（基础数学专业论文）关于向量场的hardy不等式rellich不等式以及唯一延拓性.pdf

两北工业人学硕l j 论文 摘塑 摘要 在论文第一章中，我们提出了一类比广义b a o u e n d i g r u s h i n 算予更为 广泛的双权退化椭圆算子。通过改进d a m b r o s i o d a 2 1 中的方法，我们建立 了与双权退化椭圆算予相联系的h a r d y 不等式。这个结果包含了文献 d a 2 1 中已有的不等式。 在第二章中我们沿用钮鹏程、张慧清和王勇借助h e i s e n b e r g 群上的p i c o n e 恒等式得到r e l l i c h 不等式的思想，得到了两类不具有群结构的退化椭圆算子 在全空间上的r e l l i c h 不等式。然后我们采用d a m b r o s i o d a l 建立h e i s e n b e r g 群中r e l l i c h 不等式的另一方法，在开子集中研究广义b o 算子的r e l l i c h 不等 式。这类不等式包含了已有文献中的结果。此外采用极坐标变换的技巧，我 们还得到了一类含余项的r e l l i c h 不等式。 在第三章中，我们沿用广义g r e i n e r 算子基本解、平均值定理、不确定原 理等，讨论相应于广义g r e i n e r 算子带奇异位势的方程一“+ w 甜+ v u = 0 的唯 一延拓性。 关键词：h a r d y 不等式， r e l l i c h 型不等式，唯一延拓性，双权退化椭划算子，j 、。 义b a o u e n d i - - g r u s h i n 算子 两北t 业人学颂i ：i 2 义 a b s t m c t a b s t r a c t i nc h a p t e ro n e w ep r o v es o m eh a r d yt y p ei n e q u a l i t i e sr e l a t e dt oac l a s so f d e g e n e r a t ee l l i p t i co p e r a t o r sw i t hd o u b l e w e i g h t t h i sc l a s so fo p e r a t o r si sm o r e e x t e n s i v et h a nt h eg e n e r a l i z e db a o u e n d i g r u s h i no p e r a t o r s t h u st h ek n o w nr e s u l t s o ng e n e r a l i z e db a o u e n d i g m s h i no p e r a t o r sb e c o m ep a r t i c u l a rc a s e sh e r e i nc h a p t e rt w o ，w ep r o v es o m er e l l i c ht y p ei n e q u a l i t i e sr e l a t e dt ot h e g e n e r a l i z e db a o u e n d i g r u s h i no p e r a t o r sa n dt h eg e n e r a l i z e dg r e i n e ro p e r a t o r s w i t hp i c o n et y p ei d e n t i t i e a t i e rt h a t ，w ee s t a b l i s h e dat y p eo fr e l l i c hi n e q u a t i t v u s i n gt h em e t h o dd e v e l o p e db yd a m b m s i o ，t h e s ei n e q u a l i t i e sa r eg e n e r a l i z a t i o n s o ft h ee l a s s i c a li n e q u a l i t y ，o b t a i n e de a r l i e ri nt h ee u c l i d e a ns e t t i n 譬b yr e l l i c h 。 n e x t ，at y p eo fr e l l i c hi n e q u a l i t yw i t hr e m a i n d e rt e r m sa r ee s t a b l i s h e db yt h e m e t h o do fd a m b r o s i o i nt h el a s t c h a p e r ，u n i q u ec o n t i n u a t i o np r o p e t i e sf o rg e n e r a l i z e dg r e i n e r o p e r a t o r sa r ee s t a b l i s h e db ys t u d y i n gt h es o l u t i o n so ft h es u b e l l i p t i ce q u a t i o n l l ? + 旁9 缸+ 阮l ：0 k e yw o r d s ：h a r d yi n e q u a l i t y , r e l l i c hi n e q u a l i t y ，u n i q u ec o n t i n u a t i o n ， d e g e n e r a t ee l l i p t i co p e r a t o r ，d o u b l e w e i g h t ，b a o u e n d i g r u s h i no p e r a t o r 两北t 业人学倾i j 论文 引言 在2 0 世纪5 0 6 0 年代，h 6 r m a n d e r 等人对于常系数偏微分算子作了较充 分的研究，使这个领域的研究( 即古典的偏微分研究) 得到长足的发展。 在1 9 6 7 年，h 6 r m a n d e r 发表了他的经典文章“h y p o e l l i p t i cs e c o n do r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ”( 见 h o 】) 后，由非交换向量场构成的线性及拟线性偏 微分方程的研究引起了国际数学界广泛的关注，并取得了巨大的发展，其中 h e i s e n b e r g 群是一个重要的代表，且最简单。从而大家通过研究h e i s e n b e r g 群上的性质开始，例如像f o l l a n d ，j e r i s o n ，b o n y ，b r i n i d e l l i ，g a r o f a t o 等专家在 这方面做了大量的工作，迄今已得到了大量的关于h e i s e n b e r g 群上的重要性 质，包括k o h n - - l a p l a c i a n 的基本解( 见 f 1 】) 、h a r d y 不等式、唯一延拓性以 及一些不存在性结果( 见 g l l 、 g l 2 、【l u l 、( l u 2 、【u 2 】) ，等等，目自订 该领域的研究仍不断取得进展。 近年来，由于退化椭圆方程的唯一延拓性、边值问题等研究的需要，建 立向量场的h a r d y 不等式引起了人们的普遍关注。g a r o f a l o g g r j ；重要的广义 b a o u e n d i g r u s h i n 算子三= 。+ l x l ka 。心 o ，x 彤，y 月“) ，通过给出基本 解及函数表示，建立了其相应的h a r d y 不等式。张慧清，钮鹏程 z n 从另 角度出发，由p i c o n e 恒等式导出了比 g 中结果更一般的h a r d y 不等式。本文 通过研究前人的结果，吸取前人的方法和技巧，得到了不具有群结构的退化 椭圆算予的若于结果。 最近文献 f g w ，f g m 在研究退化椭圆算子的h a r n a c k 不等式时提及一 类算子 晏( ( | x 。“十l y l ) 南芸 + 导( ( 1 x 8 “+ l y ) 去l x 。茜 受 f g w ，f g m 的启发，我们提出下列类比广义b g 算子更广泛的退化椭 圆算子 。 两北j | _ _ ：业人学颁1 论文 a 。= v 。v 。= x 2 + 坪， 其中 盯 o ，嘁“x 倒肚秽批( 旷1 + t y l ) 南丢，= ( ”训“嘉、 为相应的向量场。在第一章我们将致力于建立这一类双权退化椭圆算子的 h a r d y 不等式。 在1 9 9 8 年，a l l e g r e t t o 和h u a n g 在【a h 】中证明了欧氏空间尺”上的p i c o n e 型恒等式并利用此恒等式作了j 泛的应用，在利用p i c o n e 型恒等式时，不需 考虑区域边界形状问题，而难点只在于辅助函数的选择，文【a h 】中提到可利 用该恒等式证明h a r d y 型不等式。在2 0 0 1 年，钮鹏程教授等人在( n z w 】中将 此恒等式推广到h e i s e n b e r g 群上，然后证得了h e i s e n b e r g 群上的h a r d y 型不 等式和r e l l i c h 不等式。 我们在本文的第二章沿用这种思路、方法，将p i c o n e 型恒等式推广到黼 类退化椭圆算予：广义g r e i n e r 算予以及广义b g 算子的情形，从而得到了这 两类算子在全空间上的r e l l i c h 不等式。之后我们采用另一种新的技巧( 见 d a l ) ，再次研究广义b g 算予在有界域上的r e l l i c h 不等式，得到了欧氏空 间中r e l l i c h 不等式的推广式。这类推广式包含了已有文献中的结果。此外， 采用极坐标变换的技巧，我们还得到了一类含余项的r e l l i c h 不等式。 在【g l 】中，g a r o f a l o 和l a n c o n e l l i 利用k o h n l a p l a c e 算予的基本解、平均 值定理、不确定原理，讨论了相应于次l a p l a c e 算予的方程l u = 妇的唯一延 拓性。本文第三章中我们利用广义g r e i n e r 算子的基本解、平均值定理、不确 定原理( 见张慧清硕士论文) ，来研究与广义g r e i n e r 算予相对应的方程 一“+ 西v 甜+ v u ：0 解的唯一延拓性问题。主要想法是通过建立关于解”的不等式，从而得到解的 唯一延拓性。 两北工业人学顺。卜论文 籀蒂 第一章一类双权退化椭圆算子的h a r d y 不等式 1 1 准备知识 f g w f g m 在研究退化椭圆算子的h a r n a c k 不等式时提及一类算子 昙( i x 4 “+ i y l ) ；备鲁+ 参( x 8 十f y f ) 南i z l 。导， 受 f g w f g m 】启发，我们提出下列一类比广义b a o u e n d i g r u s h i n 算子更为广 泛的双权退化椭圆算子 其中 。= v 。v 。= z 2 + 坪，( 1 1 1 ) t = l j ；l ， k 1 工= “训丽善，y = 0 x ) ”1 训；w 番( 1 2 ) 为相应的向量场，盯 o ，0 k 0 ，( x ，y ) r ( 1 13 ) 通过简单计算知 五( 吒) = 无疋( x 。) r ( 色) = 五瓯( r ) 所以x ，r 关于伸缩族( 1 1 3 ) 是一次齐次的，故。关于此伸缩是二次齐次 的，盯的齐次维数为q = 警。 由伸缩( 1 1 3 ) 诱导的个拟距离为 嗍= j ，) l = | x r + ( 川) 2 州骊， 4 ) 该距离关于伸缩最也是一次齐次的。 函数“：qc 酞寸豫称为是径向的，如果“( 孝) = f l ，即“仅依赖二f 脚。 骢中以原点为中心，r 为半径的开球定义为 b r ( o ，o ) = f r “： r ) 设q = b 坞( o ，o ) b h ( 0 , 0 ) ( o sr r ：栅) ， c 1 ( q ) 是径向对称的。为后 文中计算“的需要，我们引入变量替换 孝= ( x 。，x ：_ ，y ，y ：，y 。) ：= ( p ，p ，舅，以小，蛾) ， 常义为 两北t j 业人学坝l 论义 i = p hf s i n o ) g r i c o s 0 1 1 = p 卜( s i n6 a ) g ；5s i no ls i no 。, k 、l = p 卜( s i n o ) 7 五ts i n 0 1s i n 0 2 一1 1 _ = p 卜( s i n o ) i is i n o , s i n b s m = 志p 害c o s s q y 22 嘉_ c o s o s i n 0 9 ) c o s 哆 c o s o , ， i n 9 。i y + i = 六p 西i + a c o s o s i nc o s i n + c 。s ；= 六夕茜c o s o s i n c o ，s i n c 0 2 , s i n ， ( 1 1 5 ) 其中r 。 一p - q ，贝i j 址 ，缅d f 一p 和q ( 仃+ k ) p - p ， 竺1 字 m 斗噤1k 蹦川) 一岳1k ，一后一 、7 1 一 j 删任意谚9 ( 叫州m 孝产。 ，成立 ( 1 1 6 ) c 蛳p ”。w 器郧肌矿巾州p i 孝产善，( 1 2 1 ) 其中c q , p , a , f 1 p - - 型型掣= 特别地，若q p 1 ，则有 ( q 一口) ( 1 一七) + f 掣 p 器耘郴驴。舻托一吼n 2 纠 6 两北。广业犬学坝i ：论义 第一一盱 f 掣 9 挚锄v 9 臀蟛 押 f 口+ k ) p ， 一q ，譬h 他 f 半1 9 * 郧如刊”譬螈 n ( 1 + 仃) p ， 睢蜘，譬h 1 4 ) 注1 2 1 当仃= 0 ，k = 0 时，算子，即为定义在诹上规范的l a p l a c e 算子， 此时( 1 2 2 ) 式也就是经典的h a r d y 不等式。 定理1 2 2 设聆 p 1 ，则对任意的z f 谚9 ( q ) ，下面的等式成立 ( 警) j ，黔带始 2 ( 引蜡鄙带蟛 2 固 特别地，当k ：0 p ：2 时，我们有 ( 孚) 2f ) 爵邮( 孚) 2 静誓孵奸蝣 为证明上述结论，先规定一些记号： 设s 0 ，定义 铲h 窆# 卜。： ，= 1 ( h a + l - b 而l 0 0 ”1 + l y l ) 爵哆，。， 用记号v ：表示仃。v ，对任意向量场忍c ( q ，鼹) ，定义破v ；( 向) ：= 讲v ( 仃。向) ， 显然，当占= 0 时，= h ，并且有v 。= v ：= f r o v ，。= 坊( v 。) 。 设q 为酞中开子集，光滑向量场五c 1 ( q ，豫) ，且具有紧支集，根掘 7 孤北- e 业大学颂l 论文 第一- 章 散度定理有 旃j ；鸳= k j ；吒u d z = 0 ， ( 12 7 1 ) 其中u 为孢的单位外法向量，通过选取妄：= 川9h ， 其中 p 1 ，”q ( q ) ，h c ( q ，暴) ，则( 1 2 。7 ) 式可化为 l “i ”a i v ；a a f = p i “l p - 2 蹦v ：蹦向d 孝 事实上，由于蕊v ：船孝= 0 ，则有 r 1 2 8 ) o = 旃v ( m 9 矗p 善= m 9 讲y ( 吒 ) + c r e h v ( i 甜n ( f 孝 = 氐”咖；矗蟛+ 厶矗v ：删”旃v 矽f + 1 1 吒向詈( 蹦2 ) 争2 溉，蝣 = 胁f ”d i v 矽+ 厶p “v 向蝣 为证明定理1 2 1 及定理1 2 2 ，我们先证明下面的定理该定理在证明h a r d y 不等式的过程中起到了至关重要的作用 定理1 2 3 设s20 ，hec 1 ( q ，r ) ，且满足壤1 z o ，则对任意的p l 和1 g q ( q ) ，成立 州9 威v 剿f p7 州”眦矗r 叫阿 9 蝣 ( 1 删 证明：由d i v ；( h ) 0 ，( 1 2 8 ) 及h 舀l d e r 不等式，得 址慨蟛印吖- l | 圳跏防“m 川( 挑纠等赤阵啦善 - t ” j 善( 1 2 1 0 ) 整理( 1 2 1 0 ) ，即得( 1 2 9 ) 式。 定理1 2 1 的证明 不失般性，我们考虑光滑函数“g ( q ) ，令占 0 ，定义 8 芦j 、 d ，一2 、il， 2 ，f-_1、 。一pfl， ，。，。，l 三， 、ill-， 鼻b d，r f 旷 vd 西北1 “业人学f i 蛳卜论文 第落 成：= p 州+ ( 州) 2 l y l 2 骊， 以及向量场 由简单计算得 h ：( 孝) = 群” + l y l ) 。+ 1 h ! ) 州恸v 去矽h 2 = 去d i v 彬( 1 + c r ) y r f 叫x l ： + v 去 ( 瑟口，形一： = 1 + v i l l 群 i 。2 2 ji 八( 1 + 口) 形 = 筹 + ( ，竹c 口十，+ 一口c 一七，) 譬 ， 牡避伊 群( w “+ i y 一。 令兵( ，) ：= 胛+ ( 脚( 仃+ 1 ) + 一口( 1 一尼) ) 占2 + ，2 r 0 ，则显然有 肿k ，+ 卅，瓣冰黑二蒜 由定理1 2 1 的条件，必有蕊噬 0 。在定理1 2 3 中取办= 噬，就得到 i“ip丢争以elxi，d孝p9|v：“19生堕二!兰二喜；三呈舌三一y i o z 善，c ，2 2 ， 腰v ，。i l x ijx i+ il ” s ：= m i n n ，玎+ m ( 1 + 盯) + 一口( 1 一尼) ) 0 ， 式右端被积函数的估计式 9 l h ( 1 1 2 1 1 ) 和，i 一 旦州 、ill， y 十 叶 x ，jll、 故负巨芎叵 旦州 中项m 而 右式- l _ j于妇 两北。f 业大学颧 。论文旃 v ；“ ，旷广阳”p “旷+ ( t + o - ) 2 ) j 即 霹、疋( 彬_ ( 旷1 十忑 ， ，”，阿印( ”4 盯+ ( 1 + 叮) 2 f 压8 由条件胛 ( 口+ 七) p 一，掣 一量! 兰警+ 口一+ ( 仃+ 七) p 及注1 1 1 知( 1 2 1 3 ) 式右端项是的。因此对( 1 2 1 2 ) 用l e b e s g u e 控制收敛定理令_ 0 ， 于是砷2 叭在n 2 中删选取( 哪) = ( 警如叫小 ( 口，) = ( p ，0 ) ，( 口，声) = ( o ，( 定一1 ) p ) ，相应地就得到了( 1 2 2 ) ( 1 ，2 3 ) ( 1 2 4 ) 。 定理1 2 2 的证明 选取 则 鼢磊杀1 4 ， 哆“1 + ”八叫 讲v ：磋2 专 胛一p 譬 j i 矗：i 2 ：_ 石：；= 兰i ：j 声 由于，? p ，故讲硭 0 令( 1 2 9 ) 式中h = 愿，则 己号笋，2p譬毒p9王2：了百一iv；“19 d 步 由条件门 p l ，0 k 幼，故右端项中被积函数有如下估计 中纠”寿叫q ) ， 两托t | 业夫掌硕 ：论文 第一夺 由l e b e s g u e 控制收敛定理，令。0 知( 1 2 5 ) 式成立，由手j h ，结合( 1 2 5 ) 于是有( 1 2 6 ) 也成立。 注意到由( 1 2 9 ) 式还可以导出一个关于向量场v 。在宽带区域q 上p o i n c a r e 不等式。 定理1 2 4 设q 为碾上的一一个开子集，假设存在r 0 ，f 为一实数， 1 ，2 ，且对v 善= ( x ，y ) q 有l x ，一f r ，则对于v “c g ( n ) ，成立 c l 材1 9 d 孝墨i v ，“1 9 d e ， ( 1 2 1 4 ) 其中c ；怛型吲。 印 证明：只需选取向量场 相应地有 j i z ： ! ： 胖“+ t y l ) 丽 d to h = 1 ， 俐= r ， ”1 + l y l ) ” 将h 代入至f j ( 1 2 9 ) 式知 吖鄙p ”f ：兰i v 刊叫睁v 刊 ( 旷+ l y l ) ” p l 亿2 。嘲 叫赤 v 刊磁 跚扯i 掣l 一心饯氩 两北工业大学碳1 沦艾籀帮 2 1 准备知识 第二章一类r e l l i c h 型不等式 在本章中，研究广义g r e i n e r 以及广义b g 算子的r e l l i c h 型不等式，由 于广义b g 算子是第一章中双权退化椭圆算予在k = 0 时的特殊情形，它的基 本性质可由自 ：砸双权椭圆算子的性质得出，这里不再赘述。本节我们只介绍广 义g r e i n e r 算予的基本知识。 广义g r e i n e r 算子 = 一( 弩) ， 其中x iu 瓦+ 2 a y , i z 尸昙，巧= 参一2 旷l z ，一，+ 西叱) ， g r e i n e r 算7 ：l ( k n i e 整数时) 首先g r e i n e r g 3 在多复变函数的逆凸区域边界的 性质时引进的。当k = l 时，l 即n h e i s e n b e r g 群上的次l a p l a c e 算子。三的广义 梯度为v 。= ( x ，一，k ，_ ) 引入，的一旅各向异性伸缩为 4 ( 纠) = ( 圮，一弘叱r 0 伸缩群 a t 伽的生成子为 拈：”旧xi-u甜，2kt导si x = ： 十y ，| +。j v ，| u i 设么= ( ) ( 2 州) 。( 2 川) ，其口9 = 岛，i = l ，2 胛，口2 川，。= 2 妙，| z2 k - 2 ，= 1 ，珂， 口：帅+ ，一2 k x 小r 2 ，= 1 ，? ，呲孤。= 4 k 2 阿扣2 ，则有三= d v ( 爿v ) 。 1 引入相应于向量场 一1 y 的拟距离d = ( 盯+ ，2 ) 丽因为d 关于僻l 缩 t 枷是一次齐次的，所以x d = d 。 两北t 业火学坝l ：论文 辩琶 令y ：翳 ，由于缈关于伸缩瓯是零次奇次的，所以x 杪= 0 。 另一个重要向量场肌扎毒一x ，斟 算知t d = 0 进而有丁够= 0 。 易知 故有 。， 1 v d2 万 且令9 = 雾，直鼢 一2x 扩“：y l 一， 2 k 删：击m i l z l 4 心k 2 y x + 一移蝌, i c - 2 1 2 幻圹。 由上面的计算缩果，并注意到d i v x = q 、d i v t = 0 可得 l d = d i v ( a v d ) = d i v ( d 1 沙爿) + d i v ( d “妒7 ) = d q g , d i v x + x ( 矗一1 r e ) + d 一1 q ) d i v t + t ( d 一1 缈)( 2 1 1 ) 一( q l 渺一( q 一1 ) l z l 4 卜2 = _ _ _ _ _ 。_ _ _ - _ _ _ _ _ - 一= _ _ - - _ 。_ _ _ _ 。_ 。h _ _ h - 。- 。一 dd 4 “一 又l v l d l 2 一们q 1 归+ 删紧。 ( 2 ，固 由( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 得 三( 厂( d ) ) = j v j d | 2 厂”( d ) + l d f + ( d ) 。 对于b a o u e n d i - g r u s h i n 型算子乞= ：+ i 。1 2 “，( 班 0 ，z 骢”，f r “) ，定k 的广义梯度v 。= 毒，毒，h 8 鲁，| 扩杀j ，记乙= 毒，乙= 参， z 。，阿番，则有。= 善2 ，2 - v = 坩小v 。 两l 丁业人学坝i 论文 第一母 2 2 广义g r e i n e r 算子以及广义b g 算子r e l l i c h 型不等式 本节我们将建立广义g r e i n e r 算子以及。1 义b g 算子的r e l l i c h 型不等式。 此处我们沿用钮鹏程教授等人在斟z w 】中得到的思路方法。本节的主要结果 是 定理a 设中c 苫( r 2 “1 o i ) ，p 1 ，l 为j 1 一义g r e i n e r 算予，则不- a 奇- 2 式_ k 阱+ 吣骈i * 1 b f 譬协 ( 2 2 )k 侧4 + c ok 巴而矿9 驾b 1 马矿( 2 圳 成立，这晕c 0 ，c 仅依赖于q 和p 。 定理b 设c 苫( r 7 o ) ，l 厂2 b gg - 子 ，一 l ，p 娶，则不等式 k 蝌“烯h 9 贸b ，f 烯协( 2 2 2 ) k l 妒卜c ok 炳坩贸ik l 豢丽忡 ( 2 2 2 ) 成立，这罩c o ，g 仅依赖于q 和p 。 2 2 1 定理a 的证明 引理2 2 1 若v 为q 内光滑函数，qcr 2 ”“，且满足v o ，v l ，则有 这晕 t ( u ，v ) = r ( u ，v ) 0 ， 地v ) = 胁p - - v “p - 1 l u l v 三vp - 2 + ( p 1 ) 刊u p 吖 叫川) 等气v ( 阳1 2 _ 2 詈v v + 告阶f ) ， 证明注意到 脚蚓驯_ 三( 茜) 眇r 2 v 两北工业火学坝卜论艾旃二嚣 又由计算知 及 三c 鲁，= 砉 fc 鲁，+ y ，2c 鲁， ， vlu p 、一 a 万， y ，( 万b t p ) = p u p l x ，( 甜) 一( p 一1 ) 甜9 v 一，( v ) v ，一j p u p l ，j ( h ) 一( p i ) 1 1 9 v 叫y ( v ) v p l ；( 等) = 击 p u p - v - x ；( “) 一( p - 1 ) u p v ? - 2 x ，2 ( v ) ( 2 2 3 1 2 ( p 1 ) p u ”v 9 2 x j ( u ) x ( v ) 一( p - 2 ) ( p - 1 ) u 9 v ”一3 j - ( v ) 。v ，( v ) ( 2 2 4 ) + p ( p 一1 ) u p - 2 v p - t x ，( “) - x ( “) + ( p 1 ) 2 u p v - p - i x ，( v ) x 小) 郴2 4 ) 式中x , m 艺替换，就删2 ( 鲁弘表达式 所以 矾2 万b l p ) = 击 p u - v ：- y 7 - ( “) 一( p - 1 ) l d p v p - 2 y 1 2 ( v ) 一2 ( p 一1 ) p u p l v p 2 ( “) 一( v ) 一( p - 2 ) ( p - 1 ) u ”v _ ( v ) 一( v ) + p ( p 1 ) “”一2 v p 叫巧( h ) 一( “) + ( p 一1 ) 2 蹦p v p 。巧( v ) y ，( v ) ( 茜) = 击 p u , - z v p - 1 l u _ ( 川) 以即三v 一2 ( p 一1 ) p u 9 v 7 “2 v l “v v 一( p 2 ) ( p 一1 ) u ”v 9 3 + p ( p i ) u p - 2 v p - 1l v 。”1 2 + ( p 一1 ) 2 u p v - , - il v 。v1 2 简单计算得t ( u ，v ) = r ( u ，v ) 。 所以 y - n v 0 ，若存在五， 0 ，l v 0 所以有 ( i l v l 帕三v ) 啄娑旷l + c 。可 z l ( 4 k - 2 ) p 旷 由引理2 2 1 ，定理a 显然成立。证毕。 2 2 2 定理b 的证明 引理2 2 2 若v 为q 内一光滑函数，qcr “”，盛满足v o ，乞v 1 ，贝0 有 这罩 互 v ) = r ( “v ) 0 ， t l ( u , v ) = 一p 等l a u l c ，v vp - 2 + ( 川) 了z l p _ p 叫川) 等| 分 p - 2 l ：v ( v 卜詈v v 。v + 吾f v l , v ! ) ， 证明注意到 其中 又 所以 她v h 驯9 ( 鲁p 2 如 ，甜p 、 k ( 万) 2 n + n 7z ；( 南l i p ) ， ，= l y z i 2云，t乙。毒厶斗r云，厶，tzioz。番沈1。 i d ，1：l i 。 乙( 万u p ) = 害z ；( 等) = 嘉 p u p - l v v - l 护( 川矽旷2 l v 一2 ( p 一1 ) p u t - i v p - 2 v v l , 1 1 2 - - ( p 2 ) ( p 一1 ) u p v r - 3v - ，v 切( 川u - 2 v - , l v “材卟2 ( p 一1 ) 2u p v - - i v i 2 通过简单计算显然有了j ( ，v ) = r t ( 材，v ) 。 又由y o u n g 不等式知 则有 等乞划计2 学lp + 幽qv 训ap ，* 1 乩 8 丽北丁：业人学坝卜论文 鲦：帝 一( “，v ) l 引理得证。 k “卜( p - i ) 苦i 加叫簪i 纠i 气。v 矾一托：v = 一旦q 冯) v t 厶v i ”叩( 川) 等l 叫( p - 1 ) 等一 1 “”1 + i 了l 岔v l p ) k v rl , ，v h v “ v ，“uv ；v 、， 1 “ 0 。 一兰v ，v v “ 定理2 2 2 令v c 。( q ) ，v 0 ，若存在a ， 0 ，k v _ c ra g ：1 “卜 这里s y ( q ) 是c 孑( q ) 在f o l l a n d s t e i n 空问s 2 ”( q ) 的完备化 证明假设cq ，紧致，取妒c 孑( q ) ，妒o ，则有 0 z z ，小z ， + ( p 一2 2 口) ( 旷1 ) 1 z p 一步2 q 啪_ h z ；1 d = 2 a ( p 1 ) f 托2 + 2 a ( p 1 ) i t z 2 。”一1 卜2d p 一2 _ 2 8 一1 + ( 一2 2 口) ( p 一1 ) e q 2 + ( 3 2 + 2 口) ( p 一1 ) l z l 2 。”d p 一2 2 。9 一一2 。， 其中删k d = 掣 因此 ”z ；z , 2 ( = 2 盯， i v , d 1 2 ：学 t 吾l + t l t 础1 2 ) 孙1 2 ) = 4 n 垆“， l 。( i l o v rk v ) = p w 。( 一2 + q ) p 1 三。( 酬p ”矗坝川) = l p 2 ( 一2 + 9 ) 。( p 1 ) 2 甜 胛一2 + 2 a ( p 一1 ) i t 。1 2 。 中2 d 芦。一州，叫1 + ( 一2 2 饼) q 一2 + ( 一2 + 2 口) ( p 1 ) i = | 2 印d 芦以州，一卜2 以。 2 一q p 1 c 0 = 一2 口f l p t p 2 ( f l _ 2 + q ) p 1 ( p 一1 ) 门- 2 + 2 c r ( p - 1 ) ， 2 0 一川 = 、l- 一 pv k卜 胪 d p 妇 = ，fii_ 乞 ，兰| d | | d ， zz 。一 q 一2 ，+， xam 矽 o 取选 两北下业大学倾，i j 论殳 第一帝 所以 c 。= i l p 2 ( 一2 + q ) 肛1 ( 一2 2 a ) ( p 一1 ) q 一2 + ( p 1 ) ( 一2 + 2 0 r ) 当心2 时，又由p 罢 l ，显然有g ，c ， o 。 讹v i 坤t v ) 巩篇广，茄 2 固 由定理2 2 2 ，知定理b 成立证毕 当刀= 1 时， 名：p m a x q ，l + 去 ，4 h 有c o ，c 。 。，( 2 2 5 ) 式仍成立，则( 2 2 2 ) 式成立 若璺2 o ， c i = p l p l p 2 ( 一2 + q ) p 1 ( 一2 - 2 a ) ( p - i ) e q 一2 + ( p - 1 ) ( f l - 2 + 2 a ) 0 。 所以 l 。( r l ov l ，】_ 讣c t 0 躺旷1 + c 1 瓣旷，。 v 盹。v ) c t 0 篆啬旷1 + c 1 赫旷1 。 由引理1 2 2 就有 k i l o 囝1 9 狐l + 。麟刚“瓣。 k 9 狐l + 。耘阱+ c t 驯扣眇。 2 3b a o u e n d i g r u s h i n 型算子的r e l l i c h 型不等式 欧氏空问r ”中( 【h l p 】， r f ) 掣等出p 灿 ( 2 3 1 ) 其中“四( r ”) ，门 4 以及其推广式在退化椭圆方程的唯一延拓性，边值问 题等的研究中起到了重要的作用。个很自然的问题是：关于一类退化椭圆 算子，特别地，对于b a o u e n d i g r u s h i n 型算子上= ，+ h 2 。，口 0 ，x 瞅， 2 两北 业犬学硕l 论文 箱一常 歹豫，是否也有类似形式的r e t l i c h 型不等式? 钮，张，王 n z w j 由p i c o n e 恒等式得到了t t e i s e n b e r g 群上左不变向量场的r e l l i c h 型不等式，本节采用 另一种技巧( 见 d a l ) ，建立了与( 2 3 1 ) 式形式类似的r e l l i c h 型不等式的推 广形式以及一类含余项得r e l l i c h 型不等式，本节的主要结果如下 定理2 3 1 设p 1 ，门 2 d 1 ，对于v u ( q ) ，不等式 。缈缮d 善 成立，其中巩以。= ( 聆一2 a ) ( 2 p ( 口一1 ) + ( 门一2 口) ( p - 1 ) ) p 2 。 f 2 3 2 、 定理2 , 3 2 设胛2 ，q = b 。，则对任意的径向函数“簖( q ) ，成立 。“2 黔m k 含“2 筘m 专甜2 芳郴胁) 2 根2 3 3 ， 其中l = o - 1 ) ( q - n - 1 ) ( n - 1 ) ( q - n - 1 ) + 2 m ( y + 1 ) 一n - 2 ， ? 。! = 2 ( n 一1 ) ( q 一”一1 ) 若q = i r ，则对任意的径向函数“巧2 ( r ) ，成立 _ 。列2 黔郴批科) 2 蛎 ( 2 3 _ 4 ) 这里d ；、2 ( r ) 定义为g ( q ) 按摸( 1 ，i a 1 2d 善广的完备化。 为叙述本节内容，我f l t 4 ；t i 下记号 设y 为一一正实数，善= ( x x 。，y ；，y 。) = ( x ，y ) 鼹”鼹= 取，q 为酞 中一开子集。定义a ，的广义梯度v ，= ( x l ，以，i ，k ，) ，其中向量场 夸言，匕州毒小k 胡小l ，圳， ( 2 3 5 ) 引入与向量场( 2 3 5 ) 相对应的自然伸缩 文( x ，_ y ) = ( 2 x ，护川， ( 2 3 6 ) 由伸缩( 2 3 6 ) 诱导出的一个拟距离记为 两北t ：业夫学硕卜论文 笫帝 l | 掌| i = | | ( x ，y ) | | = f - l x 【2 1 + + o - + 1 ) 2下西， ( 2 3 7 ) 函数“：q 专鼹称为是圆柱对称的，如果“( 亭) = “( h ，川) ，特别地，若 “( 善) = “( 阁1 ) ，则称函数“是径向的，即甜仅依赖= j f 二距离眵 若“c 2 ( “) 且为径向函数，通过简单计算知 争普卜铲 ( 2 3 8 ) r 中以原点为中心， r 为半径的开球b 凡定义为 b 。= 善豫：| i f l l r 。设q = b 一爵( 0 r l r 2 + o 。) ，“c 1 ( q ) 是圆柱 对称的， 为后文中计算立列的需要， 我们引入变量替换 f = ( x ，y ) = ( p ，统鼠，统一，鼠& 一、) ，定义如下 l _ ) ：l = , ( s i