（基础数学专业论文）几类微分方程亚纯解的复振荡问题.pdf

几娄微分一程丌纯船j 的复振荡问题 9 8 7 0 l 摘要 内容提要：本文运用复分析，值分布的理论和方法，研究了几类微分方程 解的复振荡性质，全文共分_ 三部分： 第一部分( 引言和预备知识) 介绍了本研究方向的简要发展历史并引入了 一些相关的定义及必要的记号。 第二部分( 第二章) 研究了一类非齐次线性微分方程解的超级和零点收敛 指数，在这一类方程中，存在某个系数b ( 1 s 5s 七一1 ) 比其它系数d ，( ，一s ) 有较 快增长，得到了这类微分方程亚纯解的超级的精确估计式。 第三部分( 第三章) 研究了两类k 阶整函数系数线性微分方程，在一定的 条件下，得到其解的超级，零点收敛指数和二级零点收敛指数的一些精确结果 关键词：线性微分方程，整函数，亚纯函数超级，零点收敛指数，二级零点收 敛指数 几类微分力程哐纯肼的复振荡删题 a b s t r a c t c o n t e n t ：l nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h eq u e s t i o no nt h ec o m p l e xo s c i u a t i o no f m e r o m o r p h i cs o i u t i o n so fs e v e r a lk i n d so fl i n e a rd i f f c r e n t i a le q u a t i o n s i ti n c l u d e s t h ef o l l o w j n gi h r e ep a n s 1 np a r t1 ( i n t r o d u c t i o n ) w eg i v eab r i e fj n t m d u c t i o no ft h ed e v e l o p m e n th i s t o r y o ft h i sr e s e a r c hf i e l da n dl e a di n t os o m er e l a t e dd e f i n i t j o n sa n dn e c e s s a r ys i g n s i np a r t2 ( c h a p t e r2 ) w es t u d yt h eh y p e fo f d e r so fg r o w t ha n dt h ee x p o n e n t so f c o n v e r g e n c eo ft h ez e m s e q u e n c e0 ft h es o l u t i o n so fa1 【i n do fd i 丘- c r e n t i a le q u a t j o n i n t h i se q u a t i o n ，t h e r ee x i s t sac o e f n c i e n t 上l ( 1 量s5 詹一1 ) b e i n go fl a l g e rg r o w t h t h a na n yo t h e rd j ( ，一s ) ，w eo b t a i ns o m ep r c c i s ec s t i m n t i o 血go fh y p e r 。o r d e ro f m e r o m o r p h i cs 0 1 u t i o n so ft h ee q u a t i o n i np a r t3 ( c h a p t e r ) w ei n v e s t i g a t e 铆ot y p e so fk - o r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t h e n t i f ec o e m c i e n t s ，i ns o m ec o n d i t i o n s ，w eo b t a i ns o m ep r e c i s e e s t i n l a t i o n so ft h eh ) 甲e ro r d e r ，t h ee x p o n e to fc o n v e 唱e n c ea n dt h eh y p e r 。e x p o n e t o fc o n v e r g e n c eo fz e r o s0 ft h es o l u t i o n so ft h i se q u a t i o n k e yw o r d ： l i n e a rd j 仃e r e n t i a ie q u a t i o n s ，e n t hf u n c t i o n ，m e r o m o r p h i c f h n c t i o nh y p e i 。o r d e r ，e x p o n e n to fc o n v e r g e n c eo fz e r o s ，h y p e r - e x p o n e n to f c o n v e r g e n c eo f z e r o s 2 几类微分方程砸纯斛的复振荡问题 第一章引言与预备知识 微分方程的复振荡理论是8 0 年代兴起的边缘领域，它应用复分析的理论和 方法，特别是以n e v a n l i n n a 理论为工具，研究复域中微分方程的复振荡性 质s b a n k 和i l a i n e 于1 9 8 2 年首先利用值分布理论研究了二阶齐次线性微分 方程解的复振荡性质随后，j k l a n g l e y ，g ( ；u n d e r s e n 和s h e l l e r s t e i n 在这 个领域内做了大量的研究1 9 8 9 年，高仕安首先对多项式非齐次微分方程进行了 研究并得到了富有起始性和创造性的结果后来，陈宗煊解决了这一领域中的几 个重要问题，且对系数分别为多项式，有理函数，超越整函数及亚纯函数的线性 微分方程的复振荡理论进行了一系列的研究，得到了诸多颇有意义的精确结果 现今已成功研究了系数是周期函数和系数在单位圆内微分方程的复振荡理论 文中使用v a n l i n n a 值分布理论的标准记号，用盯( ，) 表示函数，0 ) 的增 长级，a ( ，) ， ( ，) 分别表示函数，0 ) 的零点及不同零点的收敛指数 定义1 1 整函数的级，下级，零点收敛指数和不同零点收敛指数分别定义 为： 盯( ，) 。而掣。面堕弩堂盟 l o g r l 0 9 7 p ( ，) ：地掣；地堕弩堂盟 1 。) g r l 0 9 7 l o g + ( r ，)l o g + ( r ，) ( ，) = l i m _ 上一， ( ，) = l i m l j o g ，一l o g r 定义1 2 假设，( z ) 为亚纯函数，定义，( = ) 的超级为 j ：( ，) ：面坦掣 l o g ， 如果，d ) 为整函数，那么 盯：( ，) _ 而型唑丛蚴：而型笔蚴 l o 苎，一h j g 7 定义1 3 假设，0 ) 为整函数，定义，( z ) 的二阶零点收敛指数九( ，) 为 l 0 9 1 0 9 ( r ，) 九( 厂) = l i m _ l l 0 9 7 定义厂0 ) 的二阶不同零点收敛指数 z ( 厂) 为 儿娄微分方程、伊地斛的复振荡问题 n 、焉l o g l o g 而，手) a 2 ( ，) = l i m _ l j o g r 定义1 4 设子集e 【0 ，+ 。) 为l 可测集，则e 的上、卜密度分别定义为 瓦磊话：五i 竺! 皇q 【q ! ! 2 r 和锄妲。l i m 竺堕q 匝2 i ：7 其中聊口) 是集e 的线测度 定义1 5 设e 为阻o 。) 内确定的一个集合，命( ，) 为e 在区间b r ) 上的部分 则e 的上、下对数密度为 丽隔譬桃删；地姥 j o g r l 0 9 7 几类微分方程弧纯舫! 的复振荡问题 第二章一类超越亚纯函数系数微分方程亚纯解的超级 2 1 引言与结果 本文使用值分布的标准符号，用a ：( ，) ，a z ( ，) 分别表示函数，( z ) 的零点超 级收敛指数和不同零点的超级收敛指数，用九( 勺表示，( z ) 的极点收敛指数，用 j 盯：( ，) 表示，( z ) 的超级，用( ，) 表示，( z ) 的下级 1 9 9 7 年，陈宗煊在文 2 中研究了超越亚纯函数系数非齐次线性微分方程亚 纯解的性质，得到 定理2 a 假设d 。，d 1 ，峨。，0 是亚纯函数，满足存在某个见( 1 s 七s ) 是超越的，并满足 ( r 叫( r ，吼吧) c 。和姆警叫蚴s 。( 2 1 1 ) 而对其它d ，( ，一5 ) 满足 r ( ，d ，) = 0 伽( r ，b ) ) ( 2 1 2 ) 如微分方程 ，咔+ q l ，“”+ d 0 ，；f ( 2 1 3 ) 的所有解为亚纯函数，那么方程( 2 1 3 ) 至少有一个亚纯解满足 五( ，) 暑a ( ，) 罱盯( ，) = 。 ( 2 1 4 ) 定理2 b 假设d 。，d 1 - ，d 。，f o 是亚纯函数，存在某个d ，( 1 七s5 ) 是 超越的，并满足( r ，见) = d 枷( r ，见) 和( 2 1 1 ) 式，而对其它见。d 。，仇一， 有盯( d ，) 0 满足 m ( r ，见) 占m 1 1 0 9 f m a x 叮( ， ) ：n = l 2 ，七) 】) ( 2 3 1 0 ) 由于，0 不满足情况1 中的条件爿，所以存在子集e ， ( o ，m ) ，e ，有无穷线测度 1 。g r ( r ，o ) c 瓦苦m ( r ，d ，) r e s ( 2 3 1 1 ) 现在令e ；川= ：m ( r ，见) s m 。1 0 9 丁( r ，) ) n e ；，j ：1 ，2 ，七由于鱼e - ) 。e ；及 线测度脚e ，= m ，所以至少存在一个集合e ，( 1 s d 尼) 满足肌e r = o 。，当 r e ，时有 用( r ，皿) s m l l o g t ( ，九)r e ， ( 2 3 1 2 ) 所以，当r e p 时，由( 2 3 1 0 ) 和( 2 3 1 1 ) 式有 r ( r ，o + 厶) 2 t ( ，疋) 一丁( ，0 ) z e x p 砖呻，剐) _ e 印 击呻，刚) = 。p j 责_ ”( ，d ，) ) 即有 槐p ，d ；) s 2 m 1 l o g r ( ，厂o + 厶)，e ， ( 2 3 1 3 ) 因为，0 + 厶是方程( 2 1 3 ) 的亚纯解，且由( 2 3 1 2 ) 式可知，0 + 厶具有无 穷级，从而存在饥 c ，一，o 一。，并由于d 。为超越，可知饥) 满足 1 i 。! ! g 三亟：丘厶2 _ 。 1 0 9 因为f 为有限级，以及( 2 3 1 2 ) 和( 2 3 1 3 ) 式有( r ，d ，) = d 口( ，o + 九) ) r ( 0 ，f ) = o f ( ，0 + 厶) ) ， 0 l o g r ( ，0 + 以) + l 0 9 0 ) = d f ( 0 ，0 + 凡) ) 将它们代入( 2 3 1 ) 式并结合( 2 3 1 3 ) 式，有 碱，u + 肛撕( ，志) 由( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 4 ) ， f 1 ( 2 ：3 15 ) 式可得 1 0 l一 几类微分疗程盯纯肼的复振荡问题 瓦：( ，0 + 厶) = a ! ( ，0 + 丘) = d ：( ，0 + 凡) z 口( b ) 同于情况l 的证明可知 仃：( ，0 + 厶) s u ( d ，) ， 所以，0 + 九满足( 2 1 4 ) 式 2 4 定理2 2 的证明 令厂= ge x p 但( z ) ，那么将，= 占e x p 怛( z ) ) 代入方程( 2 1 5 ) 得到 g + 口l _ 1 占一1 + - - + b o g 岩q( 2 4 1 ) 其中风，曰l ，屏一。是亚纯函数，由归纳法可得 产= 舻+ n e g ”1 + 吲( e + ) + h ( e 。) k ”n n 2 ( 2 4 2 ) 其中，日_ 】陋) 是e 及它的导数的微分多项式，整个次数为卜1 ，系数为常数， 易知h 陋+ ) 对z 的导数仍具有同样的形式日。陋) ，叫是通常的二项式记号， 由( 2 4 2 ) 与( 2 1 5 ) 式可得 鼠一。= 以一，+ 舾+ 岛一，2 b 一，+ 一，+ 1 ) b _ j + 。e + b - j + 。【c 三m ( e ) “+ 玩一。( e 。) 】，= 2 ，3 ，七一1 q 一1 风一d 。+ d 。e 。+ 见妇) “+ 日。口+ ) 】，珥1 因为仃怛。) c 盯( e ) ，p ，或) = d m p ，e ) 和小p ，以) 满足( 2 1 1 ) 式，以及 d ，n 。，b 一。满足盯( d ) 仃( 见) ，d o ，d - ，见一1 满足( 2 1 2 ) 所以有 1 1 墨生掣皇l i 罂塑掣专( d ，) 穹盯p ，) _ 。 1 0 9 ， r _ 。 l o g r ( r ，e ) ；d 伽p ，b ，) ) ，t p ，b ，) = d 枷( r ，口，) ( ，一s ) 所以方程( 2 4 1 ) 满足定理2 1 的假设，所以方程( 2 4 1 ) 至少有一个亚纯解 9 0 ) 满足 石b ) = a ：( g ) = 盯：( g ) = 盯( 口。) 从而方程( 2 1 5 ) 至少有一个亚纯解，= ge x p 怛( z ) 满足( 2 + 1 6 ) 式 l 一 几类微分方程哑纯解的复振荡问题 第三章两类k 阶整函数系数微分方程解的复振荡 3 1 引言与结果 1 9 9 6 年，k i h ok w o n 研究了f 面的方程( 3 1 1 ) 的解的超级问题，在 1 9 中得到 定理3 a 假设p ( z ) ，q ( z ) 是多项式， p ( z ) = 口。z “+ 以一l z “一1 + + 口1 z + 口o ； q 0 ) = 吃z ”+ 乜一1 z ”1 + + 岛z + ， 其中口。，岛( 1 = o ，1 ，”) 为复数，t o ，玩t o ；设啊( z ) 与f 1 1 ( 2 ) 是非零整函数，满 足盯“) d e g p ，盯伪2 ) d e g q ，那么微分方程 ，+ 即9 ，+ 吃e 口，一o ( 3 1 1 ) 有下面4 个结论： ( i ) 假设a r g 口。a r g 屯或吒。c 吃( o c 1 ) 那么( 3 1 1 ) 的每个非零解，具 有无穷级且c r 2 ( ，) z ，l ： ( i i ) 假设n 。一且d e g ( p q ) = 埘1 ，j ) 聊( ，= 1 ，2 ) ，那么( 3 1 1 ) 的每 个非零解，具有无穷级且吒( ，) z 卅； ( i i i ) 假设= c ( c 芑1 ) 且d e g ( p c q ) = m = 1 ，盯( 1 1 ) m 且o 2 ) 满足 o c 盯( 吃) c 去，那么( 3 1 1 ) 的每个非零解，具有无穷级且( ，) z 盯 ) ； 二 1 ( i v ) 假设吒= 曲；( c 1 ) 且p c q 是常数，盯以) c 盯( ：) c 音，那么( 3 1 1 ) 的每个非零解，具有无穷级且口：( ，) z 口他) 1 9 9 9 年，陈宗煊改进了定理3 a 的结果，在文 8 中得到 定理3 b 假设p ( z ) ，q ( z ) 是定理3 a 中的多项式，嚏( z ) 、啊( z ) 是不恒为o 的整函数，其级盯0 j ) c n ( ，一1 ，2 ) ，那么下面4 个论断成立： ( i ) 假设a r g 4a 唱乩或口。= c 吃( 0 ccc 1 ) ，如果( 3 1 1 ) 的每个非零解，满 足 ( ，) c 。，那么其超级盯：( ，) = 月； ( i i ) 假设口。= 玩且d e g ( p q ) = 川2 1 ，盯卿，) m ( j = 1 ，2 ) ，如果( 3 1 1 ) 的每 个非零解，满足a ( ，) c 忍，那么其超级q ( ，) ；咒： ( i i i ) 假设d 。= c 吃( c 1 ) 且d e g ( 尸一c q ) = m 1 ，仃( ，) ( ，= l 2 ) ，如果 ( 3 1 1 ) 的每个非零解，满足a ( ，) t h ，那么其超级u ：( ，) = n ； 1 ( i v ) 假设n ，。c 乜( c 1 ) 且p c q 是常数，盯( ，) c 口( ：) c 丢，如果( 3 1 1 ) 的每个j i 零解，满足 ( ，) cn ，那么其超级o ：( ，) = n i。，。，一一 儿类微分方程哑纯解的复振荡问题 定理3 c 假设p ( z ) ，q ( z ) 是定理3 a 中的多项式满足。= c 包( c 1 ) 目 d e g ( p q ) = 州2 1 ， ，( z ) ( j = l 2 ) 为整函数， ：( z ) 不恒为零，口 ，) c m ( ，= 1 ，2 ) 那么方程( 3 1 1 ) 的每个非零解，( z ) 具有无穷级且：( ，) m 2 0 0 2 年，陈宗煊改进了定理3 c 的结果在文 2 0 中得到 定理3d 假设p ( z ) ，q ( z ) 是定理3 a 中的多项式满足口。= c 吃( cz 1 ) 且 d e g ( p q ) ；m 1 ，矗j ( z ) ( j = 1 ，2 ) 为整函数，仃鸭) c m ( j = l 2 ) 那么方程( 3 1 1 ) 的每个非零解，( z ) 具有无穷级且c r 2 ( 厂) = h 本文在此基础上把方程( 3 1 1 ) 推广到k 阶并且系数为更一般的情形下得 到下面几个结果： 定理3 1 考虑线性微分方程 广+ 4 1 广。1 + + ( 即+ d 1 ) ，。+ ：萨+ d 2 ) ，= o ( 3 1 2 ) 设4 ( f = 2 ，七一1 ) 为整函数，且盯( 4 ) c ，l t * ，盯( d j ) c ”，仃( ，) c n ( j = 1 ，2 ) ，p ( z ) ， q ( z ) 满足 p ( 2 ) = 口。z “+ 口。一1 z “- 1 + + 1 z + o ； q ( z ) = 阮r + 吃一1 z ”1 + + 岛z + ， 那么对于线性微分方程( 3 1 2 ) 我们有 ( 1 ) 如果a r g 口。a r g 瓯或口。= c 巩( 0 c 1 ) ，则方程( 3 1 2 ) 的每个非零解， 具有无穷级且仃：( ，) tn ( 2 ) 如果口。= c ( c 1 ) 且 d e g ( p c q ) = 胁1 ，盯伪，) 肌，盯( d ，) _ i ，l ，d ( 4 ) 巧( ：) 妄( f = 2 ，七一1 ) ， 二 则方程( 3 1 2 ) 的每个非零解，具有无穷级且盯( ：) s 吒( ，) s n ( 4 ) 如果n 。= c 醵( c 1 ) 且d e g ( p c q ) = 小1 ，仃) m ，口( d j ) r 。p c ( p ，d ，口) 其中c ( p ，6 ，口) 是依赖于p ，6 ，口的常数 引理3 3 “1 设，( z ) 是整函数，a ， ，1 ，) o ) 是给定的常数，则存在一个 常数c ，o 和一个有限线测度集瓯 【o ，。) ，当i z = r 隹最时， sc 口( 口r ，p 8 l o g ，似r ，) r ) 引理3 4 吲假设g ( z ) 为亚纯函数，盯b ) ：卢c + 。，那么对任意给定的 o 存在一个线测度和对数测度都为有穷的集合易c ( o ，o 。) ，当h 。，科o ，1 】u e ， ，一时，有 e x p 一r 4 + ) sj g ( z ) ise x p r 卢+ 5 引理3 5 i ”1 设爿，( ，= 0 ，1 ，七一1 ) 是整函数，满足盯即，) s 盯cm ，如果，( z ) 是微分方程厂+ 4 1 ，“1 + + 4 ，= 0 的解，则( ，) s 盯 引理3 6 1 假设q ( z ) = 乜z “+ “一。z “+ + 包z + ，月为整数， j 。一 几类微分方程n 自l 祥的复振荡问题 包= p “，o ，吃【o ，2 ) ，对任意的，o ，( o ( e 云) ，我们引进2 n 角域 一鲁+ ( 2 川) 云忙鲁+ ( 2 川) 云_ ( 舢，1 ，2 川)n肌月zn 则存在一个正数r = r ( s ) ，使l z l _ r ，r 时当z s ，且j 为奇数时有 r e q ( z ) o 。( 1 一) s i n 0 ) r ” 引理3 7 假设矿= 卑一，q ) ，最。为整函数 的微分多项式，次数为七一1 ， 系数为丛，生，4 ，4 。其中，a ，4 一，为整函数，且盯( ) 。+ m ，盯，) s 6 ( 0 s ，s 七一1 ) ， 那么 盯( ) s 口 引理3 8 呷1 设，0 ) 是无穷级整函数，则厂0 ) 可表示为，( z ) = 9 0 ) 矿“，其 中g ( 2 ) 0 ) 均为整函数，满足 盯2 ( ，) = m a x 口2 ( g ) ，盯2 ( 矿。) 】0 9 1 0 9 ( ，三)】o g l o g ( ，) 盯z ( g ) 5 熙矿21 鳃矿 1 0 2 ， m l o g ， 引理3 9 ( w i m a n v a l i r o n ) 设g ( z ) 为整函数，取h = r 使k ( z ) l = m ( r ，g ) 则除去一个对数测度为有穷的，值集氏外，有 攀；( 盟) t ( 1 + 。( 1 ) ) g 婶j 2 ( 女为整函数，r 譬岛) 引理3 1 0 ”1 假设口。，4 l ，_ 一，吼_ 1 f 0 是整函数，满足微分方程 ，。+ 盘t 一1 ，一1 + + n o ，墨， 且m a x 盯( f ) ，口0 j ) ；，= 0 ，1 ，- 一，七一u 口( ，) = 仃，( o r ) ，当h = ，【o ，1 】u ，r ，月：时 e x p 一r 肌) s i d 如) i se x p 矿+ ( ，= l ，2 ) ， e x p 一r 肌) s h ( z ) j se x p 矿+ 。) ( i = 2 ， 一1 ) ， ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) e x p 扣即 s 瞰z ) 卜e x p 矿+ 5 ( 3 3 4 ) 假设厂( z ) 是( 3 1 2 ) 的非零解，由引理3 3 知，存在常数m 0 和有限线测度集 毛c ( o ，+ 。) ，当h = r 垂匕u 【o ，1 】时， j 篙j 蛳r 十1 ( ：r ，) ( f 1 ，问， ( 33 5 ) 所以，当j z j 一，隹色u 易u f 0 ，1 】，及bsa r g zs 岛，) 曼时，将方程( 3 1 2 ) 变形为 一魄护+ b ) ：竿+ 4 一，竽+ + ，+ d 1 ) 每 一魄护+ b ) = 等+ 4 一，上_ + + + d 1 ) 则 缈h 喇妒+ 见i s 阱例c 例引 c 。e ， 由( 3 3 1 ) 一( 3 3 6 ) 得 e x p 一r 肿5 ) e x p 恤r “卜c x p r 4 ”) e ( 尼十1 ) e x p p 4 + ) 打r “( 2 ，) 由卢c n ，所以吼( ，) ：h ，由引理3 5 有盯：( ，) s n ，所以( ，) = n 如果q 一蛾( o r ) ，满足bc 吼，当r ，岛，岛c 8c 以时， r e q ”) ) 6 ，“，r e p ( r 矿) 一c q ( 旭”) ) ( 1 一c 涉，r e 一c q ( 陀”) ) c 0 由方程( 3 1 2 ) 有 缈叫q + d 2 e 硼 。蚓帆舻。艄+ | + ( 矿刊驴蚓 当i z i = ，隹瓦u 易u 【o ，1 】，及bea r g ze 吼，r b 时， e x p 一，4 + 5 ) e x p ( 1 一c ) 6 ，“) 一e x p ，9 + 5 ) e ( 女+ 1 ) e x p ，9 + 。) 打丁。+ 1 ( 2 ，) 由芦c n ，得( ，) = n 结合引理3 5 得吒( ，) = n ( 2 ) 假设口。= c 吃( cz 1 ) 由 盯0 ，) 胁，仃( d ，) 肌，口( 4 ) 打z + 1 ( 2 r ，) 因为卢 m ，所以吒( ，) 苫朋，结合引理3 5 有m s 盯2 ( ，) s ” ( 3 ) 假设口。= 吨( c 芑1 ) 且p c q 是常数， m a x 仃( 4 ) ，盯( 1 1 1 1 ) ，口( d 1 ) ，盯( d 2 ) ) 0 满足m a x p ( 4 ) ，盯魄) ，盯( d 1 ) ，盯( d 2 ) a 2 应 仃伪2 ) ， 由引理3 1 ，3 2 存在一个无穷对数测度集日c 【o ，+ * ) ，当i z l 一，h 时，有 1 l i l 2 ( z ) i e x p ，岛，阻0 ) | se x p p 。) ( f = 2 ，七一1 ) d 船) 卜e x p p 。2 ) ，i k ( z ) be x p r 。2 ) 再由 1 3 ，p 2 5 3 2 5 5 知：存在一条r ，趋于m ，当z r 。时r e q 0 ) 卜= o 将方程 ( 3 1 2 ) 变形为： 删“) 口+ 酽) ；孚e 哪饵啦华旷。雌c 。) 手 一2 e 0 1 地+ d 2 e 。o ) ；_ 8 哪+ 4 1 e ”。l _ ”- + 魄e “帕+ 脚“。) 每 当z r 1 ，时， e x p ( r 岛) 一e x p r 1 ) s ( 七+ 1 ) e x p ，。2 ) 打丁。+ 1 ( 2 ，) 注意到尾，a ：，压的任意性，所以盯：( ，) z 盯( ：) 结合引理3 5 知 口( j k ) s d 2 ( ，) s n ( 4 ) 设，是方程( 3 1 2 ) 的非零解，且a ( ，) c n 则，可表示为，= m 一，m 为 级小于n 的整函数，由归纳法可得： + 罗峨 ) 7 + h h ( 堋一1 e 6 2 ) ( 3 3 7 ) “ 1 7 i。一 几娄微r 卉程幔纯斛的复振荡问题 其中q 是通常的二项式系数，。) 是 + 的微分多项式，次数为，一1 ，系数为 常数，将( 3 3 7 ) 代入方程( 3 1 2 ) 我们可以得到 ) + g ：一。( ) + 4 一。g 。一。( ) + + ( + 竺) ( 啊p 9 + d 1 ) + ：e q + d ：；o ( 3 3 8 ) 其中( 1 ) 为 的微分多项式，次数为f ，系数为尘，生，g ：一，) 为 1 的微分 多项式，次数为一1 ，则( 3 3 8 ) 可变形为 ( ) = 占：。( ) 占：。o ) 为矗的微分多项式，次数为七一1 ，系数为生，丝，1 1 1 ， ：e 。，d 1 ，d 2 ， 4 ，4 一，由引理3 7 有盯( ) s n ，假设仃 ) c n 我们分两种情况来证明 盯( ) ，l 不成立： ( i ) 若c 一1 则此时口。= 吃， d e g ( p q ) 一m 芑1 ，仃q ，) 卅，盯( d j ) m ，盯( 4 ) ( f 一2 ，一，七一1 ，= 1 ，2 ) 令 p ( z ) = 口。z “+ 墨( z ) ，q ( z ) = 口。z “+ q 1 ( z ) ( 3 3 9 ) 其中是只( z ) ，q 1 ( z ) 次数不超过栉一1 的多项式，将( 3 3 9 ) 代入( 3 3 8 ) 得 p 一4 一【 。) + g ：一。( + ) + 4 一。占。一。) + + 4 9 ：伪) + + 竺) d 1 + d ：】 + ( + 竺) 即8 + 2 q z ；o ( 3 3 1 0 ) 由于 ( 。) 。+ g ：一。) + 4 一。g 。( 。) + + 4 占： ) + + ! 勺d 1 + d ： 2 孚等叫手+ q 手+ 见，。 ( 这是因为女口果等n ，孚4 手+ d 1 手+ d 2 _ o ， 即 厂+ 4 一。厂“1 + + 4 厂”+ d 1 ，1 + d 2 ，= o 则由引理3 5 知盯：( ，) c 朋，矛盾于( 2 ) 中的结果珊s 盯：( ，) s n ) 盯 ( ) + + 占：一。( ) + 4 ，g 。( 。) + + 屯占2 ( ) + ( + 竺) d 1 + d l 】 1 ，则n 。= c 阮， d e g ( p c q ) = m 1 ，盯) ，d ( d ，) 0 ，满足岛t 吼，当 i z l = r r ，岛sa 唱zs 眈时，r e p ( z ) ) 一办”，从而 r e 一! p ( z ) ) ，堕r 一，r e ( 1 一三) p 0 ) 。o ( 3 3 1 5 ) 由( 3 3 1 1 ) 一( 3 3 1 5 ) ，可知当i z l = r 诺e ，o ，1 】且r 充分大及岛a r g z s 吼时 e x p ，t 1 。；p 粤，一) ：l 。一1 ( ) t + g ：一，) + 4 。( 。) + + 一：占：q ) + ( + 尘) d l + d 2 】| c j ：k 鲁地。o - 争峨。- ：l 拙；啦一r ) ( 3 3 1 6 ) 由于a ，c n 所以( 3 3 1 6 ) 式是矛盾的，所以盯( ) = 口( ) = 行由引理3 8 得： 盯2 ( ，) = n ( 5 ) ( a ) 当c ；1 时将( 3 3 8 ) 醣写成 一一-一 几类微分方程纯斛的复振荡问题 e 锄+ g _ ) + 4 一，g 。( ) ”+ 爿：g ：( ) + ( 。+ 詈) d ，+ d ! + + 竺) l p 一c 口+ 2 p ( 1 ：0 甜 因为d e g ( 一c q ) = n ，p c q 为常数，( 1 一c ) q a0 假设) c n 则 + ) + g ：。( ) + 4 一，既。) + + 4 9 ，q ) + q + 詈) n + d 2 与 。+ 竺的级均小于，l 从而( 3 3 1 7 ) 式是矛盾的，因此盯( ) = 栉 珊 ( b ) 当c ，1 时，将方程( 3 1 2 ) 改写成 e 一 【) + 反一。) + 4 一。巩一。) + + 4 占z ) + + 詈) d l + d ：】 + o 一+ 生) 矿争+ ：。一 。o 棚 ( 3 3 1 7 ) ( 3 3 1 8 ) 由于一三与( 1 一三) 符号相反，且q 一三p 为常数，若口( ) c n 类似( 4 ) 中的证明可知 c cc ( 3 3 1 8 ) 式是矛盾的，所以盯( ) ，l 不成立，所以盯( 厅) t n ，再由引理3 8 知； 口2 ( ，) 。，1 3 4定理3 2 的证明 由微分方程的基本理论可知方程( 3 1 2 ) 的每个解，0 ) 都是整函数假设 ， 是( 3 1 3 ) 的解，满足口( ，0 ) c * 如果方程( 3 1 2 ) 还有另一个，( ，0 ) 的有限 级解，那么口( ，一，0 ) c 。且厂一，o 为( 3 1 2 ) 所对应的齐次方程( 3 1 1 ) 的解， 由定理1 我们有盯( ，一，0 ) = + 。，矛盾现假设，为( 3 1 2 ) 的无穷级解那么由引 理3 1 0 有 ( ，) = j ( ，) = 盯( ，) = 若是，的大于t 阶的口阶零点，则z 。必为f 的n 一阶零点，由f o 有 ( ，) s 七面( r ，) + ( r ，刍) 由方程( 3 1 3 ) 有 手= r 等慷，半p 娟e 倒手峨“吲 纯肼的复振荡问题 吣，争吣，争扣，争+ 扣+ 扣 ， + 套，”( r ，。) + ，”( r ，e ) + ，订( r ，e 。) 由对数导数引理，最多除去一有限线测度的，