场分量对z 方向求偏导的部分用式( 2 ，4 ) 代替。则公式( 2 2 b ) 、 ( 2 - 2 c ) 、( 2 - 2 h ) 、( 2 2 i ) 成为： 等旭也一j p e , ( 2 - 5 a ) u q 等+ p z h 旺= j f l e , , ( 2 - 5 b ) 占警+ 吒瓦= j p h , ( 2 - 5 c ) 占警+ 吒一j f l h , , ( 2 - 5 d ) 为减少计算量和所需内存，可将场分离为实部和虚部，从而得到相互独立和解 耦的两组公式，其中任意一组公式都可以完全表征波导结构的色散特性。只有在 一些椿常粲件下f 加分析其此且有各向异