高等数学微积分公式大全.pdf

高等数学完整版计算公式高等数学完整版计算公式 一、 0 0 1 01 1 01 lim0 nn n mm x m a nm b a xa xa nm b xb xb nm = + = ? ? （系数不为 0 的情况） 二、 重要公式重要公式 （1） 0 sin lim1 x x x = （2）() 1 0 lim 1 x x xe += （3）lim()1 n n a ao = （4）lim1 n n n = （5）limarctan 2 x x = （6）limtan 2 x arcx = （7）limarccot0 x x = （8）lim arccot x x = （9）lim0 x x e = （10）lim x x e + = （11） 0 lim1 x x x + = 三、下列常用等价无穷小关系下列常用等价无穷小关系（0 x ） sin xx tan xx arcsin xx arctan xx 2 1 1 cos 2 xx ()ln 1xx+ 1 x ex 1ln x axa ()11xx + 四、导数的四则运算法则导数的四则运算法则 ()uvuv = ( )uvu vuv =+ 2 uu vuv vv = 五、基本导数公式基本导数公式 ( )0c = 1 xx = ()sincosxx = ()cossinxx = () 2 tansecxx = () 2 cotcscxx = ()secsectanxxx = ()csccsccotxxx = ( ) xx ee = ( ) ln xx aaa = () 1 ln x x = ( ) 1 log ln x a xa = () 2 1 arcsin 1 x x = () 2 1 arccos 1 x x = () 2 1 arctan 1 x x = + () 2 1 arccot 1 x x = + ( )1x =( ) 1 2 x x = 六、高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则 （1）( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n nn u xv xu xv x= （2）( ) ( ) ( ) ( ) n n cu xcux= （3）() ( ) ( ) () n nn u axba uaxb+=+ （4）( )( ) ( ) () ( )( ) ( ) 0 n n n kkk n k u xv xc ux vx = = 七、基本初等函数的基本初等函数的 n 阶导数公式阶导数公式 （1）( ) ( ) ! n n xn= （2）( ) ( )n ax bnax b eae + = (3)( ) ( ) ln n xxn aaa= (4)() ( ) sinsin 2 n n axbaaxbn +=+ (5) () ( ) coscos 2 n n axbaaxbn +=+ (6) ( ) () () 1 1! 1 n n n n an axb axb + = + + (7) () ( ) () () () 1 1 ! ln1 n n n n an axb axb += + 八、微分公式与微分运算法则微分公式与微分运算法则 ( )0d c = () 1 d xxdx = ()sincosdxxdx= ()cossindxxdx= () 2 tansecdxxdx= () 2 cotcscdxxdx= ()secsectandxxxdx= ()csccsccotdxxxdx= () xx d ee dx= () ln xx d aaadx= () 1 lndxdx x = () 1 log ln x a ddx xa = () 2 1 arcsin 1 dxdx x = () 2 1 arccos 1 dxdx x = () 2 1 arctan 1 dxdx x = + () 2 1 arccot 1 dxdx x = + 九、微分运算法则微分运算法则 ()d uvdudv= ()d cucdu= ()d uvvduudv=+ 2 uvduudv d vv = 十、基本积分公式基本积分公式 kdxkxc=+ 1 1 x x dxc + =+ + ln dx xc x =+ ln x x a a dxc a =+ xx e dxec=+ cossinxdxxc=+ sincosxdxxc= + 2 2 1 sectan cos dxxdxxc x =+ 2 2 1 csccot sin xdxxc x = + 2 1 arctan 1 dxxc x =+ + 2 1 arcsin 1 dxxc x =+ 十一、下列常用凑微分公式下列常用凑微分公式 积分型 换元公式 ()() () 1 f axb dxf axb d axb a +=+ uaxb=+ ()() () 1 1 f xxdxf xd x = ux= ()() () 1 lnlnlnfxdxfx dx x = lnux= ()() () xxxx f ee dxf e d e= x ue= ()() () 1 ln xxxx f aa dxf a d a a = x ua= ()() ()sincossinsinfxxdxfx dx= sinux= ()() ()cossincoscosfxxdxfx dx= cosux= ()() () 2 tansectantanfxxdxfx dx= tanux= ()() () 2 cotcsccotcotfxxdxfx dx= cotux= ()() () 2 1 arctanarcnarcn 1 fxdxftax dtax x = + arctanux= ()() () 2 1 arcsinarcsinarcsin 1 fxdxfx dx x = arcsinux= 十二、补充下面几个积分公式补充下面几个积分公式 tanln cosxdxxc= + cotln sinxdxxc=+ secln sectanxdxxxc=+ cscln csccotxdxxxc=+ 22 11 arctan x dxc axaa =+ + 22 11 ln 2 xa dxc xaaxa =+ + 22 1 arcsin x dxc a ax =+ 22 22 1 lndxxxac xa =+ 十三、分部积分法公式分部积分法公式 形如 nax x e dx ，令 n ux=， ax dve dx= 形如sin n xxdx 令 n ux=，sindvxdx= 形如cos n xxdx 令 n ux=，cosdvxdx= 形如arctan n xxdx ，令arctanux=， n dvx dx= 形如ln n xxdx ，令lnux=， n dvx dx= 形如sin ax exdx ，cos ax exdx 令,sin ,cos ax uexx=均可。 十四、第二换元积分法中的三角换元公式第二换元积分法中的三角换元公式 (1) 22 ax sinxat= (2) 22 ax+ tanxat= (3) 22 xa secxat= 【特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值】 （1）sin00= （2） 1 sin 62 = （3） 3 sin 32 = （4）sin1 2 =） （5）sin0= （1）cos01= （2） 3 cos 62 = （3） 1 cos 32 = （4）cos0 2 =） （5）cos1= （1）tan00= （2） 3 tan 63 = （3）tan3 3 = （4）tan 2 不存在 （5）tan0= （1）cot0不存在 （2）cot3 6 = （3） 3 cot 33 =（4）cot0 2 =（5）cot不存 在 十五、三角函数公式三角函数公式 1.两角和公式两角和公式 sin()sincoscossinABABAB+=+ sin()sincoscossinABABAB= cos()coscossinsinABABAB+= cos()coscossinsinABABAB=+ tantan tan() 1tantan AB AB AB + += tantan tan() 1tantan AB AB AB = + cotcot1 cot() cotcot AB AB BA += + cotcot1 cot() cotcot AB AB BA + = 2.二倍角公式二倍角公式 sin22sincosAAA= 2222 cos2cossin1 2sin2cos1AAAAA= = 2 2tan tan2 1tan A A A = 3.半角公式半角公式 1 cos sin 22 AA = 1 cos cos 22 AA+ = 1 cossin tan 21cos1 cos AAA AA = + 1 cossin cot 21 cos1 cos AAA AA + = 4.和差化积公式和差化积公式 sinsin2sincos 22 abab ab + += sinsin2cossin 22 abab ab + = coscos2coscos 22 abab ab + += coscos2sinsin 22 abab ab + = ()sin tantan coscos ab ab ab + += 5.积化和差公式积化和差公式 ()() 1 sin sincoscos 2 ababab= + ()() 1 cos coscoscos 2 ababab=+ ()() 1 sincossinsin 2 ababab=+ ()() 1 cos sinsinsin 2 ababab=+ 6.万能公式万能公式 2 2tan 2 sin 1tan 2 a a a = + 2 2 1tan 2 cos 1tan 2 a a a = + 2 2tan 2 tan 1tan 2 a a a = 7.平方关系平方关系 22 sincos1xx+= 22 secn1xtax= 22 csccot1xx= 8.倒数关系倒数关系 tancot1xx= seccos1xx= csin1cs xx= 9.商数关系商数关系 sin tan cos x x x = cos cot sin x x x = 十六、几种