（电磁场与微波技术专业论文）容差分析和设计方法研究.pdf

摘要 受诸多因素的影响，产品元件的实际值与设计值之间不可避免地存在一定程 度的偏差，从而导致产品性能和成品率下降，甚至使产品对使用环境极其敏感。 所谓容差就是指这种偏差的范围，它直接影响产品质量和生产成本。较小的容差 通常可以得到较好得产品性能，但增加生产成本。相反，大的容差虽然能降低成 本，但会造成产品质量的下降。因此，有必要对容差进行研究，使产品质量和成 本在一定程度能够兼顾。 本文主要研究了现有的一些容差分析和设计的方法，同时也对参数的中心设 计进行了较为细致的研究。在容差分析、设计和参数中心设计中，一般需要对参 数可行域进行近似，或是知道容差已知情况下的产品的合格率。因此，本文对几 种比较常见可行域近似和合格率估计方法分别做了介绍。 作者提出一种基于小生境遗传算法的容差分析方法。该方法用于不仅适用于 参数较多的容差分析问题，而且能够处理多个特性函数的容差分析问题。本文将 该方法用于3 r a m 矩形波导宽带定向耦台器的分析与设计，并且验证了该方法的可 行性和有效性。此外，作者将粒子群算法同可行域近似方法结合，对服从任意统 计分布的设计参数进行了中心设计，设计结果和文献进行对比，说明该方法具有 一定的优越性。 关键词：容差；可行域近似；合格率估计：中心设计 a b s t r a c t i n f l u e n c e db ym a n yf a c t o r s ，t h ec o m p o n e n tv a l u e sa l w a y sd e r i v a t e f r o mt h e n o m i n a lv a l u e si ns o m ed e g r e e t h i sm a y l e a dt ot h eq u a l i t yl o s sa n dy i e l dr e d u c t i o no f p r o d u c t ，e v e n c a u s ep r o d u c t f u n c t i o n a l i t y i ss e n s i t i v et ot h ec i r c u m s t a n c eo fu s e e x t r e m e l y t h er a n g eb e t w e e nt h eu p p e ra n dl o w e rl i m i t s o ft h ev a r i a t i o nf r o mt h e n o m i n a lv a l u e si sc a l l e dt o l e r a n c e t h et o l e r a n c ed i r e c t l yi n f l u e n c e st h ef u n c t i o n a l i t y a n dc o s t so f p r o d u c t at i g h t e rt o l e r a n c ei sn o r m a l l yp r e f e r r e df o rp r o d u c tf u n c t i o n a l i t y ； h o w e v e r , m a n u f a c t u r i n g c o s tu s u a l l yi n c r e a s e sd u et ot h er e q u i r e m e n to fm o r er i g o r o u s o p e r a t i o n s c o n t r a r i l y , al o o s et o l e r a n c ei s l e s sc o s t l y ；h o w e v e r , i tm a yc a u s ei n f e r i o r q u a l i t y t h e r e f o r e ，i t i sn e c e s s a r yt os t u d yt o l e r a n c e ，a n dt om a k et r a d e o f fb e t w e e n q u a l i t ya n d c o s t s t h ew o r k si nt h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e do nt h es t u d yo nt h ee x i s t e dm e t h o d so f t o l e r a n c ea n a l y s i sa n dd e s i g n m o r e o v e r , d e s i g nc e n t e r i n ga l s ow a sa p a r tc o n t e n to f t h e d i s s e r t a t i o n i nt o l e r a n c ea n a l y s i s ，t o l e r a n c ed e s i g no rp a r a m e t e r sd e s i g n ，i ti sr e q u i r e d t o a p p r o x i m a t et h ef e a s i b l er e g i o no fp a r a m e t e r s ，o rt oe s t i m a t et h ey i e l do fp r o d u c t h e n c e ，s o m em e t h o d s a b o u tr e g i o na p p r o x i m a t i o na n dy i e l de s t i m a t i o nw e r ei n t r o d u c e d i nt 1 1 i sd i s s e r t a t i o n t h ea u t h o rp r e s e n t e dan e wm e t h o do ft o l e r a n c ea n a l y s i s ，i tb a s e do nag e n e t i c a l g o r i t h mw i t hs h a r i n gt e c h n i q u e i tc o u l d t r e a tw i t hn o to n l yal a r g es c a l ep r o b l e m ，b u t a l s ot h ep r o b l e mw i t hm u l t i p e r f o r m a n c ef u n c t i o n s i nt h ed i s s e r t a t i o n ，t h em e t h o dw a s a p p l i e d t ot h et o l e r a n c ea n a l y s i so f ad i r e c t i o n a lc o u p l e ro f 3 m m r e c t a n g u l a rw a v e g u i d e a n dt h ev a l i d i t ya n d f e a s i b i l i t yo f t h i sm e t h o d w a st e s t e db yt h er e s u l t s i na d d i t i o n ，t h e a u t h o rp r e s e n t e dam e t h o dt h a tc o m b i n e dp a r t i c l es w a r n la l g o r i t h mw i t ham e t h o do f r e g i o na p p r o x i m a t i o n ，t h em e t h o dc o u l dd e a lw i t hd e s i g nc e n t e r i n gf o rp a r a m e t e r sw i t h a r b i t r a r ys t a t i s t i c a ld i s t r i b u t i o n s c o m p a r e dw i t ht h el i t e r a t u r e sr e s u l t ，i te x i s t e ds o m e a d v a n t a g e s k e y w o r d ：t o l e r a n c e ；r e g i o na p p r o x i m a t i o n ；y i e l de s t i m a t i o n ；d e s i g nc e n t e r i n g 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容之外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一起工作的同志对本研究 所作的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：魏丈博 日期：m 口手z ，乃 关于论文使用授权的说明 本文完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定：即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解 密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名：弱a 圭盛日期：如口瓦2 2 3 导师签名 华吼丛：兰：孥 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 由于制造工艺、加工能力及环境等诸多因素，产品的实际尺寸、参数往往背 离设计值，从而导致产品性能和成品率下降，甚至产品对使用环境极其敏感，这 对现代的电子设备是所不允许的。而电子设备的性能一般强烈依赖于元件和结构 的机械加工精度。若元件的容差偏大将增加调试难度和调试成本，或者无法实现 设计指标；容差偏小，废品率将大大提高，然而要提高加工精度无疑会大幅度生 产成本，甚至根本无法实现。 容差设计作为一种工程设计方法与手段，通过寻求各个参数最佳容许误差， 使质量和成本综合起来达到最佳的经济效益。 1 2 综述 容差分析是指在己知参数容差分布的情况下，求电路整体性能的容差分布及 成品率；而容差设计是指在满足一定的合格率的情况下，对参数的容差大小进行 分配，使容差设计的目标函数达到最优。 若已知各个参数的随机分布规律，可以利用概率统计的方法进行容差分析， 获得特性函数的分布规律。如果仅知道各个参数的变化范围或容差，则可以灵敏 度增量计算方法或区间数学方法来计算特性函数的变化范围。这些容差分析方法 适合于不同的场合，各有其优缺点。 容差设计对质量和成本有着极大的影响。容差过松会导致合格率下降，容差 过紧会使生产成本增加 2 】。因此，容差设计实际上就是如何通过优化来分配容差的 问题。但仅靠容差分配并不能得到最好的设计效果。当设计值在可行域的边界时， 只有分配小的容差才能使产品满足性能要求，这样会导致成本上升，成品率极其 敏感；当容差域中心( 设计值) 位于可行域中心附近，会获得比较宽松的容差， 能够降低生产成本，同时能够改善产品的鲁棒性 3 ，4 】。容差设计方法大体可以分为 最坏容差和统计容差这两种设计方法【5 , 6 , 7 , 8 】。最坏容差设计方法就是考虑参数随机 变化时，考虑产品性能的最坏情况进行容差设计。当知道容差域的上下界，而具 体的分布规律不知道的情况下，只能采取最坏容差设计方法。这种方法其缺点是 获得的容差比较紧，成本比较高。但是由于操作简单，理论上来说成品率为1 0 0 ， 仍然被采用。统计容差设计方法是在近十几年出现并发展起来的，结合一些优化 容差分析与设计方法研究 技术，是一种更加有效的设计方法。统计容差方法适合于参数容差分布规律已知， 并且参数与性能指标满足线性的情况。它能够获得比较宽松的容差，在满足一定 的质量前提下成本降至最低，与最坏容差相比更容易为实际生产所接受，但也存 缺点【”。 当元件参数的统计分布规律确定后，参数的容差域将随元件参数的中心值的 移动而移动。如何来移动或修正元件参数的中心值，使得参数的容差域和电路的 合格区适当重合，使产品的合格率达到最大，这就是参数中心值的优化设计问题， 简称为参数中心设计。目前没有获得合格区和合格率严格的精确计算方法，要获 得它们对中心值移动的信息进行优化就更加困难，通常用近似的方法来获得较优 解。处理的方法基本上可以分为两种：其一是确定性的函数几何描述的方法；其 二是统计优化的方法。 不论是容差分析、设计，还是参数中心设计，凡是采用统计方法进行分析设 计，都不可避免地需要进行合格率估计。合格率估计目前大体存在以下几种方法： 一是首先用简单的几何形状或函数对可行域进行近似，接着按元件参数的统计分 布规律选取样本点，根据这些样本点是否位于近似域内来近似估计合格率；二是 用m o n t e c a r l o 方法，通过大量的电路模拟计算来获得合格率：三是用经验性的方 法来求取合格率。 1 3 本文的主要工作和内容安排 本文主要研究了目前已有的一些容差分析和设计的方法，同时也对参数的中 心设计进行了较为详细的研究。在容差分析、设计以及参数中心设计中，通常需 要近似设计参数的可行域和估计产品合格率。因此，本文也介绍了几种可行域近 似和合格率估计方法。 文中，作者将小生境遗传算法用于容差分析。该方法用于不仅适用于大规模 的容差分析问题，而且能够处理多个特性函数的容差分析问题。本文将该方法用 于3 r a m 矩形波导宽带定向耦合器的分析与设计，并且验证了该方法的可行性和有 效性。此外，作者将粒子群算法同可行域近似方法结合，对服从任意统计分布的 设计参数进行了中心设计，设计结果和文献进行了对比。 本文的主要内容安排： 第一章是绪论部分，简要阐述了问题的研究背景和意义，并综述了容差分析 和设计目前的一些发展概况。 第二章介绍了一些主要的可行域近似方法和合格率估计方法。本章内容是以 后各章节的基础，因此先作为一章进行了介绍。 第三章列举了目前已有的几种容差分析方法，并在最后一节详细介绍了作者 第一章绪论 提出的一种基于将小种群遗传算法的容差分析，验证了该方法的有效性和可行性。 第四章主要内容是有关参数中心设计的一些方法。在最后一节，作者将粒子 群算法同可行域近似方法结合，对服从任意统计分布的设计参数进行了中心设计， 设计结果和文献进行了对比。 第五章首先是目前存在的几种容差设计目标函数的优化模型，后面几节介绍 了几种基于不同的优化模型的容差设计方法。 第六章对全文进行了总结和展望。 第二章可行域近似与合格率估计 第二章可行域近似与合格率估计 所谓可行域就是指特性函数满足指标要求的参数空间的总和。如果可行域己 知，就不再需要通过复杂的电路模拟或理论分析来判断电路是否合格，而只需判 断电路参数是否位于可行域内；在参数中心设计时，只要让电路参数的中心值位 于可行域几何中心的附近便可以获得比较宽松的容差；解决容差分配问题时，就 可以对同时成本与合格率进行优化。很明显，可行域对电路合格率的估计、参数 中心设计及容差设计问题有极其重要的意义，但是通常情况下它的空间几何形状 事先是不知道的，并且很难用表达式准确描述。目前，有不少学者致力于可行域 研究，已提出了许多可行域的近似方法。 现有的可行域近似方法大体分为两类：一种是用一些简单的空间几何体通过某 种方法来近似可行域，如单纯形法，边界梯度搜索法 9 - 1 2 , 2 3 , 2 4 j ；另一种方法是通过 对样本数据的学习，拟合出表达示来近似可行域，比如神经网络方法，最小二乘 法等i l 。”j 。第一类方法可行域边界非线性不明显的情况，而第二种方法在非线性 比较明显的情况能得到更好的近似。 2 1 椭圆可行域近似方法 打维e u c l i d e a n 空间五”中，椭圆方程的一般形式为 ( x z 。) 7q ( 一凰) = 1( 2 1 ) 式中9 是半正定对称矩阵，蜀是椭圆中心。 如果q 是对角阵，那么椭圆的各个半轴分别和坐标轴平行，并且第i 个椭圆半 轴的长度等于1 i ，g 。是q 第f 个对角元素。如果凰是坐标原点，并且q 是对 角阵，则该椭圆方程是标准形式。方程( 2 1 ) 总是可以通过坐标轴的旋转和平移转 换为标准形式。 如图所示，矢量d 。是第f 个椭圆半轴方向矢 d t = x 。一x o 肖，和x 。关于椭圆中心x o 对称， j 。= x o d ， 第i 个椭圆半轴的长度可以用表示， = 阮- x 。l - i 凰- x 。 容差分析和设计方法研究 椭圆方法近似可行域属于优化问题。在椭圆中心和x ，x ：， 足电路约束的条件下，使椭圆达到最大，即 m a x f ( u ) = 兀i i = 1 约束条件： d i r d j = 0 ，i = 1 , 2 ，n 一1 ， _ ，= i + 1 ，- ，” ，x ，x 2 。满 ( 2 2 ) c ( x ，) 0 ，i = 0 , 1 ，2 n 式中f ) 是目标函数；d i 是第i 个椭圆轴的方向矢；是d 。的长度：c 是电路约束 所组成的向量：“是优化变量。目标函数f ( “) 的大小和椭圆所包围的体积成正比。 优化变l u 包括椭圆中心凰以及方向矢d ；( i = 1 , 2 ，n ) ，记作： “： j f f 0 t 吐7 ，d , r 】r 总的优化变量个数是n + 1 ) ，选择这些变量可以允许椭圆在优化过程中翻转和 平移。等式约束能够保证椭圆的轴在优化是始终垂直，等式约束的个数是 h x r 胛一1 ) 2a 文献【9 ，1 0 】采取了一种由p s p e l l u c c i 提出的梯度优化方法。该方法能够解决等 式 x 1 图2 1 椭圆可行域近似 和不等式约束条件下的一般非线性问题，目标函数和约束函数的梯度可以以函数 形式给出，也可以用数值方法来求解，本小节所有算例都用该方法来优化。优化 6 第二章可行域近似与合格率估计 结果依赖于初始点的选取和约束域的实际形状。图2 1 可以看出，对于两个不同的 初始点x 。和z ，：得到不同的结果，即优化结果不一定是全局最优。 下面考虑r ”到夏”的映射，瓦”的原点是椭圆中心x 。，豆”的归一化正交基是 b 肛，i = 1 , 2 ，n 。因此r ”中优化得到的椭圆经过翻转和平移，映射到瓦”中便可 以用椭圆的标准形式来表达。 牙= p j r 2 3 1 其中 舣= x x a p 槲吐玎，。 上式中x r ”，x 一r 一”。p 中椭圆方程表示为 f 豆叉= 1 酉= 纰( 如2 ) 上边的椭圆方程用r ”中的变量可以表示成 ( z z o ) 1q ( x x o ) = 1( 2 - 4 ) 式中 q = p 7 _ p q 矩阵的元素吼可以用下面的公式计算 q o ：窆警h ，2 ，竹；- ，：1 ，2 ，。 k = l r k 上面变量的值可以直接从优化结果得到。椭圆轴的所有端点满足约束。每个轴向 的两个端点中至少有一个位于可行域的边界，否则优化结果不是最优解，椭圆沿 该轴方向可以进一步变大。 假定c q 。是戤的一个严格约束条件，并且z 。满足 c ( x ) = 0 ，k = 1 , 2 ，z ， 假设函数c 至少三阶连续可微，则上式的泰勒级数展开形式为 。= c 佤) + ( 去) 7 硝。+ 圭溉) 7 箬皿。( 2 - 5 ) + 匕c + 倒m ) 其中z 。是。附近的点。只要x 。和x 。足够接近，对约束g j 数c ( x ) 取二阶近似便 7 容差分析和设计方法研究 司以获得足够厨的近似精度。c 在五的值和一阶导数司以在优化过程中得到。椭 圆的二阶导数是2 q ，可以用它近似估计c 在x 。点的二阶导数 五d 2 c ，( x 。) 2 口q ( 2 6 ) 式中a 是实常数。于是 慨+ 喙阮) ) 7 删。+ ) 7 口啾。皿。 ( ：- 7 ) + r 3 ( x o + 倒m ) 若x 。是椭圆轴的端点，因此满足椭圆方程( 2 4 ) 。将( 2 - 4 ) 代入( 2 7 ) ，得到 d = 一c 慨) 一 面d e 、x 。) ) 硝。一吒+ 似。) ( z - 8 ) 口可以用忽略高阶项的万来近似 阢) _ ( 去) 7 峨 ( 2 _ ，) 通过( 2 6 ) 和( 2 9 ) 可以获得c q 。在x o 的二阶导数，系数日的求解几乎不需要 其它附加的计算。 知道c 在x 。的二阶导数之后，x 。邻域内的任一点x 的约束函数c 可以用亭近 似 c ) 石暖) = c 口。) + ( 去口0 ) ) 2 竹+ 趟7 百q 脯 ( z 邶) 如果对共同组成可行域的每个严格约束函数在椭圆中心附近进行- - n 近似，也就 实现了用椭圆方法来近似可行域。 2 2 多层前馈神经网络方法 多层前馈神经网络又称b p ( b a c kp r o p a g a t i o n ) 神经网络。图2 2 所示是三层前 馈神经网的拓扑结构，这种神经网络模型的特点是：各层神经元之间无反馈连接， 各层内神经元之间无任何连接。仅相邻层神经元之间有连接。 对于输入信号，要先向前传播到隐节点，经过作用函数之后，再把隐节点的输 出信息传播到输出节点，最后给出输出结果。节点的作用函数通常选取s i g m o i d 型函数，表示如下： 正。= 1 1 + e x p ( 一x ) 】( 2 - 11 ) b p 神经网络的输入与输出关系是一个高度非线性映射关系，如果输入节点数 第二章可行域近似与合格率估计 为n ，输出节点数为m ，则网络是从”维欧氏空间到m 维欧式空间的映射。 通过调整b p 神经网络中的连接权值、网络的规模( 包括n ，州和隐层节点数) ， 就可以实现非线性分类等问题，并且可以以任意精度逼近非线性函数。由于神经 网络自身具有的优点，已有很多学者将其用于特性函数和可行域近似”】。 隐节点 图2 2 b p 神经网络示意图 2 3m o n t e c a r l o 合格率估计法 为使合格率r ( x 。) 的计算能转化为一般的概率统计计算，有必要定义一个支持 函数 剃= ：，黧乏三 陋仍 于是合格率】，g 。) 的计算公式可以表示为 y g 。) = f g g b g - - x o ) 矗( 2 1 3 ) 由此可见合格率y ) 就等于支持函数g g ) 对于分布密度函数p g 一) 的统计 平均，也就是它的数学期望。用m o n t e c a r l o 参数估计方法来估计合格率y ( ) ，则 有 p k ) ：i 1 ng g t ) y 女；l ( 2 1 4 ) 它的方差 。) ) = 击p k ) 0 一p k ”( 2 - 1 5 ) 函数值g g ) 的计算，只要将分布密度函数p 0 一x 。) 随机产生的一个参数矢量工t 代 入特性函数或进行模拟分析，看它是否满足特性要求。式f 2 1 4 ) t ! i n 表示为 容差分析和设计方法研究 ) = 万n r 2 1 6 ) 这里费为n 次采样中，矿a ：尼= 1 ，) 的次数。值得注意的是合格率估计的误 差基本上同1 厨成比例。 2 4 重要采样法 由式( 2 1 3 ) ，倘若引进一个新的概率密度函数口g ) ( 称为采样密度函数) 使 ) = 扣g ) 剖西 ( 2 - ，) 于是，y k ) 新的支持函数 季g ) = g g ) 里云产= g o ) w o ) ( 2 - 1 8 ) 口i zj 对采样密度函数g b ) 的统计平均或数学期望，它的m o n t e c a r l o 近似估计 雄。) = 击艺9 0 h g 2 ) ( 2 1 9 ) 分布密度函数p ( x x o ) 和采样密度函数q g ) 为已知，所以权函数w 0 ) 也是可以计 算的。在给定估计误差占和实现概率口后，需要的采样次数 器= 器 陋z 。， 倘若适当选择采样密度函数g g ) ，使得9 0 h g ) 的均方差减小，就可以达到减小n 的目的。如果能预先估计出合格区的位景，那么只要选取g b ) 使它在合格区中有 较大的值，而在合格区外则基本为零，从而实现减小采样次数的目的。所以该方 法的有效应用在于正确估计合格区，从而适当选定采样概率密度函数g g ) 1 1 4 l 。 2 5 径向探索方法 径向探索方法是一个经验性的减少计算量合格率估算方法。通过合格区a 中的 某一参数点x o ，按随机确定的n ，个不同的方向作n ，条直线，然后从z o 出发分别 沿每一条直线的两个方向进行搜索，找出直线和参数容差区r 以及合格区4 边界的 交点。设x o 沿直线至这些交点的距离分别为d 盖，蛎和略，d 五。于是合格率的 经验估计公式为 第二章可行域近似与合格率估计 矿= 击善心，+ e y ) ( 2 - z ，) 一d 二 ，= 二_ 。 d ； t a h i m 和s p e n e e 在文献 1 7 ，1 8 】中对多种形状的合格区进行了估计计算，所得结果 和m o n t e c a r l o 的估计结果基本相同。 可以看出，该方法的主要计算量在于求取直线和合格区a 边界的交点，它需要 按直线的径向进行搜索多次求解。 一蝣 = ， 而 第三章容差分析 第三章容差分析 在很多情况下，我们只是知道各个参数的随机分布规律或者是它们的相应变化 范围，如何得到电路特性的随机分布规律或者它的变化范围，这是本章所要研究 的主要问题。若已知各个参数的随机分布规律，可以利用概率统计的方法来计算 电路特性的分布规律，如果仅知道各个参数的变化范围或容差，则可以灵敏度增 量计算方法或区间数学方法来计算1 1 ，1 虬1 l 。 本章首先介绍了目前已有的一些容差分析方法。最后一节，作者将小生境遗传 算法n i e h e g a 用于容差分析。该方法不仅能够对大规模的问题进行容差分析，而 且可以同时对多个特性函数进行分析。 3 1 概率统计方法 设z = ( 一，x 2 ，x 。) 7 是电路1 9 的参数矢量，厂( z ) 则是粤的一个电路特性函数。 为了阐述方便起见，定义y = f ( z ) ，y 也就是电路的特性函数f ( x ) 。如今各个参 数t ；i 1 ，门 都是随机变量，并且它们的分布函数为 f ( 孝) = f ( 毒，参，己) = p l x ， 备，x ： 岛，x n j( 3 - 1 ) 若x 为连续型随机变量，则有分布密度函数p ( 毒) = p ( 最，毒：，善。) ，而 f ( 孝) = e ；2 p ( r l ，2 r ，r 。) d r ，d r a d r 。( 3 - 2 ) 特性函数y = 厂c r ) 也是一个随机变量，它的分布函数中( 功可以由以下公式得到 中( 国) = p y 回 = p 驴( z ) 国 = f - p ( 孝) ( 3 - 3 ) ，( 善) 对于连续型随机变量x ，则有 o ( ) = i j i p ( 茧，芭，磊) 幽豫 ( 3 - 4 ) 厂( 轰，孝：，磊) 0 ，有 憔产渺。件。一掣 凼为e ( y “) = e ( y ) ，d ( y “) = d ( y ) ，k = 1 ，n ，凼此 。( 专砉j ，。 = ( 专 2 薹。( y ) = 专。) 代入上式则可得 尸瓞产e 。h 小窘 显然在占确定后，当n 专0 0 时，则有 。l i + m 。p l 专薹y 一e 1 s ) = ， 所以只要n 取得足够大，就可以利用 e ( ) ) = 专羹y 来估计特性函数y = ，( ) 的数学期望e ( y ) 。 如果希望估计值e ( ) ) 和e ( y ) 的绝对差值i e ( ) ) 一e 0 】 占 p e ( ) ) 一e 0 】 占 = 口，那么由( 3 1 1 ) 式可以得到需要采样试验数 器 ( 3 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) 的出现概率 f 3 - 1 3 ) 可见试验数与估计的精度占的平方以及概率( 1 一d ) 成反比，若要估计值e ( ) ) 的精度等于数学期望e 0 ) ，则将趋于无穷大。 同样可以得到方差d ( y ) 的无偏估计为 。 ( ) ) = j 函1 砉( y 一e ( ) ) ) 2 因为e ( d p ( ) ) ) = d ( y ) ，所以它是无偏估计，由c h e b y s h e v 不等式， 尸。p ( ) ) 一。叫 占阻警 当n 趋于无穷大时，则有 ( 3 1 4 ) 可以得到 1 6 容差分析和设计方法研究 熙尸d ( ) ) 一d ) s “1 由e ( y ) 和d 0 ) 的估计公式( 3 1 2 ) 和( 3 - 1 4 ) ，可以得到如下的递推算法： e ( ) ) = 乞e ( 一，) ) + 万1 y”(3-15) d ( ) ) = d ( 一1 ) ) + 专( y ”一e o 。( n 1 ) ) ) 2 ( 3 - 1 6 ) 根据上述公式，只要给定要求的估计精度s ，就可以不断增加采样试验数n ，直 到连续k 个估计值满足 i e ( + f ) ) 一e ( ) 】s ，i = 1 , 2 ，k 就可以得到所要求的结果。 3 2 增量计算方法 很多情况下人们并不一定知道电路参数的分布特性，而仅知道它们的容差范 围k ；，x 一，即x ：_ x ? ；i 1 ，行 ，所要确定的也是电路特性函数y = f 旺) 的相 应变化范围l y ，y 4 l 。把它归结为数学问题的话，就是要在参数区域 d = z k 一x ? ；f 1 ，” 上，确定出电路电路特性函数y = 厂陋) 的全局极小和极 大。显然，问题的一般探讨是复杂的，特别是参数x 的维数较高时，电路特性函 数1 ( x ) 本身的具体形式就很难给出，但如果电路特性函数厂( x ) 在d 的内部不存 在有极小点和极大点，也就是它的偏微商在d 上是不变号的，那么这时的极小和 极大就必将在区域d 的顶点上，只要确定出对应的顶点位置，那么通过电路的增 量分析就可以计算出电路特性的y 和y ”了。 【定理2 2 1 】若y = 厂伍) 是参数x 分量的线性函数，即 y = ，伍) = 口o + 叩， ( 3 一a 7 ) 它的偏微商罢：q ；f l ，以) 为常数。则它的极大和极小将在d 的顶点上。其位 麟： 置为 甜；= ：；若若d a i 。o ； ? = ：；萋： c 。一，s ， 甜；2 1 x ；觐 o 川，2k 若q o u q 酬 即 篁三童查差坌堑 y = 加) = + 掣； 。4 r 3 - 1 9 ) n y 4 = 巾”) = a 0 + 掣? z l i 所以当各个参数t ；i 1 ，n 的容差范围不大时，可以把特性函数去一次线性 这里。为参数的设计值，s 。y ，为_ 。处的微分灵敏度。于是根据s ；i 1 ，n 的符 号，由( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 式，即可得到特性函数y 的变化范围 y t = y o + 窆残0 ；一x ? ) 州 ( 3 2 1 ) y 一= y o + 羔s ：一f ) 其中 y 。= 厂伍。) 如果参数爿的容差范围不很小( 百分之十以上) ，线性近似将会引起较大的误 差。 定理2 2 2 】若电路特性函数y ：，留) 的偏导数掣，f 1 ，力 在区域。上不 变号，则仍然有 y = 厂0 ) ；y = ，0 “) ( 3 2 2 ) 而 所以只要特性函数的偏导数在容差域d 上不变号，那么它的极大点和极小点 仍在容差域的某个顶点“。和群上。但这时和线性近似的情况不同，它不能由公式 ( 3 2 1 ) 渊g ，因为灵敏度系数戳：i 1 ，竹) 并不是常数，这时只能根据参数 矢量。，和甜一直接代入方程，利用前面讨论的增量分析方法来计算y = ，0 ) 和 y = ，0 ”) 。 o 0 、lj# 一 l p醚 。h 卜 o 扛 厂 y 似近 ” 之 0 警警 若 若 一 ， 憎 哺 、 衅 掣掣 若 若 玮 弗 容差分析和设计方法研究 3 3 基于小生境遗传算法的容差分析方法 通过前厩介绍知道增量计算法仅适合于特性函数在容差域内不存在极点的情 况，而区间计算法同增量计算法一样，适用于参数校少的情况，在参数比较多时计 算量会很大。鉴于n i c h e g a 所具有的优点，作者将其用于容差分析，并得到了满 意的结果。 遗传算法启迪于自然界生物的进化过程，借鉴于达尔文的物竞天择，优胜劣 汰，适者生存的自然选择和自然遗传机理，是一种求解问题的高效并行全局搜索 方法。它能够在搜索过程中自动获取和积累有关的空间知识，并自适应地控制搜 索过程以求得最优解【2 ”。 遗传算法的主要特点是群体搜索策略和群体中个体之间的信息相互交换，它 实际上是模拟由个体组成的群体的整体学习过程，其中每个个体表示给定问题搜 索空间的一个解点。遗传算法从任意初始化的群体出发，通过随机选择( 使群体 中优秀的个体有更多的机会传给下一代) 、交叉( 体现了自然界中群体内个体之间 的信息交换) 和变异( 在群体中引入新的变种确保群体中信息的多样性) 等遗传 操作，使群体一代接一代地进化到搜索空间中越来越好的区域，直至抵达最优解 点。遗传算法和其它搜索方法相比，其优越性主要表现在于算法在搜索过程中不 易陷入局部最优，适合处理大规模优化问题。 在自然界，“人以群分，物以类聚”是一个司空见惯的现象。生物总是倾向于 与自己特征、性状相类似的生物生活在一起，一般总是与同类交配繁衍后代。这 种正选型交配方式在生物遗传进化过程中是有积极作用的。生物学上，小生境是 指特定环境中一种组织的功能，而把有共同特性的组织称作物种。 为了理解小生境技术在遗传优化中的作用，先考察一下基本遗传算法在单变 量多峰函数优化方面的搜索特性。如果以均匀分布的随机方式产生初始群体，则 在算法的开始阶段，各个体分布在一个相对较宽的函数定义域中；随着遗传优化 过程的进行，群体开始爬山，并逐步集中到一个山峰上。这种收敛到一个山峰( 或 山谷) 的优化特点是由种群规模有限所引起的随机采样错误造成的。如图3 1 ( a ) 所示，基本g a 的优化结果使群体集中到单变量多峰函数最高的一个山峰上。在 实际应用中，有时需要了解问题空间内其它山峰的情况，显然，基本遗传算法不 能满足这一性能要求。另外，基本遗传算法采取的是一种随机交配方式；而在生 物界，交配则不完全是随机的，至少有性别、区域以及物种等方面的因素的制约。 从遗传算法角度来看，虽然随机交配方式增强了开辟新的可能有用的搜索空间的 能力，但由于缺乏对可能的交配效果( 子代的质量) 方面的考虑，也会带来交配 的有效性以及优化效率不太理想等方面的问题。为了解决这些问题，在遗传算法 第三章容差分析 中引入小生境技术。图3 1 ( b ) 可以看出引入小生境技术后算法的多峰搜索效果 明显改善。 ( a )( b ) 图3 1 基本g a 和n i e h e g a 优化单变量多峰函数的解群分布情况 对于变量数很多的高维问题来说，大多数的容差分析方法会导致计算量太大， 因此无法适用。而遗传算法在处理大规模优化问题具有明显的优势，因此作者想 到将遗传算法应用到高维容差问题。 人们经常会碰到这样一种情况，已知参数的变化范围或容差，需要对多个特 性函数进行容差分析。有些特性的计算过程大体相同，只是最后处理有所区别， 例如：用矩量法求线天线的输入阻抗和方向图，不论要知道哪个特性都需要花费 相当的时间求出沿线电流分布。若是逐一对每个特性进行容差分析，必然造成计 算量的浪费，如果能够协同对几个特性进行分析，则能够提高分析效率。作者定 义这样一个函数，每个特性的极值( 极大或极小) 在该函数上都对应一个局部最 大值，并利用小生境的多峰搜索能力来寻找该函数的多个局部极值，也就得到了 多个特性函数的变化范围。 为验证算法的有效性和可行性，这里对文章口中参数设计后的宽带定向耦合器 分别用n i c h g a 和m o n t e c a r l o 法进行了容差分析，并比较了分析结果。在容差域 内随机抽取5 0 0 0 个样本点对c “和d “进行m o n t e c a r l o 分析，近似得到c 。，的变化 范围和d 。的最小值。表3 1 给出了两种方法容差分析的结果。不难看出n i c h g a 能够得到更为准确的结果，说明了该方法能够对多个特性函数同时进行容差分析， 并且是可行、有效的。 表3 1n i c h e g a 和i o n t e c a r l o 法容差分析结果比较 分析方法 c 。( d 8 )c ( d 8 ) d 。( d e ) n i c h e g a9 2 71 0 9 42 8 8 5 m o n t e c a r l o9 _ 3 810 9 23 5 7 2 第四章重心设计 第四章中心设计 参数的统计分布规律确定后，参数的容差域将随着参数的中心值的移动而移 动。如何来移动或修正电路元件参数的中心值，使得参数的容差域和电路的合格 区适当重合，使电路的合格率达到最大，这就是电路参数中心值的优化设计问题， 也称为电路参数的中心设计( d e s i g nc e n t e r i n g ) 。由于电路的合格区和合格率没有严 格的精确计算方法，要获得它们对中心值移动的信息进行优化就更困难，通常都 从各种近似的方法来获得较优解。处理的方法基本上可以分为两种：其是确定 性的函数几何描述方法 9 1 0 1 1 , 2 3 0 4 】；其二是统计优化的方法 7 , 1 1 2 5 】。它们各有优缺点， 前一种方法适合于参数较少的情况，后一种方法适应性比较强，但计算量往往比 较大。 4 1 双边椭圆区域法 介绍双边椭圆区域法实现中心设计之前，先引入边界梯度搜索技术。如图 4 1 所示，边界梯度搜索技术是一种迭代算法，算法最终会在可行域边界上找到 图4 1 边界梯度搜索示意图 这样一点，该点处可行域边界的梯度方向与预先给定的方向相同岛相同。 简单起见，假定构成可行域的约束条件只有一个，即 g b j 0( 4 1 ) 式中g ( x ) 是二次凸函数。边界梯度搜索技术的基本迭代式为 t + l = 一+ l g d 一，g ? j g ( x 。) = g ( x 。) = 0( 4 2 ) 其中，酣= g , l l g , i i 是函数g g ) 在可行域边界点x ，的归一化梯度，r 和丑均为常数， 岛是期望的归一化梯度方向。 双边椭圆区域法的首次使用是用于求解线性不等式系统的可行解。在第，次迭 容差分析和设计方法研究 代中，当前的超椭球体可以用下式给出 e ，= 岳丑”1 0 - l j 户b j l g o ) l j ( 4 3 ) 式中f ，是超椭球体的中心，b 为超椭球体的半正定矩阵。该超椭球体被两个平行 的超平面截成三个部分。第一部分是双边椭球区域，并假定它包含可行域，记作 耻卜 掣小郇删 睁a ， 其中，a 是两个超平面的法向矢量。常数善和7 7 分别是t ，到两个超平面的距离，可 以从口，中求得。其它两个部分e 。完全属于不可行域，表示为 e 。= e j e a ( 4 5 ) 边区域 图4 2 双边椭圆区域 用式( 4 4 ) 所表示的双边椭圆区域b ，可以构造一个新的超椭球体e 川。e j 。 是包含岛并且体积最小的超椭球体a 新椭球体局+ 的中心和超椭球体矩阵可用下 面的式子来求： 其中 b ，a z = = 二= = = 7 0 一b p 并且式中的口、和y 可由下面的式子来确定 珂一孝 1 至- r 2 + 孵 ( 4 7 ) 石 h 、，；， r 纪 、l0 中j， 芦心恬 一 一，、 、 = 一 卜 卢 = 吃 第四章重心设计 肛嘉【- 一华+ l 7 史兰1 2i ( 1 - r 2 一孝2 ) 、 2j 。 n 2 产弘d 、1 。( 4 - 8 ) 已经证明，新椭球体e 。包含易，并且体积小于e j 则必须满足条件 玎孝卜i n ) ，一l 孝 0 ，并任意选定m 个方向矢量q ：i 1 ，n t 。 ( 2 ) 计算q ) ：啼一临；，。 1 ，) 和，伍) ：兰。伍k ，：j ， 】。p ) 。 j = l ( 3 ) 若i ，伍】s ，则迭代停止，并取x ：= x 乎) 。若l ，( 七b 占，则取移动步长 为紫。并雠枷甜) + 紫；胍