（基础数学专业论文）凝固过程数值计算的模拟.pdf

摘要 铸件充型凝固过程的数值模拟研究涉及多门学科交叉，是国际上公 认的用电子计算机等高技术促进铸造学科发展的学科前沿领域。研究铸 件充型凝固过程数值模拟是提高铸件质量和铸造生产经济效益的重要方 法和途径之一，对材料成形加工学科发展和机械制造工业均有十分重要 的理论意义和应用价值。 本论文首先总结了凝固过程数值模拟的发展状况，对铸件凝固过程 应力场数值模拟技术作了理论上的探讨。在温度场模拟方面，对铸件凝 固过程中存在的问题作了讨沦，通过对铸件凝固过程中各换热边界条件 进行研究，建立了凝固过程的二维非稳态温度场计算数学模型；运用有 限差分方法对模型进行了离散，得到大型方程组，并利用超松驰迭代法 ( 即s o r 法) 解该方程组，并据此利用t u r b oc 编制了计算机程序。 通过上机运行结果分析，该程序实现了预期的目的，得到了凝固过 程的温度分布。结果分析表明，可以较为满意地模拟铸件凝固过程温度 场的分布，为进一步开展研究铸件凝固过程的数值计算模拟奠定了基础。 关键词：铸件；凝固过程；有限差分法：温度场；应力场；数值模拟 s i m u l a t i o nf o rn u m e r i c a le v a l u a t i o no fs o l i d m c a t i o np r o c e s s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a n e ：x uz h i h u i s u p e r v i s o r ：z h a n g l e i a b s t r a c t n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s e a r c ho fm o l df i l l i n ga n ds o l i d i f i c a t i o np r o c e s s r e f e r st om a n yi n t e r s e c t i n gs u b j e c t s i ti sa ni n t e r n a t i o n a lr e c o g n i z e df r o n t i e r w h i c hu s e s h i g ht e c h ( f o ri n s t a n c ec o m p u t e r e t a 1 ) t op r o m o t et h e d e v e l o p m e n to fc a s t i n gs u b j e c t t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s e a r c ho fm o l d f i l l i n g a n ds o l i d i f i c a t i o np r o c e s si so n eo ft h e i m p o r t a n t m e t h o d sa n d a p p r o a c h e st oi m p r o v et h eq u a l i t yo fc a s t i n ga n de c o n o m i c a lb e n e f i t so f p r o d u c i n g i th a sq u i t et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n da p p l i e dv a l u et ot h e s u b j e c td e v e l o p m e n to f m a t e r i a lm o l d i n gp r o c e s sa n dm a c h i n ep r o d u c i n g t h ep a p e rs u m m a r i z e dt h ed e v e l o p i n gs t a t u so fn u m e r i c a ls i m u l a t i o no f s o l i d i f i c a t i o n p r o c e s s ，c a r r i e dt h r o u g ht h e o r e t i c a ld i s c u s s i o no nt h e s t r e s s f i e l dn u m e r i c a ls i n m l a t i o nt e c h n o l o g yo fc a s t i n gs o l i d i f i c a t i o np r o c e s s i nt h e a s p e c to ft e m p e r a t u r e f i l e ds i m u l a t i o n ，i th a sb e e nd i s c u s s e dt h ee x i s t i n g p r o b l e m sf o rt e m p e r a t u r ef i l e ds i m u l a t i o ni nc a s ts o l i d i f i c a t i o np r o c e s s w e h a v ec o n s t r u c t e dam a t h e m a t i c a lm o d e lo ft w o d i m e n s i o n a l u n s t e a d y t e m p e r a t u r ef i e l db ya n a l y z i n gc a s t i n gs o l i d i f i c a t i o np r o c e s sa n dv a r i o u sh e a t e x c h a n g i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h es y s t e mo fe q u a t i o n si s o b t a i n e db y u s i n gf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dt od i s p e r s et h em o d e la n db ym a k i n gu s eo f s o rt or e s o l v et h i ss y s t e mo fe q u a t i o n ，w h i c hc a nm a k i n gc o m p u t e rp r o g r a m b yt u r b o ci nt h ew a y b ya n a l y z eo fc o m p u t a t i o nr u nr e s u l t ，t h i sp r o g r a ma c h i e v e sa n t i c i p a t i v e p u r p o s ea n do b t a i n st h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o no fs o l i d i f i c a t i o np r o c e s s t h er e s u l ta n a l y s i ss h o w st h a tw eh a v eb e t t e ra p p r o v i n g l ys i m u l a t e dt h e d i s t r i b u t i o no fs o l i d i f i c a t i o n p r o c e s st e m p e r a t u r ef i e l d t h e r e f o r e ，w e e s t a b l i s ht h eg r o u n dw o r kf o rf u r t h e rd e v e l o p i n gt h en u m e r i c a la n a l y s i sf o r t h ec a s t i n gs o l i d i f i c a t i o np r o c e s s k e y w o r d s ：c a s t i n g ；s o l i d i f i c a t i o np r o c e s s ；f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d t e m p e r a t u r ef i e l d ；s t r e s sf i e l d ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 本文主要符号说明 以下为文中所用的主要符号，其它符号在正文中给以定义 q 热流量 热扩散率 界面传热系数 传热系数 温度( k ) 铸件温度 环境温度 边界上的换热系数， 材料密度( 蛔m3 ) ， 材料的定压比热( j ( k g ，k ) ) ， 材料的导热系数( w i ( m 足) ) ， 散热系数 时间 单位体积的金属在单位时问内释放的潜热 质量固相率 凝固潜热( 1 ，培) 。 分配平衡系数 固相中溶质浓度 为液相线斜率 液相中溶质浓度 液相线温度，固相线温度 空问x ，y 方向上的步长和时问步长 等温面法线方向的方向导数 吼世丁巧t 尸五 口 ， g 一k 。 吒咒以 加一锄 论文背景 1 论文背景 11 金属凝固和铸造领域数值模拟研究概况 1 1l 研究发展历史 随着材料加工科学和技术的发展，凝固技术不断进步，并成为一门科学。凝固 科学与凝固技术相互促进，并进步促进先进材料加工科学和技术的发展，在国民 经济和国防建设中发挥着重要作用。凝固科学与技术体系的发展是建立在现代科学 的基础上，不断地阻数学、物理、化学及工程科学的新成就充实自己，同时又不断 从冶金、晶体生长、材料科学、空间科学、化工、电子、信息、计算科学等领域汲 取营养，迄今已初步构筑成一个凝固科学与材料凝固加工技术的应用与研究体系， 其应用目标是以控制材料组织结构为核心，进而控制构件形状并获得所需要的性能。 随着社会需求与科学技术进步的牵引，特别是新材料与制备加工技术的需要，推动 凝固科技向更深、更高、更精细和开发新的、综合性更强、超常规的方向发展：并 直接推动新材料的研究开发“。 凝固模拟是采用计算机模拟铸件的凝固过程，并以直观可视的形式把铸件的凝 固过程和缺陷位置等形象地显示出来，它是虚拟制造技术在铸造行业的应用和体现。 计算机模拟铸件的凝固过程不仅为铸造工艺设计提供了一种科学依据，而且为彻底 改变铸造生产劳动密集型传统模式，提高铸造技术水平，进一步发展铸造工艺计算 机设计( c a d ) 、计算机辅助工程( c a e ) 、计算机辅助制造( c a m ) 技术奠定了基 础。 数十年来，由1 二凝固理论、传热学、工程力学、数值分析和计算机软硬件技术 的巨大进展和日益更新，使计算机模拟技术在p c 机上得以实现，开创了凝固过程研 究的新局面。1 9 6 2 年丹麦的f o r s u n d 第个采用电子计算机模拟铸件的凝固过程， 此后美国、英国、德国、日本、法国等相继开展了这方面的研究。我国的铸什凝固 过程温度场数值模拟研究始于7 0 年代末期，沈阳铸造研究所的张毅高级工程师与大 连工学院的金俊泽教授在我国率先开展了铸造工艺过程的计算机数值模拟研究工 作，虽然起步较晚，但研究工作注重与生产实践密切结合，取得了较好的应用效果， 形成了我国在这一研究领域的研究特色。 凝固过程数值汁算的模拟 l12 国内外现状 自六十年代以来，国外许多国家都在这一方面投入大量资金和科研力量，已经取 得了可喜的研究成果：并正将这些成果应用于实际生产中。七十年代以来，日本在 铸件凝固数值模拟研究与应用方面相当活跃。以大阪大学的大中逸雄教授和日本日 立研究所的新山英辅教授所进行的研究工作为代表。大中逸雄教授研究中提出了 一种直接差分法，分为内节点和外节点法。其物理意义明确，单元划分灵活。新山 英辅教授认为，只要各单值条件处理得当，有限差分可以满足要求。 国内的凝固过程数值模拟研究开始于七十年代后期，发展速度相当快。经过近 三十年的研究和发展，内容不断深入并先后开发了一系列凝固模拟软件。这些软件 在国内的冶金、重型机械、汽车、电力和航天等行业的铸造生产厂家使用，解决了 许多实际问题【9 “_ 2 8 i 。 众多的院校与研究所进行了广泛的铸件凝固数值模拟基础性研究。大连理工大 学采用有限差分法进行了大型铸件凝固过程温度场计算，并利用数值模拟技术进行 冒e l 优化设计，通过反复修正冒e l 尺寸，计算铸件的凝固过程，使缩孔产生在冒f _ 1 底部而不进入铸件内，这样就可以得到最佳的冒口尺寸。其它单位，如沈阳铸造研 究所、西北工业大学、西安交大、清华大学、哈尔滨工业大学、北京科技大学等也 进行了一系列数值模拟技术的基础性研究，并与实际生产相结合，对生产做了一定 的指导。综合这些基础性研究主要包括以下几个方面： ( 1 ) 铸件凝固过程温度场数值模拟及基本方法的研究。其中包括有限差分法、有 限元法和边界元法及各种边值条件处理和潜热处理。 ( 2 ) 铸件凝固过程缩孔、缩松计算判据的研究。通过计算温度场中的温度梯度、 固相率、凝固时i 司等，用一系列准则来预测铸件在凝固过程中产生缩孔、缩松部位 及大小、产生时蚓e l 等，这对铸钢尤为重要。 ( 3 ) 铸件热应力、残余热应力、热缩变场等其它物理场的数值模拟研究。主要包 括铸件凝固过程中热应力计算、冷却过程中残余热应力训算、热裂纹敏感区和热裂 纹的预测等。 1 1 3 存在问题和未来发展 金属凝固与铸造过程的数值模拟已得到迅速发展与广泛应用。但在物理过程、 计算方法上仍存在许多有待进一步探索的问题。描述凝固与铸造过程的物理、数学 模型问题还需不断充实与深化。形核与生长、充型过程中的液体流动、凝固组织与 论文背景 机械性能等仍需补加入模型。完整的通用模型尚未建立。各种计算方法的适用性、 精度控制与误差分析，网格剖分还要进一步优化，许多模型虽有初步的实验验证， 但还需改进。基本方程的定解条件包括为数学模型提供可靠的金属、铸型材料的热 物性值及其温度变化的规律，各种铸造条件下求解基本方程时边界条件的确定等尚 要深入研究。此外在数值模拟与生产实际紧密结合等的一系列环节仍要加强工作。 如丰富各类软件资源，不断改善软、硬件配置条件，提高科学研究与工程技术人员 的计算机应用水平等1 2 6 , 2 8 】。 这些问题的逐步解决需要多个不同领域内的研究人员的通力合作与共同努力， 包括计算领域、计算机软件与应用领域、凝固理论与技术领域、铸造技术与工程领 域。这将非常有助于推动凝固数值模拟研究的进展。 展望未来，以充型凝固过程数值模型为核心的铸造c a e ，依赖于p d m 技术 ( p r o d u c td a t am a n a g e m e n t ) 将实现多学科协同工作( t e a mw o r k ) ，进行并行 体化没计。这样铸件凝固过程模拟不仅可以优化铸造工艺，还可以为其它设计人员 提供参考。 1 2 凝固铸造领域工程计算模拟 1 21 物理过程 铸件凝固过程的数值模拟是通过计算温度场的温度梯度、固相率和凝固时问等， 用一系列准则来预测铸件在凝固过程中产生缩孔缩松的部位及大小、产生的时间等。 通过这种预测可对所制定的铸造工艺方案进行修改，再通过数值模拟进行验证。 铸件热应力的数值模拟是通过对铸件凝固过程中热应力场的计算、冷却过程中 残余热应力的计算来预测热裂纹敏感区和热裂纹的。铸件应力的形成不仅影响铸件 最终的质量和使用效果( 裂纹变形等) ，而且影i 自： 艺设计的质量( 收缩量的准确给定 等) 。如果能模拟出铸件在给定工艺下的应力分布，就可修改工艺把铸件产生应力的 可能降低到最低限度，从而保证铸件的质量。但由于铸件的结构、铸型材料对铸件 凝固过程的影响是非常复杂的，这种模拟训算本身也很复杂，所以，应力的模拟仍 有很长的路要走“9 “+ 。 12 2 计算模拟 计算机数值模拟包括几何模型的建立，网格点划分，求解条件( 初始条件和边界 条件) 的确定，数值计算，计算结果的处理及图形显示。其所用的数值模拟的基本方 凝固过程数值计算的模拟 法主要是有限差分法，有限元法和边界元法。目前铸造中应用的较多的领域是”。“： ( 1 ) 凝固过程数值模拟，主要进行铸造过程的传热分析。包括数值计算方法的 选择，潜热处理、缩孔缩松预测判别，铸件、铸型界面传热问题处理。 ( 2 ) 流动场数值模拟，涉及动量、能量与质量传递，其难度较大。 ( 3 ) 铸造应力模拟，此项研究开展较晚，主要进行弹塑性状态应力分析。 ( 4 ) 组织模拟，目前尚处起步阶段。分宏观、中观和微观模拟。能计算形核数， 分析初晶类型，枝晶生长速度，模拟组织转变，预测机械性能。 自丹麦f o r s u n d 于1 9 6 2 年第一次采用电子计算机模拟铸件凝固过程以来，为铸 造工作者科学地掌握与分析铸造工艺过程提出了新的方法与思路，在全世界范围内 产生了积极的影响，许多国家的专家与学者陆续开展此项研究工作。在铸造工艺过 程中，铸件凝固过程温度场的数值模拟计算相对简单，因此，各国的专家与学者们 均以铸件凝固过程的温度场数值模拟为研究起点。继丹麦人之后，美国在6 0 年代中 期开始进行大型铸钢件温度场的计算机数值模拟计算研究，且模拟计算的结果与实 测温度场吻合良好：进入7 0 年代后，更多的国家加入了铸件凝固过程数值模拟的研 究行列中，相继丌展了有关研究与应用理论研究与实际应用各具特色。其中有代 表性的研究人员有美国芝加哥大学的rd p e h l k e 教授、佐治亚工学院的j b e r r y 教授、 日本日立研究所的新山英辅教授、大阪大学的大中逸雄教授、德国亚探工业大学的 r s h a m 教授和丹麦科技大学的e n h a n s e n 教授等。 1 9 8 8 年5 月，在美国佛罗里达州召开的第四届铸造和焊接计算机数值模拟会议 上，共有来自1 0 个研究单位的从事铸造凝固过程计算机数值模拟技术研究的专家和 学者参加了会议组织的模拟斧锤型铸件凝固过程的现场比赛。由于该铸件在l 何形 状上属复杂类型，模拟训算有一定的难度。从比赛结果看，绝大部分的模拟结果与 实际测温结果相吻合。如下图所示。 麟触 自h 图1 - l图1 2 在我国，7 0 年代末开始对铸件凝固过程进行计算机数值模拟研究工作，对凝固 4 2 凝固过程温度场数值模拟 工艺进行控制。以此为基础，在“七五”期间，沈阳铸造研究所组织了五校一所一厂 的联合攻关组，开展了题目为大型铸钢件铸造：1 二艺c a d 的国家重点科技攻关项目的 研究：l ：作。由研究所、大学和工厂组成联合攻关组，充分说明了我国在这一领域中 重视理论研究与实际应用的结合。在“七五”攻关课题研究中，对铸件凝固过程的数 值模拟、铸铡件的缩孔缩松判据、铸件热应力计算、浇注系统c a d 、冒口系统c a d 、 外冷铁工艺c a d 等进行了较为系统与细致的研究，开发出s i m u 一3 d 模拟计算及工 艺设计等一批软件，缩短了与国际先进水平的差距。9 0 年代至今，清华大学对铸件 凝固过程的温度场、流场和耦合场都进行了数值模拟，对铸造过程中产生的缺陷进 行了数值模拟，取得了很大进展。特别是铸造充型过程中温度场和流场是铸造研究 中的前沿问题，都进行了不少研究，开发出了自己使用的通用软件，在这一方面领 先于国内其他院校和研究所。并通过二维计算和三维计算的比较，认为对于三维形 状的铸件，只有进行三维温度场计算，才能真正模拟其凝固过程，用二维计算会造 成很大的误差。同时也用有限元对三维复杂铸件凝固过程进行了模拟，得到了比较 满意的结果。 2 凝固过程温度场数值模拟 铸件凝固过程温度场数值模拟技术是铸造过程应用计算机技术的一个较新的领 域。对铸件凝固温度场进行数值模拟，实际上就是“铸件一铸型一环境”之间的非 稳定热交换过程。本部分将阐述传热学基础内容。 2 1 热分析方法 工程技术领域中的传热问题，大致可分为两类。一类着眼于传热速率的大小及 其控制，或增强传热，或削弱传热。另一类传热问题，则着眼于温度分布及其控制。 本课题就属于第二类传热问题”。 通常某一瞬问，空间或物体内所有各点温度的分布，称之为温度场。物体内部 各点温度不同，在直角坐标系中即可表述为在某一日一刻，各点温度7 1 是空间坐标 ly ，z 的函数。如果这个温度场不随时间而变，则义可称为稳态温度场，其数学表达 式为t = f ( x ，y ，z )反之，如果温度场随时削而变，即各点温度不仅是空间坐标的函 数，而且还是时间的函数，则称为非稳态温度场，其数学表达式为t = f ( x ，y ，z ，) ， 此外，若某- - i n i 司的温度场是由三个坐标x ，y ，z 所决定，则称之为三维温度场，若温 度场仅与二个或一个坐标有关，则称之为二维或一维温度场。 凝固过程数值汁算的模拟 根据温度场可分为稳态温度场与非稳态温度场，相应的导热过程可分为稳态导 热和非稳态导热。对于稳态导热，总有孚：0 ，挈：0 ，( 丁一物体温度，- - 时间， d td t q 热流量) 即任一节点的温度场不随时间变化，通过垂直于导热方向不同地点截面 的导热热流量q 也不随时间变化。其导热微分方程为：v2 t + q v 丑= 0 ，( g 一热流密 度，五一导热系数) 当没有内热源时q v l 2 = 0 ；而非稳态导热又称瞬态导热，系统中 的温度、热流率、热边界条件及系统内能都随时间有明显的变化，不同于稳态导热。 凝固过程温度场数值模拟就是一个典型的瞬态非稳态热分析。 2 2 凝固过程的传热特点 凝固过程的传热符合传热的普遍规律，包括导热、对流换热和辐射换热 12 , 1 6 , 2 0 】。 ( 1 ) 导热 导热是指热量由物体的高温部分向低温部分的传递或由高温物体向与其接触的 低温物体的传递。其控制方程如下： q ：一a 挈( 2 1 ) 口= 一( z 【i 如果忽略内热源和流体作粘性功所产生的热量，热传导公式可以写成 鲁+ v 。罢+ v ，等+ v ：豢= a 。v 2 f c z z ， 式中q 为热流密度( w ) ，五为热导率( 2 ) ，“”表示热量流向温度降低 的方向，娑一等温面法线方向的方向导数，口，为热扩散率。 ( 2 ) 对流换热 对流换热是指依靠流体不同部分的相应位移，把热量由一处传递到另一处的现 象。分为自然对流和强制对流两在类。其控制方程如下： g 盯蔚= 口z ( c i ) ( 2 3 ) 式中口：为界面传热系数 ( 3 ) 辐射换热 辐射换热是另一种热传递方式。它是指物体由于自身温度的原因而向外发射可 见的和不可见的刺线来传递热量的方式。只要物体的温度高于绝剥零度，都在不停 地向外发射热辐劓，同时又不断吸收周围其他物体发出的热辐射。其控制方程女u 下： 2 凝固过程温度场数值模拟 一k 一( 酬 眨。， 式中k 为传热系数，巧为铸件温度，瓦为环境温度 以上述基本方程为基础，在一定的条件下即可进行凝固过程温度场及其演变过 程的计算。这些条件包括： ( 1 ) 物理条件( 指材料的热物性，包括它们是否随温度而变或是否均匀等条 件) ( 2 ) 几何条件( 凝固系统的几何形状及尺寸) ( 3 ) 时间条件 ( 初始条件) ( 4 ) 空问条件( 边界条件) 2 3 初始条件和边界条件 ( 1 ) 初始条件 初始条件是指求解问题的初始温度场，也就是在零时刻温度场的分布。它可以 是均匀的，此时有y l 。= t o ，也可以是不均匀的，各点的温度值已知或者遵从某一 函数关系，即t i 。= r o ( x ，y ，z ) ( 2 ) 边界条件 边界条件是指物体边界上的热交换条件。物体内部的导热现象总是与发生在它 边界上的各种传热过程联系在一起。因此边界条件的确定对整个物体的温度场分布 起着重要作用。温度场四周表面的换热条件称之为温度场的边界条件。热传导问题 的边界条件常以三种形式给出，分别称之为第一类边界条件、第二类边界条件和第 三类边界条件1 17 , 2 0 。 第一类边界条件( 又称d i r i c h l e t 边界条件) ，电称己知温度的边界。 温度场边界表而各点的温度随时问变化的规律，如果边界温度已经给出t = t o ， 或者通过实验，对测试数据进行处理，温度为位置与时问的函数，用函数关系式 7 = f ( s j t ) 表示出来，式中s 为边界上的动点，则计算温度场时，边界上节点的温度 是己知的。 第二类边界条件( 又称为n e u m a n n 边界条件) ，也称已知热流密度的边界。 已知热流密度是已知对流换热或己知辐射换热的一种特殊情况。根据边界上热 凝固过程数值计算的模拟 流连续，可得：g ：一五竽( 即给出物体边界上各点温度沿边界法向的导数) a 玎 第三类边界条件( 又称为r o b i n 边界条件) ，也称为对流换热边界。 可用如下表达式来表示： 一五娶：h ( t l ) u n 式中h 为边界上的换热系数，t 为边界单元温度，咒环境温度 2 4 传热过程的数学模型 为揭示温度随空问与时间的变化规律，须求助于傅立叶导热微分方程。三维控 制方程如下 9 , 2 0 , 2 7 】： 肛p o i t = 兄( a j z t t + 0 i 2 了t + - = o = z t i _ ) + q ( 2 5 ) 肛，百5 兄晤+ 矿+ 可) + q ( 2 - 5 g = 肛鲁 ( 2 6 ) 式中p 为材料密度( k g l m3 ) ，c 。为材料的定压比热( ，( 始女) ) ，五为材料的导热 系数( w ( mk ) ) ，7 1 为温度( k ) ，为时间，q 为单位体积的金属在单位时问内释放 的潜热，六为固相率，l 为凝固潜热( l ，垤) 。 ( 25 ) 和( 2 6 ) 联立整理得： m ，一上等，鲁叫窘+ 窘+ 窘， c ：， 一一三筹 则有：鲁叫窘+ 窘+ 窘， c z s ， 方程( 28 ) 的形式更适合于利用差分方法求解。剩下的问题就是看如何确定c 7 了， 图2 1 为合会状杰网的一角 2 凝围过程温度场数值模拟 t c sc oc l 图2 1 具有凝固温度范围的台金状态图 如图2 1 所示，由于 。= 立 c 7 1 一丁 = 一= 一 c l c 0 ，一c c 0 c l c ( 2 9 ) ( 21 0 ) ( 2 1 1 ) 上面三式中为分配平衡系数，c ，为- 固相中溶质浓度，m 为液相线斜率，气一 液相中溶质浓度，瓦一液相线温度，t 一固相线温度。 由上面三个方程联立可得： 疋5 而靠 盟：竺型 a t ( 1 一女o ) ( c o ，”十7 1 一瓦) 2 网贿c r 一碡志 ( 2j 3 ) 9 ( 1 一女o ) ( c o 坍+ r 一瓦) 、7 对于上式中的丁当采用隐式差分格式时为形1 1 另方面由( 2 5 ) 可变成另一种形式畔i ： 睑 凝固过程数值计算的模拟 i 8 t 刮百82 t + 蜜+ 可0 z t ) 州 ( 2 1 4 ) 百2 口【百+ 矿+ 可川 ) 其中口= 五( p 。) ，d 为导温系数，q = q ( p c ，) 上述为非稳态导热条件下的傅立叶导热微分方程。当为稳态导热条件时，有 o t ：0 研 2 5 凝固的潜热处理 在数值模拟计算中常用的的潜热处理主要有三种方法【他】：温度回升法，等价比 热容法及热焓法。 ( 1 ) 温度回升法 凝固开始的一段时间内，固相不断增多，但温度基本上保持在熔点附近，这是由 于所释放的潜热补偿了散热所引起的温度下降。由于热量的多少常以单元体的温度 变化来表示，因此可将这部分热量折算成所能补偿的温度下降，加到温度计算中去。 体积为a v 的液态金属凝固时所释放的潜热为z x q = 础a v ，如果这部分热量用 于提高自身温度，则温度应升高a t = a q ( p c 。y ) ，即a t = 上c 。潜热释放也可以 用固相率的增加来识别，即当f = l 时晚明凝固结束限。 温度回升法适合于纯金属或者共晶合金，它们都是在同一温度水平发生凝固 也是在孩温度水平上将所有的凝固潜热释放完毕。 ( 2 ) 等价比热容法 比热容是指单位质量物体降低单位温度所释放的热量。单位质量金属在凝固温度 范围内降低单位温度所释放的热量也可以理斛成比热容，实际上这个比热容包括两 部分即物体的真正比热容和潜热引起的比热容增加，称比热容为等价比热容或有效 2 凝固过程温度场数值模拟 比热容。等价比热容法是考虑了潜热释放后的热能守恒，将凝固温度范围内释放的 潜热换算成等价比热c 来代替比热c 进行计算，有如下定义： c ，：c 一三盟 ( 2 15 ) c 3 t 、。7 对于凝固范围内固相率与温度成线性关系的合金，这是一种很方便的潜热处理 方法。 ( 3 ) 热焓法 凝固过程中金属的焓可表示为： h = i i r c e d t + r 1 一z ) l 上式对温度求导，可得 8 h a r 将上式代入( 27 ) 可得： p 署叫窘+ 等+ 害， ( 2 1 6 ) ( 2 17 ) ( 2 1 8 ) 这利，方法与等价比热容法类似，适用于有一定结晶温度范围的合金。 对上述三种潜热处理方法作比较可知：温度i n y l 法的思路比较明确，实现也比 较简单，但是在程序设计中要分配大量的存储空间，而且温度回升法适用范围小。 热焓法适应面要广得多，但是热焓法引入了另一个物理量( 焓) ，计算相对复杂。 凝固过程数值计算的模拟 3 铸件凝固过程应力场数值模拟 3 1铸件凝固过程应力场数值模拟的数理模型 铸造过程应力场的模拟计算能够帮助铸造 工程师预测和分析铸件裂纹、变形及残余应力，为控制应力应变造成的缺陷、 优化铸造工艺、提高铸件尺寸精度及稳定性提供科学依据”“2 ”。 铸件的凝固过程都要经历液态、固液两相共存区和固态三个阶段，材料热物性 能和力学性能的变化很大，而且在某一时刻，铸件中可能出现三个区域共存的情况， 因此，铸件凝固过程应力场模拟涉及的应力应变本构关系非常复杂。如果铸件处于 液态区域，温度的变化不会造成热应力，因此，凝固过程应力场模拟主要考虑固液 两相区和固相区，又由于铸件在固液两相区和固相区的力学行为差别很大，所以凝 固过程应力场模拟也分为固液两相区的应力场模拟和凝固以后阶段应力场模拟两部 分。目前的模拟研究主要集中在凝固以后阶段，在固液两相区的研究工作较少。 31 1 ；疑固以后阶段应力场数值模拟 凝固以后阶段应力场模拟多采用热力耦合模型来模拟铸件凝固过程中的物理变 化，包括传热、应力应变及缺陷形成等。热力耦合可分为直接耦合、间接耦合，电 称为双向耦合、单向耦合。双向耦合一般用在f e m f e m 联合分析中，要求温度场 利应力场都采用有限元方法，这样就可以使用具有温度和位移自山度的耦台单元， 同时得到温度场和应力场的分析结果。单向耦合是首先进行温度场的分析，然后将 求得的温度作为载荷施加到应力分析的三维模型中。 铸造过程中的温度场和应力场是相互影响的。铸件将热量传给周围的造型材料， 从而使整个系统的温度分布发生变化，由于各部分的温度不均匀而在铸件中产生热 应力，同时，系统内热应力及变形功的一部分又转化为热量，进而又影响温度场的 分布。因此，严格地讲，凝固过程热一力耦合是双向耦合问题。但是，考虑到一般情 况下铸造凝固过程属于静态变形，变形速率很小，应力应变做功引起的热效应比起 温度变化和凝固潜热释放的热效应来显得微乎其微，因此可以忽略不计，所以，可 以用单向耦合的方法来简化处理，即热过程和应力过程解析j ) - , 3z 1 进行，先进行温度 场的计算分析，再将温度场模拟结果作为体载荷施加到应力场分析的结点上求解应 力。这样可阻简化热一力耦合问题，避免双向耦合分析所需的大量计算，缩短分析时 间。另外，热应力及变形功除了会产生热量，从而影响温度场的分布外，还会使铸 4 凝固过程的数值计算方法 件产生变形，影响铸件和砂型的传热边界条件和力学边界条件。因此，有些研究者 先预测铸件中的应力、应变，继而推测砂型和铸件之间的气隙和相互作用，并由此 计算界面热阻和力学条件，反过来再进行热分析，这样，就可以使热分析更加精确。 热一力耦合效应如下图3 - 1 所示。 。、 影响热边界条件影响铸件铸型边界条件 ( 气隙热阻) ，影响力学边界条件 ( 铸件悸型接触摩擦) j 、 l 、垫望塑 图3 1 热力耦合图 在此阶段应力分析所采用的计算力学模型主要有热弹塑性模型、热弹粘塑性模 型、热弹性模型及弹性理想塑性模型等，这些模型都属于热弹粘塑性的范畴。其中 热弹塑性模型被广泛使用。对于材料的非线性问题一般处理成双线性模型，即将应 力一应变曲线简化为双线性，弹性阶段和塑性阶段都为线性。 对于弹塑性材料，根据应力应变问增量关系建立起来的增量理论可以真实地描 述材料的塑性行为。描述材料的塑性行为的基本法则包括屈服准则、流动准则和强 化准则。屈服准则描述了材料开始塑性变形的应力状态，在金属材料的有限元分析 中，通常采用v o nm i s e s 屈服准则。流动准则揣述了当材料发生屈服时，塑性应变的 方向。强化准则描述的是初始屈服准则随着塑性应变的增加是怎样发展的。 3 1 2 准固相区间应力场数值模拟 由于许多铸造缺陷如缩孔、缩松、热裂等都是在凝固区问形成的。因此凝固区 问的应力分析对研究和预测这些缺陷尤其是热裂及残余应力、残余变形都是十分重 要的。然而准固相区间力学性能测定十分困难，加上此区间的力学模型还不完全清 楚，因此在铸件残余应力分析中仍采用网相区的力学模型。不过，最近几十年发展 起来的流变学在固液两相区的力学行为研究方面拓展了新的方向，流变学的研究方 法是用简单的流体模型和力学模型组合成流变学模型来描述铸造合金在固液两相区 的流动及变形规律，从而准确地反映流动变形随时问的变化( 即变性) ，为热裂预测 提供条件。 凝周过程数值计算的模拟 3 2 铸件凝固过程应力场数值模拟的数值方法 温度场模拟是应力场模拟的基础。在单向热一力耦合中不考虑应力分析对传热的 影响，因此一般是先计算温度场，然后将温度场作为体载荷加到应力分析的有限元 模型上。根据温度场和应力场采用的数值方法的不同，可以有以下几种路线：一是 温度场和应力场采用相同的数值解析方法，比如都采用有限元法( f i n i t ee l e m e n t m e t h o d 简写为f e m ) 或有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d 简写为f d m ) ，则有 f e m f e m 方法和f d m f d m 方法。二是二者采用不同的方法，比如温度场采用有限 差分方法或有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d 简写为f v m ) ，应力场采用有限元法， 则有f d m f e m 方法和f v m f e m 方法等。热分析和应力分析采用不同的方法是为 了方便热分析，同时可以充分地利用现有的温度场模拟的成果，发挥f d m 在温度场 模拟方面方便快捷的优势，但是存在有限差分模型或有限体积模型和有限元模型间 匹配的问题以及由此带来的误差。热分析和应力分析都采用有限元法，温度场和应 力场能够很好地匹配，并j 日能够实现应力场和温度场的耦合计算，但计算复杂而且 计算量大。 应力分析采用的数值求解方法多为有限元法，此外还有边界元法、有限体积法 和控制体积的有限差分法。有限元在铸造中应用历史较短，它的j l g 模型离散程度 高，计算精度也高，但离散困难，模型复杂，又由于基于连续介质，因此很难处理 铸件的缩孔等缺陷，并且难以进行流场分析。有限差分方法在热分析中厂泛应用， 具有简单方便、易于处理等特点，而且能够进行流场分析，缺点是很难进行应力分 析。目前有限元分析应力场比较成熟，有限差分方法、有限体积法和边界元法 ( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d 简写为b e m ) 的应用还很少，仍处于探索阶段。 3 3 国内外现状及未来发展 国外有关铸件应力分析及变形模拟研究多数采用热一力耦合的模型来模拟铸件凝 固过程中的物理过程变化现象，包括传热、传质、应力及缺陷形成等。许多研究是 先预测铸件中的应力及砂型和铸件的气隙，并由此计算界面热阻，反过来再进行热 分析。还有一些研究是把热分析、流体流动和应力分析等结合起来，同时进行模拟 充型过程、预测变形、预测缩孔、预测热裂及应力分析和残余应力e t j 5 1 。算。目前， 德国m a g m a 等商业化软件己具有三维应力场分析功能。最初，它采用f d m f e m 联合分析的技术路线，即用f d m 分析流动场、温度场，用f e m 来分析应力场。其 1 4 4 艇固过程的数值汁算方法 中f e m 采用商业化的有限元分析软件。现在，正全部改用f d m 技术。其它c a e 商 品化软件的应力场分析绝大多数采用f e m 方法，但模拟分析的准确度有待于进一步 提高0 3 ，川。 围内以清华大学、大连理工大学为代表的众多院校和科研所进行了这方面的研 究。铸造过程中的热分析与应力分析可单独进行。 总之，铸造过程应力场模拟研究工作是铸造领域的科学前沿，它在理论、软件和 边界条件处理方法上的进展和实践很大程度上依赖于力学和有限元软件技术领域的 进展，铸造过程应力场模拟技术研究中的许多问题有待于力学、计算机技术等联合 研究开发。 4 凝固过程的数值计算方法 4 1求解导热问题的基本研究方法 求解导热问题有三种基本方法，分别为理论分析法、数值计算法利实验法。 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，赢接对微分方程在给定的定解 条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；分析法能获得所研究 问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；且分析解具有普遍性，各种 情况的影响清晰可见：但局限性很大，对复杂的问题无法求解。实验法，就是在传 热学基本理论的指导下，采用对所研究对象的传热过程所求量的方法。实验法是传 热学的基本研究方法，不仅适应性不好，而且费用昂贵。 随着计算机和数值计算学的迅速发展，数值算法的工程应用己越来越广泛。数 值计算法是以离散数学为基础，用空问或空间与时间区域内的有限个离散点( 称为 节点) 上的温度近似值代替原来连续分布的温度场，通过求解按一定方法建立起来 的关于节点温度的代数方程( 称为离散方程) ，从而获得离散点上被求物理量的值； 并称之为数值解。数值法在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。数值求解的方法主要有：有限差分 法、有限元法和边界元法，其中有限差分法发展最为成熟，应用最为广泛。本课题 就是采用有限差分方法求解傅立叶微分方程的。 数值求解傅立叶i 微分方程的过程可用图4 - 1 的流程图来表示。 4 1 1 有限差分方法 有限差分法( f d m ) 是将描述物理过程的微分方程离散，并转换成差分方程， ls 凝固过程数值计算的模拟 然后求解的一种方法，其要求单元划分是正交的，有限差分法具有公式简单、编程 容易、占机内存少，运算速度快以及计算精度可以满足要求的特点，但对于处理复 杂形状的物体存在一定困难。 图4 1 物理问题的数值求解过程 412 直接差分法 直接差分法( d f d m ) 是日本大巾逸雄提出的- - $ p 数值方法，其原理是将应求 解的系统划分为微小单元，然后求解差分方程式得出数值解。此法物理意义明确、 单元划分比较自由，较适合处理复杂的铸件。此法的不足之处是在计算每个时间步 【受的温度值之前，先要确定每个单元的计算稳定条件a r ，在找出单元中最小n a t 。 做下一步计算的日j 间步长，这就加大了计算量和机器的运行时间，而且输入的数据 量多，程序复杂，这电增加了运算时问。 4l3 有限元法 有限元法( f e m ) 首先对系统进行剖分，单元剖分的任意的，再根据变分原理 对单元体计算，然后再进行单元体的总体合成。此法因其单元划分比较任意，因而 特别适合具有复杂形状的物体。此法也很适合于需要进行热应力模拟的铸件。但是， 4 凝固过程的数值汁算方法 此法因需要大型联立方程组，所以占机器内存大，因其运算量大，使得占机时间长， 程序编制也比较困难，这样使得可以解决的问题就受到了限制。 414 边界元法 边界元法( b e m ) 不同于有限差分法和有限元法要在整个区域上进行离散化处 理，只需要在边界上进行离散化处理，即是把问题降低了一维来考虑的，这样就使 得需要处理的信息量大大减少。对于有限边界，无限区域问题，此法非常有效。但 是，边界元法的计算公式非常复杂，程序编制十分困难，而且占机存储量大，计算 成本高，此法还有待于进一步发展和完善。 四种数值计算法比较可用图4 2 表示。 l 边界元素 国 有最琵索l 图7 - 2 叫种数值求解方法比较 4 2 有限差分法分析 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ，简称f d m ) 是以差商代替微商，把温度 随空间、时间连续分布的问题转化为在空间领域、时间领域的有限个离散点上求温 度值的问题，进而利用这些离散点上的温度值去逼近连续的温度分布。 4 2 1 显式差分格式和隐式差分格式 从简化方程的角度，我们以下仅对二维问题进行讨论，二维空间热力学基本方 程如下： 凝固过程数值计算的模拟 o t ，a2 ta 2 t 、 百2 “( 可+ 萨) ( 41 ) 的古典显式差分格式为： 盟- 刮警+ 等， 厅n 其中 觋= 巧蛐一2 十呼 6 ；t ；? k = t ；k 。一2 g + t ；? k 。 ( 4 2 ) 的差分格式可写为： 巧j 1 = ( ，+ d ( o + o ) ) 咒 其中2 考，2 考 由t a y l o r 展开知( 4 3 ) nj 蜀n 截断误差阶是o ( r + h