（生物医学工程专业论文）基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究.pdf

基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 a b s t r a c t 】e d i c a lu l 仃a s o u n di m a g i n g su s em ed e t e c t e dv a r i a n c e so ft h es o u n dp a r n e t e r s ， s u c ha sr e n e c t i v i t v jt od i s p l a yd i f ：i e r e n tt i s s u e s o r g a n so fb u m a nb o d va n dt h ei n n e r s t r u c t l l r e s i th a sb e e nw i d e l yu s e di nm e d i c i n ea n di nc l i n i c s ，d u et oi t s1 0 w c o s t ， n o 仃 l u m aa i l ds a f e t v b u tl o wr e s o l u t i o ni st h es h o n c o m i i l go fm eu l t r a s o u n di m a g e s i t i m p a c t sm ed i a g n o s i s t h e r e f o r ei m p r o v i n gr e s 0 1 u t i o no fu l 仃a s o u n di i l l a g e si s a 1 1 i m p o r t a n ta 1 1 da t 仃a c t i v er e s e a r c ha r e a t h er e a s o no fm e1 0 wr e s o l u t i o ni nu 1 仃a s o u n di m a g e si si n t r i n s i c a l l vd u et ot h e c o n v o l u t i o nb e t w e e nm er e n e c t i v i t yo fd e t e c t e do b i e c t sa n dt h ei m p u l s er e s p o n s eo ft h e s y s t e m ，w m c hp r o d u c e si m a g e s t h ei m p u l s er e s p o n s ea n dt l ec o n v o l u t i o na r em ek e y f a c t o r s t h e r e f o r e ，i fm e r eh a v es o m ef i n em e m o d st of i n do u tt h ei m p u l s er e s p o n s eo f as p e c i 6 cs v s t e ma n dt od e c o n v o l v et or e m o v e l et w ob l u r r i n gf a c t o r s ，m er e s o l u t i o n o fu l t r a s o u n di m a g e sw i l lb ei m p r o v e d 1 1 1m i st h e s i st h eh i 曲e r - o r d e rs p e c t m ma n a l v s i sa n dw a v e l e tt h e o r yw e r eu s e dt o d e c o n v 0 1 v e121u l t r a s o u n di m a g e si n c l u d i n ga b d o m e n ，t h w o i dg l a n da 1 1 db r e a s t t h e 1 l i g h e r - o r d e rs p e c t m ma n a l y s i sw a su s e da t6 r s tt oe s t i m a t ei m p u l s er e s p o n s e ，a 1 1 dt h e n t h ew a v e l e t sw a su s e dt od e n o i s ea n dt od e c o n v o l v ei nw a v e l e td o m a i l l t h er e s u l t s s h o wt l l a tm ei n n e rh i e r a r c h j e sa n dt e x n l r e sa r ec l e a r e ra n df i n e re v e nm o r e k e y w o r d s ： u l t r a s o i l i c i m a g e ，h i 曲e r o r d e r s p e c t r a l ， w a v e l e t 缸e s h o l d ， d e c o n v o l u t i o n 2 基j 二高阶醋和小被分析的超声医学图像反卷积研究 课题的研究背景及意义 绪论 医学超声成像是利川超声波通过人体异组织时所反映的声学特征的差异来区分不同鲥 织，并显示出脏器的界面和组织内部的细微结构。这种检查方式结台了超声物理学、现代电 子技术和生物医学等多种技术，是继x 线成像技术后，在医学中发展晟迅速，应用晟广泛的 成像方法。 早在4 0 年代初人类就己开始探索利川超声检查人体。5 0 年代已经研究、利用赳卢构成人 体器官层断面图像。7 0 年代初又发展了实时超声技术，可以观察到心脏及胎儿运动。因为超 芦诊断的设备不似c i 或删设备那样昂贵，又可获得器官的任意断面图像还可观察运动 器官的括动情况，成像快速，渗断及时，无痛苦与危险，属于无损伤眭检查，因此，在i l 缶床 上获得了极为广泛的应川，是医学影像学中的重要组成部分。 超声诊断的不足之处在于图像的分辨率刁i 如c t 和m r i 那么高。除了超声成像过程中， 由丁超声在传播过程中的散射、衍射，环境原因产生的噪声等因素的影响，其最根奉的是因 为图像是由系统函数和被测组织的反射分布函数卷积生成的。卷积使分辨率f 降，卷积使图 像模糊。 显然，反卷积可以提高图像分辨率，改善蚓像质量。反卷积早在六十年代巾划已被广泛 地应用丁数字图像处理，是使降晰的信号和图像复原的基率方法f l 】。反卷积足图像复原的一 种标准技术。此外，它还常常应用于信号分析和建模，运用这种技术在很人程度上提高改进 了图像质量。该技术还广泛廊_ | = 【j 于科学观测，信息获取信息传递等众多领域，成为研究和 发展的重要工具。随着反卷积和信号复原的新应用领域和新要求的不断“ 现，反卷积技术和 方法电在不断地发展和进步。 本文的反卷积处理应用了两个理硷工具，小波分析和岛阶谱分析。 小波分析属于时频分析，是近年来发展起来的新的数学分支。传统的傅里叶分析是一种 全局分析，无法表述信号的时域或频域局部的性质。为了更好的分忻和处理信号，人们发展 了一系列新的信号分析理沦，小波变换就是其中的种，它被厂泛地应用在生物医学领域， 是医学图像处理的重要工具之一。小波变换是一种信号的时间一尺度( 时间一频率) 分析方 法它具有多分辨率分忻( m u l 雠s 0 1 t 1 1 i o n a t l a b b i s ，m r a ) 的特点，在低频部分具有较高的 频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时问分辨率和较低的频率分辨率。 硐此基于小波，叟换的反卷积应用于超卢图像，可以在保持区域平滑的同时保留图像的细节信 息，提高幽像质量的同时突出图像的特征，史好地辅助医生诊断。 高阶谱分析是三阶或三阶以上高阶统计量的分析。相对于二阶统计量的功率谱来说三阶 或i 阶以上的高阶统计量可以提供更多的干用信息能够有效地检测信号的相位信息，在信 号处理与系统分析中有重要地位，被广泛府用十所有需要考虑非高斯性、非最小相位、有色 噪声、非线性或循环平稳性的各类问题中，在通信、声纳、雷达、生物医学工程、语音处理、 地震信号处理、图像处理、系统辨识、自适应滤波和阵列处理等领域得到广泛应用 2 ， 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 国内外的研究现状 近几年来，为了提高超声图像的分辨率，改善图像的质量，以便于更好地提取有益于医 疗诊断的信息，发展了多种图像处理的方法，根据处理模式的不同，主要分为两个方向。 一类对图像中的加性噪声进行抑制或对图像进行区域操作，以提高图像质量。例如， 3 中采用了自适应滤波的方法，运用随机噪声的统计量均值和方差的简单组合作为自适应滤波 器的参数，抑制了加性噪声； 4 中采用了图像插值的方法，沿纵轴或横轴分别进行小波变换 后，采用极值点匹配的方法进行插值，然后进行小波反变换得到插值后的图像，图像可以较 好地保持运动目标轨迹的连续性。类似的这些方法都能在一定程度上增加图像的清晰度，但 对于提高分辨率作用不大，无法有效地消除由于成像系统的有限分辨率和其它因素造成的组 织信号模糊化。 另一类图像模糊化的原因归咎于成像系统的冲激响应和被测组织信号的卷积。冲激响应 和被测组织信号的卷积等价于对被测组织信号的一种滤波，实际的冲激响应总是形成一个低 通滤波器，使被测组织信号的高频成分受到抑制。因此可以利用反卷积技术，找回丢失的高 频信息。由于冲激响应函数是未知的，所以要先对系统冲激响应函数进行估计，再运用反卷 积的方法消除成像系统对组织信号的模糊作用，同时抑制噪声。例如 5 、 6 、 7 、 1 1 和 1 2 中分别提出了一维、二维及三维的同态反卷积( h o m o m o r p h i cd e c o n v o l u t i o n ) 方法和二维噪 声鲁棒性( n o i s e r o b u s t ) 盲目反卷积方法。这些方法在系统冲激响应的估计中都采用倒谱技术， 并且假设在倒谱域中，系统冲激响应与组织信号分布在不同的带限内，以此通过简单的低通 滤波和反变换即可得到脉冲回波信号的估计，然而，在实际的超声成像中，我们无法预知冲 激响应信号与组织信号是否确实局限于不同的带限内，在选定的冲激响应频带内有可能包含 组织信号的部分信息，而导致反卷积过程中的偏差； 8 、 9 、 1 0 运用了经典的谢e n e r 反卷 积，提高了图像的分辨率，并很好地去除图像中的噪声，但同时也失去了部分图像细节信息 ( 例如组织被膜分界) ，而超声图像中的这些细节信息很可能会影响到医生对病情的诊断，因 此在提高分辨率的同时也应尽量保留这些细节信息。 从两类方法处理得出的结论是采用反卷积的方法在提高超声图像的分辨率上有更好的效 果，同时也能抑制噪声。 课题的研究目标 课题研究的主要目的在于提高超声图像的分辨率。针对采样到的腹部、甲状腺、胸部的 超声包络图像分辨率较低的情况，将图像的模糊化看作在横向和纵向分别卷积了一个系统冲 激响应，由于组织信号和系统冲激响应都是未知的，因此课题的第一步工作是运用高阶谱方 法实现系统辨识，估计出系统函数。运用高阶谱技术的显著优点是在被测组织信号非对称分 布且加性噪声为高斯分布的情况下，系统函数和被测组织的反射分布是完全退偶的。得到估 计的系统函数后，利用此函数对图像的纵向和横向分别进行小波域反卷积，同时，降低加性 噪声，使图像中各组织的被膜分界、组织层次及纹理信息等细节更清晰、细致。 6 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 第一章超声诊断基本原理 1 1 超声的物理特性 超声波是在弹性介质中传输的一种机械波。大多数医学超声设备所用的超声频率一般在 2 1 0 m h z 之间。超声波在人体中传播具有以下特点： ( 1 ) 方向性好 超声在介质内以直线传播的过程中，明显受到超声波动影响的区域称为超声场。如果超 声换能器的直径明显大于超声波波长，则所发射的超声波能量集中成束状向前传播，称为超 声的束射性或指向性，这是超声可以对人体器官进行探测的基础。换能器的直径越大，超声 束的指向性越好，其能量越集中。 ( 2 ) 能量高 超声波频率高于声波，机械波的能量( 声强) 与频率的平方成正比，因此超声波的能量 远大于声波的能量，如l m h z 的超声波的能量相当于同振幅的1 i ( h z 的声波能量的1 0 0 万倍。 但随着超声波的频率的升高，在介质中衰减得也越快。 ( 3 ) 传播过程中的反射和折射特性 超声在人体中传播时，会发生反射和折射现象。人体介质有声阻抗，当超声经过两种声 阻抗不同相邻介质的界面，且界面特征尺寸大于波长时，发生反射，一部分声能在界面后方 的介质中产生折射。阻抗差越大则反射越强。如果界面特征尺寸比波长小( 称小界面情况) ， 则发生散射和衍射。超声在介质中传播还会发生衰减，即振幅与强度随着传播距离减小，衰 减与介质的吸收与散射有关。 超声传播时还会发生多普勒效应。相对声源运动的物体可改变反射波的频率。这种效应 可用来探察心脏活动及血流状态。 1 2 超声成像与诊断的基本原理 医学超声成像集成了超声物理学、现代电子学，信息学和生物医学等多学科的原理和技 术手段，是继x 线成像技术后，在医学中发展最迅速，应用最广泛的技术之一。它具有经济、 无创性、无痛苦、成像速度快、灵敏度较高、能反复进行和适合软组织诊断的特点。1 9 4 2 年 超声探伤的原理被应用到颅脑疾病这一医学领域，在2 0 世纪6 0 年代逐步形成一门独立的学 科并开始进入临床应用。超声成像技术从产生到现在成像的速度和质量都有了相当大的改善。 目前超声诊断仪器正朝着三维乃至四维成像的方向发展。 超声成像技术的成像原理有脉冲回波法、多普勒法和透射法三种。其中脉冲回声技术是 目前医学超声诊断中应用最多的一种。其主要原理是在弹性媒质中，向探测体发射超声脉冲 信号，经目标反射后，接收和处理其回声信号，检测出其中所携带的目标信息，从而确定目 标的方位和距离。此类系统按成像方式分为三种： a 型超声诊断仪( a m p l i t u d em o d e ) ，幅度调制型显示，荧光屏的垂直方向代表回波幅度， 7 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 水平方向代表探测深度( 时间) ，显示一维的回波幅度图。 m 型超声诊断仪( m o t i o nm o d e ) ，辉度调制型显示，荧光屏的水平方向代表时间，垂直 方向代表深度，显示人体内运动目标( 各反射界面) 的活动曲线图( 一维波形图) 。 b 型超声诊断仪( b r i g l l n l e s sm o d e ) ，辉度调制型显示。b 型诊断在医学中应用最为广泛， 它是将回声信号以光点的形式显示出来，为辉度调制。当声束扫查人体时可获得二维的切面 图像，荧光屏的水平方向表示切面宽度，垂直方向代表探测深度。组织内的背向散射信息和 界面的反射波信息是以亮度调制的方式显示的，即组织某部位的回波越强，则图像上对应部 位的亮度越亮。光点随探头的移动或晶片的交替轮换而移动扫查。由于扫查连续，可以由点、 线而扫描出脏器的解剖断面，使得组织的一个断层面上的超声信息能以二维分布的形式显示 出来。根据不同的成像原理，超声诊断仪可以按照图( 1 1 ) 所示分类。 f 超声全息成像 透射法 超声显微镜 l 透射型超声计算机断层成像( u c t ) 脚声诊断仪嚣羹萎 手动扫描 超声诊断仪 脉冲回波法 b 型超声诊断仪 机械扫描 多普勒法 1 2 1 超声设备概述 m 型超声诊断仪 电子扫描 蓁凳嘉塞阵扫) 实时成像 f 正弦波 连续波多普勒仪j 调频波 l m 序列的伪随机波 脉冲波多普勒仪 图( 1 1 ) 超声诊断仪分类 超声设备主要由超声换能器( t r a l l s d u c e r ) 、发射与接收器、显示与记录装置以及电源等 部分组成。图( 1 2 ) 所示为脉冲回声式超声设备基本结构 1 3 】。 8 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 图( 1 2 ) 脉冲回声式超声设备基本结构示意图 辐射波 回波 应用超声波进行诊断和治疗，首先要解决的问题是声发射和声接收。这由超声换能器来 实现。超声换能器的主要结构是压电晶体，根据压电晶体的反压电效应对之施加交变电场， 形成机械振动，产生超声波；超声波进入人体组织，遇到人体组织的不均匀结构时发生散射 与反射，由压电晶体又接收回波信号，通过正压电效应，将机械振动信号转换成电信号，送 入仪器，完成超声的发生和接收。晶体将电能转换成发射的声能，又将声能转换成电能并接 收，因此称为换能器。超声频率越高，其穿透深度越小。根据检查部位选用合适的探头。例 如眼的扫描用8 m h z 探头，而盆腔扫描，则选用3 0 m h z 探头。超声换能器一般有两种扫描 方式：线形扫描和扇形扫描。 1 2 2 超声图像的采集 实验中使用美国a t l 公司的h d l 3 0 0 0 增强多普勒超声诊断仪对人体进行采样，得到人 体不同部位的超声包络图像数据1 2 1 组，如表( 1 一1 ) 所示。 表( 1 一1 ) 超声图像数据列表 仪器型号人体部位中心频率( m h z )深度( m 加)数目 1 1 6l 1 2 43 1 3 75 8 腹部 4 1 4 93 6 a t l 1 6 51 6 1 9 92 甲状腺6 4 73 胸部64 02 1 3 系统设计 1 3 1 超声图像数据模型 现代医用b 超，无论是线形扫描或扇形扫描所获得的超声图像，通常都包含三部分信息： 主要部分是反映组织结构的有用信息( 也称为组织纹理) ；另一部分是由于系统成像分辨率等 9 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 原因造成的对组织纹理的模糊化信息；另外，由于超声波的散射产生的随机相位叠加，以及 仪器自身因素、环境设备因素等产生的随机噪声。要从获得的超声图像中恢复临床诊断感兴 趣的组织信号，需要针对图像的数据模型设计有效可行的处理方法。 b 型超声仪工作时，其超声断层图像是由许多扫描声线( a l i n e s ) 的信息组成的 3 。其 中的每一条线都称为超声信息线。每一根超声信息线是经过好几个过程才形成的。因此在最 后获得的图像数据中不可避免地在存在加性随机噪声z 例。另外，在超声成像过程中，由于 受到成像机制( 即被测量组织信号和系统函数) 的影响，获得的超声图像在横向和纵向上都 有不同程度的模糊化。超声图像的横向和纵向可近似看成是不相关的，因此可分别进行处理。 对于观测到的纵向图像信息y 例而言，把包括成像系统的影响等诸多因素造成的图像的降质 一起整体近似的看作是通过了一个线性时不变系统的卷积。这种模糊化的产生机理以及引入 的随机噪声可以由以下模型描述f 2 6 1 少( ，z ) = z ( ，z ) 半j i z ( 以) + z ( 刀) ，z ) = x ( 甩) 丰五( ，z )( 1 2 ) 式中x 俐是被测组织信号，矗例是系统函数，w 俐为经过卷积后的序列。同样超声图像的 横向信息也可以用上式所表述的模型来刻画。 本课题的主要任务就是提高超声图像分辨率，因此针对造成图像降质的原因，先去除加 性噪声z 例，然后估计出系统冲激响应函数矗( 刀) ，利用观测数据少( 胛) 和系统冲激响应函数 ( 玎) 进行反卷积运算，得出被测组织信号曼( ，z ) 。图( 1 3 ) 为系统反卷积原理图。 图( 1 3 ) 超声图像反卷积原理图 1 3 2 图像数据处理的系统设计 针对图像数据的模型，采取五个步骤，运用小波反卷积方法从超声图像数据中恢复组织信 号，如示意图( 1 4 ) 所示。 1 0 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 ( 四) ( 五) 图( 1 4 ) 数据处理的系统设计图 为了提高图像的信噪比，也为后继的处理能够稳定地进行，首先要对图像进 行预处理去噪，以消除随机噪声，为了尽可能保留图像的细节信息，采用了 小波域的阂值去噪方法； 系统冲激响应的估计也就是将系统由于有限成像分辨率等原因对组织信号产 生的模糊化效应量化到具体函数形式，本文采用高阶谱方法进行系统辨识， 估计系统冲激响应函数。 在获得系统冲激响应函数以后，采用维纳迭代法获得组织信号的功率谱估计， 用以调整( r e g u l 撕z e ) 系统函数，以防止反卷积过程中在系统函数的零点产 生奇异效应； 由于傅立叶域的反卷积的局限性导致无法很好地保存图像的边界等细节信 息，为了提高图像的细节质量，采用小波域的反卷积获得被测组织信号 最后运用了小波域的维纳经验滤波( w a v e l e t - b a s e de m p i r i c a lw i e n e rf i l t e 血g ) 对获得的组织信号进行消噪处理。以获得更完美的信号。 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 第二章小波变换理论研究 信号一般用时间作自变量来表示。通过傅立叶变换，信号可以分解为不同的频率分量， 就是说，信号也可以用频率作自变量来表示，称之为频谱。这就是大家所熟悉的时域或频域 表示。基于傅立叶变换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号在频域的特征，他们 在传统的信号分析和处理中发挥了极其重要的作用。但是傅立叶变换是一种整体变换，即对 信号的表征要么完全在时域，要么完全在频域，作为频域表示的功率谱并不能告诉我们其中 某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。而且，时频两域可以截然分开是以信号的频率 特征时不变或统计特征平稳为前提条件的，然而，实际上大多数信号，特别是生物医学信号， 由于生理特征或当时环境的影响，常呈现非平稳状态，其统计量( 如相关函数和功率谱) 是 时变的。这种状况下，时、频两域便不能截然分开，而这种不完全可分性会使傅立叶变换无 能为力。而且，在很多情况下，只了解信号在时域或频域的全局特征是不够的，最希望得到 的是信号频谱随时间变化的情况，为此，需要使用时间和频域的联合函数来表示，这种表示 简称为信号的时频表示，其中最典型的时频表示是小波变换。下面给出从傅立叶变换到小波 变换的演变过程，并重点讨论小波变换。 2 1 基本理论 2 1 1 傅立叶变换 对于平稳随机过程，傅立叶变换是信号分析和处理的基础，利用傅立叶变换可以将一个 时域信号转变到频域以分析其频域成分，有傅立叶变换对： f ( 国) = ，厂( f ) p 删衍 饨) 2 去，f ( 国脚如 ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) 从( 2 1 ) 中我们可以看出，由于这个积分值是对于整个时间域的，无论一个频率成分出现 在哪一个时刻，它对整个积分的影响都是相同的，也就是说，m 任何时刻的微小变化都会影 响整个频谱，反过来，任何有限频段上的信息都不足以确定在任意时间小范围的函数删。因 此说傅立叶变换属于一种全局或整体变换，也只能从整体信号的时域表示得到其频谱，或者 从整体信号的频域表示获得信号的时域表示。另一方面，傅立叶变换建立的只是从一个域到 另一个域的桥梁，它并没有把时域和频域组合在一起，这就是傅立叶变换不适合分析时变信 号的原因。只有当信号是平稳时，傅立叶变换才有意义。对于非平稳信号，傅立叶变换只给 出了信号的频率成分，却没给出这些频率成分在时域中的位置。当需要频谱成分的时域信息 时，傅立叶变换就显得无能为力了，这时需要提供一个能提供时频形式的变换方案。 2 1 2 短时傅立叶变换 那么我们可以设想非平稳信号的某一短时部分是平稳的，也就是说信号在某段时间内具 1 2 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 有固定不变的频率成分，因此我们可以采取加窗的办法将信号分解为足够小的部分，在每个 窗内观察信号时，信号均为静态的，这就是短时傅立叶变换的基本思想( s h o r tt i m ef o 嘶e r 胁s f o m ) 。 s 则”，( 叩) = ，木万i 予呖j ( 2 3 ) 短时傅立叶变换s 死嘭沏，丁) 具有明显的物理意义，它可以看作是信号刑在分析“时 间”f 附近的局部频谱，这是因为信号倒在时间丁的s 刀巧” ，丁) 就是信号乘上一个以f 为 中心的“分析窗”w ( f f ) 所作的傅立叶变换。 短时傅立叶变换以固定的滑动窗对信号进行分析，从而可以表征信号的局部频率特征。 因为时域的滑动窗处理( 即卷积运算) 等效于频域以滤波器组将信号分频段滤波，各个滤波 器的频率特性形状相同( 由窗函数决定) ，只是各中心频率沿分析的频带等间隔分布，也就是 短时傅立叶变换是以等宽的滤波器组对非平稳信号进行分析，并从各个滤波器输出的时间变 化得知不同时间的频率分量的分布情况。实际应用中我们希望用短的时间窗来描述时间f 的 信号特征，获得好的时间分辨率；而另一方面我们又希望窄带的滤波器来获得好的频率分辨 率，这就需要长的时间窗，可见两者是相互矛盾的。h e i s e n b e r g 不确定性原理告诉我们 1 出厂二，f 和厂分别是时间分辨率和频率分辨率，也就是所变换的时间分辨率和频 4 万 率分辨率不可能同时任意的好。 在傅立叶变换中，频域中是没有频率分辨率问题的，我们精确地知道哪个频率成分存在， 就像时域中也不存在时域分辨率问题一样，因为我们知道每一个时刻的信号值。反过来，频 域中的时间分辨率和时域中的频率分辨率则为零，因为时域中不存在任何频域信息，同样频 域中也不存在任何时域信息。在傅立叶变换域中之所以有如此完美的频域分辨率是因为傅立 叶变换中使用的窗函数是无限长的，它持续整个时间轴。而在短时傅立叶变换中窗函数是有 限长的，它只能覆盖信号的一部分，这使得频率分辨率变差。 于是，我们面临这样一个困境：选择一个无限长度的窗，我们得到f f t ，它提供了完美 的频率分辨率却丢失了时域信息；而为了获得平稳特性我们需要一个足够短的窗，在这个窗 中信号是平稳的；窗的长度越短，时间分辨率越高，信号的平稳性越好，然而频率分辨率也 就越低。 那么我们应该选择什么样的窗呢? 究其原因，问题在于在s 即巧”( 国，r ) 变换过程中我们 选择了单一的窗，也就是说s 卵巧”( 国，丁) 所提供的分辨率是不变的。很显然这种单一分辨率 的分析方法并不是对所有信号都适用。自然界中许多信号都具有这样一个特点：在信号的低 频端应该具有很好的频率分辨率，而在高频端应该具有好的时间分辨率。于是我们应该选择 变化的窗函数：在需要高的频率分辨率时，窗的长度应较长，而在需要高的时间分辨率时， 窗的长度应较短。而小波变换正具有这样的特性。 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 2 2 小波变换 2 2 1 小波变换的定义 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o m ) 是一种信号的时间一尺度( 时间一频率) 分析方法，它具 有多分辨率的特点，而且在信号的时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口面 积不变但边长可变，即构成窗的时间间隔和频带宽度都可以改变的时频局部化分析方法。 若函数y ( f ) nr 满足 q = l 铧揪 ( 2 4 ) 我们称y ( f ) 为一个基本小波或母小波，汐 ) 为y ( 国) 的傅立叶变换。将母小波经伸缩 或平移后就得到一个小波序列。 对于连续情况，小波序列为 y 础( f ) ：以- l 2 y ( 三兰) 口，6 r 口o( 2 5 ) 对于任意的函数厂( x ) r 的连续小波变换定义为： 吩( 啪) = ( 饨) ) 计“2 儿) 嘣等) 以 ( 2 _ 6 ) 其相应的反变换公式为 厂( f ) = 乞；n ：吩( 以搠以) 警 ( 2 7 ) 式中，a 为尺度因子，b 为平移参数。小波中尺度因子a 的作用是将小波在保持完全相 似的条件下“拉伸”或“压缩”信号。小波中的平移参数b 是简单地将波形沿时间轴平移。 r、 正像傅立叶变换将信号分解为各种频率成分的标准正交基函数族忙 一样，小波变换的基本 思想是：用一族同一空间的简单函数来表示或逼近某信号函数。这一族简单函数被称之为“小 波函数系”，他们是通过对某个基本小波函数进行平移和伸缩构成的。 小波变换的特点是对信号的滤波功能，通过小波变换将信号分解为低频近似分量和高频 细节分量，选出需要的分量做相加即可达到滤波效果。它在时域或频域都具有表征信号局部 特征的能力。其的窗口大小不变但形状可变，在低频部分具有较高的频域分辨率和较低的时 间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合探测正常信号中 夹带的瞬态反常信号并显示其成分，具有对信号的白适应能力。 连续小波变换中a 和b 的值都是连续变化的值，实际应用中信号行砂是离散序列，a 和b 也必须离散化，称为离散小波变换。令口= 2 ”，6 = 少，z ，则离散小波函数为 y 。( f ) = 2 一”7 2 y ( 2 一”f n ) ，l ，刀z ( 2 - 8 ) 1 4 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 禺_ 敌止父小汲父秧 ( m ，z ) = 2 “佗卜厂0 沙。，。( f ) 衍 ， 即 = 2 他饨矽。，。( 2 “f 一以) 衍 有了离散正交小波变换，则信号在任意精度上可以近似表示为 饨) = 删d m y 。( f ) 其中 d 州= ( ( f ) ，少删( f ) ) 2 2 2 多分辨率分析 ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) s m a l l a t 在1 9 8 6 年将计算机视觉领域内的多分辨率分析的思想巧妙地引入到小波变换 中，并且给出了一种子带滤波器结构的离散小波变换与重构算法。这一算法在小波分析中的 地位相当于经典傅立叶分析中的f f t ，奠定了离散小波变换在信号处理、图像处理等领域的 应用基础。 若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机 镜头由远及近地接近目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大 致的概貌。在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可观察到目标的细微部分。因此，随 着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观察目标，这就是多分辨率的思想。 多分辨率分析，又称多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。由于在各个不同尺 度或分辨率信号中常常包含有物理相关特征，因此对信号的处理和应用来说，信号的多分辨 率就显得尤为重要。多分辨率分析的实质是满足一定条件f 倒中的一系列子空间 巧，盼， 其定义如下 1 4 ： ( 1 ) 逼近性u 啬_ = r ( 尺) ；n 黑_ = o ) ； ( 2 ) 单调性巧c 巧一l ； ( 3 ) 伸缩性厂( x ) 巧营厂( x ) 巧一。； ( 4 ) 平移不变性厂( 2 7x ) _ 营厂( 2 7x 一尼) ，v 尼z z ； ( 5 ) 里兹( m e s z ) 基存在性：存在函数矽( x ) ，使得移 一后) ，尼z ) 构成的 里兹基，即对任意的矽( x ) 矿，存在唯一的序列口女，2 ，使得o ) = 口g 一后) 。其中 七 矽称为尺度函数。 1 5 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 ( 1 ) 式中u # 。巧= r ( r ) 表示u # 。矿在r ( r ) 中的稠密，也就是说由所有子空间可 以组成r 倒函数空间，这里空间巧就代表分辨率为的多分辨分析子空间( 尺度空间) ，并 且巧，矿子空间的交集为零空间。 由上可知，多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下扩张成的， 也即一个多分辨率分析 巧， 对应一个尺度函数。 如果 巧) e y 为三2 倒的一多分辨率分析，存在唯一的尺度函数矽( f ) 寥( 尺) ，我们记 办，女( f ) = 2 7 陀( 2 7 f 一尼) ， ，尼z 则对于所有_ ，z ，族钫，。t 。：是巧的一组规范正交基。 ( 2 1 2 ) 但e ，z j 对应空间相互包含，不具有正交性，为了寻找一组r ( r ) 空间的正交基，取 为巧在巧一。的补空间，即： 巧一。= 巧。彬， 且v f 有：彬上巧 若函数y ( f ) 的平移集合砂o 一尼) ，后z ) 是子空间的r i e s z 基，则称函数i f ，( f ) 为小 波函数，令y m ( f ) = 2 叫2 ( 2 一。f 一后) ，则砂灿( f ) i ，z z 是的规范正交基，这样小波函 数集m = 2 叫2 y ( 2 一，f 一尼) ，后z ) 就成为r ( 尺) 空间的一个规范正交基，称为小波 空间。 显然，任意子空间髟和巧是相互正交的，当川甩且m ，刀z ，必有r ( 尺) = o ， 因此慨 。z 构成了r ( j r ) 的一系列正交子空间，并且 = k0 彬= 砭o o = 圪。呢o o = 这样，对于任意函数厂( f ) 可以将它分解为细节部分彬和大尺度逼近部分k ，然后 将大尺度逼近部分k 进一步分解，如此重复就可以得到任意尺度上的逼近部分和细节部分。 1 6 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 2 2 3 离散小波变换 在信号处理中，函数厂( f ) 可以分解为离散小波级数： 饨) = 。，。d 。，。( f ) ( 2 - 1 3 ) m 其中d 。，。= ，y 删( f ) = 22 ( 2 ”f 一，z ) ， m ，z 忍，y ( f ) 为小波函数。 实际上由于多尺度分析提供了低通逼近，为信号的离散小波变换奠定了基础。对于函数 刷瓯2 ，可以看作某一逐级逼近的极限。每级逼近都是用某一个低通滤波函数矽( f ) 对厂( f ) 作 平滑的结果，当然逐级逼近的低通滤波函数矽( f ) 也作逐渐伸缩，也即说用不同的分辨率或不 同尺度函数来逐级逼近倒。因此刷可以通过它在尺度正交基下的展开式得到： 饨) = c 蛳丸，。( f ) ( 2 - 1 4 ) 其中。( f ) = 矽o 一胛) ，矽( f ) 为尺度函数。且： c o ，。= 然后，应用多尺度分析中巧= 巧+ 。o + l 又可以分解为： 饨) = c 蛳丸，。( f ) = c ，。么，。o ) + d ，。y 。，。( f ) ko 暖 ( 2 1 5 ) ( 2 一1 6 ) 依次类推，把刷在巧内的部分看作原始信号进行分解，又得到和耽内的分量，再对 乃内的部分进行分解，最终得到各个砀( ，= j ，2 ，3 内的小波系数： 饨) = c 加办，。( f ) + 屯( f ) ( 2 - 1 7 ) 此时，c j ，。和d ，。为j 尺度上的展开式，并且 c 如= ( 厂( f ) ，办，。( f ) ) = 厂( f ) 2 叫2 矽( 2 叫2 f 一以) 衍 r d 加= ( ( f ) ，y 加( f ) ) = ，厂( f ) 2 叫2 沙( 2 叫2 f 一胛) 以 r 1 7 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 经过若干次分解后，c 一0 ，例如对一个长度2 “的序列- ，d ，给定适当的误差界就 可以在某个，值( 即尺度) 上( 例如户彳) 终止分解。 对于信号的恢复，只要将上述分解算法倒过来，设 l m l = 2 以i ，矽( 2 f 一所) 矽o 渺 ( 2 2 0 ) l ，m 一 。= 2 力i ，矽( 2 f 一聊) y ( f ) 巩 ( 2 2 1 ) 则若已知信号在矿，和，空间内的系数，恢复它在y n 内的系数： c = c 如i + d 咖石 ( 2 - 2 2 ) n n 最终由( 2 1 4 ) 式恢复信号。 1 8 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 第三章基于小波变换的阈值去噪 医学超声成像和其他医学成像方法相比，具有对人体无损害、能够实时显示运动器官和 组织情况的优点。但是由于成像机制的原因，图像分辨率较差一直是超声图像的缺点。特别 是由于成像器官和组织结构的不均匀性，一些微小的结构不能为超声所分辨。此外，声波信 号的干涉现象，也在超声信号中形成了特有的斑点噪声，大大降低了超声图像的质量，也使 得对图像细节的识别与分析更加困难。为了提高图像的信噪比，也为了后继的处理能够稳定 地进行，有必要对图像进行预处理去噪。本章将立足于在提高信噪比的同时保存图像的细节 信息，采用非线性变换小波阈值法对图像进行去噪。 3 1 小波阈值去噪原理 3 1 1 小波去噪的发展 在传统的信号去噪方法中，最常用的是频域里的滤波方法以及时域里的平均方法。滤波 方法对去除信号和噪声的频带相互分离的确定性噪声较为有效，但对随机噪声( 例如白噪声) ， 其去噪效果则较差。时域平均方法在对信号进行足够多次的平均处理后能较有效的去除随机 噪声，但它要求信号必须有充分的长度来保证平均所需的样本数。然而，实际信号的长度一 般都是有限的，尤其是对于那些持续时间很短的信号，平均方法的使用将会受到很大限制。 小波变换作为一种新的信号处理工具，近些年来在信号去噪领域的应用也日渐增多，其 优良的去噪性能已越来越多地引起人们的关注和重视。1 9 8 8 年，m a l l a t 提出了多分辨分析的 理论，在此基础上，可利用小波分解与重构的方法进行滤波降噪 1 5 ；1 9 9 1 年，m a l l a t 提出了 奇异性检测的理论 2 2 ，根据这一理论，我们可以利用小波变换模极大值的方法去噪；1 9 9 4 年，d o n o h o 等人提出了非线性小波变换阈值法去噪 1 6 2 0 ，该方法由于具有良好的去噪性能 而得到广泛应用；1 9 9 6 年，c o i 劬a i l 在阈值法的基础上提出了平移不变量小波去噪法，它是 对阈值法的一种改进 2 1 2 2 ；此外，c h e n 和d o n o h o 提出了原子分解的基追踪去噪法 2 4 ： g o o d m 锄提出了多小波( m u l t i w a v e l e t ) 的概念 2 5 ，近两年来应用多小波去噪也日益成熟。 本文中采用非线性小波变换阈值法对图像信号进行预处理去噪。 3 1 2 小波阈值去噪原理 非线性小波变换阈值法也称为“小波收缩”( w a v e l e ts 1 1 r h 血a g e ) ，该方法主要针对于信号 中混有白噪声的情况，是当前各种小波去噪方法中应用最为广泛的一种。其基本思想是： 假设一个叠加了高斯白噪声的有限长信号可以由下式表示 y ( 行) = x ( 门) 术矗( 聆) + z ( 胛)( 3 1 ) z 例是一个独立同分布的高斯白噪声，若要从被噪声污染的信号y 例中恢复出原始信号 工砂，可以应用小波变换将信号在不同尺度下进行多种分辨率的分解，从而将交织在一起的各 种不同频率组成的混合信号分解成不同频段的子信号，得到不同分解层次上的小波分解系数。 噪声一般分布在高频部分，而信号的频率相对分布在低频部分。设置一个阈值，大于这个阈 值的小波系数认为是由信号产生的，小于这个阈值的小波系数认为是由噪声产生的，去掉这 1 9 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 些由噪声产生的系数然后对信号进行重构，就可以达到去噪目的。利用小波变换去除信号噪 声的数学模型如图( 3 1 ) ： 图( 3 1 ) 小波变换阈值去噪原理图 在假设已知小波阈值的情况下，算法的步骤如下 2 7 ： ( 1 ) 用离散小波变换将信号分解为各级小波系数 少( ，z ) = c 肌办，。( ，z ) + 嘭，。( 胛) 七七 得到各个尺度上的高频小波系数为 d ，女= ，= 1 ，尼= 1 ，2 一7 尺度，上的低频小波系数为 c - ，女= ，后= 1 ，2 ，2 。v 一， 它包含了信号的基本信息。 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 2 ) 对各级高频小波系数运用阈值法，可以选择硬阈值法或软阈值法，两种方法的计算式 依次分别为 弓，。= 刁。c 嘭，。，c r 2 一2 。，= 勺。 k 卜o l 乃，。i r ， o ，。= 7 ，( d ，。，仃2 一v 佗f ) = o l d j ，。l o d | k t jd j k t j d j ，k + t j d j 置一t j ( 3 5 ) ( 3 6 ) 其中盯为加性噪声的标准方差，采用绝对值中值偏差估计法( m e d i a i la b s o l u t ed e v i a t i o n e s t i m a t o r ) ，即取最细尺度小波系数的绝对值中值的i o 6 7 4 5 倍，为信号的总长度，即，z 的 最大值少，务为小波阈值。为了保存图像信号的基本信息，低频系数巳女保持不变。 2 0 基于高阶谱和小波分析的超声医学图像反卷积研究 ( 3 ) 运用离散小波反变换得到 夕( 刀) 即为估计的信号。 ( 3 - 7 ) 用阂值法去噪后的估计信号有两个特性 2 8 ：一是噪声几乎完全得到抑制；二是反映原 始信号的特征尖峰点得到很好的保留。该方法之所以比较有效，是因为小波变换具有一种“集 中”的能力，它能将信号的能量集中到少数几个小波系数上；而白噪声在任何正交基上的变 换仍然是白噪声，并且有着相同的幅度。因而相对来说，信号的小波变换系数值必然大于那 些能量分散且幅值较小的噪声的小波系数值而显得非常突出。若选择一个合适的阈值，对含 噪声信号的小波系数进行阂值处理，就可以达到去除噪声而不去除有用信号的目的。尽管所 恢复的信号丢失了一点细节，但仍将恢复出我们所希望的信号。同时，小波基的一个与众非 常不同的特征是它能同时作为许多空间无条件基。这将意味着收缩( s h r i i l l ( a g e ) 小波系数是同时 在许多不同范数下的“光滑器”，这种性质将导致对小波系数进行闽值处理即“小波收缩”使 估计信号产生近似最小上界的最优结果。 3 2 小波阈值的选择 小波去噪的一个重要问题就是阈值的选取问题，采用同一个小波对同一个信号进行去噪 时，阈值的选取直接关系到去噪效果的优劣。如果阈值选取过小，那么有一部分噪声小波系 数将不能被置零，从