（系统工程专业论文）广义大系统稳定性的判定条件与方法.pdf

摘要 摘要 二十世纪七十年代初，r o s e n b r o k h h 在他发表的题为“一般动态系统的结 构性质”一文中首次提出了广义系统的概念。从那以后广义系统引起了国内外学 者浓厚的研究兴趣，并逐渐发展成为现代控制理论的一个分支。随着现代科技的 迅速发展以及大型工程技术的需要，为了克服与其相关的数学模型维数日益增大 和复杂性带来的困难，人们提出了广义大系统的模型。稳定性在广义大系统中的 研究和在正常大系统中一样具有重要的意义，它对广义大系统的后续研究，如系 统设计和控制起到基础性作用。然而由于广义系统特有的正则性和脉冲行为以及 大系统本身的复杂结构，致使有关研究和结论变得复杂而富于挑战性。 本文在分析广义大系统稳定性的国内外研究现状的基础上，着重研究了广 义大系统稳定性判定问题，给出了广义大系统稳定性的判定条件与判定方法。主 要内容包括如下几个方面： 一、论述与本文有关的背景。介绍了大系统理论中的李雅普诺夫函数法和比 较原理等背景知识； 二、给出了判定连续广义大系统渐近稳定与不稳定的充分条件。对于线性连 续广义大系统，利用广义向量l y a p u n o v 函数法，得到在线性连续广义大系统正 则无脉冲且其每一个孤立子系统正则、渐近稳定的条件下，线性连续广义大系统 渐近稳定的判定定理，同时给出对应的关联参数稳定域与不稳定域，并把它推广 到非线性连续广义大系统中去。 三、给出了判定离散广义大系统渐近稳定与不稳定的充分条件。对于离散广 义大系统，利用广义加权和型的l y a p u n o v 函数法，得到在离散广义大系统正则 因果且其每一个孤立子系统正则、渐近稳定或不稳定的条件下，离散广义大系统 渐近稳定或不稳定的判定定理，同时给出对应的关联参数稳定域和不稳定域。利 用广义加权和型的l y a p u n o v 函数方法得到的关联参数稳定域理论上可以实现 最优化。 关键词：广义系统，大系统，渐近稳定，广义l y a p u n o v 函数，比较原理。 广东工业大学工学硕上论文 ab s t r a c t s i n c er o s e n b r o k h h f i r s tp r e s e n t e dt h ep r o b l e mo fs i n g u l a rs y s t e mi nh i sr e s e a r c h p a p e ri n19 7 4 ，s i n g u l a rs y s t e m sh a sb e e na r o u s e dg r e a ti n t e r e s to fm a n yp e o p l ea l l o v e rt h ew o r l d ，a n di th a sb e c o m eab r a n c ho fm o d e mc o n t r o lt h e o r y w i t ht h er a p i d d e v e l o p m e n to fm o d e mt e c h n o l o g ys c i e n c ea n dt h en e e do fl a r g ee n g i n e e r i n g t e c h n o l o g y , i no r d e rt o o v e r c o m et h ed i f f i c u l t yw h a tc o m ef r o mt h ei n c r e a s i n g d i m e n s i o no fi t sm a t h e m a t i c a lm o d e l ，p e o p l eh a v ep r o p o s e dt h es i n g u l a rl a r g e - s c a l e s y s t e m t h er e s e a r c ho fl a r g es c a l es y s t e m sh a sa r o u s e dg r e a ti n t e r e s to ft h ec o n t r o l a n dm a t h e m a t i c a lc i r c l e sa n dh a sb e c o m eo n eo ft h eh o ts p o ts u b j e c t s t h es t a b i l i t yo f s i n g u l a rl a r g es c a l es y s t e m si sa si m p o r t a n ta st h a to ft h en o r m a ll a r g es c a l es y s t e m s b e c a u s et h es i n g u l a rs y s t e m sa r ec o n c e r n e dw i t hn o to n l ys t a b i l i t yb u ta l s ot h e i r r e g u l a r i t ya n di m p u l s e - f r e eb e h a v i o r s ，t h er e s e a r c ho fs t a b i l i t yo fs i n g u l a rl a r g es c a l e s y s t e m sa r em u c hm o r ec o m p l i c a t e dt h a nt h o s eo fr e g u l a rs y s t e m s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，ad e t a i l e da n a l y s i so ft h ec u r r e n ts i t u a t i o no fs t u d yo nt h e s t a b i l i t yo fs i n g u l a rl a r g e s c a l es y s t e m si s s t u d i e da n dt h e s t a b i l i t yo fs i n g u l a r l a r g e - s c a l es y s t e m si ss c i e n t i f i cr e s e a r c h e d t h em a i nr e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea s f o l l o w s ： 1 t h eb a c k g r o u n dr e l a t e dt ot h es u b j e c ti ss u m m a r i z e d ，a n dt h ec o m p a r i s o np r i n c i p l e a n dt h em e t h o do fl y a p u n o vf u n c t i o na r ei n t r o d u c e d 2 t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n di n s t a b i l i t yo fak i n do f c o n t i n u o u ss i n g u l a rl a r g e - s c a l e s y s t e m si si n v e s t i g a t e d ，r e s p e c t i v e l y , b yu s i n gt h em e t h o do fv e c t o rl y a p u n o v f u n c t i o nu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ta l li s o l a t e ds u b s y s t e m sa r ea s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo r u n s t a b l e t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n di n s t a b i l i t yt h e o r e m sa r eo b t a i n e d ，a n dt h e i n t e r c o n n e c t i n gp a r a m e t e rr e g i o n so fs t a b i l i t ya n di n s t a b i l i t ya r ea l s og i v e n s o m e i l l u s t r a t ee x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h er e s u l t sa r ep i t h ya n de a s yt oa p p l y 3 t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n di n s t a b i l i t yo fak i n do fd i s c r e t es i n g u l a rl a r g es c a l e s y s t e m si si n v e s t i g a t e db yu s i n gt h em e t h o do fw e i g h ts u mt y p el y a p u n o vf u n c t i o n u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ta l li s o l a t e ds u b s y s t e m sa r er e g u l a ra n da s y m p t o t i c a l l ys t a b l e i i a b s t r a c t o ru n s t a b l e t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yt h e o r e mi n s t a b i l i t yt h e o r e m sa r eo b t a i n e d ，a n d t h ei n t e r c o n n e c t i n gp a r a m e t e rr e g i o n so fs t a b i l i t ya n di n s t a b i l i t ya r ea l s og i v e n t h e i n t e r c o n n e c t i n gp a r a m e t e rr e g i o n so fs t a b i l i t yc a nb eo p t i m i z e d k e yw a r d s ：s i n g u l a rs y s t e m ，l a r g e s c a l es y s t e m ，a s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t y , l y a p u n o v f u n c t i o n ，c o m p a r i s o np r i n c i p l e i i i 广东工业人学学位论文独创性声明 广东工业大学 学位论文独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师的指导下进行的研究工作所取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包 含本人或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中做了明确的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论 文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 惟善暨j 善| 么、 导师签名馏 ，4 钞1 l 兹鸽 日期：2 0 0 8 年4 月2 0 日 日期：2 0 0 8 年4 月2 0 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 广义系统理论的发展和展望 广义系统是一类比正常系统更具广泛形式的动力系统，广义系统理论是2 0 世纪7 0 年代才开始形成并逐渐发展起来的现代控制理论的一个独立分支。2 0 世 纪7 0 年代初，r o s e n b r o k h h 【l 】在他发表的题为“一般动态系统的结构性质”一 文，对线性广义系统的解耦零点及系统受限等价性做了研究，首次提出了广义系 统的概念。随后，美国学者l u e n b e r g e rd g 分别在i e e et r a n s a c t i o no n a u t o m a t i c c o n t r o l 和a u t o m a t i c a l 上发表论文，对线性广义系统解的存在性和唯一性等问题 展开研究。从此，拉开了对广义系统理论研究的序幕。 在广义系统理论发展初期，即2 0 世纪7 0 年代，研究进展较慢，除上述开创 性成果之外，这一时期的突出成果还有l u e n b e r g e rd g 关于非线性广义系统的研 究。进入2 0 世纪8 0 年代，越来越多的控制理论工作者对广义系统产生了浓厚的 兴趣，广义系统理论也进入了一个新的发展阶段，从2 0 世纪8 0 年代初开始十年 间，广义系统理论取得了蓬勃的发展。s l c a m p b e l l p l 于1 9 8 0 年出版了广义系统 理论的第一本专著，系统地介绍了广义系统的基础理论，从而标志着广义系统的 基础理论已经形成。这一阶段出现了一批研究成果，如：c o b bjd 【3j 提出了广义 系统的能控性，能观性及对偶原理；进一步地，d a il 4 】j 各其推广到离散广义系 统；y a n gc 等提出了广义系统的最小实现问题；f a h m ym m 等进行了观测器的 设计；f l e t c h e rl r 等分别研究了广义系统的干扰解耦及特征结构配置等问题； d a il 分别对连续及离散广义系统设计了动态补偿器；b e n d e r d j 等分别就连续 及离散广义系统研究了线性二次型最优调节器问题；l i n j 和l i n x 分别讨论了 时变和时不变广义系统的最优控制问题等。 在广义系统理论的近期发展阶段，即从2 0 世纪9 0 年代初至今，已经过了十 多年的发展，广义系统的研究已从基础向纵深发展，涉及了从线性到非线性，从 连续到离散，从确定性到不确定性，从无时滞到时滞，从线性二次型最优控制到 日，和h 。控制等各个专题，并取得了丰硕的成果【5 】 2 1 1 。 广义系统理论的研究迄今有近三十年的历史，已取得了很大的发展，并逐渐 广东工业人学工学硕上论文 形成一个内容丰富的理论体系，己成为现代控制理论的一个重要组成部分。那么， 广义系统理论研究将朝哪个方向发展，换句话说，广义系统理论在今后的研究重 点是什么，按照有关学者的分析1 2 0 ，我们认为以下几个方面可能可以作为我们 研究的重点工作。 ( 1 ) 复杂广义大系统的控制。工程实际情况通常是复杂的，由此产生的广义 系统控制问题也不能不考虑其复杂因素的影响，如：时变性，不确定性，时滞性 和分散性等。另外，非线性广义系统更是复杂和困难的。在广义系统的基本理论 日趋成熟的今天，对这些复杂的广义大系统的研究显得尤其重要。 ( 2 ) 易于工程实现的广义系统控制设计。广义系统的研究来源于工程实践， 所以广义系统理论的研究最终也要为实践应用服务，因此一个好的设计方法应该 易于工程实现，即能够提供一个利用现有的软件所实现的计算机仿真实验。 ( 3 ) 广义系统控制软件的编程。控制工程研究的各种设计方法的实现都离不 开计算机的帮助，编制通用的广义系统控制软件是非常必要的，它对广义系统理 论的发展必将起着积极的推动作用。 ( 4 ) 广义系统的应用。发掘广义系统的实际应用背景，将广义系统理论用于 解决工程实践问题，从而实现广义系统的应用，才能真正体现广义系统的价值。 总之，作为一个新兴的研究领域，广义系统理论仍处于不断完善、不断发展 之中。以它广泛的工程背景，无论从理论本身，还是在工程实际中的应用，都将 取得更加辉煌的成果。 1 2 广义系统稳定性理论的发展现状 稳定性是控制系统中最重要也是最基本的问题，从上世纪七十年代起，广义 系统的稳定性理论得到了很快的发展，人们把正常系统中的稳定性概念推广到广 义系统中，从而出现了和正常系统稳定性相对应的广义系统稳定性概念，如稳定、 渐近稳定、指数稳定、鲁棒稳定等等。但于由广义系统自身的特点，如正则性和 脉冲行为等，给广义系统的稳定性研究带来了一定的困难也增加了很多挑战性。 在线性广义系统方面，自从c o b b 等首先发现广义系统中脉冲现象的存在， 并首先利用反馈来消除脉冲以来，到9 0 年代已经基本从理论上解决了利用状态 反馈和状态导数反馈消除脉冲和进行极点配置等问题。在线性齐次广义系统稳定 性方面，r o d r i g u e z 等在一定情况下通过解出代数方程中的部分解，然后代入到 2 第一章绪论 微分方程中，从而把代数微分方程组化成了一般微分方程组来研究，但这种方法 的缺陷是当代数约束方程的个数很多的时候，求解代数方程较难实现。c a m p b e l l 等把代数微分方程组分成快子系统和慢子系统进行研究，但这种方法的意义主要 是在理论分析方面。后来，人们开始以广义特征根均具有负实部作为广义系统渐 近稳定的判定条件，进而利用广义李雅普诺夫方程和线性不等式对广义系统渐近 稳定性进行判别，广义系统稳定性理论很快成熟起来进而发展到鲁棒稳定性理论 等新领域。 在非线性系统稳定性方面，19 8 6 年后b a j i c t 、m i l l i c 等利用李雅普诺夫函数 法研究了非线性广义系统的扩充稳定性和部分稳定性，但是没有考虑脉冲出现的 可能性。1 9 9 0 年h i l l 借助克拉索夫斯基方法研究了非线性微分代数方程的稳定 性，得到了几个稳定性判据。但是到现在非线性广义系统稳定的的基本问题还有 待进一步加以研究，如非线性系统的脉冲情形是怎么样的? 它的解的唯一性条件 是如何的等一系列问题还没有得到很好的解决。 1 3 广义大系统稳定性理论的研究现状 前面提到了复杂的广义大系统己成为广义系统研究的重点工作。众所周知， 随着现代科技的迅速发展，大型工程技术的需要，人们提出了大系统的模型，它 最初面临的问题是克服与其相关的数学模型维数日益增大和复杂性带来的困难。 人们最初对大系统概念的认识，是把一个系统分解成若干相互关联的子系统，若 能由子系统的性质组合得到整个系统的性质时，就把这个系统视为大系统。然而 什么叫大系统，至今还没有一个公认的严格定义。但是大系统具有一些比较明显 的特性：规模庞大、结构复杂、功能综合、因素众多等。 近些年来，广义大系统的研究已越来越受到理论和工程工作者的关注，正成 为众多控制和数学工作者所关注的热点课题之一，如 2 3 】- 2 6 1 等参考文献。 由于广义系统与正常系统相比，具有许多本质区别，如1 3 9 1 ： ( 1 ) 解的结构中，广义系统的解除指数解外有时还会出现脉冲解，正常系统的 解只有指数解。 ( 2 ) 正常系统的输入输出之间的传递函数为有理真分式，而广义系统的输入 输出之间的传递函数通常是非有理真分式，即有无穷远极点，这个无穷远极点就 对应着脉冲解。 广东丁业大学t 学硕十论文 ( 3 ) 正常系统一般满足初值问题解的存在唯一性，而广义系统初值问题解的 存在唯一性称为初值问题解的可处理性及初始函数的相容性，对解的初值问题， 会出现有解存在、无解存在或者有无穷多解的情形；即使有解存在，其解也常常 出现跳跃和脉冲现象。 ( 4 ) 广义系统具有层次性，它由微分( 差分) 方程描述的慢变传统动态层、代数 方程描述的快变静态层组成非传统数学模型。一般广义系统具有多层、多目标、 规模庞大、结构复杂、功能综合、维数较高的复杂大系统特点。 ( 5 ) 正常系统具有因果性，而广义系统具有非因果性。 ( 6 ) 正常系统在系统结构参数扰动下，可以有系统的结构稳定性，而广义系 统很难具有结构稳定性。 ( 7 ) 正常系统可以有满足l y a p o n o v 意义下的稳定性、镇定性，而广义系统不 一定满足一般意义下的l y a p o n o v 稳定性。 这使得对广义大系统的研究具有一定的困难，不能按照正常大系统的相关理 论简单推广上去，需要对广义大系统进行全面系统的研究后建立新的理论。 稳定性在广义大系统中的研究和在正常大系统中一样，具有同样的重要地 位，它对广义大系统的后续研究，如系统设计和控制起到基础性作用。但由于广 义系统特有的正则性和脉冲行为( 或因果性) 及大系统本身维数较大的特点，致使 有关的研究和结论变得复杂而富于挑战性。起初，国内外一些学者研究了以 o - ( e ，a ) cc 一为定义的线性广义系统的渐近稳定性，结构稳定性，鲁棒稳定性和 b i b o 稳定性等，但这些结果一般不易于应用到高维系统，其稳定性条件一般也 比较难检验。为了克服当把稳定性结果应用到高维系统时出现的困难，也为了能 得到广义大系统的一般结果，对广义大系统稳定性的研究显得很重要。张庆灵教 授于1 9 9 5 年提出有关广义分散控制系统的镇定性问题。之后，陈潮填和刘永清 教授在广义大系统稳定性方面做了大量的研究工作，j t l l l 2 3 、 2 5 、 2 7 - 3 5 】，他 们运用广义向量李雅夫函数法分析了广义大系统的稳定性并得到扩大了的关联 参数稳定域，其所得到的稳定性条件是较少保守的，他还运用了加权和型李雅夫 函数法得到了可以实现最优化的关联参数稳定域。在此基础上，沃松林【3 8 h 4 0 】 在其博士论文中对相同问题进行了系统的研究，在子系统均为正则，脉冲自由( 连 续情形) 或具有因果关系( 离散情形) 的前提下，运用矩阵不等式研究了广义互联大 系统的稳定性与其孤立子系统的稳定性之间的关系，给出了互联参数稳定域和不 4 第一章绪论 稳定域，并运用m a t l a b 工具对广义大系统稳定性进行了仿真，取得了一些有 意义的理论成果。在广义互联大系统鲁棒稳定性研究方面，k a z u n o r iy a s u d a 【4 1 】 等研究了线性时不变广义互联系统所有矩阵都存在不确定性时的广义二次稳定 问题，设计了分散状态反馈控制器；沃松林和邹云应用l m i 方法研究了一类具有 数值界限的参数时不变不确定广义互联大系统的分散鲁棒稳定性问题，得到了其 可分散状态反馈镇定的充分条件。 从上面的叙述可以看出，与正常大系统的研究成果相比较，广义大系统还有 很多内容需要进一步的研究，即使是广义线性大系统的稳定性问题，也还有很多 问题值得探讨。 1 4 本论文的研究内容和结构 本文主要研究内容是广义大系统的稳定性判定问题，把广义大系统分解成多 个子系统，在各子系统正则且渐近稳定的情况下结合大系统理论并运用广义向量 l y a p u n o v 方法分别对连续和离散广义大系统进行研究，得出广义大系统稳定性 的判定条件与判定方法。 第一章作为绪论，主要是对广义系统理论的发展和展望做简要的总结，并 分析了广义大系统稳定性理论的研究现状。 第二章作为全文的准备知识，对本文分析研究中用到的一些必要知识进行 简单介绍，主要介绍了广义系统的等价变换形式、广义系统的渐近稳定性定义以 及大系统理论中的比较原理和李雅普诺夫函数法。 第三章研究了线性连续广义大系统渐近稳定的判定方法，特别是进一步明 确线性连续广义大系统关联参数稳定域与不稳定域。本章具体研究了线性连续广 义大系统渐近稳定性与其孤立子系统渐近稳定性之间的关系，对于连续线性广义 大系统，利用广义向量l y a p u n o v 函数方法，得到在线性连续广义大系统正则无 脉冲且其每一个孤立子系统都是正则、渐近稳定( 不稳定) 条件下，线性连续广义 大系统渐近稳定( 不稳定) 的判定定理，同时给出对应的关联参数稳定域和不稳定 域。 第四章在前一章的基础上利用广义向量李雅普诺夫函数方法和系统的结构 分解研究在非线性连续广义大系统正则无脉冲且其各子系统正则、渐近稳定的情 况下非线性连续广义大系统稳定性判定问题。得到非线性连续广义大系统渐近稳 广东工业大学t 学硕十论文 定( 不稳定) 的判定定理，同时给出对应的关联参数稳定域和不稳定域。 第五章进一步对离散广义大系统的稳定性判定问题进行了研究。在离散广 义大系统的稳定性方面，由于系统稳定时李雅普诺夫方程的解矩阵存在零特征 值，用前面两章提到的向量李雅普诺夫函数法在推导时会遇到除数为零的问题， 因此，这一章中运用了加权和型广义李雅普诺夫函数法进行研究，得到了离散广 义大系统的渐近稳定性判定矩阵及其关联参数域，而且用这一方法还可以对其关 联参数域进行优化。 6 第二章准备知识 第二章准备知识 弟一早准亩刘以 本章将给出广义大系统理论的相关预备知识。 2 1 广义系统的数学模型及其受限等价变换 本节介绍广义系统的数学模型及其受限等价形式。 广义系统模型存在于社会生产的诸多领域中，可分为用微分方程描述的连续 系统和用差分方程描述的离散系统两类。一般地，连续时间的广义系统的状态空 间描述如下： 昏m ) = 僦) ，嘶) ，司 ( 2 1 1 a ) y o ) = g ) ，“o ) ，】 ( 2 1 1 b ) 其中，e o ) r 一般为奇异矩阵；厂b o ) ，“o ) ，f 】和g b o ) ，“( ，) ，】分别为x o ) ， 甜o ) 和f 的门维和m 维向量函数；x o ) ，“o ) 和j ，o ) 分别为适当维数的状态、输入 和输出向量，f 为时间变量。特别地，当r a n k e c t ) 】_ r l 时，式( 2 1 1 ) 表示一个 连续的正常系统。 线性时不变广义系统理论作为广义系统理论中一个最基本的研究分支，是本 文的主要研究内容。线性时不变广义系统的状态空间描述一般表示如下： 碰) = 彳) + b 以) ( 2 1 2 a ) y o ) = c k o ) + d 甜o ) ( 2 1 2 b ) 其中，e 、彳、b 、c 、d 皆为定常矩阵；e 为奇异矩阵，e 的秩满足 r a n k e = q 珂。有时，为方便，简记广义系统( 2 1 2 ) 为( e ，么，b ，c ，d ) 。 正则性是广义系统区别于正常系统的一个最基本的属性。任意一个正常系统 都是正则的，但对于广义系统却不然。满足正则性通常是对广义系统控制设计的 最基本要求。 定义2 1 1 2 0j 如果矩阵束( s e a ) 正则，即存在s c 使得行列式d e t ( s e a ) 0 则称广义系统( 2 1 2 ) 是正则的，或称矩阵对( e ，彳) 是正则的。 可见，广义系统( 2 1 2 ) 正则等价于广义矩阵对( e ，么) 正则，而与系统的其他 广东- t 业大学丁学硕十论文 矩阵b 、c 、d 无关。 对广义系统( 2 1 2 ) 进行线性非奇异变换i = q x ，便可得到 p e 谚o ) = 朋劣o ) + 尸b “( ，) ( 2 1 3 a ) y ( t ) - - c o x q ) + d 甜o ) ( 2 1 3 b ) 其中，尸和q 是两个可逆矩阵。这时，在广义状态空间中，变换前后的两个广义 系统的状态之间是一一对应的，称这两个广义系统是受限等价的，这种变换通常 称为受限等价变换。 显然，广义系统的受限等价变换具有自身性，对称性和传递性。 事实上，受限等价变换具有保持广义系统的结构特性的性质，如特征值、正 则性、稳定性、能控性和能观性等结构特征，因此，对结构比较复杂的广义系统 进行分析和综合时，经常采用受限等价变换把广义系统化成一种简单特殊的形 式，再对其进行分析研究。 由于受限等价变换不改变矩阵d ，因此，为了简便，不妨讨论d = 0 时的广 义系统陋，a ，b ，c ) 。广义系统伍，a ，b ，c ) 有多种受限等价变换形式，这里只介绍 文中用到的两种等价变换形式。假设r a n k e = q 玎，( s e a ) 的行列式的次数为 ，即d e g d e t ( s e a ) = ，显然，q n 。 1 ) 第一种受限等价形式。 当矩阵对伍，a ) 正则时，总存在可逆实矩阵尸和q ，使得 p e q = 乞品 ，p a q = 舌z ， ，尸b = 主 ，c q = e 。c ：，c 2 4 ， 其中，n r ( ”，) x ( ”7 ) 是幂零矩阵，幂零指数为h ，即 h = m i n kn = 0 ，k 为正整数 ( 当n 0 时有n 扣1 0 ，n “= 0 ：当n = 0 时 有h = 1 ) ；其它矩阵块具有相应的维数。令 q 1 x ( t ) = z 1 ( r ) ，x 2 ( f ) ，x i ( f ) r ，x 2 ( ，) r ”一7 ，得至0 毫p ) = a l ( f ) - i - b , u ( t ) ，m ( f ) = q x l ( f ) ( 2 1 5 a ) a 甓2 ( f ) = x 2 0 ) + 毋u ( t ) ，y 2 ( ，) = c 2 x l ( t ) ( 2 1 5 b ) y ( t ) = y l ( f ) + y 2 ( ，) ( 2 1 5 c ) 这种分解通常称为快慢子系统分解，又称为第一种受限等价形式。并称式( 2 1 5 a ) 为慢子系统，式( 2 1 5 b ) 为快子系统。此时，广义系统( e ，a ，b ，c ) 的传递函数 为g ( s ) = c l ( s i ，一a 1 ) 卅b l + c 2 ( s n l 一，) - 1b 2 。 第二章准备知识 尽管正常系统的传递函数是严格正则的，但广义系统则不然。从上式知，广 义系统的传递函数由两部分组成：一部分是g 1 ( s ) ，由慢子系统决定的且严格正 则的；另一部分是多项式g ：( 5 ) ，由快子系统决定的，一般来说，g ：( j ) 0 。所 以与正常系统不同的是，广义系统的传递函数是有理的但不一定是正则的，这是 广义系统的特性之一。 2 、第二种受限等价形式。 当矩阵对伍，a ) 正则时，总存在可逆实矩阵尸和q ，使得 p e q = 乞三 ，剐q = 舌羔 ，p b = 主 ，c q = c i c ：，c 2 6 ， 因此，系统( 2 1 2 ) 化成k r i n e c k e r 标准型： x 1 = 4 x l + b i u l n x 2 = x 2 + b 2 u 2 【y = c 1 x 1 + c 2 x 2 这里( 囊 = 尸。1 彳，( 主 = q b 这种等价形式可以在系统正则时把广义系统化成正常系统，从而用正常系统理论 来分析系统性质。但当系统较大时这种转化比较复杂。 2 2 渐近稳定性 本节给出广义系统渐近稳定性的相关概念及定理。 考虑如下正则的广义系统 威) = 彳) ，x ( o ) = ( 2 2 1 ) 其中，x ( t ) r ”为状态；e ，a r “”为定常矩阵；e 为奇异矩阵满足 r a n k e = q 0 ， v t o ，+ o 。) ，j 6 = ( s ，) ，使得对任意 x 纯) = x o s 。，其中& q ，q 是尺”中的某一区域，且0 x 。一身l l l l x ( t ；t 。，x 。) 一j l l 0 使得对任意x o o ) = x o s o 且 0 x 。一j 0 0 ，则广义系统( 2 2 1 ) 稳定当且仅当x 。( ，) 满足 f ) | 1 2 | | q | | ：1a e 邓愀o ) t 0 。 上式等价7 ：o - ( a 。) cc 一，其中，c r ( a 。) 表示矩阵彳。的极点域，即慢子系统( 2 1 5 a ) 稳定。由此得命题( 1 ) 等价于( 2 ) 。 ( 2 ) ( 3 ) ，因为 。c e ，彳，= 仃( p e q , 朋q ，= 仃( 乞品 ， 舌z ， = 仃c 彳， 所以结论成立。 定义2 2 4 【2 0 】如果广义系统( 2 2 1 ) 正则、渐近稳定且无脉冲，则称广义系统( 2 2 1 ) 1 0 第二章准备知识 是容许的，或称( e ，彳) 是容许的。 对于广义系统( 2 2 1 ) 定义李雅普诺夫方程： e ，v a + a7 v e = 也7 w e( 2 2 3 ) 则有下面的定理： 定理2 3 1e 2 0 1 对于正则的广义系统( 2 2 1 ) ，下述结论成立： ( 1 ) 如果存在矩阵x 0 和形 0 满足广义l y a p u n o v 方程( 2 2 2 ) ，则广义系 统( 2 2 1 ) 是容许的。 ( 2 ) 如果广义系统( 2 2 1 ) 是容许的，则对于任意给定的w 0 ，广义l y a p u n o v 方程( 2 2 3 ) 存在正定解x 0 。进而，e7 x e 0 是唯一的。 证明：由广义系统( 2 2 1 ) 正贝j j ，则存在非奇异矩阵尸和q ，使得 p e q = 乞品 ，剐q = 舌，二， 其中，n r ( ”7 ) 。( ”是幂零矩阵。将p 町x p - 1 和p 可m p 一1 作如下相应的分解 尸一r j r ：p l = j ：妻i ，p 一7 ，矿l ，一1 ：孑荔 则式( 2 2 3 ) 即为 ? 1 + t x l r 4 - x ： r i a + 1 + w r 1 r a ，i r x + 2 n r + x x 。+ 2 + w r z nj1x nxnx nnnn2 ；乏 2 。c 2 - 2 4 ， ，r + r 2 r +7 1 职7 3 + 7 1 x 3 +7 暇i 疋丁五i 。 “ 首先证明结论( 1 ) 成立。下面先证明广义系统( 2 2 1 ) 无脉冲。采用反证 法，假设幂零矩阵n 0 ，即的幂零指数h 1 。由z 0 和形 0 有 x l 0 ，w l 0 ， 0 分别对五左乘( 7 ) 扣1 和右乘扣1 ，并将上式代入得 ( 7 1 ) 扣1x 3 n = 0 ，n 7 1 x 3 n 肛1 = 0 再对方程五= 0 两边同时左乘( 7 ) 肛2 和右乘扛2 ，并将上式代入得 ( r ) 职n = 0 这与暇 0 矛盾。所以广义系统( 2 2 1 ) 无脉冲。 另一方面，为证明广义系统( 2 2 1 ) 稳定，需要证明彳，可逆。事实上，若x 奇异，则存在非零向量x r 满足x ，z = 0 ，于是由方程 彳l 。x l + x 1 彳l + 啊= 0 ( 2 2 5 ) 得x 7 彬x = 0 ，这与彬 0 矛盾，所以x 1 可逆。由1 0 及x l 可逆，知x 1 0 ， 广东丁业大学t 学硕士论文 从而李雅普诺夫方程( 2 2 3 ) 对于任意的彬 0 存在正定解x 。 0 ，于是知a 。是 稳定的，即广义系统( 2 2 1 ) 稳定。综上有，广义系统( 2 2 1 ) 是容许的。 其次证明结论( 2 ) 成立。设广义系统( 2 2 1 ) 是容许的，且给定广义李雅 普诺夫方程( 2 2 3 ) 的矩阵w 0 ，于是有彬 0 ，n = 0 且a 。稳定。由正常系 统稳定理论知，李雅普诺夫方程( 2 2 5 ) 存在正定解x ， 0 且惟一确定。选取 x 3 0 ，则 r 一沙。 是广义李雅普诺夫方程( 2 2 3 ) 的一个正定解。并且 肋影 瑚q 是惟一确定的。结论( 2 ) 得证。 2 3 比较原理与向量李雅普诺夫函数法 数法。 在这节中，将介绍大系统理论中比较原理的基本结果及向量李雅普诺夫函 定义2 3 1 8 1 称由m 个纯标量李雅普诺夫函数v l ( x ，f ) ，v 。( x ，f ) ，所构成的向量： v ( x ，f ) = ( l ，l ( x ，吩一，v ，( x ， ( 2 3 1 ) 为向量李雅普诺夫函数。 定义2 3 2 【8 】称下式为向量比较方程： 户：w ( r 。f 1 v r r ” v t j ( 2 3 2 ) 其中w ：d 专r ”是在r 卅+ 1 中的开集d 上定义的连续函数，= 0 时，w ( 0 ，f ) = 0 。 定义2 3 3 【8 1 函数肜( ，) ：( 彬( ，| ，f ) ，( ，f ) ) 7 ，若( ，7 ) 和( f ，r ”) d ，0 r j 和i ( = 1 ，2 ，聊，i ) 不等式 彬( ) 形( f ，”)v i = 1 ，2 ，m ( 2 3 3 ) 则称函数w ( r ，) 属于拟单调增加函数类日。 1 2 第二章准备知识 定义2 3 4 8 1 令( ，) 是向量方程( 2 3 2 ) 过( ，) d ，且在，r ) 上的解，若 ( 2 3 2 ) 的每一个过( r o ，t o ) 且在 ，f ) 上的解r ( f ) 满足r ( t ) r m ( t ) v t t 0 , f ) ，则 称r m ( t ) 是向量比较方程( 2 3 2 ) 在 岛，r ) 上过( ，f 。) 的最大解。 同理可以给出( 2 3 2 ) 的最小解r m ( t 1 的定义。 引理2 3 1 t 引 w ( r ，f ) h ，是开集dcr 卅+ 1 上的连续函数，( f ) 是户= w ( r ，f ) 在 ，r ) 上过( ，) d 的解，设函数，( f ) 在，f ) 上是连续的，( v ，f ) d ， v t t 0f ) ，满足 d + v w ( r ，) ，v t t o ，f ) ( 2 3 4 ) 则v ( t o ) r ( t o ) 蕴含 v ( t ) r ( t ) v t ，f ) ( 2 3 5 ) 证明：由( 2 3 4 ) 和连续性，集e = f ：t o f f ，v ( t ) ，( f ) ，v t t o , f ) ) 令，= s u p e ，贝0v ( f ) r ( t ) v t 【t o , f ) 若f r ，至少对某一个f 有v 疋) = o ) v ，g ) = o g 沙f 否则与f = s u p e 矛盾。而d + v ，t o ) v ，o ) ，o 砂i 否则与 f = s u p e 矛盾，因此得到d + v ，t 只( f ) ，这与( 2 3 6 ) 矛盾。证毕。 定理2 3 1 【8 1 ( 最大解最小解存在定理) 令( r ，f ) h ，在矩阵r oc d 上连续， 其中r o = ( r ，f ) d ：咿- r o 忙p , t o ，+ r ) ，则在( ，o + p ) 上存在过点 ( ，t o ) r o 的向量比较方程( 2 3 2 ) 的最大解( t ) ( 最小解( ，) ) ，其中 9 = m i n f ，而p ) 证明：令睨( x ，f ) = w ( x ，) + 一u ，其中甜r ”是常量，0 “，华 刀 2 、1 g r 。= t c ，r m + l ；l 卜一c + 兰，| | 詈, t o t t o + r ， 由于i 卜一i j 一| f 詈0 j 卜一c + 差，f i - 鲁， 所以肛一j j f j 鲁j 詈+ 詈= p 因此尺。r 。 广东工业大学工学硕上论文 因为呒c ( r ) ，p f f 以w ( r ，r ) 忙+ p 2 ，其中卢满足0 呒( ，f ) 忙肛v ( ，f ) 尺，由 柯西皮阿诺存在定理知，对微分方程：户：w ( x ，) + 兰在区间( ，+ 日) 上存在过 刀 初值( + 罟 ) r 。的解，一( f ；+ 吾，。) 。刀 刀 致有界的。由引理2 3 1 ，若玎 万，则 r ( t ；r o + 一u ，) ) 关于f 是等度连续而且一 刀 ，o ；+ 兰，) ，( t ；r o + 兰，t 。) v t t o ，+ 臼】 玎珂 于是l i r a ，( t ；r o + 兰，t o ) ：惭( f ) t 一+ o o 力 并且惭( f ) 是( 2 3 2 ) 在( f o ，+ p ) 上过点( t o ，t o ) r 的解。 现让嘞( f ) 是向量比较方程( 2 3 2 ) 的最大解。设厂( f ) 是( 2 3 2 ) 的在，气+ p ) 上 过( 厂o ，) r 的任一解，于是