2024-2025学年深圳北师大版八年级下学期期末数学复习题《平行四边形》解答题含答案

试题试题2024-2025北师大版深圳8下期末复习专题之平行四边形解答题一．解答题（共17小题）1．在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2．①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长．②探究BH与AF的数量关系，并给予证明．2．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，BF与AD相交于点E，且BE＝EF，AF∥BC．（1）求证：四边形ADCF为平行四边形；（2）若DA＝DC＝3，AC＝4，求△ABC的面积．3．如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AD＝13，AB＝20，BF＝5，求▱ABCD的面积．4．如图，△ABC中，点D在边AB上，E是AC的中点、连接DE并延长到F，使得CF∥AB．连接AF、CF、CD．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若△ADC为等边三角形，AD＝6，求DF的长．5．如图，已知▱ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．（1）求证：AB＝DE；（2）若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．6．如图，在▱ABCD中，点G、H分别是AB、CD的中点，点E、F在对角线AC上．（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：，使得四边形EGFH是平行四边形，并说明理由；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，OE＝OF，AE+CF＝EF，求EG的长．7．某数学兴趣小组成员学习了平行四边形的判定定理后，提出“还有其他方法可以判定一个四边形是平行四边形吗？”小组成员根据之前的学习经验，进行了如下探究．【发现问题】课本上的定理都是从边或对角线的关系来判定一个四边形是否为平行四边形，那可以从边与角的关系来探究新的判定方法吗？【提出猜想】猜想一：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；猜想二：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．【验证猜想】小组成员经过探索发现：猜想一为真命题，猜想二为假命题．请跟小组成员一起完善下列验证过程．（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上，连接AP，作线段AP的垂直平分线l，以直线l为对称轴，作出点C的对应点D，连接AD，PD．请在图中找出猜想二的一个反例图形，并说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝8，当四边形ABPD的周长与以A，B，P为顶点的平行四边形的周长相等时，AP的长为．8．（1）已知四边形ABCD，现有下列三个条件：①AB＝CD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；请从中选择两个能证明四边形ABCD是平行四边形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形ABCD是平行四边形．Ⅰ实践与操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AD于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）Ⅱ猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段CD、DE和BC的数量关系，并加以证明．9．已知△ABC．（1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段AC的中点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，在（1）的条件下，点E为BC边上一点且EC＝2BE，连接AE，取AE的中点F，连接DF、DE、BF，求证：四边形BEDF为平行四边形．10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF，AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）若AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求DE的长．11．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，交AC于点E，连接BE，过点C作CF∥BE，交ED延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形EBFC是平行四边形；（2）若BC＝4，EF＝8，AC=42，求AE12．如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线BD所在直线上的两个不同的点（不在线段BD上），AC与BD相交于点O．（1）下列条件：①CE∥AF；②CE＝AF；③BE＝DF，请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形AECF是平行四边形，且BD＝2DF，△BCD的面积为5，求△AEC的面积．13．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，点B的对应点B′恰好落在BA的延长线上，B′C与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．（1）求证：△B′BC是等边三角形；（2）求对折后重叠部分的面积．14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BD＝2CD，E是AB的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：①连接ED；②连接CE，交BD于点F；③连接AF，交DE于点P；④作射线BP，交AD于点H．（1）判断四边形BCDE的形状，并说明理由；（2）求证：BH⊥AD；（3）若EF＝3cm，BH＝8cm，求四边形ABCD的面积．15．已知：如图，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点．（1）若AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，∠EDF＝35°，求∠FBE的度数．16．已知四边形ABCD为平行四边形，点M，N分别是直线AD，BC上的点，且与点A，B，C，D不重合．（1）请在图1中画出你设计的图形，并添加一个适当的条件：，使得点M，N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形，并说明理由；（2）如图2，已知AC＝BC＝6，∠ABC＝30°，若四边形AMCN为平行四边形，且AM＝6，则MC的长度为．17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）已知AB＝5，AC＝6，若CD=12BE，求△

2024-2025北师大版深圳8下期末复习专题之平行四边形解答题参考答案与试题解析一．解答题（共17小题）1．在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE，如图1．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、R，如图2．①当CD＝6，CE＝4时，求BE的长．②探究BH与AF的数量关系，并给予证明．【解答】证明：（1）∵平行四边形ABCD中，点O是对角线BD中点，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADB＝∠CBD，且∠DOF＝∠BOE，BO＝DO，∴△BOE≌△DOF（ASA）∴DF＝BE，且DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）①如图2，过点D作DN⊥EC于点N，∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，∴EN＝CN＝2，∴DN=DC2∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，∴∠DBC＝∠BDN＝45°，∴DN＝BN＝42，∴BE＝BN﹣EN＝42−②AF=2BH理由如下：如图，过点H作HM⊥BC于点M，∵DN⊥EC，CG⊥DE，∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，∴∠EDN＝∠ECG，∵DE＝DC，DN⊥EC，∴∠EDN＝∠CDN，EC＝2CN，∴∠ECG＝∠CDN，∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，∴∠CDB＝∠DHC，∴CD＝CH，且∠HMC＝∠DNC＝90°，∠ECG＝∠CDN，∴△HMC≌△CND（AAS）∴HM＝CN，∵HM⊥BC，∠DBC＝45°，∴∠BHM＝∠DBC＝45°，∴BM＝HM，∴BH=2HM∵AD＝BC，DF＝BE，∴AF＝EC＝2CN，∴AF＝2HM=2BH2．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，BF与AD相交于点E，且BE＝EF，AF∥BC．（1）求证：四边形ADCF为平行四边形；（2）若DA＝DC＝3，AC＝4，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，又∵FE＝BE，∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝DB，∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC，∴四边形ADCF为平行四边形；（2）解：∵DA＝DC＝3，DB＝DC，∴DA＝DC＝DB=12BC，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，∴AB=BC2∴S△ABC=12AB•AC=12×3．如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若AD＝13，AB＝20，BF＝5，求▱ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，AE∥CF，在△AED和△CFB中，∠AED=∠CFB∠ADE=∠CBF∴△AED≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：由（1）可知，△AED≌△CFB，∴DE＝BF＝5，∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴AE=A∴BE=A∴BD＝DE+BE＝5+16＝21，∴▱ABCD的面积＝2S△ABD＝2×12BD•AE＝BD•4．如图，△ABC中，点D在边AB上，E是AC的中点、连接DE并延长到F，使得CF∥AB．连接AF、CF、CD．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）若△ADC为等边三角形，AD＝6，求DF的长．【解答】（1）证明：∵E是AC的中点，∴CE＝AE，∵CF∥AB，∴∠CFE＝∠ADE，在△CFE和△ADE中，∠CFE=∠ADE∠CEF=∠AED∴△CFE≌△ADE（AAS），∴DE＝FE，∴四边形AFCD是平行四边形．（2）解：∵△ADC为等边三角形，AD＝6，CE＝AE，∴AC＝AD＝6，DE⊥AC，∴CE＝AE=12AC＝3，∠∴DE＝FE=AD2∴DF＝2DE＝63，∴DF的长是63．5．如图，已知▱ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．（1）求证：AB＝DE；（2）若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，∵AF＝DF，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AB＝DE；（2）解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠AFB，∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝3，∴AD＝2AF＝6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，∵△ABF≌△DEF，∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．6．如图，在▱ABCD中，点G、H分别是AB、CD的中点，点E、F在对角线AC上．（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：AE＝CF，使得四边形EGFH是平行四边形，并说明理由；（2）连接BD交AC于点O，若BD＝10，OE＝OF，AE+CF＝EF，求EG的长．【解答】解：（1）AE＝CF．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形，故答案为：AE＝CF；（2）连接BD交AC于点O，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝10，∴OB＝OD＝5，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO的中位线，∴EG=12∴EG的长为2.5．7．某数学兴趣小组成员学习了平行四边形的判定定理后，提出“还有其他方法可以判定一个四边形是平行四边形吗？”小组成员根据之前的学习经验，进行了如下探究．【发现问题】课本上的定理都是从边或对角线的关系来判定一个四边形是否为平行四边形，那可以从边与角的关系来探究新的判定方法吗？【提出猜想】猜想一：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；猜想二：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．【验证猜想】小组成员经过探索发现：猜想一为真命题，猜想二为假命题．请跟小组成员一起完善下列验证过程．（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上，连接AP，作线段AP的垂直平分线l，以直线l为对称轴，作出点C的对应点D，连接AD，PD．请在图中找出猜想二的一个反例图形，并说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝8，当四边形ABPD的周长与以A，B，P为顶点的平行四边形的周长相等时，AP的长为7或43．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：四边形ABPD满足一组对边相等且一组对角相等，但不是平行四边形，理由如下，设l交AC于点Q，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵C，D关于对称，∴QC＝QD，又∵l垂直平分AP，∴QA＝QP，在△QPC，△QAD中，AQ=PQ∠AQD=∠PQC∴△QPC≌△QAD（SAS），∴∠C＝∠D，∵QD＝QC，QP＝QA，∴PD＝AC，∴AB＝PD，在四边形ABPD中，∠B＝∠D，AB＝PD，四边形ABPD不是平行四边形；（3）解：①以AB和AP为边时，如图所示，∵AB＝PD，∴当平行四边形ABMP的周长等于四边形ABPD的周长时，即2AB+2AP＝2AB+BP+AD，∴2AP＝BP+AD＝BP+PC＝BC，∴AP=12∵∠ABC＝60°，AB＝8，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴当AP⊥BC时，AP=AB2∴当AP=12BC＝4＜4②以AP和BP为边时，如图所示，过点作AE⊥BC于点E，则AE＝43，当平行四边形ANBP的周长等于四边形ABPD的周长时，∴2（AP+BP）＝2AB+BP+AD＝2AB+BC＝3AB＝24，∴AP+BP＝12，设AP＝x，则BP＝12﹣x，∴PE＝BE﹣BP＝4﹣（12﹣x）＝x﹣8，在Rt△APE中，AP2＝PE2+AE2，∴x2＝（x﹣8）2+（43）2，解得：x＝7，∴AP＝7，③以AB和BP为边时，2（AB+BP）＝24，∴BP＝4，∴P是BC中点，∴AP⊥BC，∴AP＝43；综上所述，AP＝7或43．故答案为：7或43．8．（1）已知四边形ABCD，现有下列三个条件：①AB＝CD；②AD∥BC；③∠B＝∠D；请从中选择两个能证明四边形ABCD是平行四边形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形ABCD是平行四边形．Ⅰ实践与操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AD于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）Ⅱ猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段CD、DE和BC的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）选择②③．理由：∵AD∥BC，∴∠A+∠∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠A＝∠C，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）（Ⅰ）图形如图所示：（Ⅱ）结论：CD+DE＝BC．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝CD，∵AE+DE＝AC＝BC，∴CD+DE＝BC．9．已知△ABC．（1）如图1，请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：作线段AC的中点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图2，在（1）的条件下，点E为BC边上一点且EC＝2BE，连接AE，取AE的中点F，连接DF、DE、BF，求证：四边形BEDF为平行四边形．【解答】（1）解：如图1中，点D即为所求；（2）证明：∵AF＝FE，AD＝DC，∴DF=12EC，DF∥∵EC＝2BE，∴BE=12∴DF＝BE，DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF，AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形．（2）若AD⊥BD，AC＝10，BD＝6，求DE的长．【解答】（1）证明：连接DE，BF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∵DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AE+OE＝CF+OF，∴OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC＝5，OB＝OD=∵AD⊥BD，∴AD=O∵DE⊥AC，∴OA•DE＝AD•OD，∴DE=AD⋅OD11．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，交AC于点E，连接BE，过点C作CF∥BE，交ED延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形EBFC是平行四边形；（2）若BC＝4，EF＝8，AC=42，求AE【解答】（1）证明：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD，∴△EBD≌△FCD（AAS），∴BE＝CF，∴四边形EBFC是平行四边形；（2）解：由（1）可知，四边形EBFC是平行四边形，∴DC=12BC＝2，DE＝DF=∵DE垂直平分BC，∴∠CDE＝90°，∴CE=DC2∴AE＝AC﹣CE＝42−25即AE的长为42−2512．如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线BD所在直线上的两个不同的点（不在线段BD上），AC与BD相交于点O．（1）下列条件：①CE∥AF；②CE＝AF；③BE＝DF，请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程；（2）若四边形AECF是平行四边形，且BD＝2DF，△BCD的面积为5，求△AEC的面积．【解答】解：（1）我选①．证明如下：∵CE∥AF，∴∠AFE＝∠CEF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADB＝∠CBD，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD，即∠ADF＝∠CBE，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF＝CE，∵AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；我选③．证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴BO+BE＝DO+DF，即EO＝FO，∵EO＝FO，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵四边形AECF和四边形ABCD都是平行四边形，∴OE＝OF，OB＝OD，AO＝CO，∴OE﹣OB＝OF﹣OD，即BE＝DF．又∵BD＝2DF，∴DF＝OD＝OB＝BE．∴S△COB∴S△COE＝2S△COB＝2×2.5＝5，∴S△AEC＝2S△COE＝2×5＝10．13．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，点B的对应点B′恰好落在BA的延长线上，B′C与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．（1）求证：△B′BC是等边三角形；（2）求对折后重叠部分的面积．【解答】（1）证明：∵△CDE为等边三角形，∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠BCB′＝60°，∵△AB′C由△ABC翻折而成，∴BC＝B′C，∴△B′BC是等边三角形；（2）解：根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA=12∠∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3cm，∴∠EAC＝∠BCA，∴∠EAC＝∠ECA，∴EA＝EC＝3cm，∴∠DAC＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝2CD＝6cm，∴BC＝6cm，∵CD＝3cm，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，∴AC＝33cm，∴S△ACE=12S△ACD=12×12AC×CD=114．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BD＝2CD，E是AB的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：①连接ED；②连接CE，交BD于点F；③连接AF，交DE于点P；④作射线BP，交AD于点H．（1）判断四边形BCDE的形状，并说明理由；（2）求证：BH⊥AD；（3）若EF＝3cm，BH＝8cm，求四边形ABCD的面积．【解答】（1）解：四边形BCDE是平行四边形，理由如下：∵AB＝2CD，E为AB的中点，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形；（2）证明：由（1）知四边形BCDE是平行四边形，∴F为BD中点，∴AF是△ABD的中线，∵DE是△ABD的中线，∴BH是△ABD的中线，∵AB＝BD，∴BH⊥AD；（3）解：∵E是AB的中点，F为BD中点，∴AD＝2EF＝6cm，∴S△ABD=12×AD×BH=1∵S△BEF∴S△BEF=14S△ABD＝6cm∵四边形BCDE是平行四边形，∴S△BFC＝S△DFC＝S△BEF＝6cm2，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BFC+S△DFC＝24+6+6＝36cm2．15．已知：如图，E、F