（基础数学专业论文）无限维李代数及其表示.pdf

中文摘要 无限维李代数及其表示对于李代数及其相关领域的研究起着重要作用。 作为微分算子李代数的普遍中心扩张，李代数d 一( 物理学家称之为w l 。) 与二维量子场论和 可积系统有重要联系。k a c 等人对d 一的拟有限最高权模作出了系统的研究。与一些模空间的二阶 上同调有密切联系的扭h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数7 ，首先是由a r b a r e l l o ，k a c 等人引入研究的， 它是次数不超过1 的微分算子李代数的普遍中心扩张。在研究同t o r o i d a l 李代数的表示的过程中， b i l l i g 介绍了扭v i r a s o r o - a f f i n e 李代数，设# 是一有限维简约李代数，则扭v i r a s o r o a f f i n e 李代数是 李代数d e r ( c t ，t - 1 ) l t i m e st i t ，t - 1 o t i m e s f 的普遍中心扩张。 f o c ks p a c e 一些物理系统中对应于正能量状态粒子的单项式所构成的向量空间。根据粒子的占 用统计情况，它分别被称为b o s o n i co rf e r m i o n i c 。各种李代数都有在f o c ks p a c e 上自然的作用，称 为b o s o n i c 或f e r m i o n i c 表示。对于仿射李代数，这些表示包括顶点表示和o s c i l l a t o r s p i n o r 表示。 在这篇论文的第一部分，我们主要研究上述李代数的b o s o n i c 表示，其中包括这些李代数的 b o s o n i c 表示的构造及其分解。 在这篇论文的第二部分，我们介绍一种新的李代数，称为广义h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数，它是 扭h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数f i 从整数环到一般域的一个加法子群的推广。我们研究了这个代数的 一些结构性质，刻化了它的所有权重数不超过1 的不可分解模的分类，特别地获得了扭 h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数的对应的分类。这是到现在为止仍没有解决的问题。 a b s t r a c t i n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a sa n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o n sp l a yk e yr o l e so nt h e s t u d yo fl i ea l g e b r a sa n dr e l a t e dt o p i c s t h el i ea l g e b r a7 9 一，a st h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no ft h el i ea l g e b r ao fd i f - f e r e n t i a io p e r a t o r so nt h ec i r c l e jh a sa p p e a r e di nv a r i o u sm o d e l so ft w o - d i m e n s i o n a l q u a n t u mf i e l dt h e o r ya n di n t e g r a b l es y s t e m s as y s t e m a t i cs t n d yo ft h eq u a s i f i n i t e h i g h e s tw e i g h tr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ft h el i ea l g e b r a 口w h i c hi so f t e nr e f e r r e d t oa sw 1 h a l g e b r ab yp h y s i c i s t s ，h a sb e e ni n v e s t i g a t e db yk a ce ta 1 t h et w i s t e dh e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r ah 2 h a sb e e nf i r s ts t u d i e db ya t - b a r e l l oe ta 1 ，w h e r eac o n n e c t i o ni se s t a b l i s h e db e t w e e nt h es e c o n dc o h o m o l o g yo f c e r t a i nm o d u l is p a c e so fc u r v e sa n dt h es e c o n dc o h o m o l o g yo ft h el i ea l g e b r ao f d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so fo r d e ra tm o s to n e ： l h v = ) 豢+ g ( t ) t f ，g c t ，t 。1 ) t h et w i s t e dv i r a s o r o - a f t n el i ea l g e b r ah a sb e e ni n t r o d u c e di n b 1 a n d b 2 f o rt h ep u r p o s et os t u d yr e p r e s e n t a t i o n so ft o r o i d a ll i ea l g e b r a sa n dt h et w i s t e d h e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r a l e tfb eaf i n i t e d i m e n s i o n a lr e d u c t i v el i ea l g e b r a c o n s i d e ras e m i - d i r e c tp r o d u c to ft h el i ea l g e b r ao fv e c t o rf i e l d so nac i r c l ew i t ha l o o pa l g e b r a ： f _ d e r c t ，t - 1 kc t ，t - 1 f t h et w i s t e dv i r a s o r o a f f i n ea l g e b r afi st h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no ft h el i e m g e b r af f o c ks p a c ei sav e c t o rs p a c es p a n n e db ym o n o m i a l sc o r r e s p o n d i n gt ot h ep o s s i b l e e n e r g ys t a t e so fp a r t i c l e si ns o m ep h y s i c a ls y s t e m i ti sc a l l e db o s o n i co rf e r m i o n i c ， a c c o r d i n gt ot h eo c c u p a n c ys t a t i s t i ct h a tt h ep a r t i c l e ss a r i s f y v a r i o u sl i ea l g e b r a s h a v en a t u r a la c t i o n so nf o c ks p a c e jc a l l e db o s o n i co rf e r m i o n i cr e p r e s e n t a t i o n s f o r a f f i n el i ea l g e b r a s ，t h e s ei n c l u d et h ev e r t e xr e p r e s e n t a t i o n sa n dt h eo s c i l l a t o r s p i n o r r e p r e s e n t a t i o n s i nf i r s ts e c t i o no ft h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yb o s o n i cr e p r e s e n t a t i o n so fa b o r e l i ea l g e b r a s ab o s o n i cc o n s t r u c t i o nf o ra b o v el i ea l g e b r a sa sw e l la st h e i rd e c o m p o s i t i o n si n t oi r r e d u c i b l em o d u l e sa r ed e s c r i b e di nt h i sp a p e r i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ei n t r o d u c ean e wl i ea l g e b r a t h eg e n e r a l i z e d h e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r a ，w h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no ft h et w i s t e dh e i s e n b e r g - v i r a s o r 。l i e a l g e b r a 日“f r o mt h ei n t e g e rr i n gzt oa na d d i t i v es u b g r o u pmo faf i e l dfw e s t u d ys o m ep r o p e r t i e sa n dr e p r e s e n t a t i o no ft h i sl i ea l g e b r a a 1 li n d e c o m p o s a b l e q u a s i f i n i t ed i m e n s i o n a lm o d u l e so v e rt h eg e n e r a l i z e dh e i s e n b e r g v i r a s o r ow i t ha l l w e i g h tm u l t i p l i c i t i e s 茎1a r ec l a s s i f i e de s p e c i m l y , w eo b t a i nt h ec l a s s i f i c a t i o no f t h i sk i n dm o d u l e so v e rt h et w i s t e dh e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r ah v i rw h e nm z w h i c hi sn o tc l a s s i f i e du pt on o w 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n s p i n o rr e p r e s e n t a t i o n sf o rt h ea i f i n el i ea l g e b r a sw e r ef i r s td e v e l o p e db yf r e n k e 【f a n dk a c p e t e r s o n k p i n d e p e n d e n t l y t h ei d e ai st ou s eac l i f f o r da l g e b r a w i t hi n f i n i t e l ym a n yg e n e r a t o r st oc o n s t r u c tc e r t a i nq u a d r a t i ce l e m e n t s ，w h i c h ，t o g e t h e rw i t ht h ei d e n t i t ye l e m e n t ，s p a na no r t h o g o n a la i 咀n el i ea l g e b r a t h e r e a f t e r ， f e i n g o l d f r e n k e li f f c o n s t r u c t e dt h es o - c a l l e df e r m i o n i co rb o s o n i cr e p r e s e n t a t i o n s f o ra l lc l a s s i c a la f f i n el i ea l g e b r a sb yu s i n gc l i f f o r do rw e y la l g e b r a sw i t hi n f i n i t e l y m a n yg e n e r a t o r s g a of g 2 1c o n s t r u c t e df e r m i o n i ca n db o s o n i cr e p r e s e n t a t i o n sf o r t h ee x t e n d e da i 嘬n el i ea l g e b r a g l _ ( c 口) m o r e o v e r ，au n i f o r mc o n s t r u c t i o no f b o s o n i c a n df e r m i o n i cm o d u l e sf o rao n e d i m e n s i o n a lc e n t r a le x t e n s i o no fa n yl i ea l g e b r a o v e raf i l e do fc h a r a c t e r i s t i c0w a sg i v e ni n 【l a i n2 0 0 5 a sw ek n o w ，t h el i ea l g e b r al 一) - ，a st h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no ft h el i e a l g e b r ao fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so nt h ec i r c l e h a sa p p e a r e di nv a r i o u sm o d e l so f t w o - d i m e n s i o n a lq u a n t u mf i e l dt h e o r ya n di n t e g r a b l es y s t e m s as y s t e m a t i cs t u d y o ft h eq u a s i f i n i t eh i g h e s tw e i g h tr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ft h el i ea l g e b r a5 - ，w h i c h i so f t e nr e f e r r e dt oa s t + 。oa l g e b r ab y p h y s i c i s t s ，h a sb e e ni n v e s t i g a t e db yk a c e t a l ( c f - f k r w 】，【kr 】) t h et w i s t e dh e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r ah y 打h a sb e e nf i r s ts t u d i e db ya r - b a r e l l oe ta 1 i n a d k p ，w h e r eac o n n e c t i o ni se s t a b l i s h e db e t w e e nt h es e c o n d c o h o m o l o g yo fc e r t a i nm o d u l is p a c e so fc u r v e sa n dt h es e c o n dc o h o m o l o g yo ft h e l i ea l g e b r ao fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so fo r d e ra tm o s to n e ： l h y = m ) 磊d 十荆i ，g c t , t - 1 1 z ) a sav e c t o rs p a c eo v e rc ，日州h a sab a s i s 三( m ) ，i ( - 4 ，c 0 c h 画c 切t ，m s u b j e c tt ot h ef o l l o w i n gr e l a t i o n s ： 陋( m ) ，l ( n ) 】_ n - m ) l ( m + n ) + 如机。西1 ( m 3 m ) c v 。， ，( m ) ，( 扎) _ n g 机o e h 甙； l ( ”z ) ，( 礼) = n i ( m + 礼) + + 。、om 2 仃a ) c 0 “； 阻，c h 小= h 7 ，魄。f = 日w ，o h _ 0 c l e a r l yt h eh e i s e n b e r ga l g e b r ah = c ( m ) ，c k “im z ) a n dt h ev i r a s o r o a l g e b r av i r = c 三( 竹1 ) ，c v 竹jm z ) a r es u b a i g e b r a so fh v 打 r e p r e s e n t a t i o n so ft h et w i s t e dh e i s e n b e r g v i r a s o r oa l g e b r ah a v eb e e ns t u d i e d i n 【a d k p a n d b 1 i tt u r n so u tt h a tm o d u l e so ft h ea l g e b r ah a v ec l o s er e l a t i o n s 研t hr e p r e s e n t a t i o n so ft h ef u l lt o r o i d a il i ea l g e b r a s a r b a r e l l oe ta i 阻d k p a l s o p r o v e dt h a ta n yi r r e d u c i b l eh i g h e s tw e i g h tm o d u l ef o rh ”打i si s o m o r p h i ct ot h e t e n s o rp r o d u c to fa ni r r e d u c i b l em o d u l ef o rt h ev i r a s o r oa l g e b r aa n da ni r r e d u c i b l e r o o d u l ef o rt h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a lh e i s e n b e r ga l g e b r aw h e nt h ec e n t r a ie l e m e n to f t h eh e i s e n b e r gs u b a l g e b r aa c t si nan o n z e r ow a y t h es t r u c t u r eo ft h ei r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n sf o rh “7a tl e v e lz e r ow a ss t u d i e di n b 1 t h eh a r i s h c h a n d r am o d - u l e so v e r 日“7w e r ef i r s ts t u d i e di nf c la n dt h e nc l a s s i f i e di n l z l s o m es t r u c t u r e p r o p e r t i e sa n dr e p r e s e n t a t i o n so ft h et w i s t e dh e i s e n b e r g v i r a s o r ol i ea l g e b r aw a s o b t a i n e di n f m ， f o j ， s j a n d j j h o w e v e rt h ec l a s s i f i c a t i o no fi n d e e o m p o s a b l e s m o d u l e so v e rt h i sa l g e b r aa r ea l s on o to b t a i n e d i nt h i sp a p e r ，w eo b t a i nt h ec l a s s i f i c a t i o no fa l li n d e c o m p o s a b l ew e i g h tm o d u l e sw i t ha l lw e i g h tm u l t i p l i c i t i e s 0 1 ) “1 ，+ o j l 未，( m l 一垆i ”，矿m z o ) 1 五m ，厶j _ 一m ) l m + n + 壶( m 一1 ) r a ( m + 1 ) 碥帆吗 ( 2 2 ) c ，l 。 _ 0 2 2t h et w i s t e dh e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r a s t h et w i s t e dh e i s e n b e r g v i r a s o r oa l g e b r ah ”h a sb e e nf i r s ts t u d i e db ya r b a r e l l o e ta 1 i n a d k p ，w h e r eac o n n e c t i o ni se s t a b l i s h e db e t w e e nt h es e c o n de o h o m o l o g y o fc e r t a i nm o d u l is p a c e so fc u r v e sa n dt h es e c o n dc o h o m o l o g yo ft h el i ea l g e b r ao f d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so fo r d e ra tm o s to n e ： l h v = 雠) 磊d + 荆c t , t - l j ( 2 3 ) m o r e o v e r ，t h et w i s t e dh e i s e n b e r 廿v i r a s o r oa l g e b r ah a ss o m er e l a t i o n sw i t ht h e t o r o i d a ll i ea l g e b r a s ( s e e f m ) a n dt h en = 2n e v e u - s c h w a r zs u p e r a l g e b r a ，w h i c h i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta l g e b r a i co b j e c t sr e a l i z e di ns u p e r s t r i n gt h e o r y b yd e f i n i t i o n ta sa v e c t o rs p a c eo v e rc ，t h et w i s t e dh e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r a h y 计h a sa b a s i s 三( m ) ，( m ) ，l 二， ：k 敷，c v n ，m z ，s u b j e c tt ot h ef o l l o w i n g r d a t i o n s ： 【l ( m ) ，l ( n ) 】= ( 礼一m ) l ( m + 佗) + 碥+ n ，o 高( r n 3 一m ) c o 开； 5 ，( m ) ，( n ) = n 6 m + r t , o c k 。，； 工( z ) ，( n ) = n i ( m + 礼) + + 。，o ( m 2 一m ) c v “ 日7 ，c h ，】= 日“”，c 。d 一 日y 打，c 0 h = 0 c l e a r l yt h eh e i s e n b e r ga l g e b r ah = c ( m ) ，c k 刮jt f tez ) a n dt h ev i r a s o r o a l g e b r av i r = c l ( m ) ，c v l rm z ) a r es u b a l g e b r a so fh v 打m o r e o v e r ，h v ”= o m z 碳打，w h e r e 碳开= c t m 0 ，t m ) o ，o c 魄画，c v h ) ，i saz - g r a d e dl i e a l g e b r a t h ec e n t e ro fh v ”，d e n o t eb yc ( h y 打) ，i sf o u r d i m e n s i o n a la n di ss p a n n e db y j ( o ) ，c l ，c 州，魄e ) i n t r o d u c eazg r a d i n go nh 7b yd e gl ( n ) = d e g ，( 札) = f , a n dd e g 眈= d e g 函h = d e g 魄“= 0 ，a n dd e c o m p o s e 何惭w i t hr e s p e c tt ot h i s g r a d i n gi n t o ： 甘7 = o 碟”， n e e w h e r e 。芒碚“”= s p a n e l ( 0 ) ，( o ) ，c v 押，c v 一，c 钆“ ，h v 订。= s p a n c l ( 扎) ，( n ) ) ，扎 z o ) l e tg b eac o m m u t a t i v eg r o u p ，h 7 = 0 9 g 珥伽ag g r a d e dl i ea l g e b r a 2 2 1t h ed e r i v a t i o na l g e b r ao fh y 2 l e t b eal i ea l g e b r ao v e rf i e l df ，va - m o d u l e al i n e a rm a p p i n g 妒f r o mc t ovi sc a l l e dad e r i v a t i o n ( 3 ) ，i ff o ra n yz ，y c ，w eh a v e 妒陋，y = 。妒( g ) 一可妒( 。) a m a p p i n g 妒：z _ x v ( v v ) i sc a l l e da ni n n e rd e r i v a t i o n d e n o t eb yd e r f ( c ，v ) t h ev e c t o rs p a c eo fa l ld e r i v a t i o n s ，i n n f ( c ，v ) t h ev e c t o r s p a c eo fa l li n n e rd e r i v a t i o n s s e t 日1 ( 日y 打，v ) = d e r c ( 日y 打，v ) i n n c ( 日y 打，y ) d e f i n et h ef o l l o w i n gt h r e ed e r i v a t i o n sf r o mh v i rt oh ： d 1 ：d if b _ 0 ，d ii i o c c v w = i d jd i ( c x 。 ) = 2 c n 酣； d 2 ：d 2 ( l ( n ) ) = n i ( n ) - 4 - 矗，o c 锄，d 2 ( i ( n ) ) = 一厶，o c ke ) 伤( c l ) = 2 4 c h ， d 2 ( h ) = 一吼幽d 2 ( 嘞。 ) = o ； d a ：上) 3 ( l ( 礼) ) = ( 札十1 ) ( 礼) ，d 3 ( c v 打) = 2 4 c v h ，d 3 ( c 0 州) = 一c 缸。i ，d 3l j o c g 。 0 ： w h e r en z ，= s p a n c ，( n ) ，n z ) 6 t h e o r e m 2 2 1 芦刀d e r h 7 = c d loc d 2oc d ao a d h ”订 2 2 2t h ea u t o m o r p h i s mg r o u po fh v 订 w ed e n o t eb yrt h es e to fa l li n n e ra u t o m o r p h i s m so fh y 打t h e nti san o r m a l s u b g r o u po fa u th y 打a n dri sg e n e r a t e db ye x p ( ka d i ( n ) ) n z k c d e n o t eb y 口( ，c ，d ，n ，b ) t h ea u t o m o r p h i s mo f 日惭s a t i s f y i n g ( 3 5 ) 一( 3 9 ) ，t h e n w eh a v e a ( e l ，c l ，d l ，a l ，6 1 ) 盯( e 2 ，c 2 ，d 2 ，a 2 ，b 2 ) = 口( e 1 e 2 ，e 2 c l + e l b l c 2jd l + e l b l d 2 ，a 。la 2 ，b t b 2 ) a n d 盯( e 1 ，c l ，d l ，a l ，b 1 ) = a ( e a ，c 2 ，d 2 ，a 2 ，b 2 ) i f a n do n l yi f 。l = e 2 7c l = c 2 ，d l = d 2 ，a l = a s ，b l = b 2 ，l e t r = 盯( s ，0 ，0 ，1 ，1 ) ，d = 盯( 1 ，c ，d ，1 ，1 ) ，t 7 a ，b = 口( 1 ，0 ，0 ，a ，b ) a n d a = 吒i = 士1 ) ，t = ( 丁c ，d l c ，d c ) ，b = 口。，b l a ，b c 4 ) ( 2 4 ) c l e a r l ya ，ta n db a r ea l ls u b g r o u p so fa u t 日y 打a n da u t h y 丹= r 缸b ，t 竺 c c ，b 型c 8 c + f u r t h e r m o r e ，“i sa na b e l i a nn o r m a ls u b g r o u po fa u t 日w ” l e tc ”= ( o i ) z + ia i ca n da l lb u taf i n i t en u m b e ro f t h ea i = 0a r ez e r o t h e n w eh a v e t h e o r e m2 2 2 声刀a u t h 7 = ( n ) 口b z 2 = 1 ，- 1 i si s o m o r p h i ct ot h eg r o u pa 竺c 。( z 2k ( c + xc + ) ) ，w h e r e 2 3t h et w i s t e dv i r a s o r oa f f i n em a t r i xa l g e b r a l e tfb eaf i n i t e d i m e n s i o n a lr e d u c t i v el i ea l g e b r a c o n s i d e ras e m i d i r e c tp r o d u c t o ft h el i ea l g e b r ao fv e c t o rf i e l d so nac i r c l ew i t hal o o pa l g e b r a ： - _ d e r c t o ，f i l 】kc t o ，t 0 1 】o ( 2 5 ) at w i s t e dv i r a s o r o q 历礼ea l g e b r afi st h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no ft h el i ea l g e b r a f ，u s i n gt h er e s u l t so nt h ec e n t r a le x t e n s i o n so ft h el o o pa l g e b r a sa n dt h el i ea l g e b r a 7 o fv e c t o rf i e l d so nac i r c l e ，o n ec a ns h o wt h a tt h es e c o n dc o h o m o l o g yo ffh a st h e f o l l o w i n gd e s c r i p t i o n ： 口2 ( ，) = s 2 ( ) o f 仇。o c ，( 2 6 ) w h e r et h el a s t1 - d i m e n s i o n a lc o m p o n e n tc o r r e s p o n d st ot h ev i r a s o r oc o c y c l eo i l d e r c t o ，t 0 1 】，a n di t sg e n e r a t o rw i l lb ed e n o t e db yc v s i n c ef i sr e d u c t i v e ，w e h a v et h ef o l l o w i n gc a n o n i c a lp r o j e c t i o n so f - m o d u l e s ： 妒： i s 2 ( 泸” a n d 妒：f z ( f ) = i n v w ew i l lu s et h i sm a p st ow r i t ed o w nt h el i eb r a c k e ti nt h et w i s t e dv i r a s o r o a f f i n e a l g e b r a f = o s 2 ( 泸。o p o c ： 陋( 亿) ，l ( m ) = n - 啪( n + m ) + 等矗，一。， 【l ( 佗) ，f ( r a ) 】= 一m f ( n + m ) 一( 礼2 + 礼) 如，一。妒( 厂) ， 【，( n ) ，9 ( m ) = 【，9 l ( 凡+ m ) + 竹矗，一。妒( ，o9 ) ，9 h e r ea n db e l o ww ea r eu s i n gt h en o t a t i o n sl ( 凡) = 一矿1 丽da n d ，( 扎) f c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gf i e l d si nf ： 叫( z ) u ( 咖一1 = l ( n ) z “。2 n e zn e z 化) = ，( 咖“，f o r ， n z ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 培o ，f 。 p r o p o s i t i o n2 3 1 陋2 it h et w i s t e dv i r a s o r o a f f i n el i ea l g e b r al i sav e r t e xl i e a l g e b r a n o w l e t f c t ，t _ 1 】 g 【 n n - m a t r i x g 【_ b et h en n - m a t r i xl i ea l g e b r a ，a n dt h e nf = d e rc t ，t 。1 】k s e tl ( m ) = t m + l 五da n d ，( m ) = ，ot + 1 ，w h e r e ，i st h eu n i t a l t h e n f = c ( l ( m ) ，( m ) ，x ( m ) f m z ，z s 【) t h e o r e m2 3 2 。瞎1 | t h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o nto f ji s f ：= f o c g 【，c 知。i ，。，c w ) 8 m o r e o v e rw eh a v e w i t ht h ej o l l o w i n gr e l a t i o n s ： 1 工( m ) ，上( 礼) = n m ) l ( r a + 佗) + + 。，o 去( m 3 一r e ) g , r f j ( m ) ，( 礼) j = 扎懿十n ，o ( 为丽； l ( m ) ，( 几) 】= n i ( m + n ) + + 。，0 ( m 2 一仇) ( 机； 陋( 扎) ，可( m ) 1 = 陋，引( m + 扎) + 礼、一n e ； l ( m ) ，z ( 礼) = n x ( m + 礼) ； p ( m ) ，z ( 札) 】= o ； ，：，】= ，c 丸毹 = 【，乃m = ，g i 】= o ， ，0 ra l l m ，n za n dz ，y 与【 c l e a r l y , t h el i ea l g e b r afc o n t m n st h et w i s t e dt t e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r a d e r c t ，t 一1 1kc t ，t 一1 ，oc c v i ，oc c v n oc 翰e i a n d t h ea f f i n e l i e a l g e b r a s 1 v c t ，t - 1 e c c , a ss u b a l g e b r a s s e t 岛( m ) = 玩。俨 f o ra n ym z ，w h e r e i st h en nm a t r i xw i t hc o e f f i c i e n t1o n ( t ，j ) 一t hp o s i t i o n a n d0 i na l l o t h e r s ，t h e n ( m ) lm z ，lsi j 茎n ) i sab a s i so f j n c t ，t - 1 f i xac e n t r a lc h a r a c t e r ，y ：h 2 ( i ) _ c ： 7 ( g ) = e ；【， 7 ( ：西) = c h 。t ，7 ( ( 昂 t ) 一e 、h ，7 ( g r ) = e v 竹 a n dc o n s i d e rt h ec o r r e s p o n